Tập 2: Động học và động lực học - Cơ học cơ sở: Phần 2

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:112

Thêm vào BST

Báo xấu

141
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 bao gồm các nội dung như: Động lực học về nguyên lý di chuyền khả dĩ, nguyên lý Đalămbe-Lagrăng, va chạm; các bài tập về động học và động lực học. Tài liệu này là Tài liệu cần thiết cho sinh viên Trường Đại học Kiến Trúc Hà Nội, đồng thời cũng là Tài liệu tốt cho sinh viên các trường đại học kỹ thuật khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tập 2: Động học và động lực học - Cơ học cơ sở: Phần 2

Chương V N(rUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ Trong phần tĩnh học ta đã tìm được điều kiện cân bằng của cơ hệ, bao gồm các vật thê liên kết với nhau, bằiig cách xét càn bằng từng vật thể, thay thế các liên kết bằng các phản lực liên kết tương ứng. Tuy nhiên, nếu cơ hệ có nhiều vật thể, số lượng các phản lực liên kêì chưa biết tăng lên, ta phải giải một số lớn các phương trình cân bang. Nguyên lý di cluiyến khá dĩ được trình bày dưới đây khắc phục được khó khăn nêu trên, cho ta các điều kiện cân bang lống quát cúa một cơ hệ không tự do bất kỳ. 5.1. CÁC KHÁI NIỆM VỂ C ơ HỆ KHÔNG T ự DO 1. Lién kết a) Đ ịnh nghĩa: Liên kết là các điều kiện ràng buộc chuyển động của cơ hệ, không plụi thuộc vào lực lác dụng và các điểu kiện ban đầu của chuyến động. Các điều kiộn này được ciiển tả dưới dạng các hệ thức giữa các yếu tố xác định vị trí, vận tốc của chất diểni của liệ và tliừi gian. Người ta gọi các hệ thức ấy là các phương trình liên kết. Ví dụ: đối với cơ cấu tay quay thanh truyền ta có các phương trình liên kết sau (hình 5.1). = r" A chuyển động tròn quanh o (X|ị =/■ AB = / Yịị = 0 B chiiycn động theo trục X Bánh xe tròn bán kính R tàm o chuyển động lãn khòng trượt trên đường Iháng Ox là cơ hệ chịu các liên kết sau (hình 5.2): = 0; >'(. ^ R ; Vp = 0 Hình 5.1 Hình 5.2 08
b) Phán loại liên két Căn cứ vào các phưcíng trình liên kết có thế phân loại liên kết như sau: - Liên kết íìừiìg: Nếu phưcmg trình liên kết không chứa rõ đối số thời gian t thì liên kết được gọi là liên kết dừng. Ngược lại là liên kết không dừng. Ví dụ: Viên bi được buộc vào đầu dây không giãn dài /, treo vào một điểm cố định chịu liên kết dừng với phương trình liên kết: + Z" = /■ Hòn bi chuyển động trên mặt cầu có bán kính thay đổi theo luật r = r(t) chịu liên kết không dímg với phươiig trình liên kết; X + y + z - r (t) = 0 - Liên kết hình học: là liên kết chỉ ràng buộc về vị trí không ràng buộc về vận tốc. Phương trình liên kết của liên kết hình học chỉ chứa các yếu tố xác định vị trí mà không chứa các yếu tố xác định vận tốc, hoặc nếu chứa các yếu tố vận tốc thì có thể tích phân trực tiếp để có phương trình liên kết tươiig đưofng không chứa yếu tố vận tốc nữa. Ví dụ: Viên bi được buộc vào dây treo vào một điểm cố định (hình 5.3). - Liên kết cíộììiị học là liên kết ràng huỏc các yếu tố vận tốc. o ////// Trong phương trình liên kết có chứa các yếu tố vận tốc. - Liên kết iỊÌữ: Nếu liên kết được niò tả chỉ bởi những đẳng thức thì nó được gọi là liên kết giữ. Ngươc lại là liên kết không giữ. Trong chưcfng này ta chỉ xét các liên kết dừng, giữ và hình học. Phương trình liên kết này có dạng; M (x,y,z) fj (X |,y|,Z |,...,x,j,y,^ ,Z |,) = 0 (j = l , 2 , ..... ,s ) H ì n h 5.3 c) P hân loại cơ hệ Ta phân các cơ hệ thành hai loại cơ hệ tự do và cơ hộ không tự do. Cơ hệ không tự do là cơ hệ chịu ràng buộc bởi các liên kết. Cơ hệ này lại được phân thành 2 loại; cơ hệ Hôlônôm và cơ hệ không Hôlônôm. Nếu mọi liên kết của cơ hệ đều là liên kết hình học thì cơ hệ được gọi là Hôlônôm. Nếu cơ hệ có ít nhất một liên kết động học thì nó có được gọi là không Hôlồnóm. Cơ hệ không chịu ràng buộc bởi bất kỳ liên kêì nào được gọi là cơ hệ tự do. 2. T ọa độ suy rộng của cơ hệ Trước đây để xác định vị trí của chất điểm hay cơ hệ ta đã dùng các véctơ bán kính định vị, các tọa độ Đề Các, tọa độ tự nhiên của các chất điểm. Nhưng nếu chú ý đến kết cấu của hệ thì việc xác định vị ti í của hệ còn đơn giản hơn nhiều nhờ cách chọn một số thòng sô' định vị thích hợp cho cơ hệ ấy. 109
V í dụ: Vị trí của vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định được hoàn toàn xác định khi biết góc định vị (p của nó. Cơ cấu tay quay thanh truyền có thông sô' định vị là góc (p giữa tay quay và trục nằm ngang (hình 5.4). Định ngìũa: Các thông số định vị của cơ hệ trong một hệ quy chiếu nào đó được gọi là những tọa độ suy rộng của c ơ hệ ấy. Ta thường ký hiệu tọa độ suy rộng của cơ hệ là q,, q 2,- -qr ■Nếu các thông sô' qj(j = 1, 2 ,..., r) độc lập với nhau và vừa đủ để xác định vị trí của hệ ta gọi chúng là các tọa độ đủ của cơ hệ. Nếu các tọa độ suy rộng phụ thuộc nhau trong các phương trình liên kết ta gọi chúng là các tọa độ dư. Đối với cơ hệ bất kỳ ta có thể dùng tọa độ đủ hay tọa độ dư để xác định vị trí của nó. Chẳng hạn đối với cơ cấu tay quay thanh truyền (hình 5.4), ta có thể chọn một tọa độ đủ là q = 9 hoặc 2 tọa độ dư: q, = (p, q, = . Với phương trình liên kết: rsincp - /sin V|/ = 0 Hoặc chọn 3 tọa độ dư là: q. = Xa; q. = Ya; q3 = íp Với 2 phương trình liên kết: H ình 5.4 ^Ẳ+yẲ -rcosọ Chú ý là các tọa độ suy rộng có bản chất vật lý bất kỳ: độ dài, góc, điện lượng... 3. Di chuyển khả dì và sô bậc tự do cua cơ hệ a) D i chuyển khả d ĩ của cơ hệ Định nghĩa: Di clìitỵểìi khả d ĩ của cơ hệ là di chuyển vô ci)iìíỊ hé từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận nià cơ hệ thực hiện được phù hợp vói liên kết ở vị trí âang .xét đó. Gọi ĩị^ là véc tơ bán kính định vị của chất điểm Mj. ở thời điểm khảo sát, ĩ|^ là véc tơ bán kính định vỊ của chất điểm này ở vị trí M'|. lân cận của M|,. Véc tơ: S7ị^ = ĩk ~ ĩk chuyển khả dĩ của chất điểm M|,. Ví dụ: Xét chất điểm chuyển động trên một đưòfng cong. Di chuyển khả dĩ của cliâì điểm M được biểu diễn bằng véc tơ vô cùng bé ôr tiếp tuyến với đường cong tại M. Xét chuyển động của chất điểm M trên một mặt cong, khi đó di chuyển khả dĩ của chất điểm được biểu diễn bằng véc tơ vô cùng bé ôr tiếp tuyến với mặt cong tại M (hình 5.5). 10
ỵrrrrrT ^m ^ b) S ổ bậc tự do của cơ hệ Định nghĩa: Sô hậc tự do í iia cơ hệ lủ sô tôi đa các di clìiiyểii khả (lĩ độc lập tuyến tinlì của l ơ hệ ấy. Ví dụ: Xét chất điểm chuyển động trèn đường cong, gọi ỗQ là véctơ vô cùng bé nào đó tiếp tuyến với đường cong tại M. Mọi di chuyển khả đĩ của chất điểm đều được biểu diễn qua véctơ này: ỗ r = ẦỗQ ■Trong đó Â là một số thực nào đó. Như vậy số di chuyển kha dĩ độc lập tối đa của chất điếm là inôt, do đó nó có một bậc tự do. Xét chuyên động của chất điếm M Irêii mặt cong. Gọi ô|,ỗo là hai di chuyển khả dĩ không cùng phương nào đó của M, khi dó mọi di chuyển khả dĩ của M đều được biểu diễn dưới dạng: ô r = Ằ,|ô| +ẰtÔ 2 . Trono ció là các sô thực nào đó. Như vậy chất điếm có 2 bậc tự do, vì nó có hai di chuyển khả dĩ độc lập tối đa. c) Quy tắc thực hành tim số bậc tự do của cơ hệ Cho cư hệ với r tọa độ suy rộng C||, qỊ,..., C|, và s phương trình liên kết hình học dạng; 9 a ( q p q 2 ’..... = (a- - Biểu diễn di chuyển klìcỉ d ĩ díu hệ qua các ÍỊ. Xét hai vị trí lân cận của cơ hệ xác định bởi 2 tâp hợp giá trị của các tọa độ suy rộng và Theo định nghĩa di chuyển khả dĩ, cácqjVà q' v ớ i j = 1, 2 ,... r phải thoả mãn các phương trình liên kết. ệ „ ( q i , q 3 , ... ,q j = 0 ,’) = 0 Ký hiệu; ỗq, = q'| - q |,...,ỗ q , = q; - q , gọi là các biến phân của tọa độ suy rộng. Như vậy các biến phân ỗq j phái thoả mãn hệ thức: -(Ị)gj = 0 ( a = 1,2,.....,s) Vậy; Một di chuyển khả dĩ bất kỳ của cơ hệ được biểu diẻn bằng một tập hợp những biến phân của các tọa độ suy rộiig: Ôq|,ỗq 2 ,...,ôq, với điều kiện; 11
Ôa = < ỉ > a - < ỉ ’a = 0 ( a = l,2....,s) - Quy tác: Tim số bậc tự do của cơ hệ. Xét hệ Hôlônôm với n tọa độ suy rộng đủ q |, q-,,... q„. Khi đó các biến phân ô q p ỗ q , , .... ôq„ độc lập vói nhau và do đó các di chuyến khả dĩ sau đây của cơ hệ là độc lập với nhau. ỗj(ôq, = 0 ,ỗ q 2 = 0 ,...,ôqj = 0 ) (j = l, 2 ,...,n) Ngoài ra có thể biểu diễn mọi di chuyển khả dĩ của hệ qua n di chuyên khả dĩ độc lập này: (ỗ q ,,ỗ q 2 , . . . , Ô q J - X ¥ j j=i Như vậy n di chuyển khả dĩ ôj trên là độc lập và tối đa. Vậy, đối với cơ hệ chịu liên kết hình học số bậc tự do m của cơ hệ đúng bằng số tọa đ ộ su y rộng đủ của c ơ hệ ấy; m = n Tổng quát hơn nếu các tọa độ (j = 1, 2,...r) đã chọn là các tọa độ dư với s phương trình liên kết hình học tối đa và độc lập với nhau thì số bậc tự do của hệ là. m=r- s 4. Liên kết lý tưởng, lực suy rộng a) Công của lực trong di chuyển khả d ĩ Cho lực F tác dụng lên chất điểm M. Gọi ôr là một di chuyển khả dĩ bất kỳ của chất điểm ấy ta có. Định nghĩa: Công của lực F trong di chuyển khả dĩ ôr của chất điểm là lượng đại số: ÔA = F.ôĩ Có thể biểu diễn công của lực dưới các dạng khác sau: ÔA = Xôx + Yôy + Zôz ÔA = P ỗ s.c o sa trong đó; X, Y, z là hình chiếu của F lên 3 trục của hệ tọa độ Đề Các vuông góc, a là góc lập giữa F và vận tốc V của chất điểm. Hình 5.6 b) Liên kết lý tướng Đị n h nghĩa: Nếu tổng công nguyên tố của các phản lực liên kết trong mọi di chuyển khả đĩ của cơ hộ đều triệt tiêu thì ta nói rằng cơ hệ đó chịu liên kết lý tưỏng. 112
Xét cơ hệ có n chất điểm. Gọi N|, là phán lực liên kêì tác dụng lên chất điểm M|,,ôr|j là véctơ di chuyển khả dĩ bất kì của nó, theo định nghĩa trén ta có. Ẻ N i 8 r> = 0 (5.2) k=l V í dự: Chất điểm M chuyển đông trên măt cong hoàn toàn trơn có di chuyển khả đĩ là véc tơ ôr tiếp tuyến với mặt cong, còn phán lực liên kết N hướng theo phương pháp tuyến vuông góc với ỗr nên N.ôr = 0 vì vậy liên kết này là liên kết lí tưcmg. Trong thực tế nếu bỏ qua được ma sát và tính đàn hồi của vật thể tạo thành cơ hệ thì đa số cơ hệ thường gặp thoả mãn định nghĩa liên kết lý tưởng. Có thể chứng minh các cơ hệ sau đây chịu liên kết lý tưởng: - Vật rắn tự do - Vật rắn tựa lên mặt tựa rắn và nlián - Vật rắn lăn không trượt trên mặt tựa rán - Khớp nối bản lể trơn giữa hai vật - Liên kết dây - Dây mềm vắt qua ròng rọc cố định khôiig ma sát - Dây mềm vắt qua ròng rọc động và bỏ í|ua sự trượt giữa dày vứi ròng rọc. Chú ý: Trong trường hợp không bò tỊUil được niii Tá\ và đàn hổi của vạt thể, ta coi các lực ma sát và đàn hồi là các lực hoạt động. Như vậy vẫn dùng được khái niệm liên kết lý tưởng cho cơ hệ. c) Lực su y rộng Xét cơ hệ có n chất điểm. Giả sử các tọa độ đủ của cơ hệ là q,, q„ ...q,. Gọi r^. là véctơ bán kính định vị của chất điểm Mj, cìia hệ. Như vậy ĩị^ sẽ là hàm của các tọa độ suy rộng và thời gian t: \ = 7,, (q |,q 2 ,...,q^,t). Ổ* ổ~* ỡ" Do đó biến phân của ĩị. có dang: ỗr,. = — ỗ q , + - ^ 5 q o + ...+ - ^ ô q r ổq, ỡqọ ■ ổq^ Kí hiộii Fj. là lực tác dụng lên châì điểm Mj. của hệ. Ta tính tổng công nguyên tố của các lực hoạt động trên một di chuyển khá dĩ bất kỳ của hệ: ĩ, ôq, +.... + - ^ ỗ qĩ , . k=! k=l k=l ổqr ôq, + ôqr k=i 113
Đặt; Q, = ; ...... ; Q r = (5.3) k=i ổq, Ta viêì được: + Ọ 2ỗqT + .......+ Q |ỗ‘^lr = (5.4) k =l j=l IAI Tliứ nguyên của Qj là ỊQ: ị = ----- nghĩa là nó có thír nguyên của công/đô rời. lqjl Vì vậy người ta gọi Qj là lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng qj. Địnlì nghĩa: Lực suy rộng Qj ứng với tọa độ suy rộng là đại lượng vô hướng được biếu thị bằng hệ số của biến phân tương ứng ôq^ trong biểu thức tổng công của các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển khả đĩ bất kỹ của cơ hệ. Đê’ tính lực suy rộng Qj có thế dùng các phương pháp sau: . Cho hệ di chuyển khả đĩ bất kỳ, tính tổng công của các lực hoạt động trên di chuyển khả clT đó, lìm lực suy rộng Qj theo công thức (5.3) . Cho hệ một di chuyên khả dĩ đặc biệt trong đó ôqj 0; ôq,, = 0 với k j. Tính tống công của các lực hoạt động trên di chuyển khả dĩ này ta được ẳ ỗ A | = Ọ,ôcỊj suy ra Qj = k 1 Nếu các lực hoạt động là các lực có thế và hàm thế năng n được biếu diển qua cấc tọa độ suy rộng: n =n (qi, 4 :, q,) thì các lực suy rộng được lính theo còng thức; Q, = - f ĩ ( j = 1 ,2 . ...,r) (5.5) «3q, Tliật vậy theo công thức líiih công của các lực hoạt động; ẺSA, = Ỳ ( X , ò x , + Y , 8 y , +Z ^5z^) (*) k-1 k =I k =l trong đó: Tliay vào (*) và đổi thứ tự lấy tổng ta được: / II r [ 11 ỡx ỡ z, Ẻ x 8 qj k -ỉ J=I \ k - l 14
k=l^ ỠC:j Tliay X|,, Y^_, Z|^ bằng công tlurc (3,44) ta có: n í - Ọ .^ .ỷ íiL « ^ + íĩi^ + ^ ^ L _ Ể n ^ k -"'^k f^qj J ổqj Đó là điều cần chứng minh. 5.2. NGUYÊN LÝ DI CHU YẾN KHA DĨ 1. Nguyên lý Điứii kiện cầỉì và đủ c í ể c ơ lỉệ í lỉỊii liơỉi kếĩ ílíOỉ ^ và lý ĩi íà r ỵ càỉỉ hằỉìi' à vị ĩrí cỉa/ìi^ .xét lù Ỉổỉiíỉ c ô i ì ^ cỉUi c ú c lự c l ỉo ạ ĩ dỘỊì^ ĩroỉì\> nioỉ d i í liỉiyếỉi klui (lĩ Cỉia c ơ h ệ t ử vị t r í ấ y déit iriệĩ tiên, (5.6) k= l C hứng m inh: - Điểu kiện cần: Giả sử cơ hệ câii bằne ỏ' \ ị trí dang xél. Gọi ỉ^|, và N|, là họp các lực hoạt động và các phán lực liên kết lác cÌỊin
Thật vậy giả sử ở một thời điểin nào đó cơ hệ khởi động từ vị trí đang xét, thì độ biến thiên động năng của hệ sẽ dương. Theo định lý động năng dạng vi phân ta có; dT = X d A , + X d A Í ‘ = X F k d r ^ + Ề N ^ d ĩ > 0 (*) k=l k=l k=l k-1 Vì hệ chịu liên kết lý tưởng nên: ^N|^dr|^ = 0 k= l Vì hệ chịu liên kết dừng nên di chuyển thực của hệ sẽ trùng với một di chuyển khả đĩ n của hệ d \ =ỗrj^,do đó từ (*) ta có^Fj^ôrj^ > 0 . Điều này trái với giả thiết là trong mọi k=l n di chuyển khả đĩ của hệ ^Fj(ôr|^ = 0. Vậy cơ hệ không thể khởi động từ vị trí cân bằng k=l đang xét được. Chú ý: Nguyên lý di chuyển khả đĩ thường được dùng để tìm điểu kiện cân bằngcủa cơ hộ không tự do, xác định phản lực liên kết của các kết cấu hoặc tìm điểu kiện cân bằng tương đối của cơ hệ. 2. Phương trình căn bằng tổng quát của cơ hệ không tự do Để tiện sử dụng sau này ta sẽ viết điểu kiện cân bằng của cơ hệ không tự do i5.6) dưới các dạng khác nhau. a) D ạng véctơ: k=l b) D ạng tọa độ Đ ề Các: Gọi X|,, Y|^, Z|^ và SX|j,8 y|^, 6 zj^ là hình chiếu của lực F|^ và 5ĩF^ lên các trục của hè tọa độ Đề Các vuông góc. Từ phưoTig trình (5.6) ta có: = Ẻ F k -« l< + Y k 8 y^ + Z , 6 z J k=l k=l k=l Vì vậy điều kiện cân bằng của cơ hệ không tự do dưới dạng tọa độ ĐềCác là : ẳ (X ^ 8 x ^ + Y ^ 5 y ^ + Z ,6 z O -0 6;7) k =l Chú ỷ: Biểu thức (5.7) là phương trình biến phân, nó tương đương với một hệ phioTig trình đại số. 116
c) D ạng tọa độ suy rộng Giá sử cơ hệ có r tọa độ suy rộiiíi dù. Ta dã biết: = ^Q -ô q k 1 J -- i Vì các tọa độ suy rộng là các tọa dộ dủ nên các biến phân ôqịđộc lập với nhau. Từ phương trình: k= i Q, = 0 ;Q , = 0 ;...,Q , = ơ (5-8) Biêu thức (5.8) là điều kiện cân bàne cua cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng, hình học, lý tướng dưới dạng tọa độ suy rộng. V í dụ I : Thanh trọng lượng Q đãl trén 2 COII lân đồng chài Irọng lượng p. Tim lực F tác dụng dọc theo thanh đế ihanh và các con lãn đứiiiỉ >'ên trên mặt phắng nghiêng góc a so với mặt phẳng ngang. Bó qua sự trưcít 2 Ìữa thanh và con lăn cũng như giữa con lăn và mặt pháng nghiêng. Bỏ qua ma sát lãn (hình 5.7). Bài iỊÌảỉ: Xét cơ hệ gồm thanh và 2 COII lãn. Nếu bo qua rna sát lăn thì cơ hệ chịu liên kết lý tưởng. Hệ có một bậc lự do. chon loa dò suy rộng đủ q = s. Các lực hoạt động tác dụng lên hệ gồm trọng lượng Q, trontỉ lươna p và lưc F , Cho hệ di chuyển khá đĩ: tlianh dịch chuyển lên trên một đoạn ôs. Vì tàm vận tốc tức thời của 2 con lăn ở các điểm tiếp XLÍC gÌLÌa con lăn và mặt nghiêng nên; V = 2V^. suy ra: 2ỒS(.. = 6 s (a) llie o nguyên lý di chuyên khá dì, dicu kiện cân băng của cơ hệ là: ZòA|^ = F ồ s - Q s ị i i a Ổ s - 2 P . s i n a ò S ( - = 0 (b) Thay (a) vào (b) ta được: (F - Ọsin a - p.sin ơ)ỗs = 0 Theo
V í dụ 2: Cho hệ dầm chịu lực như , Q hình vẽ (5.8). Tim phản lực ở gối c và B c ±E mômen tại ngàm A. Bỏ qua trọng lượng 2a 2a của các thanh. Bùi giải: h) Q • Đê tính được phản lực ở c, ta tháo B bỏ gối đỡ c , thay thế nó bằng phản lực liên kết R(^. Ta được hệ có một bậc tự c) do với một tọa độ suy rộng đủ q = (p là góc lập giữa BC và phương ngang. Các lực hoạt động tác dụng lên hệ gồm p, Q, R c Cho hệ một di chuyên khả dĩ, trong đó BC quay một góc 5(p (xem hình 5.8b). Ta tính tổng công của các lực hoạt động trên di chuyển khả dĩ đó. =2aPÔ (p-4aR eỗẹ = (P -2 R c)2 aô (p Theo (5.8) điều kiện cân bằng của cơ hệ là: Q ^= (P -2 R c)2 a= 0 Suy ra; Rc = P/2. • Để tính mômen tại ngàm A ta thay liên kết ngàm bằng liên kết khớp cố định và ngẫu lực M^. Cơ hệ có một bậc tự do với hai tọa độ dư (xem hình 5.8c) q, = cp, q 2 = Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm p, Q, ngẫu M^. Cho hệ di chuyển khả dĩ trong đó AB quay một góc ôcp, CB quay một góc ôvị/. Tổng công của các lực hoạt động trên di chuyển khả dĩ này là (xem hình 5.8c): ^ ô A j , = Qaô(p-M ^Ô 9 + 2Paôv|; (a) Giữa các tọa độ dư (p, \ự có mối liên hệ: 2aỗ(p = 4aôv|; hayôVỊ/ = —ỗọ thay vào (a) ta được: X ~ ^ A + Pa)ô(p Theo (5.8) điều kiện cân bằng của cơ hệ là: Suy ra: 118
V í dụ 3: Hai thanh đồng chất OA, AB, có cùng độ o dài 21 trọng lượng bằng nhau P| = Pt = p được nối với nhau bằng khớp tại A và gắn vào trần bằng khớp ở o . Tại B tác dụng lực Q nằm ngang. Bỏ qua ma sát ở các "2 khớp nối. Tim các góc ( P |, (p, lập giữa OA, AB với phương thẳng đứng khi hệ cân bằng (hình 5.9). 'P, B Bài íỊÌải: Xét cơ hệ gồm 2 thanh OA, OB. Với giả thiết bỏ qua ma sát hệ chịu liên kết lý tưỏíng. Hệ có 2 bậc tự do được xác định bằng 2 tọa độ đủ: q, = (P|, = (p, Các lực hoạt động tác dụng lên hệ gồm trọng lượng P|, của hai thanh và lực Q . Lập hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Cho hệ 1 di chuyến khả dĩ OA quay góc Ô (P |, AB quay góc ôcpọ,. Theo (5.7) tổng công của các lực hoạt động trên di chuyển khả đĩ là: = ẳ ( ^ k ô X k +Ykôyk +ZkôZk) = QÔXB + P|ôy, +?2ỗy2 (a) k=l k=l trong đó; Xg = 2 /s in (p |+ 2 /s in (p-, ^ ÔXg = 2/ C0 S(P|Ô(P| + cos(poÔ(pT y, =/cos(p| ^ ô y , = -/sin(P|Ô(p| Ỵt =2/coscp| +/COSỌ2 —> ôy-, = - / 2sin(P|Ô9| +sin(piô(pT Thay vào (a) ta được: n ^ ô A ị ^ -21Q cosỌịỗcpi +cosỌtÔ(Pt - P/sin(P|ô(P| - P / 2sin(p|ô(p| +sin(pTÔ(p-, k=l = / 2QC0S(P| - 3 P s i n ( P | Ô(P| + / 2 Q cos (Pt - P s i n ẹ - , ôỌt Các hệ sô' của ôcpi và ôcp, trong biểu thức trên chính là lực suy rộng ứng với các tọa độ suy rộng (pi, (p2 Q| = / [ 2 Q c o s ( p , - 3 P s i n ( p | ;Q-, = l 2 Q c o s( P t - P s i n ọ T Theo (5-8) điều kiện cân bằng của cơ hệ là: Qi = 0, Q 2 = 0 20 hay: /[2 Q c o s Ọ |- 3 P c o s (p |J = 0 - > t g ( P |= - — 2Ọ / 2 Q c o s Ọ o -P s in ẹ T = 0 -» tg(po = - Chú ý là ta có thể tính các lực suy rộng Q|, Q ị theo phương pháp dưới đây: 119
Vì các lực hoạt động P |,P t là các lực thế còn ộ không phải là lực thế. Nên các lực suy rộng được tính theo công thức Q | - - - — + Q ,; Q ^ - - - — + Qt (b) ỔCPi ỔỌt trong đó; n - thế nãng của cơ hệ; n = -PiYi - P->yT +const = - P / C0S(P| - p ( 2 / coscpi + / coscp-, ) + con st (c) Q * ; Q* - lực suy rộng ứng với lực không thế Q được tính từ biếu tlurc: SA^Qj = Qôxg = Q.2/ coscpiỏcpi +coscp-,S(p-, Vậy; Q * = 2 Q /co s(p | ; Q * = 2 Q / cos (Pt Do đó theo (b), (c) la có: Q| - - 3 P / s i n ( p | +2Q/cos(P| = / 2 Q C 0 S (P | -3 P sin (p Q t = -P /s in (Pt + 2Q/cos(P t = / 2 Q c o s - Psin (Pt Đ ây chính là kết quả tính theo phương pháp trên. 120
Chưong VI NGUYÊN LÝ Đ A L Ả M B E -L A G R Ả N G 6.1. N G U Y ÊN LÝ Nguyên lý Đalãnibe-Laarăiig là kết quả của sự kết hợp nguyên lý ĐalămBe và nguyên lý di chuyển khá đĩ. Xét cư hệ n chất điểm chịu liên kết giữ, dìnig, lý tưỏiig. Giá sử hợp các lực hoạt động và họp các phản lực liên kêì tác dụng lèn chất điểm của hệ là F|, ,N|, còn = -mW|^ là lực quán tính của chất điếm đó. 'ílieo imiiyên lý ĐalămBe; ) ~ 0 ( k = 1 ,2 ,...11) Vi hộ lực trên là hệ lực càn bằng nên theo nguyên lý di chuyển khả đĩ tống công của hộ lực đó trong mọi di chuyến khù dĩ ciia cơ hệ plìải triệt tiêu; k 1 k. : | k- I Vì cơ hệ chịu liên kẽì lý tưởng nên: - ^ k-i Do đó: Ĩ a 8 \ + Ĩ F K ‘" S Ĩ I = 0 (6 . 1) k-I k=l Hệ thức (6.1) biểu Ihị nguyên lý ĐalămBe-Lagrăng hay còn gọi là phương trình tổng quát động lực học. NiỊnỵê/i lỷ: Đối với cư hệ chịu liên kết giữ, clìmg, lý tưởng, tổng công nguyên tố của các lực hoạt động và các lực quán tính trong mọi di chuyến khá đĩ của cơ hệ đều triệt tiêu. Phương trình tổng quát độiiíỉ lực học còn có thể viết dưới các dạng sau: |; r ( x ,+ X J ') 8 x ^ + ( Y ,+ Y Ĩ ') 8 y ^ + (a + Z Ỉ')5 z ,l = 0 (6 .2 ) k=! n +(Yk - 'I \ y k ) ô y k + { A -m kZ k)ỗz^ =0 (6.3) k=l 12
Phưcíng trình tổng quát động lực học (6.1), (6.2), (6.3) là các phương trình biến phân, chúng tương đương với một hệ phương trình đại số. Để giải các bài toán động lực học bằng phương trình tổng quát động lực học ta cần xác định số bậc tự do của cơ hệ. Đặt lực hoạt động và lực quán tính vào các chất điếm của cơ hệ, sau đó cho hệ một di chuyển khả đĩ và tính tổng công các lực đó trên di chuyên khả dĩ này, cho bằng 0 ta sẽ có được các phương trình để tìm ẩn số của bài toán. Phương trình tổng quát động lực học thưòfiig được dùng để tìm gia tốc hay điều kiện cân bằng tương đối của cơ hê V í dụ l : Máy chuyển vật liệu chuyển động nhờ ngẫu lực có mônien không đổi M tác dụng lên puli B. Xác định gia tốc chuyến động của bâng chuyền. Biết trọng lượng của vật A được nâng là p, các puli B ,c có cùng trọng lượng Q, bán kính r và được xem là các đĩa tròn đồng chất. Băng chuyển hợp với phưcfng ngang một góc a và trọng lượng của . nó có thể bỏ qua, ngoài ra không có sự trượt giữa A và băng chuyền, cũng như giữa các băng chuyền với các puli. Bỏ qua ma sát ở Hình 6.1 các ổ trục (hình 6 . 1 ). Bùi giải Xét cơ hệ gồm 3 vật A, B, c . Nếu bỏ qua ma sát thì cơ hệ chịu liên kết lý tưởng. Hệ có một bậc tự do. Chọn tọa độ suy rộng đủ của cơ hệ là góc quay (p của hai puli. Các lực hoạt động tác dụng lên hệ: Các trọng lượng Q của hai puli, trọng lượng p của vật A và ngẫu M. Các lực quán tính tác dụng lên hệ là: F^',, ngM^ị^'., ngM^‘ . Cho hệ di chuyển khả dĩ trong đó hai puli quay một góc ỗ ẹ thuận chiều kim đồng hồ, khi đó vật A di chuyến lên trên một đoạn ỗs = rỗọ. Theo phương trình tổng quát động lực học: Mỗcp - Psin a ỗ s - Mẳ'ỗ(p - M^ôcp - .ỗs = 0 (a) Thay ôs = rôcp vào (a) ta được: (M - p r s i n a - M ^ ' - M ^ ' - r F ^ ‘)ỗ(p = 0 Do tính chất tùy ý của ôcp ta có: M - P r s i n a - M X - M ^ '- r F ^ '= 0 (b) 122
w O- p trong đó: MI' = m ;ì' . ^ ; p;;- = ■ r 2g g ITiay vào (b) ta được: M - Prsin a - ~ v/^ - — w.^ = ơ g ■ g ■ M -P rsin a Suy ra: Wa ---- - 2 (P + Q)r - Vì A nằm yên trên băng chuyền nên gia tốc của A cĩing là gia tốc của bàng chuyền. V í dụ 2: Tlianh đồng chất OA dài /, trọng lượng p được gắn bẳng bản lề vào trục quay thảng đứng tại o (hình 6.2). Quả cầu nhỏ trọng lượng Q được gán vào đầu mút A của thanh. Trục quay đéu với vận tốc góc cõ. Bỏ qua ma sát ở chốt bán lề nằm ngang o. Tim hệ thức giữa vận tốc góc (õ và góc nghiêng (p giữa trục quay và thanh OA. Bài ^iài: Xét cơ hệ gổm thanh OA và quá cầu A Nếu bỏ qua ma sát thì cơ hệ chịu liên kết lý ur(yng. Hệ có ~^ ị [i một bậc tự do, chọn tọa độ suy rộng đủ là góc (p Các lực hoạt động tác dụng lên hệ gỏni trọng Hình 6.2 lượng p của thanh và trọng lượng Q của cịLii! cẩu. Các lựcquán tính của hệ gồm lực quán tính F^'của quả cầu, hợp lực R^, của hệ lự c quán tính phân bố theo quy luật tam giác của thanh OA (xem hình và ví dụ 3 chương V ). R^, vuông góc với trục quay và cắt trục 2 quay tại H sao cho OH = —/coscp . Vì hộ lực cỊLián tính có hợp lực nên: R , = R ’ = M W ; '= - - ^ o r s i n a ; g 2 f;ị' = ^ \v ^ ^ \v;^ = ^ / 0)- sin (p 8 g g Cho hệ một di chuyển khả dĩ: Thanh OA quay quanh chốt bán lề góc Sọ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Thec phương trình tổng quát động lực học (6.2) tống còng của các lực hoạt động và các lực quán tính trên di chuyền khả dĩ này là: P8 y c + Q 6 y , + R , , 8 x „ + F ’'6 x ^ = 0 (a) 123
Từ hình vẽ ta có: = — c o s ẹ —> ỗyQ = - —s i n ọ ô ọ ; = /cos(p -> ỗy^ = - / sin(pổ(p ; 2 2 c ^ _ Xq = —/ s i n c p ^ ỗ x , = —/coscp.ỗcp; = /sincp-> ôx^ = /cos(po(p . p p/ Q/ T h a y vào (a ) ta đươc: / s in ( p ( - — - Ọ + — w ‘ C0 S(p + — -03' cos(p)ỗ(p = 0 . 2 3g g D o t í n h c h ấ t t u ỳ ý c ủ a S (p , t ừ p h ư ơ n g t i ì n l i t r ê n ta S L iy r a : a) sin (p = 0 (p = 0,(f) = 7T ứng với vị trí thắng đứng của OA. b) - —- Ọ + ^ ^ c o s(p { P + 3Q) = 0 ;S u y ra; cos(p= 2 3g 2 / o r ( P + 3Q) Với điều kiện; 3(P + 2Q)g < 2 /(0 ' (P + 3Q) hay 0) > V 2 /(P + 3Q) V í dụ 3: Hai đĩa tròn đồng chất A, B có cùng khối lượng m,, bán kính R. A quay quanh trục cố định nằm ngang. B được cuốn dây và rơi xuống dưới tác dụng của trọng lực. Dây được cuốn vào vành đĩa A đầu dây buộc vật c khối lượng ni,. Giá thiết dày không giãn, ổ (rục A hoàn toàn trơn. Tiin gia tốc vật c . Bùi giủi: Xét cơ hệ 3 vật A, B, c. Hệ chịu liên kết lý tưởng, có 2 bậc tự do với 2 tọa độ đủ: q, = X|, q, = Xị Trong đó X| xác định vị trí tâm cúa B, Xt xác định vị trí vật c . Các lực hoạt động tác dụng lên hệ gồm trọng lượng của A, B, c , các lực quán tính gồm có - , w ngM^^', ngM ^', F^', F^‘ . Gia tốc góc của A: ^ . R Vì vậy: Ap dụng công thức liên hệ vận tốc của vật chuyến động song phẳng, ta có: V = V +V Chiếu lên trục X| được: Vp = -Vp+ Vfj|, 124
Do dây không giãn: Vp = v^, và Vịịị, = R. cOp ; ta được Vp -Vc + R cOg Suy ra: “ R Đạo hàm 2 vế biểu thức trên theo t ta được gia tốc góc B: - _ V 3 + V c _ W 3 + Wc = R R Do đó: 9 R F Ỗ '= m B W ,= m ,W 3 Cho hệ m ột di ch u yến khả dĩ đặc biệt: ỖX| > 0; ÔX2 = 0 Á p dụng phương trình tổng quát động lực học (6-1) ta có: pbôX | - F b''ôx , - m ;^'.ô(p , = 0 ôx hay: m |g Ỗ X | - i r i | W g ô X | --in |R (N \'g + =0 2 R |m ,( 2 g - 3 W „ ^ W c ) 8 x ,= 0 g Trong đó ta đã thay góc quay của B ‘ỊlỊanh tâm vận tốc tức thời P; ÔỌp = — R Do tính chất tùy ý của ô f từ biểu thức trên suy ra: 3Wb + w,. = 2g (1) Cho hệ di chuyển khả đĩ: = 0; ỗXt > 0 theo ( 6 . 1 ) tađược: p , .ÔX2 - F^' .ỒXọ - MỵôcpA - M ẵ‘ô(pB = 0 . ỗx. tPong đó: ô Ọa = Ỗ (P b = R Thay vào trên ta được: ÕXt = 0 Do tính chất tùy ý của ỖXt , suy ra biểu thức trong dấu ngoặc phải bằng 0. m ọ g - m T \ V ( ; . - - n i | W ( ; - - —n i | ( W g + W(^) = 0 . (2) 2(3m. - n i |) g Từ (1) và (2) ta suy ra: W (3 = 5ni| + 6 m . 125
6.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA c ơ HỆ KHÔNG TỤ DO 1. Phương trình Lagrăng loại II Phưcíng trình vi phân chuyến động của cơ hệ dưới dạng tọa độ suy rộng gọi là phương trình Lagrăng loại II. Xét cơ hệ Hôlônôm có n chất điếm, chịu liên kết giữ, dừng, lý tưởng được xác định bởi r tọa độ suy rộng đủ q,, q;,... q,. Theo phương trình tổng quát động lực học (6 . 1 ) la có: (a) k-i k=l Tổng công của các lực hoại động được biểu diên qua các tọa độ suy rộng đủ theo công thức (5.4) như sau: Ẻ P k 8 ĩ = Q , S q , + Q , 8 q , + ......+ Q , 5 q , = Ế Q j 5 q , . k=I ị=l J=l Trong đó lực suy rộng của các lực hoại động được tính theo công thức: Tương lự như vậy tống còng của các lực quán tính cũng có dạng: Ì f í 's ĩ i = Í q ? H - k=l J=1 trong đó: Qj’’ là lực suy ròng của các lực quán tính: (h) k=l Thay vào (a) ta được: Z (Q j+ Q p ô q - 0 (c) J=| Vì q,, q ,..., q, là các tọa độ đủ, nên ỗq|,ỗqo,...,ôq|. độc lập tuyến tính với nhau, do đó phương trình (c) tương đương với hệ phương tiìnli: Q j+ Q f= 0 0 = U2,...,r) (d) Có ihê’ sử dụng trực tiếp hệ phưoiig trình trên, để giải các bài toán độníỊ lực học cúa cơ hệ. Nhimg đế hệ phương tiình có dạng đơn gián, ta hãy biến đổi các lực suy rộng của lực quán tính qua động năng của cơ hệ. 126
Vì lực quán tính của chất điểm thứ k có dạng: dt dV, ỡĩ, nên thay vào (b) ta có: -Q ĩ= i m (e) k=l dt ổqj Vế phải của (e) có thể biến đổi dưới dạng như sau: (0 dt ôqj dt ỡqj dt dq^ Trong đó I'|^ là véctơ bán kính định vị của chất điểm thứ k, nó là hàm cúa các tọa độ suy rộng q,, q,.., q, và thời gian t. Còn V|, là vận tốc của chất điểm đó: dĩL_ổĨK _. , ỡr^ . Vk = (h) dt ổqj ỡq^ ỡq,. dqj ớ đây, ký hiệu (j = l , 2 ,..,r) là vận tốc suy rộng ứng với tọa độ suy rộng của hệ. Đạo hàm (h) theo lọa độ suy rộng ta được: Mặt khác ta có thể (hay đổi thứ tự lấy đạo hàm ĩị. theo thời gian t và theo tọa độ suy rộng qv (k) dt ổqj ỡqj dt ỡqj ỡq^ Sử dụng (i) và (k) biểu thức (f) có dạng; 1_ ^ -v „ iỂ Y ỉ dl ỡ q : dt ổqj dt 2 ỡqj 2 ổq, Trong còng thức (e) đưa khối lượng ni|, là đại lượng không đổi vào trong dấu đạo hàm và chú ý tống các đạo hàm bằng đạo hàm của tổng ta được; V ar -Q ?' = dt ỡqj dt ỡqj ỡq^ trong đó: T = —^ m | . V | : là động nàng của cơ hệ. 127