Tập 1 bài tập sức bền vật liệu: Phần 2

Chia sẻ: Thu Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:111

Thêm vào BST

Báo xấu

64
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 của cuốn sách "Bài tập sức bền vật liệu" tập 1 gồm có những nội dung chính sau: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang, thanh tròn chịu xoắn thuần tuý, uốn phẳng thanh thẳng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tập 1 bài tập sức bền vật liệu: Phần 2

CHƯƠNG 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Các định nghĩa y Giả sử trong mặt phẳng tọa độ Oxy có mặt cắt ngang với diện tích F, A (x,y) là một điểm bất kỳ trên mặt cắt F, xung y A quanh A ta lấy 1 phân tố diện tích là dF dF (Hình 4.1)  F O x x 1.1 Mô men tĩnh của mặt cắt đối với một trục Hình 4.1 Mômen tĩnh của diện tích F đối với trục x hay đối với trục y là các biểu thức tích phân sau đây: Sx   ydF Sy   xdF F F Nếu mô men tĩnh của mặt cắt F đối với 1 trục nào đó bằng không thì trục đó gọi là trục trung tâm của mặt cắt. Giao điểm của 2 trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt C(x C, yC) Tọa độ trọng tâm: Sx S yC  xC  y F F Nếu diện tích F bao gồm tổng đại số của nhiều diện tích đơn giản F = Fi thì tọa độ trọng tâm của nó được xác định theo công thức. n n  Fi xi  Fy i i yC  i 1 xC  i 1 F F 1.2 Mô men quán tính của mặt cắt ngang Ta gọi mômen quán tính của diện tích F đối với trục x hay y là các biểu thức tích phân sau đây: 104
J x   y 2 dF J y   x 2 dF F F Mô men quán tính độc cực của diện tích F đối với gốc tọa độ O được xác định bởi tích phân sau đây: J p    2 dF  J x  J y F Ở đây:  - Là khoảng cách từ gốc O tới điểm A(x,y). Mô men quán tính ly tâm của diện tích F đối với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy là biểu thức tích phân: J xy   xydF F Một hệ trục có Jxy = 0 thì được gọi là hệ trục quán tính chính. Như vậy khi đó Jx và Jy gọi là mô men quán tính chính Hệ trục quán tính chính Oxy có gốc tọa độ O trùng với trọng tâm của mặt cắt (Jxy = 0, Sx = Sy = 0) thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. Tương ứng ta có mô men quán tính chính trung tâm. Nếu mặt cắt mà có 1 trục là trục đối xứng thì trục đối xứng là 1 trục của hệ trục quán tính chính trung tâm. Trục quán tính chính trung tâm còn lại sẽ vuông góc với trục đối xứng và đi qua trọng tâm C của mặt cắt. 2. Công thức tính mô men quán tính của một số mặt cắt ngang a) Hình chữ nhật b) Hình bình hành y O x x bh3 3 bh ; hb 3 Jx  Jx  Jy  3 12 12 105
c) Hình tam giác d) Hình tròn y y O x C xC O x  D4 ;  D4 Jx  bh3 ; J xC  bh3 Jx  Jy  Jp  12 36 64 32 e) Hình tròn rỗng f) Hình bán nguyệt y y C xC O x x O  D4  64  ; J xC  1   128  9   D4  D4 Jx  Jy  Jx  Jy  64 1   4  ; 128  D4 Jp  32 1  4  3. Công thức chuyển trục song song của mô men quán tính A(x,y) trong hệ trục Oxy. A(X,Y), O(a,b) trong hệ trục O1XY song song với hệ trục Oxy (Hình 4.2) khi đó ta có: 106
J X  J x  2bSx  b2 F JY  J y  2aSy  a2 F y Y J XY  J xy  aSx  bSy  abF Nếu Oxy là hệ trục quán tính y A trung tâm (Sx = Sy = 0) Y dF JX  Jx  b F 2 O F x b JY  J y  a F 2 x J XY  J xy  abF O1 X a X Nếu Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm (Jxy = 0, Sx = Sy = 0) Hình 4.2 JX  Jx  b F 2 JY  J y  a 2 F J XY  abF 4. Công thức xoay trục của mô men v y quán tính Ouv là vị trí sau khi hệ trục Oxy y A đã xoay đi 1 góc  (Hình 4.3) dF F Jx  Jy Jx  Jy u Ju   cos2  J xy sin 2 2 2 O  x x Hình 4.3 Jx  Jy Jx  Jy Ju   cos2  J xy sin 2 2 2 Jx  Jy sin 2  J xy cos2 Juv  2 Giá trị của các mô men quán tính chính và phương của các trục chính: Jx  Jy 1 J  J y   4 J xy2 2 Jmax   x 2 2 107
Jx  Jy 1 J  J y   4 J xy2 2 Jmin   x 2 2 J xy t g1/2  J x  Jmax min II. CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU Bài 4.1. Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt như hình vẽ: Chọn hệ trục tọa độ gốc ban đầu Oxy. Chia mặt cắt hình thang làm 2 hình là hình I (Hình chữ nhật) và II (Hình tam giác). Gọi tọa độ trọng tâm của mặt cắt là C(xC, yC) Hình 4.1 Tọa độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau: Sy SyI  SyII F I xCI  F II xCII xC    F F I  F II F I  F II 1  4a  4a.6a.2a  4 a.6 a.  4 a   xC  2  3  28  a  3,111a 1 9 4a.6a  4a.6a y 2 Sx SxI  SxII F I yCI  F II yCII yC   I  F F  F II F I  F II I II 1 4a.6a.3a  4a.6a.2a 2 8 yC   a  2,666a 1 3 z 4a.6a  4a.6a 2 O Vậy tọa độ trọng tâm C(3,111a, 2,666a) 108
Bài 4.2. Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt như hình vẽ: Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy. Chia mặt cắt làm 2 hình là hình I (Hình chữ nhật to) và II (Hình chữ nhật bị khoét). Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là C(xC, yC). Tọa độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau: Hình 4.2 Sy SyI  SyII F I xCI  F II xCII xC    F F I  F II F I  F II y  3a  4 a.6 a.2 a  3a.4a.  a   I xC   2   1,5a 4 a.6 a  3a.4a Sx SxI  SxII F I yCI  F II yCII II yC    F F I  F II F I  F II 4a.6a.3a  3a.4a.2a x yC   4a 4a.6a  3a.4a O Vậy tọa độ trọng tâm C(1,5a, 4a) Bài 4.3. Xác định vị trí trọng tâm và tính mô men quán tính đối với X trục trung tâm song song với cạnh x đáy của hình thang cân trên Hình 4.3a Hình 4.3 Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy như hình vẽ 109
Chia mặt cắt làm 3 hình là hình I (Hình chữ nhật giữa), II (Hình tam giác bên trái) và III (Hình tam giác bên phải). Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là C(xC, yC) Do Oy là trục đối xứng nên y  xC = 0 Tung độ trọng tâm C của I hình được tính theo công thức III II sau: C1 X C S S I  SxII  SxIII C2 yC  x  Ix x F F  F II  F III O F I yCI  F II yCII  F III yCIII yC  F I  F II  F III 1 1b b 1b b b.b. b  .b.  .b. 4 yC  2 2 2 3 2 2 3  4 b Vậy tọa độ trọng tâm C(0, b ) 1b 1b 9 9 b.b  .b  .b 22 22 Tính mô men quán tính chính trung tâm JX: J X  J XI  J XII  J XIII  J XI  2 J XII Sử dụng công thức chuyển trục song song để tính các mô men quán tính J XI và J XII 2 b.b3  b 4b  7 J X  J x1  b1 F  I I 2 I     b.b  b 4 12  2 9  81 b 3 .b 2 2  4b b  1 b 11 4 J X  J x 2  b2 F  II II 2 II    .b  b 36  9 3  2 2 648 7 4 11 4 13 4 J X  J XI  2 J XII  b  2. b  b 81 648 108 Bài 4.4. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt. 110
Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy như hình vẽ. Chia mặt cắt làm 2 hình là hình I (Hình chữ nhật dưới), II (Hình chữ nhật trên). Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là C(xC, yC) Do Oy là trục đối xứng nên  xC = 0 Hình 4.4 Oy là 1 trục quán tính chính trung tâm. Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau: Sx SxI  SxII F I . yCI  F II . yCII yC    F F I  F II F I  F II 0  b.8b.(b  4b) yC   2b 6b.2b  b.8b Như vậy ta tìm được tọa độ trọng tâm của mặt cắt C(0,2b).  Từ đó xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY. Tính mô men quán tính chính trung tâm: JX, JY 2b.(6b)3 8b.b3 110 4 JY  JYI  JYII    b 12 12 3 J X  J XI  J XII Áp dụng công thức chuyển trục song song: 6b.(2 b)3 J X  J x 1  b1 F  I I 2 I  (2b)2 .6b.2b  52b 4 12 111
b.(8b)3 344 4 J X  J x 2  b2 F  II II 2 II  (3b)2 .b.8b  b 12 3 344 4 500 4 J X  J XI  J XII  52b 4 b  b 3 3 Bài 4.5. Tìm hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt. Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy như hình vẽ Chia mặt cắt làm 3 hình là hình I (Hình chữ nhật trên), II (Hình chữ nhật dưới bên trái) và III (Hình chữ nhật dưới bên phải) Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là C(xC, yC) Do Oy là trục đối xứng nên  xC =0 Oy là 1 trục quán tính chính trung tâm Hình 4.5 Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau: Sx yC  y2 y=Y F Mô men tĩnh của mặt cắt đối với trục x. x Sx  SxI  SxII  SxIII  F I yCI  F II yCII  F III yCIII O I X Sx  0  a.10a.(6a)  a.10a.(6a)  120a3 C x2 C2 Diện tích của mặt cắt ngang: III II F  F I  F II  F III  6a.2a  a.10a  a.10a 112
F  32a2 120a3 yC   3,75a 32a2 Ta tìm được tọa độ trọng tâm của mặt cắt C(0,-3,75a)  Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm là XCY Tính mô men quán tính chính trung tâm JX, JY JY  JYI  JYII  JYIII  JYI  2 JYII 2a.(6a)3 JYI   36a 4 12 2 10a.a3  3  70 JY  J y 2  a2 F  II II 2 II   a  .a.10a  a 4 12 2  3 70 4 248 4 JY  JYI  2 JYII  36a 4  2. a  a 3 3 J X  J XI  J XII  J XIII  J XI  2 J XII Áp dụng công thức chuyển trục song song để tính J XI và J XII 6a.(2a)3 J X  J x 1  b1 F    3,75a  6a.2a  172,75a 4 I I 2 I 2 12 a.(10b)3 3215 4 J XII  J xII2  b22 F II   (2,25a)2 .a.10a  a 12 24 3215 4 J X  J XI  2 J XII  172,75a 4  2. a 24 y yo 1322 4 JX  a  440,666a 4 3 x Bài 4.6. Cho mặt cắt gồm 2 thép chữ I O No24, hãy xác đinh khoảng cách c giữa 2 I II mặt cắt để có Jx = Jy (Mặt cắt hợp lý). Do mặt cắt có 2 trục Ox và Oy đều là các trục đối xứng của mặt cắt. Hình 4.6  Hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. 113
Ta chia mặt cắt làm 2 phần là I và II. Mô men quán tính chính trung tâm Jx và Jy: J x  J xI  J xII  2 J xI J x  2.3460  6920 cm 4 J y  J yI  J yII  2 J yI (Do 2 phần đối xứng nhau qua trục y) Sử dụng công thức chuyển trục song song ta có 2 c J y  J y 0  a F  198    .34,8 I I 2 I 2  c 2  4 J y  2.  198    .34,8  cm  2  Do mặt cắp hợp lý ta có Jx = Jy  c 2  2.  198    .34,8   6920  2  Giải phương trình ta tìm được c = 19,36 cm. Bài 4.7. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính các mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt như hình. Chọn hệ trục tọa độ ban đầu Oxy Chia mặt cắt làm 2 hình là hình I (Hình chữ nhật dưới) và II ( Nửa hình tròn phía trên) Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là C(xC, yC) Do Oy là trục đối xứng nên  xC = 0 Hình 4.7 Oy là 1 trục quán tính chính trung tâm Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau: Sx yC  F Mô men tĩnh của mặt cắt đối với trục x. 114
Sx  SxI  SxII  F I yCI  F II yCII 1  4r  Sx  0   .r 2   20   9315 cm 2  3  Diện tích của mặt cắt ngang: 1 1 F  F I  F II  12.40   .r 2  12.40   .152 2 2 F  833,25 cm 2 Sx 9315 yC    11,179 cm F 833,25 Ta tìm được tọa độ trọng tâm của mặt cắt C(0;11,179)  Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm là XCY y Tính mô men quán tính chính trung II tâm JX, JY 40.123 1  d 4 JY  JYI  JYII   X 12 2 64 C x 40.123 1  (2.15)4 JY   . O I 12 2 64 JY  25630,3125 cm 4 J X  J XI  J XII Áp dụng công thức chuyển trục song song để tính J XI và J XII 12.(40)3 J X  J x 1  b1 F   11,179  .12.40 I I 2 I 2 12 J XI  123985,62 cm 4 J XII  J xII2  b22 F II 1  d 4  4r   r 2 1  (2r )4  4r   r 2 2 2 Jx 2  II      2 64  3  2 2 64  3  2 1  (2r )4  4r   r 2  4r  r 2 2 2 J xII      20  11,179  2 64  3  2  3  2 115
1  (2.15)4  4.15   152  4.15   .15 2 2 2 Jx  II      20  11,179  2 64  3  2  3  2 J xII  87051,21 cm 4 J X  J XI  J XII  123985,62  87051,21  211036,83 cm 4 Bài 4.8. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ghép sau đây Tra bảng thép hình ta được: y=y1 Y y2 o Đối với mặt cắt [N 22a II 100x100x10 F  28,6 cm , xO1  2,47 I 2 x2 cm O2 X J xI1  2320 cm , J yI1  186 4 C cm4 x=x1 Đối với mặt cắt 100x100x10 O=O1 F II  19,2 cm2, yO 2  2,83 cm No24a JmIIax  J xII0  284 cm 4 I  J yII0  74,1 cm II 4 Jmin J xII2  J yII2  179 cm 4 Hình 4.8 Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt Chia mặt cắt làm 2 phần là I (Thép chữ [No22a) và II (Thép góc đều 100x100x10) Chọn hệ trục x1O1y1 làm gốc ban đầu, đối với hệ trục này Sx1  SyI1  0 I SxII1  F II . yCII  19,2. 11  2,83  157 cm 3 SyII1  F II . xCII  19,2.  2,46  2,83  102 cm 3 Vậy trong hệ trục tọa độ gốc ban đầu tọa độ trọng tâm C 116
Sx1 SxI1  SxII1 0  157 yC   I   3,28 cm F F F II 28,6  19,2 Sy1 SyI1  SyII1 0  102 xC     2,13 cm F F FI II 28,6  19,2 Tọa độ trọng tâm C(2,13;3,28) Từ đó ta xác định được hệ trục trung tâm XCY của mặt cắt như trên hình vẽ. Trong hệ trục tọa độ này trọng tâm O1 của hình I là: a1 = XO1 = -2,13 cm b1 = YO1 = -3,28 cm Trọng tâm O2 của hình II là: a2 = XO2 = 3,17 cm b2 = YO2 = 4,89 cm Xác định mô men quán tính JX, JY của mặt cắt đối với hệ trục trung tâm. J X  J XI  J XII J XI  J xI1  b12 F I  2320  3,282.28,6  2627,69 cm 4 J XII  J xII2  b22 F II  179  4,892.19,2  638,11 cm 4  J X  J XI  J XII  2627,69  638,11  3265,8 cm 4 JY  JYI  JYII JYI  J yI1  a12 F I  186  2,132.28,6  315,75 cm 4 JYII  J yII2  a22 F II  179  3,172.19,2  317,93 cm 4 JY  JYI  JYII  315,75  317,93  633,68 cm 4 J XY  J XYI  J XYII  J xI y  a1b1 F I  J xII y 2  a2 b2 F II 1 1 2 J XY  0  a1b1 F  J x y 2  a2 b2 F  602,5 cm I II II 4 2 Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm Hệ trục quán tính chính trung tâm là hệ trục nhận được khi quay hệ trục trung tâm đi một góc o: 117
2 J XY 2.602,5 tg 2 0    0,4578 JY  J X 633,68  3265,8 o1 = -12030'; o2 = -102030' Xác định mô men quán tính chính trung tâm: J X  JY 1  J X  JY  2 J1,2    4 J XY 2 2 2 J X  JY 1  J X  JY  2 4 J1  Jmax    4 J XY 2  3407 cm 2 2 J X  JY 1  J X  JY  2 4 J2  Jmin    4 J XY 2  547,5 cm 2 2 III. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 4.1. Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt như trên hình vẽ: (a) (b) Hướng dẫn: a) Chia mặt cắt làm 3 hình I, II và III Sử dụng công thức tính tọa độ trong tâm: 1 1 2 F  F I  F II  F III  6.3  6.6  6.9  72 cm 2 2 Sx  SxI  SxII  SxIII  F I yCI  F II yCII  F III yCIII 118
1 1 3 Sx  6.3.7  6.6.3  6.9.6  333 cm 2 2 Sx 333  yC    4,625 cm F 72 1 1 3 Sy  6.3.4  6.6.3  6.9.8  360 cm 2 2 Sy 360  xC    5 cm F 72 b) Chia mặt cắt làm 2 hình I (Hình vuông) và II (1/4 hình tròn) Do mặt cắt đối xứng: Sx yC  xC  F  6a  2 FF FI II  6a.6a   4  6a  3 Sx  Sx  Sx   6a  3a   36a3 I II 2 3 3 36 a yC  xC   4,651a  6a  2 6 a.6 a   4 Bài 4.2. Xác định vị trí trọng tâm của các mặt cắt cho trên hình vẽ: 119
(a) (b) Hướng dẫn: a) Chia mặt cắt làm 2 hình I (Hình chữ nhật) và II (Hình tam giác) Do mặt cắt đối xứng:  xC  0 1 F  F I  F II  4a.8a  2a.3a  29a 2 2 1 Sx  SxI  SxII  4a.8a.4a  2a.3a.5a  113a 3 2 Sx 113a3 yC    3,896 a F 29a 2 b) Chia mặt cắt làm 3 hình I (Hình chữ nhật), II (Hình tam giác) và III (Nửa hình tròn) Do mặt cắt đối xứng:  xC  0 1 1   F  F I  F II  F III  4a.8a  2a.4a   a 2   28   a 2 2 2  2 1  2  1 4a Sx  SxI  SxII  4a.8a.4a  2a.4a.  6a  .2a    a 2 .  98a 3 2  3  2 3 120
Sx 98a3 yC    3,708a F   2  28   a  2 Bài 4.3. Xác định mô men quán tính chính trung tâm của các hình dưới đây: (a) (b) Hướng dẫn: a) Mặt cắt có 2 trục đối xứng là Ox và Oy Hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm. 2a.  3a  2a.a3 13 4 3 4 Jx  Jx  Jx  I II   a  526,5 cm 12 12 2 3a.  2a  a.  2a  4 4 3 3 4 Jy  Jy  Jy  I II   a  108 cm 12 12 3 a) Mặt cắt có 2 trục đối xứng là Ox và Oy Hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm.   4a  4 2a.a3 4 Jx  Jx  Jx  I II   12,226a 4  990,36 cm 64 12   4a  a.  2a  4 3 4 Jy  Jy  Jy  I II   11,893a 4  963,36 cm 64 12 121
Bài 4.4. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt như trên hình. (a) (b) Hướng dẫn: a) Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau: Sx SxI  SxII yC   F F I  F II 0  6.14.2 yC   1,272 cm 12.18  6.14 Trọng tâm C(0,-1,272)  Từ đó xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY 18.123 14.63 4 JY  JYI  JYII    2340 cm 12 12 J X  J XI  J XII 12.183 J XI  J xI1  b12 F I   1,2722.12.18  6181,484 12 6.143 J X  J x 2  b2 F  II II 2 II  3,2722.6.14  2271,302 12 J X  J X  J X  3910,182 cm I II 4 122
b) Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau: Sx SxI  SxII yC   F F I  F II 0  10.30.25 yC   9,615 cm 12.40  10.30 Trọng tâm mặt cắt C(0,9,615) Hệ trục quán tính chính trung tâm XCY 40.123 10.303 4 JY  JYI  JYII    28260 cm 12 12 J X  J XI  J XII 12.403 J XI  J xI1  b12 F I   9,6152.12.40  108375,148 12 30.103 J XII  J xII2  b22 F II   15,3852.30.10  73509,467 12 J X  J XI  J XII  108375,148  73509,467  181884,615 cm 4 Bài 4.5. Tính trọng tâm và tính mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt như trên hình. Hướng dẫn: Trọng tâm C của mặt cắt: xC  0 Sx SxI  SxII yC   F F I  F II 123