Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 31: Phương trình đường thẳng (Tài liệu dành cho đối tượng học sinh giỏi mức 9-10 điểm)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:180

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 31: Phương trình đường thẳng (Tài liệu dành cho đối tượng học sinh giỏi mức 9-10 điểm) giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải các bài toán phức tạp về phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz. Chuyên đề cung cấp hệ thống công thức nâng cao, các bài toán giao điểm, tiếp tuyến, đồng thời hướng dẫn tư duy hình học không gian hiệu quả. Nội dung tài liệu hướng đến học sinh có khả năng phân tích, tổng hợp và giải bài nhanh chóng. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu "Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 31" để học tập và đạt kết quả cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 31: Phương trình đường thẳng (Tài liệu dành cho đối tượng học sinh giỏi mức 9-10 điểm)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Điện thoại: 0946798489 Chuyên đề 31 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Bài toán liên quan đến mặt cầu – mặt phẳng – đường thẳng Câu 1. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  4;6;2 và B  2;  2;0 và mặt phẳng  P  : x  y  z  0 . Xét đường thẳng d thay đổi thuộc  P  và đi qua B , gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d . Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R  3 B. R  2 C. R  1 D. R  6 Câu 2. Trong không gian Oxyz mặt phẳng  P  : 2 x  6 y  z  3  0 cắt trục Oz và đường thẳng x 5 y z 6 d:   lần lượt tại A và B . Phương trình mặt cầu đường kính AB là: 1 2 1 2 2 2 2 2 2 A.  x  2    y  1   z  5  36. B.  x  2    y  1   z  5  9. 2 2 2 2 2 2 C.  x  2    y  1   z  5  9. D.  x  2    y  1   z  5   36. Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  m  0 ( m là tham số) và  x  4  2t  đường thẳng  :  y  3  t . Biết đường thẳng  cắt mặt cầu  S  tại hai điểm phân biệt A , B sao cho  z  3  2t  AB  8 . Giá trị của m là A. m  5 . B. m  12 . C. m  12 . D. m  10 . x y 3 z 2 Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  d  :   và hai mặt phẳng 2 1 1  P  : x  2 y  2 z  0 ;  Q  : x  2 y  3 z  5  0 . Mặt cầu  S  có tâm I là giao điểm của đường thẳng  d  và mặt phẳng  P  . Mặt phẳng  Q  tiếp xúc với mặt cầu  S  . Viết phương trình mặt cầu  S  . 2 2 2 2 2 2 A.  S  :  x  2    y  4    z  3  1 . B.  S  :  x  2    y  4    z  3  6 . 2 2 2 2 2 2 2 C.  S  :  x  2    y  4    z  3  . D.  S  :  x  2    y  4    z  4   8 . 7 2 2 2 Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  2    y  3   z  4   14 và mặt phẳng   : x  3 y  2 z  5  0 . Biết đường thẳng  nằm trong   , cắt trục Ox và tiếp xúc với  S  . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của  ?     A. u   4; 2;1 . B. v   2;0; 1 . C. m   3;1;0  . D. n  1; 1;1 . Câu 6. (Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng 2 2 2  P  : 2 x  2 y  z  9  0 và mặt cầu  S  :  x  3   y  2    z  1  100 . Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  theo một đường tròn  C  . Tìm tọa độ tâm K và bán kính r của đường tròn  C  là A. K  3; 2;1 , r  10 . B. K  1; 2;3  , r  8 . C. K 1; 2;3  , r  8 . D. K 1; 2;3  , r  6 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Câu 7. (Chuyên Thái Bình 2019) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;1 , B  2;2;1 và mặt phẳng  P  : x  y  2 z  0 . Mặt cầu  S  thay đổi qua A, B và tiếp xúc với  P  tại H . Biết H chạy trên 1 đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó. 3 A. 3 2 . B. 2 3 . C. 3. D. 2 Câu 8. (Chuyên Lam Sơn 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  2x  4 y  6z  2  0 và mặt phẳng   : 4 x  3 y 12z  10  0 . Lập phương trình mặt phẳng    thỏa mãn đồng thời các điều kiện: Tiếp xúc với  S  ; song song với   và cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương. A. 4 x  3 y  12 z  78  0 . B. 4 x  3 y  12 z  26  0 . C. 4 x  3 y  12 z  78  0 . D. 4 x  3 y  12 z  26  0 . Câu 9. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x 2  y 2  z 2  9 x  1 t  và điểm M  x0 ; y0 ; z0   d :  y  1  2t . Ba điểm A , B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA , MB ,  z  2  3t  2 2 2 MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng  ABC  đi qua điểm D 1;1; 2  . Tổng T  x0  y0  z0 bằng A. 30 . B. 26 . C. 20 . D. 21 . Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z 2  2 x  2 z  1  0 và 2 2 x y2 z đường thẳng d :   . Hai mặt phẳng  P  ,  P '  chứa d và tiếp xúc với ( S ) tại T , T ' . Tìm tọa độ 1 1 1 trung điểm H của TT '.  7 1 7 5 2 7 5 1 5  5 1 5 A. H   ; ;  . B. H  ; ;   . C. H  ; ;   . D. H   ; ;  .  6 3 6 6 3 6 6 3 6  6 3 6 Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm E  2;1;3 , mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  3  0 và mặt cầu 2 2 2  S  :  x  3   y  2    z  5   36 . Gọi  là đường thẳng đi qua E , nằm trong  P  và cắt  S  tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của  là  x  2  9t  x  2  5t x  2  t  x  2  4t     A.  y  1  9t . B.  y  1  3t .C.  y  1  t . D.  y  1  3t .  z  3  8t z  3 z  3  z  3  3t     Câu 12. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  x  1  2t   x  3   y  1  z  4 và đường thẳng d :  y  1  t , t   . Mặt phẳng chứa d và cắt ( S ) theo một 2 2 2  z  t  đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là A. y  z  1  0 . B. x  3 y  5 z  2  0 . C. x  2 y  3  0 . D. 3 x  2 y  4 z  8  0 . Câu 13. (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm E 1;1;1 , mặt phẳng  P  : x  3 y  5 z  3  0 và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  4 . Gọi  là đường thẳng qua E , nằm trong mặt phẳng  P  và cắt  S  tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB  2 . Phương trình đường thẳng  là Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024  x  1  2t  x  1  2t  x  1  2t  x  1  2t     A.  y  2  t . B.  y  1  t . C.  y  3  t . D.  y  1  t . z  1 t z  1 t z  5  t z  1 t     Câu 14. (SGD Cần Thơ 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A  0;1; 2  , mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0 và mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  2 x  4 y  7  0 . Gọi  là đường thẳng đi qua A và  nằm trong mặt phẳng  P  và cắt mặt cầu  S  tại hai điểm B , C sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I là tâm của mặt cầu  S  . Phương trình của đường thẳng  là x  t x  t x  t x  t     A.  y  1 . B.  y  1  t . C.  y  1  t . D.  y  1  t .  z  2  t  z  2  t  z  2  z  2     Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P  : z  2  0 , K  0;0; 2  , đường thẳng x y z d:   . Phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng d và cắt mặt phẳng  P  theo thiết diện là 1 1 1 đường tròn tâm K , bán kính r  5 là 2 A. x 2  y 2   z  2   16 . B. x 2  y 2  z 2  16 . 2 C. x 2  y 2   z  2   9 . D. x 2  y 2  z 2  9 . Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z  3  0 và hai điểm M 1;1;1 , N  3; 3; 3 . Mặt cầu  S  đi qua M, N và tiếp xúc với mặt phẳng  P  tại điểm Q . Biết rằng Q luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó. 2 11 2 33 A. R  . B. R  6 . C. R  . D. R  4 . 3 3 Câu 17. (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng 2 2 x y  2 z 1  P  : 2x  2 y  z  3  0 và mặt cầu  S  :  x  1   y  3  z 2  9 và đường thẳng d :   . 2 1 2 Cho các phát biểu sau đây: I. Đường thẳng d cắt mặt cầu  S  tại 2 điểm phân biệt. II. Mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu  S  . III. Mặt phẳng  P  và mặt cầu  S  không có điểm chung. IV. Đường thẳng d cắt mặt phẳng  P  tại một điểm. Số phát biểu đúng là: A. 4 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Câu 18. (Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình-2019)Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2  32 , mặt phẳng  P  : x  y  z  3  0 và điểm N 1; 0; 4  thuộc  P  . Một  S  :  x  1   y  2   z  1  đường thẳng  đi qua N nằm trong  P  cắt  S  tại hai điểm A, B thỏa mãn AB  4 . Gọi u 1; b; c  ,  c  0  là một vecto chỉ phương của  , tổng b  c bằng A. 1 . B. 3 . C. 1. D. 45 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Câu 19. (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1 :   và  2 :   . Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng 2 1 2 2 2 1 thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng 1 và  2 . 16 4 16 4  (đvdt). A. B.  (đvdt). C.  (đvdt). D.  (đvdt). 17 17 17 17 Câu 20. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai  x  2t x  3  t '   đường thẳng d1 :  y  t và d 2 :  y  t ' . Viết phương trình mặt cầu  S  có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc z  4 z  0   với cả hai đường thẳng d1 và d 2 . 2 2 2 2 2 2 A.  S  :  x  2    y  1   z  2   4. B.  S  :  x  2    y  1   z  2   16. 2 2 2 C.  S  :  x  2    y  1  ( z  2) 2  4. D.  S  :  x  2   ( y  1) 2  ( z  2) 2  16. Câu 21. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu x 1 y  2 z 1  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  13  0 và đường thẳng d:   . Điểm M  a; b; c  ,  a  0  1 1 1 nằm trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu  S  ( A, B, C là các tiếp điểm) và   600 , BMC  600 , CMA  1200 . Tính a 3  b3  c 3 . AMB   173 112 23 A. a 3  b3  c3  . B. a 3  b3  c3  . C. a 3  b 3  c 3  8 . D. a 3  b3  c 3  . 9 9 9 Câu 22. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M  3;3;  3 thuộc mặt phẳng   : 2 x  2 y  z  15  0 và mặt cầu 2 2 2  S  :  x  2    y  3   z  5   100 . Đường thẳng  qua M , nằm trên mặt phẳng   cắt  S  tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng  . x3 y 3 z 3 x3 y 3 z 3 A.   . B.   . 1 1 3 1 4 6 x3 y 3 z 3 x3 y 3 z 3 C.   . D.   . 16 11 10 5 1 8 Câu 23. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  2; 0; 0  , B  0; 2; 0  , C  0;0; 2  . Gọi D là điểm khác O sao cho DA , DB , DC đôi một vuông góc nhau và I  a; b; c  là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Tính S  a  b  c . A. S  4 B. S  1 C. S  2 D. S  3 Câu 24. (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian Oxyz , cho  P  :2 x  y  2 z  1  0 , A  0;0;4  , B  3;1; 2  . Một mặt cầu  S  luôn đi qua A, B và tiếp xúc với  P  tại C . Biết rằng, C luôn thuộc một đường tròn cố định bán kính r . Tính bán kính r của đường tròn đó. 2 4 244651 2 244651 2024 A. Đáp án khác. . B. r  C. r  . D. r  . 3 9 3 Câu 25. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp S . ABCD với S 1; 1;6  , A 1;2;3 , B  3;1;2  , C  4;2;3 , D  2;3;4  . Gọi I là tâm mặt cầu  S  ngoại tiếp hình chóp. Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng  SAD  . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 3 3 6 21 3 A. d  . B. d  . C. d  . D. d  . 2 2 2 2 Câu 26. Trong không gian Oxyz , xét số thực m   0;1 và hai mặt phẳng    : 2 x  y  2 z  10  0 và x y z  :    1 . Biết rằng, khi m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt m 1 m 1 phẳng    ,    . Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng A. 6 B. 3 C. 9 D. 12 Câu 27. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  3  0 và mặt cầu  S  tâm I  5; 3;5  , bán kính R  2 5 . Từ một điểm A thuộc mặt phẳng  P  kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu  S  tại B . Tính OA biết AB  4 . A. OA  11 . B. OA  5 . C. OA  3 . D. OA  6 . Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x 2  y 2  z 2  9 và điểm M  x0 ; y0 ; z0  thuộc x  1 t  d :  y  1  2t . Ba điểm A , B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA , MB , MC là tiếp tuyến của  z  2  3t  2 2 2 mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng  ABC  đi qua D 1;1; 2  . Tổng T  x0  y0  z0 bằng A. 30 B. 26 C. 20 D. 21 Câu 29. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A  0; 0;3  , B   2; 0;1 và mặt phẳng   : 2 x  y  2 z  8  0 . Hỏi có bao nhiêu điểm C trên mặt phẳng   sao cho tam giác ABC đều? A. 2 . B. 1. C. 0 . D. Vô số. Câu 30. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x 2  y 2  z 2  9 x  1 t  và điểm M  x0 ; y0 ; z0  thuộc đường thẳng d :  y  1  2t . Ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc mặt cầu  z  2  3t  sao cho MA, MB, MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng  ABC  đi qua D 1; 1; 2  . Tổng 2 2 2 T  x0  y0  z0 bằng A. 30 . B. 26 . C. 20 . D. 21 . Câu 31. (Tỉnh Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2 x y2 z ( S ) : x  y  z  2 x  2 z  1  0 và đường thẳng d :   . Hai mặt phẳng ( P ) , ( P ) chứa d và 1 1 1 tiếp xúc với ( S ) tại T , T  . Tìm tọa độ trung điểm H của TT  .  7 1 7 5 2 7 5 1 5  5 1 5 A. H   ; ;  . B. H  ; ;   . C. H  ; ;   . D. H   ; ;  .  6 3 6 6 3 6 6 3 6  6 3 6  x  2  x  3 y 1 z  4 Câu 32. Cho hai đường thẳng d :  y  t t    ,  :   và mặt phẳng  z  2  2t 1 1 1   P  : x  y  z  2  0 . Gọi d  ,  lần lượt là hình chiếu của d và  lên mặt phẳng  P  . Gọi M  a; b; c  là giao điểm của hai đường thẳng d  và  . Biểu thức a  b.c bằng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 6 . Câu 33. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng   : x  my  z  2m  1  0 và    : mx  y  mz  m  2  0 . Gọi  là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng  Oxy  . Biết rằng với mọi số thực m thay đổi thì đường thẳng  luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 3 . Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M  6; 0; 0  , N  0; 6; 0  , P  0; 0; 6  . Hai mặt cầu có phương trình  S1  : x2  y 2  z 2  2x  2 y  1  0 và  S2  : x2  y 2  z 2  8x  2 y  2 z  1  0 cắt nhau theo đường tròn  C  . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa  C  và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM ? A. 1 . B. 3 . C. Vô số. D. 4 .   Câu 35. Trong không gian cho mặt phẳng  P  : x  z  6  0 và hai mặt cầu S1 : x 2  y 2  z 2  25 ,  S  : x  y  z  4 x  4 z  7  0 . Biết rằng tập hợp tâm I các mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt cầu  S  , 2 2 2 2 1  S  và tâm I nằm trên  P  là một đường cong. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong đó. 2 7 7 9 7 . A. B.  . C.  . D. . 3 9 7 6 Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình mặt cầu:  Sm  : x 2  y 2  z 2   m  2  x  2my  2mz  m  3  0 . Biết rằng với mọi số thực m thì  S m  luôn chứa một đường tròn cố định. Tính bán kính r của đường tròn đó. 2 4 2 1 A. r  . B. r  . C. r  . D. r  3 . 3 3 3 Câu 37. (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Trong không gian với hệ trục tọa độ x 1 y  2 z 1 Oxyz , cho mặt câu  S  : x 2  y 2  2 x  4 y  6 z  13  0 và đường thẳng d :   . Điểm 1 1 1 M  a; b; c  a  0  nằm trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu  S  ( A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn   60 , BMC  90 , CMA  120 .Tính Q  a  b  c . AMB   10 A. Q  3 . . B. Q  C. Q  2 . D. Q  1 . 3 Câu 38. (Nam Định - 2021) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu 4 7 14  16 ,  S2  :  x  1   y  1  z 2  1 và điểm A  ; ;   . Gọi I là tâm của 2 2 2 2  S1  : x2   y  1   z  2    3 3 3 mặt cầu  S1  và  P  là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu  S1  và  S 2  . Xét các điểm M thay đổi và thuộc mặt phẳng  P  sao cho đường thẳng IM tiếp xúc với mặt cầu  S 2  . Khi đoạn thẳng AM ngắn nhất thì M  a; b; c  . Tính giá trị của T  a  b  c . 7 7 A. T  1 . B. T  1 . C. T  . D. T   . 3 3 Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 x2 y z Câu 39. (Đại Học Hồng Đức -2021 ) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :   và mặt 2 1 4 cầu  S  có phương trình x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  4  0 . Hai mặt phẳng  P  và  Q  chứa d và tiếp xúc với  S  . Gọi M , N là tiếp điểm. H  a; b; c  là trung điểm của MN .Khi đó tích abc bằng 8 16 32 64 A. . B. . C. . D. . 27 27 27 27 x 1 y z  2 Câu 40. (Ninh Bình-2021) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :   và mặt phẳng 2 1 2  P  : x  2 y  z  1  0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của  để tồn tại một mặt phẳng  Q  chứa d tạo với  P  một góc   . A. 75 . B. 76 . C. 77 . D. 74 . Câu 41. (Đề minh họa 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : ( x  4) 2  ( y  3) 2  ( z  6) 2  50 x y 2 z 3 và đường thẳng d :   . Có bao nhiêu điểm M thuộc trục hoành, với hoành độ là số nguyên, 2 4 1 mà từ M kẻ được đến  S  hai tiếp tuyến cùng vuông góc với d ? A. 29. B. 33. C. 55. D. 28. Câu 42. (Mã 101-2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  tâm I 1;3;9  bán kính bằng 3 . Gọi M , N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox , Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với  S  , đồng thời 13 mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng . Gọi A là tiếp điểm của MN và  S  , giá trị 2 AM . AN bằng A. 39 . B. 12 3 . C. 18 . D. 28 3 . Câu 43. (Mã 102 - 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  tâm I  4;1; 2  bán kính bằng 2 . Gọi M ; N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox ; Oy sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với  S  , đồng thời 7 mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng . Gọi A là tiếp điểm của MN và  S  , giá trị 2 AM . AN bằng A. 6 2 . B. 14 . C. 8 . D. 9 2 . Câu 44. (THPT Hương Sơn - Hà Tĩnh - 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường x  2 y 1 z 2 2 2 thẳng d :   và mặt cầu  S  :  x  2    y  1   z  1  6 . Hai mặt phẳng  P  ,  Q  chứa 2 3 1 d và cùng tiếp xúc với  S  lần lượt tại A, B . Gọi I tà tâm mặt cầu  S  . Giá trị cos  bằng AIB 1 1 1 1 A.  . B. . C.  . D. . 9 9 3 3 Câu 45. (THPT Hương Sơn - Hà Tĩnh - 2022) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng x y2 z2    : x  y  2 z  2  0 và đường thẳng  :   Đường thẳng   là hình chiếu vuông góc của 2 2 1 đường thẳng  trên mặt phẳng    có phương trình: x8 y 6 z  2 x 8 y 6 z  2 A.   . B.   . 3 5 4 3 5 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 C.   . D.   . 7 5 1 7 5 1 Câu 46. (Sở Bắc Giang 2022) Trong không gian Oxyz , biết rằng không có đường thẳng nào cắt đồng thời x  6  t x 3 y 3 z x 1 y 1 z x y  2 z 1  cả 4 đường thẳng d1 :   ; d2 :   ; d3 :   ; d 4 :  y  a  3t. 1 1 1 1 2 1 1 1 1 z  b  t  Giá trị 2b  a bằng A. 2 B. 3 C. 2. D. 3 . Câu 47. (Sở Bạc Liêu 2022) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2  S  :  x  1   y  1   z  2   9 và điểm M 1;3; 1 , biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới các mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn  C  có tâm J  a; b; c  . Giá trị T  2a  b  c bằng 134 62 84 116 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  . 25 25 25 25 Câu 48. (THPT Bùi Thị Xuân – Huế - 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x 2  y 2  z 2  9 và x  1 t  điểm M  x0 ; y0 ; z0   d :  y  1  2t . Ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA, MB, MC là  z  2  3t  2 2 2 tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng ( ABC ) đi qua điểm D (1;1; 2) . Tổng T  x0  y0  z0 bằng A. 21. B. 30. C. 20. D. 26. Câu 49. (THPT Kim Liên - Hà Nội - 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  5  0 và mặt cầu  S  có tâm I 1; 2; 2  . Biết  P  cắt  S  theo giao tuyến là đường tròn  C  có chu vi 8π . Tìm bán kính của mặt cầu T  chứa đường tròn  C  và T  đi qua điểm M 1;1;1 . 265 5 5 A. R  5 . B. R  . C. R  . D. R  4 . 4 4 Câu 50. (Sở Phú Thọ 2022) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 2;6), B (3;3; 9) và mặt phẳng ( P ) : 2 x  2 y  z  12  0 . Điểm M di động trên ( P ) sao cho MA, MB luôn tạo với ( P ) các góc bằng nhau. Biết rằng điểm M luôn thuộc một đường tròn cố định. Tung độ của tâm đường tròn đó bằng A. 0. 2 B.  . 3 C. 12 . 2 D. . 3 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Câu 51. (Chuyên Sơn La 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :  x  1  3a  at   y  2  t . Biết rằng khi a thay đổi thì luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua điểm M (1;1;1) và  z  2  3a  (1  a)t  tiếp xúc với đường thẳng  . Tìm bán kính của mặt cầu đó. A. 6 3 B. 5 3 C. 7 3 D. 4 3 Câu 52. (Chuyên Biên Hòa – Hà Nam 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu x 1 y  2 z  3 ( S ) : ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3) 2  48 và đường thẳng d :   . Điểm M (a; b; c ), ( a  0) nằm 1 1 2 trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu ( S ),  A, B, C là các tiếp điểm) và   60, BMC  90, CMA  120 . Tính Q  a  b  c . AMB   A. Q  6  4 2 B. Q  10  4 2 C. Q  9  4 2 D. Q  9  4 2 . Câu 53. (Chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi 2022) Cho hai đường thẳng  x  2  x  3 y 1 z  4 d :y  t t    ,  :   và mặt phẳng  P  : x  y  z  2  0 . Gọi d ,  lần lượt là  z  2  2t 1 1 1  hình chiếu của d ,  lên mặt phẳng  P  . Gọi M  a; b; c  là giao điểm của hai đường thẳng d  và   . Giá trị của tổng a  bc bằng A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 6 . Câu 54. (Chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi 2022) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng x 1 y  2 z 1 d:   và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  13  0 . Lấy điểm M  a; b; c  với a  0 1 1 1 thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA , MB , MC đến mặt cầu  S  ( A, B, C là tiếp điểm) thỏa mãn góc   60 , BMC  90 , CMA  120 . Tổng a  b  c bằng AMB   10 A. 2 . B. 2 . C. . D. 1 . 3 Câu 55. (Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2 x y2 z 3  S  :  x  1   y  2    z  3  25 và đường thẳng d :   . Có bao nhiêu điểm M thuộc 3 5 4 trục tung, với tung độ là số nguyên, mà từ M kẻ được đến  S  hai tiếp tuyến cùng vuông góc với d ? A. 9 . B. 26 . C. 14 . D. 7 . Câu 56. (Chuyên Quốc Học Huế 2022) Trong không gian Oxyz , cho hình chóp đều S. ABC có tọa độ x 1 y 1 z đỉnh S  6; 2;3 , thể tích V  18 và AB  a  a  7  . Đường thẳng BC có phương trình là   . 1 2 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Gọi  S  là mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  tại A và tiếp xúc với cạnh SB . Khi đó bán kính mặt cầu  S  thuộc khoảng nào sau đây? A.  3; 4  . B.  5;6 . C.  2;3  . D.  4; 5  . Câu 57. (THPT Ninh Bình - Bạc Liêu 2022) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 10;6; 2  , B  5;10; 9  và mặt phẳng   : 2 x  2 y  z  12  0 . Điểm M di động trên   sao cho MA, MB luôn tạo với   các góc bằng nhau. Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn   cố định. Hoành độ của tâm đường tròn   bằng 9 A. 10 . B. . C. 2 . D.  4 . 2 Câu 58. (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2022) Trong không gian Oxyz , cho hình lăng trụ tam giác đều ABC  A1 B1C1 có A1 ( 3; 1;1) , hai đỉnh B, C thuộc trục Oz và AA1  1, (C không trùng với O ). Biết  u  ( a; b;1) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng A1C . Giá trị của a 2  b 2 bằng A. 16. B. 5. C. 9. D. 4. Câu 59. (THPT Cò Nòi - Sơn La 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu 2 2  S  :  x  3  y2  z 2  9 và  S  : x2   y  6  z 2  24 cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn  C  và mặt phẳng  P  : z  m  0 . Gọi T là tập hợp các giá trị của m để trên mặt phẳng  P  dựng được một tiếp tuyến đến đường tròn  C  . Tổng các phần tử của tập hợp T là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 60. (Sở Cà Mau 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có phương trình x2 y z x2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  4  0 và đường thẳng d :   . Hai mặt phẳng  P  ,  Q  chứa đường 2 1 4 thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu  S  lần lượt tại M , N . Gọi H  a ; b ; c  là trung điểm của MN . Khi đó tổng a  b  c bằng 10 10 14 14 A.  . B. . C. . D.  . 3 3 3 3 Câu 61. (Sở Lạng Sơn 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x  1 y  2 z 1  S  : x2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  13  0 và đường thẳng   d: . Xét điểm M  a ; b ; c  với 1 1 1 a  0 thuộc d sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB.MC đến mặt cầu  S  ( A, B, C là các tiếp điểm)   thỏa mãn   60 , BMC  90, CMA  120 . Tổng a  b  c bằng AMB 10 A. . B. 1. C. 2 . D. 2 . 3 Câu 62. (THPT Trần Hưng Đạo – Nam Định 2023) Trong không gian O x yz , cho đường thẳng x 1 y  2 z 1 (S) : x2  y2  z2  2x  4 y  6z 13  0 . Lấy điểm d:   và mặt cầu M (a; b; c) với a  0 1 1 1 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến M A , M B , M C đến mặt cầu (S ) ( A, B , C là tiếp điểm) thỏa mãn   60 , BMC  90 CMA  120 . Tồng a  b  c bằng AMB   A. 10 B. 1 C. 2 D. 2 3 Câu 63. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình 2023) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng x  1 y z 1 d:   cắt mặt phẳng ( P ) : x  2 y  z  1  0 tại điểm M . Mặt cầu ( S ) có tâm I ( a; b; c ) với 2 1 1 a  0 thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại điểm A . Biết rằng diện tích tam giác IAM bằng 12 3 . Tổng a  b  c bằng A. 6. B. -10. C. 10. D. -6. Dạng 2 Bài toán cực trị 1. Một số bất đẳng thức cơ bản Kết quả 1. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn Kết quả 2. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Như trong hình vẽ ta luôn có AM  AH Kết quả 3. Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có bất đẳng thức AB  BC  AC . Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với n điểm A1 , A2 ,.... An ta luôn có A1 A2  A2 A3  ...  An1 An  A1 An x y Kết quả 4. Với hai số không âm x, y ta luôn có  2 xy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y 2        Kết quả 5. Với hai véc tơ a, b ta luôn có a.b  a . b . Đẳng thức xảy ra khi a  kb, k   2. Một số bài toán thường gặp Bài toán 1. Cho điểm A cố định và điểm M di động trên hình  H  (  H  là đường thẳng, mặt phẳng). Tìm giá trị nhỏ nhất của AM Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên hình  H  . Khi đó, trong tam giác AHM Vuông tại . M ta có AM  AH . Đẳng thức xảy ra khi M  H . Do đó AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên  H  Bài toán 2. Cho điểm A và mặt cầu  S  có tâm I , bán kính R, M là điểm di động trên  S  . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Lời giải. Xét A nằm ngoài mặt cầu ( S ). Gọi M1 , M 2 lần lượt là giao điểm của đường thẳng AI với mặt cầu ( S )  AM 1  AM 2  và ( ) là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng AI . Khi đó ( ) cắt ( S ) theo một đường tròn lớn (C). Ta có M MM  90 , nên  2 và  là các góc tù, nên trong các tam giác 1  2 AMM AM M 1 AMM 1 và AMM 2 ta có AI  R  AM 1  AM  AM 2  AI  R Tương tự với A nằm trong mặt cầu ta có R  AI  AM  R  AI Vậy min AM | AI  R |, max AM  R  AI Bài toán 3. Cho măt phẳng ( P) và hai điểm phân biệt A, B. Tìm điể M thuộc ( P) sao cho 1. MA  MB nhỏ nhất. 2. | MA  MB | lớn nhất. Lời giải. 1. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm về hai phía so với ( P) . Khi đó AM  BM  AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Gọi A đối xứng với A qua ( P) . Khi đó AM  BM  A M  BM  A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) . 2. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Khi đó | AM  BM | AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với (P) . Gọi A ' đối xứng với A qua  P  , Khi đó | AM  BM | A M  BM  A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) . Bài toán 4. Viết phương trinh măt phẳng ( P) di qua A và cách B một khoảng lớn nhất. Lời giải. Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( P), khi đó d( B, ( P))  BH  BA Do đó  P  là mặt phẳng đi qua A vuông góc với AB Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Bài toán 5. Cho các số thực dương  ,  và ba điểm A, B, C. Viết phương trình măt phẳng ( P) đi qua C và T   d( A, ( P))   d( B,( P)) nhỏ nhất. Lời giải. 1. Xét A, B nằm về cùng phía so với ( P) . - Nếu AB‖ ( P ) thì P  (   )d( A,( P))  (   ) AC    - Nếu đường thẳng AB cắt ( P) tại I . Gọi D là điểm thỏa mãn IB  ID và E là trung điểm BD. Khi đó  IB P   d( A, ( P))     d( D, ( P))  2 d( E , ( P))  2(   ) EC ID 2. Xét A, B nằm về hai phía so với ( P) . Gọi I là giao điểm của AB và ( P ), B  là điểm đối xứng với B qua I . Khi đó  P   d( A, ( P))   d B , ( P)  Đến đây ta chuyển về trường hợp trên. So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất. Bài toán 6. Trong không gian cho n điểm A1 , A2 , , An và diểm A. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A và tổng khoảng cách từ các điểm Ai (i  1, n ) lớn nhất. Lời giải. - Xét n điểm A1 , A2 , , An nằm cùng phía so với ( P ). Gọi G là trọng tâm của n điểm đã cho. Khi đó n  d  A , ( P)   nd(G, ( P))  nGA i 1 i - Trong n điểm trên có m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về phía khác (m  k  n ). Khi đó, gọi G1 là trọng tâm của m điểm, G2 là trọng tâm của k điểm G3 đối xứng với G1 qua A. Khi dó P  md  G3 , ( P )   kd  G2 , ( P )  Đến đây ta chuyển về bài toán trên. Bài toán 7.Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua đường thẳng  và cách A một khoảng lớn nhất Lời giải. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( P) và đường thẳng . Khi đó d( A, ( P))  AH  AK Do đó ( P) là mặt phẳng đi qua K và vuông góc vói AK . Bài toán 8. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1 , A2 ,, An . Xét véc tơ       w  1 MA1   2 M A2     n M An Trong đó 1 ; 2 ... n là các số thực cho trước thỏa mãn 1   2  ...   n  0 . Tìm điểm  M thuôc măt phẳng ( P) sao cho | w | có đô dài nhỏ nhất. Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn     1GA1   2GA2     n GAn  0 (điểm G hoàn toàn xác định).    Ta có MAk  MG  GAk vói k  1;2;; n, nên         w  1   2   n  MG  1GA1   2GA2     n GAn  1   2   n  MG Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Do đó   | w | 1   2     n  | MG |  Vi 1   2     n là hằng số khác không nên | w | có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà M  ( P) nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 9. Trong không gian Oxy z, cho các diểm A1 , A2 , , An . Xét biểu thức: T  1MA12   2 MA2     n MAn 2 2 Trong đó 1 ,  2 , ,  n là các số thực cho trước. Tìm điểm M thuộc măt phẳng ( P) sao cho 1. T giá trị nhỏ nhất biết 1   2   n  0 . 2. T có giá trị lớn nhất biết 1   2   n  0 . Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn     1GA1   2GA2     n GAn  0    Ta có MAk  MG  GAk với k  1; 2;; n, nên    2      MAk2  MG  GAk  MG 2  2 MG  GAk  GAk2 Do đó T  1   2     n  MG 2  1GA12   2GA2     n GAn 2 2 Vì 1GA12   2GA2     nGAn không đổi nên 2 2 • với 1   2   n  0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. • với 1   2   n  0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Mà M  ( P) nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( P) cắt nhau. Viết phương trình của mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng ( P) một góc nhỏ nhất. Lời giải. Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( P) và lấy điểm M  d , M  I . Gọi H , K lầ lượt là hình chiếu của M lên ( P) và giao tuyến  của ( P) và (Q) .  Đặt  là góc giữa ( P) và (Q), ta có   MKH , do đó HM HM tan    HK HI Do đó (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (MHI ), nên (Q) đi qua M và nhận     nP  ud   ud làm VTPT. Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đai số như sau:    - Goi n  (a; b; c ), a 2  b 2  c 2  0 là một VTPT của mặt phẳng (Q). Khi đó n  ud  0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi  là góc giữa ( P) và (Q), ta có   n  nP cos      f (t ) | n |  nP Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 b với t  , c  0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c Bài toán 11. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d  chéo nhau. Viết phương trinh mặt phẳng ( P) chứa d và tạo với d  một góc lớn nhất. Lời giải. Trên đường thẳng d , lấy điểm M và dựng đường thẳng  đi qua M song song với d  . Khi đó góc giữa  và ( P) chính là góc giữa d  và ( P) . Trên đường thẳng  , lấy điểm A . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên ( P) và d ,  là góc giữa  và ( P) . HM KM Khi đó    và cos   AMH  AM AM Suy ra ( P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng ( AMK ). Do dó ( P) đi qua M và nhận      ud  ud   ud làm VTPT. Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đại số như sau:    - Goi n  (a; b; c), a 2  b 2  c 2  0 là một VTPT của măt phẳng ( P). Khi đó n  ud  0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi  là góc giữa ( P) và d  , ta có   n  ud  sin      f (t ) | n |  ud  b với t  , c  0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c Dạng 2.1. Cực trị liên quan đến khoảng cách, góc Câu 1. (Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A  0; 4; 3 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 . Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. Q  0;5; 3 . B. P  3;0; 3 . C. M  0; 3; 5 . D. N  0;3; 5 . Câu 2. (Mã 103 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A 0;3; 2 . Xét đường thẳng d thay đổi song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất. d đi qua điểm nào dưới đây? A. Q 0;2; 5 . B. M 0;4; 2 . C. P 2;0; 2 . D. N 0; 2; 5 . Câu 3. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A  0; 4;  3 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. N  0;3;  5 . B. M  0;  3;  5  . C. P  3;0;  3  . D. Q  0;11;  3 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Câu 4. (Mã 104 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A  0;3;  2  . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. M  0;8;  5 . B. N  0;2;  5 . C. P  0;  2;  5 . D. Q  2;0;  3 . Câu 5. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng x y z :   và mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  0 . Gọi  Q  là mặt phẳng chứa  sao cho góc giữa hai mặt 2 2 1 phẳng  P  và  Q  là nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng  Q  là A. x  2 y  z  0 . B. x  22 y  10 z  0 . C. x  2 y  z  0 . D. x  10 y  22 z  0 . Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1; 2  và mặt phẳng  P  : m  1 x  y  mz  1  0 , với m là tham số. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P  lớn nhất. Khẳng định đúng trong bốn khẳng định dưới đây là A. 2  m  6 . B. m  6 . C. 2  m  2 . D. 6  m  2 . Câu 7. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;1) , B (2; 0;1) và mặt phẳng ( P ) : x  y  2 z  2  0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A , song song với mặt phẳng ( P ) sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất. x 1 y 1 z 1 x y z2 A. d :   . B. d :   . 3 1 2 2 2 2 x2 y2 z x 1 y 1 z 1 C. d :   . D. d :   . 1 1 1 3 1 1 Câu 8. (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x y 1 2  z d:   . Gọi  P  là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng 1 2 1  Q  : 2 x  y  2 z  2  0 một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A 1; 2;3 cách mặt phẳng  P  một khoảng bằng: 5 3 7 11 4 3 A. 3. B. . C. . D. . 3 11 3 Câu 9. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 3 , B  2; 2;1 và mặt phẳng    : 2 x  2 y  z  9  0 . Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng    sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng MB khi MB đạt giá trị lớn nhất.  x  2  t  x  2  2t  x  2  t  x  2  t     A.  y  2  2t B.  y  2  t C.  y  2 D.  y  2  t  z  1  2t  z  1  2t  z  1  2t  z 1     Câu 10. -(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Viết phương trình đường thẳng a đi qua M  4 ;  2 ; 1 , song song với mặt phẳng ( ) : 3x  4 y  z  12  0 và cách A  2 ; 5; 0  một khoảng lớn nhất. x  4  t x  4  t  x  1  4t  x  4t     A.  y  2  t . B.  y  2  t . C.  y  1  2t . D.  y  2  t . z  1 t  z  1  t  z  1  t  z  1 t     Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Câu 11. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Đường thẳng  đi qua điểm M  3;1;1 , nằm trong mặt phẳng x  1    : x  y  z  3  0 và tạo với đường thẳng d :  y  4  3t một góc nhỏ nhất thì phương trình  z  3  2t  của  là x  1  x  8  5t   x  1  2t   x  1  5t      A.  y  t  . B.  y  3  4t  . C.  y  1  t  . D.  y  1  4t  .  z  2t   z  2  t  z  3  2t   z  3  2t      Câu 12. (Chuyên Thái Bình 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1;1 và mặt phẳng ( P) : x  2 y  0 . Gọi  là đường thẳng đi qua A , song song với ( P) và cách điểm B  1;0; 2  một khoảng ngắn nhất. Hỏi  nhận vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương ?     A. u   6; 3; 5 . B. u   6; 3;5 . C. u   6; 3;5  . D. u   6;  3;  5  . Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A  2; 1; 2  và đường thẳng  d  có phương x 1 y 1 z 1 trình   . Gọi  P  là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng  d  và khoảng 1 1 1 cách từ d tới mặt phẳng  P  là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng  P  vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A. x  y  6  0 . B. x  3 y  2 z  10  0 . C. x  2 y  3z  1  0 . D. 3x  z  2  0 . Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi  P  là mặt phẳng đi qua hai điểm A 1; 7; 8  , B  2; 5; 9  sao cho khoảng cách từ điểm M  7; 1; 2  đến  P  đạt giá trị lớn nhất. Biết  P  có một véctơ  pháp tuyến là n   a; b; 4  , khi đó giá trị của tổng a  b là A. 1. B. 3 . C. 6 . D. 2 . Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  3; 1; 0  và đường thẳng x  2 y  1 z 1 d:   . Mặt phẳng   chứa d sao cho khoảng cách từ A đến   lớn nhất có phương 1 2 1 trình là A. x  y  z  2  0 . B. x  y  z  0 . C. x  y  z  1  0 . D.  x  2 y  z  5  0 . Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3;0;1 , B 1;  1;3  và mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  5  0 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A , song song với mặt phẳng  P  sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. x3 y z 1 x3 y z 1 A. d :   . B. d :   . 26 11 2 26 11 2 x3 y z 1 x  3 y z 1 C. d :   . D. d :   . 26 11 2 26 11 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Câu 17. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A  2;5;3 và đường thẳng x 1 y z  2 d:   . Gọi  P  là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến  P  là lớn nhất. 2 1 2 Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến  P  bằng 3 11 2 1 A. 2. B. . C. . D. . 6 6 2 Câu 18. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 , B  5; 4; 1 và mặt phẳng  P  qua Ox sao cho d B , P   2d A, P   ,  P  cắt AB tại I  a; b; c  nằm giữa AB . Tính a  b  c A. 8 B. 6 C. 12 D. 4 x 1 y z 1 Câu 19. (Đề Thi Công Bằng KHTN -2019) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :   2 1 1 và điểm A(1; 2;3) . Gọi ( P) là mặt phẳng chứa d và cách điểm A một khoảng cách lớn nhất. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P) .     A. n  (1;0; 2) . B. n  (1;0; 2) . C. n  (1;1;1) . D. n  (1;1; 1) . Câu 20. (Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3;0;1 , B 1;  1;3  và mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  5  0 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A , song song với mặt phẳng  P  sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. x3 y z 1 x3 y z 1 A. d :   . B. d :   . 26 11 2 26 11 2 x3 y z 1 x  3 y z 1 C. d :   . D. d :   . 26 11 2 26 11 2 Câu 21. (Sở Quảng Nam - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y 1 z  3  P  : x  y  4 z  0 , đường thẳng d:   và điểm A 1; 3; 1 thuộc mặt phẳng  P  . Gọi  là 2 1 1 đường thẳng đi qua A , nằm trong mặt phẳng  P  và cách đường thẳng d một khoảng cách lớn nhất. Gọi  u   a; b; 1 là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng  . Tính a  2b . A. a  2b  3 . B. a  2b  0 . C. a  2b  4 . D. a  2b  7 . Câu 22. ( Bắc Giang 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A  2;1;3  và mặt phẳng  P  : x  my   2m  1 z  m  2  0 , m là tham số. Gọi H  a; b; c  là hình chiếu vuông góc của điểm A trên  P  . Tính a  b khi khoảng cách từ điểm A đến  P  lớn nhất ? 1 3 A. a  b   . B. a  b  2 . C. a  b  0 . D. a  b  . 2 2 Câu 23. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  5  0. Giả sử M   P  và N   S  sao  P : x  2 y  2z  3  0    cho MN cùng phương với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN . A. MN  3 B. MN  1  2 2 C. MN  3 2 D. MN  14 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Câu 24. (SGD&ĐT Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 2  S  :  x  1   y  2   z 2  4 có tâm I và mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  2  0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc  P  sao cho đoạn IM ngắn nhất.  1 4 4  11 8 2  A.   ;  ;   . B.   ;  ;   C. 1; 2; 2  . D. 1; 2; 3  .  3 3 3  9 9 9 Câu 25. (THPT Ba Đình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  5  0 . Giả sử M   P  và N   S  sao  P : x  2 y  2z  3  0    cho MN cùng phương với vectơ u  1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN . A. MN  3 . B. MN  1  2 2 . C. MN  3 2 . D. MN  14 . Câu 26. (HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 và mặt phẳng ( P ) : 2 x  y  2 z  14  0 . Điểm M thay đổi trên  S  , điểm N thay đổi trên ( P ) . Độ dài nhỏ nhất của MN bằng 1 3 A. 1 B. 2 C. D. 2 2 Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  tâm I 1; 2;1 ; bán kính R  4 và đường x y 1 z 1 thẳng d :   . Mặt phẳng  P  chứa d và cắt mặt cầu  S  theo một đường tròn có diện tích nhỏ 2 2 1 nhất. Hỏi trong các điểm sau điểm nào có khoảng cách đến mặt phẳng  P  lớn nhất.  3 1 A. O  0; 0; 0  . B. A 1; ;   . C. B  1; 2; 3  . D. C  2;1; 0  .  5 4 Câu 28. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P  : y  1  0 , đường thẳng x  1  1  d :  y  2  t và hai điểm A  1; 3;11 , B  ;0;8  . Hai điểm M , N thuộc mặt phẳng  P  sao cho z  1 2   d  M , d   2 và NA  2 NB . Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN . 2 2 A. MN min  1 . B. MN min  2 . C. MN min  . D. MN min  . 2 3 Câu 29. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm     A 1;0; 0 , B 3;2; 0 , C 1;2; 4 . Gọi M là điểm thay đổi sao cho đường thẳng MA , MB , MC hợp với mặt phẳng ABC  các góc bằng nhau; N là điểm thay đổi nằm trên mặt cầu 1 S  : x  3  y  2  z  3 2 2 2  . Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN . 2 3 2 2 A. . B. 2. C. . D. 5. 2 2 Câu 30. (Sở Bình Phước - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 2;  3 và mặt  phẳng  P  : 2 x  2 y  z  9  0 . Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u   3; 4;  4 cắt  P  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG tại điểm B . Điểm M thay đổi trong  P  sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90 . Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau? A. J  3; 2; 7  . B. K  3; 0;15  . C. H  2;  1;3  . D. I  1; 2;3 . Câu 31. (Sở Bạc Liêu - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I 1; 2;3  và x  1 t  có bán kính r  2 . Xét đường thẳng d :  y  mt  t    , m là tham số thực. Giả sử  P  ,  Q  là mặt z  m 1 t    phẳng chứa d và tiếp xúc với  S  lần lượt tại M , N . Khi đó đoạn MN ngắn nhất hãy tính khoảng cách từ điểm B 1;0; 4  đến đường thẳng d . 5 3 4 237 4 273 A. 5. B. . C. . D. . 3 21 21 Câu 32. (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  9  0  và điểm A 1; 2; 3 . Đường thẳng d đi qua A và có véc tơ chỉ phương u   3; 4; 4  cắt  P  tại B . Điểm M thay đổi trên  P  sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc 90 . Độ dài đoạn MB lớn nhất bằng 36 A. . B. 41 . C. 6 . D. 5. 5 Câu 33. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Đường thẳng  đi qua điểm M  3;1;1 , nằm trong mặt x  1  phẳng   : x  y  z  3  0 và tạo với đường thẳng d :  y  4  3t một góc nhỏ nhất thì phương trình của  z  3  2t   là: x  1  x  8  5t   x  1  2t   x  1  5t      A.  y  t  . B.  y  3  4t  . C.  y  1  t  . D.  y  1  4t  .  z  2t   z  2  t  z  3  2t   z  3  2t      Câu 34. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A  2; 5; 3  và x 1 y z  2 đường thẳng d :   . Biết rằng  P  : ax  by  cz  3  0  a, b, c    là mặt phẳng chứa d và 2 1 2 khoảng cách từ A đến  P  lớn nhất. Khi đó tổng T  a  b  c bằng A. 3 . B. 3 . C. 2 . D. 5 . Câu 35. (ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  2;1; 3  , B  3; 2;1 . Gọi  d  là đường thẳng đi qua M 1; 2;3  sao cho tổng khoảng cách từ A đến  d  và từ B đến d  là lớn nhất. Khi đó phương trình đường thẳng  d  là x 1 z x 1 y  2 z  3 A.  y2  . B.   . 5 4 3 2 1 x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 C.   . D.   . 1 13 2 3 2 2 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/