Thiết kế bộ điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu cho hệ truyền động qua bánh răng

Chia sẻ: Thi Thi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

122
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo trình bày phương pháp thiết kế bộ điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu cho hệ truyền động qua bánh răng trên cơ sở sử dụng mô hình trạng thái của hệ. Khả năng bám tiệm cận tốt theo mô hình mẫu của hệ có chứa đầy đủ các thành phần bất định sinh ra từ hiệu ứng khe hở, ma sát, độ dẻo bánh răng đã được chứng minh cả về lý thuyết và mô phỏng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Thiết kế bộ điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu cho hệ truyền động qua bánh răng

Lê Thị Thu Hà và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 112(12)/2: 63 - 68 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI THEO MÔ HÌNH MẪU CHO HỆ TRUYỀN ĐỘNG QUA BÁNH RĂNG Lê Thị Thu Hà*, Trần Thị Thanh Thảo Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Bài báo trình bày phương pháp thiết kế bộ điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu cho hệ truyền động qua bánh răng trên cơ sở sử dụng mô hình trạng thái của hệ. Khả năng bám tiệm cận tốt theo mô hình mẫu của hệ có chứa đầy đủ các thành phần bất định sinh ra từ hiệu ứng khe hở, ma sát, độ dẻo bánh răng đã được chứng minh cả về lý thuyết và mô phỏng. Từ khóa: điều khiển thích nghi, mô hình mẫu, hệ thống bánh răng, khe hở, mômen ma sát. ĐẶT VẤN ĐỀ* Điều khiển bám ổn định hệ truyền động qua bánh răng mang đầy đủ trong nó các yếu tố bất định như khe hở, độ không cứng vững của vật liệu làm bánh răng luôn giữ vai trò trung tâm trong lớp các bài toán điều khiển hệ truyền động. Md M ms1 Mc − J1 = J d + J1 , J 2 là các moment quán tính của cặp bánh răng 1,2 và của động cơ dẫn động. P M ms 2 2 Mc Hình 1: Minh họa hệ truyền động qua bánh răng Theo [3] thì hệ truyền động qua bánh răng, có sơ đồ cấu trúc minh họa ở hình 1, không có khoảng chết giữa các bánh răng, sẽ mô tả được bởi mô hình Euler-Lagrange: J1ϕɺɺ1 + cr12cos2α (ϕ1 + i12ϕ 2 ) = Md − M f 1   2 2 J 2ϕɺɺ2 − cr2 cos α (ϕ 2 + i21ϕ1 ) = −Mc − M f 2 (5) trong đó − r1 , r2 là bán kính vòng ngoài của hai bánh răng. * − αL là góc khớp hai răng. Đây là chỉ số đo độ khe hở giữa các bánh răng. Với hai răng ăn khớp chính xác tuyệt đối thì α L = 20° . Các cặp răng có khe hở luôn có α L > 20° 1 Md M f 1, M f 2 − là các moment ma sát của hai bánh răng 1 và 2. − c là chỉ số đo độ cứng của vật liệu làm bánh răng. Nó chính là đại lượng đánh giá độ cứng vững của hệ truyền động. −1 − i12 , i21 = i12 là tỷ số truyền của hai bánh răng. − Mc là moment cản (tải), được xem như nhiễu tác động vào hệ. ɺ − ϕ 2 , ϕ 2 là vị trí và tốc độ của bánh răng thụ động và ϕ 2 sẽ được xem là tín hiệu ra của hệ. Nếu giữa hai bánh răng có các khe hở thì khi ở chế độ khe hở, moment dẫn động ở đầu vào không có tác dụng thay đổi tốc độ của bánh răng bị động và bánh răng bị động lúc đó chỉ còn chạy theo quán tính. Nói cách khác, ở giai đoạn khe hở, hệ sẽ có mô hình [3]: J 1ϕɺɺ1 = M d − M f 1  J 2ϕɺɺ2 = − M c + M f 2 (6) Tel: 0977008928; Email: hahien1977@gmail.com 63 Lê Thị Thu Hà và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN Xây dựng mô hình cho hệ truyền động qua bánh răng ở cả hai chế độ làm việc Ứng với từng loại mô hình (5) và (6) mô tả hai chế độ làm việc khác nhau của hệ, người ta thường áp dung các phương pháp điều khiển khác nhau. Thường dùng nhất là sử dụng các công cụ nhận dạng hoặc xấp xỉ khe hở để từ đó sử dụng nguyên lý điều khiển bù nhằm giúp loại bỏ được mô hình (6) trong quá trình thiết kế bộ điều khiển. Tuy nhiên, nếu xem khe hở cũng là một thành phần bất định trong hệ, giống như các tham số c đo độ cứng của vật liệu làm bánh răng, M f 1, M f 2 mô tả các thành phần ma sát hay góc khớp hai răng αL , thì ta có thể ghép hai mô hình (5) và (6) chung lại với nhau thành một mô hình tổng quát: ⌢ 2 2 J1ϕɺɺ1 + cr L1cos αL (ϕ1 + i12ϕ2 ) = Md − M f 1  ⌢ 2 2 J 2ϕɺɺ2 − crL 2 cos αL (ϕ2 + i21ϕ1 ) = −Mc − M f 2 (7) ⌢ trong đó tham số c được định nghĩa là: ⌢ c ở chế độ ăn khớp c = 0 ở chế độ khe hở Như vậy mô hình (7) này sẽ chứa trong nó tất cả các yếu tố bất định của hệ. Đây là những tham số hoặc các hàm rất khó, hoặc không thể xác định được một cách đủ chính xác. Có thể kể đến đó là độ không cứng vững c của vật liệu, góc ăn khớp αL giữa hai bánh răng, M f 1, M f 2 moment ma sát trên các trục M truyền động, moment tải c , khe hở. Tiếp theo, để đơn giản hóa trong trình bày, ta sẽ sử dụng các ký hiệu θk cho hằng số và dk cho hàm số bất định như sau: ⌢ θ 1 = c rL21 c o s 2 α L ⌢ f1 = θ 1 ϕɺ1 + d 1 (ϕ 1 , t ) Mc −M f2 = − θ 2/ ϕɺ 2 − d 2 (ϕ 2 , t ) 64 / J1ϕɺɺ1 + θ1 (ϕ1 + i12ϕ 2 ) = Md − θ1/ϕɺ1 − d1  −1 −1 / J 2ϕɺɺ2 − θ 2 (ϕ 2 + i12 ϕ1 ) = −θ 2ϕɺ 2 − d2 (9) Để chuyển (9) về dạng mô hình trạng thái, trước tiên, từ phương trình thứ hai trong (9) ta có: ϕ1 = i12 θ 2 (J 2ϕɺɺ2 + θ 2/ ϕɺ 2 + d2 ) − ϕ 2  = θ 3ϕɺɺ2 + θ 4ϕɺ 2 − i12ϕ 2 + d3 (10) với: d3 = i12θ 2d 2 , θ 3 = θ 2J 2 , θ 4 = i12θ 2θ 2/ là các thành phần bất định hằng số và hàm số tương ứng. Đạo hàm theo thời gian hai vế của ϕ1 cho trong công thức (10), ta có: ɺɺɺ2 + θ 4ϕɺɺ2 − i12ϕɺ 2 + d4 ϕɺ1 = θ 3ϕ (11) ɺ trong đó d4 = d3 là thành phần hàm bất định, được giả thiết cũng bị chặn. Từ đây ta suy ra ɺɺɺ2 − i12ϕɺɺ2 + d5 ϕɺɺ1 = θ 3ϕ 2(4) + θ 4ϕ (12) ɺ với d5 = d 4 . Thay (11), (12) vào phương trình thứ nhất của mô hình (9), ta được: ( ) ɺɺɺ2 − i12ϕɺɺ2 + d5 + J1 θ 3ϕ 2(4) + θ 4ϕ + θ1 (θ 3ϕɺɺ2 + θ 4ϕɺ 2 − i12ϕ 2 + d3 + i12ϕ 2 ) = ɺɺɺ2 + θ 4ϕɺɺ2 − i12ϕɺ 2 + d4 ) − d1 = Md − θ1/ (θ3ϕ và điều này dẫn đến: ( ) + (θ1θ 4 + θ1θ 3 − J1i12 ) ϕɺɺ2 + + (θ1θ 4 − θ1i12 ) ϕɺ 2 + + (J1d5 + θ1d3 + θ1d 4 + d1 ) ɺɺɺ2 + Md = J1θ3ϕ 2(4) + J1θ 4 + θ1/θ3 ϕ / / / (8) với θ1 , θ 2 là hai hằng số bất định đo thành phần moment ma sát động được giả thiết là / tuyến tính với vận tốc và d1 (ϕ1 ,t ), d 2 (ϕ 2 ,t ) là những thành phần moment ma sát phụ thuộc gia tốc, moment tải. Với những ký hiệu cho trong (8) này, mô hình Euler-Lagrange (7) được viết lại thành: / θ 2− 1 = c rL22 c o s 2 α L M 112(12)/2: 63 - 68 Sử dụng ký hiệu vector của tham số hằng bất θ ,θ định f g với: Lê Thị Thu Hà và Đtg θg = Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ u = v − a 0x1 − a1x 2 − a 2x 3 1 J1θ 3 (13)   θ 1θ 4 − θ 1i12 1  / θ 1θ 4 + θ 1θ 3 − J 1i12  θf = −  J 1θ 3  J 1θ 4 + θ 1/ θ 3   / (14) và hàm số bất định d (x ,t ) : d=− 1 J1θ3 (J1d5 + θ1d3 + θ1d4 + d1 )  x1   ϕɺ 2  x =  x 2  =  ϕɺɺ2      ɺɺɺ2   x3  ϕ ) (20) trong đó det(s I 3 − Am ) = a 0 + a1s + a 2s 2 + s 3 Điều này dẫn ta tới ý tưởng rằng có thể chọn các hằng số a 0 ,a1 ,a 2 theo phương pháp gán các điểm cực s1 ,s 2 , s3 tương ứng với chất lượng mong muốn đặt trước. Chẳng hạn để hệ ổn định, không có dao động trong quá trình quá độ, ta chọn ba hằng số thực âm s1 ,s 2 , s3 , thì với ký hiệu của tín hiệu đầu vào: rồi tính: (s − s1 )(s − s2 )(s − s3 ) = u = Md ta có dạng mô hình trạng thái tương đương của mô hình Euler-Lagrange (7): (17) Thiết kế bộ điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu Giả thiết rằng hệ truyền động có ma sát không phụ thuộc gia tốc, tức là có gia tốc rất nhỏ. Khi đó ta có thể bỏ qua thành phần d (x ,t ) trong (17). Ngoài ra, nếu như ta có thể xấp xỉ θg là hằng số xác định thì không mất θ =1 . Khi tính tổng quát ta có thể cho rằng g đó (17) trở thành: xɺ = x 2  1 ɺ x = x  2 3  T xɺ3 = θ f x + u ( Am (15) (16) xɺ = x 2  1 ɺ = x x  2 3  T xɺ3 = θ f x + d (x , t ) + θg u (19) với ba hằng số a 0 ,a1 ,a 2 tùy chọn cho hệ (18), ta sẽ thu được hệ kín dạng tuyến tính chuẩn điều khiển với mô hình trạng thái: 1 0   0  0 1  x + b θ Tf x + v xɺ = 0    −a 0 −a1 −a 2  / cũng như từ thực tế là ta chỉ cần quan tâm tới ɺ tốc độ ϕ 2 , tức là chỉ cần quan tâm tới ba biến trạng thái: được 112(12)/2: 63 - 68 (18) Dễ thấy được rằng khi sử dụng bộ điều khiển vòng trong: = s 3 − (s1 + s 2 + s3 )s 2 + (s1s 2 + s 2s3 + s1s3 )s − s1s 2s3 a0 = −s1s2s3 , a1 = (s1s2 + s2s3 + s1s3 ) a = −(s1 + s2 + s3 ) (21) ⇔ 2 Nói cách khác, hệ thu được (20) nhờ bộ điều khiển vòng trong (19), trừ thành phần bất định θf cho bởi (14), đã có đầy đủ tất cả các chất lượng mong muốn đặt trước. Bởi vậy nhiệm vụ điều khiển tiếp theo bây giờ chỉ còn là loại bỏ θ sự ảnh hưởng của f trong hệ kín (20). Để làm được điều này ta sẽ áp dụng nguyên tắc thích nghi theo mô hình mẫu, tức là ta sẽ thiết kế thêm bộ điều khiển vòng ngoài để hệ (20) bám tiệm cận theo được mô hình mẫu, suy ra từ (20) sau khi loại bỏ đi sự ảnh hưởng của thành phần bất định xɺm = Am xm + bw θf như sau: (22) Hình 2 minh họa nguyên tắc điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu cho đối tượng (5) ở chế độ chạy gần đều (để bỏ qua được các ma sát phụ thuộc gia tốc), gồm hai vòng điều khiển trong và ngoài. 65 Lê Thị Thu Hà và Đtg w v Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ Điều khiển vòng u Đối tượng x trong (19) (18) z e Mô hình mẫu (22) xm Hình 2. Sơ đồ điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu cho hệ truyền động bánh răng Để thiết kế bộ điều khiển vòng ngoài với nhiệm vụ là cho hệ (20) bám tiệm cận theo được mô hình mẫu (22), trước tiên ta cần đến phương trình mô tả sai lệch mô hình. Ký hiệu e = x − xm là sai lệch mô hình. Khi đó với các phép gán: z = x T p và v = w − z trong đó p (t ) là vector tham số bộ điều khiển vòng ngoài cần phải xác định, ta có (23) Sử dụng hàm trơn xác định dương V (e ) = e Pe + (θ − p ) E (θ − p ) T T (24) 3× 3 với P, E ∈ R là đối xứng xác định dương tùy chọn, ta sẽ có với (23) T Vɺ = eɺT P e + eT P eɺ − 2 (θ − p ) E pɺ ( ) = eT ATm P + PA m e − T T − 2 (θ − p )  E pɺ − x ( Pb ) e    T T = −eT Q e − 2 (θ − p )  E pɺ − x ( Pb ) e    (25) trong đó ATm P + PAm = −Q (26) Rõ ràng, với việc chọn các tham số a 0 ,a1 ,a 2 của bộ điều khiển vòng trong theo (21) có các điểm cực s1 ,s 2 , s3 chọn trước nằm bên trái trục ảo thì ma trận Am là ma trận bền. Điều này đảm bảo chắc chắn rằng phương trình 66 Lyapunov (26) với mọi ma trận đối xứng xác 3× 3 định dương Q ∈ R luôn có nghiệm 3× 3 P ∈R cũng đối xứng xác định dương. Từ công thức đạo hàm (25) của hàm xác định dương (24) thì theo lý thuyết Lyapunov II, với bộ chỉnh định thích nghi tham số p (t ) : Điều khiển vòng ngoài (27) eɺ = Ame + bx T (θ − p ) 112(12)/2: 63 - 68 pɺ = E −1x bT Pe  T z = x p (27) sẽ có Vɺ = −eT Qe < 0, ∀e ≠ 0 (28) Đó là điều kiện đủ để được lim e (t ) = 0 e (t ) < ∞ t →∞ và tức là sẽ có được tính bám tiệm cận của (20) theo mô hình mẫu (22). Tuy nhiên, do với công thức (28) thì Vɺ chỉ xác định âm theo sai lệch e , nói cách khác nó chỉ bán xác định âm theo e và θ − p , nên cũng chỉ đảm bảo có được tính tiệm cận của e → 0 , chứ chưa khẳng định được cũng sẽ có p → θ , nên cơ cấu chỉnh định (27) không thay thế được cơ cấu nhận dạng tham số bất định trong mô hình. Tổng kết lại, bộ điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu cho hệ truyền động qua bánh răng làm việc ở chế độ có moment ma sát không phụ thuộc gia tốc, xây dựng trên nền mô hình trạng thái (18) của hệ, sẽ được tổng hợp qua các bước như sau: 1. Chọn các điểm cực s1 ,s 2 , s3 nằm bên trái trục ảo, ứng với chất lượng ổn định mong muốn của hệ kín rồi tính các tham số cho bộ điều khiển vòng trong a 0 ,a1 ,a 2 theo công thức (21). Để hệ kín không những ổn định mà ɺ ở chế độ còn có tín hiệu đầu ra x1 = ϕ 2 bám tiệm cận theo tín hiệu mẫu w (t ) , ta cần chọn chúng thỏa mãn thêm s1s 2s3 = −1 3× 3 đối xứng xác định dương 2. Chọn Q ∈ R 3× 3 và tìm nghiệm P ∈ R cũng đối xứng xác định dương của phương trình Lyapunov (26). Lê Thị Thu Hà và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 3× 3 Q∞ Ma trận Q ∈ R được chọn có càng lớn, tốc độ bám của (20) theo mô hình mẫu (22) càng cao. Chú ý khi đó phải trả giá là độ quá điều chỉnh càng lớn. 3× 3 3. Chọn E ∈ R đối xứng xác định dương. E ∞ càng nhỏ, tốc độ chỉnh Nếu chọn E có định p (t ) càng cao, do đó quá trình quá độ của hệ càng ngắn. 4. Xây dựng bộ điều khiển vòng trong theo (19), bộ điều khiển vòng ngoài theo (27) và mô hình mẫu theo (22) KẾT QUẢ MÔ PHỎNG Xét hệ truyền động có mô hình (18). Chọn s1 = s1 = s3 = −1 ta sẽ có với (21): a 0 = 1 , a1 = 3 , a 2 = 3 cho ở hình 3. Nó cho ta thấy trực quan được khả năng bám tốt của tín hiệu đầu ra của hệ theo tín hiệu mẫu. e Hình 4 mô tả sai lệch . Nó xác nhận tính bám tiệm cận theo mô hình mẫu của hệ kín. Ngoài ra, các hình 5 còn cho thấy mặc dù các tham số p (t ) của bộ điều khiển vòng ngoài không nhất thiết phải bám theo giá trị bất định θf , song hệ vẫn có được chất lượng bám ổn định rất tốt. Đặc biệt nữa là ở mô phỏng này ta θ (t ) còn có f là hàm thay đổi theo thời gian. 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 0 10 20 30 40 50 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 0 10 20 30 40 50 60 70 Hình 4. Sai lệch bám 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 Chọn các ma trận Q = E = 10I3 ta có đồ thị ɺ quỹ đạo x1 = ϕ 2 của hệ và tín hiệu mẫu w (t ) -25 112(12)/2: 63 - 68 60 70 Hình 3. Quỹ đạo tín hiệu ra so sánh với tín hiệu đặt 80 -1.4 -1.6 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Hình 5. Tham số bộ điều khiển vòng ngoài KẾT LUẬN Bộ điều khiển của bài báo được thiết kế trên nền thích nghi giả định rõ. Bằng kết quả mô phỏng, bài báo còn chỉ ra từ hình 5 rằng bộ điều khiển giới thiệu ở đây còn đảm bảo chất lượng bám ngay cả khi các θ tham số bất định f của hệ truyền động không phải là hằng số, mặc dù ở phần chứng minh ta phải giả thiết nó chỉ là tham số hằng bất định để có được sự biến đổi từ công thức (24) thành (25). Theo lý thuyết, việc vẫn có được tính bám tiệm cận tốt được ngay cả khi có hàm bất định θ f (t ) có thể không phải là sự ngẫu nhiên mà vẫn đúng cho mọi trường hợp, không chỉ riêng ở phần mô phỏng này. Suy nghĩ đó là hợp lý vì thực chất ở đây, để đưa ra được công thức (27) cho cơ cấu chỉnh định, ta đã sử dụng lý thuyết Lyapunov, vốn chỉ là một điều kiện đủ. Bởi vậy bài toán chứng minh chặt chẽ tính θ (t ) bám tiệm cận của hệ vẫn thỏa mãn khi f là hàm bất định, sẽ là bài toán mở tiếp theo của nhóm tác giả. 67