Tài liệu: Không gian vecto

Chia sẻ: Lan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

164
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong toán học, không gian vectơ là một tập hợp mà trên đó hai phép toán, phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với một số, được định nghĩa và thỏa mãn các tiên đề được liệt kê dưới đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu: Không gian vecto

CHÖÔNG MOÄT KHOÂNG GIAN VECTÔ Ta thöôøng kyù hieäu KHOÂNG GIAN ÑÒNH CHUAÅN ∑ — : taäp hôïp caùc soá thöïc . ∑ ¬ : taäp hôïp caùc soá phöùc . ∑  : moät trong hai taäp hôïp — vaø ¬ . gth1 1 gth1 2 Ñònh nghóa . Cho E laø moät taäp khaùc troáng . Ta noùi E laø moät khoâng gian vectô treân  , neáu coù Thí duï 1 . Cho n laø moät soá nguyeân döông vaø ñaët noäi luaät + : E μ E Ø E vaø E = { x = (x1 , . . . , xn) : x1 , . . . , xn œ — } ngoaïi luaät . :  μ E Ø E coù caùc tính chaát sau noäi luaät + : E μ E Ø E (i) Luaät + coù tính giao hoaùn , phoái hôïp, coù phaàn töû (x1 , . . . , xn) + (y1 , . . . , yn) = (x1 +y1, . . . , xn +yn) trung hoaø 0, vaø vôùi moïi x trong E \ {0} coù moät phaàn töû ñoái kyù hieäu laø -x , nghóa laø (E, +) laø moät nhoùm coäng giao hoaùn. vaø (ii) Ngoaïi luaät . phoái hôïp vôùi noäi luaät + trong E vaø caùc noäi luaät ngoaïi luaät . : — μ E Ø E trong , nghóa laø vôùi moïi x vaø y trong E ; t vaø s trong  ta coù t. (x1 , . . . , xn) = (t x1 , . . . , t xn) t.(x + y) = t.x + t.y , Luùc ñoù E laø moät khoâng gian vectô treân — . (t+s).x = t.x + s.x , Ta thöôøng duøng —n ñeå kyù hieäu khoâng gian vectô naøy . (iii) 1.x = x. (t.s).x = t.(s.x) . gth1 3 gth1 4
Thí duï 3 . Cho E laø taäp hôïp taát caû caùc ña thöùc thöïc treân moät Thí duï 2 . Cho n laø moät soá nguyeân döông vaø ñaët khoaûng ñoùng [a , b] . E = { x = (x1 , . . . , xn) : x1 , . . . , xn œ ¬ } nghóa laø f œ E neáu vaø chæ neáu coù moät soá nguyeân döông k vaø noäi luaät + : E μ E Ø E k +1 soá thöïc a0 , a1 , . . . , ak sao cho (x1 , . . . , xn) + (y1 , . . . , yn) = (x1 +y1, . . . , xn +yn) f (t) = a0 + a1 t + . . . + ak tk " t œ [a , b] . noäi luaät + : E μ E Ø E vaø (f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b] ngoaïi luaät . : ¬ μ E Ø E vaø ngoaïi luaät . : — μ E Ø E z. (x1 , . . . , xn) = (z x1 , . . . , z xn) (s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b] Luùc ñoù E laø moät khoâng gian vectô treân ¬ . Luùc ñoù E laø moät khoâng gian vectô treân — . Ta thöôøng duøng ¬ n ñeå kyù hieäu khoâng gian vectô naøy . Ta thöôøng duøng P([a , b] ,—) ñeå kyù hieäu khoâng gian vectô naøy . gth1 5 gth1 6 Thí duï 4 . Cho E laø taäp hôïp taát caû caùc ña thöùc thöïc baäc nhoû hôn Thí duï 4 . Cho E laø taäp hôïp taát caû caùc haøm soá thöïc lieân tuïc hay baèng N treân moät khoaûng ñoùng [a , b] . treân moät khoaûng ñoùng [a , b] . nghóa laø f œ E neáu vaø chæ neáu coù N +1 soá thöïc a0 , a1 , . . . , aN noäi luaät + : E μ E Ø E sao cho f (t) = a0 + a1 t + . . . + aN tN " t œ [a , b] . (f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b] noäi luaät + : E μ E Ø E vaø ngoaïi luaät . : — μ E Ø E (f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b] (s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b] vaø ngoaïi luaät . : — μ E Ø E (s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b] Luùc ñoù E laø moät khoâng gian vectô treân — . Luùc ñoù E laø moät khoâng gian vectô treân — . Ta thöôøng duøng Ta thöôøng duøng C([a , b] ,—) ñeå kyù hieäu khoâng gian vectô naøy . PN([a , b] ,—) ñeå kyù hieäu khoâng gian vectô naøy . gth1 7 gth1 8
Ñònh nghóa . Cho E laø moät khoâng gian vectô F vaø A laø moät taäp hôïp con cuûa E . Ta noùi : † A laø moät taäp ñoäc laäp tuyeán tính neáu vôùi moïi taäp con † Neáu A laø moät cô sôû cuûa E vaø A coù höõu haïn phaàn töû , ta noùi höõu haïn {a1, . . . , an} caùc phaàn töû khaùc nhau trong A vaø E laø moät khoâng gian vectô höõu haïn chieàu vaø soá phaàn töû cuûa A vôùi moïi hoï con höõu haïn {a1, . . . , an} trong F sao cho a1 a1 ñöôïc goïi laø soá chieàu cuûa E vaø ñöôïc kyù hieäu laø dim (E ) . + . . . + an an = 0 thì † Neáu A laø moät cô sôû cuûa E vaø A coù voâ haïn phaàn töû , ta noùi a1 = . . . = an = 0 . E laø moät khoâng gian vectô voâ haïn chieàu vaø vieát dim (E ) = ¶ . † A laø moät taäp sinh cuûa E neáu E = {a1 a1 + . . .+ an an : a1, . . . , anœ A ; a1, . . . ,an œ F}. † A laø moät cô sôû cuûa E neáu A laø moät taäp ñoäc laäp tuyeán tính vaø taäp sinh cuûa E. gth1 9 gth1 10 Ñònh nghóa . Cho E laø moät khoâng gian vectô treân F, Thí duï 1 . Cho x = (x1 , . . . , xn) trong —n . Ñaët cho || || laø moät aùnh xaï töø E vaøo —, ta noùi || || laø chuaån treân E , neáu || || coù caùc tính chaát sau: || x ||1 = | x1| + . . . + | xn| (i) || x || ¥ 0 " x œ E , vaø || x || = 0 neáu vaø chæ neáu x = 0 . (ii) || tx || = |t| || x || "xœE,tœF. || x ||2 = ( | x1| 2 + . . . + | xn|2 )1/2 (iii) || x + y ||  || x || + || y || "x ,yœE. Neáu || || laø moät chuaån treân E , ta noùi (E, || ||) laø moät khoâng gian || x ||¶ = max{ | x1| , . . . , | xn| } vectô ñònh chuaån , hoaëc moät khoâng gian ñònh chuaån . Neáu khoâng coù gì ñeå sôï laàm laån , ta ghi E theá cho (E, || ||) . Luùc ñoù || ||1 , || ||2 vaø || ||¶ laø caùc chuaån treân —n . gth1 11 gth1 12
Ñònh nghóa . Cho E laø moät taäp hôïp khaùc troáng vaø f laø moät Thí duï 2 . Cho C([0,1], — ) laø hoï taát caû caùc haøm soá lieân tuïc töø aùnh xaï töø taäp hôïp caùc soá nguyeân döông Õ vaøo E. Ñaët khoaõng [0 , 1] vaøo —. xn = f(n)  n œÕ. C([0,1], — ) laø moät khoâng gian vectô vôùi caùc luaät coäng vaø nhaân cuûa caùc haøm soá thöïc. Ta goïi {xn} laø moät daõy trong E Ta ñaët Ñònh nghóa . Cho (E,||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån (treân ) vaø f laø moät aùnh xaï töø taäp hôïp caùc soá nguyeân döông Õ || f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] } vaøo E. Ñaët  f  C([0,1], — ) xn = f(n)  n œÕ. Ta goïi {xn} laø moät daõy trong khoâng gian ñònh chuaån E Luùc ñoù (C([0,1], — ) , ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån Thí duï 1. {sin(n3 + 2n)} laø moät daõy trong khoaõng ñoùng [-1 , 1] gth1 13 gth1 14 Thí duï 2 . Cho C([0,1], — ) laø hoï taát caû caùc haøm soá lieân tuïc töø Ta seõ cho moät thí duï veà moät daõy { un } trong C([0,1], — ) khoaõng [0 , 1] vaøo —. Ñaët C([0,1], — ) laø moät khoâng gian vectô vôùi caùc luaät coäng vaø nhaân cuûa caùc haøm soá thöïc. un(t)  1  t  21 t 2    1 tn n!  t  [0 , 1]  n  Õ Ta ñaët || f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] } Luùc ñoù un laø moät haøm soá lieân tuïc töø [0,1] vaøo — .  f  C([0,1], — ) Vaäy { un } laø moät daõy trong C([0,1], — ) Luùc ñoù (C([0,1], — ) , ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån Ta seõ cho moät thí duï veà moät daõy { un } trong C([0,1], — ) gth1 15 gth1 16
Cho { xn } laø moät daõy trong moät khoâng gian ñònh chuaån Ñaët (E ,||.|| ) vaø moät phaàn töû a trong E . a (t) = t  t  [0 , 1] Ta noùi daõy { xn } hoäi tuï veà a neáu vaø chæ neáu xn (t) = t + sin(n-1t)  n  Õ  t  [0 , 1]   > 0  N()  Õ sao cho Chöùng minh {xn } hoäi tuï veà a trong (C([0,1], ||.||) || xn - a || <   n > N() Chöùng minh   > 0  N()  Õ sao cho || xn - a || <   n > N() Cho tröôùc moät soá thöïc döông  , tìm moät soá nguyeân döông N() sao cho || xn - a || <   n > N() gth1 17 gth1 18 Cho tröôùc moät soá thöïc döông  , tìm moät soá nguyeân döông Cho tröôùc moät soá thöïc döông  , tìm moät soá nguyeân döông N() sao cho N() sao cho || xn - a || <   n > N() |xn (t) - a(t) | <   n > N() ,  t  [0 , 1] a (t) = t  t  [0 , 1] ( || f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] } ) xn (t) = t + sin(n-1t)  n  Õ  t  [0 , 1] sup { |xn (t) - a(t) | : t  [0 , 1 ] } <  |t + sin(n-1t) - t | <   n > N()  t  [0 , 1]  n > N() | sin(n-1t) | <   n > N()  t  [0 , 1] |xn (t) - a(t) | <  ( n-1  n-1t  | sin(n-1t) |  t  [0 , 1] )  n > N()  t  [0 , 1] n-1 <   n > N()  t  [0 , 1] gth1 19 gth1 20
Ñònh nghóa . Cho g laø moät aùnh xaï töø taäp hôïp caùc soá nguyeân Cho E laø moät taäp hôïp khaùc troáng , döông Õ vaøo Õ . Ñaët g laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo Õ vaø nk = g(k)  k Õ. f laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo E. Ta duøng {nk } thay cho {xn } vì ta thöôøng kyù hieäu caùc soá Ñaët nguyeân döông laø n xn = f(n)  n œÕ. Ta thaáy {nk } laø moät daõy trong Õ bn = fog(n)  n œÕ. Ta thaáy fog cuõng laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo E . Vaäy {xn} vaø {bn} laø caùc daõy trong E gth1 21 gth1 22 Cho { xn } laø moät daõy trong moät khoâng gian ñònh chuaån Neáu g(n) = 2n ta kyù hieäu x n laø x2n (E ,||.|| ) vaø moät phaàn töû a trong E . Ta noùi daõy { xn } hoäi k tuï veà a neáu vaø chæ neáu   > 0  N()  Õ sao cho Neáu g(n) = 2n+1 ta kyù hieäu x n laø x2n+1 k || xn - a || <   n > N() Cho E laø moät taäp hôïp khaùc troáng , g laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo Õ Neáu g(n) = 5n+3 ta kyù hieäu x laø x5n+3 n k vaø f laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo E. Ñaët xn = f(n)  n œÕ. bn = fog(n)  n œÕ. Ta noùi {bn} laø moät daõy con cuûa {xn} neáu g taêng nghieâm caùch. Luùc ñoù ta kyù hieäu bn = x n k gth1 23 gth1 24 ( bn = fog(n) = bn = f (g(n) ) = f(nk ) )
Cho { xn } laø moät daõy hoäi tuï veà a trong moät khoâng gian ñònh Cho { xn } laø moät daõy trong moät khoâng gian ñònh chuaån chuaån (E ,||.|| ) . Chöùng minh { xn } laø moät daõy Cauchy . (E ,||.|| )   > 0  N()  Õ sao cho Ta noùi daõy { xn } laø moät daõy Cauchy neáu vaø chæ neáu || xn - a || <   n > N()   > 0  N()  Õ sao cho   > 0  N()  Õ sao cho || xn - xm || <   n > m > N() || xn - xm || <   n > m > N()  ’ > 0  M(’)  Õ sao cho || xn - xm || < ’  n > m > M(’) gth1 25 gth1 26 Cho { xn } laø moät daõy hoäi tuï veà a trong moät khoâng gian ñònh Cho moät  > 0 ta coù N()  Õ sao cho chuaån (E ,||.|| ) . Chöùng minh { xn } laø moät daõy Cauchy . || xn - a || <   n > N()   > 0  N()  Õ sao cho Cho moät ’ > 0 tìm M(’)  Õ sao cho || xn - a || <   n > N() || xn - xm || < ’  n > m > M(’)  ’ > 0  M(’)  Õ sao cho || xn - xm || § || xn - a || + || a - xm || || xn - xm || < ’  n > m > M(’) Cho moät  > 0 ta coù N()  Õ sao cho || xn - xm || § +  n , m > N() || xn - a || <   n > N() Cho moät ’ > 0 tìm M(’)  Õ sao cho || xn - xm || < ’  n > m > M(’) gth1 27 gth1 28
Cho moät  > 0 ta coù N()  Õ sao cho Cho E laø taäp hôïp taát caû caùc ña thöùc vôùi heä soá thöïc || xn - a || <   n > N() Cho f (t) = a0 + a1t + . . . + amtm . Ñaët Cho moät ’ > 0 tìm M(’)  Õ sao cho || f || = max { | a0 | , | a1 | , . . . , | am | } || xn - xm || < ’  n > m > M(’) Luùc ñoù (E , ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån. || xn - xm || § || xn - a || + || a - xm || Ñaët un (t) = t + 2-1 t 2 + . . . + n -1 t n || xn - xm || § +  n , m > N() Ta thaáy {un } laø moät daõy trong E  +  V ’ M(’) V N() Ta seõ chöùng minh {un } laø moät daõy Cauchy trong E . Nhöng Cho moät ’ > 0 , ta choïn  = ’ vaø khoâng coù v trong E sao cho {un } hoäi tuï veà v . M(’) = N() . Ta coù || xn - xm || § || xn - a || + || a - xm || §  +  = ’  n gth1 > m > M(’) 29 gth1 30 Cho  >moä 0 t  > 0 , N() tìmÕ N() saocho Õ sao cho Chöùng minh khoâng coù v trong E sao cho {un } hoäi tuï veà v || un - um || <   n > m > N() Cho v trong E . Chöùng minh {un } khoâng hoäi tuï veà v || u || = max { | a0 | , | a1 | , . . . , | ak | } neáu   > 0  N()  Õ sao cho u (t) = a0 + a1t + . . . + aktk || un - v || >   n > N() un (t) = t + 2-1 t 2 + . . . + n -1 t n   > 0 sao cho  N  Õ ,  n > N u( t ) = un (t) - um (t) = (m+1)-1 t 2 + . . . + n -1 t n || un - v || >  || un - um || = (m+1)-1 n>m Tìm  > 0 sao cho vôùi moïi N  Õ ta tìm ñöôïc moät n > N Cho moät  > 0 , tìm N()  Õ sao cho || un - v || >  || un - um || = (m+1)-1 <   n > m > N() Suy ra ta caàn choïn N() sao cho N()-1 <  gth1 31 gth1 32 Vaäy {un } laø moät daõy Cauchy trong E .
Tìm  > 0 sao cho vôùi moïi N  Õ ta tìm ñöôïc moät n > N ñeå cho || un - v || >  Cho a1 , a2 , . . . , an laø n vectô trong moät khoâng gian ñònh || u || = max { | a0 | , | a1 | , . . . , | an | } neáu chuaån ( E , ||.||) . Ta ñaët u (t) = a0 + a1t + . . . + amtm a1 + a2 + a3 = (a1 + a2 ) + a3 un (t) = t + 2-1 t 2 + . . . + n -1 t n a1 + a2 + . . . + an = (a1 + a2 + . . . + an-1) + an v (t) = b0 + b1t + . . . + bkt k u (t) = un (t) - v (t) = - b0 + (1 – b1)t + . . . + Cho {an } laø moät daõy trong moät khoâng gian ñònh chuaån ( E , ||.||) . Ta ñaët + (k -1- bk )t k + (k+1)-1 t k+1 + . . . + n -1 t n neáu n > k sn = a1 + a2 + . . . + an  n  Õ || u || = max{ | b0 | , | 1 - b1 | , . . . , | k -1 - bk | , (k+1)-1, . . . , n -1 }  (k+1)-1 neáu n > k Luùc ñoù {sn } laø moät daõy trong E . Neáu daõy naøy hoäi tuï  veà s , ta noùi s laø giôùi haïn cuûa chuoãi (vectô)  n 1 an (k+1)-1 § || un - v || neáu n > k gth1 33 gth1 34 Choïn  = (k+2 )-1 . Ta coù keát quaû  Chöùng minh chuoãi  xi hoäi tuï veà s trong C([0,1], — ) i0 Cho C([0,1], — ) laø hoï taát caû caùc haøm soá lieân tuïc töø khoaõng [0 , n 1] vaøo —. Ñaët sn   x i i0 Ta ñaët Ta coù || f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] } sn(t)  1  t  1 t 2    1 t n 2 n!  f  C([0,1], — )  t  [ 0 ,1] ,  n  Õ Luùc ñoù (C([0,1], — ) , ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån . Ñaët Chöùng minh {sn} hoäi tuï veà s trong C([0,1], — ) xn (t)  1 tn  t  [ 0 ,1] , n œ Ù n!   > 0  N()  Õ sao cho Luùc ñoù {xn} laø moät daõy trong C([0,1], — ) . || sn - s || <   n > N()  Chöùng minh chuoãi  xn hoäi tuï veà s trong C([0,1], — ) , n 1 gth1 35 Cho tröôùc moät soá thöïc döông  gth1, tìm moät soá nguyeân 36 vôùi s(t) = et  t  [ 0 ,1] döông N() sao cho || sn - s || <   n > N()
Cho tröôùc moät soá thöïc döông  , tìm moät soá nguyeân döông Cho tröôùc moät soá thöïc döông  , tìm moät soá nguyeân döông N() sao cho || sn - s || <   n > N() N() sao cho || f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] }  f  C([0,1], — )  | in1 i1!t | <   n > N() ,  t  [0 , 1 ] i sn(t)  1  t  1 t 2    1 t n 2 n!  t  [ 0 ,1] ,  n  Õ  1 i  | i n1 i!t | =  i  n 1 i !t  1 i  i n  1 i1!  t  [0 , 1 ]   s(t) = et =  1 i i  0 i !t  t  [ 0 ,1] |  i  n 1 i! | <  1  n > N() f(t) = sn(t) - s(t) =  i n  1 i1!t i  Ñeå yù  1 i 0 i! <  Cho tröôùc moät soá thöïc döông  , tìm moät soá nguyeân döông N() sao cho  sup {|  i  n  1 i !t | : 1 i t  [0 , 1 ] } <   n > N() | in1 i1!t i | <   n > N() ,  t  [0 , 1 ] gth1 37 gth1 38 Cho E laø taäp hôïp taát caû caùc ña thöùc vôùi heä soá thöïc. Cho {an } laø moät daõy trong moät khoâng gian ñònh chuaån ( E , ||.||) . Ta ñaët Cho u (t) = a0 + a1t + . . . + amtm . Ñaët sn = a1 + a2 + . . . + an  n  Õ || u || = max { | a0 | , | a1 | , . . . , | an | } Luùc ñoù {sn } laø moät daõy trong E . Neáu daõy {sn } laø moät daõy Luùc ñoù (E , ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån. Cauchy trong E , ta noùi chuoãi  n 1 a n laø moät chuoãi Cauchy xn (t)  n1 ! t n  t  [ 0 ,1] , n œ Ù Töông töï nhö daõy , moät chuoãi hoäi tuï trong E seõ laø moät chuoãi Ta thaáy {xn } laø moät daõy trong E . Cauchy trong E . Töông töï nhö trong phaàn daõy, ta chöùng minh ñöôïc chuoãi  n 0 x n laø moät chuoãi Cauchy trong E nhöng khoâng hoäi tuï trong E .  Löu yù . Chuoãi  n  0 x n chính laø chuoãi  i  0 i1! t i vaø ñaõ ñöôïc chöùng minh hoäi tuï veà s(t) = et trong khoâng gian ñònh chuaån C([0,1], — ) ôû ñoaïn beân treân. gth1 39 gth1 40
Ñònh nghóa. Cho (E, ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån Cho B laø moät taäp con khaùc troáng trong moät khoâng gian ñònh (treân ). Vôùi moïi a trong E vaø vôùi moïi soá thöïc döông r ta chuaån (E, ||.||) . Cho a laø moät phaàn töû trong E . ñaët B(a,r) = { x  E : || x – a || < r } Ta goïi B(a,r) laø quaû caàu môû taâm a baùn kính r trong (E, ||.||) . Giaû söû coù moät daõy {xn} trong B sao cho {xn} hoäi tuï veà a . Chöùng minh Cho { xn } laø moät daõy trong moät khoâng gian ñònh chuaån (E ,||.|| ) vaø moät phaàn töû a trong E . Ta noùi daõy { xn } B(a , r) … B ∫ « " r >0. hoäi tuï veà a neáu vaø chæ neáu Coù moät daõy {xn} trong B sao cho   > 0  N()  Õ sao cho   > 0  N()  Õ ñeå cho || xn - a || <   n > N() || xn - a || <   n > N() B(a , r) … B ∫ « " r >0   > 0  N()  Õ sao cho Coù moät daõy {xn} trong B sao cho vôùi moåi soá thöïc döông  , ta xn  B(a , )  n > N() coù moät soá nguyeân N() ñeå cho || xn - a || <  n > gth1 41 N() gth1 Cho moät r > 0 , tìm moät xr œ B(a , r) … B 42 Coù moät daõy {xn} trong B sao cho vôùi moåi soá thöïc döông  , ta coù Coù moät daõy {xn} trong B sao cho vôùi moåi soá thöïc döông  , ta coù moät soá nguyeân N() sao cho moät soá nguyeân N() sao cho || xn - a || <   n > N() xn œ B(a , )  n > N() Cho moät r > 0 , tìm moät xr œ B(a , r) … B Cho moät r > 0 , tìm moät yr œ B(a , r) … B xn W yr  W r Coù moät daõy {xn} trong B sao cho vôùi moåi soá thöïc döông  , ta Cho moät r > 0 . Choïn  = r coù moät soá nguyeân N() sao cho Xeùt n = N() +1 vaø xn || xn - a || <   n > N() Cho moät r > 0 , tìm moät yr œ B(a , r) … B Ñaët yr = xn Ta coù yr = xn œ B(a , ) … B = B(a , r) … B gth1 43 gth1 44
Cho moät daõy {xn} trong moät khoâng gian ñònh chuaån (E ,||.||) vaø Cho B laø moät taäp con khaùc troáng trong moät khoâng gian ñònh moät ñieåm a trong E sao cho chuaån (E, ||.||) . Cho a laø moät phaàn töû trong E . || xn – a || < n-1 " n œ Õ. Giaû söû B(a , r) … B ∫ « " r >0. Chöùng minh daõy {xn} hoäi tuï veà a trong E . Chöùng minh coù moät daõy {xn} trong B sao cho {xn} hoäi tuï veà a . || xn – a || < n-1 " n œ Õ B(a , r) … B ∫ « " r >0 Vôùi moãi soá thöïc döông  , ta tìm moät soá nguyeân N() sao cho Cho moät r > 0 , ta coù moät yr œ B(a , r) … B ||xm - a || <   m > N() Tìm moät daõy {xn} trong B sao cho || xm – a || < m-1 <  V m-1 <  V m > -1   > 0  N()  Õ sao cho || xn - a || <   n > N() Vôùi moãi soá thöïc döông  , ta tìm moät soá nguyeân N() sao cho Cho moät r > 0 , ta coù moät yr trong B vôùi || yr – a || < r N() > -1 . Tìm moät daõy {xn} trong B sao cho Luùc ñoù ||xm - a || <  gth1  m > N() 45 || xn – a || < n-1 " n œ Õ gth1 46 Cho a vaø b laø hai soá thöïc sao cho a < b . Ñaët Cho moät r > 0 , ta coù moät yr trong B vôùi c = (a + b) vaø r = (b - a) || yr – a || < r ( a , b ) = B(c,r) Tìm moät daõy {xn} trong B sao cho ôû ñaây B(c,r) laø quaû caàu taâm c baùn kính r trong ( —, |.|) . || xn – a || < n-1 " n œ Õ Ñònh nghóa. Cho (E , ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån vaø yr V xn r V n-1 A laø moät taäp con cuûa E , ta noùi Cho moät soá nguyeân n , ta ñaët A laø moät taäp môû trong (E , ||.||) neáu coù moät hoï caùc quaû caàu môû r = n-1 xn = yr { B ( a i , r i )} i  I trong (E , ||.||) ñeå cho A =  B (a i , ri ) iI Ta coù xn = yr œ B vaø E =  B (x , rx ) vôùi rx = 1 " xœE || xn – a || = || yr – a || < r = n-1 xE gth1 47 « =  B (x , rx ) vôùigth1rx = 1 " xœ« 48 x
Ñònh nghóa. Cho (E , ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån vaø Ñònh nghóa. Cho (E, ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån A laø moät taäp con cuûa E , ta noùi (treân ). Cho x trong E vaø A laø moät taäp con cuûa E . Ta noùi A laø moät taäp ñoùng trong (E , ||.||) neáu E \ A laø moät taäp x laø moät ñieåm dính cuûa A neáu vaø chæ neáu môû trong (E , ||.||) B(x,r)…A ∫ « "r > 0 « = E \ E : « laø moät taäp ñoùng trong E Cho (E, ||.||) = (—, |.|) , A = ( 0 , 1] , E = E \« : E laø moät taäp ñoùng trong E x = -1 vaø y = 0 . Ñònh nghóa. Cho (E, ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån B(x,1) … A = (-2 , 0) … ( 0 , 1] = « (treân ). Vôùi moïi a trong E vaø vôùi moïi soá thöïc döông r ta ñaët B(y,r) … A = (- r , r ) … ( 0 , 1] ∫ « "r > 0 B’(a,r) = { x  E : || x – a ||  r } Ta goïi B’(a,r) laø quaû caàu ñoùng taâm a baùn kính r trong (E, ||.||). Ta thaáy x vaø y ñeàu khoâng thuoäc A , nhöng x khoâng laø ñieåm dính cuûa A maø y laø moät ñieåm dính cuûa A Ta goïi B(0,1) vaø B’(0,1) laø caùc quaû caàu ñôn vò môû vaø ñoùng cuûa (E, ||.||). gth1 49 gth1 50 Ñònh nghóa. Cho (E, ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån Ñònh nghóa. Cho (E, ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån (treân ). Cho x trong E vaø A laø moät taäp con cuûa E . Ta noùi (treân ). Cho A laø moät taäp con cuûa E . Ta ñaët x laø moät ñieåm trong cuûa A neáu coù moät thöïc döông r sao cho A = {x œ E : x laø moät ñieåm dính cuûa A } B(x,r) Õ A o Cho (E, ||.||) = (—, |.|) , A = (-1 , 1] , A = {x œ E : x laø moät ñieåm trong cuûa A } y=0 vaø z = 1 . B(y , 1) = ( 1- , 1) Õ A B(z , r) = ] 1- r , 1 + r [ Ã A " r > 0 Ta thaáy y vaø z ñeàu thuoäc A , nhöng z khoâng laø ñieåm trong cuûa A maø y laø moät ñieåm trong cuûa A gth1 51 gth1 52
Cho f(x) = 4x + sin(x5 + 1) – 2 cos (x3 + 4) Cho (E, ||.||E ) vaø (F, ||.||F ) laø hai khoâng gian ñònh chuaån . Cho Chöùng minh phöông trình sau ñaây coù nghieäm A laø moät taäp con cuûa E vaø f laø moät aùnh xaï töø A vaøo F. Cho x laø moät ñieåm cuûa A . Cho {xn} laø moät daõy trong A vaø hoäi tuï veà x . f(x) = 0 Giaû söû f lieân tuïc taïi x . Ñeå yù f laø moät haøm soá lieân tuïc töø [ -1 , 1] vaøo — vaø Chöùng minh {f(xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà f(x) . f(-1) § - 1 < 0 < 1 § f(1) " e > 0 $ d(x,e) > 0 sao cho Suy ra 0 œ f([ -1, 1]) || f(y) - f(x) ||F < e "yœA Ñònh nghóa. Cho (E, ||.||E ) vaø (F, ||.||F ) laø hai khoâng gian ñònh chuaån . Cho A laø moät taäp con cuûa E vaø f laø moät aùnh xaï töø A vôùi || y – x ||E < d(x,e) vaøo F. Cho x laø moät ñieåm cuûa A . Ta noùi f lieân tuïc taïi x neáu Cho moät e > 0 ta coù d(x,e) > 0 sao cho vaø chæ neáu || f(y) - f(x) ||F < e "yœA " e > 0 $ d(x,e) > 0 sao cho vôùi || y – x ||E < d(x,e) || f(y) - f(x) ||F < e "yœA vôùi || y – x ||E < d(x,e) gth1 53 gth1 54 " e > 0 $ N(e) œ Õ sao cho Cho moät e’ > 0 ta coù moät N(e’) œ Õ sao cho || xn - x ||E < e " n ¥ N(e) . || xn - x ||E < e’ " n ¥ N(e’) . " e’ > 0 $ N(e’) œ Õ sao cho Cho moät e > 0 ta coù d(x,e) > 0 sao cho || xn - x ||E < e’ " n ¥ N(e’) . || f(y) - f(x) ||F < e "yœA vôùi || y – x ||E < d(x,e) Cho moät e’ > 0 ta coù moät N(e’) œ Õ sao cho Cho moät e” > 0 tìm moät M(e”) œ Õ sao cho || xn - x ||E < e’ " n ¥ N(e’) . || f(xn) - f(x) ||F < e” " n ¥ M(e”) . || xn - x ||E < e’ V || y – x ||E < d(x,e)|| xn - x ||E V || y – x ||E " e” > 0 $ M(e”) œ Õ sao cho y V xn e V e” e’ V d(x,e) N(e’) V M(e”) || f(xn) - f(x) ||F < e” " n ¥ M(e”) . Cho moät e” > 0 . Ñaët Cho moät e” > 0 tìm moät M(e”) œ Õ sao cho e = e” , e’ = d(x,e) , M(e”) = N(d(x,e) ) gth1 55 gth1 56 || f(xn) - f(x) ||F < e” " n ¥ M(e”) . Neáu n ¥ N(d(x,e) ) thì || xn -x ||E < e’. Suy ra || f(xn)- f(x) ||F < e”
Cho (E, ||.||E ) vaø (F, ||.||F ) laø hai khoâng gian ñònh chuaån . Cho Giaû söû vôùi moïi daõy {xn} hoäi tuï veà x trong A, ta coù {f(xn)} hoäi tuï A laø moät taäp con cuûa E vaø f laø moät aùnh xaï töø A vaøo F. Cho veà f(x) x laø moät ñieåm cuûa A . Chöùng minh f lieân tuïc taïi x . Giaû söû vôùi moïi daõy {xn} hoäi tuï veà x trong A, ta coù {f(xn)} hoäi tuï veà f(x) . Cho moät e > 0 ta coù moät N(e) œ Õ sao cho Chöùng minh f lieân tuïc taïi x . || xn - x ||E < e " n ¥ N(e) Cho moät e’ > 0 ta coù moät M(e’) œ Õ sao cho ﬂ || f(xn) - f(x) ||F < e’ " n ¥ M(e’) . Cho moät e” > 0 tìm d(x,e”) > 0 sao cho || f(y) - f(x) ||F < e” "yœA vôùi || y – x ||E < d(x,e”) Coù e” > 0 sao cho vôùi moãi d > 0 ta coù moät yd œ A gth1 57 vôùi || yd – x ||E < d sao cho ||gth1f(yd ) - f(x) ||F > e” 58 Cho moät e > 0 ta coù moät N(e) œ Õ sao cho Ñònh nghóa. Cho E laø moät khoâng gian ñònh chuaån . Cho A laø moät taäp con cuûa E . Ta noùi A laø moät taäp compaéc neáu vaø chæ neáu || xn - x ||E < e " n ¥ N(e) . moïi daõy trong A ñeàu coù moät daõy con hoäi tuï . ﬂ Cho moät e’ > 0 ta coù moät M(e’) œ Õ sao cho Cho a vaø b laø hai soá thöïc sao cho a § b . Luùc ñoù [ a , b ] laø || f(xn) - f(x) ||F < e’ " n ¥ M(e’) . moät taäp compaéc trong — . Coù e” > 0 sao cho vôùi moãi d > 0 ta coù moät yd œ A vôùi || yd – x ||E < d sao cho || f(yd ) - f(x) ||F > e” Tìm caùc thaønh toá coù veõ maâu thuaãn vôùi nhau || f(xn) - f(x) ||F < e’ V || f(yd ) - f(x) ||F > e” yd V xn || yd – x ||E < d V || xn - x ||E < e Choïn d = n-1 vaø xn = y1/n gth1 59 gth1 60 || xn - x ||E < n-1 vaø || f(xn) - f(x) ||F = || f(yd ) - f(x) ||F > e” " n
Cho {xn} laø moät daõy trong moät khoâng gian ñònh chuaån (E, ||.||). Cho A = {a1 ,, . . . , an } laø moät taäp höõu haïn phaàn töû trong moät Cho J laø moät taäp con trong Õ vaø J coù voâ haïn phaàn töû . khoâng gian ñònh chuaån (E, ||.||). Chöùng minh A laø moät taäp Duøng qui naïp toaùn hoïc ta ñaët compaé Cho {xc}. laø moät daõy trong A , tìm moät daõy con {x n } n k n1 = min J hoäi tuï veà moät phaàn töû x trong A . n2 = min J \ [ 0 , n1] Vôùi moïi soá nguyeân k trong {1,. . . , n} ta ñaët n3 = min J \ [0 , n2] Ik = {m œ Õ : xm = ak } nk+1 = min J \ [0 , nk ] " kœ Õ Ta coù Õ = I1 » I2 » . . . » In Vaäy coù moät soá nguyeân m trong {1,. . . , n} sao cho taäp J = Im Ta thaáy {nk } laø moät daõy ñôn ñieäu taêng trong Õ coù voâ haïn phaàn töû . Vaäy {x n k } laø moät daõy con cuûa daõy {xn} Ñaët {x n k } laø moät daõy con cuûa daõy {xn} öùng vôùi J Ta thaáy x n k = am "k œÕ gth1 61 Vaäy {x nk } hoäi tuï veà am gth1 62 Cho (E, ||.||E ) vaø (F, ||.||F ) laø hai khoâng gian ñònh chuaån . Cho x nk } Cho {xn} laø moät daõy trong A , ta coù daõy{con hoäi tuï veà A laø moät taäp con compaéc cuûa E vaø f laø moät aùnh xaï lieân tuïc töø moät phaàn töû x trong A A vaøo F. Chöùng minh B ª f (A) laø moät taäp bò chaän trong F. Cho {xn} laø moät daõy trong A , coù daõy con {x nk } hoäi tuï veà x œ Cho {yn} laø moät daõy hoäi tuï veà y trong A . Ta coù {f (yn)} laø moät ACho x œ A vaø e > 0 ta coù d(x,e) > 0 sao cho daõy hoäi tuï veà f (y) trong F . || f(y) - f(x) ||F < e " y œ A vôùi || y – x ||E < d(x,e) Tìm s > 0 sao cho || f(z) || < s "zœA Cho {xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A . Ta coù {f (xn)} laø moät Vôùi moïi s > 0 coù moät z œ A sao cho || f(z) ||F ¥ s daõy hoäi tuï veà f (x) trong F . Vôùi moïi n œ Õ coù moät zn œ A sao cho || f(zn) ||F ¥ n Cho {yn} laø moät daõy hoäi tuï veà y trong A . Ta coù {f (yn)} laø moät daõy hoäi tuï veà f (y) trong F . Tìm b œ F vaø r > 0 sao cho { f(z) : z œ A } Õ B(b,r) Tìm b œ F vaø r > 0 sao cho || f(z) - b || < r "zœA Ñaët s = || b || +r . Cho z œ A, thì || f(z)|| § || f(z)- b || +|| b ||< r +|| b || = s Tìm s > 0 sao cho || f(z) || < s "zœA gth1 63 gth1 64
Cho {xn} laø moät daõy trong A , ta coù daõy con {xnk} hoäi tuï Ñònh nghóa . Cho E vaø F laø hai khoâng gian ñònh chuaån treân veà moät phaàn töû x trong A F vaø T laø moät aùnh xaï töø E vaøo F . Ta noùi T tuyeán tính neáu Cho {yn} laø moät daõy hoäi tuï veà y trong A . Ta coù {f (yn)} laø moät vôùi moïi x vaø y trong E vaø vôùi moïi t trong F ta coù daõy hoäi tuï veà f (y) trong F . T(x+y) = T(x) + T(y) vaø T(t x) = t T(x) Vôùi moïi n œ Õ coù moät zn œ A sao cho || f(zn) ||F ¥ n Cho moät khoâng gian ñònh chuaån E vaø moät s trong F , ta ñaët Coù daõy con {znk } cuûa daõy {zn } sao cho {znk } hoäi tuï veà moät T(x) = sx " x œ E phaàn töû z trong A vaø || f (z nk ) ||F ¥ nk " k œÕ (1) {f (z n k )} laø moät daõy hoäi tuï veà f (z) trong F T(x+y) = s (x+y) = sx + sy = T(x) + T(y) Cho moät e > 0 ta coù moät N(e) œ Õ sao cho T(t x) = s (t x) = (st)x = (ts)x = t (s x) = t T(x) " x,y œ E, t œ F || f ( z n k ) - f (z) ||F < e " k ¥ N(e) . (2) Vaäy T laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø E vaøo E Cho moät khoâng gian ñònh chuaån E . Ñaët T(x) = x " x œ E (1) + (2) ﬂ nk § || f (z n k ) ||F § || f ( z nk ) - f (z) ||F + || f (z) ||F || f(zn) ||F ¥ nk " k œÕ T(x+y) = x+y = T(x)+T(y) vaø T(t x) = t x = t T(x) " x,y œ E, t œ F § e + || f (z) ||F " k ¥ N(e) Vaäy T laø moät aùnh xaï tuyeán tínhgth1töø E vaøo E . Ta goïi aùnh xaï66 naøy gth1 65 k § nk § e + || f (z) ||F " k ¥ N(e) laø aùnh xaï ñoàng nhaát treân E vaø kyù hieäu T laø IdE hoaëc Id Cho C([0,1], — ) laø hoï taát caû caùc haøm soá lieân tuïc töø khoaõng [0 , Ñònh nghóa . Cho E vaø F laø hai khoâng gian ñònh chuaån treân 1] vaøo —. Ta ñaët F vaø T laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø E vaøo F . Neáu T lieân tuïc töø E vaøo F . Ta noùi T laø moät aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø E vaøo || f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] }  f  C([0,1], — ) FTa. ñaët L(E , F) laø taäp hôïp taát caû caùc aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc Luùc ñoù (C([0,1], — ), ||.|| ) laø moät khoâng gian ñònh chuaån . töø E vaøo F . Ñònh lyù 2.1. Cho E vaø F laø hai khoâng gian ñònh chuaån vaø T Ñaët T(f ) =  01 f ( t ) dt  f  C([0,1], — ) laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø E vaøo F. Caùc tính chaát sau ñaây töông ñöông Cho f vaø g trong C([0,1], — ) vaø s trong — . Ta coù (i) T lieân tuïc treân E T(f + g) =  0 ( f  g )( t ) dt   0 f ( t ) dt 1 1 +  0 g ( t ) dt 1 = T(f ) + T(g) (ii) T lieân tuïc taïi 0 T(sf ) =  01 sf ( t ) dt  s  0 f(t)dt = sT(f ) 1 (iii) Coù haèng soá döông M sao cho Vaäy T laø moät aùnh xaï tuyeán tínhgth1 töø C([0,1], — ) vaøo — . 67 || T(x)||F § M|| x ||E " x œ E. gth1 68
Xeùt khoâng gian ñònh chuaån (C([0,1], — ), || f || ) vôùi Cho E = —n vôùi chuaån || f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] }. Ñaët T(f ) =  0 f(t)dt 1  f  C([0,1], — ). ||x ||E = max {|x1| , . . . , |xn|} " x = (x1,. . .,xn) œ —n Chöùng minh T œ L(C([0,1], — ), — ) Cho T laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø E vaøo moät khoâng gian ñònh chuaån (F, ||.||F) . Chöùng minh T lieân tuïc töø E vaøo F . 1. Chöùng minh T laø moät aùnh xaï tuyeán tính . Khai thaùc caùc tính chaát cuûa —n . Ñaët 2. Chöùng minh coù haèng soá döông M sao cho ek = (dk1,dk2, . . .,dkn) " k = 1 , . . ., n vôùi dkj laø caùc soá Kronecker |T(f )| § M || f || " f œ C([0,1], — ). x = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en " x = (x1,. . .,xn) œ —n || f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] } T(x) = T(x1 e1 + . . . + xn en ) = T(x1 e1 ) + . . . + T(xn en ) |T(f ) | = | 0 f(t)dt   01 | f ( t ) | dt 1 | = x1 T(e1 ) + x2 T( e2 ) + . . . + xn T(en ) |f(t)| § || f || " t  [0 , 1 ] |T(f ) |   01 | f ( t ) | dt   01 || f || dt § M|| f || " f œ C([0,1], — ). ||T(x)||F = ||x1 T(e1)+. . .+xn T(en )||F § |x1 | ||T(e1)|| +. . .+ |xn | ||T(en)|| gth1 69 gth1 70 vôùi M = 1 § ||x || ||T(e1 )|| + ||x || ||T(e2 )|| + . . . + ||x || ||T(en )|| ||T(x)||F = ||x1 T(e1 ) + x2 T( e2 ) + . . . + xn T(en )||F Cho E =F = C([0,1], —) . Vôùi f œ C([0,1], — )  0 | f ( t ) | dt 1 § |x1 | ||T(e1 )|| F + |x2 | ||T(e2 )|| F + . . . + |xn | ||T(en )|| F || f ||E = § ||x || ||T(e1 )|| F + ||x || ||T(e2 )|| F + . . . + ||x || ||T(en )|| F || f ||F = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] } " f œ C([0,1], — ) § ||x || [||T(e1 )|| F + ||T(e2 )|| F + . . . + ||T(en )|| F ] Ñaët T : E Ø F ||T(x)||F § M ||x || " x œ —n T(f ) = f " f œ C([0,1], — ) vôùi Chöùng minh T laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø E vaøo F nhöng T M = ||T(e1 )|| F + ||T(e2 )|| F + . . . + ||T(en )|| F khoâng lieân tuïc töø (E, ||.||E) vaøo (E, ||.||F) Ñaët fn (t) = tn " t œ [0,1], n œ Õ || fn ||E = 1 0 t n dt  1 n 1 || T( fn) ||F = || fn ||F = 1 gth1 71 Vaäy daõy {fn} hoäi tuï veà 0 trong gth1 E nhöng daõy {T( fn) } 72 khoâng hoäi tuï veà T(0) = 0 trong F .
1.3.6. Cho (E, || . ||E ) laø moät khoâng gian ñònh chuaån. Cho V laø Cho E vaø F laø hai khoâng gian ñònh chuaån treân F vaø T laø moät moät khoâng gian vectô con ñoùng cuûa E . Treân E ta ñònh nghóa aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø E vaøo F . Ñaët quan heä sau x ~ y ‹ (x - y) œ V "x,yœE V = T-1({0}) = {x œ E : T(x) = 0 }. Ta chöùng minh ñöôïc ~ laø moät quan heä töông ñöông treân E vaø taäp hôïp thöông G ª E /~ laø moät khoâng gian vectô vôùi caùc caáu truùc Ñaët G laø khoâng gian ñònh chuaån thöông E / V ñaïi soá sau x  y  x  y, x  x x,y  E,   Ñaët S( x )  T( y )  x  G , y  x. ôû ñaây z = {z + u : u œ V} laø lôùp töông ñöông chöùa z. Chöùng minh S laø moät aùnh xaï lieân tuïc töø G vaøo F Ñaët || x || G = inf{ || u ||E : u œ x }. Tìm M > 0 sao cho || S ( x ) || F  M || x || x  G Luùc ñoù (G,||.||G ) laø moät khoâng gian ñònh chuaån treân F . Ta goïi || S ( x ) ||F  || T ( y ) ||F y  x (1 ) khoâng gian naøy laø khoâng gian ñònh chuaån thöông E / V. || x ||G  inf || z ||E (2) _ zx Xeùt aùnh xaï T : E Ø G : T ( x )  x "xœE Chöùng minh T laø moät aùnh xaï lieân tuïc töø E vaøo G . Coù K > 0 sao cho ||T(y)||F § K || y ||E "yœX (3) || S ( x ) ||F  || T ( y ) ||F  K || y ||X y  x ||T(x) ||G = ||x ||G = inf ||x + v ||G § ||x ||G " x œ E v V gth1 73 || S ( x ) ||F  K inf || z ||X  K || x ||G gth2 x  G 74 Vaäy T lieân tuïc töø E vaøo G . zx Ta ñaët L(E , F) laø taäp hôïp taát caû caùc aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc Xeùt khoâng gian ñònh chuaån (C([0,1], — ), || f || ) vôùi töø moät khoâng gian ñònh chuaån E vaøo moät khoâng gian ñònh chuaån || f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] }. F. Ñaët T(f ) =  0 f ( t ) dt 1  f  C([0,1], — ). Ñaët Ta ñaõ chöùng minh T œ L(C([0,1], — ), — ) vaø || T|| = sup || T ( x ) ||F " T œ L(E,F) || x ||E  1 | T(f ) | § || f ||  f  C([0,1], — ) (1) Chöùng minh || T || = 1 . Luùc ñoù ||.|| laø moät chuaån treân L(E,F) || T ||  sup || T (x ) ||F || T ||  sup |T( f )| Ñònh lyù 2.3. Cho E laø moät khoâng gian ñònh chuaån, F laø moät || x ||E  1 || f ||  1 khoâng gian Banach. Luùc ñoù (L(E,F), ||.||) laø moät khoâng gian Banach. Theo (1) ta coù || T || § 1 Ñaët f (t) = 1 vôùi moïi t trong [0 , 1] . Ta coù Tìm hai khoâng gian ñònh chuaån E vaø F vaø moät T trong L(E,F) F œsao C([0,1], — ) vaø || f || = 1 vaø |Tf | = 1 cho khoâng coù x trong E ñeå cho : || x || § 1 vaø || T(x)|| = || x || gth1 75 gth1 76 Suy ra || T || = 1
Cho E vaø F laø hai khoâng gian ñònh chuaån vaø T trong L(E,F) . Ñònh lyù 2.4 ( Banach- Steinhaus) Cho E vaø F laø hai khoâng Ñaët gian ñònh chuaån vaø { T i } i  I laø moät hoï caùc phaàn töû trong L(E,F). f (x) = || T(x) || "xœ E . Thì hoaëc ta coù {||Ti ||} bò chaën trong — hoaëc ta coù moät daõy taäp Chöùng minh f lieân tuïc töø E vaøo — . môû truø maät {Gm} trong E sao cho {|Ti(x)|} i œ I khoâng bò chaën Vôùi moãi x trong E ta tính f (x) nhö sau vôùi moïi x trong G ª … m œ Õ Gm T g Luùc ñoù neáu {||Ti ||} khoâng bò chaën trong — thì coù moät daõy taäp x T (x )  || T (x ) || môû truø maät {Gm} trong E sao cho {|Ti(x)|} i œ I khoâng bò chaën ||.|| vôùi moïi x trong G ª … m œ Õ Gm z  || z || Ñònh Lyù Baire . Neáu {Gm} laø moät daõy taäp môû truø maät trong Ñaët g : F Ø — moät khoâng gian Banach E thì G ª … m œ Õ Gm laø moät taäp truø g(z) = || z || "zœ F . maät trong E Ta thaáy f = g T vaø T vaø g lieân tuïc neân f lieân tuïc . Luùc ñoù neáu E laø moät khoâng gian Banach {||Ti ||} i œ I khoâng gth1 77 bò chaën trong — thì coù moät taäpgth1G truø maät trong E sao cho 78 {|Ti(x)|} i œ I khoâng bò chaën vôùi moïi x trong G . Ñònh lyù 2.4 ( Banach- Steinhaus) Cho E laø moät khoâng gian Ñònh lyù 2.4 (Banach- Steinhaus) Cho E vaø F laø hai khoâng gian Banach vaø F laø moät {Tkhoâ ng gian ñònh chuaån vaø { Ti} i œ I laø i }iI ñònh chuaån vaø {T i } i  I laø moät hoï caùc phaàn töû trong L(E,F). moät hoï caùc phaàn töû trong L(E,F). Thì hoaëc ta coù {||Ti ||} bò chaën trong — hoaëc ta coù moät daõy taäp Luùc ñoù neáu {||Ti ||} i œ I khoâng bò chaën trong — thì coù moät taäp G môû truø maät {Gm} trong E sao cho {|Ti(x)|} i œ I khoâng bò chaën truø maät trong E sao cho {|Ti(x)|} i œ I khoâng bò chaën vôùi moïi x vôùi moïi x trong G ª … m œ Õ Gm trong G . Ñaët Gm,i = {x œ E : || Ti (x) ||F > m} Luùc ñoù neáu khoâng coù moät taäp G truø maät naøo trong E sao cho Gm = »i œ I Gm,i "mœÕ,"iœI {|Ti(x)|} i œ I khoâng bò chaën vôùi moïi x trong G thì {||Ti ||} i œ I bò Ta thaáy Gm,i laø caùc taäp môû , do ñoù Gm cuõng môû chaën trong — Cho x œ G ª … m œ Õ Gm Ta coù Luùc ñoù neáu {|Ti(x)|} i œ I bò chaën vôùi moïi x trong E thì Vôùi moãi m œ Õ : x œ Gm ª »i œ I Gm,i (1) {||Ti ||} i œ I bò chaën trong — Vôùi moãi m œ Õ , coù i(m) œ I : x œ Gi(m) (2) Vôùi moãi m œ Õ, coù i(m) œ I : || Ti (m) (x)||F > m (3) Cho x œ G ta coù {|Ti(x)|} i œ I khoâng bò chaën gth1 79 gth1 80