Tài liệu Chương 3: Không gian vectơ

Chia sẻ: Đặng Quỳnh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

202
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng nắm bắt những kiến thức về khái niệm không gian vectơ; không gian vectơ; sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính thông qua tài liệu Chương 3: Không gian vectơ sau đây. Đặc biệt, với những bài tập được đưa ra ở cuối tài liệu sẽ giúp cho các bạn nắm bắt kiến thức này một cách tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu Chương 3: Không gian vectơ

Chương 3: không gian vectơ I: Khái niệm Không gian vectơ 1. Định nghĩa: Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K, hay một không gian vectơ, nếu V được trang bị một phép toán đại số (gọi là phép cộng), ký hiệu (+) và một phép nhân vô hướng, ký hiệu (.) thỏa mãn các điều kiện sau: 1. Tính giao hoán của phép cộng: ∀( x, y ) �V , x + y = y + x ; 2 2. Tính kết hợp của phép cộng: ∀( x, y, z ) �V , ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ; 3 3. Tồn tại trong V một phần tử không, ký hiệu là 0 thỏa mãn: ∀x �V , x + 0 = x; 4. ∀x V , tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là − x thỏa mãn: x + (− x) = 0; 5. ∀( x, y ) �V 2 , ∀α �K , α ( x + y ) = α x + α y; 6. ∀x �V , ∀ ( α , β ) �K 2 , (α + β ) x = α x + β x; 7. ∀x �V , ∀ ( α , β ) �K 2 , (αβ ) x = α (β x); 8. ∀x �V ,1x = x. 2: Không gian vectơ con 1. Định nghĩa: Cho V là một Kkhông gian vectơ và W là một tập con khác rỗng của V. Khi đó W được gọi là một không gian vectơ con của V nếu W là một K không gian vectơ ứng với những phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng lên W. 2. Định lý: Tập con W của không gian vectơ V là một không gian con của V khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thỏa: i) ∀x, y �W 2 , x + y �W ; ii) ∀α �K , ∀x �� W ,α x W . Nhận xét: Hai điều kiện i) và ii) ở trên có thể được thay thế bằng điều kiện sau: ∀α �ﾡ , ∀( x, y ) �W 2 , α x + y �W . Để chứng minh một tập hợp khác rỗng là không gian vector thì có hai cách hoặc chứng minh tập hợp này với hai phép toán cộng và nhân vô hướng
thỏa các tiên đề của không gian vector; hoặc chứng minh rằng tập hợp đó là không gian vector con của một không vector khác. II: Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 1. Tổ hợp tuyến tính: 1.1 Định nghĩa: Cho V là một không gian vectơ trên trường K và v1 , v2 ,..., vn là các phần tử của V. Ta nói vectơ v là tổ hợp tuyến tính của các vectơ v1 , v2 ,..., vn nếu tồn tại các vô hướng α1 , α 2 ,..., α n K sao cho v = α1v1 + α 2 v2 + ... + α n vn . 2. Hệ vector độc lập tuyến tính – Hệ vector phụ thuộc tuyến tính: 2.1 Định nghĩa: Họ các vectơ v1 , v2 ,..., vn của không gian vectơ V trên trường K được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng α1 , α 2 ,..., α n K không phải tất cả đều bằng 0 sao cho: α1v1 + α 2v2 + ... + α n vn = 0 . Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là hệ độc lập tuyến tính. Ví dụ: Trong R4 cho hệ vectơ α1 = (1, 0,1,1); α 2 = (0,1, 2,3); α 3 = (1, 2,3, 4) . Hệ trên độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải: Xét hệ phương trình vectơ: x1 + x3 = 0 x2 + 2 x3 = 0 x1α1 + x2α 2 + x3α 3 = 0 . x1 + 2 x2 + 3 x3 = 0 x1 + 3 x2 + 3 x3 = 0 1 � 0 1� � � 0 1 2� Ta có ma trận các hệ số của hệ trên là A = � � và rankA = 3, nên 1 2 3� � � 1 � 3 4� hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (0, 0, 0). Do đó, hệ các vectơ trên độc lập tuyến tính. III.BÀI TOÁN ĐỔI CƠ SỞ 3.1:ví dụ: 1) Trong R3 , cho cơ sở B với các vectơ u1 , u2 , u3 lần lượt có tọa độ sau: u1 = (1,1, 0); u2 = (1, 0,1); u3 = (0,1,1) .
Hãy lập ma trận và công thức đổi từ cơ sở chính tắc C sang 1. cơ sở B. 2. Tìm tọa độ của u = (5, 4, 3) € R3 trong cơ sở B. 3. Tìm vectơ v € R3 , biết tọa độ của vectơ v trong cơ sở B là v[ B ] = (1, 2,3) . Giải: 1) Ta có cơ sở chính tắc C của R3 là cơ sở gồm các vectơ e1 = (1, 0, 0); e2 = (0,1, 0); e3 = (0, 0,1) . Khi đó, 1 �� 1 �� 0 �� [u1 ][C ] �� = �� 1 ;[u2 ][ C ] = �� 0 ;[u3 ][C ] = �� 1 . Do đó, ma trận đổi từ cơ sở chính tắc �� 0 �� 1 �� 1 �� C sang cơ sở B là 1 1 0� � � 1 0 1� P=� � � 0 � 1 1 � �■ �x1 � � x2 � =� 2) Giả sử [u ][ B ] �, khi đó áp dụng công thức đổi tọa độ của một � x3 � � � vectơ ta có: 5 � �� 1 1 0 ��x1 � 5 = x1 + x2 x1 = 3 �� 4 =� �� 1 0 1 �� 4 = x1 + x3 � �x2 = 2 . Vậy [u ][ B ] = (3, 2,1) .■ x2 �� 3 �0 1 1� � �x = 1 �� x3 � � 3 = x2 + x3 3 3) Gọi tọa độ của v trong cơ sở chính tắc V là ( x1 , x2 , x3 ) ta có �x1 � �1 1 0 �� 1 x1 = 3 � � � x2 �= � �� 2 . Vậy x2 = 4 hay v= (3, 4, 5) R3■ 1 0 1 �� x3 � � �0 1 1� � �� 3 �� x3 = 5 IV: BÀI TẬP Bài 1: Trong R3 cho hệ 3 vectơ B = {u1 = (1,1, 0); u2 = (1, 0,1); u3 = (0,1,1)} . a) Chứng minh rằng B là một cơ sở của R3
b) Tìm tọa độ của các vectơ e1 (1, 0, 0); e2 (0,1, 0); e3 = (0, 0,1); u = (3, 4,5) trong cơ sở B. Giải: a, Vì B là hệ gồm 3 vectơ trong không gian hữu hạn chiều R3 , nên để chứng minh B là cơ sở của R3 ta chỉ cần chứng minh B là hệ độc lập tuyến tính. Để chứng minh điều này ta có thể xây dựng ma trận A có các dòng là các vectơ u1 , u2 , u3 , sau đó chứng minh rankA = 3 hay det A 0 . 1 1 0 Ta có, det A = 1 0 1 = −2 0 . 0 1 1 Vậy hệ các vectơ u1 , u2 , u3 là hệ độc lập tuyến tính nên đó là cơ sở của 3 R . b) Xét một vectơ tùy ý a=(a1,a2,a3) 3 R giả sử a [B] = ( x1 , x2 , x3 ) , khi đó �a1 � �� 1 1 �� 0 �� a1 � �x1 + x2 � x1 + x2 = a1 a = x1u1 + x2u2 + x3u3 � �a �= x �� 1 � � �� 2 1 + x 2 �� 0 + x3 �� 1 � �a �= �x + x �� x + x = a � 2 � �1 3 � 1 3 2 � �a3 �� 0 �� 1 �� 1 �� a3 � �x2 + x3 � � � � x2 + x3 = a3 1 x1 = (a1 + a2 − a3 ) 2 1 � x2 = (a1 − a2 + a3 ) 2 1 x3 = (− a1 + a2 + a3 ) 2 Vậy với mọi vectơ tùy ý 3 , thì ta có a=(a ,a ,a ) R 1 2 3 �1 1 1 � a[ B ] = � (a1 + a2 − a3 ), (a1 − a2 + a3 ), (− a1 + a2 + a3 ) �. �2 2 2 � Lần lượt cho a bằng e1 , e2 , e3 , u ta có tọa độ của các vectơ e1 , e2 , e3 , u trong cơ sở B lần lượt là:
�1 1 1� e1 = � , , − � �2 2 2� �1 1 1� e2 = � , − , � �2 2 2� �1 1 1 � ■ e3 = �− , , � �2 2 2 � u = (1, 2, 3) Bài 2) Trong R3 cho 2 cơ sở B (α1 , α 2 , α 3 ) và B '( β1 , β 2 , β 3 ) như sau: α1 = (1,1,1); α2 = (−1, 2,1); α3 = (1, 3, 2) β1 = (1, 0,1); β2 = (1,1, 0); β3 = (0,1,1) 1) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B’. 2) Viết công thức tính tọa độ của vectơ x trong cơ sở B theo tọa độ của x trong cơ sở B’. Giải: a, β1 =a1α1 +a2α2 +a3α3 (1) Giả sử β2 =b1α1 +b2α2 +b3α3 (2) . Khi đó, ma trận chuyển β3 =c1α1 +c2α2 +c3α3 (3) cơ sở B sang cơ sở B’ có dạng: a1 � b1 c1 � CB B' =� a2 � b2 c2 � �. Để tìm ai , bi , ci ta phải giải các � a3 � b3 c3 � � phương trình vectơ (1), (2), (3). a1 − a2 + a3 = 1 Phương trình (1) tương đương với hệ a1 + 2a2 + 3a3 = 0 a1 + a2 + 2a3 = 1
b1 − b2 + b3 = 1 Phương trình (2) tương đương với hệ b1 + 2b2 + 3b3 = 1 b1 + b2 + 2b3 = 0 c1 −c2 + c3 = 0 Phương trình (3) tương đương với hệ c1 + 2c2 + 3c3 =1 c1 + c2 + 2c3 =1 Ta dùng phương pháp Gauss để giải các hệ phương trình trên, lập các ma trận hệ số mở rộng: �1 − 1 1 1 1 0 � �1 − 1 1 1 1 0 � �1 − 1 1 1 1 0 � � � d2 d2 − d1 � � d 2 − d3 � � �1 2 3 0 1 1 � d3 d3 − d1 � 0 3 2 − 1 0 1 � d2 �0 1 1 − 1 1 0 � � �1 1 2 1 0 1 � � � �0 2 1 0 − 1 1 � � � �0 2 1 0 − 1 1 � � �1 − 1 1 1 1 0 � d3 d 3 − 2 d 2 � � �0 1 1 − 1 1 0 � � �0 0 − 1 2 − 3 1 � � a3 = − 2; Vậy với hệ (1) ta có a2 = − 1 − a3 = 1; a1 = a2 − a3 + 1 = 4 b3 = 3; Hệ (2) ta có b2 = 1 − b3 = − 2; b1 = b2 − b3 + 1 = − 4 c3 = −1; Hệ (3) ta có c2 = −c3 = 1; c1 = c2 − c3 = 2
�4 − 4 2 � � Vậy ma trận đổi cơ sở B sang cơ sở B’ là CB B ' = 1 − 2 1 .■ � � � ��− 2 3 − 1�� b) Giả sử [ x][ B ] = ( x1 , x2 , x3 ) và [ x][ B '] = ( y1 , y2 , y3 ) . Khi đó, công thức tính tọa độ của x trong cơ sở B theo tọa độ của x trong cơ sở B’ là: �x1 � �4 − 4 2 ��y1 � x1 = 4 y1 − 4 y2 + 2 y3 �x �= �1 − 2 1 ��y �� x = y − 2 y + y �2� � �� 2 � 2 1 2 3 ■ �x � �3� � �− 2 3 − 1��y � �� 3 � x3 = − 2 y1 + 3 y 2 − y3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Xét xem các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính a) {u1 = (1,0,1); u2 = (1, 2,3); u3 = (10,11,12); u4 = (4,5, 6)}; b) {u1 = (1,0,1); u2 = (1, 2,3); u3 = (2, 2, 4)}; c) {u1 = (1, 0,1); u2 = (1, 2,3); u3 = (2, 2,5)}; d ) {u1 = (1, 0,1); u2 = (1, 2,3)}. e){u1 = (1, − 2,3, −4); u2 = (3,3, −5,1); u3 = (3, 0,3, −10)}; Bài 2: Trong R3 x (không gian các đa thức hệ số thực bậc không quá 3), xét các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? a) {u1 = x 3 − 2 x + 3; u2 = x 2 + 1}; b) {u1 = x 3 − 2 x + 3; u2 = x 2 + 1; u3 = 2 x 3 + x 2 − 4 x + 10}; c) {u1 = x3 − 2 x + 3; u2 = x 2 + 2 x − 1; u3 = x 3 + x 2 + 2}; d ) {u1 = x 3 ; u2 = 2 x 2 ; u3 = 3x; u4 = 2 x 2 + 3 x; u5 = 1}. Bài 3: Trong không gian vectơ V cho 3 vectơ x, y, z. Chứng minh rằng {x+y, y+z, z+x} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi {x, y, z} độc lập tuyến tính.
Bài 4:Trong R3 chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) là cơ sở và tìm tọa độ của u đối với B trong các trường hợp sau: a ) u1 = (1,1,1); u2 = (1,1, 2); u3 = (1, 2,3); u = (6,9,14); b) u1 = (2,1, −3); u2 = (3, 2, −5); u3 = (1, − 1,1); u = (6, 2, −7); c) u1 = (1, −1,0); u2 = (1,0, −1); u3 = (2, 0,0); u = ( −3,1, −2); Bài 5: Trong R3 cho hai hệ vectơ B = {(1,1,1); (1,1, 2); (1, 2, 3)} và B’ = {(2,1,1); (3,2,5); (1,1,m)}. a) Chứng minh rằng B là một cơ sở của R3. b) Tìm m để B’ là một cơ sở củA R3. c) Trong trường hợp B’ là cơ sở của R3 hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ và tìm tọa độ của vectơ u = (1, 0, 0) trong hai cơ sở đó. Bài 6: Trong R3 cho hai hệ vectơ B = {(1,1, − 1);(1,0,1);(0,1,1)} và B’ = {(0,0,1); (1, 1, 0);(1,1,1)}. a) Chứng minh rằng B và B’ là các cơ sở của R3.Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ và từ B’ sang B. Tìm tọa độ của vectơ x = (1, 1, 1) trong hai cơ sở đó Bài 7: Trong R3, cho các vectơ u1 = (2,1, − 1); u2 = (2, −1, 2); u3 = (3,0,1); v1 = ( −3,1, 2); v2 = (1, −2,5); v3 = (2, 4,1) a) Chứng minh rằng B = (u1 , u2 , u3 ); B ' = (v1 , v2 , v3 ) là các cơ sở của R3. 4� � 7� � Tìm [u ]B ' ; v; [ w] �� 8� b) B nếu biết u = (1, 2, 3), [v]B = � 5� và [ w]B ' = �� 6� �� 9� �� Bài 8:các tập sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: 2 1, u1 =(1,2) và u2 =(3,6) trong R ? 2 2,u1 =(2,3) , u2 =(5,8) ,u3 =(6,1) trong R ? 2 2 2 3,u1 =2+3xx và u2=6+9x3x trong R ? 3 Bài 9: xét trong R hai cơ sở B={u1 ,u2 ,u3 } , B’={v1 ,v2 ,v3 }trong đó:
u1 =(3,0,3), u2 =(3,2,1), u3=(1,6,1) v1 =(6,6,0), v2=(2,6,4), v3=(2,3,7) 1, hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B 2,tính ma trận tọa độ[w]B của w =(5,8,5) và tính [w]B 3,tính trực tiếp [w]B và kiểm tra kết quả trên Bài 10: làm lại bài tập 9 với u1 =(2,1,1), u2=(2,1,1), u3 =(1,2,1) v1=(3,1,5), v2=(1,1,3), v3=(1,0,2)