intTypePromotion=1
ADSENSE

SKKN: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

40
lượt xem
3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài thu được một số bài học kinh nghiệm: Luôn củng cố và khắc sâu các kiến thức có liên quan. Cần rèn luyện cho học sinh sau khi đọc đề bài phải biết phân tích bài toán để đưa về bài đơn giản hơn và tìm ra các cách giải khác nhau, từ đó nhằm phát huy tư duy, sáng tạo và khái quát hóa bài toán. Động viên các em nỗ lực tìm tòi những lời giải hay, tranh luận với bạn bè giúp nhau cùng tiến bộ. Rèn luyện cách trình bày bài giải một cách chặt chẽ, logic và cẩn thận. Khơi dậy cho các em yêu thích môn toán và say mê học toán hơn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: SKKN: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

  1.  PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ         Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ  yếu là hình thành và  phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến   thức vào thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương   pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết. Trong các đề  thi tốt nghiệp  trung học phổ  thông, đề  thi   tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng,   Trung học chuyên nghiệp những năm gần đây bao giờ  cũng có một câu hình  tọa độ  trong không gian, hoặc có những câu hình không gian mà khi dùng   phương pháp tọa độ  để  giải thì bài toán trở  nên đơn giản. Vì vậy khi dạy  chương phương pháp tọa độ  trong không gian, bản thân tôi luôn trăn trở  làm   thế nào để  khi học chương này học sinh không thấy khó, mà phải tự  tin làm  bài.Với suy nghĩ như  vậy khi dạy phần bài tập phương trình đường thẳng  trong không gian tôi đã chuẩn bị một chuyên đề  xem như  một đề  tài cải tiến  phương pháp dạy học để dạy cho các em:  “ Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình  đường thẳng trong không gian “. Và trong năm học 2014 ­ 2015 Bộ  giáo  dục lại gộp hai kỳ thi lại một nên việc rèn luyện và tổng hợp cho học sinh kỹ  năng giải các dạng toán là rất cần thiết vì vậy tôi mạnh dạn đưa   ra các bài  toán này nhằm giúp học sinh giải quyết các bài toán tốt hơn.                                         PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ      I. CƠ SỞ LÝ LUẬN    ­ Trong đề  tài cho phép tôi viết tắt: vtcp ( véc tơ  chỉ  phương ); vtpt (véc tơ  pháp tuyến). ­ Trước hết, yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ  bản về  đường  thẳng, phương trình của đường thẳng. Muốn viết phương trình đường thẳng  cần biết một điểm mà nó đi qua và 1 véc tơ chỉ phương. Viết phương trình của đường  thẳng Bước 1: Tìm 1 vtcp  u (a; b; c)  của đường thẳng. Bước 2:  Tìm điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng. Bước 3:  Viết phương trình đường thẳng dưới dạng:  x x0 at            Phương trình tham số :   y y 0 bt      (t R) x z 0 ct x x0 y y0 z z0            Phương trình chính tắc:        (abc 0) a b c  Chú ý 1
  2. 1)Nếu đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng  ( P) : Ax By Cz D 0  ( A2 B 2 C 2 0) và  ( P ) : A x B y C z D 0  (A 2 B2 C2 0) . Khi đó:    ­ Đường thẳng ( d) có 1 vtcp  u n1 , n 2  (Trong đó  n ; n lần lượt là vtpt của  1 2 (P) và (P’) )                     ­ Muốn tìm một điểm thuộc (d) thì ta cho x = x 0, giải hệ phương trình tìm y,  z. (Thường cho x  một giá trị nguyên và tìm y, z nguyên). uuur 2) Đường thẳng (d)  qua 2 điểm A, B thì (d) có 1 vtcp là  AB . 3) Đường thẳng (d)  vuông góc với mp(P) thì (d) có 1 vtcp là 1 vtpt của (P). 4) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng  ( )  thì (d)  và  ( ) có vtcp cùng  phương. 5) Hai đường thẳng vuông góc thì hai vtcp của chúng vuông góc với nhau. II.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ       Đứng trước những bài toán hình học tọa độ  không gian học sinh thường  lúng túng không xác định được đường lối, phương pháp giải. Các em cho rằng   nhiều dạng toán như  thế  thì làm sao nhớ  hết các dạng và cách giải các dạng  đó, nếu bài toán không thuộc dạng đã gặp thì không giải được.  Một số  học  sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề  chưa kỹ  đã kêu khó và không làm   nữa. Số tiết bài tập dành cho loại bài tập này ít, trong sách giáo khoa dạng bài tập này không có  nhiều, một số tài liệu cũng có nhưng không có tính chất hệ thống . Tuy nhiên  nó có thể có trong một số đề thi Đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi tỉnh. Với  thực trạng đó để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải các bài  tập nói chung và các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian   nói riêng giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen định hướng lời giải, khai   thác tính chất đặc trưng hình học của bài toán để tìm các cách giải nhằm phát  huy được tính tự  giác, tích cực của học sinh. Trong khuôn khổ  đề  tài này tôi   chỉ nêu được một số bài toán, một số cách giải và một số bài tập. III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm  và có một  véc tơ chỉ phương. Cách giải : Biết A(x1; y1;z1) là điểm cho trước, vtcp  u (a; b; c) của đường  thẳng hoặc là cho trực tiếp, hoặc là cho gián tiếp. ­ Nếu cho trực tiếp vtcp  u (a; b; c) của đường thẳng thì ta viết được 2
  3. x x0 at       Phương trình tham số :   y y0 bt      (t R) x z0 ct x x0 y y0 z z0       Phương trình chính tắc:    (abc 0) a b c ­   Nếu   cho   gián   tiếp   véc   tơ   chỉ   phương   của   đường   thẳng   thì   ta   tìm   vtcp  u (a; b; c) của đường thẳng dựa vào các giả thiết của bài toán.   Ví dụ1:  Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, Viết phương trình chính tắc đường  thẳng (d) đi qua điểm M(­2;1;0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y ­ 2z +   1= 0 .  Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (P) có 1 vtpt là  n(1;2; 2) . Do đó đường thẳng  (d) đi qua điểm M(­2;1;0) và nhận   n(1;2; 2)   làm 1 vtcp có phương trình  x 2 y 1 z chính tắc là :  1 2 2 Ví dụ2 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho B( 1;2;1) và C( 1;1;3).Viết   phương trình tham số của đường thẳng BC.  Hướng dẫn giải: Đường thẳng BC đi qua B(1;2;1) và nhận  BC (0; 1;2)  làm 1  x 1 vtcp. Vây BC có phương trình tham số là :  y 2 t z 1 2t  Ví dụ3: Trong không gian với hệ toạ  độ  Oxyz cho đường thẳng (d1) là giao  tuyến của hai mặt phẳng (P): x + y ­ z +2 = 0 và (P’): 2x – y +5z ­ 1 = 0.Viết   phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm M(1;2;­2) và song  song với đường thẳng (d1).  Hướng dẫn giải:  Cách 1: Véc tơ chỉ phương của (d)  là  u n1 , n2 (4; 7; 3) (Trong đó  n ;n lần  1 2 lượt   là   vtpt   của   (P)   và   (P’)).   Đường   thẳng   (d)   đi   qua   M(1;2;­2)   nhận   x 1 y 2 z 2 u (4 7 3)  làm 1 vtcp có phương trình là:  4 7 3  . Cách 2 : Gọi A(1;­4;­1), B(5;­11;­4) là hai điểm thuộc đường thẳng (d 1).Ta có  x 1 y 2 z 2 AB (4; 7; 3) là 1 vtcp của (d). Khi đó (d) có phương trình:  . 4 7 3 Lưu ý: Có nhiều cách để  chọn hai điểm thuộc (d1), thông thường chọn một  giá trị x nguyên để  tìm y nguyên và z nguyên, mục đích để  việc tính toán dễ  dàng hơn. Tuy nhiên trong nhiều bài toán tìm điểm có tọa độ  nguyên thuộc   3
  4. đường thẳng (d1) gặp khó khăn dẫn đến mất thời gian, dễ dẫn đến sai lầm.  Nên học sinh phải biết lựa chọn cách giải nào cho phù hợp. Bài tập: 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; ­2; ­2) và (P) : 2x – 2y  + z – 1= 0. Viết phương trình tham số  của đường thẳng đi qua điểm A và  vuông góc với (P). 2. Trong không gian với hệ toạ  độ  Oxyz, cho điểm B(1;3;4) và đường thẳng   x 1 2t (d 1 ) : y 3t . Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có)  z 2 3t của đường thẳng (d) đi qua điểm B và song song với đường thẳng (d1).  3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(3; 5; 7), B(1;2;3) và  C(­1;1;2). Viết phương trình tham số của đường thẳng : a, Đi qua hai điểm A và B. b, Đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa  tam giác ABC.   Bài toán 2: Viết phương trình đường góc chung (d) của hai đường thẳng  chéo nhau (d1) và (d2).  Cách giải :   Cách  1:  Viết    phương trình   (d1 ) , (d 2 ) dưới dạng tham số,  suy ra toạ   độ  M (d1 )  theo tham số t, toạ độ của  N (d 2 )  theo tham số t'. MN ..u1 0 r r    Giải hệ  tìm được t, t' ( u1;u2 lần lượt là vtcp của  (d1 ) và (d 2 ) ), suy  MN ..u2 0 ra toạ  độ  điểm M, N. Từ  đó viết được phương trình MN và cũng chính là   phương trình của (d). r     Cách 2: Đường thẳng  (d1 )  có 1 vtcp  u1  và đi qua A; Đường thẳng  (d 2 )  có  r 1 vtcp  u2 và đi qua B. Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1 ) và (d); Gọi (Q) là mặt  phẳng chứa  (d 2 ) và (d), suy ra (d) là giao tuyến của (P) và (Q). Từ  đó suy ra  được phương trình của đường thẳng (d).  Ví   dụ:   Trong  không   gian  với  hệ   toạ   độ   Oxyz,  cho   hai   đường  thẳng (d1 ) :  x 1 2t x y 1 z 2  và (d 2 ) :  y 1 t . Viết phương trình chính tắc đường vuông  2 1 1 z 3 góc chung (d) của  (d1 ) và (d 2 ) . Hướng dẫn giải:  4
  5. Cách 1: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp   u (2; 1;1) ; đường thẳng   (d 2 ) có 1 vtcp  1 u 2 (2;1;0) .   Gọi   M (2t1 ;1 t1 ; 2 t1 ) (d1 ); N ( 1 2t ;1 t ;3) (d 2 ) .   Suy   ra  MN ..u1 0 3t 6t1 3 0 MN (2t 1 2t1 ; t t1 ;5 t1 ) .Ta có   5t 3t1 2 0 t t1 1 . Khi đó  MN ..u2 0 M(2;0;­1);  MN ( 1;2;4) . Do đó phương trình chính tắc đường vuông góc chung  x 2 y z 1 (d) là phương trình của đường thẳng MN : 1 2 4  Cách 2: Đường thẳng  (d1 )  có 1 vtcp  u (2; 1;1)  và đi qua A(0;1;­2); Đường  1 thẳng  (d 2 )  có 1 vtcp  u (2;1;0)  và đi qua B(­1;1;3); gọi  u u1 , u2 ( 1;2;4) .  2 Đường vuông góc chung (d) của  (d1 )  và  (d 2 ) là giao tuyến của hai mặt phẳng  (P) và (Q) trong đó: (P) là mặt phẳng chứa  (d1 )  và (d) nên (P) đi qua A nhận  1 n1 u , u1 (2;3; 1) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x+3(y­1)­(z+2) = 0 hay  3 2x+3y­z­5=0.   (Q)   là   mặt   phẳng  chứa   (d 2 )   và  (d)   nên   (Q)   đi   qua   B   nhận  n2 u2 , u ( 4; 8;5)  làm 1 vtpt có phương trình là: 4x ­ 8y + 5z – 3 = 0.Vậy   2x 3y ­ z ­ 5   0 . tập hợp những điểm nằm trên (d) có tọa độ thỏa mãn hệ:  4x 8 y 5z 3 0 (I)  x 2 t x 2 y z 1 Đặt y = 2t thì hệ (I) trở thành  y 2t hay   .  1 2 4 z 1 4t x 2 y z 1 Vậy đường thẳng (d) có phương trình chính tắc là:  1 2 4 Bài tập: 1. Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho bốn điểm A(4;1;4); B(3;3;1);  C(1;5;5); D(1;1;1).Hãy viết phương trình tham số đường vuông góc chung của  hai đường thẳng AC và BD. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) và (d2) lần  x 1 3t x 2 y 3 z 4 lượt có phương trình là (d1) :  ; (d2):  y 4 2t .  2 3 5 z 4 t 5
  6. Viết phương trình chính tắc đường vuông góc chung của chúng.  3.Trong   không   gian   với   hệ   toạ   độ   Oxyz,   cho   đường   thẳng   (d1):  x 2 y 2 z và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng 3x –2y +z = 0; 1 5 2  x – 3z + 5 = 0. Viết phương trình tham số đường vuông góc chung của chúng. Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M vuông góc với  hai đường thẳng (d1) và (d2).  Cách giải :  Cách 1: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp  u1 , đường thẳng (d2 ) có 1 vtcp  u 2 . Chọn  u k u1 ,u 2   (k 0)  làm 1 vtcp của (d). Suy ra phương trình của (d). Cách 2: Đường thẳng (d) là giao tuyến cưa hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó  (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với (d1 ) ; (Q) là mặt phẳng đi qua M  và vuông góc với (d 2 )    V   ụ:   Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm M(2;­1;1) và hai     í d x 2 y 1 z 1 x 3 y 1 z đường thẳng (d1):   ; (d2):  . Viết phương trình  3 2 1 1 1 1 chính tắc đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc với hai đường thẳng (d 1) và  (d2).    Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d1 )có 1 vtcp  u (3;2;1) , (d2 ) có 1 vtcp  u (1; 1;1) . 1 2  Chọn   u u1 , u 2 (3; 2; 5)  làm 1 vtcp của (d). Đường thẳng (d) đi qua M có  x 2 y 1 z 1 phương trình là: 3 2 5 Giáo viên: Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.    Bài tập: Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, viết phương trình tham số  đường thẳng đi qua điểm N(3;2;4) vuông góc với hai đường thẳng có phương  x 1 y 1 z 2 x 4 y 2 z 4 trình lần lượt là   và   . 2 3 1 3 2 1 Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc với  đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2).  Cách giải : r Cách 1: Tìm véc tơ chỉ phương  u của (d1), biểu thị toạ độ giao điểm N của (d)  và (d2) qua t (đường thẳng (d2) viết về  dạng tham số), giải phương trình  MN .u 0  tìm được t. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và có vtcp  MN . 6
  7. Cách 2:  Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với đường   thẳng (d1). Tìm giao điểm N của (P) với (d2), chọn véc tơ  k MN   (k 0)  là 1vtcp  của (d). Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng (d). Cách 3:  Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với đường   thẳng (d1). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và chứa đường thẳng  (d2). Đường thẳng (d) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P)  và (Q).  Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) hai đường  x 2 y 2 z 3 thẳng (d) và (d') lần lượt có phương trình (d):  ; (d'): 2 1 1 x 1 y 1 z 1 . Viết phương trình chính tắc đường thẳng  ( ) đi qua điểm A  1 2 1 vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d'). Hướng dẫn giải : Cách 1: Đường thẳng (d) có 1 vtcp  u (2; 1;1) ; gọi  ( )  là mặt phẳng qua A và  1 vuông góc với (d) thì  ( )  nhận  u (2; 1;1) làm 1 vtpt có phương trình là:  1 2x – y + z – 3 = 0. Gọi B là giao điểm của (d') và  ( )  tọa độ điểm B là nghiệm  2x y z 3 0 x 2 của hệ:   x 1 y 1 z 1 y 1 Đường thẳng   ( )   đi qua điểm A nhận  1 2 1 z 2 x 1 y 2 z 3 AB(1; 3; 5)  làm 1 vtcp có phương trình chính tắc là: 1 3 5 Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.  Bài tập:    1.Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm A(0;1;1) và hai đường   x 1 y 2 z thẳng (d1):  ; (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y – z + 2   3 1 1 = 0;  x + 1 = 0. Viết phương trình tham số  của đường thẳng đi qua điểm A vuông   góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2).  2.Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm M(2;­1;1) và hai đường  x 3 t x 2 y 1 z 1 thẳng   (d1):   ;   (d2):   y 1 t .   Viết   phương   trình   chính   tắc  3 2 1 z t đường thẳng  đi qua M, vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng  (d2).  Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc và  cắt đường thẳng (d1). 7
  8.  Cách giải : r Cách 1 : Tìm véc tơ  chỉ  phương  u của (d1), biểu thị  toạ  độ  giao điểm N của  (d) và (d1) qua t.(đường thẳng (d1) viết về dạng tham số). Giải  MN .u 0  tìm  được t, viết phương trình (d) qua M và có 1 vtcp  MN .   Cách 2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với (d1).Tìm  giao điểm N của (P) với (d1) chọn  k MN   (k 0)  là 1 vtcp của (d) . Từ đó suy ra  phương trình của đường thẳng (d).   Cách 3 : Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong   đó  (P) qua M và vuông góc với đường thẳng (d1); (Q) qua M và chứa (d1).  Ví dụ  : Trong không gian với hệ toạ độ  Oxyz, cho điểm A(­4;­2;4) và đường   x 3 2t thẳng (d):  y 1 t . Viết phương trình chính tắc đường thẳng  ( )  đi qua  z 1 4t A, vuông góc và  cắt đường thẳng (d). Hướng dẫn giải:  Cách1:   Gọi   M ( 3 2t;1 t ; 1 4t ) (d )   là   giao   điểm   của   (d)   và   ( ) thì  AM (1 2t ;3 t ; 5 4t ) ; đường thẳng (d) có 1 vtcp  u (2; 1;4) .Vì  ( ) vuông góc  (d) nên  AM .u 0 21t 21 t 1 . Với t = 1 thì  AM (3;2; 1) do đó  ( ) đi qua A  x 4 y 2 z 4 nhận  AM (3;2; 1)  làm 1 vtcp có phương trình chính tắc là: 3 2 1 Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (d) thì (P) đi qua A nhận  u (2; 1;4) là 1 vtcp của (d) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x ­ y + 4z ­10 = 0.  Gọi M là giao điểm của (d) và (P), tìm được tọa độ của M(­1;0;3); (∆) đi qua  x 4 y 2 z 4 2 điểm A, M.Vậy phương trình (∆):  3 2 1 Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.  Bài tập:  1, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng  x 1 y 1 z (d) có phương trình:  . Viết phương trình chính tắc đường  2 1 1 thẳng ( ) đi qua điểm M cắt  và vuông góc với đường thẳng (d). 2, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;­1;0) và đường thẳng  (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 5x + y +z + 2 = 0; x – y + 2z + 1 = 0. Vi ết   phương trình tham số  đường thẳng đi qua điểm M cắt   và vuông góc với  đường thẳng (d). Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua M cắt hai đường  thẳng (d1) và (d2). 8
  9. Cách giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa (d 1); (Q) là mặt phẳng đi  qua M và chứa (d2). Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và   (Q). Ví dụ: Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm M(1;­1;1) và đường  x 1 y z 3 thẳng (d1)  ; (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y + z ­ 1 =   2 1 1 0; y + 2z ­ 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M   cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2).  Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng   (P) và (Q), trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa (d1), (Q) là mặt phẳng  đi   qua   M   và   chứa   (d2).   Đường   thẳng   (d1)   đi   qua   N(1;0;3)   và   có   1   vtcp  u (2;1; 1) . Ta chọn  n u ; MN (3; 4;2)  là 1 vtpt của (P). Suy ra (P) có phương   trình là :  3x ­ 4y + 2z ­ 9 = 0. Tương tự ta tìm được phương trình (Q) là : x + y + z ­ 1 =   0.   Tập   hợp   những   điểm   nằm   trên   (d)   có   tọa   độ   thỏa   mãn   hệ:  x 7 6t 3x 4 y 2 z 9 0    (I) Đặt y = t thì hệ  (I) trở  thành   y t Vậy đường  x y z 1 0 z 6 7t x 7 y z 6 thẳng (d) có phương trình chính tắc là: 6 1 7 Chú ý : Ta có thể lấy hai điểm bất kỳ thỏa mãn hệ  (I) và (d) chính là đường  thẳng đi qua hai điểm đó. Hoặc lấy một điểm bất kỳ  thỏa mãn hệ  (I) và 1  vtcp của (d) là tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P)   và (Q).   Bài tập: 1.  Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm A(3;­2;5) và hai đường  x 3 3t x 3 2t thẳng (d1); (d2) lần lượt có phương trình: (d1) y 1 4t ; (d2) y 1 t .  z 2 2t z 2 3t Viết phương trình tham số đường thẳng  ( ) đi qua A, cắt cả hai đường thẳng  (d1) và (d2).  x 2 2t  2..Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1):  y 5t z 2 t và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng : x + y + 2z = 0; x – y +z + 1 = 0. Vi ết   phương trình đường thẳng đi qua M(1;1;1;) đồng thời cắt cả (d1) và (d2).  Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M song song với   mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng (d'). 9
  10.  Cách giải :   Cách 1 : Viết phương trình đường thẳng (d') dưới dạng tham số , suy ra toạ  độ giao điểm I của (d) và (d') được biểu thị theo tham số t. Giải phương trình   IM .n P 0   ( do (d) // mp(P) ) tìm được t. Từ  đó suy ra phương trình đường   thẳng MI chính là phương trình đường thẳng (d) cần tìm.  Cách 2 : Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa (d'); Viết phương  trình mặt phẳng (R) qua M và song song với (P). Từ  đó đường thẳng (d) là   giao tuyến của (Q) và (R) .   ụ   :   Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm M(1; 2; 1), mặt   V í d phẳng (P): x ­ 2y + 3z ­1 = 0.Và đường thẳng (d') là giao tuyến của hai mặt   phẳng   ( ) : 4 x y z 6 0; ( ) : x y 3 0 .   Viết  phương  trình  tham   số  đường thẳng (d) đi qua M, cắt đường thẳng (d'), đồng thời song song với mặt   phẳng (P).  Hướng dẫn giải:   Cách 1: Mặt phẳng (P) có 1 vtpt là   n (1; 2;3) . Đường thẳng (d') là giao  tuyến của hai  mặt  phẳng   ( ) : 4 x y z 6 0; ( ) : x y 3 0   nên tập hợp  4x y z 6 0 những điểm nằm trên (d') có tọa độ là nghiệm của hệ   (I) .  x y 3 0 x t Đặt x = t thì hệ (I) trở thành  y 3 t z 3 3t x t Vậy đường thẳng (d') có phương trình tham số là: y 3 t z 3 3t gọi N(t;3­t;­3+3t) là giao điểm của (d) và (d')  MN (t 1;1 t ;3t 4) ,  5 vì   (d)   //   (P)   nên   MN . n 0 t .   Đường   thẳng   (d)   đi   qua   M   nhận  4 x 1 t 4 MN (1; 1; 1)  làm 1 vtcp có phương trình tham số là:  y 2 t z 1 t Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.  Bài tập :    Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm A(4;2;­3), đường  x 2 y z 2 thẳng (d):   và mặt phẳng (P): 2x + y ­ z +1 = 0. Viết phương   1 3 2 trình đường thẳng đi qua M, song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng  (d). 10
  11. Bài toán 8: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, nằm trên mặt  phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d'). Cách giải : Cách   1  :   Tìm   vtcp   u của   đường   thẳng   (d'),   vtpt   n của   mặt   phẳng   (P).   Vì  (d ) (d ) nên (d) có 1 vtcp  v u , n . Từ  đó suy ra (d) là đường thẳng qua M  (d ) ( p) và có 1 véc tơ chỉ phương  v .   Cách 2  :Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với đường   thẳng (d'). Từ đó suy ra (d) là giao tuyến của (P) và (Q). Ví   dụ:   Trong   không   gian   với   hệ   toạ   độ   Oxyz,   cho   đường   thẳng   ( ) :  x 1 y 2 z 3  và mặt phẳng (P): 2x + z ­5 = 0 .Gọi A là giao điểm của  ( )   1 2 2 và (P). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A nằm  trên (P), và (d) vuông góc với đường thẳng  ( ) .  Hướng dẫn giải: Vì  A ( ) A(1 t ;2 2t ;3 2t ) .Lại có  A (P)  nên  2(1+t)+3+2t­5=0, suy ra t = 0 vậy A(1;2;3). Đường thẳng  ( ) có 1 vtcp  u (1;2;2) (d ) ( ) ; (P) có 1 vtpt  n (2;0;1) ; Vì  nên (d) có 1 vtcp  v u, n ( 2;3; 4) . Vậy  (d ) ( p) (d) là đường thẳng qua A và có 1 vtcp  v (2;3; 4)  nên phương trình chính tắc  x 1 y 2 z 3 của đường thẳng (d) là :   2 3 4 Bài tập:  1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y + z ­1 =   x 1 y z 2 0 và đường thẳng (d'): .Viết phương trình đường thẳng (d)  2 1 3 nằm trên (P) đi qua giao điểm M của (P) và (d'), vuông góc với (d').  2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x +5y + z + 17   = 0 và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng  3x ­ y + 4z ­ 27 = 0 ;  6x +3y ­ z + 7 = 0. Xác định giao điểm M của (P) và (d), viết phương trình  đường thẳng (d) đi qua M vuông góc với (d) và nằm trong (P). Bài toán 9: Viết phương trình đường thẳng  ( )  đi qua M nằm trong mặt  phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) biết khoảng cách từ M đến  ( ) bằng k (k > 0 ).  Cách giải :  Đường thẳng (d) có 1 vtcp  u ; (P) có 1 vtpt  n .  Vì  ( ) nằm trên  (P), vuông góc với (d) nên   ( ) có vtcp   u1 u , n . Gọi N(a;b;c) là hình chiếu  11
  12. MN vuông   góc   của   M   trên   ( ) khi   đó   từ   hệ   MN k tìm   được   điểm   N.  Viêt  N (P ) phương trình đường thẳng  ( ) .  Ví dụ :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x +y +z + 2=  0  x 3y 2 z 1 và đường thẳng (d ) :  .Gọi M là giao điểm của (d) và (P),  2 1 1 viết phương trình đường thẳng  ( )  nằm trên (P), vuông góc với (d) đồng thời  thỏa mãn khoảng cách từ M tới  ( ) bằng  42 . x 3 y 2 z 1 x 1 Hướng dẫn giải :Tọa độ M là nghiệm của hệ: 2 1 1 y 3    x  y   z  2   0  z 0  vậy M(1;­3;0). Đường thẳng (d) có 1 vtcp  u (2;1; 1) ; (P) có 1 vtpt  n (1;1;1) . Vì ( ) nằm trên (P), vuông góc với (d) nên  ( ) có 1 vtcp  u1 u, n ( 2; 3;1) . Gọi  N(a;b;c) là hình chiếu vuông góc của M trên  ( ) khi đó  MN (a 1; b 3; c) ,  ( x 1) 2 ( y 3) 2 z 2 42 mặt khác  MN ( )  và  MN 42  nên  x  y   z  2   0  2 x 3 y z 11 0 x 5 y 2 z 5 Giải hệ tìm được 2 điểm N . Với N(5;­2;­5) ta có  ( ) : 2 3 1 x 3 y 4 z 5 Với N(­3;­4;5) ta có  ( ) : 2 3 1 Bài tập:  Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +y  x 2 z 1y 1 ­z+1= 0 và đường thẳng (d ) :  . Gọi M là giao điểm của (d)  1 3 1 và (P), viết phương trình tham số  đường thẳng  ( )  nằm trên (P), vuông góc  với (d) và cách M một khoảng bằng  3 2 .  Bài toán 10: Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P)   và cắt 2 đường thẳng (d1) và (d2).  Cách giải :Tìm giao điểm A của đường thẳng (d1) và (P); Tìm giao điểm B  của  đường thẳng  (d2)  và  (P). Phương  trình  của  đường thẳng (d)  chính  là  phương trình của đường thẳng AB. 12
  13. Ví dụ : Trong không gian Oxyz, cho (P): x ­ 2y + z ­ 2 = 0 và hai đường thẳng   x 1 2t x 1 3 y z 2 ( d1 ) : ; ( d 2 ) : y 2 t .Viết phương trình tham số  của đường  1 1 2 z 1 t thẳng  ( ) nằm trong (P) cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2).   Hướng dẫn giải:  Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với (P) thì: Tọa độ điểm A  x 1 3 y z 2 x 10 là nghiệm của hệ: 1 1 2 y 14  vậy A(10;14;20); tọa độ  điểm  x ­ 2y   z ­ 2   0  z 20 x 1 2t x 9 y 2 t B là nghiệm của hệ: y 6   vậy B(9;6;5). Đường thẳng  ( ) z 1 t z 5 x ­ 2y   z ­ 2   0  x 9 t đi qua B nhận BA(1;8;15)  làm 1 vtcp có phương trình  là :  y 6 8t z 5 15t Bài tập: 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x­3y+11z ­26 =   x y 3 z 1 x 4 y z 3 0 và hai đường thẳng:  (d1 ) : ; (d 2 ) : . Viết phương  1 2 3 1 1 2 trình đường thẳng  ( )  nằm trên (P) đồng thời cắt cả  2 đường thẳng (d1) và  (d2).  2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x+3y ­13z+39=  x 2 x 1 y 5 z 1 0   và   hai   đường   thẳng:   (d1 ) : ; (d 2 ) : y 3 t .   Viết   phương  1 2 1 z 5 2t trình đường thẳng  ( )  nằm trên (P) đồng thời cắt cả  2 đường thẳng (d1) và  (d2).  Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng (d)  là hình chiếu vuông góc   của (d') trên mặt phẳng (P). Cách giải :   Cách 1 : Chọn hai điểm A, B là hai điểm phân biệt thuộc (d') . Tìm toạ  độ  hình chiếu H, K lần lượt của A, B trên mặt phẳng (P). Từ đó suy ra phương   trình đường thẳng HK chính là phương trình của (d) .    Cách 2 : Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong   đó (Q) là mặt phẳng chứa (d') và vuông góc với (P).  13
  14. *Đặc biệt:  + Nếu (d') cắt (P): Tìm giao điểm A của (d') và (P). Lấy B ∈(d')  tìm hình chiếu vuông góc B’ của B trên (P).Suy ra đường thẳng AB’ chính là  (d). + Nếu (d') // (P) : Lấy B ∈(d') tìm hình chiếu vuông góc B’ của B trên (P). Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua B’ và song song với (d'). x 4t  Ví dụ :  Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d): y 4 3t và mặt phẳng  z 1 2t (P): x ­ y + 3z + 8 = 0. Viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d')  của (d) lên mặt phẳng (P). Hướng dẫn giải :  Cách 1: Đường thẳng (d) đi qua điểm A(0;4;­1) và có 1 vtcp  u (4;3; 2) . Mặt  phẳng (P) có 1 vtpt là  n (1; 1;3) . Hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng  (P) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong đó (Q) là mặt phẳng  chứa (d) và vuông góc với (P). (Q) đi qua A nhận  n1 u, n 7(1; 2; 1)  làm 1  vtpt có phương trình: x ­ 2y ­ z + 7 = 0.Vậy tập hợp những điểm nằm trên (d')   x ­ y 3z 8   0 . có tọa độ  thỏa mãn hệ:      (I) Đặt z = t thì hệ  (I) trở  thành  x 2y z 7 0 x 9 7t y 1 4t z t x 9 y 1 z x 9 y 1 z hay  .Vậy (d') có phương trình là:  7 4 1 7 4 1 Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.  Bài tập: 1. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + y + z + 1 = 0 và đường  x 3 thẳng (d): y t .  z 5 t Viết phương trình tham số hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P). 2. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x ­ y + z + 10 = 0, đường thẳng  (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x ­ y + z + 1 = 0 và x + 2y ­ z ­3 = 0 .  Viết phương trình tham số hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P). Bài toán 12:  Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng với (d') qua  (P). 14
  15.  Cách giải :  + Nếu (d') và (P) cắt nhau: Tìm giao điểm A của (d') và (P), lấy điểm B trên  (d') tìm B’ đối xứng với B qua (P) thì đường thẳng AB’ chính là (d). + Nếu (d') // (P): Lấy điểm B trên (d') tìm B’ đối xứng với B qua (P) thì (d) là  đường thẳng đi qua B’ và song song với (d’)  Chú ý: Có thể lấy 2 điểm A, B bất kỳ phân biệt trên (d') tìm A’, B’ lần lượt  đối xứng với A, B qua (P) thì đường thẳng A’B’ chính là (d). x 2 y 3 z 1 Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  (d1 ) :  và  1 1 1 (P): x + 3y ­ z + 2 = 0.Viết phương trình tham số  đường thẳng (d) đối xứng   với đường thẳng (d1) qua mp (P).  Hướng dẫn giải: Gọi A là giao điểm của (d1) và (P) tìm được A(­4 ;3;7) lấy  x 2 z 1 y 3 B(2;­3;1) ∈(d1), Gọi (d 2 ) :  là đường thẳng qua B và vuông  1 1 3 28 15 5 góc với (P), gọi H là giao điểm của (d2) và (P) suy ra  H ( ; ; ) ; B’ là  11 11 11 34 3 1 điểm đối xứng của B qua (P) thì H là trung điểm của BB’ B ( ; ; ) .  11 11 11 Đường thẳng (d) chính là đường thẳng AB’ có phương trình là:  x 4 y 3 z 7 39 15 39 Bài tập: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z ­ 17 = 0. Viết  phương trình tham số đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (d1) qua  mặt phẳng (P) biết:      x 2 y 3 z 5                a, Đường thẳng  (d1 ) :    2 3 5 x 2 y 3 z 5                b, Đường thẳng  (d1 ) : 1 2 3 Bài toán 13: Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu song song  của   (d1) lên   mặt phẳng (P) theo phương chiếu (d 2). (hai đường thẳng  (d1) và (d2) phân biệt và không song song).       Cách giải  : Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d1) và  song song (hoặc chứa) (d2). Đường thẳng (d) là giao tuyến của (P) và (Q).  Ví   dụ:   Trong   không   gian   với   hệ   toạ   độ   Oxyz,   cho   hai   đường   thẳng   x y 1 z x 1 y z 2 (d 1 ) : ;   (d 2 ) : . Viết phương trình chính tắc của hình  1 2 1 2 2 1 chiếu song song của (d1) lên  mặt phẳng (P) : x ­ 2y ­2z ­ 1 = 0 theo phương   chiếu (d2). 15
  16.   Hướng  dẫn  giải:   Đường  thẳng  (d1)   có  1  vtcp   u (1;2;1)   và  đi  qua   điểm  M(0;1;0), đường thẳng (d2)  có 1 vtcp  v (2;2;1) suy ra  n u, v (0;1; 2) . Gọi  (Q) là mặt phẳng chứa (d1) và song song (d2) thì (Q) đi qua điểm M và nhận  véc tơ  n  làm 1 vtpt. Do đó (Q) có phương trình là : y ­ 2z ­ 1 = 0. Đường thẳng  (d) là giao tuyến của (P) và (Q) nên giải tìm được (d) có phương trình chính  x 3 y 1 z tắc là:  6 2 1 Bài tập:   1.Trong   không   gian   với   hệ   toạ   độ   Oxyz,   cho   hai   đường   thẳng  x 1 y z 1 x y 7 z 5 (d 1 ) : ;   (d 2 ) : .   Viết   phương   trình   tham   số   của  2 3 1 1 2 3 hình chiếu song song của (d1) lên   mặt phẳng (P): 3x + y ­2z ­ 4 = 0 theo   phương chiếu (d2).  2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng  x t x 5 y 2 z 6 (d1 ) : y 11 2t ;  (d 2 ) : . Viết phương trình tham số của  2 1 3 z 16 t hình chiếu song song của (d1) lên  mặt phẳng (P): 3x ­ 2y ­2z ­ 1 = 0 theo  phương chiếu (d2).  Bài   toán   14:  Viết   phương   trình   đường   thẳng   (d)   song   song   (d')   hoặc  vuông góc với mặt phẳng (P) đồng thời cắt hai đường thẳng (d1) và (d2).  Cách giải : Cách 1: Gọi A,B lần lượt là giao điểm của (d) với (d1) và (d2) suy ra  AB , mặt  phẳng (P) có 1 vtpt   n (hoặc (d') có 1 vtcp   n ), do  (d ) ( P)  (hoặc (d)//(d') )  nên  AB  và  n cùng phương hay  AB = k n   (k 0)  giải tìm được tọa độ A (hoặc  B). Khi đó đường thẳng (d ) đi qua A có 1 vtcp  n .    Cách 2; ­ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d1)và song  song với đường thẳng (d'). ­ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d2) và song song với  đường thẳng (d').Từ đó suy ra phương trình (d) là giao tuyến của (P) và (Q).    Ví dụ: Trong không gian với hệ  toạ độ  Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) và  x y 1 z 1 x y z (d2) có phương trình lần lượt là  ; . Viết phương trình  1 2 1 1 2 2 16
  17. tham số đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): 3x ­ y + z ­1 = 0 đồng   thời cắt hai đường thẳng (d1) và (d2).  Hướng dẫn giải :Gọi  A(t ;1 2t;1 t ); B(t1 ;2t1 ;2t1 ) lần lượt là giao điểm của (d)  với (d1) và (d2) suy ra   AB (t1 t ;2t1 2t 1;2t1 t 1) , (P) có 1 vtpt   n (3; 1;1) .  t1 t 2t1 2t 1 2t1 t 1 Do  (d ) ( P) nên  AB  và  n cùng phương hay    giải  3 1 1 7 3t x 13 7 7 14 14 14 tìm được  t1  khi đó  B( ; ; ) . Vậy (d )có phương trình là  y t 13 13 13 13 13 14 z t 13  Bài tập: 1.Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, Viết phương trình tham số  đường  x y 1 z 5 thẳng (d) song song với đường thẳng   ( ) :   và cắt hai đường  3 1 1 x 1 y 2 z 2 x 4 y 7 z thẳng  (d1 ) : ; (d 2 ) : 1 4 3 5 9 1 2.Trong không gian với hệ toạ  độ  Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có  x t x 1 2t phương trình lần lượt là   (d1 ) : y 4 t ;   (d 2 ) : y 3 t . Viết phương trình  z 3 t z 4 5t chính tắc của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxz và cắt hai đường  thẳng (d1) và (d2).   Bài toán 15: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A song song với  mặt phẳng ( ) (hoặc nằm trên   ( ) ; hoặc vuông góc với   ( ) ) sao cho  khoảng cách từ B đến đường thẳng (d) nhỏ nhất.  Cách giải : Cách 1:Viết phương trình của (P) đi qua A và song song  ( ) .Gọi K là hình  chiếu vuông góc của B trên (P), Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên (d).  Ta có  BK KH nên  BH BK  khoảng cách BH nhỏ nhất  B bằng BK khi H trùng K hay đường thẳng (d) đi qua A và K. (d) Cách 2: ­ Tìm 1 vtpt  n của (P), tính  n n., AB K 1 P A H ­ Tìm 1 vtcp của (d):  u n, n1 , đường thẳng (d) đi qua  A có 1 vtcp  u . 17
  18. Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng (d)  nằm trên  ( ) thì không cần viết  (P).    : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x ­ y + z ­1=    V í dụ 0 và hai điểm A(1;1;0); B(2;­1;1). Trong các đường thẳng đi qua A và song  song với (P), viết phương trình tham số đường thẳng (d) sao cho khoảng cách  từ B đến (d) nhỏ nhất. Hướng dẫn giải : Đường thẳng (d) song song với (P) nên (d) thuộc (Q) đi qua  A và song song (P) có phương trình là: x – y + z   = 0. Gọi K là hình chiếu  vuông góc của B trên (Q), đường thẳng BK đi qua B nhận  n (1; 1;1)  là 1 vtpt  x 2 t của (Q) làm 1 vtcp có phương trình:  y 1 t . Tọa độ  K là nghiệm của hệ  z 1 t x 2 t x 2/3 y 1 t y 1 / 3   Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên (d) ta có  z 1 t 1 x y z 0 z 3 BH BK  dấu bằng xảy ra khi H trùng K hay đường thẳng (d) đi qua A và K.  1 Đường thẳng (d) đi qua A nhận  AK 1;2;1 làm 1 vtcp có phương trình tham  3 x 1 t số là:  y 1 2t z t Bài tập: 1, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y ­ 2z ­3 = 0   và hai điểm A(1;­1;­1); B(2;1;0). Viết phương trình tham số  đường thẳng (d)  đi qua A  nằm trên (P), sao cho khoảng cách từ B đến (d) nhỏ nhất. 2, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(7;­8;5) và  B(1;2;­3).  x y 1 z Trong các đường thẳng (d) đi qua B và cắt đường thẳng  ( ) :  viết  2 1 3 phương trình đường thẳng (d) sao cho  khoảng cách từ A đến (d) là nhỏ nhất. Bài toán 16: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A vuông góc với   đường thẳng  ( ) ( hoặc song song với mặt phẳng ( ) hoặc nằm trên  ( ) )   sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng (d) lớn nhất. Cách giải : Cách 1:  ­ Viết phương trình của mp(P) đi qua A và vuông góc với ( ). ­ Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên (P), Gọi H là hình      B 18 (d) K P A H
  19. chiếu vuông góc của B trên (d).                                               ( ) ­ Ta thấy  BH BA  khoảng cách BH lớn nhất bằng AB khi  H trùng A hay đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc (ABK).    Cách 2: Đường thẳng (d) đi qua A vuông góc với AB và ( )  V í dụ    :  x 1 y 2 z Trong không gian với hệ toạ độ  Oxyz, cho đường thẳng  (d ) :   2 1 1 và hai điểm A(1;1;0); B(2;1;1). Viết phương trình chính tắc đường thẳng ( )  đi qua A vuông góc với (d) sao cho khoảng cách từ B đến ( ) lớn nhất. Hướng dẫn giải : Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (d) suy ra (P)   nhận 1 vtcp của (d) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x + y + z – 3 = 0. Gọi H là   hình chiếu của B trên (P), đường thẳng BH đi qua B vuông góc (P) có phương  x 2 2t trình: y 1 t H là giao điểm của BH và (P) nên tọa độ điểm H là nghiệm  z 1 t x 2 2t y 1 t 1 1 của hệ: H (1; ; ) . Gọi K là hình chiếu của H trên ( ) suy ra z 1 t 2 2 2x y z 3 0 BK ( ) , d ( B; ) BK  mà  BK AB  (không đổi) nên BK lớn nhất bằng AB   khi K trùng A. Do đó ( ) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (ABH)  nên ( ) có 1 vtcp  u AB, v ( 1;1;1) ; (trong đó  v 2 HA (0;1; 1)  ). Khi đó ( x 1 y 1 z ) có phương trình chính tắc là  : 1 1 1 Bài tập: 1,Trong không gian với hệ toạ độ  Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1) và  B(2;0;1).   Viết phương trình đường thẳng (d)  đi qua A vuông góc với đường thẳng   x t y 1 t  và cách điểm B một khoảng lớn nhất. z 1 2t x 1 y 2 z 2, Trong không gian với hệ Oxyz, cho (d1):   và hai điểm  2 1 1 A(1; 1; 0); B(2; 1; 1). Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đi qua A và  vuông góc với (d1) sao cho khoảng cách từ  điểm B đến đường thẳng (d) lớn  nhất. 19
  20. Bài toán 17: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P)  và  tạo với đường thẳng  ( ) góc bé nhất, lớn nhất (đường thẳng   ( ) không  song song hay nằm trên (P)). Cách giải: Vẽ đường thẳng qua A song song với  ( ) . Trên đường thẳng này  lấy điểm B khác A cố  định. Hình chiếu vuông góc của B trên (d) và (P) theo   BH BK thứ tự là H và K.Ta có: (d,  ) = BAH; sin(d,  ) =  B AB AB Vậy (d,  ) nhỏ nhất khi và chỉ khi  H K, K d  hay (d) chính là đường thẳng AK. A P H Ta thấy 1 vtcp của (d) là  v n , u  ( trong đó  u n ,u1 ;  n  là vtpt của (P) và  u1 là vtcp của  ( ) ). Còn đường thẳng (d) tạo với  ( )  góc  lớn nhất bằng 900 và có 1 véc tơ chỉ phương là  v n ,u1 . Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + y + z ­1=  x y 1 z 0; điểm A(1;1;­1) và đường thẳng ( ) : . Viết phương trình chính  1 2 1 tắc đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) sao cho góc giữa đường thẳng (d)   và   ( ) là nhỏ nhất. Hướng dẫn giải: Gọi (d1) là đường thẳng qua A song song với  ( ) ta có (d1): x 1 y 1 z 1 , lấy điểm B(2;3;0) trên (d1). Gọi hình chiếu vuông góc của B  1 2 1 trên (d) và (P) theo thứ tự  là H và K thì góc giữa đường thẳng (d) và  ( ) nhỏ  2 5 4 nhất khi  H K , hay (d) chính là đường thẳng AK, giải tìm được  K ( ; ; )  3 3 3 x 1 y 1 z 1 và phương trình (d) là:   . 1 2 1 Bài tập: 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + z + 1 =   x y 1 z 0, điểm A(1;­2;­1) và đường thẳng  ( ) : . Viết phương trình tham  3 2 1 số  đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) sao cho góc giữa đường thẳng (d)  và   ( ) là nhỏ nhất. 2.Trong không gian với hệ  toạ  độ  Oxyz, cho điểm A(1;1;2) và đường thẳng  x 1 y 2 z ( ): . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A vuông góc  2 1 2 với   ( )  đồng thời (d) tạo với trục Oz một góc   sao cho   a,  45 0 ;                                                     b,   nhỏ nhất. 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2