Tính ổn định Lipschitz trong bài toán nguồn ngược cho một lớp phương trình Parabolic suy biến - kì dị một chiều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Tính ổn định Lipschitz trong bài toán nguồn ngược cho một lớp phương trình Parabolic suy biến - kì dị một chiều trình bày việc thiết lập ước lượng Carleman mới để sử dụng cho việc chứng minh tính ổn định Lipschitz cho bài toán nguồn ngược đối với phương trình parabolic suy biến/kì dị một chiều.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính ổn định Lipschitz trong bài toán nguồn ngược cho một lớp phương trình Parabolic suy biến - kì dị một chiều

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 TÍNH ỔN ĐỊNH LIPSCHITZ TRONG BÀI TOÁN NGUỒN NGƯỢC CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN / KÌ DỊ MỘT CHIỀU Vũ Mạnh Tới Trường Đại học Thủy lợi, email: toivm@tlu.edu.vn 1. ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU  ở đó P , u   x u x  x  u thỏa mãn một Bài toán ngược trong phương trình đạo x hàm riêng bằng cách sử bất đẳng thức trong các giả thiết sau (xem lí giải trong [4] Carleman được nghiên cứu đầu tiên bởi nhà liên quan bất các đẳng thức Hardy): toán học Imanuvilov và Yamamoto (xem Trường hợp dưới tới hạn: [3,5]). Cụ thể, các tác giả nghiên cứu tính ổn   [0, 2), 0    2   ,   ¡ ;  định Lipschitz trong bài toán nguồn ngược  (1   ) 2 (2) cho lớp phương trình parabolic đều. Gần đây,   [0, 2) \ 1 ,   2   ,       : .  4 các kết quả về tính ổn định Lipschitz trong Trường hợp tới hạn: bài toán nguồn ngược cho các lớp phương    0, 2  \ 1 ,   2   ,      . trình parabolic suy biến một chiều được Trong nghiên cứu này, ta sẽ xét bài toán nghiên cứu bằng cách sử dụng bất đẳng thức (1) trong trường hợp dưới tới hạn, tức là khi Carleman (được cải tiến so với bất đẳng thức (2) được thỏa mãn. Khi đó H 1 ,0 (0,1) được Carleman dung cho tính điều khiển được về 0 trong [1]) tương ứng (xem [2]). Trong [4], định nghĩa như sau: các tác giả đã thiết lập ước lượng Carleman H1 ,0 (0,1)  u  H1 (0,1) | u(0)  u(1)  0 ,0    1; để nghiên cứu tính điều khiển được về 0 cho H1 ,0 (0,1)  u  H1 (0,1) | u(1)  0 ,1    2, lớp phương trình parabolic suy biến/kì dị. 1/2 Các kết quả cho bài toán nguồn ngược cho lớp phương trình parabolic suy biến/kì dị với chuẩn u 1 H ,0   0 1 x u x2 dx  , ở đó chưa được nghiên cứu.  H1 (0,1)  u  L2 (0,1)  Hloc 1  (0,1] |  x ux2dx   . 1 0  2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Miền xác định của toán tử P , được cho bởi Sử dụng ước lượng Carleman tương ứng D ( P , )  u  H 1 ,0 (0,1)  H loc 2  (0,1] | để đi nghiên cứu bài toán nguồn ngược.   3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ( x u x ) x   u  L2 (0,1)  x  3.1. Đặt bài toán và phát biểu kết quả Ta có kết quả sau về tính đặt đúng và tính chính trơn của nghiệm. Cho T  0 , ta xét bài toán Mệnh đề 1 [4]. a) Với mọi u0  L2 (0,1) và ut  P ,  u  g ( x , t ), ( x , t )  (0,1)  (0, T ), g  L2 (0, T ; L2 (0,1)) cho trước, (1) có duy nhất  u (0, t )  u (1, t )  0, 0    1, t  (0, T ), nghiệm u thỏa mãn với mọi   (0, T ) ,   (1)  x u x  (0, t )  u (1, t )  0, 1    2, t  (0, T ), u  C 0 ([0, T ]; L2 (0,1))  L2 ( , T ; D( P , )) u ( x , 0)  u ( x ), x  (0,1),  0  H 1 ( , T ; L2 (0,1)). 65
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-5957-0 Hơn nữa, nếu g  H 1 (0, T ; L2 (0,1)) , thì C0 : sup Rt ( x, t ) / inf R ( x, T1 ). x[0,1] ( x ,t )[0,1][0,T ] u  C 0 ([0, T ]; L2 (0,1))  C ([ , T ]; D( P ,  )) 3.2. Ước lượng Carleman  C1 ([ , T ]; L2 (0,1)). Ta thiết lập ước lượng Carleman đối với b) Với mọi u0  D(P , ) và g  H 1 (0, T ; L2 (0,1)) nghiệm của bài toán cho trước, (1) nghiệm u thỏa mãn  wt  P ,  w  g ( x, t ), ( x, t )  QT0 ,T , 0 u  C (0, T ; D ( P ,  ))  C (0, T ; L (0,1)). 1 2   w(0, t )  w(1, t )  0, 0    1, t  (T0 , T ), Từ bây giờ trở đi, xét T0  (0, T ) cố định, kí   (3)  x wx  (0, t )  w(1, t )  0,1    2, t  (T0 , T ), hiệu QT ,T   0,1  T0 , T  . Đặt T1 : (T0  T ) / 2 0   w( x, T )  wT ( x), x  (0,1), và với bất kì C0  0 , xét trong trường hợp dưới tới hạn. G(C0 ) : {g  H 1 (0, T ; L2 (0,1))| Cho  cố định sao cho 0    2   , đặt g t ( x, t )  C0 g ( x, T1 ) h.k. ( x, t )  [0,1]  (0, T )}. k : 1   2    /  . Như trong [4], ta sử dụng Ta quan tâm tới bài toán nguồn ngược sau hàm trọng  ( x, t ) :  (t ) p ( x) với cho (1): Với g ( x, t ) G(C0 ) , liệu ta có thể 2  x 2 1 p ( x) : 2 ,  (t ) : k . khôi phục lại nguồn g từ dữ kiện đã biết 2     (t  T ) T  t   0 của u (., T1 ) và các quan sát trên biên Ta thiết lập bất đẳng thức Carleman sau.  ut  x (1,.) |(T ,T ) ? 0 Định lí 3. Giả sử rằng Hai định lí sau là các kết quả chính của    0, 2  , 0    2   và   ¡ . Khi đó tồn báo cáo này. tại C  0 và s0  s0 (2   ,  )  0, sao cho với Định lí 1. Cho u0  L2 (0,1) . Khi đó, với mọi mọi s  s0 , nghiệm w của (3) thỏa mãn C0  0 , tồn tại một hằng số  1    2 e 2 s w2  s     x e 2 s wx2  dxdt C  C ( , T0 , T , C0 )  0 , sao cho với mọi  4 x 2   QT0 ,T   g G(C0 ) , nghiệm u của (1) trong trường T  C  ge  s dx  . 2 hợp dưới tới hạn sẽ thỏa mãn  s    e 2 s wx2  (4)  L2 ( QT0 ,T ) 0  | x 1 g 2 L2 ( QT0 ,T )   C u (., T1 ) 2 D ( P ,  )   ut  x (1,.) 2 L2 (T0 ,T ) . Giả sử rằng và  0, 2  \ 1 ,   2      ( ) . Khi đó tồn tại C  0 và Định lí 2. Cho u0  L2 (0,1) . Cho trước s0  s0 (2   ,  )  0, sao cho với mọi s  s0 , R  C 1 ([0,1]  [0, T ]) sao cho R ( x, T1 )  0 với nghiệm w của (3) thỏa mãn mọi x  [0,1] . Giả sử rằng u0  L2 (0,1) . Khi  max{0, }   2 s 2 đó, tồn tại hằng số C  C ( , T0 , T , R )  0 sao   s 1     x e wx dxdt   ( ) Q T0 ,T cho với mọi f1 , f 2  L2 (0,1) , ta có T 2 2 2  C  ge  s 2 2  s    e  s wx  dt  . (5) f1  f 2 2  C u1 (., T1 )  u2 (., T1 )  L ( QT0 ,T ) 0 | x 1  L (0,1) D ( P ,  ) 2 trong đó  C  (u1  u2 )t  x (1,.) , s3 L2 ( T0 ,T ) 3 2  2 s   x e w2 dxdt  2     3 ở đó u1 và u2 là hai nghiệm của (1) trong QT0 ,T trường hợp dưới tới hạn tương ứng với e 2 s w2 1 2 s 2 s   dxdt   e wt dxdt g1  f1R và g 2  f 2 R . QT0 ,T x  QT ,T s 0 Định lí 2 là hệ quả trực tiếp của Định lí 1 Chứng minh. Thiết lập (4) và (5) được dựa cho g : g1  g 2 và u  u1  u2 vì g thuộc vào trên một số đánh giá và một số bổ đề trong G(C0 ) với C0  0 được xác định bởi [2] và sử dụng khéo một số đánh giá để có 66
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 được đánh giá cho số hạng tích phân toàn cục C 1 chọn s đủ lớn để  , và với  sao cho của wt cần thiết cho bài toán nguồn ngược. s 2 3.3. Chứng minh Định lí 1 e 2 s ( x ,T1 )   , x  [0,1] ta nhận được 1 Đặt w  ut , ở đó u thõa mãn (1). Từ tính   |g ( x, T1 ) |2 dx 0 trơn của nghiệm (xem Mệnh đề 1), khi đó w thỏa mãn   C (ut ) x (1,.) 2 L2 ( T0 ,T )  u (., T1 ) 2 D ( P ,  ) . t  wt  P ,  w  g t ( x, t ), ( x, t )  QT0 ,T , Ta có g ( x, t )  g ( x, T1 )   g t ( x, ) d và vì  T1  w(0, t )  w(1, t )  0, 0    1, t  (T0 , T ),   (6) g G(C0 ) , khi đó với ( x, t )  (0,1)  (T0 , T ) ,  x w x (0, t )  w (1, t )  0, 1    2, t  ( T 0 , T ), 2 1 2 g ( x, t ) dxdt  C  g ( x, T1 ) dx  w( x, T )  u ( x, T ), x  (0,1).  0  0 t 0 QT0 ,T Trường hợp   [0, 2), 0    2   ,   ¡ . Kết hợp hai bất đẳng thức cuối ta kết thúc Áp dụng (4) trong Định lí 3 cho w thỏa chứng minh của Định lí 1 trong trường hợp mãn (6), tồn tại C  0 và s0  s0 (2   ,  ) sao   [0, 2), 0    2   ,   ¡ . cho với mọi s  s0 , ta có Trường hợp   [0, 2) \ {1},   2   và    ( ) . Việc chứng minh giống như trường  1   2 e 2 s w2    s    2   2 s 2  x e wx  dxdt hợp trước, với chú ý thay bởi việc sử dụng  4 x  (4) ta sử dụng (5). QT0 ,T   T  C  g t e  s 2  s  e 2 s (1,t ) wx2| x 1dt  . 2 4. KẾT LUẬN: Bài báo đã thiết lập ước  L ( QT0 ,T ) T0  lượng Carleman mới để sử dụng cho việc Đầu tiên, từ tính chất hàm trọng, chú ý chứng minh tính ổn định Lipschitz cho bài w  ut , sử dụng g G(C0 ) và bất đẳng toán nguồn ngược đối với phương trình  |g ( x, T ) | 1 2 e 2 s dxdt parabolic suy biến/kì dị một chiều. QT0 ,T C 1 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO   |g ( x, T1 ) |2 e 2 s ( x ,T1 ) dx s 0 [1] P. Cannarsa, P. Martinez and J. ta thu được Vancostenoble (2008), Carleman estimates 2 T for a class of degenerate parabolic g t e  s 2  s  e 2 s (1,t ) wx2|x 1dt operators, SIAM J. Control Optim. 47, 1-19. L ( QT0 ,T ) T0 [2] P. Cannarsa, J. Tort and M. Yamamoto 1 1 2 C  |g ( x, T ) | 1 2 e2 s ( x ,T1 ) dx  C (ut ) x (1,.) L2 (T0 ,T ) . (2010), Determination of source terms in a 0 s degenerate parabolic equation, Inverse Sau một số tính toán và sử dụng bất đẳng Problems 26, 105003, 20 pp. thức Young, ta thu được đánh giá [3] O.Yu. Imanuvilov and M. Yamamoto 1 2 (1998), Lipschitz stability in inverse  w( x, T1 ) e 2 s ( x ,T1 ) dx 0 parabolic problems by the Carleman 2 1    e 2 s w2 estimate, Inverse Problems 14, 1229-1245. s  ( 2   x e2 s wx2 )dxdt. [4] J. Vancostenoble (2011), Improved Hardy- QT0 ,T 4 x Poincaré inequalities and sharp Carleman Từ đó ta có estimates for degenerate/singular parabolic 1 problems, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 4, 0 2 w( x, T1 ) e 2 s ( x ,T1 ) dx  C (ut ) x (1,.)  2 L2 (T0 ,T ) 761-790. 1 1  [5] M. Yamamoto (2009), Carleman estimates for  |g ( x, T1 ) |2 e 2 s ( x ,T1 ) dx   parabolic equations and applications, Inverse 0 s  Problems 25, 123013, 75 pp. Vì w( x, T1 )  ut ( x, T1 )  P , u ( x, T1 )  g ( x, T1 ) và 67