SKKN: Kỹ năng giải một số bài toán hình học phẳng trong hệ tọa độ Oxy

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:85

Thêm vào BST

Báo xấu

47
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là hướng dẫn học sinh kỹ năng nhận dạng, biến đổi, khả năng suy luận lôgic, tư duy thuật toán, kỹ năng quan sát, phân tích, tổng hợp,...đề từ đó giải được một số bài toán về tọa độ trong hình học phẳng. Qua đó giúp học sinh trở thành người yêu lao động, sáng tạo, có trình độ tay nghề cao, biết quy lạ về quen, quyết đoán trước các vấn đề mới mẻ, tình huống bất ngờ thường gặp trong cuộc sống.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Kỹ năng giải một số bài toán hình học phẳng trong hệ tọa độ Oxy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN LẠC BAO CÁO K ́ ẾT QUẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên sáng kiến: KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY Người thực hiện: ĐÀO THỊ BÍCH LIÊN Mã: 52 1
̣ Yên lac, thang 02 năm 2020 ́ MỤC LỤC Trang 1. Lời giới thiệu…………………………………………………………………… 4 1.1. Lí do chọn đề tài................................................................................................ 4 1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………………. 4 ̣ ̣ 1.3. Nhiêm vu nghiên cưu………………………………………………………….. ́ 5 ́ ượng va pham vi nghiên c 1.4. Đôi t ̀ ̣ ưu…………………………………………….. ́ 5 1.5. Phương phap nghiên c ́ ưu……………………………………………………… ́ 5 1.6.Thơi gian va đia điêm th ̀ ̀ ̣ ̉ ực hiên……………………………………………….. ̣ 5 2. Tên sáng kiến……………………………………………………………………… 5 3. Tác giả sáng kiến………………………………………………………………….. 5 4. Chủ đầ u tư tạo ra sáng 5 kiến……………………………………………………… 5. Lĩnh vực áp dụng sáng 5 kiến……………………………………………………… 6. Ngày sáng kiến được áp 5 dụng…………………………………………………….. 7. Mô tả bản chất của sáng 6 kiến………………………………………………………. PhầnI. Tóm tắt lý thuyết…………………………………………………………….. 7 I. Lý thuyết về điểm và véc tơ: I.1. Tọa độ véc tơ…………………………………………………………………….. 7 I.2. Tọa độ điểm……………………………………………………………………… 7 I.3. Liên hệ giữa tọa độ 2 véc tơ vuông góc , cùng 8 phương………………………….. 2
II. Lý thuyết về đường 8 thẳng…………………………………………………………. II.1. Phương trinh t ̀ ổng quát của đường thẳng……………………………………… 8 II.2. Phương trinh tham s ̀ ố của đường thẳng………………………………………. 8 II.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng………………………………………. 9 II.4. Chuyển dạng phương trình đường thẳng……………………………………… 9 II.5. Một số trường hợp riêng của phương trình đường thẳng……………………. 10 II.6. Khoảng cách từ một điểm đến một đường 11 thẳng………………………………. II.7. Vị trí tương đối của 2 điểm đối với 1 đường thẳng……………………………. 12 II.8 . Góc giữa 2 đường thẳng và vị trí tương đối của 2 đường thẳng……………… 13 Phần II. Một số dạng toán cụ 14 thể…………………………………………………….. I. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG......................14 I.1. Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng........................................................14 I.2. Dạng 2. Một số bài toán về tìm điểm.....................................................................19 I.3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN.......................................................................................24 II. BÀI TOÁN TAM GIÁC II.1. LÝ THUYẾT BÀI TOÁN TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN. II.1.1. Các đường trong tam giác.................................................................................26 II.1.2. Các tính chất tam giác.......................................................................................28 II.1.3. Phương pháp chung để giải một bài toán tam giác ..........................................29 III. BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC.....................................................................................48 III.1. PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TỨ GIÁC...................................48 3
III.2. CÁC DẠNG TOÁN VỀ TỨ GIÁC....................................................................48 8. Những thông tin cần được b ảo mật…………………………………………….77 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 77 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng 77 kiến. 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng 77 sáng kiến lần đầu 12. Tài liệu tham khảo 78 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu 1.1. Ly do chon đê tai ́ ̣ ̀ ̀ Hình học phẳng trong hệ tọa độ Oxy la môt l ̀ ̣ ơp bai toan co vi tri đăc biêt quan trong trong ́ ̀ ́ ́ ̣ ́ ̣ ̣ ̣ chương trinh toan hoc trung hoc phô thông. No xuât hiên nhiêu trong cac ki thi hoc sinh gioi cung nh ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ́ ́ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̉ ̃ ư ̉ ̀ ̣ ̣ ̣ ̉ ̣ ơi rât nhiêu dang toan ma ph ki thi tuyên sinh vao đai hoc. Hoc sinh phai đôi măt v ̀ ́ ́ ́ ̀ ̣ ́ ̀ ương phap giai ́ ̉ ́ ̣ ưa được liêt kê trong sach giao khoa. chung lai ch ̣ ́ ́ ̣ ̀ Viêc tim ph ương phap giai cung nh ́ ̉ ̃ ư viêc xây d ̣ ựng các phương pháp giải mơi la niêm say mê ́ ̀ ̀ ̉ ́ ươi, đăc biêt la nh cua không it ng ̀ ̣ ̣ ̀ ưng ng ̃ ươi giao viên đang tr ̀ ́ ực tiêp day toan. Chinh vi vây, đê đap ́ ̣ ́ ́ ̀ ̣ ̉ ́ ứng nhu câu giang day va hoc tâp, tôi đa chon đê tai “K ̀ ̉ ̣ ̀ ̣ ̣ ̃ ̣ ̀ ̀ Ỹ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ OXY” lam đê tai nghiên c ̀ ̀ ̀ ứu cua sang kiên kinh nghiêm. Đê tai ̉ ́ ́ ̣ ̀ ̀ 4
̣ ́ ́ ứng mong muôn cua ban thân vê môt đê tai phu h nhăm môt phân nao đo đap ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ̉ ̀ ̣ ̀ ̀ ̀ ợp đê co thê phuc vu ̉ ́ ̉ ̣ ̣ ́ ực cho viêc giang day cua minh trong tr thiêt th ̣ ̉ ̣ ̉ ̀ ương phô thông. ̀ ̉ 1.2. Muc đich nghiên c ̣ ́ ưu ́ Vơi mong muôn tâp h ́ ́ ̣ ợp va phân loai môt sô dang toan vê đi ̀ ̣ ̣ ́ ̣ ́ ̀ ểm và đường thẳng trên hệ trục Oxy. Hương dân hoc sinh ky năng nhân dang, biên đôi, kha năng suy luân lôgic, t ́ ̃ ̣ ̃ ̣ ̣ ́ ̉ ̉ ̣ ư duy thuât toan, ky ̣ ́ ̃ ̉ năng quan sat, phân tich, tông h ́ ́ ợp,...đê t ̀ ừ đo giai đ ́ ̉ ược môt s ̣ ố bai toan vê t ̀ ́ ̀ ọa độ trong hình học phẳng. Qua đo giup hoc sinh tr ́ ́ ̣ ở thanh ng ̀ ươi yêu lao đông, sang tao, co trinh đô tay nghê cao, biêt ̀ ̣ ́ ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ́ ̣ ̀ ́ ước cac vân đê m quy la vê quen, quyêt đoan tr ́ ́ ́ ̀ ới me, tinh huông bât ng ̉ ̀ ́ ́ ờ thường găp trong cuôc sông. ̣ ̣ ́ Hơn nưa cung giup chinh ban thân co cai nhin tông quat va ro net h ̃ ̃ ́ ́ ̉ ́ ́ ̀ ̉ ́ ̀ ̃ ́ ơn vê bai toan t ̀ ̀ ́ ọa độ trong hình học phẳng đê nâng cao trinh đô chuyên môn trong giang day va công tac. ̉ ̀ ̣ ̉ ̣ ̀ ́ 1.3. Nhiêm vu nghiên c ̣ ̣ ưu ́ Nghiên cưu môt sô ph ́ ̣ ́ ương phap giai bài toán hình h ́ ̉ ọc phẳng trên hệ tọa độ Oxy. 1.4. Đôi t ́ ượng va pham vi nghiên c ̀ ̣ ưu ́ ́ ượng nghiên cưu: Bài toán hình h Đôi t ́ ọc phẳng trên hệ tọa độ Oxy. Pham vi nghiên c ̣ ưu: Giai bài toán hình h ́ ̉ ọc phẳng trên hệ tọa độ Oxy áp dung trong giang ̣ ̉ ̣ ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ day thi hoc sinh gioi va ôn thi Đai hoc cho hoc sinh l ̀ ơp 10A1.2, 11A1.1, 11A4 ́ trường Trung học phổ thông Yên Lạc. 1.5. Phương phap nghiên c ́ ưu ́ Sử dung kiên th ̣ ́ ưc c ́ ơ ban cua ph ̉ ̉ ương phap đa nêu ́ ̃ ở trên va ky năng biên đôi đê giai ̀ ̃ ́ ̉ ̉ ̉ bài toán hình học phẳng trên hệ tọa độ Oxy 1.6. Thơi gian va đia điêm th ̀ ̀ ̣ ̉ ực hiên ̣ Thơi gian th ̀ ực hiên: T ̣ ư thang 08 đên thang 02 năm hoc 20182019 ̀ ́ ́ ́ ̣ ̣ ̉ Đia điêm thực hiên: Tr ̣ ương THPT Yên Lac ̀ ̣ 2.Tên sáng kiến: “KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY” 3.Tác giả sáng kiến: 5
Họ và tên: ĐÀO THỊ BÍCH LIÊN Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc. Số ĐT: 0358893258. Email: ngocmai.lientuan@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Không có chủ đầu tư, người làm sáng kiến tự đầu tư các chi phí liên quan đến đề tài. 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dạy học cho học sinh THPT. 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 05 / 02 / 2019. 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: Nội dung sáng kiến chia làm 4 phần: Phần I. Tóm tắt lý thuyết. I. Lý thuyết về điểm và véc tơ: I.1. Tọa độ véc tơ. I.2. Tọa độ điểm. I.3. Liên hệ giữa tọa độ 2 véc tơ vuông góc , cùng phương. II. Lý thuyết về đường thẳng. II.1. Phương trinh t ̀ ổng quát của đường thẳng. II.2. Phương trinh tham s ̀ ố của đường thẳng. II.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng. II.4. Chuyển dạng phương trình đường thẳng. II.5. Một số trường hợp riêng của phương trình đường thẳng. II.6. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. II.7. Vị trí tương đối của 2 điểm đối với 1 đường thẳng. II.8 . Góc giữa 2 đường thẳng và vị trí tương đối của 2 đường thẳng. Phần II. Một số dạng toán cụ thể.. I. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG I.1. Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng I.2. Dạng 2. Một số bài toán về tìm điểm I.3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 6
II. BÀI TOÁN TAM GIÁC II.1. LÝ THUYẾT BÀI TOÁN TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN. II.1.1. Các đường trong tam giác II.1.2. Các tính chất tam giác II.1.3. Phương pháp chung để giải một bài toán tam giác III. BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC III.1. PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TỨ GIÁC III.2. CÁC DẠNG TOÁN VỀ TỨ GIÁC Phần III: Kết quả thực nghiệm. Phần IV: Kết luận và kiến nghị. KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY PHẦN 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. LÝ THUYẾT VỀ ĐIỂM VÀ VÉC TƠ I.1. Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy 1) a = (a1; a2) a = a1 i +a2 j 2) Cho a = (a1; a2), b = (b1; b2). Ta có: a b = (a1 b1; a2 b2) 7
3) Cho a = (a1; a2), b = (b1; b2). Ta có: a . b = a1b1 + a2b2 a.b a = a12 a22 ; cos( a , b ) = a .b I.2. Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy uuuur 1) M ( x M ; y M ) � OM = ( x M ; y M ) 2) Cho A(xA; yA), B(xB; yB). Ta có: = (xBxA; yByA) và AB = ( xB x A ) 2 ( yB y A )2 uuur uuur 3) Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1 ) � MA = k MB xA kxB xM thì 1 k yA ky B yM 1 k xA xB xM Đặc biệt khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì 2 yA yB yM 2 xA x B xC xG Nếu G là trọng tâm ABC thì 3 yA y B yC yG 3 I.3. Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương Cho a = (a1; a2), b = (b1; b2). Ta có: 1) a b a . b = 0 a1b1 + a2b2 = 0 2) a cùng phương với b a1b2 a2b1 = 0 3) Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi cùng phương II. LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG THẲNG II.1. Phương trình tổng quát của đường thẳng 8
a) Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng Định nghĩa 1 Véc tơ n khác 0 , có giá vuông góc với đường thẳng được gọi là véc tơ chỉ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng . Nhận xét 1 Nếu véc tơ n là một véc tơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng thì mọi véc tơ k n , với k 0 đều là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng đó. Với mỗi điểm I và véc tơ n khác 0 có duy nhất 1 đt đi qua I và nhận véc tơ n làm véc tơ pháp tuyến. b) Phương trình tổng quát của đường thẳng Trong mp tọa độ Oxy, mỗi đường thẳng đi qua điểm M O ( xo ; y o ) và nhận n(a; b) làm véc tơ pháp tuyến đều có phương trình tổng quát dạng: a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0 ax + by a x o b y 0 ) = 0 (với a 2 b2 0 ). Trong mp tọa độ Oxy, mỗi phương trình dạng ax + by + c = 0, với a 2 b2 0 đều là phương trình tổng quát của đường thẳng xác định, nhận n(a; b) là véc tơ pháp tuyến. II.2. Phương trình tham số của đường thẳng a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng Định nghĩa 2 Véc tơ u khác 0 , có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng . Nhận xét 2 Nếu véc tơ u là một véc tơ chỉ phương (vtcp) của đường thẳng thì mọi véc tơ k u , với k 0 đều là véc tơ chỉ phương của đường thẳng đó. Với mỗi điểm I và véc tơ u khác 0 có duy nhất 1 đt đi qua I và nhận véc tơ u làm véc tơ chỉ phương. Nhận xét 3 Nếu véc tơ u là một véc tơ chỉ phương, n là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng thì u . n = 0. 9
Nếu đường thẳng có véc tơ pháp tuyến n(a; b) thì có véc tơ chỉ phương u (b; a) và ngược lại. b) Phương trình tham số của đường thẳng Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M O ( xo ; y o ) cho trước và có véctơ chỉ x x0 at phương u (a; b) cho trước có dạng: , ( a 2 b2 0 , t R) y y0 bt II.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng Trong phương trình tham số của đường thẳng, nếu a 0, b 0 thì đường thẳng nói trên có x x0 y y0 phương trình chính tắc là . a b Chú ý: Khi a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc. II.4. Chuyển dạng phương trình đường thẳng Bài toán: a. Cho đường thẳng (d) có phương trình dạng tham số. Hãy chuyển phương trình của (d) về dạng chính tắc, tổng quát. b. Cho đường thẳng (d) có phương trình dạng tổng quát Ax+ By + C=0. Hãy chuyển phương trình của (d) về dạng tham số, chính tắc. Phương pháp chung: x x0 at a.Cho đường thẳng (d) có phương trình dạng tham số , ( a 2 b2 0 , t R) (I) y y0 bt x x0 y y0 Ta có: +) Nếu ab 0 thì khử t từ hệ (I), ta được pt chính tắc của d là . (Ia) a b Từ pt (Ia) b(x x 0 ) – a(y y 0 ) = 0 , biến đổi tiếp pt này ta đc PTTQ của (d) +) Nếu a=0 thì phương trình tổng quát của (d) là x x 0 = 0, (d) không có phương trình chính tắc. +) Nếu b =0 thì phương trình tổng quát của (d) là y y 0 = 0, (d) không có phương trình chính tắc. b. Để chuyển phương trình của (d): Ax+ By + C=0 về dạng tham số, chính tắc, ta làm như sau: Bước 1: Gọi u là vtcp của (d), ta có u (B; A). Bước 2: Tìm một điểm M O ( xo ; y o ) (d). Bước 3: KL 10
x x0 Bt Phương trình tham số của (d) là , (t R). y y0 At x x0 y y0 Phương trình chính tắc của (d) là ( trong trường hợp AB 0). B A II.5. Một số trường hợp riêng của phương trình đường thẳng Dựa trên cơ sở lập phương trình tổng quát hoặc phương trình tham số của đường thẳng ta chứng minh được các kết quả sau: 5.1. Phương trình trục hoành Ox: y = 0. 5.2. Phương trình trục tung Oy: x = 0. 5.3. Phương trình đt đi qua điểm M O ( xo ; y o ) và song song với trục hoành (vuông góc với trục tung): y y 0 = 0 5.4. Phương trình đt đi qua điểm M O ( x o ; y o ) và song song với trục tung ( vuông góc với trục hoành): x x 0 = 0. 5.5. Phương trình đt đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và có véc tơ pháp tuyến n(a; b) là: ax + by = 0. x y 5.6. Phương trình đt đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b), với ab 0 là 1 ( phương trình đt a b theo đoạn chắn). 5.7. Phương trình đt đi qua hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) và N ( x 2 ; y 2 ) là x x1 y y1 MN: . ( Áp dụng khi x1 x 2 và y1 y2 ) x 2 x1 y 2 y1 Nếu x1 x 2 thì MN: x = x1 Nếu y1 y 2 thì MN: y = y1 . 5.8. Phương trình đt theo hệ số góc *) Xét đường thẳng có phương trình tổng quát ax+by+c = 0. a c Nếu b 0 thì pt trên được đưa về dạng y = kx + m, với k = , m = . b b Khi đó k là hệ số góc của đt , pt y = kx + m gọi là pt của theo hệ số góc +) Nếu k 0, gọi M là giao điểm của với trục Ox và tia Mt là tia nằm phía trên trục Ox. Khi đó nếu là góc hợp bởi tia Mt với tia Mx thì k = tan . 11
t x O M +) Khi k = 0 thì là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox. Nếu b = 0, a 0 thì pt ( đt song song hoặc trùng trục tung). *) Đường thẳng thẳng đi qua điểm M( và có hệ số góc k thì có phương trình: y y 0 = k(x x 0 ). II.6. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Trong mp tọa độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình Ax + By + C = 0, với A 2 B2 0 và điểm M0(x0; y0). Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng được kí hiệu là d((M0; ) và được tính bằng Ax0 By0 C công thức: d(M0; ) = 2 2 A B *) Ứng dụng: Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng Trong mp tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng 1 và 2cắt nhau: 2 2 ( 1): a1x + b1y + c1 = 0 (1) ( a1 b1 0) 2 2 ( 2): a2x + b2y + c2 = 0 (2) ( a 2 b2 0) Nếu điểm M(x; y) nằm trên đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng 1 và thì 2 12
d(M; 1 ) = d(M; 2 ). Suy ra phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng 1 và 2 a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 a1 x b1 y c1 a1 x b1 y c1 là 2 a 1 b1 2 a 2 2 b 2 2 a12 b12 a12 b12 II.7. Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng Trong mp tọa độ Oxy, cho đường thẳng : ax + by + c = 0, với a 2 b2 0 và 2 điểm M ( x1 ; y1 ) và N ( x 2 ; y 2 ) . Xét tích T = ( ax 1 +by 1 +c) ( ax 2 +by 2 +c). Nếu T 0 thì M, N nằm về cùng một phía so với . Nếu T = 0 thì M hoặc N nằm trên . II.8. Góc giữa hai đường thẳng 1.Định nghĩa Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b, hay đơn giản là góc giữa a và b. Khi a song song hoặc trùng b, ta quy ước góc giữa chúng bằng 0 0 Góc giữa hai đường thẳng a và b được kí hiệu là (a, b). Góc này không vượt quá 90 0 . *) Nhận xét Nếu hai đường thẳng a và b lần lượt có các vectơ pháp tuyến là n1 và n 2 thì (a,b) = ( n1 , n 2 ), nếu ( n1 , n 2 ) 90 0 (a,b) = 180 0 ( n1 , n 2 ), nếu ( n1 , n 2 ) > 90 0 2. Cách tính góc giữa hai đường thẳng Trong mp tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng 1 và cắt nhau: 2 2 2 ( 1): a1x + b1y + c1 = 0 (1) ( a1 b1 0) 2 2 ( 2): a2x + b2y + c2 = 0 (2) ( a 2 b2 0) Hai đường thẳng 1 và 2 lần lượt có các vectơ pháp tuyến là n1 và n 2 , ta có: n1.n 2 a1 a 2 b1b2 cos( 1 , 2 ) = cos(n1 , n2 ) = = n1 . n2 a12 b12 . a 22 b22 13
u 1 .u 2 *) Chú ý: Có thể dùng công thức cos( 1 , 2 ) = cos(u1 , u 2 ) = , với u 1 , u 2 lần lượt là các u1 . u 2 vectơ chỉ phương của hai đường thẳng 1 và 2 *) Nhận xét: +) 1 2 a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0 +) Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng y = kx + b và y ' = k ' x + b ' vuông góc nhau là k.k ' = 1. II.9.Vị trí tương đối của hai đường thẳng Trong mp tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng: 2 2 ( 1): a1x + b1y + c1 = 0 (1) ( a1 b1 0) 2 2 ( 2): a2x + b2y + c2 = 0 (2) ( a 2 b2 0) Số giao điểm của 1 và 2 (nếu có) là số nghiệm của hệ 2 phương trình (1) và (2) Ta có kết quả sau: a1 b1 a) Hai đường thẳng 1, 2 cắt nhau 0 a2 b2 a1 b1 b1 c1 b) Hai đường thẳng 1, 2 song song nhau = 0 và 0 a2 b2 b2 c2 a1 b1 c1 a1 hoặc = 0 và 0 a2 b2 c2 a2 a1 b1 b1 c1 c1 a1 c) Hai đường thẳng 1, 2 trùng nhau = = = 0. a2 b2 b2 c2 c2 a2 Trong trường hợp a2; b2; c2 đều khác 0, ta có: a1 b1 ) 1 cắt 2 . Khi đó tọa độ giao điểm của 1 và là nghiệm của hệ 2 ph. trình (1) và 2 a2 b2 (2) a1 b1 c1 ) 1 // 2 = a 2 b2 c2 ) 1 2 a1 = b1 = c1 a 2 b2 c2 Đặc biệt: 1 2 a1a2 + b1b2 = 0 14
PHẦN 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN I. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG I.1. Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng Bài toán 1 Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng cho trước và thỏa mãn điều kiện K nào đó. Bài toán 2 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng cho trước và thoả mãn điều kiện K nào đó. Bài toán 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M 0 ( x 0; y0 ) và tạo với đường thẳng d cho trước một góc cho trước. Bài toán 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M 0 ( x 0; y0 ) và tạo với hai đường thẳng 1, 2 cho trước một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của 1 và 2 . Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn kiều kiện nào đó về khoảng cách. Bài toán 6. Tìm pt đt d ' đối xứng của đt d qua điểm I cho trước. Dạng 2. Một số bài toán tìm điểm Bài toán 1. Xác định hình chiếu H của điểm M trên đường thằng(d). Bài toán 2. Xác định điểm N đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d). Bài toán 3. Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) và thỏa mãn điều kiện K. I.1. Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng Phương pháp chung *) Nếu biết một điểm thuộc đường thẳng thì cần xác định thêm một số các yếu tố sau của đường thẳng +) Véc tơ chỉ phương. +) Véc tơ pháp tuyến. +) Hệ số góc. +) Một điểm khác thuộc đường thẳng. 15
*) Có thể giả sử phương trình của đường thẳng cần tìm có dạng x = hoặc y = ax + b. Từ các giả thiết của bài toán, tìm được hoặc a, b. *) Có thể giả sử phương trình của đường thẳng cần tìm có dạng ax + by + c = 0 ( . Từ các các giả thiết của bài toán, tìm được a, b, c. Bài toán 1 Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng cho trước và thỏa mãn điều kiện K nào đó. Phương pháp: *) Nếu phương trình đường thẳng có dạng: Ax + By+ C = 0 thì ta làm như sau: Vì d song song với : Ax + By+ C = 0 nên phương trình d có dạng: Ax + By + C’ = 0 (C’ C ) Dựa vào điều kiện K, ta xác định C’. KL phương trình đường thẳng (d). *) Nếu phương trình đường thẳng có dạng tham số ( hoặc chính tắc) và có vtcp u (a;b) thì đường thẳng có vtpt n (b;a) (d) có pt dạng : bx+ay+c = 0. Dựa vào điêu kiện K tìm c, suy ra phương trình đường thẳng (d). VD1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(3; 4) và song song với : 2x + 3y 5= 0. LG: Vì d song song với : 2x + 3y 5= 0 nên phương trình d có dạng 2x + 3y + C’= 0 Vì M(3; 4) d nên 2.3+3.4+ C’ = 0 C’ = 18. Vậy phương trình đường thẳng d là 2x + 3y – 18 = 0 VD2. Viết phương trình đường thẳng song song với đt : 8x 6y 5= 0 và cách một khoảng bằng 5. LG: Gọi ’ là đt cần tìm. Vì ’ song song với : 8x 6y 5= 0 nên phương trình ’ có dạng 8x 6y + C’= 0. 8x 6 y 5 Điểm M(x; y) ’ nên d(M; )= d( ’; ) = 5 5 8x 6y 5= 50. 64 36 Vậy có hai đường thẳng cần tìm là ' 1 : 8x 6y +45= 0 và ' 2 : 8x 6y 55= 0. Bài toán 2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng cho trước và thoả mãn điều kiện K nào đó. Phương pháp chung 16
*) Nếu phương trình đường thẳng có dạng: Ax + By+ C = 0 thì ta làm như sau: Vì d vuông góc với : Ax + By + C = 0 nên vtcp u (B; A) của là vtpt của đường thẳng d phương trình d có dạng: – Bx + Ay + C’ = 0 Dựa vào điều kiện K, ta xác định C’. KL phương trình đường thẳng (d). *) Nếu phương trình đường thẳng có dạng tham số ( hoặc chính tắc) và có vtcp u (a;b) thì vì đường thẳng vuông góc với d nên d có vtpt n (a;b) (d) có pt dạng : ax+by+c = 0. Dựa vào điêu kiện K tìm c, suy ra phương trình đường thẳng (d). VD: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(3; 2) và vuông góc với đường thẳng : x 2y + 10 = 0. LG: Vì d vuông góc với : x 2y + 10 = 0 nên phương trình d có dạng: 2x +y + C’ = 0 Vì điểm M(3; 2) thuộc d nên 2.(3)+2 + C’ = 0 C’= 4. Vậy phương trình đường thẳng d là : 2x +y 4 = 0. Bài toán 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M 0 ( x0; y0 ) và tạo với đường thẳng d cho trước một góc cho trước. Phương pháp chung Sử dụng kiến thức về điểm thuộc đường thẳng và góc giữa hai đường thẳng. VD: Viết phương trình đường thẳng a) Qua điểm M(2; 0) và tạo với đường thẳng d: x + 3y – 3 = 0 một góc 45 0 ; x 2 3t b) Qua điểm N(1; 2) và tạo với đường thẳng d: một góc 60 0 . y 2t LG: a)Gọi . Đường thẳng đi qua điểm M(2; 0) có vtpt có phương trình: A(x+2)+B(y0) = 0 hay Ax+By+2A=0 ( A 2 B2 0 ). tạo với đường thẳng d một góc 45 0 cos 45 0 = 1 A 3B = 2 A2 B 2 . 10 2 5( A 2 B2 ) A 3B 17
A 2B 2A 2 3 AB 2B 2 0 1 A B 2 +) Với A=2B, chọn B=1, A=2, ta được pt đt 1 : 2x+y+4=0 1 +) Với A= B, chọn B=2, A=1, ta được pt đt 2 : x2y+2=0. 2 Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn bài toán là 1 : 2x+y+4=0 và 2 : x2y+2=0. b) Gọi u (a; b) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm ( a 2 b2 0 ). Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương v (3; 2). tạo với đường thẳng d một góc 60 0 cos 60 0 = 3a 2b 1 = 2 13. a 2 b2 2 13( a 2 b 2 ) 4 3a 2b 23a 2 48ab 3b 2 0 a = 24 507 hoặc a = 24 b 507 b 23 23 24 507 24 507 24 507 x 1 t +) Với a = b , chọn b=1, a = , ta được pt đt 1 : 23 23 23 y 2 t 24 507 24 507 24 507 +) Với a = b , chọn b =1, a = , ta được pt đt 1 : x 1 23 t 23 23 y 2 t Bài toán 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M 0 ( x0; y0 ) và tạo với hai đường thẳng 1, 2 cho trước một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của 1 và 2 . VD: Cho hai đường thẳng 1: x+2y1=0 , 2 : 3xy+5=0 và điểm M(1;3). Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và tạo với hai đường thẳng 1, một tam giác cân có đỉnh là giao điểm 2 của 1 và 2 . Hướng dẫn Cách 1: 18
Đường thẳng 1 có VTPT n1 (1; 2), đường thẳng 2 có VTPT n 2 (3;1). Đường thẳng qua điểm M nên có pt A(x1)+B(y+3) = 0 hay Ax+ByA+3B=0 ( A 2 B2 0 ). Đường thẳng tạo với hai đường thẳng 1, 2 một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của 1 và 2 nên có cos( = cos( ) A + 2B 3A B = 9 (*) 12 + 2 2 . A2 + B 2 A2 B 2 . 32 12 Từ pt (*) , tìm A theo B rồi chọn cặp số (A; B) và viết pt đt . Cách 2: Lập pt hai đường phân giác d1, d2 của góc tạo bởi 1 và 2. Viết pt hai đt 1 , đi qua điểm M và lần lượt vuông góc với hai đường phân giác d1, d2 2 Hai đt 1 , 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn kiều kiện nào đó về khoảng cách. VD1: Cho hai điểm M(1; 1) và N(3; 6). Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách N một khoảng bằng 2. LG: +) Đường thẳng qua điểm M(1; 1) nên có pt: A(x1)+B(y1) = 0 hay Ax+ByAB=0 ( A 2 B2 0 ). 3A 6B A B +) Đường thẳng cách B một khoảng bằng 2 d(N, ) = 2 =2 A2 B2 B(21B + 20A) = 0 B = 0 hoặc 21B + 20A = 0. Với B=0, chọn A=1, ta được pt đt 1 : x 1=0. Với 21B + 20A = 0, chọn B =20, A=21, ta được pt đt : 21x 20y 1=0. 2 VD2: Cho ba điểm A(1; 1) và B(2; 0), C(3; 4). Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và cách đều hai điểm B, C. 2 2 HD: Đường thẳng đi qua điểm A có phương trình: x y =0 ( 0 ). Từ giả thiết có: d(B; ) = d(C; ), ta tìm được 4 hoặc 3 2 0. Tìm được bài toán có 2 đt t/m là: 1 : 4x –y3=0 và : 2x 3y+1=0. 2 19
VD3: Cho đường thẳng có phương trình 8x6y5=0. Viết phương trình đường thẳng 1 song song với và cách một khoảng bằng 5. LG: Đường thẳng 1 song song với nên pt 8x6y5=0. 8x 6 y 5 Điểm M(x; y) 1 d(M; 1 ) = 5 5 8x6y5= 50. 64 36 Vậy có hai đương thẳng cần tìm là 1 : 8x –6y + 45 =0 và : 8x 6y 55=0. 2 Bài toán 6. Tìm pt đt d ' đối xứng của đt d qua điểm I cho trước. Phương pháp chung: Lấy một điểm cụ thể A thuộc d. Tìm điểm B đối xứng với A qua I thì B thuộc d ' . Viết pt đt d ' đi qua B và song song với d d A d' I B I.2. Dạng 2. Một số bài toán về tìm điểm Bài toán 1. Xác định hình chiếu H của điểm M trên đường thằng(d). Phương pháp chung Ta lựa chọn một trong ba cách sau: Cách 1: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Viết pt đt (Mx) thỏa mãn: qua M (Mx): (Mx) (d) 20