SKKN: Phát triển bài Toán thành các bài Toán mới nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh khá, giỏi trong chương trình Toán 10

Chia sẻ: Đỗ Văn Mười | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

144
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển bài Toán thành các bài Toán mới nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh khá, giỏi trong chương trình Toán 10 được viết với các nội dung: Lí do chọn đề tài, cơ sở lý luận và thực tiễn, tổ chức thực hiện các giải pháp, hiệu quả của đề tài, đề xuất khuyến nghị và khả năng áp dụng, tài liệu tham khảo. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Phát triển bài Toán thành các bài Toán mới nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh khá, giỏi trong chương trình Toán 10

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: “PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN THÀNH CÁC BÀI TOÁN MỚI NHẰM PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY CỦA HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 10” 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn toán Làm tài liệu cho giáo viên và học sinh trung học phổ thông. 3. Tác giả: Họ và tên: BÙI THỊ MẬN Nam (nữ) : Nữ. Sinh ngày 10 tháng 06 năm 1984. Trình độ chuyên môn: Cử nhân sư phạm Toán. Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Nam Sách II. Điện thoại: 0965705684. 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường THPT Nam Sách II. Địa chỉ : Xã An Lâm huyện Nam Sách tỉnh Hải Dương. 5. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THPT Nam Sách II . Địa chỉ : Xã An Lâm huyện Nam Sách tỉnh Hải Dương. 6. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: + Máy chiếu, phòng học, máy tính bỏ túi, tài liệu tham khảo... + Học sinh khối trung học phổ thông. 7. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Áp dụng từ năm học 20152016 TÁC GIẢ XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG (Ký, ghi rõ họ tên) SÁNG KIẾN 1
Bùi Thị Mận TÓM TẮT SÁNG KIẾN 1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến. Theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay ở trường trung học phổ thông là tích cực hóa các hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh. Vì thế qua công tác giảng dạy nhiều năm môn toán ở các khối lớp nói chung và khối lớp 10 nói riêng, tôi nhận thấy việc phát huy tính tự giác tích cực học tập của học sinh là việc làm hết sức cần thiết, nó đòi hỏi người giáo viên phải có sự sáng tạo trong giảng dạy. Vì vậy để học tốt môn toán, không những phải yêu cầu học sinh nắm vững và biết vận dụng các bài toán cơ bản mà còn phải biết cách phát triển nó thành bài toán mới có tầm suy luận cao hơn, nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh. Cách dạy và học như vậy mới đi đúng hướng đổi mới phương pháp dạy học như hiện nay. Có như vậy mới tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh. Khơi dạy khả năng tự lập, chủ động, sáng tạo của học sinh. Nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề. Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tế, tác động đến tình cảm, đem lại niềm say mê hứng thú học tập cho học sinh. Vậy để có kĩ năng giải bài tập toán phải qua quá trình luyện tập. Tuy rằng, không phải cứ giải nhiều là có kĩ năng. Việc luyện tập sẽ có hiệu quả, nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập này sang các bài tập tương tự 2
nhằm vận dụng tính chất nào đó và rèn luyện phương pháp làm một dạng bài tập nào đó. Nếu giáo viên biết hướng cho học sinh cách học chủ động thì học sinh không những không còn ngại học môn toán mà còn hứng thú với việc học môn toán. Học sinh không còn cảm thấy học môn toán là gánh nặng, mà sẽ là ham mê học toán, có được như thế là thành công của người dạy toán. ́ ừ những lý do trên va tinh hinh th Xuât phat t ́ ̀ ̀ ̀ ực tê cua nha tr ́ ̉ ̀ ương, v ̀ ơí ̣ ̣ ́ ơn đê co đ mong muôn giup hoc sinh hoc tôt h ́ ́ ̉ ́ ược nên tang v ̀ ̉ ưng chăc cho ̃ ́ ̃ ̣ ̣ ̀ ̀ “Phát triển bài toán thành các bài nhưng năm hoc sau nên tôi chon đê tai: toán mới nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh khá, giỏi trong chương trình toán 10”. 2. Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến. + Điều kiện áp dụng sáng kiến. Sáng kiến được áp dụng để giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông, nhất là học sinh lớp 10, lớp bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh ôn thi Đại học, Cao Đẳng. + Thời gian áp dụng sáng kiến : Năm học 20152016 và 20162017. + Đối tượng áp dụng sáng kiến: Đối tượng mà đề tài hướng tới nghiên cứu và áp dụng thực nghiệm là học sinh lớp 10. 3. Nội dung sáng kiến. Trong đề tài, tôi đã chọn một số bài toán rất cơ bản trong chương trình toán lớp 10 và từ bài toán này theo hướng thay đổi giả thiết của bài toán để tạo ra một số bài toán mới nhưng vẫn liên quan với bài toán ban đầu về phương pháp giải. Đề tài này tôi nghiên cứu đến kiến thức về bất đẳng thức, công thức lượng giác (Đại số 10) và kiến thức về véctơ, tích vô hướng của hai véctơ và ứng dụng, các hệ thức lượng trong tam giác (Hình học 10). Đề tài của tôi có hai nội dung chính : 3
+ Phần Đại số : Phần này tôi giới thiệu một bài toán gốc về chứng minh bất đẳng thức đại số. Từ bài toán này tôi hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển thành các bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số và chứng minh bất đẳng thức lượng giác. + Phần Hình học: Tôi giới thiệu hai bài toán gốc là hai bài toán về đẳng thức véctơ mà học sinh thường gặp. Tôi hướng dẫn học sinh chứng minh hai bài toán gốc đó. Từ bài toán này tôi thay đổi (thêm , bớt…) một số dữ liệu của bài toán từ đó yêu cầu học sinh phát biểu và chứng minh thành bài toán mới. Tuy nội dung tôi đề cập rất rộng và các bài tập dạng này cũng khá phong phú song trong khuôn khổ thời gian có hạn nên tôi chỉ nêu ra một số bài toán điển hình và sắp xếp theo một trình tự từ đơn giản đến phức tạp. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, không áp đặt hoặc rập khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó. Bên cạnh đó lại đòi hỏi học sinh phát huy tính tự lực, khả năng tư duy, sáng tạo, để nhận biết từng dạng bài để tìm ra hướng giải và từ đó phát triển thành các bài toán mới. Đề tài này tôi bắt đầu nghiên cứu từ năm học 20142015 và bắt đầu áp dụng vào giảng dạy năm học 20152016. Trong quá trình nghiên cứu của mình, tôi luôn tìm tòi cũng như luôn tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhằm hoàn thiện hơn nữa nội dung của đề tài. Tôi thấy, đề tài có thể làm tài liệu tham khảo giảng dạy cho các thầy cô dạy môn Toán tại trường trung học phổ thông. Đề tài là tài liệu tham khảo bổ ích cho các em thi học sinh khá, giỏi, khối 10 và các em học sinh thi THPT Quốc gia. Khi đề tài này được áp dụng và triển khai vào thực tiễn, tôi thấy rằng nó có tác dụng rất lớn đến tư duy và cách nhìn của các em về môn toán đã khác trước rất nhiều. 4
4. Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến. Đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng của môn toán trung học phổ thông. Kích thích tính tò mò, khả năng ham thích học tập bộ môn, dần hình thành khả năng tư duy sáng tạo tự giác học tốt môn toán của học sinh. Đề tài giúp các em hiểu một cách sâu sắc hơn các bài toán trong chương trình toán lớp 10 cũng như việc nghiên cứu các bài toán theo các chiều hướng khác nhau. Từ đó hoàn thiện hơn cho học sinh tư duy sáng tạo, khả năng trình bày bài toán và quan trọng nhất là hướng cho các em nhìn nhận bài toán theo nhiều chiều hướng. Hình thành óc thẩm mỹ, linh hoạt, nhạy bén, tích cực tư duy trong học tập cũng như mọi hoạt động khác. Dần hình thành trong các em tình cảm đối với con người, với khoa học, với đất nước, đi đến tích cực sáng tạo trong học tập và trong đời sống. Qua đề tài này, bản thân tôi thấy với cách chủ động tự nêu vấn đề và giải quyết vấn đề có sự giúp đỡ của giáo viên giúp học sinh có hứng thú trong khi học và giúp học sinh có thói quen suy nghĩ khi giải quyết bài toán ở nhiều góc độ khác nhau thông qua một bài toán đơn giản bằng tư duy khái quát hóa để làm được bài toán khó hơn, tổng quát hơn. Từ đó giúp các em học sinh hình thành tư duy của mình biết tự phát triển tư duy khi học môn toán nói chung, môn hình học nói riêng. Vấn đề này giúp học sinh giải quyết một bài toán chắc hơn, sáng tạo hơn. Từ việc khai thác và phát triển bài toán sẽ có nhiều bài toán hay được hình thành, góp phần làm cho kho tàng toán học ngày càng phong phú. 5. Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng, mở rộng sáng kiến. Sáng kiến kinh nghiệm của tôi được áp dụng vào giảng dạy cho đối tượng học sinh khá giỏi khối lớp 10, các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi, lớp ôn 5
thi đại học. Để áp dụng sáng kiến, đòi hỏi người giáo viên cần tăng cường đầu tư dạy học bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc phát triển một bài toán thành các bài toán mới. Đối với các cấp quản lý, nên động viên, khuyến khích giáo viên tích cực viết và áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy; với các sáng kiến tiêu biểu nên tổ chức nhân rộng, phổ biến cho giáo viên học tập và áp dụng vào quá trình giảng dạy. MÔ TẢ SÁNG KIẾN 1 HOÀN CẢNH NẢY SINH SÁNG KIẾN. Môn toán là một môn khoa học tự nhiên. Nó đóng vai trò rất quan trọng trong thực tiễn cuộc sống, liên quan mật thiết với các môn học khác, làm nền tảng cho các bộ môn khoa học tự nhiên khác. Vì vậy việc giảng dạy môn Toán ở các trường Trung học phổ thông nói chung và môn Toán lớp 10 nói riêng là một vấn đề hết sức quan trọng. Vì thế, để đáp ứng được nhu cầu giảng dạy theo chuẩn kiến thức, kỹ năng và phân hóa theo năng lực học sinh thì giáo viên phải có sự đầu tư nhiều hơn để đưa ra phương pháp dạy học mới cho phù hợp. Trong thực tế, việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là theo hướng phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh. Bên cạnh việc đổi mới trong phương pháp dạy thì việc đổi mới phương pháp học của học sinh cũng rất quan trọng. Nó góp phần làm cho học sinh tăng khả năng tư duy, tìm tòi và sáng tạo, quá trình lĩnh hội kiến thức đạt hiệu quả hơn. 6
Dạy học không đơn thuần chỉ là truyền đạt kiến thức cho học sinh mà còn đòi hỏi là phải xây dựng cho các em một phương pháp, một “con đường đi” tự tìm đến “cái đích” của khoa học. Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải toán như thế nào?” Pôlia cho rằng: Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta. Vì vậy trong quá trình tìm tòi lời giải các bài toán, việc tìm hiểu xuất xứ của chúng sẽ giúp chúng ta tìm ra chìa khóa để giải chúng. Đặc biệt, nếu phát hiện bài toán có nguồn gốc từ một bài toán trong sách giáo khoa thì tình huống càng trở nên thú vị. Trong quá trình giảng dạy môn toán ở trường Trung học phổ thông tôi thấy, trong các kì thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi có những bài toán tưởng chừng như rất khó nhưng khi tìm hiểu lời giải thì nó lại là một bài toán được mở rộng hoặc vận dụng từ một bài toán trong sách giáo khoa. Do vậy để giúp các em học sinh hiểu một cách sâu sắc hơn các bài toán trong chương trình toán trung học phổ thông nhất là toán lớp 10 cũng như việc nghiên cứu các bài toán theo các chiều khác nhau, từ đó hoàn thiện hơn tư duy sáng tạo, khả năng trình bày bài toán và quan trọng nhất là hướng cho các em nhìn nhận bài toán theo nhiều chiều hướng, tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Phát triển bài toán thành các bài toán mới nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh khá, giỏi trong chương trình toán 10”. 2. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ. Việc đổi mới phương pháp dạy học chỉ từ cách dạy thụ động, cách dạy phát huy tính tích cực, độc lập, chủ động, sáng tạo của học sinh mà ta định hướng “Dạy học tập trung vào học sinh”. Người giáo viên đóng vai trò chủ chốt, tổ chức, dẫn dắt các hoạt động, tổ chức sao cho học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực độc lập sáng 7
tạo năng lực giải quyết vấn đề, rèn luyện kĩ năng vận dụng vào thực tiễn, tác động tình cảm, mang lại niềm tin, hứng thú học tập cho học sinh. Để phát triển “Tư duy sáng tạo cho học sinh” thông qua việc dạy bài luyện tập trong phần luyện tập đề tài của tôi được chia làm hai phần. Phần 1 là phần Đại số dùng ôn tập về bất đẳng thức, các hệ thức lượng trong tam giác và công thức lượng giác. Phần 2 là phần Hình học dùng ôn tập về véctơ và các phép toán về véctơ. Quán triệt quan điểm dạy học theo hướng “Phát huy tính tích cực tự giác, thói quen nghiên cứu khoa học của học sinh” thì việc hướng dẫn học sinh có thói quen khai thác, nhìn nhận một vấn đề trên nhiều khía cạnh khác nhau sẽ có tác dụng tốt trong việc phát triển tư duy logic, độc lập sáng tạo cho học sinh. Rèn luyện cho học sinh một số phương pháp giải toán đại số, hình học như: Phương pháp phân tích tổng hợp. Phương pháp so sánh. Phương pháp tổng quát hóa.... Khi giải một bài toán, ngoài yêu cầu đọc kỹ đầu bài, phân tích giả thiết bài toán, học sinh còn cần phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như: nhận dạng bài toán, nội dung kiến thức nào liên quan đến bài toán đặt ra, tìm mối liên hệ giữa bài toán đã cho với bài toán cơ bản đã biết cách giải, trình bày bài toán như thế nào cho chính xác và lôgic...có như thế mới có thể giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn. Trong các kì thi, học sinh thường gặp các bài tập khó hơn nhiều so với các bài tập trong sách giáo khoa. Thực tế, phần lớn các bài toán đều thuộc một dạng toán nào đó mà các em đã biết cách giải, các bài toán đó được tạo ra từ một bài toán ban đầu mà ta gọi là bài toán mới. Bài toán mới có thể là bài toán hoàn toàn mới, cũng có thể là sự mở rộng, đào sâu những bài toán đã biết. Thực tế khó có thể tạo ra một bài toán hoàn toàn không có quan hệ gì về nội dung hoặc về phương pháp với những 8
bài toán đã biết vì vậy để tạo ra một bài toán từ bài toán ban đầu thường có các con đường sau: 1. Lập bài toán tương tự. 2. Lập bài toán đảo. 3. Thêm một số yếu tố rồi đặc biệt hóa. 4. Bớt một số yếu tố rồi khái quát hóa. 5. Thay đổi một số yếu tố. 3.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ. 3.1. Thực trạng phần chung. Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy bài tập sách giáo khoa là hệ thống bài tập cơ bản, nhằm củng cố kiến thức cho học sinh sau mỗi giờ học lí thuyết. Bài tập sách giáo khoa cũng chứa đựng nội dung kiến thức quan trọng, qua đó có thể mở rộng, xây dựng được hệ thống các bài toán mới. Như vậy chúng ta có thể xem phần lí thuyết và bài tập sách giáo khoa là kiến thức cơ sở để vận dụng và giải quyết vấn đề trong quá trình học Toán. Tuy nhiên khi dạy học theo hướng này còn tồn tại một số thực trạng sau: Đối với học sinh: + Tình trạng phổ biến của học sinh hiện nay là nắm kiến thức rất “mơ màng”. Rất nhiều học sinh còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy sáng tạo: Nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, thường yếu trong việc chuyển đổi ngôn ngữ để quy lạ về quen, không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi, học sinh chưa có tính độc đáo khi tìm lời 9
giải bài toán. Do đó việc kiến tạo nên hệ thống tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế. + Đa số học sinh thường có thói quen giải xong một bài toán xem như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, ít có em học sinh nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài toán khác. Vì vậy khi đứng trước một bài toán mới, bài toán chưa có thuật giải hay những bài toán nâng cao học sinh thường có tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình, lúng túng chưa biết cách chọn lọc các kiến thức và liên kết những kiến thức cũ để giải quyết vấn đề mới có liên quan. Do đó ảnh hưởng lớn đến việc phát hiện và giải quyết vấn đề, hạn chế đến việc phát triển tư duy của học sinh. Đối với giáo viên: Do thời gian học tập của học sinh ở trên lớp còn hạn chế so với khối lượng tri thức cần truyền đạt. Kế hoạch dạy học phải theo phân phối chương trình nên nếu dạy học môn Toán lớp 10 theo hướng phát hiện và vận dụng các bài toán gốc liên quan thì mất khá nhiều thời gian dẫn đến việc không thể hoàn thành bài giảng. Do đó: + Hầu hết giáo viên về phương pháp dạy học còn nặng về thuyết trình, chưa phát huy hết được năng lực chủ động, tích cực và sáng tạo của học sinh. Nhiều giáo viên chỉ tập trung hướng dẫn và yêu cầu học sinh làm các bài tập được giao trong sách giáo khoa mà chưa quan tâm nhiều đến việc phát hiện nguồn gốc của bài toán hay việc phát triển, mở rộng và tổng quát bài toán. + Thường sau mỗi tiết lý thuyết là đến tiết bài tập, giáo viên chỉ tập trung chữa bài tập một cách thuần túy, chưa tìm cách xây dựng chuỗi bài tập nhằm củng cố, khắc sâu lý thuyết đã học. Nhiều giáo viên chưa thực sự quan tâm để giúp học sinh làm nổi bật lên được mối quan hệ giữa các bài tập này với bài tập khác, giữa những kiến thức đang học với những kiến thức trước 10
đó. Khi dạy xong một chương giáo viên thường không hệ thống các dấu hiệu để nhận biết một đối tượng toán học nằm rải rác trong chương. + Khi học sinh đã giải được một bài toán thì giáo viên cũng thường bằng lòng với lời giải đó mà chưa khuyến khích các em tìm ra các bài toán tương tự, bài toán tổng quát hoặt đặt biệt hóa bài toán để tìm ra các bài toán mới. Đối với sách giáo khoa hiện nay: Lượng kiến thức đưa ra có phần dàn trải, các khái niệm, định lí chủ yếu là giới thiệu để ứng dụng, không chứng minh. Dẫn đến việc coi nhẹ vấn đề hình thành khái niệm, định lí. Vì vậy còn tình trạng một số giáo viên ít dành thời gian rèn luyện tư duy, tạo hứng thú kích thích tự tìm tòi nghiên cứu mà chủ yếu để học sinh thừa nhận khái niệm, định lí, đưa ra quy tắc và yêu cầu vận dụng giải bài tập, điều này ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập của học sinh. Do vậy, việc rèn luyện và phát triển năng lực tư duy cho học sinh nói chung và năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học theo con đường phát hiện và vận dụng là một yêu cầu cần thiết. 3.2. Thực trạng cụ thể. 3.2.1. Ưu điểm. Trong quá trình dạy môn toán lớp 10 và đặc biệt khi áp dụng đề tài này, tôi nhận thấy đã giúp học sinh cảm thấy thích thú, say mê hơn khi học môn toán. Hơn thế nữa học sinh có thể phát huy được khả năng tư duy, sáng tạo của mình khi giải các dạng toán. 3.2.2 Hạn chế. Qua tìm hiểu, khảo sát tôi thấy học sinh vẫn còn một số hạn chế như sau: 11
Học sinh còn lười học bài và làm bài tập nên dẫn đến hổng kiến thức, vì vậy việc vận dụng vào làm bài tập gặp rất nhiều khó khăn. Nên việc suy nghĩ để giải các bài toán theo nhiều cách khác nhau mới không sử dụng được hết các dữ kiện của bài toán. Chưa biết vận dụng hoặc vận dụng rất chậm các phương pháp suy luận trong giải toán, hoặc áp dụng phương pháp giải một cách thụ động. Chưa tích cực tự giác suy nghĩ tìm cách giải khác nhau cho một bài toán hay mở rộng lời giải tìm được cho các bài toán khác, mặt khác học sinh còn có tình trạng trông chờ, ỷ lại vào giáo viên. Do đó ảnh hưởng rất nhiều đến việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trong giải toán. 3.2.3 Nguyên nhân Từ thực trạng của đa số học sinh lớp 10 như trên dẫn đến kết quả đa số các em ngại học môn toán, cảm thấy học môn toán khô khan, khó hiểu, hầu hết các em không có hứng thú học toán. Do đó đã ảnh hưởng rất nhiều đến việc học tập của các em. Từ đó dẫn đến việc lên lớp của giáo viên gặp không ít khó khăn. Vì vậy để có được tiết học có hiệu quả cao, cả giáo viên và học sinh cần phải có sự chuẩn bị chu đáo và sự kết hợp hài hòa, đồng bộ. Phải có sự thay đổi về cách tổ chức giờ học so với trước đây. Tôi đã trăn trở rất nhiều và tìm cách tháo gỡ những khó khăn mà cả cô và trò đang gặp phải. Trước khi tôi chưa áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy, thực tế điều tra ở học sinh lớp 10 năm học 20142015 tôi nhận thấy như sau: Lớp Sĩ số Số học sinh tự học Số học sinh tự học (chưa phát (có tư duy) huy được tính tư duy) 10B 40 11 HS (27.5 %) 29HS (72.5 %) 4. CÁC GIẢI PHÁP BIỆN PHÁP THỰC HIỆN. 4.1. ĐIỀU TRA CƠ BẢN. 12
Trong nhiều năm trực tiếp giảng dạy và qua công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, qua tìm hiểu hứng thú học toán của học sinh tôi thấy chỉ có 15% học sinh thực sự thứng thú học toán (có tư duy sáng tạo), 35% học sinh gọi là có thích học toán một chút (chưa có tính độc lập, tư duy sáng tạo) và 50% còn lại nửa thích nửa không. Qua gần gũi tìm hiểu thì các em cho biết, cũng rất muốn học, xong nhiều khi không có thời gian để học do phải giúp gia đình và hơn nữa là các em chưa có điều kiện để mua các loại tài liệu tham khảo vì thế các em chưa biết cách tư duy trong cách giải một bài toán nào đó, bởi vì do điều kiện khách quan của địa phương và của trường, học sinh chỉ được bồi dưỡng ở trường một thời gian ngắn nhất định. Do vậy học sinh chưa có hứng thú học toán. 4.2. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN. Xuất phát từ điều mong muốn là học sinh được rèn luyện khả năng tư duy, sáng tạo, tìm được nhiều cách giải. Muốn vậy bản thân người giáo viên phải là người tìm ra nhiều cách giải nhất. Vì thế từ kết quả điều tra của năm học 20142015 nên trong quá trình giảng dạy ngay từ đầu năm học 20152016 tôi suy nghĩ, nghiên cứu để làm sao học sinh không còn cảm thấy chán học môn toán, vì thế ngoài các buổi ôn theo lịch của trường, tôi đã chủ động dành thời gian ôn thêm cho các em để bổ sung những kiến thức mà các em còn quên . Ngoài ra, tôi thường xuyên áp dụng trong các giờ luyện tập, bồi dưỡng tôi nhận thấy nội dung mà tôi nghiên cứu bước đầu đã định hướng cho học sinh về mặt tư duy và hình thành cho học sinh có thói quen luôn tự đặt câu hỏi cho mình và tìm cách giải quyết mỗi vấn đề khi giải toán. Từ đó hình thành cho học sinh thói quen nghiên cứu kỹ bài trước khi làm. Do thời gian không có nhiều sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán bắt đầu từ bài toán cơ bản, tôi thay đổi giả thiết của bài toán để được bài toán mới vẫn giữ nguyên bản chất của bài toán cũ nhưng phải có mức độ tư duy 13
cao hơn, phải có tư duy tổng quát hóa mới giải quyết được vấn đề, tôi thấy vận dụng vào quá trình ôn tập cho học sinh lớp 10 rất phù hợp. Đề tài của tôi được chia làm 2 phần. Phần đại số là các bài toán về bất đẳng thức. Phần hình học là các bài toán áp dụng về đẳng thức véctơ Thông qua các bài tập tôi sẽ đưa đến cho học sinh các cách tiếp cận khác nhau đối với các bài toán có cùng một dạng nhằm phát huy tư duy logic cho học sinh. 4.2.1. PHẦN ĐẠI SỐ 4.2.1.1 Bài toán gốc. Bài toán 1: Cho x, y, z là ba số thực dương.Chứng minh rằng: ( x + y)( y + z )( z + x) 8 xyz (1) (Bài 8Sách Bài tập Đại số 10, NXB Giáo Dục) Bài toán trên có thể được đưa ra để yêu cầu học sinh giải trong tiết bài tập ngay sau khi được học các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong chương trình Đại số lớp 10. Có nhiều cách để chứng minh cho bài toán này, có thể giải bài toán bằng vận dụng bất đẳng thức CauChy (Bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân). Số lượng các em làm được chiếm 70% . Tôi gọi một học sinh lên bảng trình bày lời giải như sau: Giải : Theo bất đẳng thức CauChy ta có : x + y 2 xy > 0 y + z 2 yz > 0 . z + x 2 zx > 0 Suy ra: ( x + y)( y + z )( z + x) 8 xyz (Điều phải chứng minh). 14
Sau khi học sinh đã giải được bài toán, để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh, tôi đặt vấn đề với học sinh như sau : Nếu ta đặt x = a + b c; y = b + c – a; z = c + a – b với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì bài toán trên sẽ trở thành bài toán nào? Học sinh tư duy để trả lời câu hỏi của giáo viên và kết quả mong muốn là tìm được bài toán mới: Bài toán 2 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: abc (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) (2) Lúc này trong 42 học sinh lớp 10A tôi dạy chỉ có 12 em giơ tay xung phong lên bảng làm bài, vì vậy tôi phải gợi ý như sau : Gợi ý: Xuất phát từ cách đặt: x = a + b c; y = b + c – a; z = c + a – b. Hãy tính x+y ; y+z ; x+z ; x.y.z ? Học sinh của tôi bắt đầu hiểu ra, tôi gọi học sinh trả lời : x + y = 2b ; x + z = 2a ; y + z = 2c ; x.y.z = (a + b – c).( b + c – a).( c + a – b). Tôi gợi ý tiếp: Khi a,b,c là 3 cạnh của tam giác thì xét dấu của x,y,z? Học sinh trả lời x >0, y >0, z >0 Hãy thay các kết quả vừa tính được vào bất đẳng thức (1) của Bài toán 1 ta suy ra được điều gì ? Cả lớp lại vui mừng bắt tay làm bài tập vào vở. Sau khi học sinh hoàn thiện bài toán 2 thì tôi tiếp tục đặt vấn đề: Ta thử “đi tìm” cách chứng minh Bài toán 2 khi a, b, c là ba số dương và không là ba cạnh của một tam giác. Tôi yêu cầu học sinh chứng minh bất đẳng thức (2)với dữ liệu được thay đổi như trên. Lúc này chỉ có 2 học sinh thực hiện được. Do đó tôi đã đưa ra một số gợi ý như sau: Giả sử a, b, c không là ba cạnh của một tam giác khi đó xảy ra ba khả năng: a b + c; b c + a; c a + b . Xét trường hợp: a b + c hãy đánh giá a + b − c ? b + c − a ? c + a − b ? 15
Học sinh trả lời : a + b − c b + c + b − c = 2b > 0 ; b + c − a b + c − b − c = 0 ; c + a − b c + b + c − b = 2c > 0 Tôi hỏi học sinh tiếp : dấu của ( b + c − a ) ( c + a − b ) ( a + b − c ) ? Học sinh trả lời ( b + c − a ) ( c + a − b ) ( a + b − c ) 0 Tôi đưa ra nhận xét : abc > 0 (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) . Đến lúc này các em đã hiểu và cả lớp lại hào hứng thực hiện với các trường hợp còn lại. Và từ đó học sinh đưa ra được bài toán : Bài toán 3: Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: abc (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) (3) Đối với học sinh khá giỏi nếu dừng lại ở đây sẽ không phát huy hết được sự sáng tạo, không tạo được thử thách đòi hỏi họ phải thực sự nỗ lực tư duy. Do vậy tôi phải giúp học sinh mở rộng theo hướng nâng cao bài toán bằng cách sử dụng bất đẳng thức (1), bất đẳng thức (2), bất đẳng thức (3) để “tạo ra” chuỗi bài toán: 4.2.1.2 Vận dụng và khai thác bất đẳng thức(1). Tôi đặt vấn đề : Áp dụng bất đẳng thức (1) cho 3 số dương: sinA, sinB, sinC với A, B, C là ba góc của một tam giác ta sẽ thu được điều gì? Học sinh trả lời : (s inA + sinB)(s inB + sinC )(s inC + sinA) 8sin A sin BsinC Tôi tiếp tục dẫn dắt học sinh phát triển bài toán. a+b a−b Căn cứ vào công thức : sina + sinb = 2sin .cos tính SinA+ SinB ; 2 2 SinB+ SinC ; SinC+ SinA ? Áp dụng công thức nhân đôi: sin2a=2sina.cosa hãy tính SinA, SinB,SinC ? 16
Học sinh thực hiện biến đổi theo yêu cầu của tôi một cách dễ dàng. Tôi yêu cầu 1 học sinh lên bảng thực hiện biến đổi đồng thời 2 vế của bất đẳng thức (s inA + sinB)(s inB + sinC )(s inC + sinA) 8sin A sin BsinC Giải : (s inA + sinB)(s inB + sinC )(s inC + sinA) 8sin A sin BsinC C A− B A B −C B C−A 8cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A A B B C C 64sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 A− B B −C C−A A B C ۳ cos cos cos 8sin sin sin 2 2 2 2 2 2 Từ kết quả trên ta thu được bài toán sau: Bài toán 4: Cho ∆ ABC. Chứng minh rằng: A− B B −C C−A A B C cos cos cos 8sin sin sin . 2 2 2 2 2 2 Rõ ràng nếu giáo viên không rèn luyện cho học sinh tư duy liên hệ giữa bài toán này với bài toán khác thì rất khó để học sinh dễ dàng nhận ngay ra được mối liên hệ rất “mật thiết” giữa các bài toán nêu trên. Việc liên tưởng tới ba số dương sinA, sinB, sinC như là một trường hợp đặc biệt của ba số dương bất kỳ a, b, c có thể được xem như một sự sáng tạo. Tích cực khuyến khích để học sinh luôn mạnh dạn tìm cách sáng tạo như vậy trong suốt quá trình dạy học sẽ giúp học sinh hình thành thói quen tư duy sau khi giải xong mỗi bài toán. Đến đây tôi không cần đặt vấn đề gợi mở như trên, học sinh vẫn có thể tư duy để tiếp tục vận dụng bất đẳng thức (1) nếu cho ba số dương: tan A , tan B ,tan C với A, B, C là ba góc của một tam giác ta có: 2 2 2 17
A B B C C A A B C (tan + tan )(tan + tan )(tan + tan ) 8tan tan tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C A B A B C cos cos cos sin sin sin A B C 1 ۳� 2 2 2 8 2 2 2 sin sin sin A B B C C A A B C 2 2 2 8 cos cos cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta thu được bài toán quen thuộc sau: A B C 1 Bài toán 5 : Cho ∆ ABC. Chứng minh rằng: sin sin sin . 2 2 2 8 Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (1) cho ba số dương: sin2 A, sin2B, sin2C với A, B, C là ba góc của tam giác nhọn ABC ta có: (sin 2 A + sin 2 B)(sin 2 B + sin 2C )(sin C + sin 2 A) 8sin 2 Asin 2 B sin 2C cos( A − B)cos( B − C )cos(C − A) ۳ 8 cos A.cos B.cos C Ta thu được bài toán sau: Bài toán 6: Cho ∆ ABC nhọn. Chứng minh rằng: cos( A − B)cos( B − C )cos(C − A) 8 cosA.c osB.cos C 4.2.1.3 Vận dụng và khai thác bất đẳng thức (2). (2) ۳ abc 8( p − a)( p − b)( p − c) 8S 2 ۳ abc p abc . 8 pr ۳ abc 4R p ۳ R 2r Đối với bất đẳng thức (2), tôi đặt vấn đề để học sinh khai thác và phát triển thành bài toán: 18
Bài toán 7: Cho ∆ ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp lần lượt là R, r . Chứng minh rằng: R 2r . Tiếp tục “khai thác” ta có: Bất đẳng thức (2) � abc(a + b + c) �(a + b + c)(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) � abc(a + b + c) �16 p( p − a)( p − b)( p − c) � abc(a + b + c) �16S 2 � (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab) �16S 2 (*) Ta áp dụng bất đẳng thức quen thuộc ( x + y + z ) 2 3( xy + yz + zx) cho ba số dương ab, bc, ca ta được bất đẳng thức : ( ab + bc + ca ) 2 3 � �. (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab) � � Kết hợp với (*) ta có : 2 48S 2 ( ab + bc + ca ) �� ab + bc + ca �4 3S . Từ đó ta thu được bài toán: Bài toán 8: Cho ∆ ABC có diện tích S . Chứng minh rằng: ab + bc + ca 4 3S . 4.2.1.4 Vận dụng và khai thác bất đẳng thức(3). + Biến đổi (3) ta có: a + b + c + 3abc a ( b + c ) + b ( a + c ) + c ( a + b ) . 3 3 3 2 2 2 Như vậy ta có bài toán sau : Bài toán 9: Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: a + b + c + 3abc a ( b + c ) + b ( a + c ) + c ( a + b ) . 3 3 3 2 2 2 19
+ Biến đổi vế phải : a 2 ( b + c ) + b 2 ( a + c ) + c 2 ( a + b ) = ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( a + c ) ta được : a + b + c + 3abc 3 3 3 ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( a + c ) . Bài toán 10: Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: a + b + c + 3abc 3 3 3 ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( a + c ) . + Cộng 3abc vào hai vế của bất đẳng thức ở bài toán 9, ta lại có: a 3 + b3 + c 3 + 6abc ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) . Bài toán 11: Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: a + b + c + 6abc 3 3 3 ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) . 3 3 2 2 2 ( + Áp dụng: a + b + c − 3abc = ( a + b + c ) a + b + c − ab − bc − ca . 3 ) vào vế trái của bất đẳng thức ở bài toán 11, ta thu được: ( a + b + c ) ( a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca ) + 9abc ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) . hay ( a + b + c ) + 9abc 4 ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) . 3 Bài toán 12: Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: ( a + b + c ) + 9abc 4 ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) . 3 + Nếu thêm a+b+c > 0 thì từ bất đẳng thức ở Bài toán 12, ta có: 9abc ( a + b + c ) + 4 ( ab + bc + ca ) . 2 a+b+c 9abc hoặc khai triển thành: a + b + c + 2 2 2 2 ( ab + bc + ca ) . a+b+c Bài toán 13: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 20