intTypePromotion=1
ADSENSE

Toán học lớp 10: Phương pháp đặt ẩn phụ giải hệ phương trình (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

405
lượt xem
105
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Toán học lớp 10: Phương pháp đặt ẩn phụ giải hệ phương trình (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng" cung cấp 1 số bài tập ví dụ hữu ích về giải hệ phương trình. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và bổ sung kiến thức đạt hiệu quả.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Toán học lớp 10: Phương pháp đặt ẩn phụ giải hệ phương trình (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 12. PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]  x 2 + y 2 + xy + 2 x = 5 y Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2 ( x; y ∈ ℝ ) ( x + 2 x)( x + y − 3) = −3 y Hướng dẫn giải: Ta xét hai khả năng: x = 0 +) Nếu y = 0 ⇒ x 2 + 2 x = 0 ⇔  ⇒ hệ có nghiệm (0; 0); (–2; 0).  x = −2  x2 + 2 x  + x+ y =5  x2 + 2x  y u = u + v = 2 u = 3; v = −1 +) Nếu y ≠ 0 , HPT ⇔  2 , đặt  y ⇒ ⇔  x + 2 x .( x + y − 3) = −3 v = x + y − 3 uv = −3 u = −1; v = 3  y    x2 + 2x u = 3  =3 x = y =1 - V ới  ⇒ y ⇔ v = −1   x = −6; y = 8  x + y − 3 = −1  x2 + 2x u = −1  = −1 - V ới  ⇒ y ⇒ hệ vô nghiệm. v = 3  x + y − 3 = 3 Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm (x; y) là: (0; 0) ; (–2; 0); (1; 1) và (–6; 8). (3 x + y )( x + 3 y ) xy = 14 Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ R ) ( x + y )( x + y + 14 xy ) = 36 2 2 Hướng dẫn giải: [3( x + y ) + 4 xy ] xy = 14 2 Ta có, HPT ⇔  ( x + y )[( x + y ) + 12 xy ] = 36 2  a = x + y (3a + 4b )b = 14 3a b + 4b = 14 2 2 2 3 Đặt   → ⇔ b = xy ≥ 0  a (a + 12b ) = 36 2 2 a + 12ab = 36 3 2  a 3 (3k + 4k 3 ) = 14 3k + 4k 3 7 1 Nhận thấy a = 0 không thỏa mãn, đặt b = ka ta được  3 ⇒ = ⇒ k = ⇔ a = 6b .  a (1 + 12k ) = 36 2 1 + 12k 2 18 6  3+ 2 2 3− 2 2 x + y = 3 x + y = 3  x = ;y = 1   2 2 Từ đó ta tìm được a = 3; b = ⇒  1 ⇔ 1 ⇒ 2  xy =  xy = 4  3−2 2 3+ 2 2  2 x = ;y =  2 2 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm.  4 x + y + 2 x + y = 4 Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   2 x + y + x + y = −2 Hướng dẫn giải:  2 x + y = a 3 b2 Đặt  ⇒ x + y = a2 − .  4 x + y = b 2 2 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
  2. Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  3 2 1 2 a + a − b = −2 a + 5a − 6 = 0 a = 1  2 x + y = 1 2 x + y = 1 x = 4 2 Ta có hệ phương trình  2 2 ⇔  ⇔ ⇒ ⇔ ⇔ a + b = 4 b = 4 − a b = 3  4 x + y = 3 4 x + y = 9  y = −7 2 x − y − xy 2 = 2 xy (1 − x)  2 Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2 2  1  ( x + 2 y )  1 +  = 9   xy  Hướng dẫn giải: 2 x − y − xy 2 + 2 x 2 y = 2 xy  (2 x − y )(1 + xy ) = 2 xy   HPT ⇔  2 2  1  2 ⇔ 2 2  1 + xy  2  ( x + 2 y )  1 +  = 12  ( x + 2 y )   = 12   xy    xy   2 xy 2 x − y = (1 + xy)  y = x 1 + xy ≠ 0 ⇒  2 ⇒ 12(2 x − y ) = 4( x + 2 y ) ⇔ 11x − 12 xy + y = 0 ⇔  2 2 2 2 2 ( x 2 + 2 y 2 ) = 12  xy   y = 11x      1 + xy  Thay vào ta được nghiệm của hệ là x = y = 1.  x2 − y( x + y) + 1 = 0 Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2 ( x + 1)( x + y − 2) + y = 0 Hướng dẫn giải: +) Xét y = 0 không thỏa mãn hệ.  x2 + 1  y − ( x + y) = 0  a − b = 0 +) Với y ≠ 0 thì hệ có dạng  2 ⇔ ⇒ hệ có nghiệm (0; 1) và (−1; 2)  ( x + 1) ( x + y − 2) = −1 a (b − 2) = −1  y  x 2 + y 2 − xy = 3 Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x + 1 + y + 1 = 4 2 2 Hướng dẫn giải: Ta có (1) ⇔ ( x + y ) = 3 xy + 3 2 Bình phương (2) ta được x 2 + y 2 + 2 ( x 2 + 1).( y 2 + 1) = 14 ⇔ xy + 2 ( xy ) 2 + xy + 4 = 11 (*) t = 3 t ≤ 11 Đặt t = xy ⇒ 2 t + t + 4 = 11 − t ⇔  2 2 ⇔  −35 3 t + 26t − 105 = 0 t =  3 35 +) Với t = − ⇒ ( x + y ) = −32 < 0 ⇒ vô nghiệm. 2 3  x + y = ±2 3 x = y = 3 +) Với t = 3 ⇒ ( x + y ) = 12 ⇔ x + y = ±2 3 ⇒   → 2  xy = 3  x = y = − 3 Vậy hệ có hai nghiệm là ( 3; 3 ) , ( − 3; − 3 ) .  x 2 y + 2 x 2 + 3 y − 15 = 0 Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  4  x + y − 2 x − 4 y − 5 = 0 2 2 Hướng dẫn giải: Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
  3. Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ( x − 1)( y − 2) + 4( x − 1) + 4( y − 2) = 5 2 2 Hệ pt ⇔  2 . ( x − 1) + ( y − 2) = 10 2 2 u = x 2 − 1 u 2 + v 2 = 10 (u + v) 2 − 2uv = 10 Đặt  ta có hpt  ⇔ v = y − 2 uv + 4(u + v) = 5 uv + 4(u + v) = 5 u + v = −10 u + v = 2 u = 3 u = −1 ⇔ (vô nghiệm) hoặc  ⇔ hoặc  uv = 45 uv = −3 v = −1 v = 3 u = 3 +) Với  ta tìm được 2 nghiệm ( x; y ) = (2;1) và ( x; y ) = (−2;1) v = −1 u = −1 +) Với  ta tìm được nghiệm ( x; y ) = (0;5) v = 3 Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm: (2;1), (-2;1), (0;5)  x + 2 y + x − 2 y = 8 Ví dụ 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   y x − 2 y = 1 Hướng dẫn giải: u = x − 2 y v − u2 Đặt  Điều kiện u ≥ 0 . Khi đó ta có y = .  v = x + 2 y 4 u + v = 8 (1) Hệ đã cho trở thành  (v − u )u = 4 (2) 2 Từ (1) ⇒ v = 8 – u. Thay vào (2) ta được ( 8 − u − u 2 ) u = 4 ⇔ u 3 + u 2 − 8u + 4 = 0 −3 + 17 −3 − 17 ⇔ ( u − 2 ) ( u 2 + 3u − 2 ) = 0 ⇔ u = 2; u = ; u= . 2 2 −3 − 17 Đối chiếu điều kiện u ≥ 0 ta có u = không thoả mãn 2 x=5 u = 2  x − 2 y = 4  +) Với u = 2 ta có  ⇔ ⇔ 1 v = 6 x + 2 y = 6  y =  2  −3 + 17  13 − 3 17  u=  x − 2y =  x = 8 − 17 −3 + 17  2  2  +) Với u = ta có  ⇔ ⇔ 3 + 17 2  v = 19 − 17  x + 2 y = 19 − 17 y =    4 2 2  1  3 + 17  Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là  5;  ,  8 − 17; .  2  4  Cách 2: u = x − 2 y u 2 + u + 4v = 8 Đặt  ⇒ x = u 2 + 2v ⇒  v = y uv = 1 −3 + 17 −3 − 17  → u 3 + u 2 + 4 = 8u ⇔ (u − 2)(u 2 + 3u − 2) = 0 ⇔ u = 2; u = ; u= 2 2 Đến đây việc tìm nghiệm như cách giải trên. Cách 3: u = x − 2 y v − u2 Đặt  ⇒ u 2 − v = −4 y ⇒ y = v = x + 2 y 4 u + v = 8 (1) Khi đó ta có hệ  (v − u )u = 4 (2) 2 Giải hệ này tương tự như cách 1. Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
  4. Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  2 x − x ( y − 1) + y = 3 y 2 2 Ví dụ 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2  x + xy − 3 y = x − 2 y 2 Hướng dẫn giải:  2 x − xy + y = 3 y − x 2 2 Hệ đã cho tương đương với  2  x + xy − 3 y = x − 2 y 2 TH1: y = 0 ⇒ x = 0. x  y 2 (2t 2 − t + 1) = y (3 − t ) (1) TH2: y ≠ 0, đặt t = ⇔ x = ty thay vào hệ:  2 2 y  y (t + t − 3) = y (t − 2) (2) t = ±1 2t 2 − t + 1 3 − t Từ (1) và (2) ta được 2 = ⇔ 3t − 7t − 3t + 7 = 0 ⇔  7 3 2 t +t −3 t −2 t =  3  7 3  Từ đó suy ra hệ có 4 nghiệm là (0;0);(1;1);(−1;1);  ;  .  43 43   x y + 2 x + 3 y − 15 = 0 2 2 Ví dụ 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  4  x + y − 2 x − 4 y − 5 = 0 2 2 Hướng dẫn giải: ( x − 1)( y − 2) + 4( x − 1) + 4( y − 2) = 5 2 2 Hệ pt ⇔  2 . ( x − 1) + ( y − 2) = 10 2 2 u = x 2 − 1 u 2 + v 2 = 10 (u + v) 2 − 2uv = 10 u = 3 u = −1 Đặt  ta có hệ phương trình  ⇔ ⇔ hoặc  v = y − 2 uv + 4(u + v) = 5 uv + 4(u + v) = 5 v = −1 v = 3 Giải ra ta được các nghiệm của hệ là (2; 1), (–2; 1), (0; 5)  Ví dụ 11: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  (  2 x − 1 − y 1 + 2 2 x − 1 = −8 ) ( x, y ∈ ℝ )  y 2 + y 2 x − 1 + 2 x = 13 Hướng dẫn giải: t − y (1 + 2t ) = −8 t − y − 2ty = −8 (1) Đặt t = 2 x − 1, t ≥ 0 . Hệ phương trình trở thành  2 ⇔ ( t − y ) + 3ty = 12 ( 2) 2  y + yt + t = 12 2 t − y = 0 Từ (1) và (2) suy ra 2 ( t − y ) + 3 ( t − y ) = 0 ⇔  2 t − y = − 3  2 +) Với t = y thay vào (1) ta được t = y = 2 5 5  t = 2 ⇒ 2 x − 1 = 2 ⇔ x = , nghiệm của hệ là  ;2  2 2  3 −3 + 61 +) Với y = t + thay vào (1) ta được 4t 2 + 6t − 13 = 0 ⇔ t = 2 4  3 −3 + 61  3 + 61  y= +  y= −3 + 61  2 4  4 t= ⇒ ⇔ 4  −3 + 61  x = 43 − 3 61  2 x − 1 = 4   16  5   43 − 3 61 3 + 61   Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( x; y ) =  ;2  ,  ;   4    2   16 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
  5. Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  3  x − y + 2 = 2 Ví dụ 12: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ ℝ )  y + 2 ( x − 2) x + 2 = − 7  4 Hướng dẫn giải: Điều kiện: x ≥ −2; y ≥ −2  2 7 u − v = 2 (1) Đặt u = x + 2; v = y + 2 với u; v ≥ 0 (*) . Hệ trở thành:  v 2 + 2 ( u 2 − 4 ) u = 1 (2)  4 2  7 1 Thế (1) vào (2) ta được phương trình  u 2 −  + 2u 3 − 8u = ⇔ u 4 + 2u 3 − 7u 2 − 8u + 12 = 0  2 4 u = 1 ⇔ ( u − 1)( u − 2 ) ( u 2 + 5u + 6 ) = 0 ⇔  u = 2 5 +) Với u = 1 thay vào (1) ta được v = − , không thỏa mãn. 2 1 +) Với u = 2 thay vào (1) ta được v = , thỏa mãn điều kiện. 2  7 Vậy, hệ phương trình có nghiệm  2; −  .  4 ( x + y )3 + 8 xy = 2 ( x + y )( 8 + xy )  Ví dụ 13: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  1 1  = 2  x+ y x − y Hướng dẫn giải: x + y > 0 Điều kiện:  x − y > 0 2 Ta có: ( x + y ) + 8 xy = 2 ( x + y )( 8 + xy ) ⇔ ( x + y ) − 16 ( x + y ) − 2 xy ( x + y ) + 8 xy = 0 3 3 ⇔ ( x + y ) ( x + y ) − 16  − 2 xy ( x + y ) − 4  = 0 ⇔ ( x + y ) − 4  ( x + y )( x + y + 4 ) − 2 xy  = 0 2   ⇔ ( x + y ) − 4   x + y + 4 ( x + y )  = 0 ⇔ ( x + y ) − 4 = 0 ⇔ y = 4 − x 2 2  >0 1 1  x = −3  y = 7 Thay vào phương trình ta được = 2 ⇔ x2 + x − 6 = 0 ⇔  ⇔ 2 x − (4 − x) x = 2 y = 2  2 8 xy  x + y + x + y = 16 2 Ví dụ 14: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x3 + x x + y − 3 = 0  Hướng dẫn giải: (1) ⇔ ( x 2 +y ) ( x + y ) + 8 xy = 16 ( x + y ) 2 ⇔ ( x2 + y 2 ) ( x + y ) + 4 ( x + y ) − ( x + y ) = 16 ( x + y ) 2 2 2 ⇔ ( x2 + y 2 ) ( x + y − 4 ) + 4 ( x + y )( x + y − 4 ) = 0  x + y = 4 (ok ) ⇔ ( x + y − 4 )  x 2 + y 2 + 4 ( x + y )  = 0 ⇔ 2  x + y + 4 ( x + y ) = 0 ( Loai ) do x + y > 0 2 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
  6. Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x = 1 Thay x + y = 4vào PT(2) ta được: x 3 + 2 x − 3 = 0 ⇔ ( x − 1)( x 2 + x + 3) = 0 ⇔  2  x + x + 3 = 0 (VN ) Với x = 1 ⇒ y = 3 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;3) 2 2 x − 3 y + 5 − x + y = 7 Ví dụ 15: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  ( x; y ∈ ℝ ) 3 5 − x + y − 2 x − y − 3 = 1 Hướng dẫn giải: u = 2 x − 3 y 2 x − 3 y = u 2  x = ... Đặt  ⇒ ⇒ v = 5 − x + y 5 − x + y = v  y = ... 2 Thế vào ta có hệ theo u, v. Các em giải nốt nhé!  x2 y2 1  + = Ví dụ 16: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  ( y + 1) ( x + 1) 2 2 2  3 xy = x + y + 1  y x 2 − y 2 = 48  Ví dụ 17: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x + y + x 2 − y 2 = 24  y x + y − 3 + x = 4 y Ví dụ 18: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   y ( x + y − 3) + x = 16 y 2 2 2 Hướng dẫn: Xét điều kiện rồi chia cho các phương trình tương ứng cho y và y 2 2 xy + 3 x + 1 = 6 y Ví dụ 19: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2 2 4 x y + 3 xy + 1 = 8 y 2 Hướng dẫn: Xét điều kiện rồi chia cho các phương trình tương ứng cho y và y 2 16 x 2 y 2 − 17 y 2 = −1 Ví dụ 20: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  4 xy + 2 x − 7 y = −1 Hướng dẫn: Chuyển vế, xét điều kiện rồi chia cho các phương trình tương ứng cho y và y 2  x + y 2 + x 2 y + xy 3 + xy = 5 Ví dụ 21: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x + y + 2 xy + xy = 5 2 4 2 Hướng dẫn: Đặt u = x + y 2 ; v = xy  x 4 − 2 x 2 y + 2 y 2 − 1 = 0 Ví dụ 22: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x y − y + x − y − y + 1 = 0 2 2 3 2 2 Hướng dẫn: Đặt u = x 2 − y; v = y 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN:  x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2 Bài 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x + y = 4  3 x − y = x − y Bài 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x + y = x + y + 2  x + y − x − y = 2 Bài 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x 2 + y 2 + x 2 − y 2 = 4 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
  7. Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  x+ y − x− y = 2  Bài 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x 2 − y + x 2 + y = 4  x + y − x − y = 1 Bài 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2  x + y + x − y = 1 2 2 2 ( 2 x − y + 2 )( 2 x + y ) + 6 x − 3 y = −6 Bài 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   2 x + 1 + y − 1 = 4  x + 1 + y − 1 = 4 Bài 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x + 6 + y + 4 = 6  2 x + y + 1 + x + y = 1 Bài 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  3 x + 2 y = 4  x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1 + 2 xy Bài 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   ( x − y )(1 + xy ) = 1 − xy  x 2 + y 2 − x − y = 12 Bài 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x ( x − 1) y ( y − 1) = 36 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD


intNumView=405

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2