Tài liệu ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 8 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Yên Lâm

Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa<br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> Năm học: 2018 - 2019<br /> Môn: Toán – Lớp 8<br /> ĐỀ BÀI:<br /> A. ĐẠI SỐ:<br /> Câu 1:<br /> a/ Phân tích đa thức: ( x 2  y 2  5) 2  4 x 2 y 2  16 xy  16 thành nhân tử.<br /> b/ Cho P=1+x+x2+…+x2004+x2005<br /> Chứng minh rằng: x.P - P=x2006 - 1<br /> Câu 2:<br /> a/ Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị là số<br /> nguyên:<br /> <br /> x3  x 2  2<br /> x 1<br /> <br /> b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  9 x 2  6 x  5<br /> Câu 3:<br /> a/ So sánh hai số:<br /> <br /> A  332  1<br /> B  (3  1)(32  1)(34  1)(38  1)(316  1)<br /> <br /> b/ Chứng minh rằng: n 3  6n 2  8n chia hết cho 48 với mọi số chẵn n.<br /> Câu 4:<br /> a/ Cho a  b  c  0 . Rút gọn biểu thức: M  a 3  b 3  c(a 2  b 2 )  abc<br /> b/ Chứng minh rằng: ( x  3)( x  11)  2003 luôn luôn dương với mọi giá<br /> trị của x.<br /> Câu 5:<br /> a/ Thực hiện phép tính: (2710  5.814.312  4.98.38 ) : 41.324<br /> b/ Tìm số tự nhiên n để (5x n2 y 7  8x n2 y 8 ) chia hết cho 5x 3 y n1<br /> Câu 6: Thực hiện phép tính:<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> x( x  y ) y ( x  y ) x( x  y ) y ( y  x)<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> b/<br /> (a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b)<br /> <br /> a/<br /> <br /> Câu 7:<br /> Cho a  b  c  0 và a, b, c khác 0. Rút gọn biểu thức:<br /> M<br /> <br /> ab<br /> bc<br /> ac<br />  2<br />  2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> a b c<br /> b c a<br /> c  a2  b2<br /> 2<br /> <br /> Câu 8:<br /> a/ Cho 12  2 2  32  ...  10 2  385 . Tính 2 2  4 2  6 2  ...  20 2<br /> b/ Tính nhanh:<br /> <br /> 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />  ... <br /> 2 2.3 3.4<br /> 2003.2004<br /> <br /> Câu 9:<br /> Đề thi môn Toán 8<br /> <br /> Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa<br /> a/ Tìm a sao cho đa thức: x 3  ax 2  5x  3 chia hết cho đa thức<br /> x 2  2x  3<br /> <br /> b/ Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình<br /> phương của hai biểu thức: x 2  2( x  1) 2  3( x  2) 2  4( x  3) 2<br /> Câu 10:<br /> a/ Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá<br /> trị của biến<br /> 5(3x n1  y n1 )  3( x n1  5 y n1 )  5(3x n1  2 y n1 )  (3x n1  10)<br /> <br /> b/ Cho a, b, c thỏa mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng:<br /> <br /> a b c<br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br />  3abc<br /> <br /> 1 1 1<br />    0 . Tính giá trị của biểu thức:<br /> a b c<br /> bc ca ab<br /> M<br /> <br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> Câu 11: Cho<br /> <br /> Câu 12: Rút gọn các biểu thức ( n là số nguyên dương)<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />  ... <br /> 1.3 3.5 5.7<br /> (2n  1)(2n  1)<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />  ... <br /> b/ B <br /> 1.2.3 2.3.4 3.4.5<br /> n(n  1)n  2<br /> <br /> a/ A <br /> <br /> Câu 13:<br /> a/ Tìm các số a và b sao cho phân thức<br /> <br /> x2  5<br /> viết được thành<br /> x3  3x  2<br /> <br /> a<br /> b<br /> <br /> x  2 ( x  1) 2<br /> <br /> b/ Rút gọn phân thức sau: M <br /> <br /> x 40  x 30  x 20  x10  1<br /> x 45  x 40  x 35  ...  x 5  1<br /> <br /> Câu 14: Thực hiện phép tính:<br /> a/<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 4<br /> 8<br /> 16<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 4<br /> 8<br /> 1 x 1 x 1 x<br /> 1 x<br /> 1  x 1  x16<br /> <br /> b/ Chứng minh rằng:<br /> Nếu<br /> <br /> 1 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />    2 và x+y+z=xyz thì 2  2  2  2<br /> x y z<br /> x y z<br /> <br /> Câu 15: Cho phân thức: M <br /> <br /> x 5  2 x 4  2 x 3  4 x 2  3x  6<br /> x 2  2x  8<br /> <br /> a/ Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định<br /> b/ Rút gọn phân thức<br /> c/ Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 0.<br /> <br /> Đề thi môn Toán 8<br /> <br /> Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa<br /> B. HÌNH HỌC:<br /> <br /> Bài 1: Cho tam giác ABC có A = 60 0 , các đường phân giác BD và CE<br /> cắt nhau tại I. Qua E kẻ đường vuông góc với BD, cắt BC ở F. Chứng<br /> minh rằng:<br /> a/ E và F đối xứng với nhau qua BD<br /> <br /> <br /> b/ IF là tia phân giác của BIC<br /> c/ D và F đối xứng với nhau qua IC.<br /> Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, O là trực tâm của tam giác. Gọi M, N,<br /> P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC, còn R, S,T lần<br /> lượt là trung<br /> điểm của các đoạn OA, OB, OC.<br /> a/ Chứng minh tứ giác MPTS là hình chữ nhật.<br /> b/ Chứng minh rằng ba đoạn RN, MT, SP bằng nhau và cắt<br /> nhau tại trung điểm của mỗi đường.<br /> Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc của<br /> hình bình hành cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH<br /> a/ Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?<br /> b/ Chứng minh rằng EG = FH và bằng hiệu giữa hai cạnh kề<br /> mỗi đỉnh của hình bình hành ABCD.<br /> Bài 4: Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M, trên<br /> tia đối của tia CB lấy điểm N, trên tia đối của tia DC lấy điểm P,<br /> trên tia đối của tia AD lấy điểm Q sao cho BM= CN = DP = AQ.<br /> a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.<br /> b/ Chứng minh rằng hình bình hành MNPQ và hình thoi ABCD<br /> có chung tâm đối xứng.<br /> Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có AD = 2AB. Từ C kẻ CE vuông<br /> góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M kẻ MF  CE, MF<br /> cắt BC ớ N.<br /> a/ Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao?<br /> b/ Tam giác EMC là tam giác gì? Vì sao?<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> c/ Chứng minh rằng BAD  2 AEM<br /> <br /> Đề thi môn Toán 8<br /> <br /> Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa<br /> ĐÁP ÁN:<br /> Câu 1:<br /> a/ ( x 2  y 2  5) 2  4 x 2 y 2  16 xy  16 = ( x 2  y 2  5) 2  4( x 2 y 2  4 xy  4)<br /> = ( x 2  y 2  5) 2  4( xy  2) 2  ( x 2  y 2  5) 2  [2( xy  2)]2<br /> = ( x 2  2 xy  y 2 )  1[( x 2  2 xy  y 2 )  9]  [( x  y) 2  1][( x  y) 2  9]<br /> = ( x  y  1)( x  y  1)( x  y  3)( x  y  3)<br /> b/ Ta có: P=1+x+x2+…+x2004+x2005<br /> 2<br /> 3<br /> 2005<br /> +x2006<br />  x.P= x+x +x +…+x<br /> 2<br /> 3<br /> 2005<br /> +x2006) - ( 1+x+x2+…+x2004+x2005)<br />  x.P – P = (x+x +x +…+x<br /> = x+x2+x3+…+x2005+x2005-1-x-x2-…-x2004-x2005)<br /> 2006<br /> =x<br /> -1<br /> Câu 2:<br /> a/ Chia tử thức cho mẫu thức ta được thương là x2 và dư là 2<br /> x3  x 2  2<br /> 2<br /> = x2+<br /> x 1<br /> x 1<br /> 2<br /> Để P(x) có giá trị nguyên thì<br /> phải là số nguyên (Vì x2 luôn nguyên, x ).<br /> x 1<br />  x-1 phải là ước của 2 (hay 2 phải chia hết cho x-1)<br />  x-1  1;1;2;2<br />  x  2;0;3;1<br /> Vậy với x= 2; 0; 3; -1 thì biểu thức P(x) có giá trị nguyên.<br /> <br /> Do đó: P(x)=<br /> <br /> b/ A  9 x2  6 x  5  9 x2  6 x  1  4  (3x)2  2.3x.1  12  4  (3x  1)2  4<br /> Vì 3x  12  0 với mọi x nên 3x  12  4  4<br /> Vậy A có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 3x  1  0  x <br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> Câu 3:<br /> a/ Ta có: A  332  1  (316  1)(316  1)  (316  1)(38  1)(38  1)<br /> = (316  1)(38  1)(34  1)(34  1)  (316  1)(38  1)(34  1)(32  1)(32  1)<br /> = (316  1)(38  1)(34  1)(32  1)(3  1)(3  1)<br /> = 2(3  1)(32  1)(34  1)(38  1)(316  1)<br /> Vậy A = 2.B<br /> b/ n 3  6n 2  8n  48 với mọi số chẵn n<br /> Ta có: n 3  6n 2  8n = n(n 2  6n  8)  n(n 2  4n  2n  8)<br /> = n[n(n  4)  2(n  4)]  n(n  2)(n  4)<br /> Đặt n  2k ( vì n chẵn)<br /> Đề thi môn Toán 8<br /> <br /> Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa<br /> Do đó: n(n  2)(n  4)  2k (2k  2)(2k  4)  2.2.2.k.(k  1)(k  2)<br /> = 8(k  2)(k  1)k  48 ( vì k  2(k  1)k là tích ba số<br /> nguyên liên tiếp nên 6k  )<br /> 3<br /> Vậy n  6n 2  8n  48 với mọi số chẵn n<br /> Câu 4:<br /> a/ M  a 3  b 3  c(a 2  b 2 )  abc  a 3  b 3  a 2 c  b 2 c  abc<br /> = (a 3  a 2 c)  (b 3  b 2 c)  abc  a 2 (a  c)  b 2 (b  c)  abc<br /> = a 2 (b)  b 2 (a)  abc ( Vì a  b  c  0  a  c  b, b  c  a)<br /> =  ab(a  b  c)  0<br /> b/ ( x  3)( x  11)  2003  x 2  8x  33  2003  x 2  8x  1970<br /> = ( x 2  8x  16)  1954  ( x  4) 2  1954<br /> Vì x  42  0x  x  42  1954  0x<br /> Vậy ( x  3)( x  11)  2003 > 0 với mọi x.<br /> Câu 5:<br /> a/ (2710  5.814.312  4.98.38 ) : 41.324 = (330  5.316.312  4.316.38 ) : 41.324<br /> = (330  5.328  4.324 ) : 41.324  324 (36  5.34  4) : 41.324<br /> = 328 : 41 = 8<br /> b/ Để (5x n2 y 7  8x n2 y 8 ) chia hết cho 5x 3 y n1 thì:<br /> n  2  3<br /> n  5<br /> n  2  3<br /> n  1<br /> n  5<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> n  6<br /> n  1  7<br /> n  6<br /> n  1  8<br /> n  7<br /> <br /> Vậy n =5, n=6<br /> Câu 6:<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> x( x  y ) y ( x  y ) x( x  y ) y ( y  x)<br /> yx<br /> yx<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> 0<br /> =<br /> xy ( x  y) xy ( x  y ) xy xy<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> b/<br /> (a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b)<br /> (b  c)  (a  c)  (a  b) b  c  a  c  a  b<br /> <br /> 0<br /> =<br /> (a  b)(a  c)(b  c)<br /> (a  b)(a  c)(b  c)<br /> <br /> a/<br /> <br /> Câu 7:<br /> a/ Vì a  b  c  0  a  b  c<br /> Bình phương hai vế ta được: a 2  2ab  b 2  c 2  a 2  b 2  c 2  2ab<br /> Tương tự: b 2  c 2  a 2  2bc<br /> c 2  a 2  b 2  2ac<br /> <br /> Đề thi môn Toán 8<br /> <br />