Toán Cao cấp B2

Chia sẻ: Nguyen Minh Phung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:117

Thêm vào BST

Báo xấu

252
lượt xem 80
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chẳng hạn, trong cơ học cổ điển (định luật Newton), trong thiên văn học (sự chuyển động của các hành tinh), trong hóa học (các phản ứng hoá học), trong sinh học (sự phát triển của dân số), trong điện tử... Trong hầu hết các lĩnh vực nhu thế, bài toán chung nhất là mô tả nghiệm của các phương trình này (cả về định tính lẫn về định lượng).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán Cao cấp B2

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC ÑOÃ NGUYEÂN SÔN - TRỊNH ĐỨC TÀI TOAÙN CAO CAÁP B2 (Baøi Giaûng Toùm Taét) -- Löu haønh noäi boä -- Ñaø Laït 2008
Môc lôc I. PhÐp tÝnh vi ph©n hµm nhiÒu biÕn 1. Kh«ng gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kh«ng gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 TÝch v« h-íng, chuÈn, kho¶ng c¸ch trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 D·y trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 C¸c tËp hîp trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 2. Hµm nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 Hµm nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Giíi h¹n hµm nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2.3 TÝnh liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. §¹o hµm vµ vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1 §¹o hµm riªng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Sù kh¶ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 C¸c c«ng thøc c¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.4 ý nghÜa cña sù kh¶ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.5 §Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh, §Þnh lý phÇn gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4. §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.1 §¹o hµm riªng cÊp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2 C«ng thøc Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5. Hµm ng-îc, hµm Èn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.1 §Þnh lý hµm ng-îc ®Þa ph-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.2 §Þnh lý hµm Èn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6. Cùc trÞ hµm nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.1 Cùc trÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.2 Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 II. TÝch ph©n béi 1. TÝch ph©n trªn h×nh hép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.1 Tång Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2 Tæng Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3 ThÓ tÝch kh«ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2. TÝch ph©n trªn tËp giíi néi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.1 TËp ®o ®-îc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2 TÝch ph©n trªn tËp giíi néi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3. C¸c c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1 C«ng thøc Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 C«ng thøc ®æi biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 III. TÝch ph©n ®-êng - TÝch ph©n mÆt 1. TÝch ph©n ®-êng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 1.1 §-êng cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.2 TÝch ph©n ®-êng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.3 ý nghÜa cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.4 C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.5 TÝch ph©n ®-êng lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.6 C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.7 ý nghÜa cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2. TÝch ph©n mÆt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.1 MÆt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2 TÝch ph©n mÆt lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.3 ý nghÜa cña tÝch ph©n mÆt lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4 TÝch ph©n mÆt lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3. Mét sè c«ng thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.1 C¸c kh¸i niÖm trong lý thuyÕt tr-êng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2 C«ng thøc Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3 C«ng thøc Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.4 C«ng thøc Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 IV. Ph-¬ng tr×nh vi ph©n 1. Kh¸i niÖm ph-¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.1 Vµi m« h×nh dÉn ®Õn ph-¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.2 C¸c kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.3 Bµi to¸n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2. Gi¶i mét sè ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.1 Ph-¬ng tr×nh víi biÕn sè ph©n ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.2 Ph-¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.3 Ph-¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.4 Ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.5 Ph-¬ng tr×nh Bernoully . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.6 Ph-¬ng tr×nh Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.7 Ph-¬ng tr×nh Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3. Ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.1 Kh¸i niÖm ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.2 NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.3 NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt . . . . . 105 3.4 Ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 hÖ sè h»ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4. HÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.1 C¸c kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2 HÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 hÖ sè h»ng . . . . . . . . . . . . . . . 111
1 I. PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm nhiÒu biÕn Kh«ng gian Rn 1 Kh«ng gian Rn 1.1 Gäi R lµ tr-êng sè thùc vµ ký hiÖu Rn lµ tÝch Descartes R × R × · · · × R. Mçi phÇn tö cña Rn lµ d·y gåm n sè thùc x = (x1, x2 , . . . , xn ). Trªn Rn x¸c ®Þnh hai phÐp to¸n sau ®©y víi mäi x = (x1 , x2, . . . , xn ), y = (y1 , y2, . . . , yn ) ∈ Rn vµ α ∈ R: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2, . . . , xn + yn ), αx = (αx1, αx2 , . . . , αxn ) Víi phÐp céng vµ phÐp nh©n víi sè nãi trªn, tËp Rn cã cÊu tróc mét kh«ng gian vector n-chiÒu trªn R, tøc lµ víi mäi x, y, z ∈ Rn vµ víi mäi sè thùc α, β ta cã: (V 1) x+y =y+x (tÝnh giao ho¸n) (V 2) ( x + y ) + z = x + (y + z ) (tÝnh kÕt hîp) (V 3) ∃ O ∈ V : x+O = x (O = (0, . . . , 0) gäi lµ vector kh«ng) (V 4) ∃ − x ∈ V : −x + x = O (−x = (−x1, . . . , −xn ) gäi lµ vector ®èi cña x = (x1 , . . . , xn )) (V 5) (α + β )x = αx + βx (TÝnh ph©n phèi) (V 6) α(x + y ) = αx + αy (TÝnh ph©n phèi) (V 7) (αβ )x = α(βx) (V 8) 1x = x PhÐp trõ ®-îc ®Þnh nghÜa bëi x − y = x + (−y ). Trong c¬ së chÝnh t¾c cña Rn e1 = (1, 0, . . . , 0) e2 = (0, 1, . . . , 0) . . . en = (0, 0, . . . , 1) n mçi vector x = (x1, x2, . . . , xn ) cã biÓu diÔn x = xi ei . i=1
2 TÝch v« h-íng- ChuÈn - Kho¶ng c¸ch trong Rn 1.2 §Þnh nghÜa 1. Cho x = (x1 , x2, . . . , xn ), y = (y1, y2, . . . , yn ) ∈ Rn n TÝch v« h-íng cña x vµ y : x, y = xiyi i=1 x, x = x2 + x2 + · · · + x2 ChuÈn cña x : x= 1 2 n d(x, y ) = x − y = (x1 − y1)2 + · · · + (xn − yn )2 Kho¶ng c¸ch gi÷a x vµ y : TÝch v« h-íng, chuÈn vµ kho¶ng c¸ch cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y MÖnh ®Ò 1. Cho x, y, z ∈ Rn vµ α, β ∈ R 1) TÝch v« h-íng cã c¸c tÝnh chÊt (S 1) x, y = y , x (S 2) x, y + z = x, y + x, z (S 3) x, x ≥ 0, vµ x, x = 0 khi vµ chØ khi x = O 2) ChuÈn cã c¸c tÝnh chÊt x ≥ 0, vµ x = 0 khi vµ chØ khi x = O (N 1) (N 2) αx =| α | x (N 3) x+y ≤ x + y 2) Kho¶ng c¸ch cã c¸c tÝnh chÊt (M 1) d(x, y ) ≥ 0, vµ d(x, y ) = 0 khi vµ chØ khi x = y (M 2) d(x, y ) = d(y, x) (M 3) d(x, y ) ≤ d(x, z ) + d(z, y ) Chøng minh. Ta chøng minh, ch¼ng h¹n, bÊt ®¼ng thøc (N 3). ThËt vËy tõ bÊt ®¼ng thøc Cauchy- Schwarz: | x, y |≤ x y , suy ra 2 x+y = (x + y ), (x + y ) = x, x + x, y + y , x + y , y = x 2 + αy 2 + 2 x, y ≤ x 2 + y 2 + 2 x y = ( x + y )2 x+y ≤ x + y 2 VËy, ta cã D·y trong Rn 1.3 §Þnh nghÜa 2. Mét d·y trong Rn lµ ¸nh x¹ N −→ Rn x: k −→ x(k ) = xk = (x1k , x2k , . . . , xnk )
3 Th-êng ký hiÖu d·y bëi (xk )k∈N hay ®¬n gi¶n (xk ). D·y (xk ) gäi lµ héi tô ®Õn a ∈ Rn , ký hiÖu lim xk = a, nÕu lim xk − a = 0, tøc lµ k →∞ k →∞ ∀ > 0, ∃N : k ≥ N =⇒ xk − a < D·y (xk ) gäi lµ ph©n kú nÕu nã kh«ng héi tô. MÖnh ®Ò 2. Giíi h¹n cña d·y héi tô lµ duy nhÊt Chøng minh. Gi¶ sö d·y (xk ) héi tô ®Õn a1 vµ a2 víi a1 = a2 . Theo ®Þnh nghÜa cña sù héi tô, víi > 0, tån t¹i N1 , N2 ∈ N sao cho k ≥ N1 =⇒ xk − a1 < k ≥ N2 =⇒ xk − a2 < xN − a1 < §Æt N = Max(N1 , N2), ta cã xN − a2 < 2 Suy ra a1 − a2 ≤ a1 − xN + xN − a2 ≤ 2 = a1 − a2 . §iÒu nµy dÉn 3 2 ®Õn m©u thuÉn. Giíi h¹n cña d·y trong Rn ®-a vÒ giíi h¹n mét chiÒu nh- sau ®©y. MÖnh ®Ò 3. D·y (xk ) = (x1k , x2k , . . . , xnk ) trong Rn héi tô nÕu vµ chØ nÕu mäi d·y thµnh phÇn (xik ) héi tô. Khi ®ã lim (x1k , x2k , . . . , xnk ) = ( lim x1k , lim x2k , . . . , lim xnk ) k →∞ k →∞ k →∞ k →∞ Chøng minh. Kh¼ng ®Þnh suy ra tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc sau víi mäi i = 1, 2, . . . , n n | xik − ai |≤ xk − a ≤ | xjk − ai | . j =1 2 k 5k 2 + 1 √ 2k 1 k VÝ dô. 1) lim 1+ , , k, = (e, 5, 1, 0) k2 k k! k →∞ k 5k 2 + 1 k 1 trong R3 lµ ph©n kú v× cã mét d·y thµnh phÇn 1+ , ,2 2) D·y k2 k (x3k ) = (2k ) ph©n kú.
4 §Þnh nghÜa 3. D·y (xk ) gäi lµ d·y Cauchy hay d·y c¬ b¶n nÕu ∀ > 0, ∃N : k, l ≥ N =⇒ xk − xl < MÖnh ®Ò 4. Mét d·y trong Rn lµ héi tô khi vµ chØ khi nã lµ d·y Cauchy Chøng minh. BiÕt r»ng mét d·y sè trong R héi tô khi vµ chØ khi nã lµ d·y Cauchy. Tõ ®ã, ¸p dông MÖnh ®Ò 3, suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. 2 C¸c tËp hîp trong Rn 1.4 H×nh cÇu trong Rn 1.4.1 H×nh cÇu t©m a ∈ Rn , b¸n kÝnh r lµ tËp hîp B (a, r) = {x ∈ Rn | x − a < r}. VÝ dô. Trong R, B (a, r) lµ kho¶ng më (a − r, a + r). Trong R2, B (a, r) lµ h×nh trßn (x1 − a1 )2 + (x2 − a2)2 < r2 . Trong R3 , B (a, r) lµ h×nh cÇu (x1 − a1)2 + (x2 − a2 )2 + (x3 − a3)2 < r2 . 1.4.2 §iÓm trong, ®iÓm tô, ®iÓm biªn Cho M lµ mét tËp con cña Rn vµ a ∈ Rn . Khi ®ã a gäi lµ ®iÓm trong cña M nÕu tån t¹i r > 0 sao cho B (a, r) ⊂ M . a gäi lµ ®iÓm biªn cña M nÕu víi mäi r > 0 ta cã B (a, r) ∩ M = ∅ B (a, r) ∩ (Rn \ M ) = ∅ TËp c¸c ®iÓm biªn cña M th-êng ký hiÖu lµ ∂M . a gäi lµ ®iÓm tô cña M nÕu víi mäi r > 0 ta cã (B (a, r) \ {a}) ∩ M = ∅. NhËn xÐt. a lµ ®iÓm tô cña M nÕu tån t¹i d·y (xk ) trong M víi xk = a sao cho lim xk = a. k →∞ VÝ dô. 1) Mäi ®iÓm cña B (a, r) ®Òu lµ ®iÓm trong. Biªn cña B (a, r) lµ tËp hîp ∂B (a, r) = {x ∈ Rn | x − a = r}, gäi lµ mÆt cÇu t©m a ∈ Rn , b¸n kÝnh r. 2) Mäi ®iÓm thuéc kho¶ng (a, b) lµ ®iÓm trong cña ®o¹n [a, b] vµ ∂ [a, b] = {a, b}. 3) Biªn cña c¸c tËp sè: ∂ Z = Z, ∂ Q = R, ∂ R = ∅.
5 1.4.3 TËp më, tËp ®ãng, tËp compact TËp con M ⊂ Rn gäi lµ tËp më nÕu mäi ®iÓm cña M ®Òu lµ ®iÓm trong. TËp o c¸c ®iÓm trong cña M gäi lµ phÇn trong cña M vµ ký hiÖu lµ M . TËp con F ⊂ Rn gäi lµ tËp ®ãng nÕu tËp Rn \ F lµ më. Hîp cña F vµ c¸c ®Óm tô cña nã gäi lµ bao ®ãng cña F vµ ký hiÖu lµ F . TËp con M ⊂ Rn gäi lµ giíi néi nÕu tån t¹i mét sè thùc R > 0 sao cho x ≤ R, víi mäi x ∈ M . TËp con K ⊂ Rn gäi lµ compact nÕu vµ chØ nÕu K ®ãng vµ giíi néi. MÖnh ®Ò 5. Cho tËp con M ⊂ Rn . Khi ®ã c¸c ®iÒu sau ®©y lµ t-¬ng ®-¬ng (1) M lµ tËp ®ãng (2) Mäi ®iÓm tô cña M ®Òu thuéc M . (3) M = M. (4) NÕu (xk ) trong M héi tô vÒ a, th× a ∈ M . Chøng minh. (1) =⇒ (2): Gi¶ sö a lµ ®iÓm tô cña M . VËy, víi mäi r > 0, B (a, r) ∩ M = ∅. Suy ra a kh«ng lµ ®iÓm trong cña Rn \ M . Do Rn \ M lµ më nªn a ∈ Rn \ M , tøc lµ a ∈ M . / (2) =⇒ (3): Suy ra tõ ®Þnh nghÜa. (3) =⇒ (4): Gi¶ sö d·y (xk ) trong M héi tô vÒ a. NÕu tËp {xk , k ∈ N} lµ h÷u h¹n, th× tån t¹i k0 sao cho a = xk0 , do ®ã a ∈ M . NÕu {xk , k ∈ N} lµ v« h¹n, th× a lµ ®iÓm tô cña M , do ®ã a ∈ M = M . (4) =⇒ (1): Gi¶ thiÕt ph¶n chøng, Rn \ M lµ kh«ng më. Khi ®ã, tån t¹i mét ®iÓm a ∈ Rn \ M kh«ng lµ ®iÓm trong, tøc lµ, víi mäi r > 0, (B (a, r) \ {a}) ∩ M = ∅. VËy, a lµ ®iÓm tô cña M . Tõ ®ã, tån t¹i mét d·y (xk ) trong M héi tô vÒ a. Theo (4), a ∈ M . §iÒu nµy dÉn ®Õn m©u thuÉn. 2 MÖnh ®Ò 6. Cho tËp con K ⊂ Rn . Khi ®ã c¸c ®iÒu sau ®©y lµ t-¬ng ®-¬ng (1) K lµ tËp compact (2) Mäi d·y (xk ) trong K ®Òu cã mét d·y con (xkp ) héi tô vÒ a ∈ K . Chøng minh. (1) =⇒ (2): Gi¶ sö (xk ) = (x1k , x2k , . . . , xnk ) lµ mét d·y trong K . Do K giíi néi, tån t¹i R > 0, sao cho xk ≤ R. VËy c¸c d·y thµnh phÇn (xik ), i = 1, 2, . . . , n, lµ c¸c d·y sè bÞ chÆn. Theo §Þnh lý Bolzano-Weierstrass, d·y (xik ) cã mét d·y con (xikp ) h«i tô vÒ ai khi p → ∞. Tõ ®ã, d·y con (xkp ) = (x1kp , x2kp , . . . , xnkp ) héi tô vÒ a = (a1, . . . , an ). Do K ®ãng, a ∈ K .
6 (2) =⇒ (1): Gi¶ sö a lµ mét ®iÓm tô cña K . Khi ®ã, tån t¹i mét d·y (xk ) trong K héi tô vÒ a. Theo (2), suy ra a ∈ K . VËy K ®ãng. 2 1.4.4 TËp liªn th«ng §Þnh nghÜa 4. TËp con C ⊂ Rn gäi lµ liªn th«ng (®-êng) nÕu víi mäi x, y ∈ C, tån t¹i mét ®-êng cong liªn tôc nèi x vµ y n»m trong C , tøc lµ, tån t¹i ¸nh x¹ γ : [a, b] ⊂ R −→ Rn , γ (t) = (γ1 (t), . . . , γn (t)), trong ®ã γi : [a, b] ⊂ R −→ R, i = 1, . . . , n, lµ c¸c hµm mét biÕn liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] sao cho γ (a) = x, γ (b) = y, γ (t) ∈ C, ∀t ∈ [a, b]. MÖnh ®Ò 7. C¸c tËp liªn th«ng cña R lµ c¸c ®o¹n, kho¶ng, nöa kho¶ng (h÷u h¹n hoÆc v« h¹n) hay mét ®iÓm. Chøng minh. 1) Gi¶ sö C lµ mét kho¶ng trong R vµ x, y ∈ C. Khi ®ã, ¸nh x¹ γ : [0, 1] ⊂ R −→ C, γ (t) = tx + (1 − t)y liªn tôc nªn lµ mét ®-êng nèi x, y trong C . 2) Gi¶ sö C lµ mét tËp liªn th«ng cña R. Khi ®ã, víi mäi x, y ∈ C sao cho x < y , tån t¹i hµm liªn tôc γ : [0, 1] ⊂ R −→ R nèi x vµ y . Theo §Þnh lý gi¸ trÞ trung gian , ¶nh γ ([0, 1]) lµ mét kho¶ng trong R chøa x vµ y . Suy ra, [x, y ] ⊂ γ ([0, 1]) ⊂ C . VËy C lµ mét kho¶ng cña R. 2 2 Hµm nhiÒu biÕn 2.1 Hµm nhiÒu biÕn §Þnh nghÜa 5. ¸nh x¹ D ⊂ Rn −→ Rm f: x = (x1, . . . , xn ) −→ f (x) = (f1 (x), . . . , fn (x)) gäi lµ hµm vector thùc cña n biÕn thùc x1, x2, . . . , xn . C¸c ¸nh x¹ fi : D ⊂ Rn −→ R, i = 1, 2, . . . , m gäi lµ c¸c hµm thµnh phÇn. Khi m = 1 ta gäi hµm vector cña n biÕn thùc lµ hµm cña n biÕn thùc. §«i khi, do thãi quen, ta còng gäi hµm vector lµ hµm . TËp G(f ) = {(x, f (x)) | x ∈ D} ⊂ Rn × Rm gäi lµ ®å thÞ cña hµm sè f .
7 VÝ dô. 1) Hµm f (x, y ) = 1 − x2 − y 2 cã ®å thÞ lµ nöa mÆt cÇu t©m (0, 0) b¸n kÝnh r = 1 trong R3 . 2) Hµm f (x, y ) = x2 + y 2 cã ®å thÞ lµ mÆt nãn. 3) Hµm f (x, y ) = x2 + y 2 cã ®å thÞ lµ mÆt paraboloid. 2.2 Giíi h¹n hµm nhiÒu biÕn 2.2.1 Giíi h¹n (béi) §Þnh nghÜa 6. Cho hµm f : D ⊂ Rn −→ R vµ a = (a1 , a2, . . . , an ) lµ ®iÓm tô cña D. Hµm f gäi lµ cã giíi h¹n (béi)L khi x = (x1, x2, . . . , xn ) dÇn ®Õn a, ký hiÖu lim f (x) = L hay xlim f (x) = L , nÕu →a x→a 1 1 ··· xn →an ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D, (0 < x − a < δ =⇒ f (x) − L < ). √ , sao cho ∀(x, y ) ∈ R2 ta cã VÝ dô. lim(xy + 1) = 1, v× ∀ > 0, ∃δ = x→0 y →0 x2 + y 2 < δ =⇒ xy + 1 − 1 =| xy |< 0 < (x, y ) − (0, 0) = §Þnh nghÜa trªn vÒ h×nh thøc hoµn toµn gièng tr-êng hîp hµm mét biÕn.V× vËy, c¸c ph¸t biÓu vÒ tÝnh chÊt giíi h¹n sau ®©y vµ chøng minh chóng còng gièng nh- ®èi víi hµm mét biÕn MÖnh ®Ò 8. Cho hµm f : D ⊂ Rn −→ Rm , a lµ ®iÓm tô cña D. Khi ®ã lim f (x) = L ⇐⇒ ∀(xk ) ⊂ D \ {a}, ( lim xk = a =⇒ lim f (xk ) = L) x→a k →∞ k →∞ Nh- tÝnh chÊt cña giíi h¹n d·y ta còng cã MÖnh ®Ò 9. ∃ lim (f1(x), . . . , fm (x)) = (L1 , . . . , Lm ) ⇐⇒ ∃ lim fi (x) = Li , x→a x→a i = 1, . . . , m. MÖnh ®Ò 10. Gi¶ sö a lµ ®iÓm tô cña D, hai hµm f, g : D ⊂ Rn −→ R, cã giíi h¹n khi x dÇn ®Õn a. Khi ®ã 1) lim (f (x) + g (x)) = lim f (x) + lim g (x) x→a x→a x→a 2) lim αf (x) = α lim f (x), víi mäi α ∈ R. x→a x→a 3) lim f (x)g (x) = lim f (x) lim g (x) x→a x→a x→a
8 lim f (x) f ( x) = x→a 4) lim , nÕu lim g (x) = 0. x→a g (x) lim g (x) x→a x→a 5) f (x) ≤ g (x), ∀x ∈ B (a, r) \ {a} =⇒ lim f (x) ≤ lim g (x). x→a x→a f (x) ≤ h(x) ≤ g (x), ∀x ∈ B (a, r) \ {a} 6) =⇒ ∃ lim h(x) = L. lim f (x) = lim g (x) = L x→a x→a x→a MÖnh ®Ò 11. (Tiªu chuÈn Cauchy) Cho hµm f : D ⊂ Rn −→ Rm , a lµ ®iÓm tô cña D. Khi ®ã, tån t¹i lim f (x) khi vµ chØ khi x→a ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x, x ∈ D, (0 < x − a , x − a < δ, =⇒ f (x) − L < ) x2 − y 2 VÝ dô. 1) XÐt giíi h¹n lim 2 . Ta cã x→0 x + y 2 y →0 x2 − y 2 x2 − k 2 x 1 − k2 lim = lim 2 = x2 + y 2 x→0 x + kx2 1 + k2 x→0 y →0 y =kx VËy, khi cho (x, y ) → (0, 0) theo ®-êng th¼ng y = kx, ta nhËn ®-îc gi¸ trÞ giíi h¹n phô thuéc vµo k . Do ®ã, giíi h¹n ®· cho kh«ng tån t¹i. (x + y 2 )2 2) XÐt giíi h¹n lim . Ta cã x→0 x2 (1 + y 2 ) y →0 (x + y 2 )2 x2(1 + xk 2 )2 lim = lim =1 x2(1 + y 2) x→0 (1 + x2k 2 )x2 x→0 y →0 y =kx VËy, khi cho (x, y ) → (0, 0) theo ®-êng th¼ng y = kx, ta nhËn cïng gi¸ trÞ giíi h¹n lµ 1 víi mäi k . Tuy nhiªn kh«ng thÓ kÕt luËn giíi h¹n ®ang xÐt b»ng1. Ta xÐt thªm tr-êng hîp (x, y ) → (0, 0) theo parabol x = y 2 (x + y 2 )2 (y 2 + y 2 )2 lim = lim =4 x2(1 + y 2) y→0 (1 + y 2)y 4 x→0 y →0 x =y 2 VËy, giíi h¹n ®ang xÐt kh«ng tån t¹i.
9 x2 y 2 ( x2 + y 2 ) 3) XÐt giíi h¹n lim . Ta cã x4 + y 4 x→0 y →0 x2 y 2 ( x2 + y 2 ) x4 y 2 x2 y 4 x4 y 2 x2 y 4 ≤ 4 + 4 = y 2 + x2 0≤ =4 +4 x4 + y 4 x + y4 x + y4 x y x2 y 2 ( x2 + y 2 ) V× lim (y 2 + x2) = 0, nªn theo tÝnh chÊt giíi h¹n kÑp suy ra lim = 0. x4 + y 4 x→0 x→0 y →0 y →0 2.2.2 Giíi h¹n lÆp Giíi h¹n ®-îc xÐt ë môc tr-íc lµ giíi h¹n béi, nã ®ßi hái c¸c thµnh phÇn cña x dÇn ®ång bé vÒ c¸c thµnh phÇn cña a. Ta th-êng gäi t¾t giíi h¹n béi lµ giíi h¹n. Ta ph©n biÖt víi mét kh¸i niÖm giíi h¹n kh¸c ®-îc xÐt ®Õn sau ®©y. §Ó ®¬n gi¶n, nh-ng kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, ta tr×nh bµy cho hµm hai biÕn f : D ⊂ R2 −→ R víi (x0, y0 ) lµ ®iÓm tô cña D . §Þnh nghÜa 7. NÕu víi mçi y = y0 cè ®Þnh, tån t¹i c¸c giíi h¹n lim = g (y ) vµ x→x0 lim g (y ) = L, th× L gäi lµ giíi h¹n lÆp cña hµm f (x, y ) khi x → x0 vµ y → y0. y →y0 Khi ®ã ta viÕt lim lim f (x, y ) = L. y →y0 x→x0 Giíi h¹n lÆp lim lim f (x, y ) ®-îc ®Þnh nghÜa t-¬ng tù. x→x0 y →y0 C¸c kh¸i niÖm giíi h¹n cã quan hÖ g× víi nhau kh«ng? Ta h·y xÐt c¸c vÝ dô sau x2 − y 2 VÝ dô. 1) XÐt hµm f (x, y ) = 2 . Khi ®ã x + y2 x2 − y 2 x2 − y 2 lim lim = 1, lim lim 2 = −1, x→0 y →0 x2 + y 2 y →0 x→0 x + y 2 x2 − y 2 lim tuy nhiªn kh«ng tån t¹i . x→0 x2 + y 2 y →0 1 1 2) XÐt hµm f (x, y ) = (x + y ) sin sin . Khi ®ã lim lim f (x, y ) = 0, tuy nhiªn x y x→0 y →0 kh«ng tån t¹i c¸c giíi h¹n lim lim f (x, y ), lim lim f (x, y ). x→0 y →0 y →0 x→0 1 3) XÐt hµm f (x, y ) = x sin . Khi ®ã lim lim f (x, y ) = 0, lim lim f (x, y ) = 0, y x→0 y →0 y →0 x→0 tuy nhiªn kh«ng tån t¹i giíi h¹n lim lim f (x, y ). x→0 y →0
10 2.2.3 Giíi h¹n v« cïng - Giíi h¹n ë v« cïng T-¬ng tù nh- hµm mét biÕn ta cßn xÐt c¸c giíi h¹n khi x dÇn ®Õn ∞ vµ giíi h¹n v« cïng lim f (x) = L, lim f (x) = ∞, lim f (x) = ∞. x→∞ x→a x→∞ XÐt tËp sè thùc më réng R = R ∪ {−∞, +∞}. Víi a ∈ R vµ r > 0, ta ®Æt  (a − r, a + r) nÕu a = ±∞   1 U (a, r) = ( r , +∞) nÕu a = +∞   (−∞, − 1 )  nÕu a = −∞ r n Kh«ng gian thùc më réng n chiÒu ®-îc hiÓu lµ tÝch Descartes R = R×R×· · ·×R. Víi a = (a1, a2, . . . , an ) ∈ R vµ r > 0, ta ®Æt U (a, r) = U (a1) × U (a2 ) × · · · × U (an ) Kh¸i niÖm ®iÓm tô trong kh«ng gian më r«ng còng ®-îc ®Þnh nghÜa t-¬ng tù: n n §iÓm a ∈ R gäi lµ ®iÓm tô cña M ⊂ R nÕu vµ chØ nÕu víi mäi r > 0 ta cã (U (a, r) \ {a}) ∩ M = ∅. 2 VÝ dô. 1) XÐt a = (1, +∞) ∈ R . Khi ®ã 1 1 U (a, r) = (1 − r, 1 + r) × ( , +∞) = {(x, y ) ∈ R2 : | x |< r, y > } r r 2) Víi a ∈ Rn , U (a, r) lµ h×nh hép më {x ∈ Rn : | xi − ai |< r, r = 1, . . . , n} Víi c¸c kh¸i niÖm më réng nªu trªn, ta cã ®Þnh nghÜa tæng qu¸t vÒ giíi h¹n nh- sau n §Þnh nghÜa 8. Cho hµm f : D ⊂ Rn −→ R vµ a ∈ R lµ ®iÓm tô cña D. Hµm f gäi lµ cã giíi h¹n L ∈ R khi x dÇn ®Õn a , nÕu ∀ > 0, ∃δ > 0, x ∈ (U (a, δ ) \ {a}) ∩ D =⇒ f (x) ∈ U (L, ). √ 1 1 VÝ dô. lim ( + 2 ) = ∞, v× víi mäi > 0, tån t¹i δ = , ta cã 2 x y x→0 y →∞ 1 1 1 1 1 | x |< δ, y > =⇒ f (x, y ) = 2 + 2 > 2 > . δ x y x
11 NhËn xÐt. NÕu a ∈ Rn , L ∈ R, th× c¸c §Þnh nghÜa 6 vµ 8 lµ t-¬ng ®-¬ng nhê bÊt ®¼ng thøc n | xi − ai |≤ x − a ≤ | xk − ak |, ∀i = 1, 2, . . . , n. k =1 2.3 TÝnh liªn tôc 2.3.1 TÝnh liªn tôc- TÝnh liªn tôc ®Òu §Þnh nghÜa 9. Cho f : D ⊂ Rn −→ Rm vµ a ∈ D lµ ®iÓm tô cña D. Hµm f gäi lµ liªn tôc t¹i a ∈ D nÕu lim = f (a). x→a Hµm f gäi lµ liªn tôc trªn D nÕu f liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x ∈ D, tøc lµ ∀ > 0, ∀x ∈ D, ∃δ ( , x) > 0, ∀x ∈ D, (0 < x −x < δ =⇒ f (x)−f (x ) < ). Hµm f gäi lµ liªn tôc ®Òu trªn D nÕu ∀ > 0, ∃δ ( ) > 0, ∀x, x ∈ D, (0 < x − x < δ =⇒ f (x) − f (x ) < ). VÝ dô. 1) Hµm f : Rn −→ R, f (x) = x , liªn tôc ®Òu trªn Rn , v× víi mäi > 0, tån t¹i δ = , sao cho (x, x ∈ Rn , x−x < ) =⇒| f (x) − f (x ) |= x−x ≤ x −x < . 1 2) XÐt hµm f : Rn −→ R, f (x) = . Khi ®ã x a) Hµm f liªn tôc trªn miÒn D = {x ∈ Rn | 0 < x < 1}. 1 ThËt vËy, víi 0 < x − x ≤ x , ta cã 2 1 x = x −x+x ≥ x − x −x ≥ 0< x . 2 x−x 1 1 2 x−x − = ≤ Tõ ®ã, . x2 x x xx 1 2 VËy, víi mäi > 0, víi mäi x ∈ D, tån t¹i δ = min x, x sao cho víi 2 2 1 1 mäi x ∈ D, ta cã −
12 b) Hµm f kh«ng liªn tôc ®Òu trªn D: 1 1 Chon hai d·y (xk ) = , 0, . . . , 0 , (xk ) = , 0, . . . , 0 trong Rn . Khi ®ã k k 1 1 1 xk − xk = − = → 0, (k → ∞) k k+1 k (k + 1) |f (xk ) − f (xk )| = |k − (k + 1)| = 1 → 0. VËy, nÕu lÊy 0 < 1, th× víi mäi δ > 0, tån t¹i xN , xN sao cho xN − xN , ta cã |f ( x N ) − f ( x N ) | = 1 > 0 . c) Hµm f kh«ng liªn tôc ®Òu trªn D(r) = {x ∈ Rn | 0 < r < x < 1}. ThËt vËy, ®iÒu nµy suy ra tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc x−x 1 1 x−x − = ≤ . r2 x x xx MÖnh ®Ò 12. Tæng, hiÖu, tÝch, th-¬ng (víi mÉu kh¸c 0), hîp c¸c hµm liªn tôc lµ liªn tôc. Chøng minh. Suy ra dÔ dµng tõ c¸c tÝnh chÊt cña giíi h¹n. 2 ai1...in xi1 · · · xin lµ liªn VÝ dô. 1) §a thøc n biÕn f (x1 , x2, . . . , xn ) = 1 n 0≤i1 ,...,in ≤N n tôc trªn R v× lµ tæng vµ tÝch cña c¸c hµm liªn tôc πi (x) = xi vµ c¸c hµm h»ng. 2) Víi A ∈ MatR (m, n), ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh T : Rn −→ Rm , T (x) = Ax lµ liªn tôc trªn Rn v× mçi hµm thµnh phÇn lµ ®a thøc bËc 1. 2.3.2 Mét sè ®Þnh lý c¬ b¶n cña hµm liªn tôc §Þnh lý 1. (Weierstrass). NÕu hµm f : K ⊂ Rn −→ Rm liªn tôc vµ K lµ compact, th× f (K ) lµ compact. Chøng minh. Gi¶ sö (yk ) lµ mét d·y trong f (K ). Khi ®ã, tån t¹i d·y (xk ) trong K , sao cho yk = f (xk ). Do K lµ com pact, tån t¹i d·y con (xkp ) h«i tô vÒ x ∈ K . Do tÝnh liªn tôc cña f d·y con (ykp = f (xkp ) héi tô vÒ f (x) ∈ f (K ). VËy, f (K ) 2 lµ compact. HÖ qu¶ 1. NÕu hµm f : K ⊂ Rn −→ R liªn tôc vµ K lµ compact, th× f ®¹t ®-îc max, min trªn K , tøc lµ, tån t¹i x1, x2 ∈ K sao cho f (x1) = supf (x), x∈K f (x2 ) = inf f (x). x∈K
13 Chøng minh. Theo §Þnh lý trªn, f (K ) lµ tËp compact. Do tÝnh giíi néi tån t¹i M = sup f (x), m = inf f (x). Tõ §Þnh nghÜa sup, víi mäi k ∈ N, tån t¹i xk ∈ K x∈K x∈K 1 sao cho M − ≤ f (xk ) ≤ M . Râ rµng, (f (xk )) héi tô vÒ M khi k → ∞. k MÆt kh¸c, do d·y (xk ) ë trong tËp compact K , tån t¹i d·y con (xkp ) héi tô vÒ x1 ∈ K . Do tÝnh liªn tôc cña f d·y con (ykp = f (xkp ) héi tô vÒ f (x1 ) ∈ f (K ). Tõ tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n suy ra f (x1 ) = M . T-¬ng tù cho tr-êng hîp cßn 2 l¹i. VÝ dô. Víi A ∈ MatR(m, n), ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh T : Rn −→ Rm , T (x) = Ax lµ liªn tôc trªn tËp compact S = {x ∈ Rn | x = 1} nªn ®¹t ®-îc max trªn ®ã. Ký hiÖu T = max T (x), gäi lµ chuÈn cña T . Víi mäi x ∈ Rn ta cã x =1 1 x Tx = T ≤T. x x Tx ≤ T x Tõ ®ã suy ra §Þnh lý 2. (Cantor). NÕu hµm f : K ⊂ Rn −→ Rm liªn tôc vµ K lµ compact, th× f liªn tôc ®Òu trªn K . Chøng minh. Gi¶ sö f kh«ng liªn tôc ®Òu, tøc lµ tån t¹i > 0 sao cho víi mäi k ∈ N, tån t¹i xk , x k ∈ K ta cã 1 xk − xk < =⇒ |f (xk ) − f (xk )| ≥ . k Do K compact, tån t¹i d·y con (xkp) cña (xk ) héi tô vÒ x ∈ K . Tõ bÊt ®¼ng thøc 1 xk − xk < , suy ra d·y con (xkp ) cña (xk ) còng héi tô vÒ a ∈ K . Do tÝnh liªn k tôc cña f c¸c d·y (f (xkp )), (f (xkp )) héi tô vÒ f (a). VËy, |f (xkp ) − f (xkp )| → 0, khi p → 0. §iÒu nµy m©u thuÈn víi gi¶ thiÕt. 2 §Þnh lý 3. NÕu hµm f : C ⊂ Rn −→ Rm liªn tôc vµ C lµ liªn th«ng, th× f (C ) lµ liªn th«ng. Chøng minh. Gi¶ sö y1 , y2 ∈ f (C ). Gäi x1 , x2 ∈ C sao cho y1 = f (x1 ) , y2 = f (x2 ). Do C liªn th«ng, tån t¹i ®-êng cong liªn tôc γ : [0, 1] −→ C sao cho γ (0) = x1, γ (1) = x2 . Khi ®ã, f ◦ γ : [0, 1] −→ f (C ) lµ ®-êng cong liªn tôc nèi y1 vµ y2 n»m trong f (C ). 2
14 HÖ qu¶ 2. (§Þnh lý gi¸ trÞ trung gian) NÕu hµm f : C ⊂ Rn −→ R liªn tôc vµ C lµ liªn th«ng, th× víi a, b ∈ C vµ µ ∈ R mµ f (a) < µ < f (b), tån t¹i c ∈ C sao cho f (c) = µ. Chøng minh. f (C ) lµ bé phËn liªn th«ng cña R nªn lµ mét kho¶ng cña R. 2 3 §¹o hµm vµ vi ph©n 3.1 §¹o hµm riªng §Þnh nghÜa 10. Cho f = (f1 , f2 , . . . , fm ) : U ⊂ Rn −→ Rm lµ hµm n biÕn x1 , x2, . . . , xn x¸c ®Þnh trªn tËp më U . §¹o hµm riªng theo biÕn xi t¹i ®iÓm a = (a1 , a2, . . . , an ) ∈ U lµ giíi h¹n (nÕu cã) f (a + ∆xei) − f (a) lim , ∆xi ∆xi →0 trong ®ã ∆x = (∆x1, . . . , ∆xn ) vµ ei , i = 1, . . . , n, lµ c¬ së chÝnh t¾c cña Rn . ∂f §¹o hµm riªng theo biÕn xi t¹i ®iÓm a ®-îc ký hiÖu lµ (a) hoÆc Di f (a) hoÆc ∂xi fxi (a). VÝ dô. XÐt hµm f (x, y ) = sin(xy ). Khi ®ã ∂f f (x + ∆x, y ) − f (x, y ) (x, y ) = lim ∂x ∆x ∆x→0 sin(x + ∆x)y − sin xy = lim ∆x ∆x→0 y ∆x y ∆x 2 cos xy + sin 2 2 = lim ∆x ∆x→0 y ∆x y ∆x sin 2 = lim y cos xy + y ∆x 2 ∆x→0 2 = y cos(xy ). ∂f T-¬ng tù, (x, y ) = x cos(xy ). ∂y ∂f NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy r»ng viÖc tÝnh (a) nh- tÝnh ®¹o hµm cña ∂xi hµm mét biÕn xi nÕu xem c¸c biÕn xk ,víi k = i, lµ h»ng.
15 VÝ dô. XÐt hµm f (x, y ) = ey sin 2x. Tõ c¸c c«ng thøc ®¹o hµm cña hµm mét biÕn ta cã ∂f ∂f (x, y ) = 2ey cos 2x, (x, y ) = ey sin 2x ∂x ∂y MÖnh ®Ò 13. Cho f = (f1, f2 , . . . , fm ) : U ⊂ Rn −→ Rm vµ a ∈ U . Khi ®ã, tån ∂f ∂fj t¹i (a) nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i (a), víi mäi j = 1, . . . , m, vµ ∂xi ∂xi ∂f ∂ f1 ∂f2 ∂fn (a) = (a), (a), . . . , (a) . ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi Chøng minh. Suy ra tõ tÝnh chÊt cña giíi h¹n hµm vector. 2 3.2 Sù kh¶ vi §Þnh nghÜa 11. Hµm f = (f1 , f2, . . . , fm ) : U ⊂ Rn −→ Rm gäi lµ kh¶ vi t¹i a ∈ U nÕu tån t¹i ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh L : Rn −→ Rn sao cho f (a + ∆x) = f (a) + L(∆x) + o(∆x), (1) trong ®ã ∆x = (∆x1, . . . , ∆xn ) ∈ Rn vµ o(∆x) lµ hµm theo ∆x tháa o(∆x) lim = 0. ∆x→0 ∆x NhËn xÐt. NÕu ¸nh x¹ f kh¶ vi, th× ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh L trong ®Þnh nghÜa trªn lµ duy nhÊt. ThËt vËy, gi¶ sö cã thªm ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh T tháa (1). Khi ®ã (L − T )(∆x) lim = 0. ∆x ∆x→0 Víi c¬ së chÝnh t¾c ei = (0, . . . , 1, . . . , n), i = 1, 2, . . . , n, cña Rn ta cã (L − T )(tei) lim = lim (L − T )(ei) = (L − T )(ei) = 0. ∆tei + t→0+ t→0 Tõ ®ã, (L − T )(x) = 0, víi mäi x ∈ Rn , tøc lµ, L = T . Gi¶ sö f kh¶ vi t¹i a, khi ®ã ma trËn biÔu ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh L trong c¬ së chÝnh t¾c cña Rn ®-îc x¸c ®Þnh bëi mÖnh ®Ò sau ®©y
16 MÖnh ®Ò 14. 1) NÕu f kh¶ vi t¹i a, th× nã liªn tôc t¹i ®ã. ∂fi 2) NÕu f kh¶ vi t¹i a, th× nã cã c¸c ®¹o hµm riªng (a), i = 1, . . . , m, ∂xj j = 1, . . . , n vµ ma trËn A biÓu diÔn ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh L (trong ®Þnh nghÜa 11) ®èi víi c¬ së chÝnh t¾c ®-îc cho bëi   ∂f1 ∂f1 ∂f1  ∂x1 (a) ∂x2 (a) · · · ∂xn (a)     ∂f2  ∂f2 ∂f2  (a)  (a) (a) · · ·  ∂x1 ∂xn  ∂x2 A = Jf (a) :=  . . . . . . . . . . . .  ∂fm ∂fm  ∂fm (a) (a) · · · (a) ∂x1 ∂x2 ∂xn Ma trËn Jf (a) ®-îc gäi lµ ma trËn Jacobi cña f t¹i a hay ma trËn ®¹o hµm cña f t¹i a, nã cßn ®-îc ký hiÖu lµ f (a). §¹i l-îng f (a)∆x gäi lµ vi ph©n cña f t¹i a vµ ®-îc ký hiÖu lµ df (a). Chøng minh. 1) Tõ ®Þnh nghÜa tÝnh kh¶ vi ta cã ngay f (x) → f (a) khi x → a. 2) Gi¶ sö f kh¶ vi t¹i a, tøc lµ n f (a + ∆x) = f (a) + Ai∆xi + o(∆x), i=1 trong ®ã, Ai lµ cét thø i cña ma trËn A ∈ MatR (m, n) biÓu diÔn ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh L trong c¬ së chÝnh t¾c. Suy ra n f (a + ∆x) − f (a) + Ai∆xi i=1 lim = 0. (1) ∆x ∆x→0 Trong (1) cho ∆xk = 0 víi k = i ta ®-îc ∂f f (a + ∆xiei ) − f (a) (a) = lim = Ai , ∂xi ∆x i ∆xi →0 trong ®ã ei, i = 1, 2, . . . , n lµ c¬ së chÝnh t¾c cña Rn . 2 NhËn xÐt. 1) NÕu f (x1 , x2, . . . , xn ) = xi , th× df = dxi = ∆xi . VËy, theo MÖnh ®Ò 14, ta cã c«ng thøc cña vi ph©n ∂fi ∂fi ∂fi dfi (a) = (a)dx1 + (a)dx2 + · · · + (a)dxn , i = i, . . . , m. ∂x1 ∂x2 ∂xn