Tài liệu tham khảo: Đại số

Chia sẻ: Trần Thị Mỹ Hạnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hoán vị Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp của n phần tử của tập hợp M theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho. Một buổi họp gồm 12 người tham dự. Hỏi có mấy cách chọn một chủ toạ và một thư ký. 1.1.3. Chỉnh hợp lặp : Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu tham khảo: Đại số

1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1. Đại số tổ hợp 1.1.1. Hoán vị Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗ i cách sắp xếp của n phần tử của tập hợp M theo mộ t thứ tự nhất đ ịnh được gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho. Số hoán vị của tập hợp A là : Pn  n ! Ví d ụ 01 : Một bàn tròn có 12 người ngồ i. Hỏ i có mấy c ách xếp chỗ n gồi cho họ ? 1.1.2. Chỉnh hợp : Chỉnh hợp chập k của n phần tử  k  n  là một nhóm (bộ) có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. n! Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là : Ank   n  n  1 ...  n  k  1  n  k ! Ví d ụ 02 : Mộ t buổ i họp gồ m 12 người tham dự. Hỏi có mấ y cách chọn một chủ toạ và một thư ký. 1.1.3. Chỉnh hợp lặp : Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm c ó thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1,2,...,k lầ n trong nhóm. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là : Bnk  n k Ví d ụ 03 : Xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn. Hỏi c ó bao nhiêu cách xếp ? 1.1.4. Tổ hợp : Tổ hợp chập k của n phần tử  k  n  là một nhóm không phân biệt th ứ tự, gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. n  n  1 ...  n  k  1 n! Số tổ hợp chập k của n phần tử là : Cnk   k ! n  k  ! k! Chú ý : i) 0 !  1 ii) Cnk  Cn  k n iii) Cnk  Cn11  Cn 1 k k Ví d ụ 04 : Một hộp có 7 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ. Có bao nhiêu cách chọn ra : a) 3 quả cầ đỏ. b) 4 quả cầu mà có 3 xanh, 1 đỏ. 1.1.5. Nhị thức Newton n n   Cnk a n k .b k a  b k 0 5 Ví d ụ 05 : Dùng nhị thức Newton khai triển :  2 x  3 1
2. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA XÁC SUẤT 2.1. Các khái niệm c ơ bản 2.1.1. Phép thử ngẫu nhiên và biến cố a) Khái niệm : Là sự thực hiện một số điều kiện xác đ ịnh (thí nghiệm cụ thể hay quan sát hiện tượng nào đó), có thể cho nhiều kết quả khác nhau. Các kết quả này không thể dự báo chắc chắn được. Một phép thử th ường được lặp lại nhiều lần. Các kết quả xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên gọi là biến cố. b) Ví dụ 1 : Tung đồng tiền lên là một phép thử ngẫu nhiên. Đồng tiền lật mặt nào đó là một biến cố. 2.1.2. Không gian mẫu Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là không gian mẫu (hay không gian biến cố sơ cấp), ký hiệu  . Mỗi kết quả của phép thử,  , gọi là biến cố sơ cấp. Một tập con của không gian mẫu gọi là biến cố. 2.1.3. Biến cố ngẫu nhiên Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện một phép thử. Phép thử mà các kết quả của nó là các biến cố ngẫu nhiên đ ược gọi là phép thử ngẫu nhiên  Các ký hiệu : -  : không gian mẫu. -  : biến cố sơ cấp - A, B, C, …: biến cố - |A|: số phần tử của biến cố A Ví d ụ 2 : Tung một đồng xu :  ={S,N};  1=“S”,  2=“N” Tung con xúc sắc  ={ 1,…,  6}  i=“Xuất hiện mặt thứ i”, i=1,…,6 Đo chiều cao (đv: cm) 2.1.4. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố a) Quan hệ kéo theo : Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B, kí h iệ u A  B , nếu A xả y ra thì B xảy ra b) Quan hệ tương đươn g : Hai biến cố A, B là tương đương với nhau nếu A  B và B  A , kí hiệu: A  B c) Tổng của 2 biến cố : Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu  , thì biến cố tổng của A và B, ký hiệu A+B (hay AB), là tập chứa những kết quả trong  thuộc về A hoặc B 2
Ví d ụ 3 : Hai người thợ săn cùng bắn vào một con thú. Nếu gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trúng con thú và B là biến cố người thứ hai bắn trúng con thú th ì C  A  B là b iến cố con thú bị bắn trúng. d) Tích của 2 biến cố : Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu  , thì biến cố tích của A và B, ký hiệu AB (hay AB), là tập chứa những kết quả trong  thuộc về A và B Ví d ụ 4 : Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trượt, B là là biến cố người thứ hai bắn trượt thì C  A.B là biến cố con thú không bị bắn trúng. e) Biến cố hiệu : Hiệu của 2 biến cố A và B, kí hiệu : A \ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B không x ảy ra. f) Biến cố xung khắc : Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử. g) Biến cố đối lập : Biến cố không xảy ra biến cố A gọi là biến cố đối lập với biến cố A. Kí hiệu : A . Ta có : A  A   , A. A   Nhận xét : Ta có thể sử dụng các phép toán trên các tập hợp cho các phép toán trên các biến cố. 2.1.5. Biến cố đồng khả năng Các biến cố được gọi là đồng khả năng nếu chúng có cùng khả n ăng xu ất hiện khi tiến hành phép thử. 2.2. Định nghĩa xác suất 2.2.1. Định nghĩa cổ điển a) Định nghĩa : 3
Giả sử phép thử có n biến cố đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó có m biến cố đồng khả năng thuận lợi cho biến cố A (A là tổng của m biến cố sơ cấp này). Khi đó xác suất của biến cố A, kí hiệu P  A  đ ược định nghĩa bằng công thức sau : Soá caùc khaû naêng thoûa ñieàu kieän cuûa A m P  A   n Toång soá khaû naêng trong khoâng gian maãu  b) Tính chất : i) 0  P  A   1, P     1, P     0 ii) Nếu A  B thì P  A   P  B   iii) P  A   P A  1  iv) P  A   P  AB   P AB Ví d ụ 5 : Một bình đựng 5 viên bi, trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra hai viên bi. Tính xác suất để đ ược hai viên bi xanh. Giải. Có C52  10 cách chọn 2 viên bi trong 5 bi. (không gian mẫu gồm 10 phần tử). Có C32  3 cách chọn 2 bi xanh trong 3 bi (đây là số phần tử của biến cố đang xét). Do đó xác suất để lấy đ ược 2 bi xanh là 3 10 Nhận xét : Định nghĩa theo lối cổ điển có 2 nhược đ iểm sau: - Tất cả các kết quả phải đồng khả năng xảy ra. - Không gian mẫu  phải hữu hạn 2.2.2. Định nghĩa hình học Xét một phép thử đồng khả năng, không gian mẫu có vô hạn phần tử và đ ược biểu diễn thành một miền hình học  có độ đo xác định (độ dài, diện tích, thể tích). Biến cố A   được biểu diễn bởi miền hình học A. Khi đó, xác suất xảy ra A là : mes( A) Ñoä ño mieàn A P( A)   mes() Ñoä ño mieàn  Ví dụ 6 : Trên đoạn thẳng OA, gieo ngẫu nhiên 2 điểm B và C có toạ độ tương ứng OB  x, OC  y  y  x  . Tìm xác suất sao cho độ dài của đoạn BC bé hơn độ dài c ủa đoạn OB . 2.2.3. Định nghĩa thống kê Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu  và A   . Thực hiện phép thử n lần độc lập, thấy biến cố A suất hiện n(A) lần. n(A) gọi là tần số suất hiện biến cố A, và n(A)/n là tần suất xảy ra A. Khi đó xác suất xảy ra A là : n( A) Soá caû khaû naêng trong toång theå thoûa ñieàu kieän cuûa A P( A)  lim  Toång soá khaû naêng trong toång theå n n  Chú ý : Giới hạn của tần suất xảy ra biến cố A trong một số phép thử rất lớn, n. Ví d ụ 7 : Tung đồng xu 4
- Xác suất xuất hiện mặt S: P(S)=1/2 - Xác suất xuất hiện mặn H: P(H)=1/2 - Dùng định nghĩa theo quan điểm thống kê để kiểm chứng : Người thí Số lần tung Số lần sấp Tần suất nghiệm 4040 2048 0.5080 Buffon 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005 Pearson 2.2.4. Định nghĩa tiên đề : (Tự n ghiên cứu) Ví d ụ 8 : Gieo mộ t con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất xuất hiện mặ t chẵn. Ví d ụ 9 : Trong một hộ p có 6 bi trắng, 4 bi đen. Tìm xác suất để lấ y từ hộp ra a) 1 viên bi đen b) 2 viên bi trắng 2.3. Một số công thức tính xác suất 2.3.1. Công thức cộng P  A  B   P  A   P  B   P  A.B  n n 1 P  A1  A2  ...  An    P  Ai    P  Ai . Aj   ...   1 P  A1. A2 ...An  Tổng quá t : i 1 i j Nếu : A1 , A2 ,..., An là các biến cố độc lập toàn phần thì :   P  A1  A2  ...  An   1  P A1 .P A2 ...P An Nếu A1 , A2 ,..., An là các biến cố xung khắc từng đôi thì : P  A1  A2  ...  An   P  A1   ...  P  An  Nếu A1 , A2 ,..., An là nhóm các biến cố đầ y đủ xung khắc từng đôi thì : P  A1   ...  P  An   1 Lưu ý : i) Các biến cố A1 , A2 ,..., An là nhóm các biến cố đầ y đủ xung khắc từng đôi nếu chú ng xung khắc từng đôi và tổng của chúng là b iến cố chắc chắn, nghĩa là : A1  A2  ...  An  , Ai . A j   ii) Hai biến cố A và B là 2 biến cố độc lập nếu sự tồn tạ i hay không tồn tại của biến cố nà y không ảnh hưởng đến sự tồn tạ i hay không tồ n tại của biến c ố kia iii) Các biến cố A1 , A2 ,..., An là đ ộc lập hoàn toàn nếu mỗi biến cố độc lập với tích của một tổ hợp bất kỳ trong các biến cố còn lại. 5
Ví dụ 10 : Một lô hàng gồ m 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩ m. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hà ng ra 6 sản phẩm. Tìm xác suất để có không quá 1 phế phẩ m trong 6 sản phẩ m được lấy ra 2.3.2. Công thức xác suất có điều kiện a) Định nghĩa : Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B xảy ra được gọ i là xác  B suất có điều kiện của biến cố A, kí hiệu : P A  B   PP ABB  . b) Công thức : P A Ví d ụ 11 : Trong hộp có 3 viên bi trắng, 5 viên bi đen. Lấ y lầ n lượt ra 2 viên bi (không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được viên bi trắng, biết lần thứ nhấ t đã lấy được viên bi trắng 2.3.3. Công thức nhân và độc lập Từ công thức xác suấ t có đ iều kiện, ta có :  A  P  B .P  A B  i) P  A.B   P  A  .P B ii) Nếu A, B là 2 biến cố độc lập thì : P  A.B   P  A  .P  B   A.P C AB  iii) P  ABC   P  A  .P B A A Tổng quát : P  A1. A2 ... An   P  A1  .P  2  ...P  n   A  A ... A   1  n 1  1 Ví d ụ 12 : Hộp thứ n hất có 2 bi trắng và 10 bi đen. Hộp thứ 2 có 8 bi trắng và 4 b i đen. Từ mỗi hộp lấy ra 1 viê n bi. Tìm xác suấ t để : a) Cả 2 viên bi đều là bi trắng b) 1 bi trắng và 1 bi đen 2.3.4. Công thức đầy đủ và Bayès a) Công thức xác suất đầ y đủ : Giả sử A1 , A2 ,..., An là nhóm các biến cố đầy đủ xung khắc từng đôi và B là b iến cố bấ t kỳ c ó thể xảy ra trong phép thử. Khi đó : n P  B    P  Ai  P  B  (*)  A  i i 1 Lưu ý : Cô ng thức (*) vẫn đúng nếu ta thay đ iều kiện A1  A2  ...  An   b ởi điều kiện B  A1  A2  ...  An Ví d ụ 13 : Xét mộ t lô sản phẩ m trong đó số sản phẩm do nhà máy I sản xuất chiế m 20%, nhà máy II sản xuất chiếm 30%, nhà máy III sản xuấ t chiếm 50%. Xác suất phế phẩ m của nhà máy I là 0 ,001; nhà máy II là 0,005; nhà má y III là 0,006. Tìm x ác suất để lấy ngẫu nhiên được đúng 1 phế phẩm. b) Công thức Bayes : 6
Giả sử A1 , A2 ,..., An là nhóm các biến cố đầy đủ xung khắc từng đôi và B là b iến cố bấ t kỳ c ó thể xảy ra trong phép thử. Khi đó : P  Ai  .P  B   A  Ai    i i  1,..., n P (**) B n   B   P  Ai  P  Ai    i 1 Ví d ụ 14 : Giả sử có 4 hộp như nhau cùng đ ựng một chi tiế t máy, trong đó có 1 hộp 3 chi tiế t xấu, 5 chi tiết tốt do máy 1 sản xuất; còn 3 hộp còn lạ i mỗi hộp đựng 4 chi tiế t xấu, 6 chi tiế t tố t do máy 2 sản xuấ t. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồ i từ hộp đó lấy ra 1 chi tiế t máy. a) Tìm xác suấ t để chi tiế t máy lấy ra là tốt b) Với chi tiết tố t ở câu a, tìm xác suất để nó được lấ y ra từ hộp của máy I Khái niệm cây xác suất : Trong thực tế có nhiều phép thử chứa 1 dãy nh iều biến cố. Câ y xác suất cung cấp cho ta 1 công cụ thuận lợi cho việc xác định cấu trúc các quan hệ bên trong các phép thử khi tính xác suất. Cấu trúc câ y như sau : i) Vẽ biểu đồ của câ y xác suất tương ứng với các kết quả của dãy phép thử ii) Gá n mỗi xác suấ t với mỗi nhánh 2.3.5. Công thức Bernoulli a) Định nghĩa : Tiến hành n phép thử độc lập. Giả sử trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra 1 trong 2 trường h ợp : hoặc biến cố A xảy ra hoặc biến cố A không xảy ra. Xác suấ t để A xả y ra trong mỗi phép thử đều bằng p. Dã y phép thử thoả mãn các điều kiện trên được gọ i là dãy phép thử Bernoulli. b) Công thức : Xá c suấ t để A xuấ t hiện k lần trong n phép thử của dãy phép thử Bernoulli Pn  k   Cn p k q n k k  q  1  p; k  0,1,..., n  Ví d ụ 1 5 : Mộ t bác s ĩ có xác suất chữa khỏ i bệnh là 0,8. Có n gười nói rằng cứ 10 người đến chữa thì chắc chắn có 8 người khỏi bệnh. Điều khẳng định đó có đúng không ? Ví d ụ 16 : Bắn 5 viên đạn độc lập với nhau vào cùng một bia, xác suất trúng đích các lần bắn như nhau là 0,2. Muốn bắn hỏng bia phải có ít nhất 3 viên đạn bắ n trúng đích. Tìm xác suất để b ia b ị hỏng. 7
3. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ PHÂN PHỐI THƯỜNG GẶP 3.1. Biến ngẫu nhiên 3.1.1. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên là đại lượng biến đổi biểu thị giá trị kết quả của 1 phép thử ngẫu nhiên. Ta dùng các chữ in hoa X, Y, Z, … đ ể kí hiệu cho các biến ngẫu nhiên Ví d ụ 1 : T ung 1 con xúc xắc. gọi X là số chấm xuất hiện tren mặt con xúc xắc th ì X là một biến ngẫu nhiên nhận các giá trị có thể là 1 , 2, … , 6 3.1.2. Phân loại : có 2 lo ại Biến ngẫu nhiên đ ược gọi là rời rạc nếu nó chỉ nhận 1 số hữu hạn hoặc 1 số vô hạn đếm được các giá trị Ta có thể liệ t kê các giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc X. Xác suất để X nhận giá trị xn viết là : P  X  xn  Ví dụ 2 : Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc, số học sinh vắng mặ t trong 1 buổi học… là các biến ngẫu nhiên rời rạc. Biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nế u các giá trị của nó lấp đầy 1 khoảng trên trục số. Ví d ụ 3 : Nhiệt độ không khí ở mỗi thời điểm nào đó 3.2. Phân phối của biến ngẫu nhiên 3.2.1. Bảng phân phối của biến n gẫu nhiê n rời rạc Bảng gồm 2 hàng : hàng thứ 1 liệt kê các giá trị có thể x1 , x2 ,..., xn của X và hàng thứ 2 liệ t kê các xác suấ t tương ứng p1 , p2 ,..., pn của các giá trị có thể đó. Ví d ụ 4 : Tung 1 con xúc xắc đồng chấ t. Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc thì X là b iến ngẫu nhiên rời rạc có phân phố i xác suấ t là bảng sau : X 123456 1 1 1 1 1 1 P 6 6 6 6 6 6 3.2.2. Hàm mật đ ộ của biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật đ ộ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X là hàm không âm f  x  , x ác định với mọi x   ,   thoả mãn P  X  B    f  x  dx , với mọi tập B  B  Lưu ý : f  x   0, x   ,   và :  f  x  dx  1  3.2.3. Hàm phân phối Hàm phân phố i xác suấ t của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu F  x  , được xác định như sau : F  x  P  X  x 8
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạ c nhận các giá trị có thể x1 , x2 ,..., xn thì : F  x    P  X  xi    pi xi  x xi  x Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f  x  thì : x F  x   f  x  dx  Một số tính chất : i) 0  F  x   1, x ii) F  x  là hàm không giảm  x1  x2  F  x1   F  x2   iii) lim F  x   0, lim F  x   1 x  x iv) F '  x   f  x  , x Ý ngh ĩa của hàm phân phối xác suất F  x  Hàm F  x  phản ánh mức độ tập trung xác suất về bên trái của đ iểm x Ví d ụ 5 : Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phố i xác suấ t : X 1 3 6 P 0,3 0,1 0,6 Tìm h àm phân phối xác suất của X và vẽ đồ thị c ủa hà m n ày. Ví d ụ 6 : Cho biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ :  0, x0  6 f  x    x, 0  x 1 5 6 x 1  5x4  Tìm h àm phân phối xác suất F  x  3.3. Một số đặc trưng cơ bản 3.3.1. Kỳ vọng a) Định nghĩa : Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị x1 , x2 ,..., xn có xác suất tương ứng là p1 , p2 ,..., pn . Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu E  X  được xác định bởi : n E  X    xi pi i 1 Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục có hà m mật đ ộ xác suất f  x  . Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X được xác đ ịnh bởi : 9
 EX    x f  x  dx  Ví d ụ 7 : Tìm kỳ vọ ng của biến ngẫu nhiên có bảng phân phố i xác suấ t như sau : X 5 6 7 8 9 10 11 1632211 P 12 12 12 12 12 12 12 1 2 3 2 2 1 1 31 E  X   5.  6.  7.  8.  9.  10.  11.   7,75 12 12 12 12 12 12 12 4 Ví d ụ 8 : Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hà m mậ t độ : 2.e 2 x , 0  x  2  f  x   x   0, 2  0,   2  x 4 EX    x. f  x  dx   x. 2  dx  3   0 b) Tính chất : i) E  C   C , C là hằng số ; E  cX   c.E  X  ii) E  X  Y   E  X   E Y  iii) Nếu X và Y là 2 đ ại lượng ngẫu nhiên độc lập thì E  X .Y   E  X  .E Y  3.3.2. Phương sai a) Định nghĩa : Phương sai (độ lệch b ình phương trung bình) của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu Var  X  hay D  X  được tính b ởi cô ng th ức :   2 Var  X   E  X  E  X     Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị x1 , x2 ,..., xn có xác suấ t tương ứng là p1 , p2 ,..., pn th ì : n 2 Var  X     xi  E  X   pi   i 1 Nếu X là biến ngẫu nhiên liê n tục có hàm mật độ xác suất f  x  thì :  2 Var  X     x  E  X  f  x  dx    Trong thực tế, ta thường tính phương sai theo công thức : 2 Var  X   E  X 2    E  X     Ví d ụ 9 : Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phố i xác suấ t sau : 10
X 1 3 5 . Tìm ph ương sai của X P 0,1 0, 4 0,5 Ví d ụ 10 : Cho biến ngẫu nhiên X c ó hàm mật độ c.x 3 , 0 x3  f  x   x   0,3 0,  Tìm : Hằng số c , kỳ vọng và phương sai b) Tính chất : i) Var  C   0  C : constant  ii) Var  cX   c 2 .Var  X  iii) Nếu X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì : Var  X  Y   Var  X   Var Y  3.3.3. Độ lệch tiêu chuẩn : Độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu :   X  xác đ ịnh bởi :   X   Var  X  dùng để đánh giá mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫu nhiên X 3.3.3. Một số đặc trưng khác a) Mode (Mod ) Định nghĩa : Mod  X  là giá trị của biến ngẫu nhiên X có khả năng xuất hiện lớn nhấ t trong một lân cậ n nào đó của nó .  Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì Mod  X  là giá trị của X ứng với xác suấ t lớn nhấ t  Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì Mod  X  là giá trị của X tạ i đó hà m mậ t độ đạ t giá trị cực đại Ví d ụ 11 : Nếu X là đ iểm trung bình môn Toán của Sinh viên lớp toán tin thì Mod  X  là điểm mà nhiều sinh viên của lớp đạt được nhất b) Trung vị (Me dian) Định nghĩa : Trung vị của biến ngẫu nhiên X là giá trị của X chia phân phối xác suấ t thành 2 phần có xác suất giống nhau, kí hiệu : Med  X  1 Ta có : P  X  Med  X    P  X  Med  X    2 Ví d ụ 12 : Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối với hàm mật độ sau : x0 0,  Hãy tìm Mod  X  , Med  X  f  x   x  x 2  e 4 , x0 2 11
c) Moment : Định nghĩa : Moment cấp k của đại lượng ngẫu nhiên X là số mk  E  X k    k Moment qui tâm c ấp k của đại lượng ngẫu nhiên X là số  k  E  X  E  X    Nhận xét : i) Moment cấp 1 của X là kỳ vọng của X  m1  E  X   ii) Mome nt qui tâm cấp 2 của X là phương sai của X  2  m2  m12  Var  X   iii)  3  m3  3m2 m1  2 m13 3.4. Một số phân phối thường gặp 3.4.1. Nhị thức a) Định nghĩa : Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận 1 trong các giá trị 0, 1, 2,…, n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức Bernoulli Px  P  X  x   Cnx p x q n  x gọi là có phân phối nhị thức với tham số n và p, kí hiệu : X  B  n, p  (hay X B  n, p  ) b) Công thức : Với h nguyên dương và h  n  x , ta có : P  x  X  x  h   Px  Px1  ...  Px h Ví d ụ 13 : Tỷ lệ phế phẩm trong lô sản phẩm là 3%. Lấ y ngẫu nhiên 100 sản phẩm để kiểm tra. Tìm xác suấ t để trong đó có : a) 3 phế phẩm b) không quá 3 phế phẩ m Chú ý : i) Khi n khá lớn và xác suấ t p không quá gần 0 và 1. Khi đó ta có thể áp dụng công thức xấp xỉ sau : 1 Px  Cnx p x q n x  f  u  : gọi là công thức địa phương Laplace npq Trong đó : 2 1  u2 x  np f u   u e ; 2 npq P  x  X  x  h     u2     u1  ii) trong đó : x  np x  h  np : gọi là công thức tích phân Laplace u1  ; u2  npq npq Lưu ý : Nếu X  B  n, p  thì ta có : 12
i) E  X   np ii) Var  X   npq iii) np  q  Mod  X   np  p Ví d ụ 14 : Một má y sản xuất được 200 sản phẩm trong một ngày. Xác suất để máy sản xuất ra phế ph ẩm là 0,05. Tìm số phế phẩm trung bình và số phế phẩm có khả năng tin chắc của máy đó trong một ngày 3.4.2. Poisson Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị 0, 1,…, n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức : a k a Pk  P  X  k   e k! được gọi là có phân phối P oison với tham số a, kí hiệu : X  P  a  hay X ~ P  a  Chú ý : ak   Pk  e  a  i) P  k  X  k  h   Pk  Pk 1  ...  Pk  h  k!   ii) Nếu X  P  a  thì E  X   Var  X   a; a  1  Mod  X   a Ví d ụ 15 : Một máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để 1 giờ máy hoạt động có 1 ống sợi bị đứt là 0,002. Tìm xác suất để trong 1 giờ máy hoạt động có không quá 2 ống sợi bị đứt 3.4.3. Đều : Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên đoạn  a, b nếu hàm mật độ xác suất có dạng : 1 , x   a, b  f  x  b  a 0, x   a, b  Nhận xét :  Nếu X có phân phối đều trên  a, b thì hàm phân phối của X cho bởi : i) F  x   0 nếu x  a x x dx xa ii) F  x   f  x  dx   n ếu a  x  b   ba ba  a iii) F  x   1 nếu x  b  Giả sử  ,     a, b . Xác suất để X rơi vào  ,   là :    P   X      f  x  dx  ba  13
Ví d ụ 16 : Lịch chạy của xe buýt tạ i 1 trạm xe buýt như sau : chiếc xe buýt đầu tiên trong ngày sẽ khởi hành từ trạm này vào lúc 7 giờ, cứ sau mỗi 15 phút sẽ có 1 xe khác đến trạ m. Giả sử 1 hành khách đến trạ m trong khoảng thời gian từ 7 giờ đến 7 giờ 30. Tìm xác suấ t để hành khách này chờ : a) Ít hơn 5 phút b) Ít nhất 12 phú t 3.4.4. Mũ Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ với tham số   0 nếu nó có hà m mật độ xác suất là :  e   x , x  0 f  x   x0 0, Nếu X có phân phối mũ với tham số  thì h àm phân phối xác suất của X là : x F  x     e   x dx  1  e   x với x  0 0 F  x   0 với x  0 và : Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số   0 thì : i) Kỳ vọng của X là :   1   x  x  x E  X     x.e dx   xe  e dx   0  0 0 ii) Phương sai của X là :   1 1 1   x dx  2    x 2e   x   2   xe   x dx  2  2 2 Var  X    x e  0    0 0 Ví d ụ 17 : Giả sử tuổi thọ (tính bằng năm) c ủa một mạch điện tử trong máy tính là 1 biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với kì vọng là 6,25. Thời gian bảo hành của mạch đ iện tử nà y là 5 nă m. Hỏi có bao nhiêu phần trăm mạch điện tử bán ra phải thay thế trong thời gian bảo hành ? 3.4.5. Chuẩn Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng  ,   được gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ xác suất có dạng :  x   2 1  2 2 f  x  trong đó :  ,  là hằng số,   0,    x   e  2     Kí h iệu : X  N  ,  2 hay : X ~ N  ,  2   Chú ý : Nếu X  N  ,  2 th ì : E  X    và Var  X    2 3.4.6. Một số phân phối khác (Sinh viên tự nghiên cứu) 14
4. LÝ THUYẾT MẪU 4.1. Đám đông và mẫu 4.1.1. Đám đông và mẫu a) Đám đông : Khi nghiên cứu về 1 vấn đề người ta thường khảo sát trên một dấu hiệu nào đó. Các dấu hiệu này thể hiện trên nhiều phần tử. Tập hợp các phần tử mang dấu hiệu đó được gọi là tổng thể hay đám đông (population) Ví d ụ 1 : Số cử tri trong 1 cuộc bầu cử, thu nhập của các hộ gia đình ở Tp.HCM … b) Mẫu : Từ tổng thể lấy ra n phần tử và đo lường X * (dấu hiệu cần khảo sát)) trên chúng. Các phần tử này gọi là mẫu (sample). Số phần tử của mẫu được gọi là kích thước của mẫu. 4.1.2. Phân loại mẫu và phương pháp điều tra chọn mẫu a) Mẫu ngẫu nhiên : Một mẫu đư ợc chọn thỏa các đ iều kiện sau đây gọi là mẫu ngẫu nhiên  Các phần tử của mẫu lấy ngẫu nhiên từ M (M là tổng thể).  Các phần tử của M có cùng khả năng được lấy ra làm mẫu.  Các phần tử của mẫu được lấy một cách độc lập với nhau.  Tất cả những mẫu cỡ n cũng có cùng khả năng được chọn từ tổng thể M. b) Mẫu lý thuyết : Ký hiệu X i là giá trị quan sát X trên phần tử thứ i của mẫu. Khi đó ta có một bộ n biến ngẫu nhiên  X 1 ,..., X n  gọi là mẫu lý thuyết lấy từ M thoả :  Các X i có cùng phân phối như X.  Các X i độc lập với nhau c) Mẫu thực nghiệ m : Khi đã lấy mẫu cụ thể xong ta có các số liệu  x1 ,..., xn  gọi là mẫu thực nghiệm lấy từ X d) Phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản : Đánh s ố các phần tử của M từ 1 đến N. Và lập các phiếu cũng đánh số nh ư vậy.Trộn đều các phiếu, sau đó lấy lần lượt có hoàn lại n phiếu. Các phần tử của M có số thứ tự trong phiếu lấy ra sẽ được chọn làm mẫu. 4.1.3. Sắp xếp và trình bày số liệu theo bả ng : a) Bảng thống kê đơn giản i 1 2 3 ... n  1 n X x1 x2 x3 ... xn 1 xn hoặc: x1 x2 x3 ... xn 1 xn Ví d ụ 2 : Đo chiều cao của 10 sinh viên trong lớp Kết quả: 160 155 147 155 168 181 150 163 168 155 (ĐV: cm) b) Bảng tần số : X x1 x2 x3 ... xk 1 xk ni n1 n2 n3 ... nk 1 nk với : n1  n2  ...  nk  n Ví d ụ 3 : Khảo sát lương của 50 công nhân trong một nhà máy. X = Lương tháng của công nhân. (ĐV : Triệu đ/tháng) Lương tháng 1 .2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 >4 15
Số công nhân 1 4 12 8 6 4 4 2 c) Bảng tần số chia khoảng : X  a1 , b1   a2 , b2  ...  ak , bk  ni n1 n2 nk ... với : n1  n2  ...  nk  n a b Chuyển xi  i i , ta thu được : 2 X x1 x2 x3 ... xk 1 xk ni n1 n2 n3 ... nk 1 nk 4.1.4. Phân phối mẫu : m Hàm phân phối mẫu (hay hàm phân phối thực nghiệm) là tỷ số , trong đó : n là kích n m , kí hiệu : Fn  x   , x thước mẫ u, m là số giá trị mẫu X i  x, x  n 4.2. Các đặc trưng c ủa mẫu 4.2.1. Trung bình mẫu a) Định nghĩa : Trung b ình của mẫu ngẫu nhiên WX   X 1 ,..., X n  là một thống kê, kí hiệu X , được xác đ ịnh b ởi : 1n X   Xi n i 1 b) Tính chất : Nếu biến ngẫu nhiên gốc X có kì vọng E  X   m và : 2  ph ương sai Var  X    2 thì E X  m và Var  X   n 4.2.2. Phương sai mẫu a) Định nghĩa : Phương sai của mẫu ngẫu nhiên WX   X 1 ,..., X n  là một thống kê, kí hiệu S 2 , được xác định bởi : 1n 2   S 2   Xi  X n i1 n 1 2 b) Tính chất : Nếu Var  X    2 th ì E  S 2    n 4.2.3. Tỷ lệ mẫu Giả sử tham số p là tỷ lệ các phần tử loại X trên tổng thể M. Xé t mẫu  X 1 ,..., X n  , với X i  1 nếu phần tử th ứ i của mẫ u thuộc loại X, X i  0 nếu ngược lạ i. 16
m Gọi m là số phần tử loại X trên mẫu, khi đó m  X 1  ...  X n và pm  được gọi là tỷ lệ n mẫu (tần suấ t) của các phần tử loại X (trên mẫu) 4.2.4. Phân phối của các đặc trưng mẫu Các phân phối thường gặp : phân phối chuẩn, phân phối Chi - b ình phương, phân phối Student, phân phối Fisher - Snedecor a) Phân phối Chi - b ình phương : Xét Z1 , Z 2 ,..., Z n là n biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hoá, tức là Z i N  0,1 , với n i  1,..., n và Z1 , Z 2 ,..., Z n độc lập với nhau. Đặt : Y   Z i2  Z12  ...  Z n . Khi đó, đại 2 i 1 lượng ngẫu nhiên Y gọi là có phân phối Chi - bình phương với n bậc tự do, kí hiệu :  2 n Y b) Phân phối Student :  2  n  , X và Y độc lập với nhau. N  0,1 và Y Xét biến ngẫu nhiên X X đặt : T  thì đại lượng ngẫu nhiên T gọi là có phân phối Student với n bậc tự do, Y n t n kí hiệu : T 4.3. Ước lượng điểm 4.3.1. Khái niệm Giả sử cần ước lượng tham số  của biến ngẫu nhiên X. Từ X ta lập mẫu ngẫu nhiên   W   X , X ,..., X  . chọn thống kê     X , X ,..., X  . Ta gọi  là hàm ước lượng X 1 2 n 1 2 n của X. thực hiện phép thử ta được mẫu cụ thể w x   x1,..., xn  . Khi đó ước lượng điểm  của  là giá trị  o    x1 ,..., xn  . 4.3.2. Tiêu chuẩn a) Ước lượng không chệch :  Định nghĩa : Thống kê     X 1 , X 2 ,..., X n  được gọi là ước lượng không chệch của   tham số  nếu E     Ý ngh ĩa : Giả sử  là ước lượng không chệch của tham số  . Ta có :      E     E   E        0 vậ y ước lượng không chệch là ước lượng có sai số trung b ình bằng 0 Nhận xét : Trung bình của mẫu ngẫu nhiên X là ước lượng không chệch của trung bình  của tổng thể   E  X   m vì E X  m 17
ví dụ 4 : Chiều cao của 50 cây lim được cho bởi : xio niui2 ui ni ui Khoảng chiều cao (mét) Số cây lim 6, 25  6,75  1 6 ,5 -4 -4 16 6,75  7, 25  2 7 ,0 -3 -6 18 7, 25  7,75 5 7 ,5 -2 -10 20 7,75  8, 25 11 8 -1 -11 11 8, 25  8,75 18 8 ,5 0 0 0 8, 75  9, 25  9 9 1 9 9 9, 25  9, 75 3 9 ,5 2 6 12 9,75  10, 2  1 10 3 3 9 Tổng 50 -13 95 gọi X là chiều cao của cây lim a) Hãy ch ỉ ra ước lượng điểm cho chiều cao trung bình của các cây lim b) Hã y chỉ ra ước lượng điểm cho độ tản mát của các chiều cao câ y lim so với chiều cao trung bình c) Gọi p  P  7,75  X  8,75  . Hã y chỉ ra ước lượng đ iể m cho p. b) Ước lượng hiệu quả  Định ngh ĩa : Ước lượng không chệch  được gọi là ước lượng có hiệu quả của tham số    nếu Var  n hỏ nhấ t trong các ước lượng của   2  Nhận xét : Nếu biến ngẫu nhiên gốc X  N   ,  thì trung bình mẫu X là ước lượng n  hiệu quả của kì vọng E  X    c) Ước lượng vững :  Thống kê     X ,..., X  được gọi là ước lượng vững của tham số  nếu   0 ta có 1 n    lim P       1 n Điều kiện đủ của ước lượng vững     Nếu  là ước lượng không chệch của  và lim Var   0 th ì  là ước lượng n vững của  4.3.3. Phương pháp ước lượng hợp lý cực đại (Sinh viên tự n ghiên cứu) 4.3.4. Một số kết quả 4.4. Ước lượng khoảng tin cậy 4.4.1. Khái niệm 18
Giả sử  X1 ,..., X n  là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối f  x,  ,  U Khoảng 1  X 1 ,..., X n  , 2  X 1 ,..., X n   được gọi là khoảng ước lượng củ a tham số  với độ tin cậy 1   nếu : P 1  X      2  X    1     Lưu ý :  Khoảng 1 , 2  gọi là khoảng tin cậy  1   là độ tin cậy của ước lượng   2  1 là độ dà i khoảng tin cậy 4.4.2. Khoảng tin cậy cho  Giả sử  X1 , X 2 ,..., X n  là mẫu ngẫu nhiên từ phân phố i chuẩn dạng N   , 2  thì khoảng ước lượng của  với độ tin cậ y 1   là : a) Trường hợp  đã biết :      X  x X  x n n b) Trường hợp  chưa biế t : * * t S n  X  t S n  X  X  X n n Chú ý :  Nếu n  30 th ì t tra ở bảng phân phố i chuẩn N  0,1 sao cho   t   1  (Phân vị 2 chuẩn mức ) Nếu n  30 th ì t tra ở bảng phân phối Student với n  1 b ậc tự do và mức ý n ghĩa  (bảng tiêu chuẩn 2 ph ía ) Ví d ụ 5 : Kiể m tra 100 sản phẩm trong lô hàng th ấy có 20 phế phẩm i) Hãy ước lượng tỉ lệ p hế phẩ m c ó độ tin cậy 99% ii) Nế u độ ch ính xác   0,04 thì độ tin cậ y c ủa ước lượng là bao nhiêu ? iii) Nếu muốn có độ tin cậ y 99% và độ ch ính xác 0,04 thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩ m 4.4.3. Khoảng tin cậy cho  2 trong mẫu từ phân phối chuẩn Khoảng ước lượng của phương sai  2 với đ ộ tin cậy 1   là :  n  1 Sn*2  X    2   n  1 Sn*2  X  t2 t1 19
với t1 , t2 được tra trong bảng phân phố i  2 với n  1 b ậc tự do sao cho 1n   2   P   2  t1   1  , P   2  t2   và : S n  X   *2  Xi  X    2 2 n  1 i1 4.4.4. Khoảng tin cậy cho xác suất p trong phân phố i nhị th ức k  Xét xác suất P   p     1   thì khoảng ước lượng của p với độ tin cậy 1   là : n     p px   với p  k p 1 p p 1 p p  x  n n n 4.5. Xác định kích thước mẫu 4.5.1. Vấn đề và cách giải quyết Nếu muốn độ tin cậy 1   và độ chính xác  đạ t ở mức cho trước thì ta cần xác định kích thước n của mẫu. 4.5.2. Kích thước mẫu cho  2 t   Trường h ợp  đã b iế t : n      2 t S  Trường h ợp  chưa biết : n      4.5.3. Kích thước mẫu cho p (tự nghiên cứu) 20