Thực hành giải toán hình học sơ cấp: Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:117

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 cuốn sách "Thực hành giải toán hình học sơ cấp" trình bày các nội dung: Đa giác và diện tích đa giác, đa diện - Khối đa diện - Thể tích; một số vấn đề về đường tròn và mặt cầu, quỹ tích và dựng hình. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Thực hành giải toán hình học sơ cấp: Phần 1

BỌ GIAO DỤC VÁ ĐAO TẠO Dự ÁN Đ Á O TẠO G IA O VIÊN THCS LOAN No 1718-VIE (SF) VĂN NHƯ CƯƠNG (Chủ biên) - HOÀNG NGỌC HƯNG ĐỐ MẠNH HÙNG - HOÀNG TRỌNG THÁI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM
VĂN NHƯ CƯƠNG (Chủ biên) - HOÀNG NGỌC HƯNG Đ ỏ MẠNIỈ HÙNG - HOÀNG TRỌNG THÁI HÌNH HỌC Sơ CẤP ■ VÀ THỰC HÀNH GIẢI TOÁN ■ NHÀ XUẤT BẨN ĐẠI HỌC s ư PHẠM
M ã số: 0 1 .0 1 .1 2 6 /4 1 1 -Đ H 2 0 0 5
MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẨU..........................................................................................................7 Chương 1. ĐA GIÁC VÀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC §1. Đa g iá c ............................................................................................................................... 9 1.1. Các định n g h ĩa.............................................................................................. 9 1.2. Miền trong, điểm trong của đa giác........................................................... 10 1.3. Cốc tính chất của đa giác............................................................................ 13 1.4. Phân hoạch - Sự đồng phân của các đa giác.............................................15 1.5. Diện tích đa giác...........................................................................................18 1.6. Diện tích và tính đồng phân....................................................................... 23 §2. Diện tích của các hình phẳng................................................................................... 25 2.1. Hình và diện tích của hình......................................................................... 25 2.2. Hình khả diện.............................................................................................. 26 2.3. Các tính chất của diện tích......................................................................... 27 §3. Một sô chủ dể sem inar................................................................................................ 28 Bai tập chương 1......................................................................................................................28 Chương 2. ĐA DIỆN - KHỐI ĐA DIỆN - THỂ t í c h §1. Đa diện - Khối đa d iệ n ................................................................................................. 31 1.1. Định nghĩa.................................................................................................... 31 1.2. D ịnh lí J o rd a n ....................................................................................................... 33 1.3. Đa giác lồi......................................................................................................33 1.4. Sơ đồ phang của hình đa diện..................................................................... 33 1.5. Đặc sô’ Euler của đa diện đơn liên..............................................................36 1.7. Da diện nửa đều........................................................................................... 39 §2 Thê’ tích của các khối đa diện.....................................................................................41 2.1. Phân hoạch của khối đa diện...................................................................... 41 2.2. Thể tích của khôi đa d iện ........................................................................... 41 §3 Một số chủ để S e m in a r................................................................................................46 Bai tập chuơng 2 ..................................................................................................................... 46 3
Chương 3. MỘT s ố VẤN ĐỂ VỀ ĐƯỜNG TRÒN V À M ẶT C Ẩ U J §1. Phương tích của m ột điểm đối vối đường trò n ........................................................... 5| 1.1. Phương tích..... ....................................................................................................3 1.2. Trục đẳng phương...............................................................................................3 1.3. Tâm đẳng phương............................................................................................... 5 §2. Góc giữa hai đường tròn. Hai đường tròn trực g ia o ................................................. 5 2.1. Góc giữa hai đường tr ò n .................................................................................... 5 2.2. Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao........................ .................. 5' §3. Chùm đường trò n ................................................................................................................. 51 3.2. Các tính c h ấ t.......................................................................................................51 3.3. Các loại chùm đường trò n ............................................................... ..................'r> ! 3.4. Hai chùm đường tròn liên hợp.........................................................................51 §4. Phép nghịch đ ả o .................................................................................................................. 6( 4.1. Định nghĩa.......................................................................................................... 6( 4.2. Một số tính chất của phép nghịch đ ảo.......................................... ................. 6( 4.3. Biểu thức tọa độ của phép nghịch đ ảo ............................................................ HI 4.4. Ánh của đường thẳng qua phép nghịch đảo................................................... 6Í 4.5. Anh của đường tròn qua phép nghịch đ ảo ..................................................... 6í 4.6. Tính bảo giác của phép nghịch đảo.................................................................6Í §5. Mặt cẩu.................................................................................................................................... 6í 5.1. Phương tích của một điểm đối vói mặt cầu.................................................... (ÌS 5.2. Góc giữa hai mặt cầu. Hai mặt cầu trực giao................................................65 5.3. Chùm mặt c ầ u ...................................................................................................6Ể 5.4. Các loại chùm m ặt cầu..................................................................................... 6G 5.5. Phép nghịch đảo trong không g ia n ................................................................ 67 5.6. Phép chiếu n ổ i...................................................................................................6fl §6. Độ dài đường tròn. Diện tích của hình trò n ................................................................69 6.1. Độ dài đường tròn.......................................................................... .................. 69 6.2. Tính chất của độ dài đường tr ò n .................................................................... 70 6.3. Diện tích hình trò n ........................................................................................... 71 §7. Một số chủ để Sem inar về đường tròn và mặt c ầ u ................................................ 73 Bài tập chương 3 ......................................................................................................................... 74 4
Chương 4. QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH §1. Bà toán quỹ tíc h ......................................................................................................... 77 1.1. Khái niệm về quỹ tích................................................................................ 77 1.2. Bài toán quỹ tích có dạng chứng m in h .................................................... 78 ] .3. Bái toán tìm quỹ tíc h ................................................................................. 80 1.4. Một sô quỹ tích cơ b ả n ............................................................................... 83 1.5. Ap dụng các phép biến hình đê giải bài toán quỹ tích.............................83 1.6. Dùng phương pháp tọa độ đê giải bài toán quỹ tíc h ......................... . 86 §2. Dựng h ìn h ...................................................................................................................... 89 2.1. Khái niệm về dựng h ìn h ............................................................................ 89 2.2. Các tiên để của phép dựng hình (bằng thước và compa)........................ 90 2.3. Bài toán dựng h ìn h .................................................................................... 90 2.4. Các bài toán dựng hình cơ b ản .................................................................. 92 2.5. Các bước giải một bài toán dựng h ìn h ...................................................... 92 2.6. Áp dụng quỹ tích đê giải các bài toán dựng hình.....................................95 2.7. Áp dụng các phép biến hình đê giải bài toán dựng h ìn h ........................ 98 2.8. Dựng hình bằng phương pháp đại sô’.......................................................101 2.9. Điều kiện giải được bài toán dựnghình bằng thưâc và compa.............. 106 §3. Một sô 'ch ủ để s e m in a r............................................................................................ 110 Bài tập chương 4 ................................................................................................................ 111 Chương 5. MỘT s ố BÀI TOÁN N ổl TIẾNG §1. Một số bài toán dựng hinh cổ ................................................................................ 117 1.1. Bài toán gấp đôi khối lập phương........................................»................117 1.2. Bai toán cảu phương hinh trò n ................................................................118 §2. Các bài toán k h á c ..................................................................................................... 119 2.1. Bài toán Copernic......................................................................................119 2.2. Tam giác Morley. Định lí Morley.............................................................120 2.3. Bài toán Fermat. Điểm Fermat................................................................122 2.4. Bài toán Torricelli.....................................................................................123 2.5. Bài toán Napoléon.....................................................................................124 §3. Một số chủ đế sem ina r và bài t ậ p ........................................................................ 127 3. !. Tâm tỉ cự............................................................................... ................. 127 3.2. Tọa độ tỉ c ự ................................................................................................ 129 5
Chương 6. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HỈNH HỌC §1. Các phương pháp suy luận trong giải toán hình h ọ c..............................................13 1.1. Phương pháp suy luận diễn dịch.....................................................................12 1.2. Những suy luận có lí thường gập trong giải toán hình học...........................] 4 §2. Các bưỏc giải một bài toán hình h ọ c ...........................................................................15 2.1. Tìm hiểu đề to á n .............................................................................................. 15 2.2. Tìm tòi lòi giải của bài to án............................................................................ 15 2.3. Trình bày lòi giải của bài to á n ...................................................... ................ 16 2.4. Nhìn lại bài toán và lời g iải............................................................................ 16 §3. Sem inar giải toán hình h ọ c ............................................................................................17 3.1. Công tác chuẩn bị............................................................................................. IV 3.2. Tiến hành buổi sem inar........................................................................ ....... 17 §4. Một sô chủ đề sem in ar....................................................................................................17 Chương 7. MỘT sô' DẠNG TOÁN HÌNH HỌC §1. Bài toán chứng m in h ....................................................................................................... 17: 1.1. Chứng minh các hình bằng n h a u ..................................................................17: 1.2. Chứng minh hai đưòng thẳng vuônggóc với n h a u ...................................... 1K( 1.3. Cốc bài toán liên quan đến đa giác nội tiếp,ngoại tiếp đường trcòm..... 18i 1.4. Chứng minh các hệ thức hình học................................................................ 19! 1.5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đưòng thẳng đồng quy hoặc song song................................................................................................ 20ị §2. Tính toán trong hinh h ọ c ............................................................................................... 22
LỜI NÓI ĐẨU Nội dung cuốn sách "Hình học sơ cấp và Thụt hành giái toán" bao gốm: - Một số vấn đế của Hình học so cấp, khái niệm về các hình hinh học, lí thuyết din tích, thể tích; những vấn đề về đường tròn, mạt cầu, phép nghịch đảo; toán quỹ tíc và dựng hình. - Một số phương pháp giải toán hình học, cách tim tòi lời giải và khai thác bài ton, một sô' dạng toán hình học sơ cấp thường gặp giúp sinh viên dễ học, và nhận bi( cách giải bài toán hình học. Cẩn lưu ý vận dụng những kiến thức được học ở chương trình CĐSP trong việc gi; toán Hinh học sơ cấp, biết thu hẹp, mở rộng, đề xuất các bài toán mới. Ngoài ra, còn giới thiệu một số chủ đề seminar cho mỗi chương, dành cho sinh vin học tập theo phương pháp mới, tổ chức các seminar, tự tìm tòi nghiên cứu, hội tho. Giới thiệu một sô bài toán hinh học nổi tiếng được coi như gợi ý cho việc tim thm các chủ để seminar, sưu tầm các bài toán, vận dụng kiến thức học ỏ CĐSP giải ton Hinh sd cấp, sưu tầm các tư liệu lịch sử toán và tiểu sử các nhà toán học, đặc bií việc lấy dữ liệu trên mạng Internet,... sẽ làm cho các hoạt động học tập theo hưng tự học, tự nghiên cứu của sinh viên được tích cực, sôi động, mở rộng và phong ph hơn. Một sô' gợi ý cho việc tổ chức seminar được nói đến ở chương 6. Căc tâc glả chản thành cám ơn GS Đoàn Quỳnh, PGS Nguyên Đăng Phất đã đọ và góp nhiều ý kiến sâu sắc quý báu cho giáo trinh này. CÁC TÁC GIẢ 7
Chương 1 ĐA GIÁC VÀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC §1. ĐA GIÁC 1.1 Các định nghĩa Đ ường g âp k h ú c. Đường gấp khúc n cạnh là hình hợp thành bởi n đoại thẳng A1 A2 A2, A3.... A„A„ + „ trong đó hai đoạn thẳng liên tiếp A,_iAi và V , 1 1 không cùng nằm trên một đường thẳng (i = 2, 3,..., n). ịA Đường khấp khúc như trên được kí hiệu là AiA2... A„ t Các điểm Aj gọi là các đỉnh của đường gấp khúc (có n + 1 đỉnh), còn các đoạn thẳng A,A, + 1 gọi là các cạnh của đường gấp khúc. Từ định nghĩa trêi ta suy ra hai cạnh liên tiếp Aị_,Ai và AịA, + J chỉ có điểm chung duy nhít là đỉnh A, (hình 1). Hình 1 Đ a g iác. Đa giác n cạnh là đường gấp khúc n cạnh (n > 3) AịẨ2...A n *, sa o cho đỉnh đầu Aj và đỉnh cuối A„ + J trù n g nhau, cạnh đầu A[Ẩ2 và cạnh cuối AnA„ + ! (cũng coi là hai cạnh liên tiếp) không nằm trêi một đưòng thẳng. Đa giác như th ế kí hiệu là AtA2...A„. Đa giác n cạnh còn gọi là n-giác. Các điểm A, gọi là các đỉnh của đa giác, các đoạn thẳng AiAj 1 1 gọi là các cạnh của đa giác. Góc Ai_, AịAị», gọi là góc đa giác ở đỉnh A, (hình 2). 9 /
a) b) c) d) e) Hình 2. Các đa giác Đ a g iá c đ ơ n . Đa giác đơn là đa giác m à b ất kì h ai cạnh khõm g? liên tiếp nào cũng không có điểm chung. Trong hình 2, các đa giác d, e không phải là đa giác đơn, các đỉa 1 giác còn lại đều là đa giác đơn. „ Đ a g iá c lồ i. Đa giác lồi là đa giác m à nó nằm về m ột phía đìô'3i với đường thẳn g chứa b ất kì một cạnh nào của đa giác đó. Hiển nhiên các đa giác lồi là những đa giác đơn. Trong hình 2, đa giác b là đa giác lồi, các đa giác còn lại đểu IkHiông phải là đa giác lồi. 1.2. M iền trong, diêm tro n g của da giác Đ ịn h lí J o r d a n . Cho H là đa giác nằm trong m ặt p h ẳ n g p. Kỉhn đó tập hợp P\H là hợp của hai tập hợp H° và H*, có các tín h chất sau đ â y : i) Bất kì hai điểm nào cùng thuộc vào m ột trong hai tập hợp đ ó đều có thê nôì với nhau bang một đường gấp khúc không có điểm chung vớti IH. ii) Một đường gấp khúc bất kì nối hai điểm thuộc hai tập H° ivcà H* thì luôn có điếm chung với H. iii) Tập H° không chứa đường thắng nào, tập H* có chứa mhiững đường thẳng. 10
Đ inh n g h ĩa . Tập H° nói trong định lí Jordan được gọi là miền trong DỦađc giác H. Tập H* được gọi là miền ngoài của đa giác H. yiỗi điểm của H° gọi là điểm trong của đa giác H. VIỗi điếm thuộc H* gọi là điểm ngoài của đa giác H Tập H° u H = P\H* gọi là miền đa giác H. Miền đa giác H được kí hiệu là [H] (hình 3). Chứng m inh định lí Jordan: Chứng minh định lí Jordan cho trường hợp teng quát khá phức tạp. Sau đây ta chỉ trình bày chứng minh trong trưmg hợp H là đa giác lồi. Giả sử H là đa giác lồi n cạnh. Ta kí hiệu Si (i = 1, 2,... n) là n đường thẳigchứa mỗi cạnh của H. Vì H là đa giác lồi nên H nằm về một phía đôi với mỗi Sị. Ta kí hiệu Sj° là nửa m ặt phang mở với bờ là Si, và chứa tập H\Sị, còn Si* là nửa mặt phẳng mở đối của nửa m ặt phẳng Sj° qua bờ chung là díờng thẳng s„ tức là p = SịViSịUSị* (hình 4). Ta đặt: H " = n s » ; H* = ủ s ; . 11 = i=l 11
Hình 4 Dễ chứng m inh rằng P \H = H° u H*, và H° n H ’ = 0 , nên ta chÊhỉ còn phải chứng m inh các tín h chất i), ii), iii). i) Xét trường hợp A, B là hai điểm thuộc H°, tức là A và B đểu tl thuộ Sj°, với mọi i = 1, 2,..., n. Như vậy đoạn th ẳn g AB c Si° với mọi i = 1, 2,..., n. Suy r a AB c c H°, và do đó AB chính là đường gấp khúc không có điểm chung với H. Bây giờ xét trường hợp A, B là hai điểm thuộc H*. Theo định nỊ nghĩa của H*, có i và j để A e Sj* và B 6 Sj‘. Nếu i = j th ì hiển nhiên đoạn tbthắng AB c Si* tức AB c H*, và AB là đường gấp khúc nối A với B (h ìn h 5). Hình 5 12
Nếu i * j, chẳng hạn j = i + k > i. Ta lấy điểm A1 s Sị‘nS'j + A2 6 s*i ♦ ! n s*ị 1 Ak 6 s*j _ , n s*j. Chú ý rằng s*m'I s ’m, , * 0 nên có thể lấy được các điểm như thế. Khi đó hiển nhiên ta có cLròng gấp khúc AA,A2...AkB nằm trong H* và nối A với B (hình 5). ii) Giả sử A e H° còn B 6 H \ ta phải chứng minh rằng mọi đường gấp khú: nối A và B đều phải có điểm chung với H. Trước h ế t ta chứng tỏ rằng đoạn thẳng AB phải cắt H. Ta xét các góc AịAA, + I với i = 1, 2,..., n + 1. Điểm B phải thuộc một trong những góc đó và vì B thuộc H" nên đoạn th ẳn g AB phải cắt một trong các cạnh củađa giác. Bây giờ để chứng minh ii) ta giả sử ngược lại, có một đường gấp khú: AiAa- .An không có điểm chung với H, trong đó Aj trùng A và An trù ig B. Vì đoạn thẳng A,A2 không cắt H và A, thuộc H°, nên theo chứng mirh trên A2 cũng phải thuộc H°.... tiếp tục suy ra Anl tức B cũng thuộc H°, liều đó là vô lí. iii) Trong m ặt phảng p lấy điểm o và xét đường tròn (O, R) với bán kíni R đủ lớn sao cho mọi đỉnh của đa giác lồi H đều nằm trong (0, R). Khi đó cễ chửng minh rằng miên trong H° cũng nằm trong đường tròn đó. Từ đó aiy ra không có đường thẳng nào nằm trong H°, và mọi đưòng thẳng khôig cắt đưòng tròn (O, R) đều nằm trong H". 1.3. Các tính chất của da giác Trong m ặt phang cho điểm A và một sô' e > 0, tập hợp tấ t cả những đ iể n c á c h A m ộ t k h o ả n g n h ỏ h ơ n c được goi là lâ n c ậ n c c ủ a đ iô m A. N ói khá: đi lân cận 8 của điểm A là tập hợp những điểm nằm trong đưòng tròn tâmA bán kính E. Lân cận đó được kí hiệu là (A, e). a) Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm trong của đa giác H là có một lân cận e của A chứa trong H°, nói khác đi có £ > 0 sao cho (A, s) c H°. T hật vậy, nếu A là điểm trong của H, ta chọn E là số dương, sao cho E < AM với mọi điểm M e H. Khi đó nếu điểm B e (A, e) thì hiển nhiên đoại thẳng AB cũng không cắt H. Vì A là điểm trong nên B cũng là điển trong. Ngược lại nếu điểm A có lân cận (A, e) c H° thì cô nhiên A 6 H°, tức A là đ ểm trong của H. 13
b) Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm ngoài của H là có) rnrnột lâi cận e của A chứa trong H*: (A, e) c H*. Chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng m inh tín h chất ía).). . Từ đí suy ra: c) Nếu A e H thì mọi lân cận (A, e) đều có chứa điểm trong vvàà điêiT ngoài của H. Cho A là một đỉnh nào đó của đa giác đơn H, và hai cạnh c ủ ả a a H có chung đỉnh A là AB và AC. Khi đó lân cận (A, e) (không kể nhữínigg điểm thuộc AB, AC) được phân th à n h hai phần: một phần nằm trong ịgcóoc BAC mà ta kí hiệu là p hần I, và phần kia nằm ngoài góc BAC m à ta kíí }hhiệu là phần II. Hiển nhiên nếu một trong hai phần đó chứa một điểimn trong (tương ứng một điểm ngoài) của H th ì mọi điểm của p h ần đó đều llàà điểm trong (tương ứng là điểm ngoài) của H. Vì lân cận (A, s) phải chứa cả điểm ngoài và cả điểm trong nêm i t ta suy ra: Một trong hai p hần đó chứa trong H°, và phần kia chứa trong HI*.. Đ ịn h n g h ĩa . Đ ỉnh A được gọi là đỉnh lồi nếu p h ầ n I chứa tiroonng H". và được gọi là đỉnh lõm nếu phần II chứa trong H‘. Trên hình 6 ta có các đỉnh lồi là A), A2, A4, Ae, A, và các đỉnlh lđõm là •A A5. -3, a2 A7 Hình 6 14
DỊnh lí. Mỗi đa giác đơn có ít nhất là một đỉnh lòi. Chứng minh: Giả sử H là một đa giác đã cho (hình 7). M m Qua các đỉnh của H ta vẽ các đưòng thẳng song song với nhau. Giả sử các tưòng thẳng đó nằm ngang thì ta hãy chọn đường thẳng cao nhất, gọi nó li dường thẳng a và gọi đỉnh của H nằm trên a là A. Kí hiệu hai cạnh của tỉ xuất phát từ A là AB và AC. Mọi điểm M nằm cao hơn đường thẳng a đẩi ]à điểm ngoài của H, vì nếu gọi m là đưòng thẳng đi qua M và song sont vái a thì m không cắt H nên nó nằm ngoài H, và do đó M là điểm ngoii. Từ đó ta suy ra trong lân cận đủ bé của đỉnh A, phần I phải nằm dưóĩđường thẳng a tức là nằm trong góc BAC. Nói khác đi A là đỉnh lồi. 1.4. Phân hoạch - Sự đống phân của các da giác P hân h o ạ c h c ủ a đa giác. Đa giác H gọi là được phân hoạch thành các (agiác H,, H„ nếu: i) Các đa giác Hị đôi một không có điểm trong chung, túc là Hị° n Hj° = 0 nếu i * j. ii) Miền đa giác H là hợp của cốc miền đa giác H,: i=l 15
Nếu đa giác H được phân hoạch th àn h các tam giác th ì cáiclchh phâ| hoạch đó gọi là tam giác phản. Đ ư ờ n g c h é o c ủ a d a g iác. Một đoạn thẳng nối hai đỉnh k h h áô n g ki nhau của một đa giác gọi là một đường chéo của đa giác đó. Đ ịn h lí. B ằng một đường chéo thích hợp mọi n-giác đơn có tthháê phâi hoạch thành hai đa giác có sô'cạnh bé hơn n. Chứng minh: Giả sử H là một n - đa giác đã cho (n > 3). Ta lââjïy BA( là một góc nào đó của H sao cho A là đỉnh lồi. Nếu miền tam giác ABC ngoài ba đỉnh A, B, c không còn ehuứứa mội đỉnh nào nữa của H th ì dễ thấy rằng bằng đường chéo BC ta phân hao.oạch Ü thành hai đa giác mà một trong chúng là tam giác ABC, còn đa giácc : kia CC n - 1 cạnh, (hình 8a). B Hình 8a Nếu miền tam giác ABC có chứa các đỉnh của H khác với A, Bỉ, , c thì ta hãy vẽ qua các đỉnh đó những đường thẳng song song với BC v à g?ọpi p là một trong các đỉnh đó nằm trên đường thẳng song song vối BC gần /A \ nhất (hình 8b). Ta chứng m inh rằng đường chéo AP không có điểm chum pg nào với H ngoài hai đỉnh A và p. T hật vậy, giả sử có điểm M nằm giữa /A \ và p và M thuộc H. Vì M không phải là đỉnh của H nên M thuộc cạnh KL nnào đó của H. Có ít n h ất một trong hai đưòng thẳng đi qua K, L và song sronng với BC nằm cao hơn đường th ẳn g đi qua p mà ta đã chọn. Suy ra có lít t nhất một trong hai đỉnh K, L nằm ngoài tam giác ABC, do đó một trompg hai cạnh AB hoặc AC phải cắt cạnh KL, trái với giả th iết H là đa giác đơm.i. 16
Hlnh 8b Từ định lí trên, bằng phương pháp quy nạp theo sô cạnh n của đa giát, ta suy ra: D ịnh li. Mọi đa giác đơn bất ki đều có tam giác phân. Các đ a giác đổng p h ân . Hai đa giác đơn Hi và H2 được gọi là đồrq phân nếu chúng được phân hoạch thành các đa giác đôi một tương ứng bằn; nhau. {Chú ý: Hai đa giác gọi là bằng nhau nếu có phép đắng cự biến đa giá( này thành đa giác kia). Ví dụ: Một hình chữ nhật luôn có tam giác đồng phân với nó. Ngược lạ i noi ta m g iá c lu ô n lu ô n có K ìn h c h ữ n h ậ t đ ồ n g p h â n vổi nó. Thật vậy, đối với hình chữ nhật ABCD ta lấy C’ là điểm đối xứng vói điển c qua điểm B thì hình chữ nhật đó đồng phân vói tam giác ACC’, (hìih 9a). A D C' B c Hình 9a 17
Ngược lại, cho tam giác ABC b ất kì. Giả sử BC là cạnh lón m lnhhất tb đưòng cao AH sẽ có chân là H nằm giữa hai điểm B và c. Gọi E, F llàlàà truni điểm hai cạnh AB và AC. Kẻ BB’ và CC’ vuông góc vói đường th ẳ n g Ị ỉ EF th ta dễ thấy tam giác ABC đồng phân với hình chữ n h ậ t BCC’B’, (hìnlh h 1 9b). A 1.5. Diện tích đa giác 1.5.1. Hàm diện tích Kí hiệu 2) là tập hợp tấ t cả các đa giác đơn trong m ặt phăng. Ánh xạ S: ă -» R+ (R+là tập hợp cấc sô’ thực dương) gọi là h ảnm n diện tích nếu nó thoả m ãn các tín h chất sau đây: i) Nếu hai đa giác H[ và H, bằng nhau thì S(H,) = S(H2). ii) Nếu đa giác H được phân hoạch th àn h các đa giác Hi, Hỉ„tn thì: s(H) = £s(H,). i=l iii) Nếu V là hình vuông có cạnh bằng 1 th ì S(V) = 1. N ếu có á n h xạ s n h ư th ế th ì giá tr ị S(H) sẽ gọi là d iện tíc :h h của đa giác H. 1.5.2. Sau đây với giả th iết tạm thời là hàm diện tích tồn tại, xét mộ)t t hàm s như thế, ta tìm cách tín h diện tích các hình đa giác. a) Đ ịn h lí. Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước c.ủủa nó (tức là tích độ dài hai cạnh liên tiếp). Chứng m in h : Trước h ết ta có nhận xét sau đây: Với N là sô' nígiỊuyên dương, mỗi hình vuông có cạnh bằng 1 có th ể phân hoạch th àn h N Ä 1 hình 18
vuôig có cạnh bằng 1/N. Theo tính chất i) của hàm diện tích các hình vuôig đó đều bằng nhau, theo tính chất ii) tổng các diện tích đó phải bằng diệi tích hình vuông lớn, tức là bằng 1 (tính chất iii). Từ đó suy ra diện tích mỗi hình vuông bé bằng 1/N2. B, B B2 Hình 10 Bây giò giả sử cho hình chữ nhật ABCD, với AB = a và AD = b. Ta kí hiệv q = 1/N, thì theo tiên đề Archimedes, ta có các số nguyên m và n sao '.ho: mq < a < (m + l)q và nq < b < (n + l)q ( 1) Trên tia AB ta đặt các đoạn thẳng AB, = mq và AB2 = (m + l)q Trên tia AD đặt các đoạn thẳng AD, = nq và AD2 = (n + l)q. Nếu ta dựng các hình chữ nhật A B ^ D , và AB2C2D (hình 10), thì từ các inh chất của hàm diện tích, ta suy ra: S(AB,C,D,) < S(ABCD) < S(AB2C2D2). Cũng từ các tính chất của hàm diện tích ta có: S(AB,C,D,) = mnq2, S(AB2CD2 = (m + l)(n + l)q2 ) Như vậy là: mnq2 < S(ABCD) < (m + l)(n + l)q2 (2) Mặt khác từ các bất đẳng thức (1) ta suy ra: 19