intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 9

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST
Báo xấu
88
lượt xem 11
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi đh - phần 9', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 9

  1. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu  3  x = 3 x = − y  13 . ng th c x y ra ⇔  ⇔ ⇒ P ≥ −6 .  2 2 x 2 + y 2 = 1 y = ±    13 V y max P = 3; min P = −6 . Tuy nhiên cách làm cái khó là chúng ta làm sao bi t cách ánh giá P − 3 và P + 6 ? i th a: 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50 Ví d 15: Cho b n s nguyên a, b, c, d thay ac Tìm GTNN c a bi u th c P = + (D b i h c - 2002). bd Gi i: Vì 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50 và a, b, c, d là các s nguyên nên c ≥ b + 1 a c 1 b +1 () +≥+ =f b . Suy ra : 50 bdb 1 x +1 () D th y 2 ≤ b ≤ 48 nên ta xét hàm s : f x = + , x ∈ [2; 48] 50 x 1 1 () () Ta có f ' x = − + ⇒ f ' x =0 ⇔x =5 2. x2 50 () () L p b ng bi n thiên ta ư c min f x = f 5 2 [2;48] Do 7 và 8 là hai s nguyên g n 5 2 nh t vì v y:  53 61  53 { ( ) ( )} () min f b = min f 7 ; f 8 = min  = ; . 175 200  175 [2;48] 53 V y GTNN P = . 175 Ví d 16: Cho a, b, c là 3 s th c dương và th a mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1. Ch ng 33 a b c +2 +2 ≥ . minh r ng : b +c a +c a +b 2 2 2 2 2 Gi i : không m t tính t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c và th a mãn h th c a 2 + b 2 + c 2 = 1. Do ó 1 0
  2. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu  1  1 () Ta có : f '(x ) = −3x 2 + 1 > 0, x ∈  0;  ⇒ f x liên t c và ng bi n trên n a kho ng  0; .  3  3  1 ( ) ( ) 2 2 2 Và lim f (x ) = lim x 1 − x 2 = 0, f  = ⇒ 0 < f (x ) ≤ hay 0 < x 1 − x 2 ≤ . x →0+ x →0+  3 3 3 33 33  1 1 2 332 x ≥ ⇔ ≥ x , ∀x ∈  0; . Hay ( ) 1 − x2 x 1 − x2 2  3 33 a 332 ≥  a 1 − a 2 2 b ( ) 332 33 2 a b c ≥ b⇒ + + ≥ a + b2 + c2 . Suy ra  1 − b 1−a 1−b 1−c 2 2 2 2 2 2 c 332 1 − c 2 ≥ 2 c  33 1 a b c +2 +2 ≥ . X y ra khi a = b = c = Vy . b2 + c2 a + c2 a + b2 2 3 không m t tính t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c và th a mãn h th c a 2 + b 2 + c 2 = 1. Ta có th Chú ý : suy ra 0 < a ≤ b ≤ c < 1 . ( ) () Khi ó xét hàm s : f (x ) = x 1 − x 2 liên t c trên kho ng 0;1 . 1 () f '(x ) = −3x 2 + 1, x ∈ 0;1 và f '(x ) = 0 ⇔ x = 3  1  1 () • f '(x ) > 0, x ∈  0;  ⇒ f x liên t c và ng bi n trên kho ng  0;   3  3 1  1  () • f '(x ) < 0, x ∈  ;1  ⇒ f x liên t c và ngh ch bi n trên kho ng  ;1  .  3  3 1 2 2 Và lim f (x ) = lim f (x ) = 0, f  = ⇒ 0 < f (x ) ≤ . Ph n còn l i tương t như trên. + −  3 3 3 x →0 x →1 33 x , y, z th a i u ki n: Ví d 17: Xét các s th c không âm thay i x + y + z = 1 . Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a: 1−x 1−y 1−z S= + + . 1+x 1+y 1+z Gi i : Tìm MinS : Không m t t ính t ng quát gi s : 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 . x + y + z = 1  ⇒ x , y, z ∈  0;1 . Vi  x , y, z ≥ 0  
  3. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1−x 1−x ( )( ) ≥ (1 − x )2 ⇒ ≥1−x. Vì 1 − x 1 + x = 1 − x 2 ≤ 1 nên: 1+x 1+x ng th c x y ra trong trư ng h p x = 0 ho c x = 1 . Du Khi ó S = 1 − x + 1 − y + 1 − z ≥ 1 − x + 1 − y + 1 − z hay S ≥ 2 . 1+x 1+y 1+z x = y = 0, z = 1 thì S = 2 . ng th c x y ra khi V y: min S = 2 . Tìm MaxS: Không m t t ính t ng quát gi s : 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 . 1 24 Lúc ó: z ≥ ; x +y ≤ < . 3 35 1−z 1−x 1−y 1−z 1 − (x + y ) 1−z z ≤ 1+ =1 + + S= + + + 2−z 1+z 1+x 1+y 1+z 1+x +y 1+z 1−z () z th z = + . Bài toán tr thành giá tr l n nh t c a 2−z 1+z 1  () h z trên o n  ; 1 . 3   1  1    1 2 h '(z ) = 0 ⇔ z = . Maxh(z )=Max h   ; h(1); h    = . 2  3  2    3 1−x 1−y 1−z 2 Do ó : S = + + ≤1+ . 1+x 1+y 1+z 3 1 2 ng th c x y ra khi x = 0, y = z = thì S = 1 + . 2 3 2 V y: m axS = 1 + 3 Ví d 18: Cho ba s th c dương a, b, c tho mãn: abc + a + c = b . 2 2 3 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P = −2 +2 a +1 b +1 c +1 2 Gi i : 1 ( ) Ta có : a + c = b 1 − ac > 0 . D th y ac ≠ 1 ⇒ 0 < a < c 2(1 − ac)2 a +c 2 3 nên b = ⇒ P= 2 − +2 1 − ac a + 1 (a + c) + (1 − ac) c +1 2 2 2(a + c)2 2 3 P= +2 −2+ 2 a + 1 (a + 1)(c + 1) c +1 2 2
  4. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 2(x + c )2 2 3 () Xét f x = +2 +2 −2 x + 1 (x + 1)(c + 1) c + 1 2 2 2(x 2 + 2cx + 2c 2 + 1) 3 1 () fx= +2 − 2, 0 < x < (x 2 + 1)(c 2 + 1) c +1 c −4c(x 2 + 2cx − 1) 1 ⇒ f ' (x ) = , 00 Xét c2 + 1 c2 + 1 2(1 − 8c 2 ) g ' (c ) = (c 2 + 1)2 ( c 2 + 1 + 3c) c > 0  1 g' (c) = 0 ⇔  ⇔c = 1 − 8c = 0 2 22  1 2 24 10 () ⇒ ∀c>0:g c ≤ g( )= + = 39 3 22  1 a = 2   10 . D u "=" x y ra khi b = 2 ⇒P ≤ 3  1 c =  22  10 V y giá tr l n nh t c a P là . 3 Ví d 19 : Cho tam giác ABC không tù. Tìm GTLN c a bi u th c: P = cos 2A + 2 2(cos B + cos C ) ( i h c Kh i A – 2004 ) . Gi i: A Ta có A ≤ 90 ⇒ cos 2A = 2 cos2 A − 1 ≤ 2 cos A − 1 = 1 − 4 sin2 2 ng th c có ⇔ cos2 A = cos A (1). B −C C C cos B + cos C = 2 sin . cos ≤ 2 sin 2 2 2
  5. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu B −C ng th c x y ra ⇔ cos = 1 (2). 2 2 A . Ta có: P ≤ −4t 2 + 4 2t + 1 = f (t ) t t = sin ⇒ 0 B > C . Tìm giá tr nh nh t c a bi u x − sin A x − sin B th c : M = + − 1. x − sin C x − sin C Gi i : ( ) )  nh khi D = −∞; sin C ∪ sin A; +∞ . Bi u th c xác x − sin C sin A − sin C 1 x − sin C sin B − sin C M'= + > 0, ∀x ∈ D ⇒ M liên t c và ng bi n trên m i . . ( ) ( ) x − sin A x − sin C 2 2 x − sin B x − sin C 2 ( ) ) kho ng −∞; sin C , sin A; +∞  sin A − sin B Do ó min M = M ( sin A ) = −1 sin A − sin C Ví d 21: Cho m t tam giác u ABC c nh a . Ngư i ta d ng m t hình ch nh t MNPQ có c nh MN n m trên c nh BC , hai nh P và Q theo th t n m trên hai c nh A C và AB c a tam giác . Xác nh v trí i m M sao cho hình ch nh t có di n tích l n nh t và tìm giá tr l n nh t ó. Gi i : a t BM = x , 0 < x < ⇒ NM = BC − 2BM = a − 2x 2 QM Trong tam giác vuông BMQ có tan QBM = ⇒ QM = BM . tan QBM = x 3 BM () ( ) Di n tích hình ch nh t MNPQ là S x = MN .QM = a − 2x x 3  a () ( ) Bài toán quy v : Tìm giá tr l n nh t c a S x = a − 2x x 3, x ∈  0;   2
  6. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu  a () () a S ' x = −4 3x + a 3, x ∈  0;  S' x =0⇔x =  2 4  a () B ng bi n thiên c a S x trên kho ng  0;   2 a a 0 x 4 2 () + − 0 S' x a2 3 () Sx 8 0 0 a2 3 a khi x = V y di n tích hình ch nh t l n nh t là 4 8 BÀI T P T LUY N 1. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : () a. f x = x 4 − 2x 2 + 3 trên o n  −3;2    3x 2 + 10x + 20 () b. f x = x 2 + 2x + 3 2. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : a. f (x ) = x 2 − 4x + 5 trên o n [−2; 3] . 9 1 b. f ( x ) = x 6 − 3x 4 + x 2 + trên o n [−1; 1] . 4 4 () 3. Tìm giá tr l n nh t c a các hàm s : f x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90 trên o n  −5; 5 .   4. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s f ( x ) = x − 3x + 2 trên o n  –3; 2 . 3   2 2 5. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s : y = 4sin + 4 cos x x Hư ng d n . 1. () a. f x = x 4 − 2x 2 + 3, x ∈  −3;2    Hàm s ã cho xác nh trên o n  −3;2 .  () x = −1, f −1 = 2  () () () Ta có f ' x = 4x 3 − 4x ⇒ f ' x = 0 ⇔ x = 0, f 0 = 3 x = 1, f −1 = 2 ()   () () f −3 = 66, f 2 = 11 B ng bi n thiên
  7. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu −3 −1 0 1 2 x () + − 0+ − 0 0 f' x f (x ) 66 3 11 2 2 () () T b ng bi n thiên suy ra : max f x = 66 khi x = −3 min f x = 2 khi x = −1, x = 1  −3;2   −3;2     3x 2 + 10x + 20 () b. f x = x 2 + 2x + 3 Hàm s ã cho xác nh trên » . () () lim f x = lim f x = 3 x →−∞ x →+∞  5 x = −5 ⇒ y = −4x 2 − 22x − 10 () () 2 Ta có : f ' x = ⇒f' x =0⇔ (x ) 1 2 x = − ⇒ y = 7 + 2x + 3 2   2 B ng bi n thiên 1 −∞ − +∞ −5 x 2 () 0+ 0 − − f' x f (x ) 3 7 5 3 2 1 5 () () T b ng bi n thiên suy ra : max f x = 7 khi x = − min f x = khi x = −5 2 2 2. a. f (x ) = x 2 − 4x + 5 trên o n [−2; 3] . Hàm s ã cho xác nh trên [−2; 3] . x −2 f '(x ) = x 2 − 4x + 5 f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 2 ∈  −2; 3  f (−2) = 17, f ( 2 ) = 1, f(3) = 2. V y: min  f (x ) = 1 khi x = 2 .  x ∈  −2;3  max f (x ) = 17 khi x = −2 . x ∈  −2;3  9 1 b. f ( x ) = x 6 − 3x 4 + x 2 + trên o n [−1; 1] . 4 4 Hàm s ã cho xác nh trên [−1; 1] .
  8. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu t t = x 2 ⇒ t ∈ [0; 1] ,∀x ∈  −1; 1  , ta có:   9 1 f ( t ) = t 3 − 3t 2 + t + liên t c trên o n [0; 1] 4 4  1 t = 9 ⇒ f / ( t ) = 3t 2 − 6t + = 0 ⇔  2  t = 3 ∉  0;1  4  2 1 1 3 1 f (0) = , f   = , f (1) = .  2 4 4 2 V y: 1 1 min f ( t ) = khi t = 0 hay min f ( x ) = khi x = 0 4 4 t ∈  0;1  x ∈  −1;1  3 1 2 max f ( t ) = khi t = hay max  f ( x ) khi x = ± . 4 2 2  x ∈  −1;1  t ∈  0;1  () 3. f x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90 trên o n x ∈  −5; 5 .   Hàm s ã cho xác nh trên  −5;5  .   () t g x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90, x ∈  −5; 5    () Ta có : g ' x = 3x 2 + 6x − 72 x = −6 ∉  −5; 5  ()   g' x = 0 ⇔   −5;5  x = 4 ∈    () () () g 4 = −86, g −5 = 400, g 5 = −70 ⇒ −86 ≤ g ( x ) ≤ 400 ⇒ 0 ≤ g ( x ) ≤ 400 ⇒ 0 ≤ f ( x ) ≤ 400 V y : max f ( x ) = 400 khi x = −5 . x ∈ −5;5   4. f ( x ) = x 3 − 3x + 2 trên o n  –3; 2    Hàm s ã cho xác nh trên  –3; 2  .   t g ( x ) = x 3 − 3x + 2, x ∈  –3; 2  g / (x ) = 3x 2 − 3 g ' ( x ) = 0 ⇔ x = ±1 ∈ [−3; 2] g(−3) = −16, g(−1) = 4, g(1) = 0, g(2) = 4 ⇒ −16 ≤ g(x ) ≤ 4 ,∀x ∈ [−3; 2] ⇒ 0 ≤ g(x ) ≤ 16 ,∀x ∈ [−3; 2] ⇒ 0 ≤ f ( x ) ≤ 16 ,∀x ∈ [−3; 2] . V y max  f ( x ) = 16, min  f ( x ) = 0   x ∈  –3; 2  x ∈  –3; 2  5.
  9. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Cách 1 : 4 2 2 2 2 2 + 41− sin y = 4 sin + 4 cos = 4 sin = 4 sin + x x x x x 2 4 sin x 2 2 t t = 4sin x , 0 ≤ sin2 x ≤ 1 ⇔ 40 ≤ 4sin ≤4 ⇔1≤t ≤4 x t +4 2 () liên t c trên o n 1; 4  . Xét hàm s f t =  t t2 − 4 () () , ∀t ∈ 1; 4  và f ' t = 0 ⇔ x = 2 Ta có : f ' t =  t2 () () B ng bi n thiên suy ra min f t = 4 ⇒ min y = 4 , max f t = 5 ⇒ min y = 5 . t ∈1;4  t ∈1;4    Cách 2: Áp d ng b t ng th c trung bình c ng , trung bình nhân. π π 2 2 2 2 = 4cos ⇔x = +k + 4 cos ≥ 2 4 = 4. ng th c x y ra khi : 4sin x x 4 sin x x . 4 2 4sin2 x ≥ 1 4sin2 x − 1 ≥ 0 ( )( )   2 2 ⇔ ⇔ 4sin x − 1 4sin x − 1 ≥ 0 Và  cos2 x  cos2 x ≥1 −1 ≥ 0 4 4   2 2 ⇔ 4 sin x + 4 cos x ≤ 5 . ng th c x y ra khi ho c sin x = 0 ho c cos x = 0 π π π V y min y = 4 khi x = +k và m a x y = 5 khi x = k . 4 2 2 Bài 4 :TI M C N HÀM S TÓM T T LÝ THUY T 1. ư ng ti m c n ng và ư ng ti m c n ngang: • ư ng th ng y = y 0 ư c g i là ư ng ti m c n ngang ( g i t t là ti m c n ngang) c a th hàm s () () () y = f x n u lim f x = y 0 ho c lim f x = y 0 . x →+∞ x →−∞ • ư ng th ng x = x 0 ư c g i là ư ng ti m c n ng ( g i t t là ti m c n ng) c a th hàm s () () () () () y = f x n u lim− f x = +∞ ho c lim+ f x = +∞ ho c lim− f x = −∞ ho c lim+ f x = −∞ . x →x 0 x →x 0 x →x 0 x →x 0 2. ư ng ti m c n xiên: ( ) ư c g i là ư ng ti m c n xiên ( g i t t là ti m c n xiên) c a th hàm ư ng th ng y = ax + b a ≠ 0 s y = f ( x ) n u lim f ( x ) =  f ( x ) − (ax + b )  = 0 ho c lim f ( x ) =  f ( x ) − (ax + b )  = 0 Trong ó     x →+∞ x →−∞ f (x ) f (x ) , b = lim  f ( x ) − ax  ho c a = lim , b = lim  f ( x ) − ax  . a = lim     x →+∞ x →+∞ x →−∞ x →−∞ x x Chú ý : N u a = 0 thì ti m c n xiên tr thành ti m c n ng.
  10. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 4.2 D NG TOÁN THƯ NG G P Ví d 1 : Tìm ti m c n c a th hàm s : 2x − 1 () 1. y = f x = x +2 x2 − x + 1 2. y = f (x ) = x −1 x2 + 1 () 3. y = f x = x Gi i : 2x − 1 () 1. y = f x = x +2 {} ã cho xác nh trên t p h p » \ 2 . Hàm s 1 2− 2x − 1 () x = 2 và Ta có: lim f x = lim = lim x →−∞ x + 2 x →−∞ x →−∞ 2 1+ x 1 2− 2x − 1 () x = 2 ⇒ y = 2 là ti m c n ngang c a lim f x = lim = lim th khi x → −∞ và x → +∞ . x →+∞ x + 2 x →+∞ x →+∞ 2 1+ x 2x − 1 () lim f x = lim = −∞ và − x +2 − () () x → −2 x → −2 2x − 1 () () () − + th khi x → −2 và x → −2 ; fx= = +∞ ⇒ x = −2 là ti m c n lim lim ng c a x +2 ( )+ ( )+ x → −2 x → −2 ( )= fx 2x − 1 = 0 ⇒ hàm s f không có ti m c n xiên khi x → −∞ . lim lim ( ) x x +2 x → −∞ x → −∞ x 1 ( )= 2− fx 2x − 1 x = 0 ⇒ hàm s f không có ti m c n xiên khi x → +∞ . = lim lim lim ( ) x → +∞ x + 2 x → +∞ x x + 2 x → +∞ x
  11. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x2 − x + 1 2. y = f (x ) = x −1 {} nh trên t p h p D = » \ 1 Hàm s xác 1 Ta có: f (x ) = x + x −1  1  1 ⇒ lim f (x ) = lim  x +  = +∞ và lim f (x ) = lim  x +  = −∞ ⇒ x = 1 là ti m c n ng x − 1 x − 1 x → 1+ x →1+  x → 1− x →1−   1 c a th hàm s khi x → 1+ và x → 1− ; lim f (x ) = lim  x +  = +∞ và x −1 x →+∞ x →+∞   1 lim f (x ) = lim  x +  = −∞ ⇒ hàm s không có ti m c n ngang x −1 x → −∞ x →−∞  1 1 lim (f (x ) − x ) = lim = 0 và lim (f (x ) − x ) = lim =0 x → +∞ x − 1 x → −∞ x − 1 x → +∞ x → −∞ th hàm s khi x → +∞ và x → −∞ . ⇒ y = x là ti m c n xiên c a x2 + 1 () 3. y = f x = x {} ã cho xác nh trên t p h p » \ 0 . Hàm s 1 −x 1 + x 2 = − lim 1 + 1 = −1, ⇒ y = −1 là ti m c n ngang c a () lim f x = lim th hàm s khi x2 x →−∞ x →−∞ x →−∞ x x → −∞ . 1 x 1+ x 2 = lim 1 + 1 = 1, ⇒ y = 1 là ti m c n ngang c a () lim f x = lim th hàm s khi x → +∞ . x2 x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x2 + 1 x2 + 1 () () lim f x = lim = −∞ , lim f x = lim = +∞ ⇒ x = 0 là ti m c n ng c a th − − x → 0+ x →0 + x x x →0 x →0 hàm s khi x → 0− và x → 0+ 1 −x 1 + ( ) = lim fx x +1 2 x 2 = 0 ⇒ hàm s f không có ti m c n xiên khi x → −∞ = lim lim x2 x2 x →−∞ x →−∞ x →−∞ x 1 x 1+ ( ) = lim fx x +1 2 x 2 = 0 ⇒ hàm s f không có ti m c n xiên khi x → +∞ = lim lim x2 x2 x →+∞ x →+∞ x →+∞ x Chú ý : u(x ) Cho hàm phân th c f (x ) = . v(x )
  12. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu v(x ) = 0  th hàm s là s nghi m c a h  a) S ti m c n ng c a . u(x ) ≠ 0   th hàm s có ti m c n ngang ⇔ deg u(x ) ≤ deg v(x ) , trong ó deg là b c c a a th c. b) th hàm s có ti m c n xiên ⇔ deg u(x ) = deg v(x ) + 1 .Khi ó tìm ti m c n xiên ta chia u(x ) c) u1 (x ) , trong ó deg u1 (x ) < deg v(x ) cho v(x ) , ta ư c: y = ax + b + v(x ) u1 (x ) u1 (x ) ⇒ lim = lim = 0 ⇒ y = ax + b là TCX c a th hàm s . x → +∞ v(x ) x → −∞ v(x ) *N u th hàm s có ti m c n ngang thì không có ti m c n xiên và ngư c l i. Ví d 2: Tìm ti m c n c a các th hàm s sau: 1. y = f (x ) = x 2 − 2x + 2 2. y = f (x ) = x + x 2 − 1 Gi i : 1. y = f (x ) = x 2 − 2x + 2 ã cho xác nh trên » . Hàm s x 2 − 2x + 2 f (x ) 2 2 Ta có: a = lim = lim = lim 1 − + =1 x x2 x → +∞ x x → +∞ x → +∞ x   b = lim (f (x ) − ax ) = lim  x 2 − 2x + 2 − x  x → +∞   x → +∞ 2 −2 + −2x + 2 x = lim = lim = −1 x →+∞ x → +∞ 2 2 2 x − 2x + 2 + x 1− + +1 x x2 ⇒ y = x − 1 là ti m c n xiên c a th hàm s khi x → +∞ . x 2 − 2x + 2 f (x ) 2 2 a = lim = lim = − lim 1 − + = −1 x x2 x → −∞ x x →−∞ x → −∞ x   b = lim (f (x ) − ax ) = lim  x 2 − 2x + 2 + x  x → −∞   x → −∞ 2 −2 + −2x + 2 x = lim = lim =1 x →−∞ x →−∞ 2 2 2 x − 2x + 2 − x − 1− + −1 x x2 ⇒ y = −x + 1 là ti m c n xiên c a th hàm s khi x → −∞ . 2. y = f (x ) = x + x 2 − 1 ( )  nh trên D = −∞; −1 ∪ 1; +∞ . Hàm s ã cho xác
  13. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu   x + x2 − 1 f (x ) 1 = lim  1 + 1 − =2 a = lim = lim x → +∞   x2 x → +∞ x → +∞ x x   −1 ( f (x ) − ax ) = x lim   x 2 − 1 − x  = lim b = lim =0  →+∞   x → +∞ x 2 − 1 + x x → +∞ ⇒ y = 2x là ti m c n xiên c a th hàm s khi x → +∞ .   x + x2 − 1 f (x ) 1 = lim  1 − 1 − =0 a = lim = lim x → +∞   x2 x → −∞ x → +∞ x x   −1   b = lim f (x ) = lim  x 2 − 1 + x  = lim =0 x → −∞   x →−∞ x 2 − 1 − x x →−∞ ⇒ y = 0 là ti m c n ngang c a th hàm s khi x → −∞ . Nh n xét: 1) Xét hàm s f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) . *N ua 0 ) khi x → +∞ và y = − a  x +  khi 2a 2a   x → −∞ . th hàm s y = mx + n + p ax 2 + bx + c (a > 0) có ti m c n là ư ng th ng : 2) b y = mx + n + p a | x + |. 2a Ví d 3: Tùy theo giá tr c a tham s m. Hãy tìm ti m c n c a th hàm s x −1 sau: y = f (x ) = . 3 mx − 1 Gi i : * m = 0 ⇒ y = −x + 1 ⇒ th hàm s không có ti m c n. x −1 ⇒ lim f (x ) = lim f (x ) = 0 ⇒ y = 0 là ti m c n ngang c a * m = 1 ⇒ f (x ) = th hàm s khi x3 − 1 x → +∞ x → −∞ x → +∞ và x → −∞ . 1 Vì lim f (x ) = lim = ⇒ th hàm s không có ti m c n ng x →1+ x →1− 3 m ≠ 0 1    ⇒ hàm s xác nh trên D = » \   * m ≠ 1 3  m    ư ng th ng y = 0 là ti m c n ngang c a th hàm s . 1 ư ng th ng x = là ư ng ti m c n ng c a th hàm s . 3 m
  14. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x2 + x + 1 () Ví d 4: Cho hàm s y = th là C . Ch ng minh r ng: có x −1 () 1. Tích kho ng cách t m t i m b t kì trên C n hai ti m c n không i () 2. Không có ti p tuy n nào c a C i qua giao i m c a hai ti m c n. Gi i : {} nh trên D = » \ 1 . Hàm s ã cho xác 3 1. Ta có: y = x + 2 + ⇒ hai ti m c n c a th hàm s là ∆1 : x − 1 = 0 và ∆2 : x − y + 2 = 0 x −1  3 ( ) G i M ∈ (C ) ⇒ M  x 0 ; x 0 + 2 +  ⇒ d1 = d M , ∆1 = x 0 − 1   x0 − 1   3 x0 − x0 − 2 − +2 x0 − 1 3 ( ) d2 = d M , ∆2 = = 2 x0 − 1 2 3 32 ⇒ d1 .d2 = x 0 − 1 = pcm. 2 2 x0 − 1 2. G i I = ∆1 ∩ ∆2 ⇒ I (1; 3) Gi s ∆ là ti p tuy n b t kì c a th (C) ⇒ phương trình c a ∆ có d ng   3  (x − x ) + x + 2 + 3 ∆ : y = y '(x 0 )(x − x 0 ) + y 0 =  1 − 0 0   x0 − 1 (x 0 − 1)2     3  (1 − x ) + x + 2 + 3 = 3 ⇒ I ∈ ∆ ⇔ 1 − 0 0   x0 − 1 (x 0 − 1)2   3 3 6 ⇔ 1 − x0 + + x0 + 2 + −3=0⇔ = 0 ta th y phương trình này vô nghi m. V y không x0 − 1 x0 − 1 x0 − 1 có ti p tuy n nào c a th (C) i qua I . mx 2 + (3m 2 − 2)x − 2 Ví d 5: Cho hàm s y = (C), v i m là tham s th c. x + 3m góc gi a hai ti m c n c a th (C) b ng 450 . 1. Tìm m 2. Tìm m th (C) có ti m c n xiên t o c t hai tr c t a t i A, B sao cho tam giác ∆AOB có di n tích b ng 4 . Gi i :
  15. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 6m − 2 Ta có: y = mx − 2 + x + 3m 1 th hàm s có hai ti m c n ⇔ 6m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ . 3 Phương trình hai ư ng ti m c n là: ∆1 : x = −3m ⇔ x + 3m = 0 Và ∆2 : y = mx − 2 ⇔ mx − y − 2 = 0 . Véc tơ pháp tuy n c a ∆1 và ∆2 l n lư t là : n1 = (1; 0), n2 = (m; −1) 1. Góc gi a ∆1 và ∆2 b ng 450 khi và ch khi n1 .n2 m 2 cos 450 = cos ⇔ 2m 2 = m 2 + 1 ⇔ m = ±1 = = 2 m2 + 1 n1 . n2 V y m = ±1 là nh ng giá tr c n tìm. m ≠ 0 2   2. Hàm s có ti m c n xiên ⇔  1 . Khi ó: A(0; −2), B  ; 0  m ≠ m   3 1 1 2 Ta có: S ∆ABC = OAOB = 4 ⇔ . | −2 | . = 4 ⇔ m = ±2 . 2 2 m V y m = ±2 là nh ng giá tr c n tìm. Bài 5 : PHÉP T NH TI N VÀ TÂM I X NG 5.1 TÓM T T LÝ THUY T 1. i m u n c a th : () Gi s hàm s f có o hàm c p m t liên t c trên kho ng a;b ch a i m x 0 và có o hàm c p hai trên ( ( ) ) là m t ( )( ) kho ng a; x 0 vì x 0 ;b .N u f '' i d u khi x qua i m x 0 thì I x 0 ; f x 0 i mu nc a th c a y = f (x ) . hàm s ( ( ) ) là m t o hàm c p hai t i i m x 0 thì I x 0 ; f x 0 N u hàm s f có i mu nc a th hàm s thì () f '' x 0 = 0 2. Phép t nh ti n h t a : x = X + xo  ( ( )) . trong phép tình ti n theo vectơ OI là  , I x 0; f x 0 Công th c chuy n h t a y = Y + y 0  5.2 D NG TOÁN THƯ NG G P D ng 1 : Chuy n h t a trong phép t nh tuy n theo vectơ OI . 13 12 () Ví d 1:Cho hàm s f x = x − x − 4x + 6 3 2
  16. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu () 1. Gi i phương trình f ' sin x = 0 Gi i phương trình f '' ( cos x ) = 0 2. 3. Vi t phương trình ti p tuy n c a th hàm s ã cho t i i m có hoành () là nghi m c a phương trình f '' x = 0 . Gi i : nh trên » . Hàm s ã cho xác 1 ± 17 () () 1. f ' x = x 2 − x − 4 ⇒ f ' x = 0 ⇔ x = . 2 ( ) u n m ngoài o n  −1;1 . Do ó phương trình f ' sin x = 0 vô nghi m. C hai nghi m x   1 () () 2. f '' x = 2x − 1 ⇒ f '' x = 0 ⇔ x = . Do ó phương trình 2 π 1 ( ) ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ » . f '' cos x = 0 ⇔ cos x = 2 3 1  1  47 1 17 () () 3. f '' x = 2x − 1 ⇒ f '' x = 0 ⇔ x = , f   = '  = − ,f 2  2  12 2 4 17  1  47 17 145 Phương trình ti p tuy n c n tìm là : y = − x −  + y=− x+ hay 4 2  12 4 24 () () Ví d 2 : Cho hàm s f x = x 3 − 3x 2 + 1 có th là C () 1. Xác nh i m I thu c th C c a hàm s ã cho , bi t r ng hoành () c a i m I nghi m úng phương trình f '' x = 0 . 2. Vi t công th c chuy n h t a trong phép t nh tuy n theo vectơ OI và () i v i h IXY . T ó suy ra r ng I là vi t phương trình ư ng cong C ng cong (C ) . tâm i x ng c a ư () 3. Vi t phương trình ti p tuy n c a ư ng cong C t i i m I iv ih t a Oxy .Ch ng minh r ng trên kho ng ( −∞;1) ư ng cong (C ) n m phía dư i ti p tuy n t i i m I c a (C ) và trên kho ng (1; +∞ ) ư ng cong (C ) n m phía trên ti p tuy n ó. Gi i : () () () 1. Ta có f ' x = 3x 2 − 6x , f '' x = 6x − 6 f '' x = 0 ⇔ x = 1 . c (C ) là x = 1, f (1) = −1. V y I (1; −1) ∈ (C ) . i m I thu Hoành 2. Công th c chuy n h t a trong phép t nh tuy n theo vectơ OI là  x = X + 1  y = Y − 1 
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0