intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 8

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST
Báo xấu
93
lượt xem 9
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi đh - phần 8', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 8

  1. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( )( ) G i A x 1; y1 = 2x 1 + m + 2 , B x 2 ; y2 = 2x 2 + m + 2 là các i m c c tr c a th hàm s thì x 1, x 2 là a phương trình g ( x ) = 0, x ≠ −1 nghi m c nh lý Vi- ét x 1 + x 2 = −2, x 1.x 2 = −2m Theo ( ) + (2x + m + 2) 2 2 Theo bài toán : y CÑ + yCT = y1 + y2 = 2x 1 + m + 2 2 2 2 2 2 ( ) + 4 (m + 2 )(x + x ) + 2 (m + 2) 2 y1 + y2 = 4 x 12 + x 22 2 2 1 2 y1 + y 2 = 4  x 1 + x 2 ) − 2x x  + 4 (m + 2 )(x + x ) + 2 (m + 2 ) ( 2 2 2 2     12 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 y1 + y2 = 4 4 + 4m − 8 m + 2 + 2 m + 2 = 2m 2 + 16m + 8 2 2 1 1 () () Xét f m = 2m 2 + 16m + 8, m > − , f ' m = 4m + 16 > 0, ∀m > − 2 2 1   1 1 1  () () ng bi n trên kho ng m ∈  − ; +∞  và f m > f  −  = , m ∈  − ; +∞  Do ó hàm s f m 2  2 2 2   1  1 V y y CÑ + yCT > , m ∈  − ; +∞  2 2 2 2  4m 3 ( ) {} và y = mx + 1 + m≠0 nh trên D = » \ −m 5. Hàm s ã cho xác x +m mx 2 + 2m 2x − 3m 3 Ta có : y ' = , x ≠ −m ( ) 2 x +m ( ) G i A ( x ; y ) , B ( x ; y ) là các th hàm s thì x 1, x 2 x 1 < x 2 là nghi m c a phương i m c c tr c a 1 1 2 2 trình g ( x ) = mx + 2m x − 3m = 0, x ≠ −m 2 2 3 (II ) và th c a hàm s có m t i m c c tr thu c góc ph n tư th (IV ) c m t i m c c tr thu c góc ph n tư th a m t ph ng t a khi (1) ⇔ m.g ( 0 ) < 0 ⇔ −3m < 0 ⇔ m ≠ 0 (a ) 4 (2 ) ⇔ th c a hàm s không c t tr c Ox ⇔ mx + (m ) (x ≠ −m ) vô nghi m + 1 x + 4m 3 + m = 0 2 2 m ≠ 0  m ≠ 0  ⇔ ⇔ ( ) ( ) 2  −15m − 2m + 1 < 0 4 2 ∆ = m + 1 − 4m 4m + m < 0 2 3    1 m < − m ≠ 0  () 5 ⇔ 2 1⇔ b  1 m>  m >  5  5 ( 3 ) ⇔ m < 0 (c )
  2. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1 (a ) (b ) (c ) suy ra m < − T là giá tr c n tìm. 5 {} nh trên D = » \ 1 6. Hàm s ã cho xác x 2 − 2x − 2m − 1 () o hàm f ' x = ,x ≠ 1 Ta có ( ) 2 x −1 Cách 1: () i và c c ti u khi f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t Hàm s có c c () x ≠ 1 hay phương trình g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghi m ∆ ' > 0  2m + 2 > 0  ( 1) phân bi t x ≠ 1 , khi ó  ⇔ ⇔ m > −1 () −2m − 2 ≠ 0 g 1 ≠ 0   ( )( ) th hàm s thì x 1, x 2 G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2 là các i m c c tr c a là nghi m c a g ( x ) = 0 x = 1 − 2m + 2 ⇒ y = 1 − m − 2 2m + 2 Khi ó: y ' = 0 ⇔  1 1 x 2 = 1 + 2m + 2 ⇒ y2 = 1 − m + 2 2m + 2  )( ) ( Hai giá tr c c tr cùng d u khi y1.y2 > 0 ⇔ 1 − m − 2 2m + 2 1 − m + 2 2m + 2 > 0 ( ) ( ) 2 ⇔ 1−m − 4 2m + 2 > 0 (2) ⇔ m 2 − 10m − 7 > 0 ⇔ m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 (1) và (2 ) suy ra −1 < m < 5 − 4 2 ∨m > 5+4 2 T Cách 2 : x 2 − 2x − 2m − 1 () {} o hàm f ' x = ,x ≠ 1 nh trên D = » \ 1 và có Hàm s ã cho xác (x − 1) 2 () i và c c ti u khi f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t Hàm s có c c () x ≠ 1 hay phương trình g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghi m   ∆ ' > 0 2m + 2 > 0 phân bi t ⇔  ⇔ ⇔ m > −1 ()−2m − 2 ≠ 0 g 1 ≠ 0   th c a hàm s y = 0 c t tr c hoành t i Hai giá tr c c tr cùng d u khi ( ) (x ≠ 1) có hai nghi m phân bi t hai i m phân bi t x ≠ 1 hay phương trình x 2 − m + 1 x + 3m + 2 = 0 x ≠ 1. ∆ = m + 1 2 − 4 3m + 2 > 0 ( ) ( ) 2 m − 10m − 7 > 0  T c là ⇔  ⇔ ( ) 2m + 2 ≠ 0 1 − m + 1 + 3m + 2 ≠ 0  
  3. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu  m < 5 − 4 2   ⇔  m > 5 + 4 2  m ≠ −1   −1 < m < 5 − 4 2 So v i i u ki n suy ra  là giá tr c n tìm . m > 5 + 4 2  7. Hàm s cho xác nh trên » . 1. () ( ) ( ) Ta có f ' x = 3x 2 + 2 m − 1 x − m + 2 . () Vì ∆ ' = m 2 + m + 7 > 0, ∀m ∈ » nên phương trình f ' x = 0 luôn có hai nghi m phân bi t . Do ó th i , m t c c ti u v i m i giá tr c a tham s m . c a hàm s luôn có m t c c 2. () () m = 1 ⇒ C : f x = x 3 − 3x − 1 i M ( x ; y ) là to () (C ) a ). G ti p i m c a ư ng th ng d và th 0 0 () x ⇒ y 0 = x 0 − 3x 0 − 1, y 0 ' = 3x 0 − 3 . ư ng th ng d vuông góc v i ư ng th ng y = 3 2 khi 3 1 y 0 '   = −1 ⇔ 3x 0 − 3 = −3 ⇔ x 0 = 0 ⇔ x 0 = 0, y 0 = −1 2 2 3 () (C ) t i i m ( 0; −1) . V y ư ng th ng d : y = −3x − 1 và ti p xúc v i th () ( ) c ti u là B (1; −3 ) . Do ó ư i là A −1;1 , i m c b). ng th ng qua AB là : th C có i m c c y = −2x − 1 . D ng 4 : ng d ng c c tr c a hàm s trong bài toán is . Ví d : Tìm t t c các giá tr th c c a m phương trình sau có m t s l 2 2 nghi m th c: (3x − 14x + 14) − 4(3x − 7)(x − 1)(x − 2)(x − 4) = m . Gi i : ( )( )( ) f (x ) = x − 1 x − 2 x − 4 = x − 7x + 14x − 8 3 2 ( ) ( ) 2 g(x ) = 3x 2 − 14x + 14 − 4 3x − 7 f (x ) g ( x ) là a th c b c 4 v i h s c a x là −3 . 4 f '(x ) = 3x 2 − 14x + 14 ( )( ) ( ) g '(x ) = 2 3x 2 − 14x + 14 6x − 14 − 12 f (x ) − 4 3x − 7 f '(x ) = −12 f (x )
  4. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu g '(x ) = 0 ⇔ x = 1; x = 2; x = 4. g(1) = 9; g (2) = 4; g(4) = 36. B ng bi n thiên c a g (x ) . −∞ +∞ x 1 2 4 g '(x ) + + 0− − 0 0 36 9 g (x ) −∞ 4 −∞ T b ng bi n thiên cho th y phương trình g(x ) = m có m t s l nghi m khi và ch khi: m = 4; m = 9; m = 36. Bài 3 : GIÁ TR L N NH T GIÁ TR NH NH T C A HÀM S . 3.1 TÓM T T LÝ THUY T 1. nh nghĩa: Cho hàm s xác nh trên D • S M g i là giá tr l n nh t (GTLN) c a hàm s y = f (x ) trên D  f (x ) ≤ M ∀x ∈ D  nu , ta kí hi u M = max f (x ) .  ∃x 0 ∈ D : f (x 0 ) = M x ∈D   f (x ) ≥ M ∀x ∈ D  • S m g i là giá tr nh nh t (GTNN) c a hàm s y = f (x ) trên D n u  , ta kí  ∃x 0 ∈ D : f (x 0 ) = m   hi u m = min f (x ) . x ∈D 2. Phương pháp tìm GTLN, GTNN c a hàm s tìm GTLN, GTNN c a hàm s y = f (x ) trên D ta tính y ' , tìm các i m mà t i Phương pháp chung: ó o hàm tri t tiêu ho c không t n t i và l p b ng bi n thiên. T b ng bi n thiên ta suy ra GTLN, GTNN. Chú ý: • N u hàm s y = f (x ) luôn tăng ho c luôn gi m trên a; b  thì max f (x ) = max{f (a ), f (b)}; min f (x ) = min{f (a ), f (b)} . [a;b] [a;b] a; b  thì luôn có GTLN, GTNN trên o n ó và N u hàm s y = f (x ) liên t c trên • tìm GTLN,   GTNN ta làm như sau * Tính y ' và tìm các i m x1, x 2 ,..., x n mà t i ó y ' tri t tiêu ho c hàm s không có o hàm. * Tính các giá tr f (x1 ), f (x 2 ), ..., f (x n ), f (a ), f (b ) .Khi ó
  5. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} () + max f x = max f a , f x 1 , f x 2 ...f x i , f b x ∈a ;b  x ∈a ;b    min f ( x ) = min {f (a ) , f ( x ) , f ( x ) ...f ( x ) , f (b )} + 1 2 i x ∈a ;b  x ∈a ;b    • N u hàm s y = f (x ) là hàm tu n hoàn chu kỳ T thì tìm GTLN, GTNN c a nó trên D ta ch c n tìm GTLN, GTNN trên m t o n thu c D có dài b ng T . * Cho hàm s y = f (x ) xác nh trên D . Khi t n ph t = u(x ) , ta tìm ư c t ∈ E v i ∀x ∈ D , ta có y = g (t ) thì Max, Min c a hàm f trên D chính là Max, Min c a hàm g trên E . * Khi bài toán yêu c u tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t mà không nói trên t p nào thì ta hi u là tìm GTLN, GTNN trên t p xác nh c a hàm s . * Ngoài phương pháp kh o sát tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp mi n giá tr hay B t ng th c tìm Max, Min. 3.2 D NG TOÁN THƯ NG G P Ví d 1 : Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : 3x − 1 trên o n 0;2 . 1. y =  x −3 2. y = (x − 6) x 2 + 4 trên o n 0; 3  .  ( ) 3 trên o n  −1;1 . 3. y = x 6 + 4 1 − x 2   −x 2 + 5x + 6 trên o n [ −1; 6] . 4. y = Gi i : 3x − 1 1. y = x −3 nh trên o n 0;2  . Hàm s ã cho xác  −8 () < 0, ∀x ∈ 0;2  Ta có f ' x =  (x − 3 ) 2 B ng bi n thiên 0 2 x () − f' x 1 () fx 3 −5 1 () () T b ng bi n thiên suy ra : max f x = khi x = 0 min f x = −5 khi x = 2 3  0;2   0;2    2. y = (x − 6) x 2 + 4 Hàm s y = (x − 6) x 2 + 4 liên t c trên o n 0; 3  . 
  6. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 2x 2 − 6x + 4 , x ∈ 0; 3  Ta có : y ' =  x2 + 4 x = 1 y' = 0 ⇔  x = 2  y(1) = −5 5    max y = −3 13 y(0) = −12  x ∈0;3 ⇒   y(2) = −8 2  xmin y = −12  ∈0;3  y(3) = −3 13   V y max y = −3 13 khi x = 3 , min y = −12 khi x = 0 . x ∈0;3  x ∈ 0;3   ( ) 3 3. y = x 6 + 4 1 − x 2 nh trên o n  −1;1 . Hàm s ã cho xác   t t = x , x ∈  −1;1 ⇒ t ∈ 0;1 2    ( ) () ( ) () ( ) 3 2 ã cho vi t l i f t = t 3 + 4 1 − t , t ∈ 0;1 và f ' t = 3t 2 − 12 1 − t = 3 −3t 2 + 8t − 4 Hàm s   2 2 4 t = , f   = () f' t =0⇔ 3 3 9 t = 2  () () f 0 = 4, f 1 = 1 B ng bi n thiên 2 0 1 x 3 () + − 0 f' x f (x ) 4 1 4 9 4 2 () () T b ng bi n thiên suy ra : max f x = 4 khi x = 0 min f x = khi x = ± 9 3      −1;1  −1;1 −x 2 + 5x + 6 4. y = −x 2 + 5x + 6 liên t c trên o n [ −1; 6] . Hàm s y = −2x + 5 y' = 2 −x 2 + 5x + 6 5 y ' = 0 ⇔ x = ∈ [ −1; 6] 2
  7. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 5 7 y(−1) = y ( 6 ) = 0, y   = . 2 2 7 5 V y : min y = 0 khi x = −1, x = 6 và max y = khi x = . 2 2 x ∈ −1;6    x ∈  −1;6    x + 1 + 9x 2 Ví d 2 : Tìm giá tr l n nh t c a các hàm s : y = ,x > 0 . 8x 2 + 1 Gi i : ( ) nh trên kho ng 0; +∞ Hàm s ã cho xác x + 9x 2 + 1 9x 2 + 1 − x 2 1 y= = = ) ( 8x 2 + 1 9x 2 + 1 − x (8x 2 + 1) 9x 2 + 1 − x ( 0; +∞ ) khi hàm s Hàm s t giá tr l n nh t trên kho ng 9x () f' x = −1 ( ) 9x + 1 2 f (x ) = 9x + 1 − x t giá tr nh nh t trên kho ng 0; +∞ . Ta có : 2 x > 0  1 () f ' x = 0 ⇔ 9x 2 + 1 = 9x ⇔  ⇔x = 72x = 1 2 62  22 1 1 32 1 () min f x = khi x = ⇒ maxy = = khi x = . 3 4 x >0 x >0 62 22 62 3 Ví d 3: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : 1. y = x + 4 − x 2 trên o n  −2;2 .   x +1 trên o n x ∈  −1;2  . 2. y =   x +1 2 Gi i : 1. y = x + 4 − x 2 nh trên o n  −2;2  . Hàm s ã cho xác   4 − x2 − x ( ) x Ta có y ' = 1 − = , x ∈ −2;2 4−x 4−x 2 2    4−x −x = 0  4−x = x 2 2 y' = 0 ⇔  ⇔ ( ) ( ) x ∈ −2;2 x ∈ −2;2   0 < x < 2 0 < x < 2   ⇔ ⇔ 2 ⇔x = 2 4 − x = x x = 2 2 2   B ng bi n thiên
  8. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu −2 x 2 2 + − y' 0 y −2 2 22 () () T b ng bi n thiên , ta ư c max f x = 2 2 khi x = 2 min f x = −2 khi x = −2 x ∈ −2;2  x ∈ −2;2      x +1 trên o n x ∈  −1;2  . 2. y =   x2 + 1 Hàm s ã cho xác nh trên o n  −1;2  .   −x + 1 Ta có y ' = ⇒y' = 0 ⇔ x =1 ( ) 3 x +1 2 B ng bi n thiên . −1 1 2 x +0 − y' 2 y 35 0 5 T b ng bi n thiên , ta ư c max y = 2 khi x = 1 min y = 0 khi x = −1 x ∈ −1;2 x ∈ −1;2      Ví d 4 : Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s y = x 3 − 3x 2 + 1 trên o n  −2;1 .   Gi i : nh trên  −2;1 . Hàm s ã cho xác   () t g x = x − 3x + 1, x ∈  −2;1 3 2   () g ' x = 3x 2 − 6x . x = 0 () g' x = 0 ⇔  x = 2 ∉  −2;1    () () () () () g −2 = −19, g 0 = 1, g 1 = −1 , suy ra max g x = 1, min g x = −19 .  −2;1  −2;1     () () () x ∈  −2;1 ⇒ g x ∈  −19;1 ⇒ f x = g x ∈ 0;19  .       () () () () g 0 .g 1 < 0 ⇒ ∃ x 1 ∈ 0;1 sao cho g x 1 = 0. () () V y max f x = 19, min f x = 0.  −2;1  −2;1    
  9. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Ví d 5: giá tr l n nh t c a hàm s y = x 2 + 2x + a − 4 trên o n 1. Tìm a  −2;1 t giá tr nh nh t .   giá tr l n nh t c a hàm s y = x 2 + px + q trên o n 2. Tìm giá tr p, q  −1;1 là bé nh t .   Gi i : nh trên  −2;1 . 1. Hàm s ã cho xác   ( ) 2 y = x 2 + 2x + a − 4 = x + 1 + a − 5 () 2 t t = x + 1 , x ∈  −2;1 ⇒ t ∈ 0; 4     Ta có f (t ) = t + a − 5 , t ∈ 0; 4   max y ⇔ max f (t ) = max {f ( 0 ) , f {4}} = max { a − 5 , a − 1 } x ∈ −2;1 t ∈ 0;4  t ∈ 0;4  t ∈ 0;4       • a − 5 ≥ a − 1 ⇔ a ≤ 3 ⇒ max f (t ) = a − 5 = 5 − a t ∈ 0;4   • a − 5 ≤ a − 1 ⇔ a ≥ 3 ⇒ max f (t ) = a − 1 = a − 1 t ∈0;4   5 − a ≥ 5 − 3 = 2, ∀a ≤ 3  () ⇒ max f t ≥ 2, ∀a ∈ » M t khác  a − 1 ≥ 3 − 1 = 2, ∀a ≥ 3 t ∈ 0;4    () V y giá tr nh nh t c a max f t = 2 khi a = 3 t ∈ 0;4   () () o n  −1;1 ⇒ y = f x 2. Xét hàm s f x = x 2 + px + q xác nh trên   f ( − 1) = 1 − p + q, f ( 0 ) = q , f ( 1) = 1 + p + q Gi s max y = f (α ) ⇒ f (1) + f (0) ≥ f (1) − f (0) = 1 + p , f (−1) + f (0) ≥ f (−1) − f (0) = 1 − p  1  f (1) > 2⇒f α >1 () •p > 0 ⇒ 1 + p > 1 ⇒   f (0) > 1 2   2  1  f (−1) > 2⇒f α >1 () •p < 0 ⇒ 1 − p > 1 ⇒   f (0) > 1 2   2     p max y = max  f (− ) ; f (−1) ; f (1)  2   x ∈ −1;1    
  10. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu  p () () () () • p = 0 ⇒ f x = x 2 + q , f 0 = f  −  = q , f −1 = f 1 = 1 + q  2 Giá tr l n nh t c a y là m t trong hai giá tr q ; 1 + q 1 1 1 1 ⇒ 1 + q > ⇒ f (±1) > ⇒ f (α ) > •q > − 2 2 2 2 1 1 1 1 •q < − ⇒ q > ⇒ f (0) > ⇒ f (α ) > 2 2 2 2 1 11 1 () •q = − ⇒ f x = x 2 − ≤ ⇒ max f (x ) = ⇔ x = 0; x = ±1 2 22 2 () cũng là giá tr nh nh t c a f α . 1 V y p = 0, q = − tho mãn bài toán . 2 ax + b Ví d 6 : Tìm các giá tr a, b sao cho hàm s y = có giá tr l n nh t x2 + 1 b ng 4 và có giá tr nh nh t b ng −1 . Gi i : Hàm s ã cho xác nh trên » . • Hàm s có giá tr l n nh t b ng 4 khi và ch khi ax + b ≤ 4, ∀x ∈ » 2 2 4x − ax + 4 − b ≥ 0, ∀x ∈ » x + 1 ⇔ 2  ax 0 + b 4x − ax 0 + 4 − b = 0 : coù nghieäm x 0 ∃x 0 ∈ » : 2 =4 0 x0 + 1   ( ) ∆ = a 2 − 16 4 − b ≤ 0  () ⇔ ⇔ a 2 + 16b − 64 = 0 * ( ) ∆ = a − 16 4 − b ≥ 0 2  • Hàm s có giá tr nh nh t b ng 1 khi và ch khi ax + b ≥ −1, ∀x ∈ »  2 x + ax + b + 1 ≥ 0, ∀x ∈ » x2 + 1 ⇔ ⇔ 2 ax 0 + b x 0 + ax 0 + b + 1 = 0 : coù nghieäm x 0  ∃x 0 ∈ » : 2 = −1  x0 + 1   ( ) ∆ = a 2 − 4 b + 1 ≤ 0  () ⇔ ⇔ a 2 − 4b − 4 = 0 * * ( ) ∆ = a − 4 b + 1 ≥ 0 2  () 2 2   a + 16b − 64 = 0 * a = −4 a = 4 a = 16 () () ⇔⇔  ⇔ ∨ * và * * ta có h  2 T () b = 3 b = 3 b = 3 a − 4b − 4 = 0 * *       a = −4 a = 4 ∨ V y giá tr a, b c n tìm là :  b = 3 b = 3  
  11. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Ví d 7 : Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : 1. y = sin 4 x + cos2 x + 2 π  2. y = x − sin 2x trên o n  − ; π  2  sin x + 1 3. y = sin x + sin x + 1 2 sin 6 x cos x + cos6 x sin x 4. y = sin x + cos x Gi i : 1. y = sin 4 x + cos2 x + 2 y = sin 4 x + cos2 x + 2 = sin 4 x − sin2 x + 3 Hàm s ã cho xác nh trên » . t t = sin2 x , 0 ≤ t ≤ 1 () Xét hàm s f t = t 2 − t + 3 liên t c trên o n 0;1  () Ta có f ' t = 2t − 1 , t ∈  0;1  1 () f' t =0⇔t = 2  1  11 () () f 0 =f 1 =3 , f = 2 4 11 3 () () min y = min f t = =2 max y = m a x f t = 3 4 4 t ∈ 0;1 t ∈ 0;1   π  2. y = x − sin 2x trên o n  − ; π  2  π  Hàm s ã cho xác nh trên o n  − ; π  2  π ()
  12. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu π π min y = − khi x = − 2 2 π  x ∈ − ;π  2  sin x + 1 3. y = sin x + sin x + 1 2 t +1 t t = sin x ⇒ f ( t ) = , t ∈ [ −1; 1] t +t +1 2 t +1 f (t ) = liên t c trên o n [ −1; 1] t +t +1 2 −t 2 − 2t f (t ) = 2 / (t + t + 1)2 f / ( t ) = 0 ⇔ t = 0 ∈ [ −1; 1] 2 f (−1) = 0, f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = . 3 V y: π min f ( x ) = min f ( t ) = 0 khi sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π , k ∈ Z 2 t ∈ −1;1    max f ( x ) = max f ( t ) = 1 khi sin x = 0 ⇔ x = k π , k ∈ Z . t ∈ −1;1    sin x cos x + cos6 x sin x 6 4. y = sin x + cos x Vì sin x + cos x ≥ sin2 x + cos2 x = 1, ∀x sin x cos x  sin x + cos x  5 5   sin6 x cos x + cos6 x sin x   Nên y = = sin x + cos x sin x + cos x ( ) y = sin x cos x 1 − sin x cos x − sin2 x cos2 x −1 1 1 2 y= sin 3 x − sin 2x + sin 2x 8 4 2 t t = sin 2x ; 0 ≤ t ≤ 1 −1 3 1 2 1 t − t + t liên t c trên o n 0;1 . Xét hàm s : f (t ) =  8 4 2 −3 2 1 1 2 t − t + , ∀t ∈ 0;1 và f '(t ) = 0 ⇔ t = Ta có : f '(t ) =  8 2 2 3 2 5 1 f (0) = 0; f   = ; f (1) =  3  27 8 kπ V y : min y = min f (t ) = f (0) = 0 khi sin 2x = 0 ⇔ x = 2 t ∈0;1  2 5 1 kπ 2 1 1 max y = maxf (t ) = f   = khi sin 2x = ⇔ cos 4x = ⇔ x = ± arc cos +  3  27 3 9 4 9 2 t ∈0;1 
  13. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Ví d 8 : Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : 1 1. y = sin x + cos x 2. y = 1 + sin x + 1 + cos x Gi i : 1 1. y = sin x + cos x  π Xét hàm s g(x ) = sin x + cos x liên t c trên o n 0;   2  π cos x cos x − sin x sin x cos x sin x Ta có : g '(x ) = − = , x ∈  0;   2 2 sin x 2 cos x 2 sin x . cos x cos x = sin x  π π  g '(x ) = 0, x ∈ 0;  ⇔   π ⇔x = x ∈ 0; 2   2 4    π π 1 g(0) = 1; g( ) = 4 8; g ( ) = 1 ⇒ 1 ≤ g (x ) ≤ 4 8 ⇒ ≤y ≤1 4 2 4 8 1 V y min y = , max y = 1 4 8 2. y = 1 + sin x + 1 + cos x  1 + sin x ≥ 0 nh khi  Hàm s ã cho xác 1 + cos x ≥ 0  () y > 0 ⇒ y 2 = sin x + cos x + 2 + 2 sin x + cos x + sin x cos x + 1 *  π t2 − 1 t t = sin x + cos x = 2 sin  x +  , − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x cos x = 4 2  ( ) () 12 () Khi ó * vi t l i f t = t + 2 + 2 t + 2t + 1 = t + 2 + 2 t + 1 2 ) (  1− 2 t + 2 − 2, neáu − 2 ≤ t ≤ −1  () f t = 2 )t + 2 + ( 2, neáu − 1 ≤ t ≤ 2  1+  1 − 2 < 0, neáu − 2 ≤ t < −1  () f' t = 2 > 0, neáu − 1 < t ≤ 2 1 +  () o hàm t i i m t = −1 Hàm s f t không có B ng bi n thiên
  14. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu −1 −2 2 x () + − f' t f (t ) 4−2 2 4+2 2 1 () () T b ng bi n thiên , ta ư c max f x = 4 + 2 2 min f x = 1 x ∈» x ∈» ) ( Ví d 9: g(x ) = f (sin2 x )f cos2 x trong ó hàm f th a mãn: f (cot x ) = sin 2x + cos 2x ∀x ∈ [0; π ] Gi i : t t = cot x t2 − 1 2 ta n x 2 cot x 2t ⇒ sin 2x = = = ; cos 2x = 1 + t a n2 x 1 + cot2 x 1 + t2 t2 + 1 t 2 + 2t − 1 ⇒ f (t ) = t2 + 1 (sin 4 x + 2 sin2 x − 1)(cos4 x + 2 cos2 x − 1) ⇒ g(x ) = (sin 4 x + 1)(cos4 x + 1) sin 4 x cos4 x + 8 sin2 x cos2 x − 2 u 2 + 8u − 2 g(x ) = = = h(u ) . sin 4 x cos4 x − 2 sin2 x cos2 x + 2 u 2 − 2u + 2 1 trong ó u = sin2 x cos2 x ; 0 ≤ u ≤ . 4  1 −5u 2 + 4u + 6 ⇒ h '(u ) = 2 >0 ∀u ∈ 0;  .  4 (u 2 − 2u + 2)2 1 1  1 ⇒ hàm s h(u ) luôn tăng trên 0;  nên max h(u ) = h   = min h(t ) = h(0) = −1 .  4  25 u∈0; 1   4  1 u∈0;    4  4 1 V y max g(x ) = ; min g(x ) = −1 25 Ví d 10: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s trên :  −1;2 , bi t   () f 0 = 1  2 () ()  f x .f ' x = 1 + 2x + 3x 2  Gi i : 3  f (x ) x .f ' x = 1 + 2x + 3x ⇔   = x + x 2 + x 3 + c, c : h ng s . () () 2 2 f 3
  15. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1 () f 0 =1⇒c = 3 Do ó f (x ) = 3 3x 3 + 3x 2 + 3x + 1 () Xét hàm s : g x = 3x 3 + 3x 2 + 3x + 1 liên t c trên o n x ∈  −1;2  .   () Ta có g ' x = 9x 2 + 6x + 3 x = −1 () g' x = 0 ⇔  x = − 1   3  1 2 () () () () g −1 = −2, g 2 = 40, g  −  = ⇒ m a x g x = 40, min g x = −2  3 9 x ∈ −1;2  x ∈ −1;2     () m a x f x = 3 40 khi x = 2 x ∈−1;2 Vy   () xmin  f x = −2 khi x = −1 3  ∈ −1;2  Ví d 11 : Cho a, b là các s dương tho mãn ab + a + b = 3 . Tìm GTLN c a 3a 3b ab bi u th c: P = + + − a 2 − b 2 (D b i h c- 2005 ) . b +1 a +1 a +b Gi i : (a + b )2 T ab + a + b = 3 ⇒ 3 − (a + b) = ab ≤ ⇔ a +b ≥ 2. 4 3a(a + 1) + 3b(b + 1) ab Ta có: P = + − (a + b)2 + 2ab (b + 1)(1 + a ) a +b (a + b )2 − 2ab + (a + b) ab P =3 + − (a + b)2 + 2ab ab + a + b + 1 a +b 3 − (a + b) 3 P = (a + b)2 + 3(a + b) − 6  + − (a + b)2 + 6 − 2(a + b)     a +b 4 1  12 P =  −(a + b)2 + (a + b) + + 2 . a +b 4  12 t t = a + b ≥ 2 . Xét hàm s g(t ) = −t 2 + t + +2 v i t ≥2 t 12 3 Ta có: g '(t ) = −2t + 1 −
  16. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz = (x + y + z )(x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) và i u ki n ta có: P = (x + y + z )(x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx )  (x + y + z )2 − 2  = (x + y + z ) 2 −  2     t t = x +y +z ⇒ − 6 ≤t ≤ 6 t2 − 2 t3 Ta có: P = t(2 − ) = − + 3t = f (t ) 2 2 Xét hàm s f (t ) v i − 6 ≤ t ≤ 6 . 32 Ta có: f '(t ) = (−t + 2) ⇒ f '(t ) = 0 ⇔ t = ± 2 2 ⇒ max f (t ) = f ( 2) = 2 2; f (t ) = f (− 2) = −2 2 min − 6; 6   − 6; 6          t ư c khi x = 2; y = z = 0 V y max P = 2 2 t ư c khi x = − 2; y = z = 0 . min P = −2 2 ( ) Ví d 13: Cho hai s x , y ≠ 0 thay i th a mãn x + y xy = x 2 + y 2 − xy 1 1 Tìm GTLN c a bi u th c : A = + i h c Kh i A – 2006 ). ( x3 y3 G i i: Cách 1 : ( ) t: u = x + y, v = xy ⇒ x + y xy = x 2 + y 2 − xy ⇔ uv = u 2 − 3v u2 ( ) ( ) ⇔ u + 3 v = u2 ⇔ v = do u ≠ −3 . u+3 )=u ( u u 2 − 3v 2 u + 3 x 3 + y3 u 3 − 3uv 2 1 1 V yA= + = = = =  (xy ) v3 v2  u  x3 y3 3 v3 u −1 4u 2 4 ≥ 0 ( ây ta lưu ý u ≠ 0 ) ⇔ u ≥ 1 ∨ u < −3 Vì u 2 ≥ 4v ⇒ u 2 ≥ ⇔ ≤1⇔ u+3 u+3 u+3 u+3 u+3 −3 () () ⇒ > 0 . Xét hàm f u = ⇒f' u =
  17. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1 a + b = a 2 + b 2 − ab ≥ (a + b)2 ⇔ 0 ≤ a + b ≤ 4 4 Và A = a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 + b 2 − ab) = (a + b)2 ≤ 16 1 ng th c x y ra ⇔ a = b = 2 ⇔ x = y = . 2 i và th a mãn h th c x 2 + y 2 = 1 . Ví d 14 : Cho hai s th c x , y thay 2(x 2 + 6xy ) Tìm GTLN, GTNN c u bi u th c: P = 1 + 2xy + 2y 2 i h c Kh i B – 2008). ( Gi i: Cách 1 : 2(x 2 + 6xy ) 2(x 2 + 6xy ) Ta có: P = = 1 + 2xy + 2y 2 x 2 + 2xy + 3y 2 * N u y = 0 ⇒ P = 1. 2(t 2y 2 + 6ty 2 ) 2(t 2 + 6t ) () N u y ≠ 0 thì t : x = ty ⇒ P = = = 2f t t 2y 2 + 2ty 2 + 3y 2 t 2 + 2t + 3 Xét hàm s f (t ) , ta có : −4t 2 + 6t + 18 () () () 3 , lim f t = 1 f' t = , f ' t = 0 ⇔ t1 = 3, t2 = − ) (t 2 t →±∞ 2 + 2t + 3 2 L p b ng bi n thiên ta ư c: GTLN P = 3 và GTNN P = −6 . Cách 2 : 2(x 2 + 6xy ) 2x 2 + 12xy P= = 1 + 2xy + 2y 2 x 2 + 2xy + 3y 2 2x 2 + 12xy −(x − 3y )2 ⇒P −3 = −3= ≤0 x 2 + 2xy + 3y 2 x 2 + 2xy + 3y 2  3 x = ± x = 3y   2. ng th c x y ra ⇔  2 ⇔ ⇒ P ≤ 3.  x + y2 = 1 1  y = ±    2 2x 2 + 12xy 2(2x + 3y )2 P +6 = +6= ≥0 x 2 + 2xy + 3y 2 x 2 + 2xy + 3y 2
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2