zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Số phức (Luyện thi toán)

Chia sẻ: Trần Văn Sỹ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Báo xấu

1.844
lượt xem 773
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kiến thức cần nhớ - Các dạng toán về số phức. Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i2 = -1 được gọi là số phức. a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. Tập hợp số phức được kí hiệu là C. Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R Ì C . Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Số phức (Luyện thi toán)

sivantran@gmail.com - 01689583116 SỐ PHỨC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Khái niệm số phức Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i2 = -1 được gọi là số phức. a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. Tập hợp số phức được kí hiệu là C. Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R ⊂ C . Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo. 2. Biểu diễn hình học r Số phức z = a + bi ( a, b ∈ R ) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi u = ( a, b ) trong mp(Oxy) (mặt phẳng phức). y M (a,b) b Trục thực O a x Trục ảo 3. Hai số phức bằng nhau a = a ' a + bi = a '+ b ' i ⇔  ( a, b, a ', b ' ∈ R ) b = b ' 4. Cộng và trừ hai số phức  a + bi + ( a '+ b ' i ) = ( a + a ') + ( b + b ') i  a + bi − ( a '+ b ' i ) = ( a − a ') + ( b − b ') i  Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi 5. Nhân hai số phức  ( a + bi ) × ( a '+ b ' i ) = ( aa '− bb ') + ( ab '+ ba ') i  k ( a + bi ) = ka + kbi ( k ∈ R ) 6. Số phức liên hợp • Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a − bi • z=z • z ± z'= z ± z' z z • z. z ' = z. z ' ;   =  z' z' • z. z = a + b 2 2 • z là số thực ⇔ z = z • z là số ảo ⇔ z = − z 7. Modul của số phức Cho số phức z = a + bi uuuu r • z = a 2 + b 2 = z.z = OM • z ≥ 0, ∀z ∈ C ; z =0⇔ z=0
sivantran@gmail.com - 01689583116 • z. z ' = z . z ' z z • = z' z' • z − z' ≤ z ± z' ≤ z + z' 8. Chia hai số phức 1  z = z 2 z ( z ≠ 0) −1 z' z ' .z z ' .z  z = z ' .z −1 = 2 = z z. z 9. Căn bậc hai của số phức x 2 − y2 = a  z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi ⇔ z = w ⇔  2  2 xy = b  w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0  w ≠ 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau  Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a  Hai căn bậc hai của a < 0 là ± −a.i 10. Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 ( *) (A, B, C là các số phức cho trước, A ≠ 0) • Công thức nghiệm giống phương trình bậc 2 trên tập số thực • Nếu z0 ∈ C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là nghiệm của (*) 11. Dạng lượng giác của số phức  z = r ( cosϕ + i sin ϕ ) ( r > 0 ) là dạng lượng giác của số phức z = a + bi  r = a 2 + b 2  ( z ≠ 0 ) ⇔ cosϕ = a   r  b sin ϕ = r   ϕ là một acgumen của z, ϕ = ( Ox, OM )  z = 1 ⇔ z = cosϕ + isinϕ II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI • Dạng tìm phần thực, phần ảo của một số phức Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức i + (2 – 4i) – (3 – 2i) Giải: Ta có: i + (2 – 4i) – (3 – 2i) = ( 0 + 2) + (1- 4)i + (-3 + 2i) = (2 – 3) + (-3 + 2)i = -1 – i Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – 1. Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của số phức ( −1 + i ) − ( 2i ) 3 3 Giải: ( −1 + i ) = ( −1) + 3 ( −1) i + 3 ( −1) i 2 + i 3 = 2 + 2i 3 3 2 ⇒ ( −1 + i ) − ( 2i ) = 2 + 10i 3 3 Ta có: ( 2i ) = 23 × i 3 = −8i 3
sivantran@gmail.com - 01689583116 Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10. ( ) ( 1 − 2i ) 2 Bài 3: (A10) Tìm phần ảo của số phức z, biết z = 2 +i Giải: ( )( ) Ta có: z = 1 + 2 2i 1 − 2i = 5 + 2i ⇒ z = 5 − 2i Phần ảo của số phức z bằng: − 2. Bài 4: (CD10) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 2 − 3i ) z + ( 4 + i ) z = − ( 1 + 3i ) . Tìm phần 2 thực và phần ảo của z. Giải: Gọi z = a + bi ( a ∈ R, b ∈ R ) . Đẳng thức đã cho trở thành 6a + 4b - 2(a + b)i = 8 - 6i 6a + 4b = 8  a = −2 ⇔ ⇔ 2a + 2b = 6 b = 5 Vậy số phức z đã cho có phần thực là -2, phần ảo là 5 Bài 5: (CDA09) Cho số phức z thỏa mãn ( 1 + i ) ( 2 − i ) z = 8 + i + ( 1 + 2i ) z . Tìm phần thực và 2 phần ảo của z. ( 1 + i ) ( 2 − i ) z = 8 + i + ( 1 + 2i ) z 2 Ta có: ⇔ z ( 1 + i ) ( 2 − i ) − ( 1 + 2i )  = 8 + i 2   ⇔ z  2i ( 2 − i ) − 1 − 2i  = 8 + i   8 + i ( 8 + i ) ( 1 − 2i ) ⇔z= = = 2 − 3i 2i + 1 5 Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3 • Dạng tìm môđun của số phức Bài 1: (A10) Cho số phức z thỏa mãn z = ( 1 − 3i ) 3 . Tìm môđun của số phức z + iz 1− i Giải: ( ) 3 Ta có: 1 − 3i = −8 −8 Do đó z = = −4 − 4i ⇒ z = −4 + 4i 1− i ⇒ z + iz = −4 − 4i + ( −4 + 4i ) i = −8 − 8i Vậy z + iz = 8 2. • Dạng tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: (D10) Tìm số phức z thỏa mãn: z = 2 và z 2 là số thuần ảo. Giải: Gọi z = a + bi ( a ∈ R, b ∈ R ) , ta có: z = a 2 + b 2 và z 2 = a 2 − b 2 + 2abi
sivantran@gmail.com - 01689583116 a 2 + b 2 = 2   a 2 = 1  a = ±1  Yêu cầu bài toán tỏa mãn khi và chỉ khi:  2 2 ⇔ 2 ⇔ a − b = 0  b = 1 b = ±1  Vậy các số phức cần tìm là: 1 + i; 1 – i; -1 + i; -1 – i. Bài 2: (B09) Tìm số phức z thỏa mãn: z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25 . Giải: Gọi z = a + bi ( a ∈ R, b ∈ R ) , Ta có: z − ( 2 + i ) = ( a − 2 ) + ( b − 1) i; Từ giả thiết ta có: z − ( 2 + i ) = 10 ⇔ ( a − 2 ) + ( b − 1) = 10 ( 1) 2 2 và z.z = 25 ⇔ a + b = 25 2 2 ( 2) a = 3 a = 5 Giải hệ (1) và (2) ta được  ∨ b = 4 b = 0 Vậy các số phức cần tìm là: z = 3 + 4i hoặc z = 5 Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z + z = 0 2 Giải: Gọi z = x + yi ( x ∈ R, y ∈ R ) , khi đó z 2 + z = 0 ⇔ ( x + yi ) + x 2 + y 2 = 0 2 ( ) ⇔ x 2 − y 2 + x 2 + y 2 + 2 xyi = 0  x2 − y 2 + x2 + y 2 = 0  ⇔ 2 xy = 0   x = 0  x = 0   x = 0     x = 0, y = 0  2   y = 0  y ( 1 − y ) = 0   − y + y = 0    y = 1 x = 0, y = 1 ⇔ ⇔ ⇔  ⇔    x = 0, y = −1  y = 0   y = 0   y = 0    x2 + x = 0   x ( 1 + x ) = 0   x = 0, y = 0      x = 0 ( do x + 1 > 0 )  Vậy các số phức cần tìm là: z = 0; z = i; z = −i • Giải phương trình trên tập hợp các số phức Bài 1: (CD10) Giải phương trình z − ( 1 + i ) z + 6 + 3i = 0 trên tập hợp các số phức. 2 Giải: Phương trình có biệt thức ∆ = ( 1 + i ) − 4 ( 6 + 3i ) = −24 − 10i = ( 1 − 5i ) 2 2 Phương trình có hai nghiệm là: z = 1 − 2i và z = 3i.
sivantran@gmail.com - 01689583116 Bài 2: (A09) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0 . Tính giá trị 2 2 của biểu thức A = z1 + z2 . Giải: Ta có: ∆ = 22 − 4.10 = −36 = 36i 2 Phương trình có hai nghiệm là: z1 = −1 + 3i và z2 = −1 − 3i. ( −1) ( −1) + ( −3) = 10 2 2 2 z1 = + 32 = 10 và z1 = 2 2 Vậy A = z1 + z2 = 20 4 z − 3 + 7i Bài 3: (CDA09) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: = z − 2i z −i Giải: Điều kiện: z ≠ −1 Phương trình đã cho tương đương với z − ( 4 + 3i ) z + 1 + 7i = 0 2 Phương trình có biệt thức ∆ = ( 4 + 3i ) − 4 ( 1 + 7i ) = 3 − 4i = ( 2 − i ) 2 2 Phương trình có hai nghiệm là: z = 1 + 2i và z = 3 + i. • Dạng tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức (Quỹ tích) Bài 1: (D09) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện z − ( 3 − 4i ) = 2 . Giải: Gọi z = x + yi ( x ∈ R, y ∈ R ) , ta có: z − 3 + 4i = ( x − 3) + ( y + 4 ) i ( x − 3) + ( y + 4 ) = 2 ⇔ ( x − 3) + ( y + 4 ) = 4 2 2 2 2 Từ giả thiết ta có: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, -4), bán kính R = 2. Bài 2: (B10) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z − i = ( 1 + i ) z Giải: Gọi z = x + yi ( x ∈ R, y ∈ R ) , ta có: z − i = ( 1 + i ) z ⇔ x + ( y − 1) i = ( x − y ) + ( x + y ) i ⇔ x 2 + ( y − 1) = ( x − y ) + ( x + y ) 2 2 2 ⇔ x2 + y 2 + 2 y −1 = 0 ⇔ x 2 + ( y + 1) = 2 2 Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0, -1), bán kính R = 2 .

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.