Tiêu chuẩn tính taut modulo một tập con giải tích của một miền Hartogs

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của bài viết này là đưa ra các điều kiện cần và đủ về tính taut modulo một tập con giải tích của các miền kiểu Hartogs tổng quát. Nghiên cứu chỉ ra rằng một miền Hartogs của không gian phức là taut modunlo một tập con giải tích khi và chỉ khi không gian nền của nó là taut modulo một tập con giải tích, thớ của nó là taut và logarit của hàm xác định nên miền Hartogs phải liên tục và đa điều hòa dưới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tiêu chuẩn tính taut modulo một tập con giải tích của một miền Hartogs

TẠP CHÍ KHOA HỌC Trần Văn Khiên và cs. (2023) Khoa học Tự nhiên và Công nghệ (30): 46 - 51 TIÊU CHUẨN TÍNH TAUT MODULO MỘT TẬP CON GIẢI TÍCH CỦA MỘT MIỀN HARTOGS Trần Văn Khiên, Vũ Thị Thủy, Trần Thị Liễu và Hoàng Thu Thủy Trường Đại học Xây dựng Hà Nội Tóm tắt: Mục đích của bài báo này là đưa ra các điều kiện cần và đủ về tính taut modulo một tập con giải tích của các miền kiểu Hartogs tổng quát. Cụ thể, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng một miền Hartogs của không gian phức là taut modunlo một tập con giải tích khi và chỉ khi không gian nền của nó là taut modulo một tập con giải tích, thớ của nó là taut và logarit của hàm xác định nên miền Hartogs phải liên tục và đa điều h a dưới. Những k t quả của chúng tôi là sự cải ti n và tổng quát hóa của những k t quả trong [16, Theorem 1.2] và [15, Theorem 3.1] đối với miền này. Từ khóa: Taut module, tập con giải tích, miền Hartogs, không gian phức, tính hyperbolic. 1. GIỚI THIỆU phức. Đối với tính taut của các miền Hartogs, họ Cho là một không gian phức và cho thu được Định l A dưới đ y. Định lý A. [16, Theorem 1.2] Cho là một là hàm nửa liên tục trên không gian phức. Khi đó là taut n u và chỉ sao cho và n u taut, thớ là taut với bất kỳ và với . Đặt là một hàm liên tục, đa điều hòa { } dưới. Miền được gọi là miền kiểu Hartogs. Đặc biệt, trong [14], Thái-Thomas, Trào-Đức Với mỗi cố định, ta kí hiệu lần đầu tiên đã nghiên cứu tính taut modulo một { } và gọi nó là thớ của tập con giải tích S của các miền Hartogs trong tại Nếu hàm H có dạng trường hợp tổng quát và thu được Định lý B sau trong đó là hai đ y. hàm nửa liên tục trên, và Định lý B. [14, Theorem 2.3] Cho là một với thì ta sử dụng ký hiệu thay cho không gian phức và là một tập con giải tích và { } thay cho trong . Khi đó, Nếu hàm H có dạng i) N u là taut modulo thì là với , trong đó là một hàm nửa liên taut modulo và là hàm liên tục, đa tục trên thì ký hiệu được thay bởi . điều h a dưới trên . Trong vài thập kỷ vừa qua, tính hyperbolic và ii) Hơn nữa, n u là một không gian phức tính taut của những miền kiểu Hartogs đã được bất khả quy địa phương và liên th ng và là một nhiều tác giả nghiên cứu chuyên sâu. Chẳng hạn, tập con giải tích (thực sự) thì là đa Jarnicki, Pflug, Thomas, Thái, Đức và Diệu [4, 5, điều h a dưới trên 9, 10, 14] đã nghiên cứu về tính hyperbolic và tính iii) Ngược lại, n u là taut modulo , liên taut các miền loại Hartogs đặc biệt hay của các miền Hartogs tổng quát, nhưng đòi hỏi tính bị tục trên và là đa điều chặn của các miền. Sau đó, Park [7] đã khái quát h a dưới trên thì là taut modulo kết quả của họ và thu được các điều kiện cần và đủ về tính hyperbolic và tính taut của các miền Trong [14], họ đã đưa ra một ví dụ để cho Hartogs dạng trong đó là một miền thấy rằng (ii) có thể không đúng trong trường trong không cần bị chặn. Tiếp theo, Trào-Minh không gian phức tổng quát. Cụ thể, với [16] đã mở rộng và tổng quát hóa các kết quả của { } Park về tính hyperbolic và tính taut cho các miền { } Hartogs trong đó là một không gian 46
và , là taut Hệ quả 1.2. Cho là một không gian phức modulo nhưng không phải là một hàm đa điều và S là một tập con giải tích trong . Khi đó, hoà dưới trên là taut modulo ̃ n u và chỉ Gần đ y, Thoan [15] đã đưa ra một phản ví dụ n u là taut modulo , thớ là taut, là để chỉ ra rằng kết luận của Định lý B iii) là không liên tục, đa điều hoà dưới trên đúng. Theo tác giả, đối với một miền taut modulo 2. CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ một tập con giải tích của , tính taut của thớ Gọi là đ a đơn vị mở trong mặt phẳng phức. không thể bỏ qua. Vì vậy, tác giả đã phát Với mỗi không gian phức , kí hiệu là biểu lại và chứng minh điều đó ằng phương pháp tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ vào và của Park trong [7]. Phương pháp này không dựa là hình cầu mở Euclid chiều tâm , bán vào Bổ đề Zorn như trong [14]. kính Định lý C. [15, Theorem 3.1] Cho là một Định nghĩa 2.1. [6] Cho là không gian không gian phức và cho là một siêu mặt giải tích phức và cho là một tập con giải tích trong Ta trong . N u là taut modulo thì thớ là nói là taut modulo nếu là họ hàm taut với bất kỳ , là liên tục trên và chuẩn tắc modulo Ngh a là, với mỗi dãy { } là đa điều h a dưới trên thì trong một trong hai điều kiện sau được là taut modulo ̃, với ̃ thoả mãn: Nhận xét rằng, khi thì Định lý B i) trở thành điều kiện cần trong Định lý A. Ngoài ra, i. - Tồn tại một dãy con của dãy { } hội tụ đều Định lý C chỉ được phát biểu cho trường hợp siêu trên mọi tập con compact tới mặt giải tích, tức là tập con giải tích có chiều thuần trong ; tuy và yêu cầu tính liên tục của trên toàn bộ ii. - Dãy { } là phân kì compact modulo trong Do đó, cả hai Định lý B và C không thực , tức là với mỗi tập compact và sự tổng quát hóa Định lý A . mỗi tập compact tồn tại một số Mục đích chính của ài áo là đưa ra tiêu nguyên sao cho với mọi chuẩn cho tính taut modulo cho một tập con giải tích của các miền kiểu Hartogs . Kết quả Nếu thì được gọi là taut. Ngay lập của chúng tôi là một cải tiến cho Định l C. Điều tức, từ định ngh a ta suy ra rằng nếu này giúp chúng tôi hoàn chỉnh Định lý B. Từ đó, và là taut modulo thì X cũng là taut modulo chúng tôi đã tổng quát hóa thực sự Định l A. Định Đặc biệt, nếu là taut thì nó là taut modulo l 1.1 dưới đ y và hệ quả của nó là các kết quả đối với mọi tập con giải tích bất kỳ. chính trong bài báo này. Nhận xét 2.2. có thể là taut mà Định lý 1.1. Cho là một không gian phức và không là taut modulo Mặt khác, có thể là taut cho là một tập con giải tích trên . Khi đó modulo mà không là taut [14]. Tuy nhiên, là taut modulo ̃ n u và chỉ n u [15, Remark 1.2] cho thấy rằng nếu là taut là taut modulo , thớ là taut với mọi modulo siêu mặt giải tích S thì là taut. và là một hàm liên tục, đa Bổ đề 2.3. [11] Cho là một đa tạp phức. Gọi điều hoà dưới trên là siêu mặt của không gian phức N u Rõ ràng, Định l A là trường hợp riêng của { } hội tụ đều trên mọi tập Định lý 1.1 khi . Do đó, kết quả của bài báo con compact của tới ánh xạ , thì này là tổng quát hóa cho Định lý A. Từ các kết quả của Barth [1], ta thấy rằng hoặc là taut nếu và chỉ nếu và là một hàm Mệnh đề sau đ y, tương tự như tiêu chuẩn của liên tục, đa điều hòa dưới trên . Ngoài ra, nếu Royden cho các miền taut [8]. là đa điều hòa dưới thì cũng là đa điều hòa Mệnh đề 2.4. [2] Cho là không gian phức dưới. Từ Định lý 1.1 vừa nêu ở trên, ngay lập tức và cho là siêu mặt giải tích trong Khi đó, ta có Hệ quả 1.2 dưới đ y. Trong trường hợp là taut modulo n u và chỉ n u hệ quả này trở thành kết quả của Park [7, { ̃ } ̃ Theorem 5.2]. với bất kỳ và Trong công thức trên, ̃ được định nghĩa bởi 47
̃ Trường hợp đầu tiên, d dàng thấy rằng {̃ ̃ } { } hội tụ đều trên mọi tập con compact của { đến trong . Trường hợp thứ hai, lấy tập con compact } bất kỳ của và tập con compact bất kỳ của trong đó và , đặt { } Với là tập con là khoảng cách Poincaré trên đĩa đơn vị mở compact của ̃ . Do đó ({ } ) { } với mọi nào Kết quả sau đ y là hệ quả trực tiếp của tiêu đó. Điều này tương đương với chuẩn cho tính taut modulo cho một siêu mặt giải với mọi . Do đó, { } là phân kì tích. compact trong . Những điều này Hệ quả 2.5. [2] Cho là một không gian giúp chúng ta chỉ ra rằng thớ là taut đối với phức và S là một siêu mặt giải tích của N u mỗi không là taut modulo thì tồn tại một số thực Điều kiện đủ: Theo Mệnh đề 2.6, chỉ cần và các dãy { } { } chứng minh cho trường hợp là một không gian { } phức bất khả quy. Giả sử không là taut { } { } sao cho ̃. Theo Bổ đề 2.7, chúng ta có thể lấy một modulo i. i) ̃ siêu mặt giải tích ̃ chứa ̃ ii. sao cho không là taut modulo ̃ . Rõ ràng, iii. là một siêu mặt giải tích chứa và vì là taut iv. hoặc modulo nên cũng là taut modulo . Để kết thúc chứng minh cho điều kiện đủ của v. Định lý 1.1, chúng ta cần tinh chỉnh lại Định lý Mệnh đề 2.6. [2] Cho là một không gian Eastwood [15] cho tính taut modulo một siêu mặt phức, là một tập con giải tích trong và giải tích của một không gian phức tương tự như là phân tích bất khả quy của . Khi định lý Eastwood về tính hypebolic và tính taut của đó, là taut modulo n u và chỉ n u là taut một không gian phức [3, 10, 11, 15]. modulo với mọi Bổ đề 3.1. Cho ̃ và là hai không gian Mệnh đề 2.7. [2] Cho là một không gian phức. Cho ̃ là ánh xạ chỉnh hình và là phức bất khả quy và là một tập con giải tích của siêu mặt giải tích trong . Giả sử với mỗi . Giả sử rằng không taut modulo . Khi đó, tồn tồn tại một lân cận mở nằm trong tại một siêu mặt giải tích của chứa sao cho sao cho là taut modulo ̃ . Khi không taut modulo . đó, n u là taut modulo thì ̃ là taut modulo ̃. 3. CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ 1.1 Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.6. ta có thể coi Điều kiện cần: Theo Định lý B (i), là taut là không gian phức bất khả quy. Giả sử ̃ không modulo , là hàm liên tục, đa điều hoà là taut modulo ̃. Theo Hệ quả 2.5, ta có thể lấy dưới trên . Do đó, ta chỉ cần chứng tỏ dãy { } ̃, { } ̃ ̃ rằng là taut đối với mỗi . ̃ { } và { } { } Cố định . Lấy { } thoả mãn các điều kiện từ (ii) đến (v). Đặt ( ) Với mỗi , gọi ̃ (1) là ánh xạ với ( ) . và Rõ ràng, xác định và { } ̃ . Theo Hệ quả 2.5. (ii), ta có ( ) Vì vậy, tính taut modulo ̃ của ̃ . có ngh a là có một dãy con { } hội tụ trong hoặc phân kì compact modulo ̃ trong . 48
Do tính taut modulo của nên tồn tại một modulo ̃ của ( ) nên phân kì dãy con {̃ } hội tụ đều trên mọi tập con compact compact modulo ̃ trên Vì của tới ánh xạ nên tồn tại một dãy con { } { } là phân kì compact modulo ̃ trên Vì Chú ý rằng, được suy ra từ Bổ đề 2.3. Từ Hệ quả 2.5. (iii), ta có ̃ nên tồn tại một dãy con { } ̃ ( ) { } là phân kì compact modulo ̃ trên (2) Lặp lại quá trình này lần, ta chọn được Vẫn do tính taut modulo của , ta suy ra tồn { } với và dãy con { } tại một dãy con của dãy { ̃ } hội tụ đều trên mọi tập con compact của tới ánh xạ { } phân kì compact modulo ̃ trên Do Không mất tính tổng quát, ta giả sử dãy con đó đó, từ (iii) hoặc cũng là {̃ } . Chọn sao cho ( ) ̂ ̃ . Từ (2) suy ra hoặc , do đó ta có . Do là một tập ( ) ̃ con giải tích trên đ a đơn vị mở nên nó là một tập rời rạc. Tập vì thế mà không có điểm Lập luận tương tự như trên cho dãy con tụ nào trong Có thể giả sử rằng { } ̃ ̃ ta thấy tồn tại dãy Khi đó . { } phân kì compact modulo ̃ trên Do đó ( ) . Vậy { } { }. Nếu hội tụ đều trên các Đặt tập con compact tới hàm thì theo Bổ đề 2.3, Thế thì, với mọi ta có ̃ . Điều đó có ta có Do vậy, tồn tại một lân cận mở của ngh a là và sao cho là taut ( ) ( ) ̃ modulo ̃ và ̃ với mọi ̃ ̃ . Tiếp theo, lấy sao cho ] Điều này mâu thuẫn với (3) và (4). Bởi vậy, Do tính compact của tập ], có thể chọn một tồn tại một dãy con { } { } sao cho tập hữu hạn { } ] sao cho ] và với mọi { } tồn { } hội tụ điểm trên ̃ hoặc trên ̃ Rõ tại { } sao cho Không mất ràng điều này mâu thuẫn với Hệ quả 2.5. (ii). Vậy tổng quát, giả sử và cho ̃ là taut modulo ̃ { } Chứng minh điều kiện đủ của Định lý 1.1. Với ta xét Xét phép chiếu định ngh a ởi ( ( )) Giả sử tồn tại một Do tính taut modulo siêu mặt giải tích của và Nhận xét 2.2, ta có là taut. dãy con { } { } hội tụ đều trên tập con Vì vậy, với mỗi tồn tại một lân cận taut compact của tới ánh xạ của sao cho Vì là hàm liên tục . Từ Hệ quả 2.5. trên và là taut với mỗi (iv), ̃ Điều này nên tồn tại một hình cầu mở thoả mãn mâu thuẫn với Hệ quả 2.5. (iv). Do tính taut 49
Tiếp theo, lấy họ { } ( ) đó [15] mới chỉ chứng minh được cho trường hợp S là một siêu mặt giải tích. Để có được kết quả Do là taut nên tồn tại một họ con chuẩn tắc này, chúng tôi dựa vào sự tồn tại một siêu mặt giải của . Ngh a là, tồn tại một dãy con tích đi qua một tập con giải tích trong [2] của tác { } { } hoặc là hội tụ đều hoặc là giả P. V. Duc, P. N. T. Trang và M. A. Duc, sau đó hoặc là phân kì compact trong sử dụng lập luận trong [15] để giải quyết vấn đề. Đối với trường hợp thứ hai, dãy { } là TÀI LIỆU THAM KHẢO một dãy con của nên nó phân kì 1. T. J. Barth, The Kobayashi indicatrix at the compact. center of a circular domain, Proc. Amer. Math. Đối với trường hợp thứ nhất, đặt Soc. 88 (1983), 527 530. 2. P. V. Duc, P. N. T. Trang and M. A. Duc, On trong đó { } và tautness modulo an analytic subset of complex { } Giả sử { } hội tụ đều spaces, Acta Math. Vietnam 42 (2017), 717- 726. trên các tập con compact của đến hàm 3. A. Eastwood, À propos des variétés Hiển nhiên hyperboliques complètes, C. R. Acad. Sci. Paris và . Do tính taut của nên hoặc 280 (1975), 1071–1075. hoặc Nếu trường hợp thứ 4. M. Jarnicki and P. Pflug, Invariant Distances and Metrics in Complex Analysis, Walter de nhất xảy ra, rõ ràng và do đó Gruyter, Berlin-New York (1993). { } là phân kì compact trong 5. M. Jarnicki, P. Pflug and W. Zwonek, On Bergman completeness of non-hyperconvex ( ) Nếu trường hợp thứ hai xảy ra, đặt domains, Univ. Iag. Acta. Math. 38 (2000), Khi đó, do và là hàm liên 169-184. 6. S. Kobayashi, Hyperbolic complex spaces, tục, đa điều hoà dưới trên nên là Springer-Verlag, Berlin, 1998. hàm liên tục, đa điều hoà trên và với 7. S. H. Park, On hyperbolicity and tautness of mọi . Theo nguyên lí cực đại cho các hàm đa certain Hartogs type domains, Rokey mountain J. Math. 37 (2007), 959-985. điều hòa thì hoặc với mọi hoặc 8. H. L. Royden, Remark on the Kobayashi với mọi . Ngh a là, hoặc metric, in Several complex variables, II, hoặc . Hệ quả là dãy Lectrure Notes in Math., vol.189, Springer- Verlag, Berlin, 1971, 125-137. { } là hội tụ đều trong hoặc 9. D. D. Thai and N. Q. Dieu, Complete hyperbolicity of Hartogs domain, Manuscripta là phân kì compact. Từ đó, ta suy ra Math. 112 (2003), 171-181. là taut và là taut modulo ̃ 10. D. D. Thai and P. V. Duc, On the complete Áp dụng Bổ đề 3.1, ta có thể kết luận hyperbolicity and the tautness of the Hartogs domains, Intern. J. Math. 11 (2000), 103-111. là taut modulo ̃ Điều này mâu thuẫn với giả 11. D. D. Thai, M. A. Duc and N. V. Thu, On limit thiết. Vì vậy, tính taut modulo ̃ của được brody curves in , Kyushu J. Math. Vol. 69 chứng minh. (2015) No. 1, 111-123. 12. D. D. Thai and N. L. Huong, A note on the KẾT LUẬN Kobayashi pseudodistance and the tautness of holomorphic fiber bundles, Ann. Polon. Math. Bài áo đã tổng quát hóa các kết quả có trước 58 (1993), 1-5. đó về tính taut modulo một tập con giải tích của 13. D. D. Thai and P. J. Thomas, D*-extension một miền Hartogs tổng quát. Cụ thể, chúng tôi đã property without hyperbolicity, Indiana. Univ. chứng minh được rằng miền Hartogs là Math. J. 47 (1980), 1125-1130. taut modulo tập con giải tích ̃ nếu và 14. D. D. Thai, P. J. Thomas, N. V. Trao and M. chỉ nếu không gian nền là taut modulo , thớ A. Duc, On hyperbolicity and tautness modulo an analytic subset of Hartogs domains, Proc. là taut với mọi và là Amer. Math. Soc 141 (2013), 3623-3631. một hàm liên tục, đa điều hoà dưới trên 15. P. D. Thoan, A remark on the tautness modulo Kết quả của chúng tôi được xét cho trường an analytic hypersurface of Hartogs type hợp S là một tập con giải tích bất kì của không domains, Ukrains‟kyi Matematychnyi Zhurnal, 72 (2020), No. 1, 119-129. gian phức X. Trong khi đó, kết quả tốt nhất trước 50
16. N. V. Trao and T. H. Minh, Remarks on the Acta Math. Vietnam. 34 (2009), 375-387 Kobayashi hyperbolicity of complex spaces, A CRITERION FOR THE TAUTNESS MODULO AN ANALYTIC SUBSET OF HARTOGS TYPE DOMAINS Tran Van Khien, Vu Thi Thuy, Tran Thi Lieu và Hoang Thu Thuy Hanoi University of Civil Engineering Abstract: This article aims to provide necessary and sufficient conditions to the tautness modulo an analytic subset of Hartogs type domains in general. Specicially, this proves that a Hartogs domain of a complex space is taut modulo an analytic subset if and only if its background space is taut modulo an analytic subset, its fibers is taut and logarithm of function defined for Hartogs domain must be continuous and plurisubharmonic. Our findings stem from an improvement and generalization of the results in [16, Theorem 1.2] and [15, Theorem 3.1] for this domain. Keywords: Tautness modulo, Analytic subset, Hartogs type domains, complex spaces, hyperbolicities. Ngày nhận ài: 14/7/2022. Ngày nhận đăng: 20/12/2022 Liên lạc: Trần Văn Khiên. e-mail: thuyvt2@huce.edu.vn 51