zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Số phức và các dạng toán về số phức

Chia sẻ: Vd D | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Báo xấu

178
lượt xem 37
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'số phức và các dạng toán về số phức', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Số phức và các dạng toán về số phức

www.MATHVN.com M TS D NG TOÁN V S PH C Biên so n: NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088 I) D NG IS C AS PH C D ng 1) Bài toán liên quan n bi n i s ph c Ví d 1) Tìm s nguyên x, y sao cho s ph c z=x+yi tho mãn z 3 = 18 + 26i Gi i:  x3 − 3 xy 2 = 18  ⇔ 18 ( 3x 2 y − y 3 ) = 26 ( x3 − 3xy 2 ) z 3 = 18 + 26i ⇔ ( x + yi ) = 18 + 26i ⇔  2 3 3 x y − y = 26 3  1 Gi i phương trình b ng cách t y=tx ta ư c t = ⇒ x = 3, y = 1 . V y z=3+i 3 Ví d 2) Cho hai s ph c z1; z2 tho mãn z1 = z2 ; z1 + z2 = 3 Tính z1 − z2 Gi i: a12 + b12 = a2 + b22 = 1 2  t z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i . T gi thi t ta có  ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) = 3 2 2  ⇒ 2 ( a1b1 + a2b2 ) = 1 ⇒ ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) = 1 ⇒ z1 − z2 = 1 2 2 D ng 2) Bài toán liên quan n nghi m ph c Ví d 1) Gi i phương trình sau: z − 8(1 − i ) z + 63 − 16i = 0 2 Gi i: Ta có ∆ ' = 16(1 − i ) 2 − (63 − 16i ) = −63 − 16i = (1 − 8i ) T 2 ó tìm ra 2 nghi m là z1 = 5 − 12i, z2 = 3 + 4i Ví d 2) Gi i phương trình sau: 2(1 + i ) z 2 − 4(2 − i ) z − 5 − 3i = 0 Gi i: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. V y phương trình cho hai nghi m là: 2(2 − i ) + 4 4 − i (4 − i )(1 − i ) 3 5 = = =−i z1 = 2(1 + i ) 1+ i 2 22 2(2 − i ) − 4 − i (−i )(1 − i ) 11 = = =− − i z2 = 2(1 + i) 1+ i 2 22 Ví d 3) Gi i phương trình z − 9 z + 14 z − 5 = 0 3 2 Gi i: Ta có phương trình tương ương v i ( 2 z − 1) ( z 2 − 4 z + 5 ) = 0 . T ó ta suy ra 1 phương trình có 3 nghi m là z1 = ; z2 = 2 − i; z3 = 2 + i 2 Ví d 4) Gi i phương trình: 2 z − 5 z 2 + 3 z + 3 + (2 z + 1)i = 0 bi t phương trình có 3 nghi m th c 2 z 3 − 5 z 2 + 3z + 3 = 0 −1 ⇒z= Gi i: Vì phương trình có nghi m th c nên  tho mãn c 2 z + 1 = 0 2 hai phương trình c a h :Phương trình ã cho tương ương v i ( 2 z + 1) ( z 2 − 3z + 3 + i ) = 0 . Gi i phương trình ta tìm ư c z = − ; z = 2 − i; z = 1 + i 1 2 www.MATHVN.com 1
www.MATHVN.com Ví d 5) Gi i phương trình: z 3 + (1 − 2i ) z 2 + (1 − i) z − 2i = 0 bi t phương trình có nghi m thu n o: Gi i: Gi s nghi m thu n o c a phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có ( bi ) + (1 − 2i) ( bi ) + (1 − i)(bi) − 2i = 0 ⇔ (b − b2 ) + (−b3 + 2b 2 + b − 2)i = 0 3 2 b − b 2 = 0  ⇔ 3 ⇒ b = 1 ⇒ z = i là nghi m, t ó ta có phương trình tương  −b + 2b + b − 2 = 0 2  ương v i ( z − i ) ( z 2 + (1 − i ) z + 2 ) = 0 . Gi i pt này ta s tìm ư c các nghi m Ví d 6) Tìm nghi m c a phương trình sau: z 2 = z . Gi i: Gi s phương trình có nghi m: z=a+bi thay vào ta có ( a + bi ) = a + bi 2 a 2 − b 2 = a 1 3 ⇔ Gi i h trên ta tìm ư c (a, b) = (0; 0), (1; 0),(− ; ± ) . V y phương 2ab = −b 2 2 1 3 trình có 4 nghi m là z = 0; z = 1; z = − ± i 22 D ng 3) Các bài toán liên quan n modun c a s ph c: Ví d 1) Tìm các s ph c z tho mãn ng th i các i u ki n sau: z + 1 − 2i = z − 2 + i và z − i = 5 Gi i:  x + 1 + ( y − 2)i = x − 2 + (1 − y )i  Gi s z=x+yi (x,y là s th c) .T gi thi t ta có   x + ( y − 1)i |= 5  ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = ( x − 2) 2 + (1 − y ) 2  y = 3x  ⇔ 2 ⇔ ⇔ x = 1, y = 3 ho c  x + ( y − 1) = 5 10 x − 6 x − 4 = 0 2  2  2 6 x = − , y = − . V y có 2 s ph c tho mãn i u ki n. 5 5 i−m Ví d 2) Xét s ph c z tho mãn z = ;m∈ R 1 − m(m − 2i ) 1 z. z = a) Tìm m 2 1 z −i ≤ b)Tìm m 4 c) Tìm s ph c z có modun l n nh t. Gi i: a) Ta có ( i − m ) (1 − m2 − 2mi ) i−m − m(1 − m2 ) + 2m + (1 − m 2 + 2m 2 ) z= = = 1 − m 2 + 2mi (1 − m 2 + 2mi )(1 − m 2 − 2mi ) (1 − m2 ) + 4m2 2 www.MATHVN.com 2
www.MATHVN.com m(1 + m 2 ) + i (1 + m 2 ) m 1 m 1 = = + i⇒ z = − i (1 + m ) 1+ m 1+ m 1 + m 1 + m2 22 2 2 2 m2 + 1 1 1 ⇒ z. z = ⇔ = ⇔ m 2 + 1 = 2 ⇔ m = ±1 ( m2 + 1) 2 2 2 m2 1  1 1 1 m m b) Ta có z − i ≤ ⇔ + − 1 i ≤ ⇔ − i≤ ⇔ 1+ m  1+ m 1+ m 1+ m 2 2 2 2  4 4 4 m2 m4 m2 1 1 1 1 ⇔ + ≤⇔ ≤ ⇔ 16m 2 ≤ 1 + m2 ⇔ − ≤m≤ (1 + m ) (1 + m ) 16 1+ m 22 22 2 6 15 15 m2 + 1 1 c) Ta có z = = ≤ 1 ⇒| z |max = 1 ⇔ m = 0 (m + 1) 2 m2 + 1 2 Ví d 3) Trong các s ph c z tho mãn i u ki n z − 2 − 4i = 5 Tìm s ph c z có modun l n nh t, nh nh t. Gi i: Xét s ph c z = x+yi . T gi thi t suy ra ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = 5 Suy ra t p h p 2 2 i m M(x;y) bi u di n s ph c z là ư ng tròn tâm I(2;4) bán kính R = 5 D dàng có ư c M (2 + 5 sin α ; 4 + 5 cos α ) . Modun s ph c z chính là dài véc tơ OM. Ta có |z|2= OM 2 = (2 + 5 sin α ) 2 + (4 + 5 cos α ) 2 = 25 + 4 5(sin α + 2 cos α ) Theo BDT Bunhiacopxki ta có (sin α + 2 cos α ) 2 ≤ (1 + 4) ( sin 2 α + cos 2 α ) = 5 ⇒ − 5 ≤ sin α + 2 cos α ≤ 5 ⇒ 5 ≤ z ≤ 3 5 . V y −1 −2 | z |min = 5 ⇒ sin α + 2 cos α = − 5 ⇔ sin α = ; cos α = ⇔ x = 1, y = 2 ⇒ z = 1 + 2i 5 5 1 2 | z |max = 3 5 ⇔ sin α + 2 cos α = 5 ⇔ sin α = ; cos α = ⇔ x = 3, y = 6 ⇒ z = 3 + 6i 5 5 Ví d 4) Trong các s ph c tho mãn i u ki n z − 2 − 4i = z − 2i .Tìm s ph c z có moodun nh nh t. Gi i: Xét s ph c z = x+yi . T gi thi t suy ra ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = x 2 + ( y − 2 ) ⇔ x + y − 4 = 0 Suy ra t p h p i m M(x;y) bi u di n 2 2 2 s ph c z là ư ng th ng y=-x+4 Ta có z = x 2 + y 2 = x 2 + (4 − x) 2 = 2 x 2 − 8 x + 16 = 2( x − 2) 2 + 8 ≥ 2 2 . T ó suy z min = 2 2 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2 ⇒ z = 2 + 2i D ng 4) Tìm t p h p i m bi u di n s ph c Ví d 1) Tìm t p h p các i m M trong m t ph ng ph c bi u di n s ph c z bi t: z b) z = z − 3 + 4i c) z − i + z + i = 4 =3 a) z −i www.MATHVN.com 3
www.MATHVN.com Gi i: G i z=x+yi 9 9 a) T gi thi t ta có z = 3 z − i ⇔ x 2 + y 2 = 9( x 2 + ( y − 1) 2 ) ⇔ x 2 + ( y − ) 2 = 8 64 9 3 V y t p h p i m M là ư ng tròn tâm I (0; ), R = 8 8 b) T gi thi t ta có x + y = ( x − 3) + (4 − y ) ⇔ 6 x + 8 y = 25 . V y t p h p các i m 2 2 2 2 M là ư ng th ng 6x+8y-25=0 c) Gi s z =x+yi thì z − i + z + i = 4 ⇔ x 2 + ( y − 1) + x 2 + ( y + 1) = 4 ⇔ 2 2  x 2 + ( y + 1) 2 ≤ 4  x 2 + ( y + 1)2 ≤ 16   ⇔ ⇔   2 x 2 + ( y − 1) = y + 4  x 2 + ( y − 1)2 = 16 − 8 x 2 + ( y + 1) 2 + x 2 + ( y + 1)2 2    x + ( y + 1) ≤ 16(1) 2 2  x 2 + ( y + 1)2 ≤ 16    x2 y2 2 ⇔  4 x + 4 y + 8 y + 4 = y + 8 y + 16 ⇔  + = 1(2) 2 2 3 4  y ≥ −4  y ≥ −4(3)    Ta th y các i m n m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung các i m n m trên (Elip) x2 y2 + = 1. luôn tho mãn i u ki n y >-4. V y t p h p i m M là Elip có pt 3 4 Ví d 2) Tìm t p h p các i m bi u di n trong m t ph ng ph c s ( ) ph c ω = 1 + i 3 z + 2 bi t r ng s ph c z tho mãn: z − 1 ≤ 2. t z = a + bi ( a, b ∈ R ) Gi i: Ta có z − 1 ≤ 2 ⇔ ( a − 1) + b 2 ≤ 4 (1) 2 T x = a − b 3 + 2  x − 3 = a −1 + b 3 ( ) ( )   ω = 1 + i 3 z + 2 ⇒ x + yi = 1 + i 3 ( a + bi ) + 2 ⇔  ⇔  y = 3a + b  y − 3 = 3(a − 1) + b   ( ) ≤ 4 ( a − 1) + b 2  ≤ 16 do (1) ó ( x − 3) + y − 3 2 2 2 T   ( ) ( ) V y t p h p các i m c n tìm là hình tròn ( x − 3) + y − 3 2 ≤ 16 ; tâm I 3; 3 , bán 2 kính R=4. Ví d 3) Xác nh t p h p các i m M(z) trong m t ph ng ph c bi u di n các s π z−2 có acgumen b ng . ph c z sao cho s z+2 3 Gi i: www.MATHVN.com 4
www.MATHVN.com z − 2 ( x − 2 ) + yi ( x − 2 ) + yi  ( x + 2 ) + yi  =   = Gi s z=x+yi, thì z + 2 ( x + 2 ) + yi ( x + 2) + y 2 2 x 2 − 4 + y 2 + yi ( x + 2 − x + 2 ) x2 + y 2 − 4 4y = = + i (1) ( x + 2) ( x − 2) ( x − 2) + y2 + y2 + y2 2 2 2 π z−2 có acgumen b ng , nên ta có: Vì s ph c z+2 3 π π x2 + y2 − 4  4y i = τ  cos + i sin  v i τ > 0 + ( x − 2) + y 2 ( x − 2) + y 2 2 2  3 3  x2 + y2 − 4 τ =   ( x − 2) + y 2 2 2 ⇒ τ3  4y =  ( x − 2 )2 + y 2 2  T ó suy ra y>0 (1) và 2 2  2 4 4y 4y = 3 ⇔ x2 + y2 − 4 = ⇔ x2 +  y −  =  (2) .T (1) và (2) suy ra x + y −4 2 2  3  3 3 t p h p các i m M là ư ng tròn tâm n m phía trên tr c th c(Trên tr c Ox). D ng 5) Ch ng minh b t ng th c: 2z −1 Ví d 1) Ch ng minh r ng n u z ≤ 1 thì ≤1 2 + iz Gi i: Gi s z =a+bi (a, b ∈ R) thì z = a 2 + b 2 ≤ 1 ⇔ a 2 + b 2 ≤ 1 . Ta có 4a 2 + (2b − 1) 2 2 z − 1 2a + (2b − 1)i = = ng th c c n ch ng minh tương ương .B t 2 + iz (2 − b) + ai (2 − b) 2 + a 2 4a 2 + (2b − 1)2 ≤ 1 ⇔ 4a 2 + (2b − 1) 2 ≤ (2 − b) 2 + a 2 ⇔ a 2 + b 2 ≤ 1 ⇒ dpcm vi (2 − b) + a 2 2 1 Ví d 2) Cho s ph c z khác không tho mãn i u ki n z 3 + ≤ 2 . Ch ng minh z3 1 r ng: z + ≤2 z Gi i: D dàng ch ng minh ư c v i 2 s ph c z1 , z2 b t kỳ ta có z1 + z2 ≤ z1 + z2 3 3  1  1 1 1 1 1 1 Ta có  z +  = z 3 + 3 + 3  z +  ⇒ z + ≤ z3 + 3 + 3 z + ≤ 2 + 3 z +  z  z z z z z z 1 t z + =a ta có a 3 − 3a − 2 ≤ 0 ⇔ ( a − 2 )( a + 1) ≤ 0 ⇒ dpcm 2 z www.MATHVN.com 5
www.MATHVN.com II) D NG LƯ NG GIÁC C A S PH C D ng 1: VI T D NG LƯ NG GIÁC Ví d 1) Vi t dư i d ng lư ng giác c a các s ph c: 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )  (1 + cos ϕ + i sin ϕ ) a)   1 + cos ϕ + i sin ϕ Gi i: 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) (1 − cos ϕ ) − i sin ϕ = a) (1 + cos ϕ ) + i sin ϕ 1 + cos ϕ + i sin ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − 2i sin ϕ sin 2 − i cos 2 2sin 2 cos ϕ 2 2 2 = tan = = −i tan ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 2 2 + 2i sin + i sin 2 2 cos cos cos 2 2 2 2 2 ϕ  π  π  ϕ - Khi tan > 0 d ng lư ng giác là: tan cos  −  + i sin  −   2  2  2  2 ϕ  π   π  ϕ - Khi tan < 0 d ng lư ng giác là: − tan cos   + i sin    2 2  2  2 ϕ = 0 thì không có d ng lư ng giác. - Khi tan 2 b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )  (1 + cos ϕ + i sin ϕ )   ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = 2sin  sin − i cos  .cos  cos + i sin  2 2 2 2 2 2 π π    = 2 sin ϕ cos  ϕ −  + isin  ϕ −    2  2  - Khi sin ϕ = 0 thì d ng lư ng giác không xác nh. π π    - Khi sin ϕ > 0 thì d ng lư ng giác là: 2 sin ϕ cos  ϕ −  + i sin  ϕ −    2  2  π π    - Khi sin ϕ < 0 thì d ng lư ng giác là: (−2sin ϕ )  cos  ϕ +  + i sin  ϕ +    2  2  Ví d 2): Vi t dư i d ng lư ng giác c a các s ph c: 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) b) [1 − (cos ϕ + i sin ϕ ) ] [1 + cos ϕ + i sin ϕ ] a) 1 + cos ϕ + i sin ϕ Gi i: ϕ ϕ ϕ sin 2 − i cos 2 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) 1 − cos ϕ − i sin ϕ ϕ = = tan = −i tan a) ϕ ϕ ϕ 2 cos ϕ − i sin ϕ 1 + cos ϕ + i sin ϕ 2 2 cos 2 + 2i sin .cos 2 2 2 2 2 ϕ   π  π  ϕ Khi tan >0 thì d ng lư ng giác là tan cos  −  + i sin  −   2   2  2  2 TEL:0988844088 www.MATHVN.com 6
www.MATHVN.com π   π  ϕ ϕ cos  2  + i sin  2   0 thì d ng lư ng giác là: 2 sin ϕ cos  ϕ −  + i sin  ϕ −    2  2  π π    - Khi sin ϕ < 0 thì d ng lư ng giác là: ( −2sin ϕ ) cos  ϕ +  + i sin  ϕ +    2  2  D ng 2: MÔ UN VÀ ACGUMEN Ví d 1) Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z, bi t z 2 = −2 + 2 3i Gi i: Ta có: z 2 = − 2 + 2 3 i ⇔ z 2 = 4  co s 2 π + i s in 2 π     3 3 2π 2π   Do ó: z 2 = −2 + 2 3i ⇔ z 2 = 4  cos + i sin   3 3 2π 2π     z = 2  cos 3 + i sin 3  z = 1+ i 3   ⇔ ⇔ π π   z = −1 − i 3    z = −2  cos + i sin   3  3 3 ho c -1 và − 3 ó suy ra ph n th c và ph n o c a z tương ng là 1 và T ( ) Ví d 2) Tìm m t acgumen c a s ph c: z − 1 + i 3 bi t m t acgumen c a z π b ng 3 1 3 π nên z = z  +  2 2 i Gi i: z có m t acgumen b ng  3   1 3 ( ) Do ó: z − 1 + i 3 = ( z − 2)  +  2 2 i    π ( ) - Khi z > 2 , m t aacgumen c a z − 1 + i 3 là 3 4π ( ) - Khi 0 < z < 2 , m t acgumen c a z − 1 + i 3 là 3 TEL:0988844088 www.MATHVN.com 7
www.MATHVN.com ( ) - Khi z = 2 thì z − 1 + i 3 =0 nên acgumen không xác nh. Ví d 3) Cho s ph c z có mô un b ng 1. Bi t m t acgumen c a z là ϕ , tìm m t acgumen c a: 1 d) z 2 + z c) z + z b) − a) 2 z 2 2z Gi i: z = 1 , z có m t acgumen là ϕ . Do ó z = cos ϕ + i sin ϕ a) z 2 = cos 2ϕ + i sin 2ϕ ⇒ 2 z 2 = 2 ( cos 2ϕ + i sin 2ϕ ) ⇒ 2 z = 2 ( cos ϕ − i sin ϕ ) V y 2z2 có m t acgumen là 2ϕ b) z = cos ϕ + i sin ϕ ⇒ z = cos ϕ − i sin ϕ ⇒ 2 z = 2 ( cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos ( −ϕ ) − i sin ( −ϕ ) ) = ( cos ϕ + i sin ϕ ) 11 1 ⇒ 2z 2 2 = ( − cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos (ϕ + π ) + i sin ϕ (ϕ + π ) ) 11 1 ⇒− 2z 2 2 1 có m t acgumen là ϕ + π Vy− 2z c) Ta có: z + z = 2 cos ϕ N u cos ϕ > 0 thì có m t acgumen là 0 N u cos ϕ < 0 thì có m t acgumen là π N u cos ϕ = 0 thì acgumen không xác nh. d) z 2 + z = cos 2ϕ + i sin 2ϕ , z = cos ϕ − i sin ϕ 3ϕ ϕ 3ϕ ϕ ⇒ z 2 + z = cos 2ϕ + cos ϕ + i ( sin 2ϕ − sin ϕ ) = 2 cos cos + i.2 cos sin 2 2 2 2 3ϕ  ϕ ϕ = 2 cos  cos + i sin  2 2 2 3ϕ 3ϕ ϕ ϕ > 0 , là + π n u cos < 0 và không xác V y acgumen z 2 + z là nh n u cos 2 2 2 2 3ϕ =0 n u cos 2 π π Ví d 4) Cho s ph c z = 1 − cos − i sin . Tính mô un, acgumen và vi t z dư i 7 7 d ng lư ng giác. Gi i: π π π 8π  4π 2    Ta có: z =  1 − cos  + sin 2 = 2 1 − cos  = 2 1 + cos  = 2 cos  7  7  7 7 7 π 8π − sin sin 7 = cot 4π = tan  − π  t ϕ = arg ( z ) thì tan ϕ = 7=   π 4π  14  7 1 − cos 2sin 2 7 7 www.MATHVN.com 8
www.MATHVN.com π Suy ra: ϕ = − + kπ , k ∈ z 14 π π π < 0 nên ch n m t acgumen là − > 0 , ph n o − sin Vì ph n th c 1 − cos 14 7 7 4π   π  π  V y z = 2 cos  cos  − 14  + i sin  − 14       7 1 Ví d 5) Vi t dư i d ng lư ng giác c a m t s ph c z sao cho z = và m t 3 3π z là − acgumen c a 1+ i 4 Gi i: 1 1 thì z = ( cos ϕ + i sin ϕ ) Theo gi thi t z = 3 3 ⇒ z = ( cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos ( −ϕ ) + i sin ( −ϕ ) ) 1 1 3 3 1 2 π π  Vì 1 + i = 2  + i  = 2  cos + i sin  2   4 2 4  π π  1   z  cos  −ϕ − 4  + i sin  −ϕ − 4   = Nên 1+ i 3 2      π π π 3π π 1 Do ó: −ϕ − = − + 2kπ ⇔ ϕ = + 2kπ , k ∈ Ζ. v y z =  cos + i sin  . 3 2 2 4 4 2 π z + 3i = 1 và z+1 có m t ácgumen là − Ví d 6) Tìm s ph c z sao cho: z +i 6 Gi i: T gi thi t ⇒ z + 3i = z + i ⇔ x + ( y + 3)i = x + ( y + 1)i ⇔ x 2 + ( y + 3) = x 2 + ( y + 1) 2 2 z + 3i =1 z+i ⇒ y = −2  π  π τ π ( ) t c là z + 1 = τ [cos  −  + i sin  − ] = 3 − i v i r>0. z+1 có 1 acgumen b ng −  6  6 2 6  τ3 x +1 = 2 ⇔ τ = 4  ⇒ z = 2 3 − 1 − 2i Ta có z+1=x+1-2i suy ra    −2 = − τ x = 2 3 −1    2 D ng 3) NG D NG S PH C TRONG BÀI TOÁN T H P Ví d 1) Tính các t ng sau khi n=4k+1 2− a) S = C2 n +1 − C2 n +1 + C2 n +1 − ....... + C2 nn+12 − C2 nn+1 0 2 4 2 2 n −1 2n+ b) S = C2 n +1 − C2 n +1 + C2 n+1 − ....... + C2 n +1 − C2 n+11 1 3 5 Gi i: www.MATHVN.com 9
www.MATHVN.com Xét (1 + i ) = C20n+1 + iC2n+1 + i 2C22n+1 + ..... + i 2n +1C22nn++11 = C20n+1 − C22n+1 + ... − C22nn+1 + i(C21n+1 − C23n+1 + .. − C22nn++11 ) 2 n +1 1 M t khác ta l i có: π π (2n + 1)π (2n + 1)π   2 n +1  1 + i = 2  cos + i sin  ⇒ (1 + i ) 2 n +1 =2 + i sin cos   4   4 4 4 (2n + 1)π (2n + 1)π  (8k + 3)π (8k + 3)π    + i sin  = 2 2 cos + i sin = 2n 2 cos n      4 4 4 4 3π 3π   = 2n 2 cos + i sin  = −2n + i 2n  4 4 T ó ta có a) S=-2n b) S=2n Ví d 2) Tính các t ng h u h n sau: a) S = 1 − Cn2 + Cn − Cn + .......... 4 6 b) S = Cn − Cn + Cn − Cn + .......... 1 3 5 7 Gi i: Xét (1 + i ) = Cn + iCn + i 2Cn2 + ..... + i nCnn = 1 − Cn + Cn4 − ... + i (Cn − Cn + Cn − Cn + ....) n 0 1 2 1 3 5 7 π π nπ nπ   n 1 + i = 2  cos + i sin  ⇒ (1 + i ) = 2 cos + i sin n   4  4 4 4 T ó ta có k t qu nπ nπ n n b) S = 2 sin a) S = 2 cos 4 4 nπ  1 n Ví d 3) Ch ng minh r ng: 1 + Cn + Cn + ... =  2 + 2 cos 3 6  3 3 Gi i: Ta có 2n = Cn + Cn + Cn + Cn + ....Cnn (1) 0 1 2 3 2π 2π Xét ε = cos ⇒ ε3 =1 + i sin 3 3 Ta có (1 + ε ) = Cn + ε Cn + ε 2Cn + ......ε n Cn = Cn + ε Cn + ε 2Cn + Cn + ε Cn + ..... (2) n 0 1 2 n 0 1 2 3 4 (1 + ε ) 2n = Cn + ε 2Cn + ε 4Cn2 + ......ε 2 nCn = Cn + ε 2Cn + ε Cn + Cn + ε 2Cn + .....(3) 0 1 n 0 1 2 3 4 π π π π Ta có 1 + ε + ε 2 = 0;1 + ε 2 = cos ;1 + ε = cos − i sin + i sin 3 3 3 3 C ng (1) (2) (3) theo v ta có nπ 2n + (1 + ε ) + (1 + ε 2 ) = 3 ( Cn + Cn + Cn + ...) ⇔ 2n + 2 cos = 3 ( Cn + Cn + Cn + ...) n n 0 3 6 0 3 6 3 nπ  1 ⇔ 1 + Cn + Cn + ... =  2n + 2 cos 3 6  3 3 TEL:0988844088 www.MATHVN.com 10
www.MATHVN.com M TS BÀI T P T LUY N 1) Gi i phương trình sau trên t p s ph c: c) z 2 − ( z ) = 4i 3 d )z2 + 2z +1− i = 0 b) z + z = 3 + 4i a) z 3 = z 2 g ) z 2 − 2( z + z ) + 4 = 0 e) z 2 + 4 z + 5 = 0 f )(1 + i ) z 2 + 2 + 11i = 0 2) Tìm s th c x tho mãn b t phương trình:  x + 1 + 2i − 2  1+ i 7 a) 1 + 4i − 2− x ≤ 5 c)1 − log 2  ≥0 − log 2 x ≤ 1 b) 2 −1  4  3) Tìm s ph c z sao cho A = ( z − 2)( z + i ) là s th c z + 7i 4) Tìm s ph c z tho mãn i u ki n z = 5; là s th c z +1 5) Tìm t p h p các i m M trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z tho mãn i u ki n z − 2i a ) z 2 − ( z ) = 9 b) = 4 c )3 z + i = z + z − 3i d ) z + 3i − 4 = 2 e) z + 1 ≥ z + i 2 z + 2i z−2 +2 z − 2i ) >1 > 1 h)2 z − i = z − z + 2i k ) log 1 ( f ) z = z + 4 − 3i g ) 3 4 z − 2 −1 z + 2i 3 6) Trong các s ph c tho mãn i u ki n z − 2 + 3i = . Tìm s ph c z có modun l n 2 nh t,nh nh t. 7) Tìm s ph c z tho mãn i u ki n ( z − 1) ( z + 2i ) là s th c và z nh nh t. 8) Tìm m t acgumen c a s ph c z khác 0 bi t z + z i = z 9) Tìm s ph c z tho mãn z 2 + z = 2 và z = 2 10) Gi i h pt sau trong t p s ph c: z − 12 5  =  z1 + z2 = 3 − i   2 z − i = z − z + 2i   z − z2 + 1 = 0 z − 8i 3 2    b)  1 1 3 + i 1 d)  a)  2 c)  2 z + z = 5 z−4 z −z =4  z2 − z1 + 1 = 0 2    =1 1  z −8 2   z3 + 2z 2 + 2z +1 = 0  e)  2010 z + z +1 = 0 2011  11) Cho phương trình 2 z 3 − (2i + 1) z 2 + (9i − 1) z + 5i = 0 có nghi m th c. Hãy tìm t t c các nghi m c a phương trình. 1 1 + w =1 12) Tìm ph n th c ph n o c a z = 2011 + w 2011 bi t w w 13) Tìm n nguyên dương các s ph c sau là s th c, s o: n  − 2 +i 6   3 − 3i   4 + 6i   7 + 4i  n n d )z =  a) z =  b) z =  c) z =    3 − 3i        −1 + 5i   4 − 3i  3 + 3i     www.MATHVN.com 11
www.MATHVN.com 14) Cho n nguyên dương, ch ng minh r ng 2nπ C2 n − 3C2 n + 9C24n − 27C2 n + ..... + ( −3) C2 nn = 22 n cos n 0 2 6 2 3 15) Tìm s ph c z sao cho z = z − 2 và m t acgumen c a z-2 b ng m t acgumen π c a z+2 c ng v i 2 16) Gi i phương trình 2z 2z = z 2 + cot 2 120 + 6i − 7 = z 2 + tan 2 100 + 4i − 2 b) a) 0 0 sin12 cos10 M i th c m c xin vui lòng liên h th y Nguy n Trung Kiên 0988844088 www.MATHVN.com 12

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.