TÌM HIỂU TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Chia sẻ: Phạm Công Viên | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

435
lượt xem 106
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu học môn toán tham khảo trình bày kiến thức về tích phân xác định. Tài liệu học tập hay và bổ ích. Mời các bạn cùng tham khảo. Giáo trình giải tích toán học tham khảo, tập 1, chương 6: Tích phân xác định. Nội dung chương 6: Định nghĩa tích phân xác định; Điều kiện khả tích; Các lớp hàm khả tích; Các tính chất cơ bản của tích phân; Nguyên hàm và tích phân xác định; Tính tích phân xác định; Một số ứng dụng hình học, vật lý của tích phân xác định.....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TÌM HIỂU TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Bài toán diện tích y = f (x) S a b
Chia S thành nhiều diện tích con
Xấp xỉ các diện tích con bằng diện tích các hình chữ nhật con
Chia S càng nhỏ
Tổng diện tích xấp xỉ càng gần S
ĐỊNH NGHĨA Phân hoạch P của [a, b] là tập hợp các điểm chia của [a, b] thỏa mãn a≡ x0 < x1 < …
n −1 S (P , f ) = ∑ f (ξ i )( xi +1 − xi ) i =0 f khả tích ⇔ tồn tại giới hạn hữu hạn của S(P, i f) khi d→ 0 (không phụ thuộc P) f(ξ ) a=x0 xi xi+ xn=b i 1 ξ b lim S (P , f ) = ∫ f ( x )dx d →0 a
Ví dụ về tổng tích phân Cho f(x) = x trên [0,1], phân hoạch đều [0,1] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm 0 = x0
1i 1 1 xi +1 − xi = ⇒ d = , ξ i = xi = 0 + i = , n n nn i f (ξ i ) = ξi = n ξ0 1 ξ1 ξ2 ξ3
n −1 n −1 i1 S (P , f ) = ∑ f (ξ i )( xi +1 − xi ) = ∑ × i =0 n n i =0 n −1 1 1 = 2 ∑ i = 2 [0 + 1 + ... + (n − 1)] n i =0 n (n − 1)n 1 → = 2 d →0 2 2n 1 1 ⇒ ∫ xdx = 2 0
Điều kiện để f khả tích trên [a, b] Hàm f liên tục trên [a, b] ngoại trừ 1 số hữu hạn các điểm gián đoạn loại 1 thì khả tích trên [a,b]. b ( Khi đó ∫ f ( x )dx là tích phân xác định.) a 2 sin x Ví dụ: ∫ x dx là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 1. −1 2 ∫ x ln xdx là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 1. 0 2 ∫ ln xdx không là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 2. 0
Tính chất hàm khả tích 1. f khả tích trên [a, b] thì f bị chận trên [a,b] 2. f khả tích trên [a,b] thì | f | khả tích trên [a,b] 3. f khả tích trên [a,b], m và M lần lượt là gtnn và gtln của f trên [a,b], khi đó b ∗ m(b − a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a) a b b * ( x ) ≥ g ( x ) ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx f a a
Tính chất hàm khả tích b b 4. cf ( x )dx = c ∫ f ( x )dx , ∫ a a b b b [f ( x ) + g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx ∫ a a a a a b ∫ 6. f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx ∫ 5. f ( x )dx = 0 b a a b c b 7. f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ∫ a a c
Tính chất hàm khả tích b ∫ 8. dx = b − a a b +T b ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx 1. f(x) tuần hoàn với chu kỳ T: a +T a a ∫ f ( x )dx = 0 11. f lẻ trên [-a, a]: −a a a ∫ f ( x )dx = 2∫ f ( x )dx f chẵn trên [-a, a] −a 0
Định lý giá trị trung bình f liên tục trên [a,b], khi đó tồn tại c ∈[a,b] sao cho b f (c )(b − a) = ∫ f ( x )dx a x t2 lim ∫ e dx Áp dụng: tính giới hạn x →+∞ 0 2 et liên tục trên [0, x], theo định lý, tồn tại hàm c∈ [0,x] sao cho x t2 c2 ∫e dx = ( x − 0)e > x → +∞ x →+∞ 0
ĐỊnh lý cơ bản của phép tính vi tích phân * Nếu f khả tích trên [a,b] thì hàm số x F ( x ) = ∫ f (t )dt liên tục trên [a,b] a * Nếu f liên tục trên [a,b] thì F khả vi trên [a,b] và F '( x ) = f ( x ), ∀x ∈ (a, b) Đạo hàm theo cận trên ψ (x) ∫ Hệ quả: F ( x ) = f (t )dt f liên tục, ϕ và ψ khả vi ϕ(x) F '( x ) = f (ψ ( x ))ψ '( x ) − f (ϕ ( x ))ϕ '( x )
Ví dụ x 2 +1 ∫ 2 f (x) = ln(1 + t )dt 1/ Tính đạo hàm của x2 f ′( x ) = 2 x.ln(1 + ( x + 1)) − 2 x.ln(1 + x ) 2 4 2/ Tìm cực trị của f(x) trong (0, 1) x 2t − 1 f (x) = ∫ 2 dt 0 t + t +1 2x − 1 f ′( x ) = 2 đổi dấu khi đi qua x = 1/2 ∈(0, 1) x + x +1
x t2 2 x ∫ e dt 0 lim 3/ Tính giới hạn x2 x →+∞ e Theo vd phần định lý giá trị trung bình x t2 lim ∫ e dx = +∞ x →+∞ 0 Vậy gh trên có dạng VĐ 0/0, áp dụng qtắc L’H  x t 2 ′ x  2 x ∫ e dt  t2 2 x ∫ e dt   0  = lim 0 lim () x2 ′ x2 x →+∞ x →+∞ e e
′   x x t2  2 x ∫ e dt  2 2 x ∫ e dt t   0  = lim 0 lim () x2 ′ 2 x x →+∞ x →+∞ e e x t2 x2 2 ∫ e dt + 2 xe = lim 0 x2 x →+∞ 2 xe ′  t2  x x2  ∫ e dt + xe    0  = lim ( ) x2 ′ x →+∞ xe