intTypePromotion=1
ADSENSE

Tài liệu Chương 3: Không gian vectơ

Chia sẻ: Đặng Quỳnh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

148
lượt xem
9
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng nắm bắt những kiến thức về khái niệm không gian vectơ; không gian vectơ; sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính thông qua tài liệu Chương 3: Không gian vectơ sau đây. Đặc biệt, với những bài tập được đưa ra ở cuối tài liệu sẽ giúp cho các bạn nắm bắt kiến thức này một cách tốt hơn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tài liệu Chương 3: Không gian vectơ

  1. Chương 3: không gian vectơ I: Khái niệm Không gian vectơ 1. Định nghĩa: Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ  trên trường K,  hay một không gian vectơ, nếu V được trang bị một phép toán đại số (gọi  là phép cộng), ký hiệu (+) và một phép nhân vô hướng, ký hiệu (.) thỏa   mãn các điều kiện sau: 1. Tính giao hoán của phép cộng:  ∀( x, y ) �V , x + y = y + x ; 2 2. Tính kết hợp của phép cộng:  ∀( x, y, z ) �V , ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ; 3 3. Tồn tại trong V một phần tử không, ký hiệu là 0 thỏa mãn:  ∀x �V , x + 0 = x; 4. ∀x V , tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là  − x thỏa mãn:  x + (− x) = 0; 5. ∀( x, y ) �V 2 , ∀α �K , α ( x + y ) = α x + α y; 6. ∀x �V , ∀ ( α , β ) �K 2 , (α + β ) x = α x + β x; 7. ∀x �V , ∀ ( α , β ) �K 2 , (αβ ) x = α (β x); 8. ∀x �V ,1x = x. 2: Không gian vectơ con  1. Định nghĩa:  Cho V là một K­không gian vectơ và W là một tập con khác rỗng của V.  Khi đó W được gọi là một không gian vectơ con của V nếu W là một K­ không gian vectơ ứng với những phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế  chúng lên W. 2. Định lý:  Tập con  W của không gian vectơ V là một không gian con của V khi   và chỉ khi các điều kiện sau đây được thỏa:  i)  ∀x, y �W 2 , x + y �W ; ii)  ∀α �K , ∀x �� W ,α x W . Nhận xét: Hai điều kiện i) và ii) ở trên có thể được thay thế bằng điều  kiện sau:  ∀α �ᄀ , ∀( x, y ) �W 2 , α x + y �W . Để chứng minh một tập hợp khác rỗng là không gian vector thì có hai cách  hoặc chứng minh tập hợp này với hai phép toán cộng và nhân vô hướng 
  2. thỏa các tiên đề của không gian vector; hoặc chứng minh rằng tập hợp đó  là không gian vector con của một không vector khác.  II: Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 1. Tổ hợp tuyến tính: 1.1 Định nghĩa: Cho V là một không gian vectơ trên trường K và  v1 , v2 ,..., vn là các phần tử của V. Ta nói vectơ  v là tổ hợp tuyến tính của các vectơ  v1 , v2 ,..., vn  nếu tồn tại các vô hướng  α1 , α 2 ,..., α n K sao cho  v = α1v1 + α 2 v2 + ... + α n vn .  2. Hệ vector độc lập tuyến tính – Hệ vector phụ thuộc tuyến tính: 2.1 Định nghĩa: Họ các vectơ  v1 , v2 ,..., vn  của không gian vectơ V trên  trường K được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng  α1 , α 2 ,..., α n  K không phải tất cả đều bằng 0 sao cho:  α1v1 + α 2v2 + ... + α n vn = 0 . Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là  hệ độc lập tuyến tính.  Ví dụ: Trong R4 cho hệ vectơ  α1 = (1, 0,1,1);  α 2 = (0,1, 2,3);  α 3 = (1, 2,3, 4) .  Hệ trên độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải: Xét hệ phương trình vectơ: x1 + x3 = 0 x2 + 2 x3 = 0 x1α1 + x2α 2 + x3α 3 = 0 . x1 + 2 x2 + 3 x3 = 0 x1 + 3 x2 + 3 x3 = 0 1 � 0 1� � � 0 1 2� Ta có ma trận các hệ số của hệ trên là  A = � �  và rankA = 3, nên  1 2 3� � � 1 � 3 4� hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (0, 0, 0). Do đó, hệ các vectơ  trên độc lập tuyến tính.  III.BÀI TOÁN ĐỔI CƠ SỞ  3.1:ví dụ: 1) Trong R3 , cho cơ sở B với các vectơ  u1 , u2 , u3 lần lượt có tọa độ sau:  u1 = (1,1, 0); u2 = (1, 0,1); u3 = (0,1,1) . 
  3. Hãy lập ma trận và công thức đổi từ cơ sở chính tắc C sang  1. cơ sở B. 2. Tìm tọa độ của u = (5, 4, 3) € R3 trong cơ sở B. 3. Tìm vectơ v € R3 , biết tọa độ của vectơ v trong cơ sở B là  v[ B ] = (1, 2,3) . Giải: 1) Ta có cơ sở chính tắc C của R3  là cơ sở gồm các vectơ  e1 = (1, 0, 0);  e2 = (0,1, 0);  e3 = (0, 0,1) . Khi đó,  1 �� 1 �� 0 �� [u1 ][C ] �� = �� �� 1 ;[u2 ][ C ] = �� �� 0 ;[u3 ][C ] = �� 1 . Do đó, ma trận đổi từ cơ sở chính tắc  �� 0 �� �� 1 �� �� 1 �� C sang cơ sở B là  1 1 0� � � 1 0 1� P=� � � 0 � 1 1 � �■ �x1 � � x2 � =� 2) Giả sử  [u ][ B ] �, khi đó áp dụng công thức đổi tọa độ của một  � x3 � � � vectơ ta có:  5 � �� 1 1 0 ��x1 � 5 = x1 + x2 x1 = 3 �� � �� � � � 4 =� �� 1 0 1 �� 4 = x1 + x3 � �x2 = 2 . Vậy  [u ][ B ] = (3, 2,1) .■ x2 �� � �� 3 �0 1 1� � �x = 1 �� � �� �x3 � � 3 = x2 + x3 3 3) Gọi tọa độ của v trong cơ sở chính tắc V là  ( x1 , x2 , x3 )  ta có �x1 � �1 1 0 ��� 1 x1 = 3 � � � x2 �= � ��� 2 . Vậy  x2 = 4  hay v= (3, 4, 5) R3■ 1 0 1 ��� � � �x3 � � �0 1 1� � ��� 3 �� x3 = 5 IV: BÀI TẬP Bài 1: Trong R3 cho hệ 3 vectơ  B = {u1 = (1,1, 0); u2 = (1, 0,1); u3 = (0,1,1)} .  a) Chứng minh rằng B là một cơ sở của R3
  4. b) Tìm tọa độ của các vectơ   e1 (1, 0, 0);  e2 (0,1, 0);  e3 = (0, 0,1);  u = (3, 4,5) trong cơ sở B. Giải: a, Vì B là hệ gồm 3 vectơ trong không gian hữu hạn chiều R3 , nên để  chứng minh B là cơ sở của R3  ta chỉ cần chứng minh B là hệ độc lập  tuyến tính.  Để chứng minh điều này ta có thể xây dựng ma trận A có các dòng là  các vectơ  u1 , u2 , u3 , sau đó chứng minh rankA = 3 hay  det A 0 . 1 1 0 Ta có,  det A = 1 0 1 = −2 0 .  0 1 1 Vậy hệ các vectơ  u1 , u2 , u3 là hệ độc lập tuyến tính nên đó là cơ sở của  3 R   .  b) Xét một vectơ tùy ý a=(a1,a2,a3) 3   R  giả sử  a [B] = ( x1 , x2 , x3 ) , khi đó  �a1 � �� 1 1 �� 0 �� �a1 � �x1 + x2 � x1 + x2 = a1 a = x1u1 + x2u2 + x3u3 � �a �= x �� 1 � � �� �� �� 2 1 + x 2 �� 0 + x3 �� 1 � �a �= �x + x �� x + x = a � 2 � �1 3 � 1 3 2 � �a3 �� �� 0 �� �� 1 �� �� 1 �� � �a3 � �x2 + x3 � � � � x2 + x3 = a3 1 x1 = (a1 + a2 − a3 ) 2 1 � x2 = (a1 − a2 + a3 ) 2 1 x3 = (− a1 + a2 + a3 ) 2  Vậy với mọi vectơ tùy ý 3 , thì ta có  a=(a ,a ,a ) R    1 2 3 �1 1 1 � a[ B ] = � (a1 + a2 − a3 ), (a1 − a2 + a3 ), (− a1 + a2 + a3 ) �. �2 2 2 � Lần lượt cho a bằng  e1 , e2 , e3 , u ta có tọa độ của các vectơ  e1 , e2 , e3 , u trong cơ sở B lần lượt là:
  5. �1 1 1� e1 = � , , − � �2 2 2� �1 1 1� e2 = � , − , � �2 2 2� �1 1 1 � ■ e3 = �− , , � �2 2 2 � u = (1, 2, 3) Bài 2) Trong R3 cho 2 cơ sở  B (α1 , α 2 , α 3 )  và  B '( β1 , β 2 , β 3 ) như sau: α1 = (1,1,1); α2 = (−1, 2,1); α3 = (1, 3, 2) β1 = (1, 0,1); β2 = (1,1, 0); β3 = (0,1,1) 1) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B’. 2) Viết công thức tính tọa độ của vectơ  x trong cơ sở B theo tọa độ  của x trong cơ sở B’. Giải: a, β1 =a1α1 +a2α2 +a3α3   (1) Giả sử  β2 =b1α1 +b2α2 +b3α3    (2) . Khi đó, ma trận chuyển  β3 =c1α1 +c2α2 +c3α3    (3) cơ sở B sang cơ sở B’ có dạng: a1 � b1 c1 � CB B' =� a2 � b2 c2 � �. Để tìm  ai , bi , ci  ta phải giải các  � a3 � b3 c3 � � phương trình vectơ (1), (2), (3). a1 − a2 + a3 = 1 Phương trình (1) tương đương với hệ  a1 + 2a2 + 3a3 = 0 a1 + a2 + 2a3 = 1
  6. b1 − b2 + b3 = 1 Phương trình (2) tương đương với hệ  b1 + 2b2 + 3b3 = 1 b1 + b2 + 2b3 = 0 c1 −c2 + c3 = 0 Phương trình (3) tương đương với hệ  c1 + 2c2 + 3c3 =1 c1 + c2 + 2c3 =1 Ta dùng phương pháp Gauss để giải các hệ phương trình trên, lập các  ma trận hệ số mở rộng: �1 − 1 1 1 1 0 � �1 − 1 1 1 1 0 � �1 − 1 1 1 1 0 � � � d2 d2 − d1 � � d 2 − d3 � � �1 2 3 0 1 1 � d3 d3 − d1 � 0 3 2 − 1 0 1 � d2 �0 1 1 − 1 1 0 � � �1 1 2 1 0 1 � � � �0 2 1 0 − 1 1 � � � �0 2 1 0 − 1 1 � � �1 − 1 1 1 1 0 � d3 d 3 − 2 d 2 � � �0 1 1 − 1 1 0 � � �0 0 − 1 2 − 3 1 � � a3 = − 2; Vậy với hệ (1) ta có  a2 = − 1 − a3 = 1; a1 = a2 − a3 + 1 = 4 b3 = 3; Hệ (2) ta có  b2 = 1 − b3 = − 2; b1 = b2 − b3 + 1 = − 4 c3 = −1; Hệ (3) ta có  c2 = −c3 = 1; c1 = c2 − c3 = 2
  7. �4 − 4 2 � � Vậy ma trận đổi cơ sở B sang cơ sở B’ là  CB B ' = 1 − 2 1 .■ � � � ��− 2 3 − 1�� b) Giả sử  [ x][ B ] = ( x1 , x2 , x3 )  và  [ x][ B '] = ( y1 , y2 , y3 ) . Khi đó, công thức tính tọa  độ của x trong cơ sở B theo tọa độ của x trong cơ sở B’ là: �x1 � �4 − 4 2 ��y1 � x1 = 4 y1 − 4 y2 + 2 y3 �x �= �1 − 2 1 ��y �� x = y − 2 y + y �2� � �� 2 � 2 1 2 3 ■ �x � �3� � �− 2 3 − 1��y � �� 3 � x3 = − 2 y1 + 3 y 2 − y3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Xét xem các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc  tuyến tính a) {u1 = (1,0,1); u2 = (1, 2,3); u3 = (10,11,12); u4 = (4,5, 6)}; b) {u1 = (1,0,1); u2 = (1, 2,3); u3 = (2, 2, 4)}; c) {u1 = (1, 0,1); u2 = (1, 2,3); u3 = (2, 2,5)}; d ) {u1 = (1, 0,1); u2 = (1, 2,3)}. e){u1 = (1, − 2,3, −4); u2 = (3,3, −5,1); u3 = (3, 0,3, −10)}; Bài 2: Trong R3  x  (không gian các đa thức hệ số thực bậc không quá  3), xét các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? a) {u1 = x 3 − 2 x + 3; u2 = x 2 + 1}; b) {u1 = x 3 − 2 x + 3; u2 = x 2 + 1; u3 = 2 x 3 + x 2 − 4 x + 10}; c) {u1 = x3 − 2 x + 3; u2 = x 2 + 2 x − 1; u3 = x 3 + x 2 + 2}; d ) {u1 = x 3 ; u2 = 2 x 2 ; u3 = 3x; u4 = 2 x 2 + 3 x; u5 = 1}. Bài 3: Trong không gian vectơ V cho 3 vectơ x, y, z. Chứng minh rằng  {x+y, y+z, z+x} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi {x, y, z} độc lập  tuyến tính.
  8. Bài 4:Trong  R3 chứng minh  B = (u1 , u2 , u3 ) là cơ sở và tìm tọa độ của  u đối với B trong các trường hợp sau: a ) u1 = (1,1,1); u2 = (1,1, 2); u3 = (1, 2,3); u = (6,9,14); b) u1 = (2,1, −3); u2 = (3, 2, −5); u3 = (1, − 1,1); u = (6, 2, −7); c) u1 = (1, −1,0); u2 = (1,0, −1); u3 = (2, 0,0); u = ( −3,1, −2); Bài 5: Trong R3 cho hai hệ vectơ  B = {(1,1,1); (1,1, 2); (1, 2, 3)}  và B’ =  {(2,1,­1); (3,2,­5);  (1,­1,m)}. a) Chứng minh rằng B là một cơ sở của  R3. b) Tìm m để B’ là một cơ sở củA R3. c) Trong trường hợp B’ là cơ sở của R3 hãy tìm ma trận chuyển cơ  sở từ B sang B’ và tìm tọa độ của vectơ u = (1, 0, 0) trong hai cơ  sở đó.  Bài 6: Trong R3 cho hai hệ vectơ  B = {(1,1, − 1);(1,0,1);(0,1,1)}  và  B’ = {(0,0,1); (1, ­1, 0);(1,1,1)}. a) Chứng minh rằng B và B’ là các cơ sở của R3.Tìm ma trận  chuyển cơ sở từ B sang B’ và từ B’ sang B. Tìm tọa độ của vectơ x = (1, ­1, 1) trong hai cơ sở đó Bài 7: Trong R3, cho các vectơ  u1 = (2,1, − 1); u2 = (2, −1, 2); u3 = (3,0,1); v1 = ( −3,1, 2); v2 = (1, −2,5); v3 = (2, 4,1) a) Chứng minh rằng  B = (u1 , u2 , u3 ); B ' = (v1 , v2 , v3 ) là các cơ sở của R3. 4� � 7� � Tìm  [u ]B ' ; v; [ w] �� � 8� b) B nếu biết u = (1, 2, 3),  [v]B = � 5� và  [ w]B ' = �� � 6� �� � 9� �� Bài 8:các tập sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: 2 1, u1 =(1,2) và u2 =(­3,­6) trong R  ? 2 2,u1 =(2,3) , u2 =(­5,8) ,u3 =(6,1) trong R  ? 2 2 2 3,u1 =2+3x­x  và u2=6+9x­3x  trong R  ? 3 Bài 9: xét trong R  hai cơ sở B={u1 ,u2 ,u3 } , B’={v1 ,v2 ,v3 }trong đó:
  9. u1 =(­3,0,­3),      u2 =(­3,2,1),        u3=(1,6,­1) v1 =(­6,­6,0),       v2=(­2,­6,4),      v3=(­2,­3,7) 1, hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ  B’ sang B 2,tính ma trận tọa độ[w]B của w =(­5,8,­5) và tính [w]B 3,tính trực tiếp [w]B và kiểm tra kết quả trên Bài 10: làm lại bài tập 9 với  u1 =(2,1,1),   u2=(2,­1,­1), u3 =(1,2,1) v1=(3,1,­5),   v2=(1,1,­3),   v3=(­1,0,2)
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2