intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu luyện thi cấp tốc môn toán - Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa

Chia sẻ: Nguyễn Tất Thu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST
Báo xấu
523
lượt xem 81
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Câu 1. Khảo sát và những vấn đề liên quan Vấn đề 1: Tính đơn điệu của hàm số Với dạng này ta chỉ gặp tính đơn điệu của hàm số bậc ba: y = ax3 + bx 2 + cx + d,a ¹ 0 Ta có: y ' = 3ax2 + 2bx + c ì3a 0 ï · Hàm số đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi y ' ³ 0, "x Î ¡ Û í 2 ï D ' = b - 3ac £ 0 î ì3a

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu luyện thi cấp tốc môn toán - Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa

  1. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc Câu 1. Khảo sát và những vấn đề liên quan Vấn đề 1: Tính đơn điệu của hàm số Với dạng này ta chỉ gặp tính đơn điệu của hàm số bậc ba: y = ax3 + bx 2 + cx + d,a ¹ 0 Ta có: y ' = 3ax2 + 2bx + c ì3a > 0 ï · Hàm số đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi y ' ³ 0, "x Î ¡ Û í 2 ï D ' = b - 3ac £ 0 î ì3a < 0 ï · Hàm số nghịch biến trên ¡ khi và chỉ khi y ' £ 0, "x Î ¡ Û í 2 ï D ' = b - 3ac £ 0 î Ví dụ 1. Tìm m để hàm số 1) y = x 3 - 3mx 2 + 3m(m + 1)x + 2 đồng biến trên ¡ (m - 1)x 3 - (m - 1)x 2 + (2m - 3)x + m nghịch biến trên ¡ . 2) y = 3 · Hàm số đồng biến trên ( a; b ) khi và chỉ khi y ' ³ 0 Û 3ax2 + 2bx + c ³ 0, "x Î ( a; b ) (1) · Hàm số nghịch biến trên (a; b) khi và chỉ khi y ' £ 0 Û 3ax2 + 2bx + c £ 0, "x Î ( a; b ) (2). Để giải (1) và (2) ta cô lập tham số (nếu có thể) rồi dùng hàm số để giải quyết với chú ý * Nếu (1) và (2) biến đổi về dạng: m ³ f (x), "x Î ( a; b ) Û m ³ max f (x) [a;b] * Nếu (1) và (2) biến đổi về dạng: m £ f (x), "x Î ( a; b ) Û m £ min f (x) . [a;b] Ví dụ 2. Tìm m để hàm số 1 1) y = mx 3 - (m - 1)x 2 + 3(m - 2)x + 1 đồng biến trên ( 2; +¥ ) 3 x3 - (m + 1)x 2 + (2m + 1)x + m nghịch biến trên ( 0;3 ) 2) y = 3 3) y = ( m + 1) x 3 - 3 ( m + 1) x 2 + 2mx + 4 đồng biến trên khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 . Trong trường hợp không cô lập được m thì ta sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai. Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y = x 3 - (m + 1)x 2 - (2m2 - 3m + 2)x + m(2m - 1) đồng biến trên é2; +¥ ) . ë Vấn đề 2: Cực trị hàm số 1) Cực trị hàm số bậc ba: y = ax + bx + cx + d,a ¹ 0 có y ' = 3ax 2 + 2bx + c 3 2 · Hàm số có cực trị Û y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt · Hàm số đạt cực trị tại ì y '(x 0 ) = 0 ï x = x0 Û í 2 ï D ' = b - 3ac > 0 î ìy '(x 0 ) = 0 ì y '(x0 ) = 0 · Hàm số đạt cực đại tại x = x0 Û í · Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 Û í îy "(x0 ) < 0 î y "(x0 ) > 0 Ví dụ 1. Tìm m để các hàm số 1) y = mx 3 + 3mx 2 - (m - 1)x - 1 có hai điểm cực trị (m - 1)x 3 2) y = - (m + 2)x 2 + (2m - 1)x + 4 có cực trị 3 3) y = x 3 - 3mx 2 + (m2 - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 . GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 1
  2. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc Ví dụ 2. Tìm các số thực a, b,c,d (với a ¹ 0 ) sao cho hàm số : y = ax 3 + bx 2 + cx + d Đạt cực đại tại x = 0, ycd = 1 và đạt cực tiểu tại x = 1,yct = 0 . Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y = (x - m)(x 2 - 3x - m - 1) có cực đại và cực tiểu thoả x cd .x ct = 1 Ví dụ 4. Tìm m để (Cm ) : y = 2x 3 + mx 2 - 12x - 13 có điểm cực đại và cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung. Ví dụ 5. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m ) x 2 + ( 2 - m ) x + m + 2 (1) 1. Khảo sát vẽ đồ thị khi m = 2 2. Tìm m để đồ thi hàm số (1) có điểm cực đại, cực tiểu và hoành độ của các điểm cực trị đó nhỏ hơn 1. Cách tính cực trị của hàm số bậc ba Cách 1: Nếu D ' = b - 3ac = (Am + B)2 thì ta tìm các nghiệm x1 , x2 của phương trình y ' = 0 rồi thay vào 2 phương trình hàm số ta tìm được y1 , y 2 . Ví dụ 1. Cho hàm số: y = x3 - 3x 2 -3m ( m + 2 ) x - 1 (1) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 . 2. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu. Ví dụ 2. Cho hàm số y = -x 3 + 3x 2 + 3(m2 - 1)x - 3m2 - 1 (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O . Cách 2: Nếu D ' = b2 - 3ac không đưa được về dạng trên (tức là phương trình y ' = 0 có hai nghiệm xấu :D) Thì ta chia y cho y ' : y = (kx + l)y '+ mx + n . Khi đó yct = mxct + n và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình : y = mx + n . Ví dụ 3. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + m2 x + m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có điểm 1 5 cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng : d : y = x - . 2 2 b 2) Cực trị hàm số trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c,a ¹ 0 có y ' = 2x ( 2ax 2 + b ) , y ' = 0 Û x = 0, x2 = - 2a b > 0 . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A ( 0; c ) · Hàm số có ba điểm cực trị Û - 2a æ b 4ac - b2 ö æ b 4ac - b2 ö ÷ và tam giác ABC là tam giác cân tại A và Oy là trục đối xứng. Bç - - ; ,C ç - ; ÷ ç 4a ÷ ç 4a ÷ 2a 2a è øè ø Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x - 2m x + 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân. 4 22 Ví dụ 2. Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2m2 - 1 (Cm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 . 2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có gốc tọa độ O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Ví dụ 3. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm. Ví dụ 4. Cho hàm số: y = x 4 - 2mx 2 + m + 1 (Cm). Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và tam giác mà 3 đỉnh là 3 điểm cực trị của đồ thị (Cm) có diện tích bằng 1. Vấn đề 4. Bài toán phương trình tiếp tuyến GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 2
  3. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc 1) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba Vấn đề 5. Bài toán giao điểm ax + b 1) Giao của đồ thị (C): y = với đường thẳng D : y = cx + d mx + n ax + b Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và D : = cx + d Û mcx 2 + (cn + md - a)x + nd - b = 0 (*) mx + n n (C) cắt D tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ¹ - m D Khi đó: A ( x1 ;cx1 + d ) ,B ( x2 ;cx2 + d ) Þ AB2 = (c2 + 1)(x1 - x 2 )2 = (c2 + 1) 2 . a 1 Chú ý: SDIAB = h.AB với h = d(I, D ) . 2 2x + 1 Ví dụ 1. Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) : y = tại hai điểm phân biệt A, B sao cho x +1 3. tam giác OAB có diện tích bằng x +1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho Ví dụ 2. Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt đồ thị (C) : y = x -1 tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau. 2x - 2 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho Ví dụ 3. Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt đồ thị (C): y = x +1 AB = 5 . 2x + 1 Ví dụ 4. Tìm m để đồ thị (C): y = cắt đường thẳng d : y = 2x + m tại hai điểm phân biệt nằm về một x -1 nhánh đối với (C). 2) Giao của đồ thị (C) : y = ax3 + bx2 + cx + d và D : y = mx + n PTHĐ giao điểm: ax3 + bx 2 + (c - m)x + d - n = 0 (*) (C) cắt D tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 3 nghiệm phân biệt · Nếu (*) có nghiệm x = x0 ta biến đổi (*) về dạng: (x - x0 ) ( ax 2 + bx + g ) = 0 và (*) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình ax2 + bx + g = 0 có hai nghiệm phân biệt khác x0 . · Nếu (*) không có nghiệm đặc biệt thì ta tìm các cô lập tham số rồi sự dụng hàm số để giải quyết Chú ý: Các giao điểm của (C) và D có dạng: A i (x i ;mx i + n) trong đó x i là nghiệm của (*). Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + 4 (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > -3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ví dụ 2. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - 6x 2 - 3m(m + 4)x - 8 cắt Ox tại ba điểm phân biệt. Ví dụ 3. Cho hàm số y = x 3 + 2mx 2 + (m + 3)x + 4 (C m ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m = 1 . GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 3
  4. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc 2. Tìm m để đường thẳng d : y = x + 4 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B,C sao cho tam giác IBC có diện tích bằng 8 2 với I (1; 3) . ( ) Ví dụ 4. Cho hàm số y = x 3 - 2x2 + 1 - m x + m (1), m là số thực 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x 3 thỏa mãn 2 2 3 điều kiện : x1 + x2 + x2 < 4 . 3) Giao của đồ thị (C) : y = ax 4 + bx2 + c và D : y = n PTHĐ giao điểm: ax 4 + bx2 + c - n = 0 (1). Đặt t = x2 , t ³ 0 ta có phương trình : at2 + bt + c - n = 0 (2). (C) và D cắt nhau tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm dương phân biệt t1 < t2 ì ï D = b2 - 4a(c - n) > 0 ï ( )( )( )( ) b ï . Khi đó tạo độ các gia điểm là: A - t2 ;n ,B - t1 ; n ,C t2 ; n . Û íS = - > 0 t1 ;n ,D a ï ï c-n ïP = a > 0 î Ví dụ 1. Cho hàm số y = -x 4 + 2(m + 1)x 2 - 2m - 1 (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 . 2. Xác định tham số m để đồ thị (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. Ví dụ 2. Cho hàm số y = x 4 – (3m + 2 ) x 2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0 . 2. Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. Ví dụ 3. Cho hàm số y = x 4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 1 , (Cm ) ( m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A,B,C,D lần lượt có hoành độ x1 , x2 , x3 , x 4 , (x1 < x2 < x3 < x4 ) sao cho tam giác ACK có diện tích bằng 4 , với K (3; -2) . 4) Bài toán suy đồ thị: Cho đồ thị (C) : y = f(x) . Từ đồ thị (C) hay suy ra đồ thị các hàm số sau ì f(x) khi x Î I (C1 ) : y = f ( x ) . (C2 ) : y = f(x) (C3 ) : y = í î -f(x) khi x Ï I Phương pháp: · Vẽ (C1 ) : Vì hàm số y = f ( x ) là hàm số chẵn nên (C1 ) nhận Oy làm trục đối xứng. Do đó để vẽ đồ thị (C1 ) ta chỉ cần vẽ một bên Oy rồi lấy đối xứng qua Oy phần vừa vẽ ta được đồ thị (C1 ) . Mà với x ³ 0 thì f ( x ) = f(x) nên (C1 ) º (C) , tức là phần đồ thị của (C1 ) nằm về phía bến phải trục Oy trùng với đồ thị (C). Vậy ta có cách vẽ đồ thị (C1 ) như sau B1: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phia bên phải trục Oy (ta gọi là phần (1)) B2: Lấy đối xứng phần (1) qua Oy ta được phần (2) B3: Lấy hợp của hai phần (1) và (2) ta có đồ thị (C1 ) . GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 4
  5. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc ì f (x) khi f(x) ³ 0 · Vẽ (C2 ) : Ta có f(x) = í . Suy ra ứng với miền f (x) ³ 0 (tức là phần đồ thị (C) nằm trên î -f(x) khi f(x) < 0 Ox) thì hai đồ thị (C) và (C2 ) trùng nhau, còn miền f (x) < 0 (tức là phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox) thì hai đồ thị (C) và (C2 ) đối xứng nhau qua Ox. Từ đó ta có cách vẽ đồ thị (C2 ) như sau: B1: Phần đồ thị (C) nằm trên Ox thì ta giữ nguyên (ta gọi là phần (3)) B2: Phần đồ thị (C) nằm dưới Ox thì ta lấy đối xứng qua Ox (ta gọi là phần (4)) B3: Lấy hợp của hai phần (3) và (4) ta có đồ thị (C2 ) · Vẽ (C3 ) : Ta có ứng với miền x Î I thì hai đồ thị (C) và (C3 ) trùng nhau, còn ứng với miền x Ï I thi (C) và (C3 ) đối xứng nhau qua Ox, nên ta có cách vẽ (C3 ) như sau: B1: Phần đồ thị (C) nằm trên Ox thì ta giữ nguyên (ta gọi là phần (3)) B2: Phần đồ thị (C) nằm dưới Ox thì ta lấy đối xứng qua Ox (ta gọi là phần (4)) B3: Lấy hợp của hai phần (3) và (4) ta có đồ thị (C2 ) . (1) Ví dụ 1. Cho hàm số y = 2x 4 – 4x 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Với các giá trị nào của m , phương trình x 2 x 2 - 2 = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt? Ví dụ 2. Cho hàm số: y = 2x 3 - 9x 2 + 12x - 4 có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt : 2 x 3 - 9x 2 + 12 x = m . Ví dụ 3. Cho hàm số y = x 3 - 3x + 1 (C). 1) Khảo sát và vẽ (C) 2) Tìm m để phương trình x 3 - 3x + 1 = m có 6 nghiệm phân biệt. Vấn đề 6. Điểm thuộc đồ thi Ta thường gặp bài toán: Tìm điểm M nằm trên đồ thị (C) : y = f(x) thỏa mãn tính cách T nào đó. Để giải bài toán này ta làm như sau: Gọi M(m; f(m)) , dựa vào M thỏa tính chất T cho ta một phương trình ẩn m . Giải phương trình này ta tìm được m . Chú ý: Cho hai điểm M(a; b),N(c; d) ìa = c ìa = -c · M, N đối xứng nhau qua Ox Û í · M, N đối xứng nhau qua Oy Û í î b = -d îb = d ax 0 + by 0 + c ìa = - c · M, N đối xứng nhau qua O Û í . · d(M, D ) = î b = -d a 2 + b2 x Ví dụ 1. Cho hàm số: y = (1) có đồ thị (C). x +1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). 2. Tìm các điểm M thuộc (C) có khoảng cách đến đường thẳng D : 3x + 4y = 0 bằng 1. x3 11 Ví dụ 2. Cho hàm số y = - + x 2 + 3x - 3 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số . 2. Tìm trên (C ) hai điểm phân biệt M , N đối xứng với nhau qua trục tung. GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 5
  6. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc 2x - 1 Ví dụ 3. Cho hàm số y = , có đồ thị là (C). x -1 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C). 2. Tìm tọa độ hai điểm E, F thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho EF có độ dài nhỏ nhất. Câu 2. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vấn đề 1. Phương trình lượng giác Để giải phương trình lượng giác không mẫu mực ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi phương trình đã cho về phương trình lượng giác quen thuộc: Khi biến đổi ta tìm các đưa về một trong ba loại sau Loại 1: Phương trình chứa một hàm số lượng giác Chúng ta cần chú ý các công thức: · cos 2x,cos 3x luôn biểu diễn được qua cos x ; cos 2x,sin 3x luôn biểu diễn được qua sin x ; sin2k x,cos2m x luôn biểu diễn được qua cos 2x ; sin2 x + cos2 x = 1 . 2 · tan x + cot x = và cot x - tan x = 2 cot 2x . sin 2x 1 31 3 53 · sin 4 x + cos4 x = 1 - sin2 2x = + cos 4x ; sin6 x + cos6 x = 1 - sin2 2x = + cos 4x . 2 44 4 88 Loại 2: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos · Phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm Û a2 + b2 ³ c2 . p p · sin x ± 3 cos x = 2 sin(x - ) 3 sin x ± cos x = 2 sin(x ± ) ; 3 6 pö pö æ æ 3 cos x ± sin x = 2 cos ç x m ÷ cos x ± 3 sin x = 2 cos ç x m ÷ · ; 6ø 3ø è è é1 1 ù p · sin x ± cos x = 2 ê sin x ± cos x ú = 2 sin(x ± ) . 4 ë2 2 û Loại 3: Phương trình tích Một số lưu ý khi tìm nhân tử chung : sin x + cos x · Các biểu thức 1 + sin 2x = (s inx + cos x)2 ; cos 2x = (cos x - sin x)(cos x + sin x) ; 1 + tan x = ; cos x sin x + cos x 1 + cot x = nên chúng có thừa số chung là sin x + cos x . sin x · Các biểu thức 1 - sin 2x ; cos 2x ; 1 - tan x ; 1 - cot x có thừa số chung là cos x - sin x . · Các biểu thức sin2 x; tan2 x có thừa số (1 - cos x)(1 + cos x) . Tương tự cos2 x; cot2 x có thừa số (1 - sin x)(1 + sin x) . Khi biến đổi chúng ta cần chú ý một số nguyên tắc sau 1) Đưa các hàm số lương giác xuất hiện trong phương trình về một cung hoặc một hàm số lượng giác nếu có th ể 2) Nếu gặp sin hoặc cos với lũy thừa cao ta có thể dùng công thức hạ bậc 3) Nếu gặp tích thì ta có thể biến đổi thành tổng và ngược lại 4) Nếu trong phương trình chứa sin, cos, tan và cot thì ta thay tan và cot qua sin và cos. Ví dụ 1. Giải các phương trình sau GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 6
  7. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc 1) sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x ) ) ) ( ( 2) 4 cos 3x cos3 x + sin 3x sin 3 x + 3 sin 6x = 1 + 3 cos4 x - sin 4 x 3) 4 ( sin x + cos x ) + sin 4x ( 3 - 1 - tan 2x tan x ) = 3 4 4 (1 - 2 sin x )cos x =3 3 cos 5x - 2 sin 3x cos 2x - sin x = 0 . 4) 5) (1 + 2 sin x )(1 - sin x ) Ví dụ 2. Giải các phương trình sau cos2 x(cos x - 1) = 2(1 + sin x) 1) 1+ sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0 2) sin x + cos x 3) 3 cot2 x + 2 2 sin2 x = (2 + 3 2) cos x 4) 2 sin 2x - cos 2x = 7 sin x + 2 cos x - 4 ( ) 6) 2 sin 2 2x + sin 7x - 1 = sin x 5) sin 2x + cos 2x cos x + 2 cos 2x - sin x = 0 8p 7) sin 3 x - 3 cos3 x = sin x cos2 x - 3 sin2 x cos x 8) 3cotx - tanx = 8 sin(x - ). 3 Ví dụ 3. Giải các phương trình sau 2 2) cot x - tgx + 4 sin 2x = 1) 1 + 3 tan x = 2 sin 2x sin 2x 3 p p 4) cos4 x + sin4 x + cos(x - ) sin(3x - ) - = 0 3) sin6 x + cos6 x = sin 2x 4 4 2 ( ) = 6 tan2(x - p ) 1 - 2 2 sin 2x + cos 2x 11x 9x 1 5) sin2 2x .cos 6x + sin2 3x = sin .sin 6) 2 2 2 sin 4x 8 æ pö ( ) (1 + sin x + cos 2x)sin ç x + ÷ 2 sin 6 x + cos 6 x - sin x cos x 4ø 1 è cos x = 0. 7) 8) = 1 + tan x 2 - 2 sin x 2 Vấn đề 2. Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình 1. Phương trình bậc cao: é f (x) = 0 Cách 1: Đưa về dạng tích: f (x).g(x) = 0 Û ê . ëg(x) = 0 Để đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau: * Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng a2 - b2 = 0, a3 - b3 = 0,... * Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x = a là một nghiệm của phương trình f (x ) = 0 thì ta luôn có sự phân thích: f (x ) = (x - a )g(x ) . Để dự đoán nghiệm ta dựa vào định lí sau: Định lí: Nếu đa thức f (x ) = an x n + an -1x n -1 + ... + a1x + a 0 có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của a0 * Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Cách 2: Đặt ẩn phụ Dạng 1: Phương trình đối xứng: Là phương trình có dạng: ax 4 ± bx 3 + cx 2 ± bx + a = 0 . GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 7
  8. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc 1 1 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho x 2 (x ¹ 0) ta có : a(x 2 + ) ± b(x + ) + c = 0 x x2 1 1 1 với t ³ 2 ta có x 2 + = (x + )2 - 2 = t 2 - 2 thay vào phương trình ta có: Đặt t = x + x x 2 x a(t 2 - 2) ± bt + c = 0 Dạng 2: (x + a )(x + b)(x + c)(x + d ) = e trong đó a + b = c + d Cách giải: Đặt t = x 2 + (a + b)x ta có : (t + ab)(t + cd ) = e a +b Dạng 3: (x + a )4 + (x + b)4 = c . Đặt x = t - ta đưa về phương trình trùng phương. 2 2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ìa khi a ³ 0 ï Cách 1: Dùng định nghĩa: | a |= í ï-a khi a < 0 î Cách 2: Bình phương hai vế kết hợp với tính chất | a |2 = a 2 ìg(x ) ³ 0 é f (x ) = g(x ) ï 1) | f (x ) |= g(x ) Û í 2 2) | f (x ) |=| g(x ) |Û ê . 2 ê f (x ) = -g(x ) ï f (x ) - g (x ) = 0 ë î Cách 3: Đặt ẩn phụ 3. Phương trình – bất phương trình vô tỉ Cách 1: Biến đổi tương đương ìg (x ) ³ 0 ï f (x ) = g(x ) Û í 2n 2n f (x ) = 2n g (x ) Û f (x ) = g(x ) ³ 0 * * 2n ï f (x ) = g (x ) î = g(x ) Û f (x ) = g 2n +1(x ) > g(x ) Û f (x ) > g 2n +1(x ) 2n +1 f (x ) 2n +1 f (x ) * * é ê ìg (x ) < 0 ì f (x ) ³ 0 êí ï 2n f (x ) > g(x ) Û ê îf (x ) ³ 0 ï 2n f (x ) < g(x ) Û íg(x ) ³ 0 * * ê ìg(x ) ³ 0 ï 2n êï ï f (x ) < g (x ) ê í f (x ) > g 2n (x ) î ëïî Cách 2: Đặt ẩn phụ Dạng 1: F (n f (x )) = 0 , với dạng này ta đặt t = n f (x ) (nếu n chẵn thì phải có điều kiện t ³ 0 ) và chuyển về phương trình F (t ) = 0 giải phương trình này ta tìm được t Þ x . Trong dạng này ta thường gặp dạng bậc hai: af (x ) + b f (x ) + c = 0 . Dạng 2: m( f (x ) ± g(x )) ± 2n f (x ).g(x ) + n( f (x ) + g(x )) + p = 0 . Vì ta có: n( f (x ) + g(x )) ± 2n f (x ).g(x ) = n( f (x ) ± g(x ))2 Nên với dạng này ta đặt t = f (x ) ± g(x ) . Bình phương hai vế ta sẽ biểu diễn được những đại lượng còn lại qua t và chuyển phương trình (bpt) ban đầu về phương trình (bpt) bậc hai đối với t. Dạng 3: F (n f (x ), n g (x )) = 0 , trong đó F (a, b) là một biểu thức đẳng cấp bậc k. Với dạng này ta xét hai trường hợp: GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 8
  9. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc () TH1: g x = 0 thay vào phương trình ta kiểm tra, f (x ) TH2: g(x ) ¹ 0 chia hai vế phương trình cho n g k (x ) và đặt t = n ta được phương trình G (t ) = 0 là g(x ) phương trình đa thức bậc k. Ta thường gặp dạng: a.f (x ) + b.g(x ) + c. f (x )g(x ) = 0 . f (x ) , ta có phương trình : at 2 + ct + b = 0 . Đặt t = g(x ) Dạng 4: a.f (x ) + g(x ) f (x ) + h(x ) = 0 . Với phương trình dạng này ta có thể đặt t = f (x ) , khi đó ta được phương trình theo ẩn t: at 2 + g(x )t + h(x ) = 0 , ta giải phương trình này theo t, xem x là tham số (Tức là trong phương trình vừa có t vừa có x) nên ta thường gọi dạng này là dạng đặt ẩn phụ không triệt để. Dạng 5: F é f (x ), n a + f (x ), m b - f (x ) ù = c (I). ê ú ë û ì f (u, v ) = c ï Ta có thể đặt: u = n a + f (x ), v = m b - f (x ) , lúc đó ta có hệ phương trình: í n giải hệ này ta u + vm = a + b ï î tìm được u, v. Từ đây ta có được x. Chú ý : Khi tìm được u,v để tìm x ta chỉ cần giải một trong hai phương trình: n a + f (x ) = u hoặc mb - f (x ) = v . n ( f (x )) + b = a n af (x ) - b (II) Dạng 6: ìt n + b = ay ï Để giải phương trình này ta đặt t = f (x ); y = n af (x ) - b ta có hệ: í n . y + b = at ï î Đây là hệ đối xứng loại II với hai ẩn t và y. Cách 3: Đánh giá Xét phương trình : f (x ) = g(x ) xác định trên D. ìu(x ) = 0 ï * Nếu phương trình Û u 2 (x ) + v 2 (x ) = 0 Û í ïv(x ) = 0 î ì f (x ) ³ m(x ) ì f (x ) = m(x ) ï ï "x Î D thì PT : f (x ) = g(x ) với x Î D Û í * Nếu í . ïg(x ) £ m(x ) ïg (x ) = m(x ) î î Trong cách đánh giá này ta thường dùng các hằng đẳng thức và các bất đẳng thức quen thuộc (như BĐT Cauchy, BĐT Bunhiacovski, BĐT chứa trị tuyệt đối… )để đánh giá hai vế. III. Hệ phương trình 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ìax + by = c ï , trong đó a,b, c, a’, b’, c’ là các số thực cho trước và a,b,a’,b’ a. Định nghĩa: Là hệ có dạng: í a 'x + b 'y = c ' ï î không đồng thời bằng không. b. Cách giải: Dùng định tthức Crame GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 9
  10. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc a b b a c c Ta có các định thức: D = ; Dx = ; Dy = . a' b' c' b' a' c' Dy Dx * Nếu D ¹ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất: x = ;y= . D D ìD = 0 ìx Î ¡ ï ï í éDx ¹ 0 thì hệ đã cho vô nghiệm. * Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ vô số nghiệm: í * Nếu c - ax y= (b ¹ 0) ï êD ¹ 0 ï b î îê y ë 2. Hệ đối xứng loại I ì f (x ; y ) = a ï a. Định nghĩa: Là hệ có dạng í (I) trong đó f(x;y),g(x;y) là các biểu thức đối xứng, tức là ïg(x ; y ) = b î f (x ; y ) = f (y; x ), g(x ; y ) = g(y; x ) . ìF (S ; P ) = 0 ï b. Cách giải: Đặt S = x + y, P = xy . Biểu diễn f (x ; y ), g(x ; y ) qua S và P ta có hệ í giải hệ này G (S ; P ) = 0 ï î ta tìm được S, P. Khi đó x,y là nghiệm của phương trình : X 2 - SX + P = 0 (1) . c. Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P. x 2 + y 2 = (x + y )2 - 2xy = S 2 - 2P x 3 + y 3 = (x + y )(x 2 + y 2 - xy ) = S 3 - 3SP x 2y + y 2x = xy(x + y ) = SP x 4 + y 4 = (x 2 + y 2 )2 - 2x 2y 2 = (S 2 - 2P )2 - 2P 2 d. Chú ý: * Nếu (x;y) là nghiệm của hệ (I) thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ * Hệ (I) có nghiệm khi (1) có nghiệm hay S 2 - 4P ³ 0 . 3. Hệ đối xứng loại 2 ì f (x ; y ) = a ï a. Định nghĩa: Là hệ có dạng í (II) f (y; x ) = a ï î b. Cách giải: Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được : éx = y f (x ; y ) - f (y; x ) = 0 Û (x - y )g(x ; y ) = 0 Û ê . êg(x ; y ) = 0 ë c. Chú ý: Nếu hệ (II) có nghiệm (x 0 ; y0 ) thì (y0 ; x 0 ) cũng là nghiệm của hệ nên hệ (II) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x 0 = y0 . 4. Hệ đẳng cấp a. Định nghĩa: *Biểu thức f(x;y) gọi là đẳng cấp bậc k nếu f (mx ; my ) = m k f (x ; y ) ì f (x ; y ) = a ï * Hệ: í trong đó f(x;y) và g(x;y) đẳng cấp gọi là hệ đẳng cấp ïg(x ; y ) = b î b. Cách giải: *Xét x=0 thay vào hệ kiểm tra GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 10
  11. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc ìk ì f (x ; tx ) = a ïx f (1; t ) = a a ï Û f (1; t ) = g (1; t ) . * Với x ¹ 0 đặt y = tx thay vào hệ ta có: í Ûí k ïg(x ; tx ) = b b ïx g(1; t ) = b î î 5. Phương pháp thế: Đây là phương pháp khá hữu hiệu thường hay được sử dụng trong giải hệ phương trình . Nội dung của phương pháp này từ một phương trình hoặc kết hợp hai phương trình của hệ ta biểu diễn ẩn này qua ẩn kia hoặc một biểu thức này qua biểu thức khác và thế vào phương trình còn lại chuyển về phương trình một ẩn (có thể là ẩn phụ). Mục đích của việc làm này là giảm số ẩn. Tùy thuộc vào đặc điểm của bài toán mà ta có những cách biến đổi phù hợp. Trong phương pháp này ta cần lưu ý một số dấu hiệu sau. 1) Nếu trong hệ phương trình có một phương trình bậc nhất đối với một ẩn thì ta rút ẩn đó qua ẩn kia thế vào phương trình còn lại và chuyển về giải phương trình một ẩn. 2) Với hai số thực bất kì x ¹ 0; y ta luôn có y = tx (t là số thực cần tìm). Với cách làm này ta sẽ được hệ về phương trình một ẩn t. 3) Phương trình f (x ; y ) = f (y; x ) luôn có một cặp nghiệm x = y , do đó ta luôn phân tích phương trình đã cho về dạng: (x - y )g(x ; y ) = 0 4) Trong hệ phương trình nếu biểu thức u (x) xuất hiện ở hai phương trình thì ta có thể đặt t = u(x ) để làm đơn giản hình thức bài toán. 5) Nếu mỗi vế của hai phương trình là những biểu thức đồng bậc, ta có thể đặt x = ty (y ¹ 0) và từ hai ìy = f (t ) ï , giải phương trình f (t ) = g(t ) ta tìm được t, từ đó suy ra x và phương trình của hệ ta rút ra được: í ïy = g(t ) î y. Bài 1. Giải các phương trình sau. x2 2x + 6x 2 + 1 = x + 1 = 2x + 3 1. x + 4 - 1 - x = 1 - 2x 2. 3. ( x + 1 - 1)2 ) ( 2 27 x 2 + 4x + 3 + 2 x 2 - x - 2 = x + 1 5. (2x + 1) 4x + 3 - 2 x + 6 4. = 2 1 3 2x - 1 = x 3 16 - 3 2x + 1 6. x 2 + x + 5 = 5 3x + 2 - x + 1 = x + 7. 8. 2 4 1 5 10. x - 2 x - 1 - x (x - 1) + x 2 - x = 0 + x - = x + 2x - 9. x x x x2 x +3 - 3x - 2 = 1 - x x -2 x -1 + x + 2 x -1 = 11. 12. 2 3x - 2 13. x + 2 7 - x = 2 x - 1 + -x 2 + 8x - 7 + 1 10x + 1 + 3x - 5 = 9x + 4 + 2x - 2 14. Bài 2. Giải các bất phương trình sau 2(x 2 - 16) 7-x + x -3 ³ 1. 2x + 4 - 1 - x ³ 3x + 1 3. (x - 2) x 2 + 3 ³ x 2 - 4 2. x -3 x -3 x2 6. 2(1 - x ) x 2 + 2x - 1 < x 2 - 2x - 1 ³ 2x + 3 x 2 - 1 + x 2 - 3x + 2 ³ x - 1 4. 5. ) ( 2 4x + 1 - 1 GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 11
  12. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc 7. 2 x + 1 - 2x + 3 £ 3(2x + 1) 8. 3(2 + x - 2) > 2x + x + 6 9. x 2 + x + 2 ³ 2 . Bài 3. Giải các phương trình – bất phương trình sau 3 2. x 2 + 2x - 3 x 2 + 2x - 3 - 1 £ 0 1. 2x 2 - 3x + 3 2x 2 - 3x + 2 - 2 = 0 x- x 1 1 2 -x 2 + 9x + 9 x+ + x- ³1 x + 9-x = 3. 4. 5) > x 2 2 x x 1 - 2(x2 - x + 1) x +1 3x 1 5 1 - 1 8. 5 x + < 2x + +4 6. (x - 3)(x + 1) + 4(x - 3) +3>0 7. > 2x x -3 2 1-x 2x 1 - x2 x2 5 1 - x2 12 - x x -2 82 x 1 +( )+2 > 0 10. (12 - x ) + (x - 2) 9. . + + < x x2 1 - x2 2 x -2 12 - x 3 2 1-x Bài 4. Giải các phương trình – bất phương trình sau 3 4 4 x + 4 17 - x = 3 3 4 x = 4x +1 - 4x -1 4. 17 - x 8 - 2x 8 - 1 = 1 x -2 + x +1 = 3 1. 2. 3. 2x + 15 x +4 5. 3 (2 - x )2 + 3 (x + 7)2 - 3 (2 - x )(x + 7) = 3 6. 8x 2 + 8x - 5 = 7. 2x 2 + 8x + 6 = 16 2 5x 2 - 10x + 1 2 2 2 x -2 = x + x + 1 + x + x + 4 = 2x + 2x + 9 8. 9. x 2 + 6x - 11 Bài 5. Giải các hệ phương trình sau ì x y 13 ìx y + y x = 30 ìx + y = 2 ìx + xy + y = 2 ï+ = ï ï ï 4. í y x 6 1. í 3 2. í 2 3. í 3 2 ïx x + y y = 35 ïx + y = 26 ïx + xy + y = 4 ïx + y = 5 î î î î 11 ì ïx + y + + = 5 ì 32 2 3 ïx + y = 3( x y + xy ) ìx 4 + y 4 = 34 xy ï ï 5. í 6. í 7. í . 1 1 3 x +y =2 ï x+ 3y = 6 2 2 ïx + y + =9 ï + î î x 2 y2 ï î Bài 6: Tìm m để hệ pt sau có nghiệm ìx + y + xy = m ìx + y = 2m - 1 ï ï 1. í 2 2. í 2 và xác định Min của xy. 2 2 2 ïx y + y x = 3m - 8 ïx + y = m + 2m - 3 î î Bài 7*: Cho x,y thỏa mãn x - 3 y + 2 = 3 x + 1 - y. Tìm gtln và gtnn của x + y . Bài 8. Giải hệ phương trình 1 ì2 ï2x = +y ìx 3 = 2x + y ìx 2 - 2y 2 = 2x + y ìx 3 + 1 = 2y ï ï ï ï y 1. í 3 2. í 2 3. í 3 4. í 2 1 ïy = 2y + x ïy - 2x = 2y + x ïy + 1 = 2x ï2y 2 = +x î î î x ï î 2y ì ïx = ì x + 2-y = 2 ì x +4 -2 y = 2 ì x + y +1 =1 1 - y2 . ï ï ï ï 5. í 6. í 7. í 8. í ïy = 2x ï y + 2-x = 2 ï y +4 -2 x = 2 ï y + x +1 =1 î î î ï 1 - x2 î GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 12
  13. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc Bài 9: Tìm m để hệ pt sau có nghiệm ìx + y - 3 = m ì x +1 + y -2 = m ï ï (m ³ 0) 1. í 2. í ïy + x - 3 = m ï y +1 + x -2 = m î î Bài 10 :Tìm m để hệ pt sau có nghiệm duy nhất m2 ì2 ï2x = y + 2 3 2 ì(x + 1)2 = y + m ìx 3 = 2y + x + m ìy = x - 4x + mx ï ï ï ï y 4. í 3 1. í 2 2. í 3. í . 3 2 2 m2 ïx = y - 4y + my ï(y + 1) = x + m ïy = 2x + y + m ï2 î î î ï2y = x + x î Bài 11: Giải các hệ pt sau ìx 2 - 3xy + y 2 = -1 ì(x - y )2 y = 2 ìx 2 - 4xy + y 2 = 1 ì3x 2 + 5xy - 4y 2 = 38 ï ï ï ï 1) í 2 2) í 3 3) í 2 4) í 2 2 3 2 ï3x - xy + y = 13 ïx - y = 19 ïy - 3xy = 4 ï5x - 9xy - 3y = 15 î î î î ìx 2 + 2xy + y 2 = 4 ì(x - y )(x 2 - y 2 ) = 3 ï ï 5) í 2 6) í 2 2 2 ï2x + xy + 2y = 4 ï(x + y )(x + y ) = 15 î î ì5x 2 - 4xy + 2y 2 ³ 3 ï Bài 12:Tìm a để hệ bpt sau có nghiệm í 2a - 1 . 7x 2 + 4xy + 2y 2 £ ï 2a + 5 î Bài 13: Giải các hệ pt sau ì x +y - x -y = 2 ì1 + x 3y 3 = 19x 3 ìy + xy 2 = 6x 2 ï ï ï 1) í 2. í 3. í 2 2 22 2 2 2 2 2 ïy + xy = -6x ï1 + x y = 5x ï x +y + x -y = 4 î î î ìx 2 x3 ì 2x 2y ì ï( ) + ( ) = 12 ï x + y + x - y =2 =3 + ï 4. í y y 5. í y 6. í x ï y+ x - y- x =1 ï(xy )2 + xy = 6 ïx - y + xy = 3 î î î ì2 1 x ì 1 ì ïx + 2 + = 3 x ï x + + x +y -3 = 3 ï(x - y ) y = y ï ï y y 7. í 8. í 9. í 2 ïx + x + 1 = 3 ï2x + y + 1 = 8 ï(x + y ) x = 3 y î yy ï ï y î î ì(y 2 + 3)(x + y ) + 3 = 5y 2 ìx + 2y + 2 4x + y = 1 ï ï 10. í 4 11. í é(x + y )2 - 5 ù + 9 = 0 ïy ê ï2(x + 3) = 46 - 2y(3 + 8x + 8y ) ú î îë û () ( ) ì6x 4 - x 3 - x y 2 - y + 12 x 2 = -6 ìy(1 + 2x 3y ) = 3x 6 ì x + 1 + 2 5y - 1 = 8 ï ï ï 12. í 13. í 14. í x y - ( x - 1) y 2 62 6 x +y - 3.4x 9y = 0 ï1 + 4x y = 5x ï2.9 4 - 6 ï5x 4 2 2 - 11x 2 = -5 î î î ( ) ìy 2 + y - 3 x - 4y = -3 ì2x 3 + y(x + 1) = 4x 2 ìx - 2y - xy = 0 ï ï ï 15. í 4 16. í 17. í 3 6 2 ï5x - 4x = y ï x - 1 + 4y - 1 = 2 ï2 x - 2 + 5 2 - y = 12 î î î GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 13
  14. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc ì x 2 + 4y 2 ìx 3 + 2xy 2 = 5 ì2(x - y ) y = x - log8 x 3 = 2 ïlog ï ï ï 18. í 2 19. 20. í y 2 í 2x + xy + y 2 = 4x + y ï(x + y ) x = 3 y ï ï 3x - 2y + 1 + 2x + 2y - 2 = 5 î î ï î ì6x 2 + y 2 - 5xy - 7x + 3y + 2 = 0 ì(4x 2 + 1)x + (y - 3) 5 - 2y = 0 ì x +1 + y -1 =4 ï ï . 13. í 21. í x - y 22. í 2 î x + 6 + y + 4 =6 2 ï4x + y + 2 3 - 4x = 7 = ln(x + 2) - ln(y + 2) ï î î3 1 ì2 ìx 2 + xy + y 2 = 7(x - y )2 ì2y 2 - x 2 = 1 ï2x + x - = 2 ï ï y 24. í 2 25. í 26. í 3 2 3 ïx - xy + y = 3(x - y ) ï2x - y = 2y - x ïy - y 2x - 2y 2 = -2 î î î Câu 3. NGUYÊN HÀM HÀM - TÍCH PHÂN Vấn đề 1. Nguyên hàm tích phân 1. Tích phân hàm hữu tỉ. dx 1 dx 1 1 ò (ax + b)n ò ax + b = a ln ax + b + C + C "n ³ 2 và = · . a(1 - n) ( ax + b )n -1 dx · I= ò ax2 + bx + c ta có các trường hợp sau b2 Khả năng 1: Nếu D = b2 - 4ac = 0 , khi đó ta luôn có sự phân tích : ax2 + bx + c = a(x + ). 2a dx 1 dx 11 ÞI= +C ò aò = =- b2 b2 a b a(x + ) (x + ) x+ 2a 2a 2a 1 Khả năng 2: Nếu D > 0 Þ ax2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x2 ) . Ta có: 1 = é(x - x1 ) - (x - x2 )ù x2 - x1 ë û x - x2 æ 1ö 1 1 1 Suy ra: I = ÷ dx = ln +C òçx - x - ç x - x1 ÷ x2 - x1 x2 - x1 x - x1 è ø 2 b é ù -D Khả năng 3: D < 0 Þ ax2 + bx + c = a ê(x + )2 + m2 ú với m = . 2a 4a 2 ë û b Để tìm I ta thực hiện phép đặt x + = m tan t . 2a Ví dụ 1. Tính các tích phân sau x ( x - 1) 1 3 1 3 (x 2 + x + 2)dx (2x + 1)dx x(1 - x)dx 1) I = ò 2) I = ò 3) I = ò 4) I = ò dx x2 - 4 2 1 + x2 x(x + 1)3 2 x(x - 1) 0 0 2 2 1 (2x + 1)dx xdx 5) I = ò 6) I = ò 2 4 1 x + 2x + 4 0 (2x + 1) 2. Tích phân hàm vô tỉ GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 14
  15. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc Thường có hai hướng làm là đặt t = và phép thế lượng giác tn - b ( ) · I = ò f x, n ax + b dx , đặt t = n ax + b , suy ra x = a Ví dụ 1. Tính các tích phân sau 7 6 10 4 x+2 2x + 1 dx dx 1) I = ò 3 2) I = ò ò x -2 4) I = ò 3) I = dx dx x +1 2x + 1 + 4x + 1 x -1 01+ 2x + 1 0 2 5 3 2 x +1 xdx ò1 3 2x + 2 6) I = ò 5) I = dx . 4x + 1 0 - 2 ( ) · I = òF a.u(x) + b .u '(x)dx đặt t = n a.u(x) + b n Ví dụ 2. Tính các tích phân sau 23 1 1 x3 dx ò 1) I = ò 3) I = ò x 5 .3 1 - x 3 dx . 2) I = dx x x2 + 4 4 - x2 0 0 5 a a · I = ò a2 - b2x 2 dx đặt x = · I = ò a2 + b2 x 2 dx đặt x = sin t tan t b b Ví dụ 3. Tính các tích phân sau 1 2 dx 1) I = ò ò 2) I = 3 - 2x - x 2 dx 2 1+x -1 0 3. Tích phân hàm lượng giác 1) I = ò R ( sin x,cos x ) dx với loại tích phân này ta có các chú ý sau · Nếu bậc của sin và cos trong R ( sin x,cos x ) cùng chẵn thì ta sử dụng công thức hạ bậc Ví dụ 1. Tính các tích phân p p 2 4 1) I = ò sin 4 xdx 2) I = ò sin2 2x cos4 xdx 0 0 · Nếu bậc của sin và cos trong R ( sin x,cos x ) cùng chẵn thì ta đặt t = sin nếu bậc của cos lẻ và t = cos nếu bậc của sin lẻ. Ví dụ 2. Tính tích phân p p p p 2 2 2 sin 2x + sin x sin 2x cos x 1) I = ò cos5 xdx 2) I = ò sin5 x cos3 xdx 3) I = ò 4) I = ò 2 dx dx 1 + cos x 1 + 3 cos x 0 0 0 0 p p p 3 2 2 sin 2x sin 2xdx 5) I = ò sin2 x.tan xdx 6) I = ò 7) I = ò dx 3 + 4 sin x - cos 2x 2 2 cos x + 4 sin x 0 0 0 p p sin(x - ) 4 4 8) I = ò dx . sin 2x + 2(1 + sin x + cos x) 0 · Trong trường hợp R ( sin x,cos x ) là hàm phân thức và bậc ở mẫu lớn hơn bậc ở tử 2 thì ta có thể đặt t = tan x hoặc t = cot x . Ví dụ 3. Tính các tích phân sau GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 15
  16. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc p p p 6 6 3 dx dx sin xdx 3) I = ò 1) I = ò 2) I = ò . (sin x + ) ( sin x + 2 cos x ) 3 pö 2 æ 3 cos x 0 cos x cos x + 0 0 ç 6÷ è ø 2) I = ò f (tan x,cot x)dx với loại đặt ta thường đặt t = tan x (t = cot x) Ví dụ 4. Tính các tích phân sau p p p p 23 6 tan 4 x sin3 x - sin x 4 4) I = ò 4 ( tan x + cos x.esin x ) dx . 1) I = ò tan 4 xdx 2) I = ò 3) I = ò dx cot x.dx sin3 x cos 2x 0 p 0 0 3 b 3) I = ò P(x).LGdx (LG là hàm lượng giác) với loại này ta thường sử dụng phương pháp tích phân từng a phần với u = P(x),dv = LGdx . Trong một số trường hợp ta đặt x = a + b - t . Ví dụ 5. Tính các tích phân sau p p p p 3 2 4 2 x sin x 1) I = ò (x - 2) sin 2xdx 2) I = ò x sin 2 xdx 3) I = ò sin x.ln(1 + sin x)dx 4) I = ò dx . 2 0 cos x 0 0 0 4. Tích phân hàm logarit và hàm mũ 4.1. Tích phân hàm logarit: f (ln x)dx · I=ò ta đặt t = ln x . x Ví dụ 1. Tính các tích phân sau e3 e e ln 2 x 3 - 2 ln x 1 + 3 ln x. ln x òx òx 3) I = ò 1) I = 2) I = dx . dx dx x ln x + 1 1 + 2 ln x 1 1 1 · I = ò P(x) ln f (x)dx ta đặt u = ln f (x),dv = P(x)dx Ví dụ 2. Tính các tích phân sau 0 3 e 2 3 + ln x ln x e 1) I = ò (2x 2 + x + 1) ln(x + 2)dx 2) I = ò 4) I = ò x 3 ln 2 xdx 5) I = ò 3) I = ò x 2 ln xdx dx . dx 2 3 1 (x + 1) 1x 1 -1 1 4.2. Tích phân hàm mũ: · I = ò P(x)eax + b dx đặt u = P(x),dv = eax + bdx . · I = ò f (ex )dx ta đặt t = ex Ví dụ 3. Tính các tích phân sau p æ ö ln 5 1 1 2 dx x 1) I = ò ( esin x + cos x ) cos xdx 4) ò ex + 2e-x - 3 3) I = ò (x - 2)e2x dx 4) I = ò ç xe2x - 2) I = ÷dx . ç ÷ 4 - x2 ø 0è 0 ln 3 0 Vấn đề 2. Ứng dụng tích phân () Bài toán 1: Cho hàm số y = f x liên tục trên éa;b ù . Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi: ëû b ò f (x ) dx . () Đồ thị hàm số y = f x ; trục Ox : ( y = 0 ) và hai đường thẳng x = a; x = b là: S = a GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 16
  17. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc () ()( ) () Bài toán 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: C 1 : y = f x , C 2 : y = g x và hai đường b S = ò f ( x ) - g ( x )dx . đường thẳng x = a, x = b . Được xác định bởi công thức: a Chú ý: 1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau: () () ( ) (x1 < x2 < ... < xn ) . * Giải phương trình : f x = g x tìm nghiệm x1, x 2,..., x n Î a;b x x b Tính: S = ò 1 f ( x ) - g ( x ) dx + ò 2 f ( x ) - g ( x ) dx +... + ò f ( x ) - g ( x ) dx a x1 xn ( f (x ) - g (x )) dx + ... + òxb ( f (x ) - g (x )) dx . x1 òa = n Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 2) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị xn (C1 ) : y = f (x ) , (C 2 ) : y = g (x ) . Khi đó, ta có công thức tính như sau: S = ò | f (x ) - g(x ) | dx . Trong đó: x1 x1, xn tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình : f (x ) = g(x ) . Bài toán 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường y = f (x ); y = 0; x = a; x = b quanh trục Ox Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ bằng x là một hình tròn có bán kính R =| f (x ) | nên diện tích thiết diện bằng b b 2 2 2 S (x ) = p R = p f (x ) . Vậy thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức :V = ò S (x )dx = p ò f (x )dx . a a Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y = f (x ), y = g(x ), x = a, x = b ; f (x ), g(x ) ³ 0 "x Î éa;b ù thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính bởi công thức: ëû b V = p ò f 2 (x ) - g 2 (x ) dx . a Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường x2 x2 1. y = x 3 + 3x , y = -x + 5, x = -2 2. y = 4 - ,y = 3. y = x 2 - 4x + 3 và y = x + 3 4 42 p 4. y = (e + 1)x ; y = (1 + e x )x 5. y = x ; y = x (2 + tan2 x ) và x = 6. y = x 2 ; y = 2 - x 2 . 4 Ví dụ 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với D là hình giới hạn bởi các đường: p 1) y = x cos x + sin2 x , y = 0, x = 0, x = . 2) y = xe x , y = 0, x = 0, x = 1 . 2 4) y = x ln(1 + x 2 ), y = 0, x = 1 . 3) 4y = x 2 ; y = x GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 17
  18. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc Câu 4. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP 1) Sử dụng phương pháp tổng hợp: 2) Sử dụng phương pháp tọa độ để giải: Các bước thực hiện B1: Chọn hệ trục tọa độ Để chọn được hệ trục tọa độ cần có ba đường thẳng đôi một vuông góc với nhau tại một điểm B2: Tìm tọa độ các điểm liên quan trong bài toán và giải bài toán bằng phương pháp tọa độ. Ví dụ 1.(A-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Ví dụ 2. (B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B ' C ' có AB = a , góc giữa hai mặt phẳng ( A’BC ) và ( ABC ) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. Ví dụ 3. (D-2010) Cho hı̀nh chó p S.ABCD có đá y ABCD là hı̀nh vuô ng cạ nh a, cạ nh bê n SA = a; hı̀nh chie u AC (ABCD) là đie m thuộ c đoạ n AC, AH = vuô ng gó c củ a đı̉nh S trê n mặ t pha ng H . Gọ i CM là đương cao củ a ̀ 4 tam giá c SAC. Chưng minh M là trung đie m củSA và tı́nh the tı́ch kho i tư diệ n theo a. ́ a ́ SMBC Ví dụ 4. (A-2009) Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và ( ) D; AB = AD = 2a; CD = a ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ABCD bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Ví dụ 5.(B-2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC .A ' B 'C ' có BB ' = a , góc giữa đường thẳng BB ' và mặt · phẳng (ABC ) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên mặt phẳng (ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a. Ví dụ 6. (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC .A’B’C ’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, AC = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính ’ theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). Ví dụ 7. (A-2008) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'. Ví dụ 8. (B-2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a , SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. Ví dụ 9. (D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C. Ví dụ 10. (A-2007) Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC ,CD . Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP . GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 18
  19. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc Câu 6. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN Vấn đề 1. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 1. Một số cách lập phương trình đường thẳng r · Tìm điểm đi qua M(x 0 ; y0 ) và một VTPT n = (a; b) . Khi đó phương trình đường thẳng cần lập là: a(x - x 0 ) + b(y - y0 ) = 0 . · Giả sử đường thẳng cần lập D : ax + by + c = 0 . Dựa vào điều kiện bài toán ta tìm được a = mb, c = nb . Khi đó phương trình D : mx + y + n = 0 . · Phương pháp quỹ tích: M(x 0 ; y0 ) Î D : ax + by + c = 0 Û ax 0 + by0 + c = 0 . Ví dụ 1. Cho đường tròn (C) : (x - 2)2 + (y - 1)2 = 25 1) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(6; 4) 2) Lập phương trình tiếp tuyến của (C)m biết tiếp tuyến đi qua B(3; -6) 3) Từ D(4; -5) vẽ đến (C) hai tiếp tuyến DM, DN (M,N là các tiếp điểm). Viết phương trình đường thẳng MN. 2. Một số cách lập phương trình đường tròn (C) · Tìm tâm I(a; b), bán kính R. Khi đó (C) : (x - a)2 + (y - b)2 = R2 . · Giả sử (C) : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 , a2 + b2 - c > 0 . Dựa vào điều kiện của bài toán ta tìm các hệ số a, b, c . · Phương pháp quỹ tích: M(x 0 ; y0 ) Î (C) : (x - a)2 + (y - b)2 = R2 khi và chỉ khi (x 0 - a)2 + (y0 - b)2 = R2 . Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn (C) biết: 1) (C) có tâm I(2;1) và tiếp xúc với đường thẳng D : 3x - 4y + 1 = 0 . 2) (C) có tâm nằm trên đường thẳng d : x + y + 3 = 0 và đi qua hai điểm A(1; 3), B(-5; -5) . 3) (C) đi qua ba điểm M(1;1), N(-2; 3), P(-4; -2) . 3. Các điểm đặc biệt trong tam giác æ x + x B + xC yA + yB + yC ö · Trọng tâm G ç A ; ÷ ç ÷ 3 3 è ø uuur uuur ìAH.BC = 0 ï · Trực tâm H : í uuur uuur ïBH.AC = 0 î ìIA2 = IB2 ï · Tâm đường tròn ngoại tiếp I : í 2 2 ïIA = IC î uuur uuur uuur uuur ì AB.AK AC.AK = ï ï AB AC · Tâm đường tròn nội tiếp K : í uuu uuur uuur uuur r ï BC.BK = BA.BK ï BC AB î Chú ý: Có thể tìm K theo cách sau: uuur AB uuuu r * Gọi D là chân đường phân giác trong góc A, ta có: BD = DC , từ đây suy ra D AC GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 19
  20. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc uuuu r AB uuur * Ta có AK = KD từ đây ta có K. BD uuur uuu r uuur uuur ì AB.AJ AC.AJ = ï ï AB r uuur uuu AC r . · Tâm đường tròn bàng tiếp (góc A) J : í uuu uuu r ï BJ.BC = AB.BJ ï BC AB î Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy cho A(5; 4), B(5; 0),C(2; 4) 1. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC 2. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 3. Tìm tâm đường tròn bàng tiếp góc O của tam giác OAB . 4. Một số bài toán dựng hình 4.1. Hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng D · Lập đường thẳng d đi qua A và vuông góc với D · H = dÇD 4.2. Dựng A ' đối xứng với A qua đường thẳng D · Dựng hình chiếu vuông góc H của A lên D ìx = 2x H - x A ï · Lấy A ' đối xứng với A qua H: í A ' . ïyA ' = 2yH - yA î 4.3. Dựng đường tròn (C’) đối xứng với (C) (có tâm I, bán kính R) qua đường thẳng D · Dựng I’ đối xứng với I qua đường thẳng D · Đường tròn (C’) có tâm I’, bán kính R. Chú ý: Giao điểm của (C) và (C’) chính là giao điểm của và D . 4.4. Dựng đường thẳng d’ đối xứng với d qua đường thẳng D . · Lấy hai điểm M,N thuộc d. Dựng M’, N’ lần lượt đối xứng với M, N qua D · d' º M'N' . Ví dụ 4. Cho đường thẳng D : x + y - 1 và A(2; 3) 1 .Tìm A’ đối xứng với A qua D 2 .Viết phương trình đừơng thẳng D ' đối xứng với D qua đường thẳng d : 2x + 3y - 5 = 0 . 3. Viết phương trình đường thẳng (C ') đối xứng với (C) : (x - 3)2 + (y + 1)2 = 3 qua đường thẳng D . Tìm giao điểm của (C) và (C’). 5. Bài toán cơ bản trong hình học giải tích Các hình trong mặt phẳng đều được xây dựng từ điểm, do đó khi cần xác định một hình nào đó thì ta thường dẫn tới bài toán xác định tọa độ của một số điểm. Nên bài toán cơ bản trong hình học giải tích là bài toán xác định tọa đổ của một điểm. Để xác định một điểm về mặt hình học ta đi xác định hai hình chứa điểm đó, khi đó giao của hai hình trên là điểm cần tìm. Về mặt đại số, để xác định một điểm ta cần tìm hoành độ và tung độ (hai ẩn) nên ta cần hai phương trình . Do đó khi xác định tọa độ của điểm ta thường theo hai hướng sau (thực chất là một) · Chứng minh điểm cần tìm thuộc vào hai hình (đường thẳng, đường tròn, Côníc) và đi lập phương trình hai hình đó. Khi đó tọa độ của điểm cần tìm thỏa mãn hệ gồm hai phương trình của hai hình vừa tìm. · Gọi (x; y) là tọa độ điểm cần tìm. Dựa vào điều kiện của bài toán ta thiết lập một hệ gồm hai phương trình chứa x,y. Giải hệ ta tìm được x,y. 1.5. Các bài toán về hình vuông và hình chữ nhật Trong các bài toán về hình vuông, hình chữ nhất ta thường khai thác các tính chất đối xứng của chúng và các quan hệ bằng nhau, vuông góc…(để thành lập các phương trình). GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023
240 tài liệu
1116 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
9=>0