Tài liệu Chương 3: Không gian vectơ
lượt xem 10
download
Mời các bạn cùng nắm bắt những kiến thức về khái niệm không gian vectơ; không gian vectơ; sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính thông qua tài liệu Chương 3: Không gian vectơ sau đây. Đặc biệt, với những bài tập được đưa ra ở cuối tài liệu sẽ giúp cho các bạn nắm bắt kiến thức này một cách tốt hơn.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Tài liệu Chương 3: Không gian vectơ
- Chương 3: không gian vectơ I: Khái niệm Không gian vectơ 1. Định nghĩa: Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K, hay một không gian vectơ, nếu V được trang bị một phép toán đại số (gọi là phép cộng), ký hiệu (+) và một phép nhân vô hướng, ký hiệu (.) thỏa mãn các điều kiện sau: 1. Tính giao hoán của phép cộng: ∀( x, y ) �V , x + y = y + x ; 2 2. Tính kết hợp của phép cộng: ∀( x, y, z ) �V , ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ; 3 3. Tồn tại trong V một phần tử không, ký hiệu là 0 thỏa mãn: ∀x �V , x + 0 = x; 4. ∀x V , tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là − x thỏa mãn: x + (− x) = 0; 5. ∀( x, y ) �V 2 , ∀α �K , α ( x + y ) = α x + α y; 6. ∀x �V , ∀ ( α , β ) �K 2 , (α + β ) x = α x + β x; 7. ∀x �V , ∀ ( α , β ) �K 2 , (αβ ) x = α (β x); 8. ∀x �V ,1x = x. 2: Không gian vectơ con 1. Định nghĩa: Cho V là một Kkhông gian vectơ và W là một tập con khác rỗng của V. Khi đó W được gọi là một không gian vectơ con của V nếu W là một K không gian vectơ ứng với những phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng lên W. 2. Định lý: Tập con W của không gian vectơ V là một không gian con của V khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thỏa: i) ∀x, y �W 2 , x + y �W ; ii) ∀α �K , ∀x �� W ,α x W . Nhận xét: Hai điều kiện i) và ii) ở trên có thể được thay thế bằng điều kiện sau: ∀α �ᄀ , ∀( x, y ) �W 2 , α x + y �W . Để chứng minh một tập hợp khác rỗng là không gian vector thì có hai cách hoặc chứng minh tập hợp này với hai phép toán cộng và nhân vô hướng
- thỏa các tiên đề của không gian vector; hoặc chứng minh rằng tập hợp đó là không gian vector con của một không vector khác. II: Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 1. Tổ hợp tuyến tính: 1.1 Định nghĩa: Cho V là một không gian vectơ trên trường K và v1 , v2 ,..., vn là các phần tử của V. Ta nói vectơ v là tổ hợp tuyến tính của các vectơ v1 , v2 ,..., vn nếu tồn tại các vô hướng α1 , α 2 ,..., α n K sao cho v = α1v1 + α 2 v2 + ... + α n vn . 2. Hệ vector độc lập tuyến tính – Hệ vector phụ thuộc tuyến tính: 2.1 Định nghĩa: Họ các vectơ v1 , v2 ,..., vn của không gian vectơ V trên trường K được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng α1 , α 2 ,..., α n K không phải tất cả đều bằng 0 sao cho: α1v1 + α 2v2 + ... + α n vn = 0 . Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là hệ độc lập tuyến tính. Ví dụ: Trong R4 cho hệ vectơ α1 = (1, 0,1,1); α 2 = (0,1, 2,3); α 3 = (1, 2,3, 4) . Hệ trên độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải: Xét hệ phương trình vectơ: x1 + x3 = 0 x2 + 2 x3 = 0 x1α1 + x2α 2 + x3α 3 = 0 . x1 + 2 x2 + 3 x3 = 0 x1 + 3 x2 + 3 x3 = 0 1 � 0 1� � � 0 1 2� Ta có ma trận các hệ số của hệ trên là A = � � và rankA = 3, nên 1 2 3� � � 1 � 3 4� hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (0, 0, 0). Do đó, hệ các vectơ trên độc lập tuyến tính. III.BÀI TOÁN ĐỔI CƠ SỞ 3.1:ví dụ: 1) Trong R3 , cho cơ sở B với các vectơ u1 , u2 , u3 lần lượt có tọa độ sau: u1 = (1,1, 0); u2 = (1, 0,1); u3 = (0,1,1) .
- Hãy lập ma trận và công thức đổi từ cơ sở chính tắc C sang 1. cơ sở B. 2. Tìm tọa độ của u = (5, 4, 3) € R3 trong cơ sở B. 3. Tìm vectơ v € R3 , biết tọa độ của vectơ v trong cơ sở B là v[ B ] = (1, 2,3) . Giải: 1) Ta có cơ sở chính tắc C của R3 là cơ sở gồm các vectơ e1 = (1, 0, 0); e2 = (0,1, 0); e3 = (0, 0,1) . Khi đó, 1 �� 1 �� 0 �� [u1 ][C ] �� = �� �� 1 ;[u2 ][ C ] = �� �� 0 ;[u3 ][C ] = �� 1 . Do đó, ma trận đổi từ cơ sở chính tắc �� 0 �� �� 1 �� �� 1 �� C sang cơ sở B là 1 1 0� � � 1 0 1� P=� � � 0 � 1 1 � �■ �x1 � � x2 � =� 2) Giả sử [u ][ B ] �, khi đó áp dụng công thức đổi tọa độ của một � x3 � � � vectơ ta có: 5 � �� 1 1 0 ��x1 � 5 = x1 + x2 x1 = 3 �� � �� � � � 4 =� �� 1 0 1 �� 4 = x1 + x3 � �x2 = 2 . Vậy [u ][ B ] = (3, 2,1) .■ x2 �� � �� 3 �0 1 1� � �x = 1 �� � �� �x3 � � 3 = x2 + x3 3 3) Gọi tọa độ của v trong cơ sở chính tắc V là ( x1 , x2 , x3 ) ta có �x1 � �1 1 0 ��� 1 x1 = 3 � � � x2 �= � ��� 2 . Vậy x2 = 4 hay v= (3, 4, 5) R3■ 1 0 1 ��� � � �x3 � � �0 1 1� � ��� 3 �� x3 = 5 IV: BÀI TẬP Bài 1: Trong R3 cho hệ 3 vectơ B = {u1 = (1,1, 0); u2 = (1, 0,1); u3 = (0,1,1)} . a) Chứng minh rằng B là một cơ sở của R3
- b) Tìm tọa độ của các vectơ e1 (1, 0, 0); e2 (0,1, 0); e3 = (0, 0,1); u = (3, 4,5) trong cơ sở B. Giải: a, Vì B là hệ gồm 3 vectơ trong không gian hữu hạn chiều R3 , nên để chứng minh B là cơ sở của R3 ta chỉ cần chứng minh B là hệ độc lập tuyến tính. Để chứng minh điều này ta có thể xây dựng ma trận A có các dòng là các vectơ u1 , u2 , u3 , sau đó chứng minh rankA = 3 hay det A 0 . 1 1 0 Ta có, det A = 1 0 1 = −2 0 . 0 1 1 Vậy hệ các vectơ u1 , u2 , u3 là hệ độc lập tuyến tính nên đó là cơ sở của 3 R . b) Xét một vectơ tùy ý a=(a1,a2,a3) 3 R giả sử a [B] = ( x1 , x2 , x3 ) , khi đó �a1 � �� 1 1 �� 0 �� �a1 � �x1 + x2 � x1 + x2 = a1 a = x1u1 + x2u2 + x3u3 � �a �= x �� 1 � � �� �� �� 2 1 + x 2 �� 0 + x3 �� 1 � �a �= �x + x �� x + x = a � 2 � �1 3 � 1 3 2 � �a3 �� �� 0 �� �� 1 �� �� 1 �� � �a3 � �x2 + x3 � � � � x2 + x3 = a3 1 x1 = (a1 + a2 − a3 ) 2 1 � x2 = (a1 − a2 + a3 ) 2 1 x3 = (− a1 + a2 + a3 ) 2 Vậy với mọi vectơ tùy ý 3 , thì ta có a=(a ,a ,a ) R 1 2 3 �1 1 1 � a[ B ] = � (a1 + a2 − a3 ), (a1 − a2 + a3 ), (− a1 + a2 + a3 ) �. �2 2 2 � Lần lượt cho a bằng e1 , e2 , e3 , u ta có tọa độ của các vectơ e1 , e2 , e3 , u trong cơ sở B lần lượt là:
- �1 1 1� e1 = � , , − � �2 2 2� �1 1 1� e2 = � , − , � �2 2 2� �1 1 1 � ■ e3 = �− , , � �2 2 2 � u = (1, 2, 3) Bài 2) Trong R3 cho 2 cơ sở B (α1 , α 2 , α 3 ) và B '( β1 , β 2 , β 3 ) như sau: α1 = (1,1,1); α2 = (−1, 2,1); α3 = (1, 3, 2) β1 = (1, 0,1); β2 = (1,1, 0); β3 = (0,1,1) 1) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B’. 2) Viết công thức tính tọa độ của vectơ x trong cơ sở B theo tọa độ của x trong cơ sở B’. Giải: a, β1 =a1α1 +a2α2 +a3α3 (1) Giả sử β2 =b1α1 +b2α2 +b3α3 (2) . Khi đó, ma trận chuyển β3 =c1α1 +c2α2 +c3α3 (3) cơ sở B sang cơ sở B’ có dạng: a1 � b1 c1 � CB B' =� a2 � b2 c2 � �. Để tìm ai , bi , ci ta phải giải các � a3 � b3 c3 � � phương trình vectơ (1), (2), (3). a1 − a2 + a3 = 1 Phương trình (1) tương đương với hệ a1 + 2a2 + 3a3 = 0 a1 + a2 + 2a3 = 1
- b1 − b2 + b3 = 1 Phương trình (2) tương đương với hệ b1 + 2b2 + 3b3 = 1 b1 + b2 + 2b3 = 0 c1 −c2 + c3 = 0 Phương trình (3) tương đương với hệ c1 + 2c2 + 3c3 =1 c1 + c2 + 2c3 =1 Ta dùng phương pháp Gauss để giải các hệ phương trình trên, lập các ma trận hệ số mở rộng: �1 − 1 1 1 1 0 � �1 − 1 1 1 1 0 � �1 − 1 1 1 1 0 � � � d2 d2 − d1 � � d 2 − d3 � � �1 2 3 0 1 1 � d3 d3 − d1 � 0 3 2 − 1 0 1 � d2 �0 1 1 − 1 1 0 � � �1 1 2 1 0 1 � � � �0 2 1 0 − 1 1 � � � �0 2 1 0 − 1 1 � � �1 − 1 1 1 1 0 � d3 d 3 − 2 d 2 � � �0 1 1 − 1 1 0 � � �0 0 − 1 2 − 3 1 � � a3 = − 2; Vậy với hệ (1) ta có a2 = − 1 − a3 = 1; a1 = a2 − a3 + 1 = 4 b3 = 3; Hệ (2) ta có b2 = 1 − b3 = − 2; b1 = b2 − b3 + 1 = − 4 c3 = −1; Hệ (3) ta có c2 = −c3 = 1; c1 = c2 − c3 = 2
- �4 − 4 2 � � Vậy ma trận đổi cơ sở B sang cơ sở B’ là CB B ' = 1 − 2 1 .■ � � � ��− 2 3 − 1�� b) Giả sử [ x][ B ] = ( x1 , x2 , x3 ) và [ x][ B '] = ( y1 , y2 , y3 ) . Khi đó, công thức tính tọa độ của x trong cơ sở B theo tọa độ của x trong cơ sở B’ là: �x1 � �4 − 4 2 ��y1 � x1 = 4 y1 − 4 y2 + 2 y3 �x �= �1 − 2 1 ��y �� x = y − 2 y + y �2� � �� 2 � 2 1 2 3 ■ �x � �3� � �− 2 3 − 1��y � �� 3 � x3 = − 2 y1 + 3 y 2 − y3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Xét xem các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính a) {u1 = (1,0,1); u2 = (1, 2,3); u3 = (10,11,12); u4 = (4,5, 6)}; b) {u1 = (1,0,1); u2 = (1, 2,3); u3 = (2, 2, 4)}; c) {u1 = (1, 0,1); u2 = (1, 2,3); u3 = (2, 2,5)}; d ) {u1 = (1, 0,1); u2 = (1, 2,3)}. e){u1 = (1, − 2,3, −4); u2 = (3,3, −5,1); u3 = (3, 0,3, −10)}; Bài 2: Trong R3 x (không gian các đa thức hệ số thực bậc không quá 3), xét các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? a) {u1 = x 3 − 2 x + 3; u2 = x 2 + 1}; b) {u1 = x 3 − 2 x + 3; u2 = x 2 + 1; u3 = 2 x 3 + x 2 − 4 x + 10}; c) {u1 = x3 − 2 x + 3; u2 = x 2 + 2 x − 1; u3 = x 3 + x 2 + 2}; d ) {u1 = x 3 ; u2 = 2 x 2 ; u3 = 3x; u4 = 2 x 2 + 3 x; u5 = 1}. Bài 3: Trong không gian vectơ V cho 3 vectơ x, y, z. Chứng minh rằng {x+y, y+z, z+x} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi {x, y, z} độc lập tuyến tính.
- Bài 4:Trong R3 chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) là cơ sở và tìm tọa độ của u đối với B trong các trường hợp sau: a ) u1 = (1,1,1); u2 = (1,1, 2); u3 = (1, 2,3); u = (6,9,14); b) u1 = (2,1, −3); u2 = (3, 2, −5); u3 = (1, − 1,1); u = (6, 2, −7); c) u1 = (1, −1,0); u2 = (1,0, −1); u3 = (2, 0,0); u = ( −3,1, −2); Bài 5: Trong R3 cho hai hệ vectơ B = {(1,1,1); (1,1, 2); (1, 2, 3)} và B’ = {(2,1,1); (3,2,5); (1,1,m)}. a) Chứng minh rằng B là một cơ sở của R3. b) Tìm m để B’ là một cơ sở củA R3. c) Trong trường hợp B’ là cơ sở của R3 hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ và tìm tọa độ của vectơ u = (1, 0, 0) trong hai cơ sở đó. Bài 6: Trong R3 cho hai hệ vectơ B = {(1,1, − 1);(1,0,1);(0,1,1)} và B’ = {(0,0,1); (1, 1, 0);(1,1,1)}. a) Chứng minh rằng B và B’ là các cơ sở của R3.Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ và từ B’ sang B. Tìm tọa độ của vectơ x = (1, 1, 1) trong hai cơ sở đó Bài 7: Trong R3, cho các vectơ u1 = (2,1, − 1); u2 = (2, −1, 2); u3 = (3,0,1); v1 = ( −3,1, 2); v2 = (1, −2,5); v3 = (2, 4,1) a) Chứng minh rằng B = (u1 , u2 , u3 ); B ' = (v1 , v2 , v3 ) là các cơ sở của R3. 4� � 7� � Tìm [u ]B ' ; v; [ w] �� � 8� b) B nếu biết u = (1, 2, 3), [v]B = � 5� và [ w]B ' = �� � 6� �� � 9� �� Bài 8:các tập sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: 2 1, u1 =(1,2) và u2 =(3,6) trong R ? 2 2,u1 =(2,3) , u2 =(5,8) ,u3 =(6,1) trong R ? 2 2 2 3,u1 =2+3xx và u2=6+9x3x trong R ? 3 Bài 9: xét trong R hai cơ sở B={u1 ,u2 ,u3 } , B’={v1 ,v2 ,v3 }trong đó:
- u1 =(3,0,3), u2 =(3,2,1), u3=(1,6,1) v1 =(6,6,0), v2=(2,6,4), v3=(2,3,7) 1, hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B 2,tính ma trận tọa độ[w]B của w =(5,8,5) và tính [w]B 3,tính trực tiếp [w]B và kiểm tra kết quả trên Bài 10: làm lại bài tập 9 với u1 =(2,1,1), u2=(2,1,1), u3 =(1,2,1) v1=(3,1,5), v2=(1,1,3), v3=(1,0,2)
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Giải bài tập Đại số tuyến tính: Phần 1
104 p | 1090 | 375
-
Đại số tuyến tính - Chương 3 Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính
65 p | 1187 | 359
-
Giáo trình Đại số tuyến tính: Phần 1 - PGS.TS. Đậu Thế Cấp
78 p | 1025 | 200
-
Toán học - Bài tập Toán cao cấp Tập 1
388 p | 242 | 68
-
Toán cao cấp C2 - Chương II: Không gian vector
99 p | 508 | 46
-
Bài giảng Bài tập Trường điện từ: Chương 3 - Lê Minh Cường
17 p | 377 | 45
-
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 - ThS. Nguyễn Phương
33 p | 281 | 43
-
Toán học - Hình học tuyến tính: Phần 1
144 p | 493 | 43
-
Chương 4. KHÔNG GIAN EUCLIDE
4 p | 151 | 20
-
Bài tập Chương 0, 1, 2, 3 môn Đại số tuyến tính - Nguyễn Hữu Việt Hưng
150 p | 16 | 4
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn