Tiểu luận:Một số tính chất của dãy sinh bởi hàm số và áp dụng

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

91
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giới hạn dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình - chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Nội dung chính gồm 3 phần: - Trường hợp cùng chỉ số - Trường hợp lệch chỉ số - Phối hợp ba, bốn dãy số

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tiểu luận:Một số tính chất của dãy sinh bởi hàm số và áp dụng

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN Võ Qu c Thành M T S TÍNH CH T C A DÃY SINH B I HÀM S VÀ ÁP D NG Lu n văn th c sĩ toán h c Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ c p Mã s : 60 46 40 Ngư i hư ng d n khoa h c: GS.TSKH. Nguy n Văn M u QUY NHƠN, NĂM 2008
2 M cl c M đ u...................................... 1 Chương 1 M t s tính ch t cơ b n c a dãy s 3 1.1 C ps .................................... 3 1.1.1 C p s c ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 C p s nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 C p s đi u hoà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn .................... 5 1.2.1 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn c ng tính . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . 6 1.3 Dãy tuy n tính và phân tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng s ....... 7 1.3.2 Dãy phân th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 M t s bài toán áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chương 2 Hàm chuy n đ i m t s dãy s đ c bi t 12 2.1 Hàm chuy n ti p các c p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 Hàm b o toàn các c p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 Hàm chuy n đ i các c p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Dãy sinh b i m t s hàm s sơ c p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0 2.2.1 Dãy sinh b i nh th c b c nh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 Dãy sinh b i tam th c b c hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.3 Dãy sinh b i hàm phân tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.4 Dãy sinh b i hàm s lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 M t s bài toán áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 3 M t s tính toán trên các dãy s 20 3.1 Gi i h n c a dãy s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 M t s ư c lư ng t ng và tích vô h n ph n t . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Tính ch t c a m t s dãy s phi tuy n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1 M đu Chuyên đ dãy s và các v n đ liên quan đ n dãy s là m t ph n quan tr ng c a đ i s và gi i tích toán h c. Có nhi u d ng toán lo i khó liên quan đ n chuyên đ này. Đ i v i h c sinh ph thông, nh ng khái ni m dãy s thư ng khó hình dung v c u trúc đ i s trên t p các dãy s , đ c bi t là các phép tính đ i v i các dãy có ch a tham s , các phép bi n đ i dãy và đ i s các dãy,... Dãy s có v trí đ c bi t trong toán h c không ch như là nh ng đ i tư ng đ nghiên c u mà còn đóng vai trò như là m t công c đ c l c c a gi i tích toán h c. Trong nhi u kỳ thi h c sinh gi i qu c gia, thi Olympíc toán qu c t , các bài toán liên quan đ n dãy s cũng hay đư c đ c p và thư ng thu c lo i r t khó. Các bài toán v ư c lư ng và tính giá tr các t ng, tích cũng như các bài toán c c tr và xác đ nh gi i h n c a m t bi u th c cho trư c thư ng có m i quan h ít nhi u đ n các đ c trưng c a dãy tương ng. Các bài toán v dãy s đã đư c đ c p các giáo trình cơ b n v gi i tích toán h c và m t s tài li u b i dư ng giáo viên và h c sinh chuyên toán b c trung h c ph thông. Luân văn M t s tính ch t c a dãy sinh b i hàm s và áp d ng nh m cung c p m t s ki n th c cơ b n v dãy s và m t s v n đ liên quan đ n dãy s . Đ ng th i cũng cho phân lo i m t s d ng toán v dãy s theo d ng cũng như phương pháp gi i. Trong quá trình hoàn thành lu n văn , tác gi đã không ng ng n l c đ h c h i, tìm tòi và kh o sát m t s bài toán v dãy s . Lu n văn g m ph n m đ u và ba chương. Chương 1: M t s tính ch t cơ b n c a dãy s . N i dung c a chương này nh m trình bày đ nh nghĩa các dãy s đ c bi t và các tính ch t liên quan. Đ ng th i trình bày m t s bài toán áp d ng liên quan đ n c p s c ng, c p s nhân và các tính ch t đ c bi t c a chúng. Nêu m t s tính ch t cơ b n c a dãy s và các bài toán xác đ nh
2 các dãy s liên quan đ n các hàm sơ c p ph thông. Chương 2: Hàm chuy n đ i m t s dãy s đ c bi t. Chương này nh m gi i thi u m t s l p hàm b o toàn các dãy s đ c bi t nêu chương 1 và nêu các m i liên h gi a các hàm đã cho. Đ ng th i nêu xét các dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn và kh o sát m t s tính ch t c a các hàm chuy n đ i các dãy s đ c bi t Chương 3 nh m kh o sát m t s tính ch t và tính toán trên dãy s . M c dù b n thân đã có nhi u c g ng, nhưng s không tránh kh i nh ng khi m khuy t, r t mong s góp ý c a quý Th y Cô và nh ng b n đ c quan tâm đ n lu n văn.
3 Chương 1 M t s tính ch t cơ b n c a dãy s Ta nh c l i m t s đ nh nghĩa trong chương trình toán b c ph thông. 1.1 C ps 1.1.1 C p s c ng Đ nh nghĩa 1.1. Dãy s {un } th a mãn đi u ki n u1 − u0 = u2 − u1 = · · · = un+1 − un đư c g i là m t c p s c ng. Khi dãy s {un } l p thành m t c p s c ng thì hi u d = u1 − u0 đư c g i là công sai c a c p s c ng đã cho. Nh n xét 1.1. N u có m t dãy s có h u h n các ph n t u1, u2 , . . . , un th a mãn tính ch t u 1 − u 0 = u 2 − u 1 = · · · = u n − u n −1 (1.1) thì dãy s un đư c g i là m t c p s c ng v i d = u1 − u0 đư c g i là công sai. Dãy s {un } là m t c p s c ng v i công sai d = 0 thì un = un+1 v i m i n, khi đó ta g i {un } là dãy h ng (dãy không đ i). Kí hi u S n = u1 + u2 + · · · + un
4 Sn đư c g i là t ng c a n s h ng đ u tiên c a m t c p s c ng. un đư c g i là s h ng t ng quát c a c p s c ng {un }. Nh n xét 1.2. (Các tính ch t đ c trưng c a m t c p s c ng) Cho {un } là m t c p s c ng công sai d, ta có un = un−1 + d = u1 + (n − 1)d, 2uk = uk−1 + uk+1 , k 2, và n(n − 1)d ( u1 + un ) n Sn = nu1 + = . 2 2 Bài toán 1.3. Cho các s dương u1, u2 , . . . , un t o thành m t c p s c ng, công sai d > 0. Tính t ng 1 1 1 S= + + ··· + u1.u2 u2 .u3 un−1 .un 1.1.2 C p s nhân Đ nh nghĩa 1.2. Dãy s {un } th a mãn đi u ki n u1 u2 un+1 = = ··· = u0 u1 un đư c g i là m t c p s nhân. u1 Khi dãy s {un } l p thành m t c p s nhân thì thương q = đư c g i là m t u0 công b i c a c p s đã cho. Nh n xét 1.3. Theo đ nh nghĩa 1.2, n u m t dãy s h u h n các ph n t u1, u2 , . . . , un (v i m i ph n t trong dãy khác không) th a mãn tính ch t u1 u2 un+1 = = ··· = u0 u1 un u1 thì dãy s u1, u2 , . . . , un đư c g i là m t c p s nhân v i công b i q= đư c g i là u0 m t c p s nhân
5 Nh n xét 1.4. (Các tính ch t đ c trưng c a m t c p s nhân) Cho {un } là m t c p s nhân công b i q = 1, ta có un = q.un−1 = u1.q n−1 , n = 1, 2, . . . u2 = uk−1 uk+1 , k 2. k 1 − qn S n = u1 . 1−q 1.1.3 C p s đi u hoà Đ nh nghĩa 1.3. Dãy s {un } ,(un = 0, ∀n ∈ N) th a mãn đi u ki n 2un−1 un+1 un = un−1 + un+1 đư c g i là c p s đi u hòa. Bài toán 1.4. (Đi u ki n c n và đ đ dãy s là m t c p s đi u hoà.) Ch ng minh r ng dãy s {un } l p thành m t dãy s đi u hòa khi và ch khi dãy đã cho th a mãn đi u ki n. 1 un+1 = . 2 1 − u n u n −1 1.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn Trong ph n n y ta quan tâm đ n hai lo i dãy tu n hoàn cơ b n là tu n hoàn c ng tính và tu n hoàn nhân tính. 1.2.1 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn c ng tính Đ nh nghĩa 1.4. Dãy s {un } đư c g i là dãy tu n hoàn c ng tính n u t n t i s nguyên dương l sao cho un+l = un , ∀n ∈ N, (1.2) S nguyên dương l bé nh t đ dãy {un } tho mãn đi u ki n (1.2) đư c g i là chu kì cơ s c a dãy.
6 Đ nh nghĩa 1.5. Dãy s {un } đư c g i là dãy tu n ph n hoàn c ng tính n u t n t i s nguyên dương l sao cho un+l = −un , ∀n ∈ N, (1.3) Nh n xét 1.5. Dãy tu n hoàn chu kỳ 1 khi và ch khi dãy đã cho là m t dãy h ng. Nh n xét 1.6. Dãy tu n hoàn ( c ng tính) chu kỳ 2 khi và ch khi dãy có d ng 1 α + β + (α − β )(−1)n+1 , α, β ∈ R un = 2 1.2.2 Dãy tu n hoàn và ph n tu n hoàn nhân tính Đ nh nghĩa 1.6. Dãy s {un } đư c g i là dãy tu n hoàn nhân tính n u t n t i s nguyên dương s(s > 1)sao cho usn = un , ∀n ∈ N, (1.4) S nguyên dương s bé nh t đ dãy {un } tho mãn đi u ki n (1.4) đư c g i là chu kì cơ s c a dãy. Nh n xét 1.7. M t dãy ph n tu n hoàn c ng tính chu kì r thì s tu n hoàn c ng tính chu kì 2r Đ nh nghĩa 1.7. Dãy s {un } đư c g i là dãy ph n tu n hoàn nhân tính n u t n t i s nguyên dương s(s > 1) sao cho usn = −un , ∀n ∈ N. 1 Nh n xét 1.8. M i dãy {un } ph n tu n hoàn chu kỳ r đ u có d ng un = (vn − vn+r ), 2 v i vn+2r = vn . 1.3 Dãy tuy n tính và phân tuy n tính Trong ph n này ta trình bày m t s phương trình sai phân cơ b n có nghi m là các s th c và cách gi i chúng.
7 1.3.1 Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng s Trư c h t, ta xét phương trình sai phân tuy n tính c p m t d ng x1 = α, axn+1 + bxn = f (n), n ∈ N∗ , trong đó a, b, α là các h ng s (a = 0) và f (n) là bi u th c c a n cho trư c. Nh n xét r ng các c p s cơ b n là nh ng d ng đ c bi t c a phương trình sai phân tuy n tính. Bài toán 1.5. Xác đ nh s h ng t ng quát c a m t c p s nhân bi t r ng s h ng đ u tiên b ng 9 và công b i b ng 3. Bài toán 1.6. Cho a, b, α là các s th c cho trư c (a = 0) và dãy {xn } xác đ nh như sau x0 = α, axn+1 + bxn = 0, n = 0, 1, 2, . . . Tìm s h ng t ng quát c a dãy Bài toán 1.7. Tìm dãy s {xn } tho mãn đi u ki n x1 = α, x2 = β, axn+1 + bxn + cxn−1 = 0, n ∈ N∗ . Bài toán 1.8. Tìm dãy s {xn } tho mãn đi u ki n 2, n ∈ N∗. x1 = α, x2 = β, axn+1 + bxn + cxn−1 = A(n), n trong đó a = 0, A(n) là đa th c theo n cho trư c. Bài toán 1.9. Tìm dãy s {xn } tho mãn đi u ki n x1 = α, x2 = β, axn+1 + bxn + cxn−1 = γ.η n , n 2, n ∈ N∗ . Ti p theo, ta xét phương trình sai phân tuy n tính c p ba là phương trình sai phân có d ng x1 = α, x2 = β, x3 = γ, axn+1 + bxn + cxn−1 + dxn−2 = A(n), n 3. Bài toán 1.10. Tìm dãy s {xn } tho mãn x1 = α, x2 = β, x3 = γ, axn+1 + bxn + cxn−1 + dxn−2 = A(n), n 3. trong đó a, b, c, d, α, β, γ là các h ng s cho trư c, A(n) là bi u th c cho trư c.
8 1.3.2 Dãy phân th c Trong ph n n y ta phân tích và gi i hai bài toán xác đ nh s h ng t ng quát c a m t dãy s cho b i hàm phân th c b c hai chia b c nh t và b c nh t chia b c hai d ng đ c bi t, và xét ví d đ c trưng c a phương pháp. B ng cách s d ng phép bi n đ i tuy n tính, ta có th chuy n t các hàm đ c bi t sang các hàm b c hai trên b c nh t (ho c b c nh t trên b c hai ) các d ng khác. Ph n bài t p áp d ng c a dãy phân th c đư c trình bày trong ph n 1 c a chương 3. Bài toán 1.11. Tìm dãy s {xn } tho mãn các đi u ki n x2 + d n x1 = a, xn+1 = ,d 0. (1.5) 2xn Bài toán 1.12. Tìm dãy s {xn } tho mãn các đi u ki n 2xn , n ∈ N∗ . x1 = a, xn+1 = 1 + dx2 n Bài toán 1.13. Tìm dãy s {xn } tho mãn các đi u ki n x2 + 9 =n x1 = 4, xn+1 , (1.6) 2xn 1.4 M t s bài toán áp d ng Bài toán 1.14. Tìm xn bi t r ng x0 = 1, x1 = 4, xn+2 = 2(2n + 3)2 xn+1 − 4(n + 1)2 (2n + 1)(2n + 3)xn , n 0. Bài toán 1.15. Tìm xn bi t r ng x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3, xn + 11xn−2 = 7xn−1 + 5xn−3 , n 4. Bài toán 1.16. Tìm dãy s {xn } tho mãn x1 = 14, x2 = 28, xn+1 − 2xn + xn−1 = 4.3n , n 3. Bài toán 1.18. Xác đ nh dãy s xn bi t r ng : x1 = 1, , x2 = 0, xn+1 − 2xn + xn−1 = n + 1, n 2.
9 Bài toán 1.19. Tìm xn bi t x1 = 1, xn+1 = 2xn + n2 + 2.2n , n ∈ N∗. Bài toán 1.20. Tìm dãy s {xn } tho mãn đi u ki n x1 = 1, xn+1 = 3xn + 2n , n ∈ N∗ . Bài toán 1.22. Tìm xn tho mãn đi u ki n x1 = 2, xn+1 = xn + 3n2 + 3n − 3, n ∈ N∗ . Bài toán 1.23. Tìm xn tho mãn đi u ki n x1 = 2, xn+1 = xn + 2n, n ∈ N∗. Bài toán 1.25. Cho hàm s f (x) = ex . ch ng minh r ng n u dãy s {un } l p thành m t c p s c ng thì dãy s (f (xn )) l p thành m t c p s nhân. Bài toán 1.26. Cho hàm s f (x) = ln x, x > 0. ch ng minh r ng n u dãy s (xn ) l p thành m t c p s nhân và xn > 0, ∀n ∈ N thì dãy s (f (xn )) l p thành m t c p s c ng. Nh n xét 1.9. . Ta có hàm s y = ax, a > 0, 0 < a = 1, là hàm s chuy n đ i phép toán c ng thành phép toán nhân trong t p s th c, và hàm s y = logax v i 0 < a = 1 là hàm s chuy n đ i phép toán nhân thành phép toán c ng trong t p s th c. Ta có bài toán t ng quát sau. Bài toán 1.27. (i) N u dãy s (un ) l p thành m t c p s c ng thì dãy s vn l p thành m t c p s nhân, trong đó vn = aun , 0 < a = 1. (ii) N u dãy s (un ) (un > 0, ∀n ∈ N) l p thành m t c p s nhân thì dãy s vn l p thành m t c p s c ng, trong đó vn = loga un , 0 < a = 1. Bài toán 1.28. (Tính ch t đ c trưng c a m t c p s c ng) Ch ng minh r ng đi u ki n c n và đ đ dãy s {un } l p thành m t c p s c ng là dãy đã cho ph i th a mãn h th c 2am+n = a2m + a2n, ∀m, n ∈ N. Bài toán 1.29. (Tính ch t đ c trưng c a m t c p s nhân dương) Ch ng minh r ng đi u ki n c n và đ đ dãy các s dương {un } l p thành m t c p s nhân là dãy đã cho ph i th a mãn h th c u2 m+n = u2mu2n , ∀m, n ∈ N.
10 Bài toán 1.31. Cho {xn }, x1 = a > 0 là m t c p s c ng công sai d > 0 đư c vi t trên m t dòng theo th t t bé đ n l n. Ta t o ra m t tam giác b ng cách như sau k t hàng th k 2 m i ph n t trong tam giác b ng t ng c a hai ph n t trên nó. Tìm s đ ng đ nh c a tam giác(Tìm s h ng đ u tiên c a hàng th n sau n − 1 bư c). x1 x2 x3 x4 x5 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x1 + 2x2 + x3 x2 + 2x3 + x4 x3 + 2x4 + x5 x1 + 3x2 + 3x3 + x4 x2 + 3x3 + 3x4 + x5 x1 + 4x2 + 6x3 + 4x4 + x5 Bài toán 1.32. Cho {xn }, x1 = a > 0 là m t c p s nhân công b i q đư c vi t trên m t dòng theo th t t bé đ n l n. Ta t o ra m t tam giác b ng cách như sau: k t hàng th k ( 2), m i ph n t trong tam giác b ng t ng c a hai ph n t trên nó. Tìm s đ ng đ nh c a tam giác (Tìm s h ng đ u tiên c a hàng th n sau n − 1 bư c). x1 x2 x3 x4 x5 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x1 + 2x2 + x3 x2 + 2x3 + x4 x3 + 2x4 + x5 x1 + 3x2 + 3x3 + x4 x2 + 3x3 + 3x4 + x5 x1 + 4x2 + 6x3 + 4x4 + x5 Nh n xét 1.10. . Trong các l p hàm chuy n t dãy c p s c ng sang c p s nhân, và ngư c l i, chuy n t c p s nhân sang c p s c ng ta xác đ nh đư c hai hàm y = ax và hàm y = loga x như v y ngoài hai hàm mũ và hàm logarit chuy n đ i t c p s c ng sang c p s nhân và ngư c l i, thì còn t n t i l p hàm nào có th chuy n hoá gi a hai c p s này hay không? Câu h i tương t đư c đ t ra đ i v i c p s c ng và c p s đi u hoà, c p s nhân v i c p s đi u hoà. Ti p theo, ta xét m t s tính ch t c a dãy Fibonacci. Bài toán 1.33. M t c p th m i tháng sinh m t l n, cho m t c p th con (m t đ c, m t cái). C p th m i sinh ra sau hai tháng l i b t đ u sinh m t c p m i. H i sau m t năm s có bao nhiêu con th , n u đ u năm ta có m t c p th và trong m t năm không có con th nào b ch t.
11 Bài toán 1.34. Ch ng minh r ng F1 + F2 + · · · + Fn = Fn+2 − 1. Bài toán 1.35. Ch ng minh r ng F 1 + F 3 + · · · + F 2n − 1 = F 2 n Bài toán 1.36. Ch ng minh r ng F2 + F4 + · · · + F2n = F2n+1 − 1. Bài toán 1.37. Ch ng minh r ng F1 − F2 + F3 − F4 + · · · + (−1)n+1 Fn = (−1)n+1 Fn−1 + 1. Bài toán 1.38. Ch ng minh r ng 2 2 2 F1 + F2 + · · · + Fn = Fn Fn+1 .
12 Chương 2 Hàm chuy n đ i m t s dãy s đ c bi t Trư c h t, ta nh c l i m t s đ c trưng hàm c a hàm s sơ c p: 1. Hàm b c nh t.f (x) = ax + b (v i a = 0, b = 0) có tính ch t x+y f ( x) + f ( y ) , ∀x, y ∈ R. f = 2 2 2. Hàm tuy n tính. f (x) = ax (v i a = 0) có tính ch t f (x + y ) = f (x) + f (y ), ∀x, y ∈ R. 3. Hàm mũ. f (x) = ax (v i 0 < a = 1) có tính ch t f (x + y ) = f (x).f (y ), ∀x, y ∈ R. 4. Hàm logarit.f (x) = loga |x|, (0 < a = 1) có tính ch t f (xy ) = f (x) + f (y ), ∀x, y ∈ R\ {0} 5. Hàm b c hai.f (x) = ax2 (v i a = 0) có tính ch t f (x + y ) + f (x − y ) = 2f (x) + 2f (y ), ∀x, y ∈ R 6. Hàm lu th a. f (x) = |x|α có tính ch t f (xy ) = f (x)f (y ), ∀x, y ∈ R\ {0}
13 2.1 Hàm chuy n ti p các c p s 2.1.1 Hàm b o toàn các c p s Bài toán 2.1. Cho hàm s f (x) xác đ nh trên t p R th a mãn đi u ki n: x+y f ( x) + f ( y ) , ∀x, y ∈ R. f = 2 2 Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s c ng thành c p s c ng, t c là n u {un } là m t c p s c ng thì wn = f (un ) l p thành m t c p s c ng. Bài toán 2.2. Cho hàm s f (x) xác đ nh trên t p R+ th a mãn đi u ki n: √ f ( xy) = f (x)f (y ). Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s nhân thành c p s nhân. Bài toán 2.3. Cho hàm s f (x) xác đ nh và liên t c trên t p R\{0} th a mãn đi u ki n: 2 2 f = . 1 1 1 1 + + x y f ( x) f ( y ) Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s đi u hoà thành c p s đi u hoà. 2.1.2 Hàm chuy n đ i các c p s Bài toán 2.4. Cho hàm s f (x) xác đ nh trên t p R th a mãn đi u ki n: x+y f (x)f (y ), ∀x, y ∈ R. f = 2 Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s c ng thành c p s nhân. Bài toán 2.5. Cho hàm s f (x) xác đ nh trên t p R th a mãn đi u ki n: x+y 2f (x)f (y ) , ∀x, y ∈ R, f (x) = 0, f (y ) = 0, f (x) + f (y ) = 0. f = 2 f ( x) + f ( y ) Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s c ng thành c p s đi u hoà. Bài toán 2.6. Cho hàm s f (x) th a mãn đi u ki n: √ 2f (x)f (y ) , ∀x, y ∈ R+ . f ( xy) = f ( x) + f ( y ) Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s nhân thành c p s đi u hoà.
14 Bài toán 2.7. Cho hàm s f (x) liên t c trên R và th a mãn đi u ki n √ f ( x) + f ( y ) , ∀x, y ∈ R+ . f ( xy) = 2 Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s nhân thành c p s c ng. Bài toán 2.8. Cho hàm s f (x) xác đ nh và liên t c trên t p R\{0} th a mãn đi u ki n: 2 f ( x) + f ( y ) f = . 1 1 2 + x y Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s đi u hoà thành c p s c ng. Bài toán 2.9. Cho hàm s f (x) xác đ nh và liên t c trên t p R\{0} th a mãn đi u ki n:     2 f = f ( x) f ( y )  1 1 + xy Ch ng minh r ng hàm s f (x) chuy n đ i m i c p s đi u hoà thành c p s nhân. 2.2 Dãy sinh b i m t s hàm s sơ c p 2.2.1 Dãy sinh b i nh th c b c nh t Bài toán 2.10. Cho x1 = a. Tìm dãy s {xn } xác đ nh b i xn+1 = an xn + bn , trong đó an = 0 v i m i n ∈ N. Bài toán 2.11. Cho x0 = a và dãy {bn } xác đ nh b i bk = ek .(e − 1), k ∈ N. Tìm dãy s {xn } bi t r ng xn+1 = (−1)n xn + bn , n ∈ N. 2.2.2 Dãy sinh b i tam th c b c hai Bài toán 2.12. Cho g (n) > 0, ∀n ∈ N, và x1 = α > 0. Xác đ nh dãy s {xn }, bi t r ng xn+1 = g (n)xk , n ∈ N∗ . n
15 Bài toán 2.13. Cho x1 = α > 0. Tìm dãy s {xn } xác đ nh b i xn+1 = ax2 , n trong đó a = 0. Bài toán 2.14. Cho x1 = α > 0. Tìm dãy s {xn } xác đ nh b i xn+1 = an x2 , n 2, n trong đó an là c p s nhân v i công b i q = 0, an = 0, ∀n ∈ N. 2.2.3 Dãy sinh b i hàm phân tuy n tính Trong ph n n y, ta xem xét bài toán xác đ nh dãy s c a các hàm s d ng b c 0 chia b c nh t, b c nh t chia b c nh t. Xét hàm s ax + b f ( x) = , ad − bc = 0. cx + d β Bài toán 2.15. Cho α, β là các s th c dương. x1 = a > − . Xác đ nh dãy s {xn } α bi t 1 β xn+1 = −. αxn + β α 3 Bài toán 2.17. Cho x1 = a > − . Xác đ nh dãy s {xn } bi t r ng 2 1 3 xn+1 = −. 2xn + 3 2 Bài toán 2.18. Tìm {xn }, bi t r ng x1 = a > 0 và xn xn+1 = . 4xn + 3 Bài toán 2.19. Cho α, β là các s dương.Tìm {xn }, bi t r ng x1 = a > 0 và xn xn+1 = . αxn + β Bài toán 2.20. Cho dãy s {xn } xác đ nh như sau   x0 = 1996 2  xn+1 = xn > 0, n = 0, 1, 2, . . . 1 + xn Ch ng minh r ng [xn ] = 1996 − n v i 0 n 999, trong đó [xn ]đ ch ph n nguyên c a xn .
16 Bài toán 2.21. Cho dãy s {xn } xác đ nh như sau   x0 = K 2  xn+1 = xn > 0, n = 0, 1, 2, . . . 1 + xn K +2 Ch ng minh r ng [xn ] = K − n v i 0 n , trong đó [xn ] đ ch ph n 2 nguyên c a xn . Bài toán 2.22. Cho dãy s {xn } đư c xác đ nh như sau: x1 = x2 = 1 x2 + 2 n xn+1 = , n = 2, 3, . . . (2.1) x n −1 Ch ng minh r ng m i s h ng c a dãy là s nguyên. Bài toán 2.23. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy s {xn } tho mãn pxn + q , n ∈ N, x0 = a, xn+1 = (2.6) rxn + s trong đó p, q, r, s ∈ R là các s cho trư c. 2.2.4 Dãy sinh b i hàm s lư ng giác Bài toán 2.24. Cho dãy s {xn } đư c xác đ nh b i x0 = a xn+1 = xn + sin xn , n = 0, 1, 2, . . . Ch ng minh r ng v i m i s th c a dãy {xn } có gi i h n h u h n khi n → +∞. Bài toán 2.25. Cho dãy s {xn } th a mãn đi u ki n: x0 = 1, x1000 = 0, xn+1 = 2x1 xn − xn−1 , ∀n ∈ N∗. Tính t ng: x1999 + x1 .
17 2.3 M t s bài toán áp d ng Bài toán 2.26. Cho u, v, w ∈ Z tho mãn đi u ki n u2 = v + 1. Dãy s {xn } đư c xác đ nh như sau   x0 = 0  v x2 + w2, n = 0, 1, 2, . . . xn+1 = uxn + n Ch ng minh r ng m i s h ng c a dãy s trên đ u là các s nguyên. Bài toán 2.27. Cho dãy s {xn } d ng xn+1 = 2n − 3xn , n = 0, 1, 2, . . . Xác đ nh giá tr c a x0 sao cho dãy s {xn } là dãy tăng. Bài toán 2.28. Cho dãy s {xn }, n=1, 2,. . . xác đ nh như sau:   x1 = 1 2  xn+1 = xn + xn 1999 Tìm x1 x2 x3 xn lim + + + ··· + . x2 x3 x4 xn+1 n→+∞ Bài toán 2.29. Cho dãy s {xn } đư c xác đ nh như sau:   x1 = 2 2  xn+1 = xn + 1999xn , n ∈ N∗ . 2000 L p dãy {Sn } xác đ nh theo h th c: n xk Sn = . xk+1 − 1 k =1 Tính lim Sn . n→+∞ Bài toán 2.30. Cho dãy s {xn } xác đ nh b i n 2i n+1 xn = n+1 . . 2 i i=1 Ch ng minh r ng gi i h n lim xn là t n t i, tính gi i h n đó. n→∞