46
TẠP CHÍ KHOA HỌC
Trần Văn Khiên và cs. (2023)
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ
(30): 46 - 51
TIÊU CHUẨN TÍNH TAUT MODULO MỘT TẬP CON GIẢI TÍCH CỦA
MỘT MIỀN HARTOGS
Trần Văn Khiên, Vũ Thị Thủy, Trần Thị Liễu và Hoàng Thu Thủy
Trường Đại học Xây dựng Hà Nội
Tóm tắt: Mục đích của bài báo này là đưa ra các điều kiện cần và đủ về tính taut modulo một
tập con giải tích của các miền kiểu Hartogs tổng quát. Cụ thể, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng một miền
Hartogs của không gian phức là taut modunlo một tập con giải tích khi và chỉ khi không gian nền
của nó là taut modulo một tập con giải tích, thớ của nó là taut và logarit của hàm xác định nên
miền Hartogs phải liên tục và đa điều h a dưới. Những k t quả của chúng tôi là sự cải ti n và tổng
quát hóa của những k t quả trong [16, Theorem 1.2] và [15, Theorem 3.1] đối với miền này.
Từ khóa: Taut module, tập con giải tích, miền Hartogs, không gian phức, tính hyperbolic.
1. GIỚI THIỆU
Cho là một không gian phức và cho
là hàm nửa liên tục trên
sao cho và
với . Đặt
{ }
Miền được gọi là miền kiểu Hartogs.
Với mỗi cố định, ta kí hiệu
{ } và gọi nó là thớ của
tại Nếu hàm H có dạng
trong đó là hai
hàm nửa liên tục trên, và
với thì ta sử dụng ký hiệu thay cho
và { } thay cho
Nếu hàm H có dạng
với , trong đó là một hàm nửa liên
tục trên thì ký hiệu được thay bởi .
Trong vài thập kỷ vừa qua, tính hyperbolic và
tính taut của những miền kiểu Hartogs đã được
nhiều tác giả nghiên cứu chuyên sâu. Chẳng hạn,
Jarnicki, Pflug, Thomas, Thái, Đức và Diệu [4, 5,
9, 10, 14] đã nghiên cứu về tính hyperbolic và tính
taut các miền loại Hartogs đặc biệt hay của
các miền Hartogs tổng quát, nhưng đòi hỏi tính bị
chặn của các miền. Sau đó, Park [7] đã khái quát
kết quả của họ và thu được các điều kiện cần và đủ
về tính hyperbolic và tính taut của các miền
Hartogs dạng trong đó là một miền
trong không cần bị chặn. Tiếp theo, Trào-Minh
[16] đã mở rộng và tổng quát hóa các kết quả của
Park về tính hyperbolic và tính taut cho các miền
Hartogs trong đó là một không gian
phức. Đối với tính taut của các miền Hartogs, họ
thu được Định l A dưới đ y.
Định lý A. [16, Theorem 1.2] Cho là một
không gian phức. Khi đó là taut n u và chỉ
n u taut, thớ là taut với bất kỳ và
là một hàm liên tục, đa điều hòa
dưới.
Đặc biệt, trong [14], Thái-Thomas, Trào-Đức
lần đầu tiên đã nghiên cứu tính taut modulo một
tập con giải tích S của các miền Hartogs trong
trường hợp tổng quát và thu được Định lý B sau
đ y.
Định lý B. [14, Theorem 2.3] Cho là một
không gian phức và là một tập con giải tích
trong . Khi đó,
i) N u là taut modulo thì là
taut modulo và là hàm liên tục, đa
điều h a dưới trên .
ii) Hơn nữa, n u là một không gian phức
bất khả quy địa phương và liên th ng và là một
tập con giải tích (thực sự) thì là đa
điều h a dưới trên
iii) Ngược lại, n u là taut modulo , liên
tục trên và là đa điều
h a dưới trên thì là taut modulo
Trong [14], họ đã đưa ra một ví dụ để cho
thấy rằng (ii) có thể không đúng trong trường
không gian phức tổng quát. Cụ thể, với
{ }
{ }
47
và , là taut
modulo nhưng không phải là một hàm đa điều
hoà dưới trên
Gần đ y, Thoan [15] đã đưa ra một phản ví dụ
để chỉ ra rằng kết luận của Định lý B iii) là không
đúng. Theo tác giả, đối với một miền taut modulo
một tập con giải tích của , tính taut của thớ
không thể bỏ qua. Vì vậy, tác giả đã phát
biểu lại và chứng minh điều đó ằng phương pháp
của Park trong [7]. Phương pháp này không dựa
vào Bổ đề Zorn như trong [14].
Định lý C. [15, Theorem 3.1] Cho là một
không gian phức và cho là một siêu mặt giải tích
trong . N u là taut modulo thì thớ là
taut với bất kỳ , là liên tục trên và
là đa điều h a dưới trên thì
là taut modulo
󰆻, với
󰆻
Nhận xét rằng, khi thì Định lý B i) trở
thành điều kiện cần trong Định lý A. Ngoài ra,
Định lý C chỉ được phát biểu cho trường hợp siêu
mặt giải tích, tức là tập con giải tích có chiều thuần
tuy và yêu cầu tính liên tục của trên toàn bộ
Do đó, cả hai Định lý B và C không thực
sự tổng quát hóa Định lý A .
Mục đích chính của ài áo là đưa ra tiêu
chuẩn cho tính taut modulo cho một tập con giải
tích của các miền kiểu Hartogs . Kết quả
của chúng tôi là một cải tiến cho Định l C. Điều
này giúp chúng tôi hoàn chỉnh Định lý B. Từ đó,
chúng tôi đã tổng quát hóa thực sự Định l A. Định
l 1.1 dưới đ y và hệ quả của nó là các kết quả
chính trong bài báo này.
Định lý 1.1. Cho là một không gian phức và
cho là một tập con giải tích trên . Khi đó
là taut modulo
󰆻 n u và chỉ n u
là taut modulo , thớ là taut với mọi
và là một hàm liên tục, đa
điều hoà dưới trên
Rõ ràng, Định l A là trường hợp riêng của
Định lý 1.1 khi . Do đó, kết quả của bài báo
này là tổng quát hóa cho Định lý A.
Từ các kết quả của Barth [1], ta thấy rằng
là taut nếu và chỉ nếu và là một hàm
liên tục, đa điều hòa dưới trên . Ngoài ra, nếu
là đa điều hòa dưới thì cũng là đa điều hòa
dưới. Từ Định lý 1.1 vừa nêu ở trên, ngay lập tức
ta có Hệ quả 1.2 dưới đ y. Trong trường hợp
hệ quả này trở thành kết quả của Park [7,
Theorem 5.2].
Hệ quả 1.2. Cho là một không gian phức
và S là một tập con giải tích trong . Khi đó,
là taut modulo
󰆻 n u và chỉ
n u là taut modulo , thớ là taut, là
liên tục, đa điều hoà dưới trên
2. CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ
Gọi là đ a đơn vị mở trong mặt phẳng phức.
Với mỗi không gian phức , kí hiệu là
tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ vào và
là hình cầu mở Euclid chiều tâm , bán
kính
Định nghĩa 2.1. [6] Cho là không gian
phức và cho là một tập con giải tích trong Ta
nói là taut modulo nếu là họ hàm
chuẩn tắc modulo Ngh a là, với mỗi dãy { }
trong một trong hai điều kiện sau được
thoả mãn:
i. - Tồn tại một dãy con của dãy { } hội tụ đều
trên mọi tập con compact tới
trong ;
ii. - Dãy { } là phân kì compact modulo trong
, tức là với mỗi tập compact và
mỗi tập compact tồn tại một số
nguyên sao cho với mọi
Nếu thì được gọi là taut. Ngay lập
tức, từ định ngh a ta suy ra rằng nếu
và là taut modulo thì X cũng là taut modulo
Đặc biệt, nếu là taut thì nó là taut modulo
đối với mọi tập con giải tích bất kỳ.
Nhận xét 2.2. có thể là taut mà
không là taut modulo Mặt khác, có thể là taut
modulo mà không là taut [14]. Tuy nhiên,
[15, Remark 1.2] cho thấy rằng nếu là taut
modulo siêu mặt giải tích S thì là taut.
Bổ đề 2.3. [11] Cho là một đa tạp phức. Gọi
là siêu mặt của không gian phức N u
{ } hội tụ đều trên mọi tập
con compact của tới ánh xạ , thì
hoặc
Mệnh đề sau đ y, tương tự như tiêu chuẩn của
Royden cho các miền taut [8].
Mệnh đề 2.4. [2] Cho là không gian phức
và cho là siêu mặt giải tích trong Khi đó,
là taut modulo n u và chỉ n u
{
}
với bất kỳ và Trong công
thức trên,
được định nghĩa bởi
48
{
}
{
}
trong đó và
là khoảng cách Poincaré trên đĩa đơn vị mở
Kết quả sau đ y là hệ quả trực tiếp của tiêu
chuẩn cho tính taut modulo cho một siêu mặt giải
tích.
Hệ quả 2.5. [2] Cho là một không gian
phức và S là một siêu mặt giải tích của N u
không là taut modulo thì tồn tại một số thực
và các dãy { } { }
{ }
{ } { } sao cho
i. i)
ii.
iii.
iv. hoặc
v.
Mệnh đề 2.6. [2] Cho là một không gian
phức, là một tập con giải tích trong và
là phân tích bất khả quy của . Khi
đó, là taut modulo n u và chỉ n u là taut
modulo với mọi
Mệnh đề 2.7. [2] Cho là một không gian
phức bất khả quy và là một tập con giải tích của
. Giả sử rằng không taut modulo . Khi đó, tồn
tại một siêu mặt giải tích của chứa sao cho
không taut modulo .
3. CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ 1.1
Điều kiện cần: Theo Định lý B (i), là taut
modulo , là hàm liên tục, đa điều hoà
dưới trên . Do đó, ta chỉ cần chứng tỏ
rằng là taut đối với mỗi .
Cố định . Lấy { }
( ) Với mỗi , gọi
là ánh xạ với ( ) .
Rõ ràng, xác định và { }
( ) Vì vậy, tính taut modulo
󰆻 của
có ngh a là có một dãy con { } hội tụ
trong hoặc phân kì compact
modulo
󰆻 trong .
Trường hợp đầu tiên, d dàng thấy rằng
{ } hội tụ đều trên mọi tập con compact của
đến trong .
Trường hợp thứ hai, lấy tập con compact
bất kỳ của và tập con compact bất kỳ của
, đặt { } Với là tập con
compact của
󰆻. Do đó ({ } )
{ } với mọi nào
đó. Điều này tương đương với
với mọi . Do đó, { } là phân kì
compact trong . Những điều này
giúp chúng ta chỉ ra rằng thớ là taut đối với
mỗi
Điều kiện đủ: Theo Mệnh đề 2.6, chỉ cần
chứng minh cho trường hợp là một không gian
phức bất khả quy. Giả sử không là taut
modulo
󰆻. Theo Bổ đề 2.7, chúng ta có thể lấy một
siêu mặt giải tích
chứa
󰆻
sao cho không là taut modulo
. Rõ ràng,
là một siêu mặt giải tích chứa và vì là taut
modulo nên cũng là taut modulo .
Để kết thúc chứng minh cho điều kiện đủ của
Định lý 1.1, chúng ta cần tinh chỉnh lại Định lý
Eastwood [15] cho tính taut modulo một siêu mặt
giải tích của một không gian phức tương tự như
định lý Eastwood về tính hypebolic và tính taut của
một không gian phức [3, 10, 11, 15].
Bổ đề 3.1. Cho
và là hai không gian
phức. Cho
là ánh xạ chỉnh hình và là
siêu mặt giải tích trong . Giả sử với mỗi
tồn tại một lân cận mở nằm trong
sao cho là taut modulo
󰆻 . Khi
đó, n u là taut modulo thì
là taut modulo
󰆻.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.6. ta có thể coi
là không gian phức bất khả quy. Giả sử
không
là taut modulo
󰆻. Theo Hệ quả 2.5, ta có thể lấy
dãy { }
, { }
{ }
và { } { }
thoả mãn các điều kiện từ (ii) đến (v). Đặt
󰆻
(1)
và .
Theo Hệ quả 2.5. (ii), ta có
󰆻
.
49
Do tính taut modulo của nên tồn tại một
dãy con {
} hội tụ đều trên mọi tập con compact
của tới ánh xạ
Chú ý rằng, được suy ra
từ Bổ đề 2.3. Từ Hệ quả 2.5. (iii), ta có
( )
(2)
Vẫn do tính taut modulo của , ta suy ra tồn
tại một dãy con của dãy { } hội tụ đều trên mọi
tập con compact của tới ánh xạ
Không mất tính tổng quát, ta giả sử dãy con đó
cũng là { }. Chọn sao cho
. Từ (2) suy ra
, do đó ta có . Do
là một tập
con giải tích trên đ a đơn vị mở nên nó là một
tập rời rạc. Tập
vì thế mà không có điểm
tụ nào trong Có thể giả sử rằng
Khi đó
.
Do đó ( ) . Vậy
Đặt
Thế thì, với mọi ta có
Do vậy, tồn tại một lân cận mở của
và sao cho là taut
modulo
󰆻 và
với mọi
.
Tiếp theo, lấy sao cho ]
Do tính compact của tập ], có thể chọn một
tập hữu hạn { } ] sao cho
]
và với mọi { } tồn
tại { } sao cho
Không mất
tổng quát, giả sử
và cho
{ }
Với ta xét
( ( )) Giả sử tồn tại một
dãy con { } { } hội tụ đều trên tập con
compact của tới ánh xạ
. Từ Hệ quả 2.5.
(iv),
Điều này
mâu thuẫn với Hệ quả 2.5. (iv). Do tính taut
modulo
󰆻 của ( ) nên phân kì
compact modulo
󰆻 trên Vì
nên tồn tại một dãy con { } { } là
phân kì compact modulo
󰆻 trên
Vì
nên tồn tại một dãy con { }
{ } là phân kì compact modulo
󰆻 trên
Lặp lại quá trình này lần, ta chọn được
{ } với
và dãy con { }
{ } phân kì compact modulo
󰆻 trên
Do
đó, từ (iii) hoặc
( )
hoặc
( )
Lập luận tương tự như trên cho dãy con
{ }
ta thấy tồn tại dãy
{ } phân kì compact modulo
󰆻 trên
{ } { }. Nếu hội tụ đều trên các
tập con compact tới hàm
thì theo Bổ đề 2.3,
ta có
󰆻 . Điều đó có
ngh a là
( ) ( )
󰆻
󰆻
Điều này mâu thuẫn với (3) và (4). Bởi vậy,
tồn tại một dãy con { } { } sao cho
{ } hội tụ điểm trên
hoặc trên
󰆻 Rõ
ràng điều này mâu thuẫn với Hệ quả 2.5. (ii). Vậy
là taut modulo
Chứng minh điều kiện đủ của Định lý 1.1.
Xét phép chiếu định ngh a ởi
Do tính taut modulo siêu mặt giải
tích của và Nhận xét 2.2, ta có là taut.
Vì vậy, với mỗi tồn tại một lân cận taut
của sao cho Vì là hàm liên tục
trên và là taut với mỗi
nên tồn tại một hình cầu mở
thoả mãn
50
Tiếp theo, lấy họ { } ( )
Do là taut nên tồn tại một họ con chuẩn tắc
của . Ngh a là, tồn tại một dãy con
{ } { } hoặc là hội tụ đều hoặc là
hoặc là phân kì compact trong
Đối với trường hợp thứ hai, dãy { } là
một dãy con của nên nó phân kì
compact.
Đối với trường hợp thứ nhất, đặt
trong đó { } và
{ } Giả sử { } hội tụ đều
trên các tập con compact của đến hàm
Hiển nhiên
và . Do tính taut của nên hoặc
hoặc Nếu trường hợp thứ
nhất xảy ra, rõ ràng và do đó
{ } là phân kì compact trong
( ) Nếu trường hợp thứ hai xảy ra, đặt
Khi đó, do và là hàm liên
tục, đa điều hoà dưới trên nên là
hàm liên tục, đa điều hoà trên và với
mọi . Theo nguyên lí cực đại cho các hàm đa
điều hòa thì hoặc với mọi hoặc
với mọi . Ngh a là, hoặc
hoặc . Hệ quả là dãy
{ } là hội tụ đều trong hoặc
là phân kì compact. Từ đó, ta suy ra
là taut và là taut modulo
Áp dụng Bổ đề 3.1, ta có thể kết luận
là taut modulo
Điều này mâu thuẫn với giả
thiết. Vì vậy, tính taut modulo
của được
chứng minh.
KẾT LUẬN
Bài áo đã tổng quát hóa các kết quả có trước
đó về tính taut modulo một tập con giải tích của
một miền Hartogs tổng quát. Cụ thể, chúng tôi đã
chứng minh được rằng miền Hartogs là
taut modulo tập con giải tích
󰆻 nếu và
chỉ nếu không gian nền là taut modulo , thớ
là taut với mọi và là
một hàm liên tục, đa điều hoà dưới trên
Kết quả của chúng tôi được xét cho trường
hợp S là một tập con giải tích bất kì của không
gian phức X. Trong khi đó, kết quả tốt nhất trước
đó [15] mới chỉ chứng minh được cho trường hợp
S là một siêu mặt giải tích. Để có được kết quả
này, chúng tôi dựa vào sự tồn tại một siêu mặt giải
tích đi qua một tập con giải tích trong [2] của tác
giả P. V. Duc, P. N. T. Trang và M. A. Duc, sau đó
sử dụng lập luận trong [15] để giải quyết vấn đề.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. T. J. Barth, The Kobayashi indicatrix at the
center of a circular domain, Proc. Amer. Math.
Soc. 88 (1983), 527 530.
2. P. V. Duc, P. N. T. Trang and M. A. Duc, On
tautness modulo an analytic subset of complex
spaces, Acta Math. Vietnam 42 (2017), 717-
726.
3. A. Eastwood, À propos des variétés
hyperboliques complètes, C. R. Acad. Sci. Paris
280 (1975), 1071–1075.
4. M. Jarnicki and P. Pflug, Invariant Distances
and Metrics in Complex Analysis, Walter de
Gruyter, Berlin-New York (1993).
5. M. Jarnicki, P. Pflug and W. Zwonek, On
Bergman completeness of non-hyperconvex
domains, Univ. Iag. Acta. Math. 38 (2000),
169-184.
6. S. Kobayashi, Hyperbolic complex spaces,
Springer-Verlag, Berlin, 1998.
7. S. H. Park, On hyperbolicity and tautness of
certain Hartogs type domains, Rokey mountain
J. Math. 37 (2007), 959-985.
8. H. L. Royden, Remark on the Kobayashi
metric, in Several complex variables, II,
Lectrure Notes in Math., vol.189, Springer-
Verlag, Berlin, 1971, 125-137.
9. D. D. Thai and N. Q. Dieu, Complete
hyperbolicity of Hartogs domain, Manuscripta
Math. 112 (2003), 171-181.
10. D. D. Thai and P. V. Duc, On the complete
hyperbolicity and the tautness of the Hartogs
domains, Intern. J. Math. 11 (2000), 103-111.
11. D. D. Thai, M. A. Duc and N. V. Thu, On limit
brody curves in , Kyushu J. Math. Vol. 69
(2015) No. 1, 111-123.
12. D. D. Thai and N. L. Huong, A note on the
Kobayashi pseudodistance and the tautness of
holomorphic fiber bundles, Ann. Polon. Math.
58 (1993), 1-5.
13. D. D. Thai and P. J. Thomas, D*-extension
property without hyperbolicity, Indiana. Univ.
Math. J. 47 (1980), 1125-1130.
14. D. D. Thai, P. J. Thomas, N. V. Trao and M.
A. Duc, On hyperbolicity and tautness modulo
an analytic subset of Hartogs domains, Proc.
Amer. Math. Soc 141 (2013), 3623-3631.
15. P. D. Thoan, A remark on the tautness modulo
an analytic hypersurface of Hartogs type
domains, Ukrains‟kyi Matematychnyi Zhurnal,
72 (2020), No. 1, 119-129.