intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 4

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST
Báo xấu
78
lượt xem 9
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi đh - phần 4', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 4

  1. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 5 B t phương trình cho ⇔ 3 3 − 2x + ≤ 2x + 6 ⇔ f (x ) ≤ g(x ) (*) 2x − 1  1 3 5 Xét hàm s f (x ) = 3 3 − 2x + liên t c trên n a kho ng  ;  2 2 2x − 1 1 3  1 3 −3 5 Ta có : f '(x ) = − < 0, ∀x ∈  ;  ⇒ f (x ) là hàm ngh ch bi n trên n a o n  ;  . 2 2  2 2 3 − 2x ( 2x − 1)3 Hàm s g(x ) = 2x + 6 là hàm ng bi n trên » và f (1) = g(1) = 8 • N u x > 1 ⇒ f (x ) < f (1) = 8 = g(1) < g(x ) ⇒ (*) úng • N u x < 1 ⇒ f (x ) > f (1) = 8 = g(1) > g(x ) ⇒ (*) vô nghi m. 3 V y nghi m c a b t phương trình ã cho là: 1 ≤ x ≤ . 2 Ví d 5 : Gi i b t phương trình sau (x + 2)(2x − 1) − 3 x + 6 ≤ 4 − (x + 6)(2x − 1) + 3 x + 2 Gi i : 1 i u ki n: x ≥ . 2 (*) B t phương trình cho ⇔ ( x + 2 + x + 6)( 2x − 1 − 3) ≤ 4 • N u 2x − 1 − 3 ≤ 0 ⇔ x ≤ 5 ⇒ (*) luôn úng. •N u x > 5 ( ) Xét hàm s f (x ) = ( x + 2 + x + 6)( 2x − 1 − 3) liên t c trên kho ng 5; +∞ x +2 + x +6 () 1 1 Ta có: f '(x ) = ( + )( 2x − 1 − 3) + > 0, ∀x > 5 ⇒ f x ng bi n trên 2 x +2 2 x +6 2x − 1 ( ) () kho ng 5; +∞ và f (7) = 4 , do ó * ⇔ f (x ) ≤ f (7) ⇔ x ≤ 7 . 1 ≤x ≤ 7. V y nghi m c a b t phương trình ã cho là: 2 Ví d 6 : Gi i b t phương trình sau 2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 < 2 3 + 4 − x Gi i : 2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 ≥ 0  ⇔ −2 ≤ x ≤ 4. . i u ki n:  4−x ≥ 0   (*) B t phương trình cho ⇔ 2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 − 4 − x < 2 3 ⇔ f (x ) < 2 3 Xét hàm s f (x ) = 2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 − 4 − x liên t c trên o n  −2; 4  .  
  2. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 3(x 2 + x + 1) ( ) 1 () Ta có: f '(x ) = + > 0, ∀x ∈ −2; 4 ⇒ f x ng bi n trên n a kho ng 2 4−x 3 2 2x + 3x + 6x + 16 ( −2; 4 ) và f (1) = 2 () 3 , do ó * ⇔ f (x ) < f (1) ⇔ x < 1 . ã cho là: −2 ≤ x < 1 . V y nghi m c a b t phương trình Ví d 7 : Ch ng minh r ng x 4 − x + 1 > 0 , ∀ x Gi i : Xét hàm s f (x ) = x − x + 1 liên t c trên » . 4 1 Ta có f '(x ) = 4x 3 − 1 và f '(x ) = 0 ⇔ x = . 3 4 1 Vì f '(x ) i d u t âm sang dương khi x qua , do ó 3 4 1 1 1 min f (x ) = f ( )= − +1 > 0 3 3 3 4 44 4 V y f (x ) > 0 , ∀x . Ví d 8 : Gi i h phương trình  2x + 3 + 4 − y = 4 (1)  1.   2y + 3 + 4 − x = 4 (2)  (1)  x 3 + 2x = y  2.  3 (2)  y + 2y = x  x 3 − 3x = y 3 − 3y (1)  3.  x + y = 1 6 6 (2)  Gi i :  2x + 3 + 4 − y = 4 (1)  1.   2y + 3 + 4 − x = 4 (2)  3 − ≤ x ≤ 4 i u ki n:  2 . 3 − ≤ y ≤ 4 2 Cách 1: Tr (1) và (2) ta ư c: (3) 2x + 3 − 4−x = 2y + 3 − 4 −y
  3. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 3  4 − t liên t c trên o n  − ; 4  . Xét hàm s f (t ) = 2t + 3 − 2  3  1 1 > 0, ∀t ∈  − ; 4  ⇒ (3) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y . Ta có: f / (x ) = + 2t + 3 2 4 − t 2  Thay x = y vào (1) ,ta ư c: 2x + 3 + 4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16 x = 3 9 − x ≥ 0   ⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔  2 ⇔ 2 V y h phương trình có 2 nghi m  x = 11  9x − 38x + 33 = 0   9  11 x = 3 x =  9. , phân bi t   y = 3  y = 11   9 Cách 2: Tr (1) và (2) ta ư c: (2x + 3) − (2y + 3) (4 − y ) − (4 − x ) ( )( )=0⇔ 2x + 3 − 2y + 3 + 4 −y − 4−x + =0 2x + 3 + 2y + 3 4 −y + 4−x   2 1  = 0(*). ⇔ (x − y )  +  2x + 3 + 2y + 3 4 −y + 4 −x  2 1 > 0 nên ( * ) ⇔ x = y + Vì 2x + 3 + 2y + 3 4 −y + 4 −x Thay x = y vào (1) ,ta ư c: 2x + 3 + 4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16 x = 3 9 − x ≥ 0   ⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔  2 ⇔ 2  x = 11  9x − 38x + 33 = 0   9  11 x = 3 x =  9. V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t  , y=3  11   y=  9  x 3 + 2x = y ( 1 )  2.  3  y + 2y = x ( 2 )  Cách 1 : Xét hàm s f (t ) = t 3 + 2t ⇒ f / (t ) = 3t 2 + 2 > 0, ∀t ∈ » .  f (x ) = y (1)  H phương trình tr thành  .  f (y ) = x (2)  + N u x > y ⇒ f (x ) > f (y ) ⇒ y > x (do (1) và (2) d n n mâu thu n). + N u x < y ⇒ f (x ) < f (y ) ⇒ y < x (mâu thu n).
  4. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Suy ra x = y , th vào h ta ư c ( ) x 3 + x = 0 ⇔ x x 2 + 1 = 0 ⇔ x = 0 vì x 2 + 1 > 0. x = 0  V y h có nghi m duy nh t  . y = 0  Cách 2: Tr (1) và (2) ta ư c: x 3 − y 3 + 3x − 3y = 0 ⇔ (x − y )(x 2 + y 2 + xy + 3) = 0   2 y 3y 2 ⇔ (x − y )   x +  + + 3 = 0 ⇔ x = y   2 4   ( ) Th x = y vào (1) và (2) ta ư c: x 3 + x = 0 ⇔ x x 2 + 1 = 0 ⇔ x = 0 x = 0  V y h phương trình có nghi m duy nh t  . y = 0  x 3 − 3x = y 3 − 3y (1)  3.  x + y = 1 6 6 (2)  T (1) và (2) suy ra −1 ≤ x , y ≤ 1 (1) ⇔ f (x ) = f (y ) (*) Xét hàm s f (t ) = t − 3t liên t c trên o n [ −1;1] , ta có 3 () f '(t ) = 3(t 2 − 1) ≤ 0 ∀t ∈ [ −1;1] ⇒ f t ngh ch bi n trên o n [ −1;1] 1 Do ó: (*) ⇔ x = y thay vào (2) ta ư c nghi m c a h là: x = y = ± . 6 2 Ví d 9 : Gi i h phương trình  1 1 x − = y − (1) 1.  x y  2x 2 − xy − 1 = 0 (2)   1 1 x − = y − (1) 2.  x y  2y = x 3 + 1 (2)  Gi i :  1 1 x − = y − (1) 1.  x y  2x 2 − xy − 1 = 0 (2)  i u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0 . Ta có:
  5. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu y = x  1  (1) ⇔ (x − y )  1 + =0⇔ 1 y=− .  xy   x • y = x phương trình (2) ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = ±1 . 2 1 • y = − phương trình (2) vô nghi m. x  x = 1  x = −1   ; V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t  .  y = 1  y = −1   Bình lu n:  1 1 x − = y − (1) Cách gi i sau ây sai:  x y .  2x 2 − xy − 1 = 0 (2)  i u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0 . Xét hàm s 1 1 f (t ) = t − , t ∈ » \ {0} ⇒ f / (t ) = 1 + > 0, ∀t ∈ » \ {0} . t2 t Suy ra (1) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y ! Sai do hàm s f (t ) ơn i u trên 2 kho ng r i nhau (c th f ( −1 ) = f ( 1 ) = 0 ).  1 1 x − = y − (1) 2.  x y   2y = x + 1 3 (2) Cách 1: i u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0. x = y x −y  1  (1) ⇔ x − y + = 0 ⇔ (x − y )  1 + =0⇔ 1 y=− .  xy  xy  x x = 1 • x = y phương trình (2) ⇔   x = −1 ± 5 .   2 1 • y=− phương trình (2) ⇔ x 4 + x + 2 = 0. x −1 Xét hàm s f (x ) = x 4 + x + 2 ⇒ f / (x ) = 4x 3 + 1 = 0 ⇔ x = . 3 4  −1  3  = 2 − 3 > 0, xlim = xlim = +∞ f 3  4 →−∞ →+∞ 44 ⇒ f (x ) > 0, ∀x ∈ » ⇒ x 4 + x + 2 = 0 vô nghi m. Cách 2:
  6. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu i u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0. x = y x −y  1  (1) ⇔ x − y + = 0 ⇔ (x − y )  1 + =0⇔ 1 y=− .  xy  xy  x x = 1 • x = y phương trình (2) ⇔   x = −1 ± 5 .   2 1 • y=− phương trình (2) ⇔ x 4 + x + 2 = 0. x • V i x < 1 ⇒ x + 2 > 0 ⇒ x4 + x + 2 > 0 . • V i x ≥ 1 ⇒ x 4 ≥ x ≥ −x ⇒ x 4 + x + 2 > 0 . Suy ra phương trình (2) vô nghi m.  −1 + 5  −1 − 5 x = x = x = 1    2 2 ∨ ∨ V y h phương trình có 3 nghi m phân bi t   . y = 1 −1 + 5  −1 − 5 y =  y=     2 2 Ví d 10: Gi i các h phương trình  2x y = 1 − x2   2y 1. z = 1 − y2   2z x = 1 − z 2  y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0  2. z 3 − 9y 2 + 27y − 27 = 0 x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0  Gi i :  2x = y 1 − x2   2y = 1. z 1 − y2   2z = x 1 − z2  x >y >z Gi s () 2t {} Xét hàm s : f t = nh trên D = » \ ±1 .Ta có ,xác 1 − t2
  7. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 2(t 2 + 1) () () ft= > 0, ∀x ∈ D ⇒ f t luôn ng bi n trên D . (1 − t 2 )2 () () () Do ó : x > y > z ⇒ f x > f y > f z ⇒ y > z > x . Mâu thu n, do ó i u gi s sai . Tương t x < y < z không tho . V yx =y =z ( )( ) H cho có nghi m : x ; y; z = 0; 0; 0 y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0  2. z 3 − 9y 2 + 27y − 27 = 0 x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0  y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0 y 3 = 9x 2 + 27x − 27 3 3 z − 9y + 27y − 27 = 0 ⇔ z = 9y + 27y − 27 2 2 x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0 x 3 = 9z 2 + 27z − 27   c trưng : f (t ) = 9t 2 − 27t + 27 ⇒ f '(t ) = 18t − 27 Xét hàm s  3  f '(t ) > 0, ∀t > 2  3 f '(t ) = 0 ⇔ 18t − 27 = 0 ⇔ t = ⇒   f ' t < 0, ∀t < 3 () 2   2 3   3 ng bi n trên kho ng  ; +∞  và ngh ch bi n trên kho ng  −∞;  .Hàm s Hàm s t giá tr nh nh t t i 2 2    3  27 3 t= ⇒f = 2 2 4 27 27 Và f (t ) ≥ ⇔ 9x 2 − 27x + 27 ≥ 4 4  3 3 x ≥ 3 >  27 3 3 42 ⇒ y3 ≥ ⇒y ≥ > ⇒ z ≥ 3 > 3 4 42 3  42 3   f (x ) = y  V y x , y, z thu c mi n ng bi n, suy ra h phương trình  f (y ) = z là h hoán v vòng quanh.  f (z ) = x  Không m t tính t ng quát gi s x ≥ y ⇒ f (x ) ≥ f (y ) ⇒ y 3 ≥ z 3 ⇒ y ≥ z ⇒ f (y ) ≥ f (z ) ⇒ z 3 ≥ x 3 ⇒ z ≥ x ⇒x ≥y ≥z ≥x ⇒x =y =z Thay vào h ta có: x 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0 ⇒ x = 3 . Suy ra: x = y = z = 3
  8. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu BÀI T P T LUY N () 81 1. Gi i phương trình 81sin10 x + cos10 x = * 256 2. Gi i các phương trình 3 1. (7 + 5 2)cos x − (17 + 12 2)cos = cos 3x x  π π 2 2. e t a n x + cosx =2 ,x ∈  - ;  .  2 2 3. 2003x + 2005x = 4006x + 2 4. 3x = 1 + x + log3 (1 + 2x ) 3. Gi i các phương trình 3 x −x 2 −1 ) ( 1 () x 2 − 3x + 2 + 2 +   =2 * 1. log 3 5 ( ) ( ) ( ) 2. x − 3  log 3 x − 5 + log 5 x − 3  = x + 2    3 3 x+ x− 3. log2  x +  + 2 =2 4 2  4. Gi i h phương trình: x + x 2 − 2x + 2 = 3y −1 + 1  (x , y ∈ ») 1.  x −1 y + y − 2y + 2 = 3 + 1 2  (1 + 42x −y )51−2x +y = 1 + 22x −y +1 (1) 2.  3 2 y + 4x + 1 + ln(y + 2x ) = 0 (2)  x y e = 2009 −  y 2 − 1 1 có úng 2 nghi m th a mãn i u ki n () 5. Ch ng minh r ng h phương trình  x e y = 2009 −  x2 − 1  x > 1, y > 1 . () ln(1 + x ) − ln(1 + y ) = x − y 1  6. Gi i h phương trình  2 () 2x − 5xy + y = 0 2 2  7. Gi i các h phương trình x 3 + 3x − 3 + ln(x 2 − x + 1) = y   1. y 3 + 3y − 3 + ln(y 2 − y + 1) = z 3 z + 3z − 3 + ln(z − z + 1) = x 2 
  9. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 2  x − 2x + 6 log 3 (6 − y ) = x  2.  y 2 − 2y + 6 log 3 (6 − z ) = y 2  z − 2z + 6 log 3 (6 − x ) = z  Hư ng d n : 1. t t = sin 2 x ; 0 ≤ t ≤ 1 . () 81 , t ∈ 0;1 Khi ó phương trình * ⇔ 81t 5 + (1 − t )5 =  256 Xét hàm s f (t ) = 81t 5 + (1 − t )5 liên t c trên o n 0;1 , ta có:  f '(t ) = 5[81t − (1 − t ) ],t ∈ 0;1 4 4  81t 4 = (1 − t )4  1 f '(t ) = 0 ⇔  ⇔t = 4 t ∈  0;1   1 81 L p b ng bi n thiên và t b ng bi n thiên ta có: f (t ) ≥ f ( ) = 4 256 π 1 1 1 V y phương trình có nghi m t = ⇔ sin x = ⇔ cos 2x = ⇔ x = + k π (k ∈ Z ) . 2 4 4 2 6 2. 3 1. (7 + 5 2)cos x − (17 + 12 2)cos = cos 3x x 3 ⇔ (1 + 2)3 cos x − (1 + 2)4 cos = 4 cos3 x − 3 cos x x 3 ⇔ (1 + 2)3 cos x + 3 cos x = 4 cos3 x + (1 + 2)4 cos x ( ) + t liên t c trên » ,ta có () t Xét hàm s : f t = 1 + 2 2 ) ln (1 + 2 ) + 1 > 0, ∀t ∈ » ⇒ f (t ) là hàm s ( t () f ' t = 1+ ng bi n trên » , nên ta có ( ) ( ) f 3 cos x = f 4 cos3 x π kπ ( ) ⇔ 3 cos x = 4 cos3 x ⇔ cos 3x = 0 ⇔ x = + ,k ∈ » 6 3  π π 2 2. e t a n x + cosx =2 ,x ∈  - ;   2 2  π π 2 Xét hàm s : f (x ) = e t a n x + cosx liên t c trên kho ng x ∈  - ;  .  2 2 Ta có  tan2x  − cos3x  1 2e − sin x = sin x  t a n2 x f '(x ) = 2 t a n x . e     cos2x cos3x  
  10. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 2 Vì 2e t a n x ≥ 2 > cos3x > 0 Nên d u c a f '(x ) chính là d u c a sin x . T ây ta có f (x ) ≥ f (0) = 2 V y phương trình ã cho có nghi m duy nh t x = 0 . 3. 2003x + 2005x = 4006x + 2 Xét hàm s : f (x ) = 2003x + 2005x − 4006x − 2 liên t c trên » . Ta có: f '(x ) = 2003x ln 2003 + 2005x ln 2005 − 4006 () f ''(x ) = 2003x ln2 2003 + 2005x ln2 2005 > 0 ∀x ∈ » ⇒ f "(x ) = 0 vô nghi m ⇒ f ' x = 0 có nhi u ó phương trình f ( x ) = 0 có nhi u nh t là hai nghi m và f ( 0 ) = f (1) = 0 nên nh t là m t nghi m . Do phương trình ã cho có hai nghi m x = 0, x = 1 4. 3x = 1 + x + log3 (1 + 2x ) 1 x >− 2 () Phương trình cho ⇔ 3x + x = 1 + 2x + log3 (1 + 2x ) ⇔ 3x + log3 3x = 1 + 2x + log3 (1 + 2x ) * 1 () () ( ) Xét hàm s : f (t ) = t + log3 t liên t c trên kho ng 0; +∞ , ta có f ' t = 1 + > 0, t > 0 ⇒ f t là t ln 3 ( ) ng bi n kho ng 0; +∞ nên phương trình hàm (*) ⇔ f (3x ) = f (1 + 2x ) ⇔ 3x () = 2x + 1 ⇔ 3x − 2x − 1 = 0 * * Xét hàm s : f (x ) = 3x − 2x − 1 ⇒ f '(x ) = 3x ln 3 − 2 ⇒ f "(x ) = 3x ln2 3 > 0 () ⇒ f (x ) = 0 có nhi u nh t là hai nghi m, và f (0) = f 1 = 0 nên phương trình ã cho có hai nghi m x = 0, x = 1 . 3. 3 x −x 2 −1 ) ( 1 () x 2 − 3x + 2 + 2 +   =2 * 1. log 3 5 i u ki n x 2 − 3x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ∨ x ≥ 2 t u = x 2 − 3x + 2, u ≥ 0 1− u 2 1 1 2 () ( ) ( ) () Phương trình * ⇔ log 3 u + 2 +   = 2 ⇔ log 3 u + 2 +   .5u = 2, u ≥ 0 * * 5 5 1 2 ) () ( )  Xét hàm s : f u = log 3 u + 2 +   .5u liên t c trên n a kho ng  0; +∞ 5 1 12 () ) ng bi n trên n a kho ng 0; +∞ và Ta có : f ' (u ) = + 5u . ln 5.2u > 0, ∀u ≥ 0 ⇒ f u  (u + 2) ln 3 5 () () f 1 = 2 ⇒ u = 1 là nghi m phương trình * * .
  11. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu  3− 5 x = 2 tho x 2 − 3x + 2 = 1 ⇔ x 2 − 3x + 1 = 0 ⇔  Khi ó i u ki n.  3+ 5 x =  2 ( ) ( ) ( ) 2. x − 3  log 3 x − 5 + log 5 x − 3  = x + 2   i u ki n : x > 5 ( ) ( ) ( ) Khi ó phương trình : x − 3 log 3 x − 5 + log5 x − 3  = x + 2   ( ) x +2 ( ) x ⇔ log3 x − 5 + log5 x − 3 = −3 f ( x ) = log ( x − 5 ) + log ( x − 3 ) liên t ( ) c trên kho ng 5; +∞ và có Xét hàm s 3 5 1 1 () () ( ) f' x = + > 0, ∀x > 5 ⇒ f x luôn ng bi n trên kho ng 5; +∞ . (x − 5) ln 3 (x − 3) ln 3 x +2 () ( ) Xét hàm s g x = liên t c trên kho ng 5; +∞ và có x −3 −5 () () ( ) < 0, ∀x > 5 ⇒ g x ngh ch bi n trên kho ng 5; +∞ . g' x = (x − 3 ) 2 M t khác g ( 8 ) = f ( 8 ) = 2 , do ó phương trình cho có nghi m duy nh t x = 8 .  3 3 x+ x− 3. log2  x +  + 2 =2 4 2  i u ki n : x ≥ 0 . tt = x ,t ≥ 0  3 3 t 2 +t − Phương trình cho ⇔ log2  t +  + 2 − 2 = 0, t ≥ 0 4 2   3 3 () ) t 2 +t −  − 2 liên t c trên n a kho ng  0; +∞ . Xét hàm s : f t = log2  t +  + 2 4 2  3 1 () () t 2 +t − Ta có : f ' t = + (2t + 1)2 . ln 2 > 0, ∀t ≥ 0 ⇒ f t luôn ng bi n trên n a kho ng 4  3  t +  . ln 2 2  1 1 ) () 0; +∞ và f   = 0 ⇒ t = là nghi m duy nh t c a phương trình f t = 0  2 2 1 1 1 t= ⇒ x = ⇒x = . 2 2 4 4.
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.02: Bộ 500+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2020
576 tài liệu
913 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2