zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Tập hấp thụ nghiệm tích phân của bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ hữu hạn với phần tăng trưởng không quá tuyến tính

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

15
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Tập hấp thụ nghiệm tích phân của bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ hữu hạn với phần tăng trưởng không quá tuyến tính trình bày việc xem xét tập bị chặn hấp thụ nghiệm tích phân trong trường hợp phần tăng trưởng không quá tuyến tính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tập hấp thụ nghiệm tích phân của bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ hữu hạn với phần tăng trưởng không quá tuyến tính

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 TẬP HẤP THỤ NGHIỆM TÍCH PHÂN CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ CÓ TRỄ HỮU HẠN VỚI PHẦN TĂNG TRƯỞNG KHÔNG QUÁ TUYẾN TÍNH Vũ Nam Phong1, Bùi Thị Huệ1 1 Trường Đại học Thủy lợi, email: phongvn@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Ta xét bài toán (*): Định nghĩa 2.1. [4] Hàm f  C ([0, T ]; X ) có đạo hàm bậc phân số 1  C D0 u (t )  Au (t )  F (t , ut ), t  0 (*1)    (0,1) theo nghĩa Caputo được xác định  u ( s )   ( s ), s  [ h,0] (*2) bởi công thức: Trong đó: C D0 - đạo hàm bậc phân số  1 t  (t  s )  u( s ) ds . C  D0 u (t )  theo nghĩa Caputo, 0    1 ; A - toán tử (1   ) 0 tuyến tính đóng trong không gian Banach X, Trong công thức nghiệm tích phân, cặp sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh W () ; hàm giải thức S , P được xác định bởi: đa trị F :[0, T ]  h  v( X ) ; hàm trễ ut với    1 (  I  A) 1   e  t S (t )dt , ut ( s )  u (t  s ) , s  [ h,0] , hàm φ cho trước.  0 S (t ) x    ( )W (t  ) xd , Trong những năm gần đây, bao hàm thức 0  vi phân bậc phân số nhận được sự chú ý lớn (  1 I  A) 1   e  t t  1P (t ) dt , vì một số vấn đề trong vật lí hay điều khiển  0 học không thể mô tả chính xác bằng bao hàm P (t ) x     ( )W (t  ) xd , x  X , 0 thức vi phân thường, ví dụ như một số môi ( ) n1 1  trường với sự truyền dẫn khác thường.  ( )    n1 (n  1)! (n )sin( n ) . Không những thế, trong thực tế, điều kiện trễ (*2) ứng với những gì xảy ra trước khi xét Nếu W (t ) x  M x , ta có: ([1]) (*1) cũng được thu hút sự quan tâm. Bài báo M S (t ) x  M x , P (t ) x  x , x  X , này sẽ xem xét tập bị chặn hấp thụ nghiệm ( ) tích phân trong trường hợp phần tăng trưởng  không quá tuyến tính. với ( )   x 1e x dx . 0 Khái niệm nghiệm tích phân ([4]) được Nếu W (t ) x  Me  t x , ta có: ([1]) định nghĩa như sau: S (t ) x  ME ,1 (  t  ) x , Định nghĩa 1.1. Hàm u: [h, T] → X được gọi là nghiệm tích phân của (*) trên [h, T] P (t ) x  ME , (  t  ) x , x  X ; với: khi và chỉ khi u (t )   (t ) t  [h,0] và  zn Ea ,b ( z )   , z  , a  0, b  0 . n  0  ( an  b) t u (t )  S (t ) (0)   (t  s ) 1P (t  s ) f ( s ) ds 0 Đặt: t  [0, T ], f  Fp (u ) . hT  C ([ h, T ]; X ), h  C ([ h,0]; X ), 39
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 T  C ([0, T ]; X ); C  {u  T | u (0)   (0)} t t 1  g1 (t ) 3.  g 2 (t  s ) ds   g 2 ( s ) ds   t  0 với   h cho trước và ||  || là chuẩn sup 0 0 Bổ đề 3.2. Cho các số M , a  0,   c  0 , trong T , h và hT . hàm   C ([ h,0];   ) và hàm v liên tục,  (t ), t  [ h,0] Với u  C , đặt u[ ](t )   ; không âm thỏa mãn: v(t )   (t ) t  [ h,0] , u (t ), t  (0, T ] t v(t )  Mg1 (t )v0   g 2 (t  s )[a  c sup v( )]ds,  (t  s ), s  t  [ h,0] 0 u[ ]t ( s )   , Fp (u[ ]) [  h,s ] u (t  s ), s  t  (0, T ] t  0 . Khi đó, ta có:   f  Lp (0, T ; X ) | f (t )  F (t , u[ ]t ) với hầu  Mv0  a[1  g1 (t )] v(t )   sup  ( s ) và  c [  h ,0 ] hết t  [0, T ] .  Mv0  a Với X là không gian Banach, đặt lim sup v(t )   sup  ( s ) . t   c [  h ,0]  ( X )  { A  E : A  }, Chứng minh: Sử dụng Mệnh đề 3 trong [3] v( X )  { A   ( X ) : A lồi và compact}. với s (t )  g1 (t ), r (t )  g 2 (t ) , ta thu được điều Ta xét toán tử nghiệm:  : T   (T ) : phải chứng minh.  (u )(t )  S (t ) (0)  Q  Fp (u[ ])(t ) Bổ đề 3.3. Toán tử Q là toán tử compact. t Chứng minh: Ta xét tập D  C ([0, T ]; X ) , với Q ( f )(t )   (t  s ) 1P (t  s ) f ( s )ds . 0 D bị chặn. Do đó: u là điểm bất động của  khi và Đầu tiên, ta chứng minh Q(D) compact. Ta chỉ khi u là nghiệm tích phân của (*). kiểm tra Q(D)(t) compact trong X với mỗi Với F (t , v)  sup{  :   F (t , v)} , để t  0 . Từ Mệnh đề 2.4 ([2]) và tính compact chỉ ra sự tồn tại tập hấp thụ nghiệm tích phân của P ta có: của bài toán (*), ta cần các giả thiết: (A) C0 - nửa nhóm {W (t )}t 0 được sinh  (Q(D)(t ))     (t  s) 0 t  1 P (t  s) D(s)ds  0 .  bởi A là compact t  0 và bị chặn mũ, tức Tiếp theo, ta chứng minh Q(D) đồng liên là M  1,   0 thỏa mãn: tục. Cho f  D, t  (0, T ),   (0, T  t ] , khi đó W (t ) x  Me  t x t  0, x  X . Q ( f )(t   )  Q( f )(t )  I1 (t )  I 2 (t ) với t  (F) (1) F :[0, T ]  h  v( X ) - ánh xạ đa I1 (t )   (t    s) 1 P (t    s) f (s) ds , t trị phi tuyến thỏa mãn; F (, v) - đo được t t mạnh với mỗi v  h , F (t , ) nửa liên tục trên I 2 (t )   0 g3 (t   , s )ds   g3 (t , s )ds và 0 với mỗi t  [0, T ] . g3 (t , s )  (t  s ) 1 P (t  s ) f ( s ) . Ta có (2) p  L1 (0, T ) , p không âm, không giảm t   và I1(t)  M f  t g2 (t    s)ds  M f  0 g2 ( )d F (t , v)  p(t )(1  v  ), t  [0, T ], v h . 1  g1 ( ) M f  0 khi   0 . Ta có  3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU t t I 2 (t )   g (t   , t     )d   g (t, t   )d 0 3 0 3 Bổ đề 3.1. [4] Đặt g1 (t )  E ,1 (  t  ) và t g 2 (t )  t  1E , (  t  ) , với mọi   0 ta có:     1 P ( )[ f (t     )  f (t   )] d 0 1. g1 , g 2  L1loc (  ); g1 , g 2 - hàm không âm. t  M  g 2 ( ) f (t     )  f (t   ) d . Vì 0 2. g1 - hàm không tăng, g1 (t )  1, t  0 và t  0  g1 (t )  1 và f  D  C([0, T ]; X ) nên lim g1 (t )  0 . t  với mỗi   0 , tồn tại   0 thỏa mãn 40
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8  Chứng minh: Gọi u là nghiệm của bài toán f (t     )  f (t   )  . Do M 1  g1 (t )  (*), khi đó u (t )  S (t ) (0)  Q( f )(t ) đó suy ra I 2 (t )   , vì thế I 2 (t )  0 khi t  Mg1 (t )  (0)  M  g 2 (t  s ) f ( s ) ds  0   0 . Tương tự, Q( f )( )  Q( f )(0)  0 t Mg1 (t ) u(0)  M  g2 (t  s) p(s)(1  us  )ds  khi   0 . Vì vậy, Q(D) đồng liên tục. Từ 0 Định lí Azrelà - Ascoli, suy ra Q compact. t Mg1 (t) u(0)  M  g2 (t  s) p(s)(1 sup u( ) )ds Định lí 3.1. Nếu các giả thiết (A) và (F) 0 [h, s ] được thỏa mãn thì bài toán (*) có nghiệm tích t phân trên [h, T].  Mg1 (t ) u(0)  M  g2 (t  s) (1  sup u( ) )ds. 0 [  h, s ] Chứng minh: Đặt g 4 ( s )  (t  s ) 1 p( s ) và Áp dụng Bổ đề 3.2 với a  c  M  , ta được: gọi   C ([0, T ]; ) là nghiệm duy nhất của M  u (0)  M  M lim sup u (t )   sup  (s) , phương trình:  (t )  M    I (t ) với t    M [  h ,0] ( ) suy ra hình cầu B (0, R )  X với bán kính t I (t )   g 4 ( s ) 1     ( s )  ds . Ta xét M   (0)  M  0  R  sup  ( s )  1 là tập     M [  h ,0] D  u  C : sup u ( )   (t ), t  [0, T ] .   [0,t ]  hấp thụ bị chặn nghiệm tích phân của bài Khi đó, D là tập con đóng, lồi của C . Vì Q toán (*). compact nên  compact, do đó chỉ cần 4. KẾT LUẬN chứng minh  ( D)  D . Cho u  D , với mỗi Bài viết đưa ra một số giả thiết cụ thể để z (t )   (u )(t ) , ta tìm được f  Fp (u[ ]) bài toán bao hàm thức vi phân bậc phân số có thỏa mãn: z (t )  S (t ) (0)  Q( f )(t )  trễ với phần tăng trưởng không quá tuyến M t tính có tập bị chặn hấp thụ nghiệm tích phân. ( ) 0 z (t )  M  (0)  (t  s ) 1 f ( s ) ds 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO M t M    ( ) 0 (t  s) 1 p(s)(1  us  )ds [1] N.T. Anh, T.D. Ke. 2014. Decay integral solutions for neutral fractional differential M t ( ) 0 M    g4 (s) 1     (s) ds . equations with infinite delays. Math. Methods Appl. Sci. 38 (2015), No. 8, 1601-1622. Tích phân cuối cùng chính là I(t), dễ thấy I(t) [2] T.D. Ke, D. Lan. 2017. Fixed point không giảm theo t nên ta thu được đánh giá: approach for weakly asymptotic stability of M fractional differential inclusions involving sup z ( )  M    I (t )   (t ) impulsive effects, J. Fixed Point Theory  [0,t ] ( ) Appl. 19(2017), no. 4, 2185-2208.   (u )  D . Ta kết thúc chứng minh. [3] T.D. Ke, L.T.P. Thuy. 2020. Dissipativity Định lí 3.2. Các giả thiết (A) và (F) được and stability for semilinear anomalous thỏa mãn với mọi T  0 và p  L (0, T ) , diffusion equations involving delays. Math. Meth. Appl. Sci. 2020, 1-17. p   ess sup p (t )     / M . Khi đó, tồn [4] A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo. t 0 2006. Theory and Applications of Fractional tại tập bị chặn hấp thụ nghiệm tích phân của Differential Equations, Elsevier, Amsterdam. bài toán (*) với mọi dữ kiện ban đầu. 41

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.