Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào dạy học giải bài toán cầu phương các hình phẳng và dựng đồ thị hàm số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo "Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào dạy học giải bài toán cầu phương các hình phẳng và dựng đồ thị hàm số" trình bày cách nhìn nhận các hệ thức lượng trong tam giác vuông theo quan điểm cấu trúc trong Lí thuyết phát sinh nhận thức của J. Piaget. Trên cơ sở đó làm rõ mối liên hệ giữa các hệ thức này với các vấn đề cầu phương các hình phẳng và sử dụng để dựng đồ thị của một hàm số có liên quan đặc biệt với với một hay hai hàm số đã cho.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào dạy học giải bài toán cầu phương các hình phẳng và dựng đồ thị hàm số

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci. 2011, Vol. ...No.... pp... SÛ DÖNG H THÙC LÜÑNG TRONG TAM GIC VUÆNG VO DY HÅC GII BI TON CU PH×ÌNG CC HNH PHǱNG V DÜNG Ç THÀ HM SÈ Chu Trång Thanh Tr÷íng ¤i håc Vinh E-mail: thanhchu1951@gmail.com Tâm tt. B i b¡o tr¼nh b y c¡ch nh¼n nhªn c¡c h» thùc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng theo quan iºm c§u tróc trong Lþ thuy¸t ph¡t sinh nhªn thùc cõa J. Piaget. Tr¶n cì sð â l m rã mèi li¶n h» giúa c¡c h» thùc n y vîi c¡c v§n · c¦u ph÷ìng c¡c h¼nh ph¯ng v sû döng º düng ç thà cõa mët h m sè câ li¶n quan °c bi»t vîi vîi mët hay hai h m sè ¢ cho. 1. Mð ¦u Mët trong nhúng h» thùc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng ÷ñc nh¥n lo¤i bi¸t ¸n trong thíi gian ¦u cõa giai o¤n to¡n håc sì c§p l ành lþ Pitago. Còng vîi ành lþ Pitago, trong mët tam gi¡c cán câ nhúng h» thùc l÷ñng kh¡c. Trong th¸ k V tr÷îc cæng nguy¶n (TCN) c¡c nh to¡n håc Hyl¤p ¢ nghi¶n cùu c¡c b i to¡n chia ba mët gâc cho tr÷îc, düng mët h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng di»n t½ch cõa mët h¼nh vuæng cho tr÷îc v b i to¡n döng mët h¼nh lªp ph÷ìng câ thº t½ch g§p hai l¦n thº t½ch cõa mët h¼nh lªp ph÷ìng cho tr÷îc. C£ ba b i to¡n n y ·u ÷ñc gi£ thi¸t l ch¿ ÷ñc sû döng th÷îc v compa. ¥y công l ba b i to¡n khæng gi£i ÷ñc nh÷ng vi»c chùng minh t½nh khæng gi£i ÷ñc cõa chóng m¢i tîi th¸ k¿ XVIII v XIX c¡c nh to¡n håc mîi thüc hi»n ÷ñc. Gi¡o vi¶n câ thº khai th¡c c¡c mèi quan h» cõa h» thüc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng v o vi»c t¤o t¼nh huèng gñi v§n ·, gñi ëng cì ho¤t ëng v o vi»c tê chùc cho håc sinh ph¡t hi»n hay ùng döng cõa ành lþ Pitago v c¡c h» thùc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng khi d¤y håc nhúng ki¸n thùc n y ð tr÷íng phê thæng. 2. Nëi dung nghi¶n cùu 2.1. ành lþ Pitago t câ mët ành lþ n o trong to¡n håc sì c§p læi cuèn ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u ng÷ìi nh÷ ành lþ Pitago. Trong t÷ li»u làch sû to¡n cõa ng÷íi Trung Quèc, ành lþ n y cán ÷ñc gåi l ành lþ Cao Th÷ìng v ÷ñc ghi ch²p trong s¡ch Cûu 1
ch÷ìng to¡n thuªt do nh to¡n håc Tr¦n Sanh bi¶n soan tø n«m 152 (TCN). C¡c t÷ li»u làch sû to¡n ·u cho r¬ng ch½nh Pitago ¢ kh¡m ph¡ v chùng minh ành lþ n y tø th¸ k¿ VI (TCN): "Trong mët tam gi¡c vuæng vîi ë d i c¤nh huy·n l a, ë d i c¡c c¤nh gâc vuæng l b v c ta luæn câ h» thùc a2 = b2 + c2 ". Theo quan iºm c§u tróc nhªn thùc trong lþ thuy¸t cõa J. Piaget, méi biºu thùc d¤ng x2 ta luæn câ thº coi l sè o di»n t½ch cõa mët h¼nh vuæng c¤nh l |x|. Nh¼n nhªn v§n · nh÷ vªy th¼ h» thùc a2 = b2 + c2 câ ngh¾a l tçn t¤i mët h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng têng di»n t½ch cõa hai h¼nh vuæng cho tr÷îc. N¸u vi¸t l¤i h» thùc tr¶n d÷îi d¤ng a2 − b2 = c2 chóng ta l¤i câ thº nâi ¸n sü tçn t¤i mët h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng hi»u di»n t½ch cõa hai h¼nh vuæng cho tr÷îc. Vîi c¡ch vi¸t ¯ng thùc a2 − b2 = c2 th nh c2 = (a − b).(a + b), ta l¤i câ thº nâi ¸n sü tçn t¤i cõa mët h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng di»n t½ch mët h¼nh chú nhªt cho tr÷îc. ành lþ Pitago khæng ch¿ kh¯ng ành sü tçn t¤i cõa h¼nh vuæng nh÷ vªy m cán ch¿ ra c¡c c¤nh cõa c¡c h¼nh vuæng n y l m th nh 3 c¤nh cõa mët tam gi¡c vuæng. Nh¼n nhªn v§n · nh÷ vªy, c¡c h» thùc a2 = b2 + c2 v a2 − b2 = c2 n y câ nëi dung l b i to¡n c¦u ph÷ìng mët têng hay hi»u (di»n t½ch) cõa hai h¼nh vuæng cho tr÷îc. Ch½nh vi»c chùng minh ành lþ Pitago ¢ thüc hi»n theo c¡ch quan ni»m n y. Chóng ta công câ thº mð rëng v§n · cho b i to¡n: Düng mët h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng têng di»n t½ch cõa n h¼nh vuæng cho tr÷îc. Rã r ng câ thº sû döng ành lþ Pitago n-1 l¦n ta i ¸n líi gi£i. Công câ thº chùng minh chi ti¸t i·u n y b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p to¡n håc. C¡ch chùng minh ÷ñc xem l cõa Pitago công r§t ëc ¡o: ct gh²p c¡c h¼nh v dòng cæng thùc t½nh di»n t½ch cõa c¡c h¼nh ìn gi£n º suy ra h» thùc trong tam gi¡c vuæng: a2 = b2 + c2 , trong â a l sè o c¤nh huy·n, b, c l sè o hai c¤nh gâc vuæng cõa còng mët tam gi¡c vuæng. C¡ch chùng minh cõa Pitago ng y n y ÷ñc giîi thi»u trong h¦u h¸t c¡c s¡ch gi¡o khoa to¡n trung håc cì sð (xem [1]). i·u ¡ng nâi l ngo i c¡ch chùng minh cõa Pitago ng÷íi ta ¢ thèng k¶ ÷ñc 370 c¡ch chùng minh kh¡c cõa ành lþ n y. â qu£ l mët k¿ löc! Công c¦n nâi th¶m r¬ng ành lþ Pitago cán giú mët sè k¿ löc kh¡c nh÷: - Thíi gian lo i ng÷íi t¼m ki¸m th¶m c¡c chùng minh l¥u nh§t: tø th¸ k VI (TCN) ¸n th¸ k¿ XX sau cæng nguy¶n (n«m 1917). - Th nh ph¦n nhúng ng÷íi tham gia t¼m ki¸m c¡ch chùng minh a d¤ng nh§t: câ c¡c nh to¡n håc nh÷ Pitago, Ìclit, câ nhúng ng÷íi lao ëng ch¥n tay, c£ håa s¾ løng danh Leonard de Vinci v câ c£ ch½nh trà gia nêi ti¸ng l têng thèng James Garfield cõa n÷îc Mÿ. - Ph÷ìng ph¡p chùng minh sì c§p nh§t v ÷ñc sû döng l°p l¤i nhi·u l¦n nh§t: trong sè 370 c¡ch chùng minh h¦u h¸t ·u dòng ph÷ìng ph¡p ct gh²p h¼nh. V¼ vªy vi»c t¼m l¤i nhúng c¡ch ct gh²p h¼nh vuæng t÷ìng ùng vîi c¡c c¡ch chùng minh ành lþ Pitago s³ l i·u thó và v húu ½ch khi d¤y håc sinh kh¡m ph¡ ành lþ n y.
2.2. H» thùc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng v c¡c b i to¡n c¦u ph÷ìng c¡c h¼nh ph¯ng Còng vîi ành lþ Pitago, trong tam gi¡c vuæng ABC vîi c¤nh huy·n a, c¤nh gâc vuæng b, c, ÷íng cao thuëc c¤nh huy·n l h, h¼nh chi¸u cõa b, c l¶n c¤nh huy·n t÷ìng ùng l b' v c', ta cán câ mët sè h» thùc l÷ñng kh¡c nh÷: b2 = a.b0 (2.1) c2 = a.c0 (2.2) h2 = b0 .c0 (2.3) ... Thüc ch§t c¡c h» thùc n y t÷ìng tü nh÷ nhau n¶n ch¿ c¦n quan t¥m mët h» thùc l ÷ñc, ch¯ng h¤n ta x²t (2.3). Theo quan iºm c§u tróc trong lþ thuy¸t cõa J. Piaget, câ thº nh¼n h» thùc (2.3) nh÷ l h : b0 = c0 : h; công câ thº nh¼n nhªn h» thùc (2.3) vîi þ ngh¾a ë d i cõa mët trong ba o¤n th¯ng (h) l trung b¼nh nh¥n cõa ë d i hai o¤n kia (b0 v c0 ); l¤i công câ thº nh¼n nhªn (2.3) vîi þ ngh¾a di»n t½ch cõa h¼nh vuæng c¤nh h b¬ng di»n t½ch h¼nh chú nhªt c¤nh b0 v c0 . Méi c¡ch nh¼n nhªn tr¶n ¥y cho ta mët sü thº hi»n cõa c§u tróc nhªn thùc ùng vîi h» thùc (2.3). Sau ¥y chóng tæi sû döng c¡ch nh¼n nhªn thù ba vøa n¶u ð tr¶n º x²t b i to¡n c¦u ph÷ìng mët sè h¼nh ph¯ng. B i to¡n 1. Düng mët h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng di»n t½ch cõa mët h¼nh chú nhªt cho tr÷îc. Sû döng h» thùc (2.3) s³ câ ÷ñc líi gi£i b i to¡n n y. Khi coi c¡c c¤nh cõa h¼nh chú nhªt cho tr÷îc l b' v c' th¼ sû döng (2.3) ta câ c¤nh h¼nh vuæng c¦n düng ch½nh l ÷íng cao h trong tam gi¡c vuæng câ c¤nh huy·n l a = b0 + c0 v b0 , c0 l h¼nh chi¸u cõa c¡c c¤nh gâc vuæng l¶n c¤nh huy·n. B i to¡n 2. Düng mët h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng di»n t½ch cõa mët tam gi¡c cho tr÷îc. Rã r ng vîi tam gi¡c câ c¤nh ¡y a v ÷íng cao t÷ìng ùng l h ta câ di»n ah h a t½ch S cõa nâ ÷ñc t½nh theo cæng thùc S = = a = h. Nh÷ vªy công câ thº 2 2 2 h a coi S l di»n t½ch cõa mët h¼nh chú nhªt câ c¡c c¤nh l a v ho°c c¤nh l v 2 2 c¤nh kia l h. Theo c¡ch di¹n ¤t n y b i to¡n c¦u ph÷ìng mët h¼nh tam gi¡c ÷a v· b i to¡n düng h¼nh chú nhªt câ di»n th½ch b¬ng di»n t½ch h¼nh tam gi¡c ¢ cho v b i to¡n c¦u ph÷ìng mët h¼nh chú nhªt. B i to¡n 3. Düng mët h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng di»n t½ch mët h¼nh a gi¡c cho tr÷îc. º gi£i b i to¡n n y ta c¦n dòng c¡c ÷íng ch²o cõa h¼nh a gi¡c ¢ cho º
ph¥n chia mi·n trong cõa a gi¡c th nh hñp cõa c¡c mi·n tam khæng ± l¶n nhau (tùc l khæng câ iºm trong chung). Khi â di»n t½ch cõa a gi¡c b¬ng têng cõa di»n t½ch c¡c tam gi¡c ÷ñc t¡ch ra trong ph²p ph¥n chia tr¶n. B i to¡n c¦u ph÷ìng h¼nh a gi¡c ¢ cho ÷a v· b i to¡n düng h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng têng di»n t½ch cõa c¡c tam gi¡c ¢ cho. V¼ vi»c c¦u ph÷ìng méi tam gi¡c thüc hi»n ÷ñc nhí B i to¡n 2 ð tr¶n n¶n b i to¡n c¦u ph÷ìng mët a gi¡c l¤i trð th nh v§n · düng h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng têng di»n t½ch cõa c¡c h¼nh vuæng cho tr÷îc. V§n · n y ÷ñc gi£i quy¸t b¬ng c¡ch sû döng ành lþ Pitago còng vîi lªp luªn quy n¤p to¡n håc nh÷ ¢ tr¼nh b y ð tr¶n. V§n · ti¸p theo cõa b i to¡n c¦u ph÷ìng s³ l gi? Câ l³ b i to¡n c¦u ph÷ìng h¼nh trán ¢ xu§t hi»n trong sü cè gng sû döng c¡c h» thùc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng º gi£i quy¸t c¡c b i to¡n c¦u ph÷ìng ìn gi£n ð tr¶n. Tuy nhi¶n khi chuyºn tø b i to¡n c¦u ph÷ìng mët a gi¡c sang b i to¡n c¦u ph÷ìng mët h¼nh trán (t÷ðng t÷ñng h¼nh trán nh÷ më a gi¡c câ væ sè c¤nh!) v§n · ¢ trð n¶n khâ kh«n g§p nhi·u l¦n. Khâ kh«n ¸n néi m¢i cuèi th¸ k XVIII lo i ng÷íi mîi nhªn ra r¬ng nâ khæng gi£i ÷ñc vîi c¡c cæng cö th÷îc v compa. 2.3. H» thùc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng v v§n · düng ç thà cõa mët sè h m sè câ li¶n quan vîi mët h m sè cho tr÷îc Chóng ta l¤i ti¸p töc t¼m c¡ch ùng döng h» thùc (2.3) ð tr¶n v o mët sè t¼nh huèng kh¡c. T÷îc h¸t, ta t¼m c¡ch chu©n hâa h» thùc (2.3) b¬ng c¡ch chia 2 v¸ cho b0 c0 b0 c0 h2 º câ 1 = . . °t u = v v = , ta câ u.v = 1 hay v l nghàch £o cõa u. h h h h Ð ¥y ta l¤i câ mët c§u tróc nhªn thùc kh¡c ùng vîi (2.3). Ta s³ khai th¡c (2.3) theo quan iºm c§u tróc n y v o mët l¾nh vüc kh¡c. T¼nh huèng lóc n y ÷ñc °t ra trong b i to¡n sau: B i to¡n 4. Gi£ sû trong mët h» tåa ë trüc chu©n Oxy ¢ câ ç thà cõa mët h m sè y = f (x) 1 (a). H¢y düng ç thà cõa h m sè y = f (x) (b). B¬ng c¡c cæng cö thæng th÷íng khi nâi ¸n v³ ç thà cõa h m sè ta ch¿ câ thº x¡c ành ÷ñc nhúng iºm cõa ç thà m thæi. º câ ç thà ¦y õ (t÷ìng èi ch½nh x¡c thæi) ta ph£i ch§p nhªn düng mët sè iºm cõa ç thà â v sû döng c¡c thuëc t½nh cõa h m sè º nèi c¡c iºm â l¤i th nh ÷íng (ç thà). Vîi c¡ch °t v§n · nh÷ vªy ta ÷a v§n · c¦n gi£i quy¸t v· b i to¡n sau: Cho bi¸t iºm 1 M(x0 , f (x0 )) thuëc ç thà cõa h m sè (a), h¢y düng iºm M 0 (x0 , ) tr¶n m°t f (x0 ) ph¯ng tåa ë Oxy (vîi h» tåa ë trüc chu©n). Tr÷îc h¸t ta nhªn c¡c giao iºm cõa ç thà (a) vîi tröc ho nh khæng thuëc ç 1 thà (b) v¼ t¤i â f (x) tri»t ti¶u. Vîi c¡c gi¡ trà x0 m f (x0 ) 6= 0 ta luæn câ 6= 0 f (x0 )
Sû döng h» thùc lüñng trong tam gi¡c vuæng v o d¤y håc gi£i b i to¡n c¦u ph÷ìng... v còng d§u vîi f (x0 ). i·u n y câ ngh¾a l M v M 0 n¬m v· còng mët nøa m°t 1 ph¯ng tåa ë so vîi tröc Ox. V§n · cán l¤i l x¡c ành | | khi bi¸t |f (x)|. Ð f (x0 ) 1 ¥y ta câ | |.|f (x)| = 1, câ d¤ng h» thùc (2.3). Do â M 0 düng ÷ñc b¬ng c¡ch: f (x0 ) K½ hi»u K l iºm tr¶n Ox câ tåa ë (x0 , 0). Düng iºm A tr¶n tröc ho nh câ tåa ë (x0 − 1, 0) ho°c (x0 + 1, 0). Khi â ta câ ë d i AK = 1. Düng tam gi¡c vuæng câ ¿nh gâc vuæng t¤i A v mët c¤nh gâc vuæng i qua iºm M . K½ hi»u giao iºm 1 cõa c¤nh gâc vuæng kia vîi MK l N . Khi â ë d i KN = | |. iºm M 0 c¦n f (x0 ) düng ch½nh l N hay iºm èi xùng vîi N qua Ox tòy thuëc iºm M n¬m nûa d÷îi hay nûa tr¶n cõa m°t ph¯ng tåa ë so vîi tröc ho nh. Công theo c¡ch sû döng h» thùc l÷ñng (2.3) trongptam gi¡c vuæng, ta câ thº gi£i b i to¡n li¶n quan ¸n vi»c düng ç thà h m sè y = |f (x)g(x)| khi bi¸t ç thà c¡c h m sè y = f (x) v y = g(x). 3. K¸t luªn Thæng qua vi»c t¼m hiºu t÷ li»u làch sû to¡n v nh¼n nhªn mët sè ki¸n thùc mæn to¡n theo quan iºm c§u tróc nhªn thùc cõa J. Piaget, câ thº ành h÷îng vi»c tê chùc cho håc sinh c¡c ho¤t ëng ph¡t hi»n ki¸n thùc, kh¡m ph¡ ki¸n thùc mîi v ùng döng ki¸n thùc v o c¡c chõ · kh¡c nhau trong d¤y håc mæn to¡n ð tr÷íng phê thæng. REFERENCES [1] Howard Eves, 1993. Giîi thi»u làch sû to¡n. Cæng ty s¡ch thi¸t bà tr÷íng håc TP. Hç Ch½ Minh. [2] G. Polia, 1997. S¡ng t¤o to¡n håc. Nxb Gi¡o döc. [3] Chu Trång Thanh, 2009. Sû döng c¡c kh¡i ni»m cæng cö trong lþ thuy¸t ph¡t sinh nhªn thùc cõa J. Piaget v o mæn to¡n. T¤p ch½ Gi¡o döc sè 207, tr. 37, 38 v 9. ABSTRACT Use tael relation in right-angled triangle to teaching plane figures quadrature task and build the diagaram of function This paper presents the views of tael relations in right-angled triangle accord- ing to term of structure in J. Piaget's cognitive development theory. On the basis to clarify the relationship between tael relation with plane figures quadrature task and uses to build the diagaram of function related specifically to one or two functions given. 5