Tài liệu ôn thi ĐH CĐ môn toán

Chia sẻ: Phung Tuyet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Câu 1. (2 đi m) Cho hàm s y = a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (C ). b) Tìm trên (C ) nh ng đi m M mà ti p tuy n c a đ th t i đó c t các đư ng ti m c n c a (C ) t i hai đi m phân bi t A, B sao cho tam giác I AB có bán kính đư ng tròn ngo i ti p b ng ( I là giao đi m hai đư ng ti m c n). Câu 2. (2 đi m)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn thi ĐH CĐ môn toán

TÀI LI U TOÁN THPT Đ THI TH Đ I H C NĂM 2013 Môn: TOÁN Đ S 9 NGÀY 23-02-2013 PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 đi m) x −2 Câu 1. (2 đi m) Cho hàm s y = (C ). x +1 a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (C ). b) Tìm trên (C ) nh ng đi m M mà ti p tuy n c a đ th t i đó c t các đư ng ti m c n c a (C ) t i hai đi m 5 phân bi t A, B sao cho tam giác I AB có bán kính đư ng tròn ngo i ti p b ng bán kính đư ng tròn n i ti p 2 ( I là giao đi m hai đư ng ti m c n). Câu 2. (2 đi m) sin 2x. sin x + (cos x + 1) (cos x + 2) a) Gi i phương trình : =1 2 sin 2x + cos 2x + 2 sin x + cos x + 1 2 2 x + y +1 xy =x +y b) Gi i h phương trình : 3 3 2 x + y xy − y = 4x y 2 4x 3 y 2 + x − 1 π 2 x (7 − cos 2x) + 3 Câu 3. (1 đi m) Tính tích phân : I= dx 0 cos x + 2 Câu 4. (1 đi m) Cho hình chóp t giác S.ABC D có đáy ABC D là hình thoi tâm O , O A = 2OB = 2a . C nh SO vuông góc v i m t ph ng đáy. M t m t ph ng (α) đi qua A và vuông góc v i SC c t các c nh SB, SC , SD l n lư t t i B ,C , D . G i M là trung đi m c a AB . Tính th tích kh i chóp S.ABC D và góc gi a đư ng th ng SM v i m t ph ng (α), bi t B C D đ u. Câu 5. (1 đi m) Cho các s th c x, y, z thu c đo n [1; 3] . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : 2 25 y + z T= 12x 2 + 2012 x y + y z + zx PH N RIÊNG (3 đi m): Thí sinh ch làm m t trong hai ph n A ho c B A. Theo chương trình chu n Câu 6A. (2 đi m) a) Trong m t ph ng v i h t a đ Đ -các Ox y cho tam giác ABC n i ti p đư ng tròn (C 1 ) : (x −2)2 +(y −3)2 = 45. Đư ng tròn (C 2 ) có tâm K (−1; −3) c t đư ng tròn (C 1 ) theo m t dây cung song song v i AC . Bi t di n tích t giác AIC K = 30 2, chu vi tam giác ABC b ng 10 10 trong đó I là tâm đư ng tròn (C 1 ). Hãy tìm nh ng đi m B có hoành đ âm. b) Trong không gian v i h t a đ Đ -các Ox y z cho tam giác ABC có C (3; 2; 3) . Phương trình đư ng cao x −2 y −3 z −3 x −1 y −4 z −3 AH : = = , phương trình đư ng phân giác trong B D : = = . Tính chu vi tam giác 1 1 −2 1 −2 1 ABC . 2 +3x Câu 7A. (1 đi m) Gi i phương trình : 9 2x 2 + 4x + 5 .3x = x2 + x + 3 B. Theo chương trình nâng cao Câu 6B. (2 đi m) a) Trong m t ph ng v i h t a đ Đ -các Oxy cho tam giác ABC cân t i A , phương trình c nh bên AC : x+y −3 = 0. Trên tia đ i c a tia C A l y đi m E . Phân giác trong góc B AC c t B E t i D . Đư ng th ng d đi qua D song song v i AB c t BC t i F . Tìm t a đ giao đi m M c a AF và B E bi t phương trình đư ng th ng AF : 2x + y − 5 = 0 và I (−1; −3) là trung đi m c a DF . b) Trong không gian v i h t a đ Đ -các Oxyz cho t di n ABC D có A(2; 0; 0), B (0; 2; 0),C (0; 0; 2), D(2; 2; 2) và m t c u (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 16 . G i M là đi m có t a đ nguyên n m trong t di n. Vi t phương trình m t ph ng (α) qua M và c t (S) theo m t đư ng tròn có chu vi bé nh t. Câu 7B. (1 đi m) Cho các s ph c z 1 , z 2 th a mãn : z 1 không ph i là s o và z 1 − z 1 .|z 2 |2 là s o ; z 2 là s th c và z 2 + z 2 .|z 1 |2 là s th c. Tính |z 1 |2012 + |z 2 |2013 ———————————————–H t—————————————————-
T NG H P L I GI I TRÊN DI N ĐÀN x −2 Câu 1. Cho hàm s y = (C ). x +1 a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (C ). b) Tìm trên (C ) nh ng đi m M mà ti p tuy n c a đ th t i đó c t các đư ng ti m c n c a (C ) 5 t i hai đi m phân bi t A, B sao cho tam giác I AB có bán kính đư ng tròn ngo i ti p b ng bán 2 kính đư ng tròn n i ti p (I là giao đi m hai đư ng ti m c n). a) L i gi i (hungchng): x −2 Hàm s y = có t p xác đ nh: D = R\{−1} *Đ th x +1 5 3 * Đ o hàm y = (x + 1)2 > 0 ∀x ∈ D , 4 Hàm s đ ng bi n trên (−∞; −1), (−1; +∞) lim + y = −∞; lim − y = +∞; x = −1 là x→−1 x→−1 3 phương trình ti m c n d c lim y = 1; lim y = 1; y = 1 là phương trình 2 x→−∞ x→+∞ ti m c n ngang * B ng bi n thiên 1 x −∞ −1 +∞ y + + −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 +∞ 1 −1 y −2 1 −∞ −3 b) L i gi i (hbtoanag): 3x x 2 − 4x 0 − 2 Ti p tuy n t i đi m M x 0 ; y 0 ∈ (C ) b t kỳ có d ng ∆ : y = + 0 . (x 0 + 1)2 (x 0 + 1)2 Giao đi m hai ti m c n là I (−1; 1). x0 − 5 Giao đi m c a ∆ v i ti m c n đ ng và ti m c n ngang l n lư t là A −1; và B (2x 0 + 1; 1). x0 + 1 6 9 Khi đó I A = , I B = 2|x 0 + 1|, AB = 2 (x 0 + 1)2 + . |x 0 + 1| (x 0 + 1)2 I A.I B.AB Di n tích tam giác I AB là S = pr = 4R 8 2 AB 2 ⇐⇒ 4pRr = I A.I B.AB ⇐⇒ pR 2 = 12AB ⇐⇒ p = 3AB ⇐⇒ AB.p = 30 5 5 4 9 3 9 ⇐⇒ (x 0 + 1)2 + + |x 0 + 1| + (x 0 + 1)2 + = 15 (x 0 + 1)2 |x 0 + 1| (x 0 + 1)2 3 Đ t t = |x 0 + 1| + , t ≥ 2 3, phương trình trên tr thành |x 0 + 1| 7 t 2 − 6 t + t 2 − 6 = 15 ⇐⇒ 6 t 2 − 6 = 15 t − t 2 − 6 ⇐⇒ 7 t 2 − 6 = 5t ⇐⇒ t = . 2 3 7 1 5 Gi i phương trình |x 0 + 1| + = ta đư c các nghi m x 0 = 1, x 0 = −3, x 0 = , x 0 = − . |x 0 + 1| 2 2 2 V y có b n đi m th a yêu c u bài toán M1 1; −1 , M2 −3; 2 , M3 2 ; −1 , M4 − 5 ; 3 . 2 5 1 2 sin 2x. sin x + (cos x + 1) (cos x + 2) Câu 2.a Gi i phương trình : =1 2 sin 2x + cos 2x + 2 sin x + cos x + 1 L i gi i (Mai Tu n Long): 2
 2 sin x + cos x = 0 ĐK: 1 cos x = − 2 (cos x + 1)(2 − cos x)(2 cos x + 1) PT ⇐⇒ = 1 ⇐⇒ (sin x − 1)2 = 0 (2 sin x + cos x)(2 cos x + 1) π ⇐⇒ sin x = 1 ⇐⇒ x = + k2π, (k ∈ Z)(TMĐK) 2 π V y PT có nghi m: x = + k2π, (k ∈ Z). 2 x + y +1 xy = x2 + y 2 Câu 2.b Gi i h phương trình : x 3 + y 3 x y − y 2 = 4x y 2 4x 3 y 2 + x − 1 L i gi i (nthoangcute): Đ u tiên, ta có: 2 2 x 3 + y 3 x y − y 2 − 4 x y 2 4 x 3 y 2 + x − 1 = −x 2 y 2 4 x y − 1 + x y(x + y) − y 2 (−1 + 2 x)2 − x 2 y 2 8 x y − 1 Ta s ch ng minh x3 + y 3 x y − y 2 − 4 x y 2 4 x3 y 2 + x − 1 ≤ 0 2 2 hay c n ch ng minh: x2 y 2 4 x y − 1 − x2 y 2 x + y + x2 y 2 8 x y − 1 ≥ 0 ⇐⇒ 16x 2 y 2 ≥ (x + y)2 s2 Đ t s = x + y, p = x y. Gi thi t có: p = s +3 3s 2 (5s + 3)(s − 1) BĐT c n ch ng minh tương đương v i: ≥0 (s + 3)2 s 2 (s − 1) Theo Cauchy ta có: s 2 − 4p = ≥0 s +3 Do đó BĐT đư c ch ng minh v y HPT có nghi m là (x, y) = (0, 0); 1 , 2 2 1 L i gi i (Lê Đình M n): Phân tích ý tư ng cho bài toán: Đ u tiên, ta có th bi n đ i m t chút xíu P T (2) như sau: P T (2) ⇐⇒ x y(x + y)(x 2 − x y + y 2 ) − y 2 = 4x y 2 (4x 3 y 2 + x − 1) (3) Đ ý r ng trong P T (3) có m t lư ng bi u th c có chút tương đ ng v i P T (1). Cho nên ta thay đ i hình th c P T (1) l i xem sao. Khi đó P T (1) ⇐⇒ (x + y)x y = x 2 − x y + y 2 Hãy quan sát m i tương đ ng trên chúng ta nh n th y m t đi u đ c bi t đúng không. V y t i sao chúng ta l i không s d ng phép th nh ! Nhưng cũng đ ng v i. Đ ý r ng P T (3) h u như các s h ng đ u có ch a y 2 vì th chúng ta có th th c hi n phép th như sau đ có th đơn gi n hoá đư c lư ng y 2 đó. Và ta có P T (3) ⇐⇒ x 2 y 2 (x + y)2 − y 2 = 4x y 2 (4x 3 y 2 + x − 1) (4) Đ n đây, đ gi n ư c lư ng y 2 thì ngay đ u bài gi i ta có th xét trư ng h p. T h ban đ u chúng ta có + TH1: N u y = 0 =⇒ x = 0 và ngư c l i. Do đó (0; 0) là m t nghi m c a h ban đ u. + TH2: Xét x y = 0. Lúc đó P T (4) ⇐⇒ (2x − 1)2 = x 2 [(x + y)2 − 16x 2 y 2 ] Bây gi bài toán quy v gi i h phương trình sau (x + y + 1)x y = x 2 + y 2 (1) (2x − 1)2 = x 2 [(x + y)2 − 16x 2 y 2 ] (5) 3
H m i này g n hơn và chúng ta cũng s ti p t c v i phép th . Ta có P T (1) ⇐⇒ (x + y + 3)x y = (x + y)2 =⇒ x + y + 3 = 0 (x + y)2 nên P T (1) ⇐⇒ x y = , thay vào P T (5) ta đư c x + y +3 (x + y)4 3x 2 (x + y)2 [1 − (x + y)][5(x + y) + 3] (2x − 1)2 = x 2 (x + y)2 − 16 ⇐⇒ (2x − 1)2 = (6) (x + y + 3)2 (x + y + 3)2 Đ n đây, chúng ta nên suy nghĩ hư ng gi i như th nào khi h m i l i không ph i đ i x ng hoàn 1 1 toàn? Nhưng chúng ta có th d dàng đoán đư c h có m t nghi m ; nên chúng ta có th 2 2 s d ng đánh giá: (x + y)2 ≥ 4x y ∀x, y ∈ R. Ta có (x + y)2 (x + y)2 x + y −1 x+y ≥1 xy = ≤ ⇐⇒ ≥ 0 ⇐⇒ x + y +3 4 x + y +3 x + y < −3 Suy ra [1 − (x + y)][5(x + y) + 3] ≤ 0. Do đó 3x 2 (x + y)2 [1 − (x + y)][5(x + y) + 3] 2 1 P T (6) ⇐⇒ (2x − 1) = 2 = 0 ⇐⇒ x = y = (x + y + 3) 2 1 1 Tóm l i, h phương trình ban đ u có 2 nghi m (0; 0) và ; . 2 2 π 2 x (7 − cos 2x) + 3 Câu 3. Tính tích phân : I= dx 0 cos x + 2 L i gi i (Mai Tu n Long): π π π 2 2x 4 − cos2 x + 3 2 2 dx I= dx = 2x(2 − cos x) dx + 3 0 cos x + 2 0 0 cos x + 2 π π π x 2 2 2 d(tan 2 ) = 4x dx − 2 x d(sin x) + 6 0 0 0 tan2 x + 3 2 π π π 2 2 2 2 d(tan x ) 2 = 2x − 2x sin x +2 sin x dx + 6 0 0 0 tan2 x + 3 2 π2 π 3 = −π+2+ 2 3 Câu 4. Cho hình chóp t giác S.ABC D có đáy ABC D là hình thoi tâm O , O A = 2OB = 2a . C nh SO vuông góc v i m t ph ng đáy. M t m t ph ng (α) đi qua A và vuông góc v i SC c t các c nh SB, SC , SD l n lư t t i B ,C , D . G i M là trung đi m c a AB . Tính th tích kh i chóp S.ABC D và góc gi a đư ng th ng SM v i m t ph ng (α), bi t B C D đ u. L i gi i (dan_dhv): S C I D O B C D O M B A 4
B D ⊥ AC Trong (S AC ), t A v AC ⊥ SC . Ta có. =⇒ B D ⊥ SC =⇒ (α)//B D B D ⊥ SO G i O là giao c a SO và AC . (α) giao (SB D) = B D //B D(B ∈ SB ; D ∈ SD) SB SC SD G i I là đi m trên SC thõa mãn: B I B C Suy ra: = = =⇒ D I C D SB SI SD Do tam giác B C D là tam giác đ u suy ra Tam giác I B D cũng là tam giác đ u c nh B D = 2a . BD 3 Ta có: B D ⊥ OI suy ra OI là đư ng cao trong tam giác đ u I DB =⇒ OI = =a 3 2 Ta có. SC ⊥ (α) =⇒ SC ⊥ (I B D) =⇒ SC ⊥ OI =⇒ AC OI Áp d ng h th c lư ng trong tam giác vuông SOC ta có: 1 1 1 1 1 1 1 2 + 2 = 2 =⇒ 2 = 2− 2= =⇒ SO = 2a 3 SO OC IO SO 3a 4a 12a 2 1 1 8a 3 3 Di n tích đáy là AC .B D = 4a 2 . Th tích kh i chóp S.ABC D là: V = .SO.S ABC D = 2 3 3 Ta có: SC = SO 2 + OC 2 = 4a = S A = AC =⇒ S AC đ u Suy ra C là trung đi m c a SC. Hay O là tr ng tâm c a tam giác S AC . 2 3a 3 Ta có: AC = SO = 2a 3 =⇒ AO = AC = . 3 3 2 4a 2a a 52 B D = BD = =⇒ B O = . =⇒ AB = AO 2 + OB 2 = 3 3 3 3 C B 2 + AC 2 AB 2 7a C M là trung đi m c a tam giác C B A , suy ra C M = − = 2 4 3 SC 6 Ta có : SC ⊥ (α) =⇒ g (SM ; (α)) = g (SMC ) = ϕ. V y tan ϕ = = MC 7 Câu 5. Cho các s th c x, y, z thu c đo n [1; 3] . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : 2 25 y + z T= 12x 2 + 2012 x y + y z + zx L i gi i (nthoangcute): 2 25 y + z Ta xét f (x) = 12x 2 + 2012 x y + y z + zx 2 25 y + z 6 x + 503 y + 503 z Thì f (x) = − 0 25 (1+z)2 Suy ra g (y) ≥ g (1) = = h(z) 16 384+503z 25 (1 + z)(265 + 503z) h (z) = >0 16 (384 + 503z)2 25 Suy ra h(z) ≥ h(1) = 3548 25 V y T≥ 3548 L i gi i (hbtoanag): 25(y + z)2 25(y + z)2 Ta có T≥ ≥ . 2 + 2012x(y + z) + 2012 (y + z)2 12x 2 + 2012x(y + z) + 503(y + z)2 12x 4 5
Xét hàm m(x) = 12x 2 + 2012x(y + z) + 503(y + z)2 , x ∈ [1; 3], có m (x) = 24x + 2012(y + z) > 0, ∀x ∈ [1; 3]. Do đó m(x) đ ng bi n trên [1; 3], 25t 2 suy ra T (x) ngh ch bi n trên [1; 3]. Suy ra T (x) ≥ T (3) = = f (t ), v i t = y +z ∈ [2; 6]. 108 + 6036t + 503t 2 150900t 2 + 540t L i có f (t ) = 2 > 0, ∀t ∈ [2; 6]. nên f đ ng bi n trên [2; 6], 108 + 6036t + 503t 2 25 25 và do đó f (t ) ≥ f (2) = . Cu i cùng min T = khi x = 3; y = z = 1. 3548 3548 L i gi i (Mi n cát tr ng): 25(y + z)2 25 Ta có T≥ 2 ≥ 2 (y + z) x x 12x 2 + 2012x(y + z) + 2012 12 + 2012 + 503 4 (y + z)2 y +z x 25 đ tt= , xét hàm s f (t ) = 2 + 2012t + 503 ············ y +z 12t Câu 6A.a Trong m t ph ng v i h t a đ Đ -các Ox y cho tam giác ABC n i ti p đư ng tròn (C 1 ) : (x − 2) + (y − 3)2 = 45. Đư ng tròn (C 2 ) có tâm K (−1; −3) c t đư ng tròn (C 1 ) theo m t dây 2 cung song song v i AC . Bi t di n tích t giác AIC K = 30 2, chu vi tam giác ABC b ng 10 10 trong đó I là tâm đư ng tròn (C 1 ). Hãy tìm nh ng đi m B có hoành đ âm. L i gi i (Lê Đình M n): B A I A M E C K N Tâm c a (C 1 ) là I (2; 3). Ta có R (C 1 ) = I K = 3 5. Ki m ch ng đư c K (−1; −3) ∈ (C 1 ). G i M N = (C 1 ) ∩ (C 2 ). Suy ra M N ⊥ I K . Mà AC M N =⇒ AC ⊥ I K . I K .AC Do đó S AIC K = = 30 2 =⇒ AC = 4 10. 2 L i có AB + BC +C A = 10 10 =⇒ B A + BC = 6 10 (1). Bây gi ta có th tìm t a đ A, C . K A A là đư ng kính c a (C 1 ), 1 1 1 g i E = I K ∩ AC . Suy ra I E = A C = A A 2 − AC 2 = (6 5)2 − (4 10)2 = 5. 2 2 2 −→ −→ Suy ra I K = 3 I E =⇒ E (1; 1). Phương trình đư ng th ng AC đi qua E (1; 1) và vuông góc v i I K có phương trình: x + 2y − 3 = 0. Như v y A, C là giao đi m c a AC và (C 1 ), suy ra A(1 − 4 2; 1 + 2 2), C (1 + 4 2; 1 − 2 2). Cu i cùng, ch c n gi i h g m PT(1) và PT c a (C 1 ) ta tìm đư c B 7 2 − 3 3; 12+3 2 3 . 6
Câu 6A.b Trong không gian v i h t a đ Đ -các Ox y z cho tam giác ABC có C (3; 2; 3). x −2 y −3 z −3 Phương trình đư ng cao AH : = = , phương trình đư ng phân giác trong 1 1 −2 x −1 y −4 z −3 BD : = = . Tính chu vi tam giác ABC . 1 −2 1 L i gi i (Mai Tu n Long): − = (1; 1; −2) là m t véc tơ ch phương c a AH . H ∈ AH =⇒ H = (2 + a; 3 + a; 3 − 2a) → u1 −→ − −→ − =⇒ C H = (a − 1; 1 + a; −2a). H ∈ BC =⇒ C H .u = 0 =⇒ a = 0 =⇒ H = (2; 3; 3)  x = 3 − t  =⇒ BC có PT: y = 2 + t , (t ∈ R)  z =3  − = (1; −2; 1) là m t véc tơ ch phương c a B D B = BC B D =⇒ B = (1; 4; 3) → u2 − → → I ∈ B D =⇒ I = (1 + b; 4 − 2b; 3 + b) I H ⊥ B D =⇒ I H .−2 = 0 =⇒ I = ( 2 ; 3; 2 ) u 3 7 −− −→ H1 là đi m đ i x ng c a H qua B D =⇒ I là trung đi m c a H H1 =⇒ H1 = (1; 3; 4) =⇒ B H1 = (0; −1; 1)  x = 1  H1 ∈ AB =⇒ AB có PT: y = 4 − s , (s ∈ R)  z = 3+s  A = AB ∩ AH =⇒ A = (1; 2; 5) =⇒ AB = AC = BC = 2 2; =⇒ C ABC = AB + AC + BC = 6 2 2 Câu 7A. Gi i phương trình : 9 2x 2 + 4x + 5 .3x +3x = x2 + x + 3 L i gi i (Mai Tu n Long): 3 PT ⇐⇒ (x 2 + 3x + 2) + (x 2 + x + 3) 3x +3x+2 = x 2 + x + 3 Ta có: 2x 2 + 4x + 5 = (x 2 + 3x + 2) + (x 2 + x + 3) > 0 3 N u: x 2 + 3x + 2 < 0 ⇐⇒ 3x +3x+2 < 1 3 =⇒ V T = (x 2 + 3x + 2) + (x 2 + x + 3) 3x +3x+2 < (x 2 + 3x + 2) + (x 2 + x + 3) < x 2 + x + 3 = V P 3 N u: x 2 + 3x + 2 > 0 ⇐⇒ 3x +3x+2 > 1 3 =⇒ V T = (x 2 + 3x + 2) + (x 2 + x + 3) 3x +3x+2 > (x 2 + 3x + 2) + (x 2 + x + 3) > x 2 + x + 3 = V P x = −1 N u: x 2 + 3x + 2 = 0 ⇐⇒ =⇒ V T = V P x = −2 x = −1 V y PT có hai nghi m: x = −2 Câu 6B.a Trong m t ph ng v i h t a đ Đ -các Oxy cho tam giác ABC cân t i A , phương trình c nh bên AC : x + y − 3 = 0. Trên tia đ i c a tia C A l y đi m E . Phân giác trong góc B AC c t B E t i D . Đư ng th ng d đi qua D song song v i AB c t BC t i F . Tìm t a đ giao đi m M c a AF và B E bi t phương trình đư ng th ng AF : 2x + y − 5 = 0 và I (−1; −3) là trung đi m c a DF . L i gi i (Sv_ĐhY_013): Cho P là trung đi m c a BC .Ta có: AM P B AM PC AF FC DF AB =⇒ = =⇒ = =⇒ = =⇒ P M AC =⇒ P M EC =⇒ M B = M E MF PF MF PF MF PF K đư ng th ng M P giao AB t i trung đi m J , c t (d ) t i I ta đi ch ng minh I ≡ I IF ID Dùng đ nh lý Ta lét ((d ) song song AB ) : = =⇒ I là trung đi m c a DF JB JA V y P M đi qua trung đi m I c a DF . Cu i cùng M là giao đi m c a P I và AF suy ra M (9; −13) Câu 6B.b Trong không gian v i h t a đ Đ -các Oxyz cho t di n ABC D có A(2; 0; 0), B (0; 2; 0),C (0; 0; 2), D(2; 2; 2) và m t c u (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 16 . G i M là đi m có t a đ nguyên n m trong t di n. Vi t phương trình m t ph ng (α) qua M và c t (S) theo m t đư ng tròn có chu vi bé nh t. 7
L i gi i (Mai Tu n Long): M t c u (S) có tâm I (1; 2; 3) và bán kính R = 4 Đi m M thu c mi n trong t di n và có t a đ nguyên =⇒ có duy nh t: M = (1; 1; 1) −→ − I M = (0; −1; −2) =⇒ I M = 5 < R nên M cũng n m trong m t c u (S). M t ph ng (α) c t (S) theo m t đư ng tròn có chu vi nh nh t khi kho ng cách t I đ n (α) là −→ − l n nh t và b ng I M =⇒ (α) là m t ph ng qua M và nh n I M là m t véc tơ pháp tuy n V y (α) có PT: y + 2z − 3 = 0 Câu 7B. Cho các s ph c z 1 , z 2 th a mãn : z 1 không ph i là s o và z 1 − z 1 .|z 2 |2 là s o ; z2 là s th c và z 2 + z 2 .|z 1 |2 là s th c. Tính |z 1 |2012 + |z 2 |2013 L i gi i (dan_dhv): Ta có. z 1 − z 1 .|z 2 |2 là s o ⇐⇒ z 1 − z 1 .|z 2 |2 = − z 1 − z 1 .|z 2 |2 ⇐⇒ z 1 − z 1 .(|z 2 |)2 = −z 1 + z 1 (|z 2 |)2 2 ⇐⇒ z 1 + z 1 1 − (|z 2 |) ⇐⇒ (|z 2 |)2 = 1 ⇐⇒ |z 2 | = 1 (Do z 1 không là s o nên z 1 = −z 1 ) z 2 + z 2 .|z 1 |2 là s th c ⇐⇒ z 2 + z 2 .|z 1 |2 = z 2 + z 2 .|z 1 |2 ⇐⇒ z 2 + z 2 |z 1 |2 = z 2 + z 2 . |z 1 |2 ⇐⇒ z 2 − z 2 1 − |z 1 |2 ⇐⇒ |z 1 | = 1 (Do z 2 không ph i là s th c . Khi đó z 2 = z 2 ) V y P = |z 1 |2012 + |z 2 |2013 = 2 8