Toán học và thực tiễn đời sống

To¸n häc vµ thùc tiÔn ®êi sèng<br /> PGS.PTS.NGUT. §oµn Phan T©n<br /> To¸n häc lµ mét trong nh÷ng khoa häc cæ nhÊt cña loµi ng­êi. Nh­ng ch­a<br /> bao giê to¸n häc ph¸t triÓn m¹nh mÏ vµ cã nhiÒu øng dông s©u s¾c nh­ ngµy nay. ë<br /> thêi ®¹i chóng ta nh÷ng ph¸t minh mëi mÎ cña to¸n häc xuÊt hiÖn hµng ngµy, rÊt<br /> nhiÒu ngµnh míi ra ®êi, nhiÒu quan niÖm cò bÞ ®¶o lén. Ngµy nay to¸n häc kh«ng<br /> chØ ¸p dông trong thiªn v¨n, vËt lý, c¬ häc mµ cßn x©m nhËp vµo ho¸ häc, sinh häc<br /> vµ nhiÒu ngµnh khoa häc x· héi n÷a.<br /> Cã ng­êi nãi to¸n häc lµ nµng tiªn cña c¸c khoa häc. ë n­íc ta Thñ t­íng<br /> Ph¹m V¨n §ång nãi :" Trong ph­¬ng h­íng ph¸t triÓn khoa häc kü thuËt ë n­íc ta<br /> cã nh÷ng ngµnh cã thÓ vµ cÇn ph¶i lµm sím, mµ lµm sím ®­îc th× rÊt tèt. VÝ dô nh­<br /> ngµnh to¸n häc, trong ®ã cã vËn trï häc, cã ph­¬ng ph¸p PERT".<br /> VËy v× sao to¸n häc lµ mét khoa häc rÊt trõu t­îng l¹i cã t¸c dông to lín víi<br /> thùc tiÔn nh­ vËy ? t¸c dông cña nã ®èi víi ®êi sèng s¶n xuÊt vµ khoa häc kü thuËt ra<br /> sao ?<br /> Chóng ta sÏ t×m hiÓu vÊn ®Ò trªn qua ba ®iÓm sau ®©y :<br /> - Nhu cÇu thùc tiÔn lµ c¬ së cña sù ph¸t triÓn to¸n häc<br /> - Ph­¬ng ph¸p x©y dùng c¬ së logic cho c¸c lý thuyÕt to¸n häc<br /> - Vai trß cña to¸n häc ®èi víi ®êi sèng s¶n xuÊt vµ khoa häc kü thuËt.<br /> x<br /> x<br /> <br /> x<br /> <br /> I- Nhu cÇu thùc tiÔn lµ cë së cña sù ph¸t triÓn to¸n häc<br /> <br /> Trong khi ph¸t triÓn nhËn thøc duy vËt biÖn chóng vÒ lÞch sö, Max vµ Angels<br /> ®· chøng minh r»ng khoa häc, trong ®ã cã to¸n häc, kh«ng nh÷ng ph¸t minh mµ cßn<br /> cßn lu«n lu«n ph¸t triÓn trªn mét c¬ së vËt chÊt nhÊt ®Þnh; ®ã lµ thùc tiÔn cña ®êi<br /> sèng, cña nh÷ng ho¹t ®éng s¶n xuÊt, lµ cuéc ®Êu tranh giai cÊp trong x· héi vµ<br /> nh÷ng vÊn ®Ò cña c¸c khoa häc kh¸c.<br /> LÞch sö ph¸t sinh vµ ph¸t triÓn cña to¸n häc còng ®ñ x¸c minh ®iÒu ®ã.<br /> Chóng ta biÕt r»ng nh÷ng kiÕn thøc to¸n häc ®Çu tiªn cña loµi ng­êi vÒ sè<br /> häc, h×nh häc, tam gi¸c l­îng v.v... ®Òu ®Î ra tõ nhu cÇu cña thùc tiÔn. C¸c sè h×nh<br /> thµnh vµ ph¸t triÓn do nhu cÇu cña phÐp ®Õm vµ tÝnh to¸n ( Calculus nghÜa lµ ®Õm<br /> b»ng ®¸ ). RÊt nhiÒu s¸ch ghi l¹i r»ng h×nh häc ph¸t sinh ë Ai CËp do nhu cÇu ®o ®¹c<br /> ®Êt ®ai hµng n¨m sau mçi vô lôt cña s«ng Nil ( h×nh häc tiÕng Hy L¹p lµ sù ®o ®Êt )<br /> ngµnh hµng h¶i ®ßi hái nh÷ng kiÕn thøc vÒ thiªn v¨n, mµ bé m«n nµy l¹i cÇn nh÷ng<br /> kiÕn thøc vÒ l­îng gi¸c do ®ã l­îng gi¸c ph¸t sinh vµ ph¸t triÓn. ë thêi kú phôc<br /> h­ng, sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña kü nghÖ vµ sù h×nh thµnh quan hÖ s¶n xuÊt t­ b¶n<br /> <br /> 1<br /> <br /> chñ nghÜa ®ßi hái ph¶i ph¸t triÓn c¬ häc vµ ngµnh nµy ®· thóc ®Èy ph¶i hoµn chØnh<br /> phÐp tÝnh vi ph©n vµ tÝch ph©n.<br /> Trong thÕ kû 18 to¸n häc chñ yÕu nh»m gi¶i quyÕt yªu cÇu cña c¬ häc. Tõ<br /> nöa ®Çu thÕ kû 19 kü thuËt c¬ khÝ ph¸t triÓn dùa vµo ®éng c¬ h¬i n­íc. VÊn ®Ò n©ng<br /> cao n¨ng suÊt cña m¸y ®­a vËt lý lªn hµng ®Çu. To¸n häc cÇn ph¸t triÓn ®Ó gi¶i quyÕt<br /> nh÷ng vÊn ®Ò vÒ nhiÖt, ®iÖn ®éng, quang, ®µn håi, tõ tr­êng cña tr¸i ®Êt ... Nhê ®ã<br /> kho tµng to¸n häc ®­îc bæ xung nhiÒu kÕt qu¶ quan träng vÒ gi¶i tÝch, ph­¬ng tr×nh<br /> vi ph©n, ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng, hµm phøc, ®¹i sè ... Còng ë thêi kú Phôc h­ng<br /> sù ph¸t triÓn cña héi ho¹ vµ kiÕn tróc ®ßi hái nhiÒu ë ph­¬ng ph¸p vÏ phèi c¶nh do<br /> ®ã n¶y sinh ra m«n h×nh häc x¹ ¶nh. Nh÷ng bµi to¸n míi cña thiªn v¨n, c¬ häc, tr¾c<br /> ®Þa vµ c¸c khoa häc kh¸c ë thêi kú nµy còng lµ nh÷ng nguån kÝch thÝch míi ®èi víi<br /> sù ph¸t triÓn to¸n häc. Kho¶ng cuèi thÕ kû 19, do nhu cÇu cña néi bé to¸n häc lµ x©y<br /> dùng c¬ së cho gi¶i tÝch, lý thuyÕt tËp hîp cña Cantor ra ®êi vµ th¾ng lîi. Lý thuyÕt<br /> tËp hîp ®· tá ra lµ mét lý thuyÕt cã hiÖu lùc vµ dÇn dÇn x©m nhËp vµo tÊt c¶ c¸c lÜnh<br /> vùc to¸n häc. Nhê ®ã ng­êi ta cã thÓ x©y dùng ph­¬ng ph¸p xö lý míi ®èi víi to¸n<br /> häc lµ ph­¬ng ph¸p tiªn ®Ò trõu t­îng. Råi chÝnh nh÷ng m©u thuÉn trong lý thuyÕt<br /> tËp hîp ®· thóc ®Èy sù ph¸t triÓn cña logic to¸n vµ tÇm quan träng vÒ lý luËn còng<br /> nh­ thùc tiÔn cña nã t¨ng lªn kh«ng ngõng trong mÊy chôc n¨m gÇn ®©y.<br /> Víi quan ®iÓm cña lý thuyÕt tËp hîp vµ ph­¬ng ph¸p tiªu ®Ò trõu t­îng nhiÒu<br /> bé m«n to¸n häc hiÖn ®¹i nh­ lý thuyÕt hµm sè thùc, ®¹i sè trõu t­îng, t« p« trõu<br /> t­îng v.v... ra ®êi.<br /> Trong mÊy chôc n¨m l¹i ®©y do sù ph¸t triÓn cña kü thuËt tõ c¬ khÝ ho¸ lªn tù<br /> ®éng ho¸ vµ sù ra ®êi cña kü thuËt tù ®éng ho¸ mµ nhiÒu bé m«n to¸n häc míi ra ®êi<br /> vµ ph¸t triÓn cùc kú nhanh chãng nh­ th«ng tin häc, lý thuyÕt c¸c ch­¬ng tr×nh to¸n<br /> häc, lý thuyÕt m¸y tù ®éng, lý thuyÕt ®é tin cËy, lý thuyÕt ®¹i sè vÒ c¸c s¬ ®å liªn l¹c<br /> vÒ ®iÒu khiÓn v.v...<br /> Do sù ph¸t minh ra m¸y tÝnh ®iÖn tö thóc ®Èy m¹nh mÏ qu¸ tr×nh tù ®éng ho¸<br /> nÒn s¶n xuÊt hiÖn ®¹i, to¸n häc ngµy cµng më réng ph¹m vi øng dông cña nã. §Ó<br /> phôc vô cho m¸y tÝnh ®iÖn tö cã lý thuyÕt lËp ch­¬ng tr×nh, lý thuyÕt Angorit, gi¶i<br /> tÝch sè v.v...<br /> GÇn ®©y do nhu cÇu thùc tiÔn cña sù ph¸t triÓn khoa häc mµ c¸c ngµnh trung<br /> giao gi÷a to¸n häc vµ c¸c khoa häc kh¸c nh­ ng«n ng÷ to¸n, kinh tÕ to¸n, sinh vËt<br /> to¸n ra ®êi, ®¸nh dÊu mét xu h­íng míi trong quan hÖ gi÷a to¸n häc vµ c¸c khoa<br /> häc kh¸c.<br /> TÊt c¶ nh÷ng ®iÒu tr×nh bµy trªn ®©y vÒ qu¸ tr×nh ph¸t triÓn cña to¸n häc<br /> chøng tá r»ng nhu cÇu thùc tiÔn lµ nguyªn nh©n quyÕt ®Þnh sù ph¸t triÓn cña to¸n<br /> häc. Tõ thêi ¥clid ®Õn nay, tr¶i qua h¬n 20 thÕ kû to¸n häc ®· trë thµnh mét khoa<br /> häc rÊt trõu t­îng, nh­ng t¸c dông cña nã ®èi víi ho¹t ®éng thùc tiÔn cña con ng­êi<br /> ngµy cµng to lín v× to¸n häc lu«n dùa vµo thùc tiÔn, lÊy thùc tiÔn lµ nguån ®éng lùc<br /> m¹nh mÏ vµ môc tiªu phôc vô cuèi cïng. Cã thÓ nãi mçi cuéc c¸ch m¹ng khoa häc<br /> kü thuËt ®Òu g©y nªn nh÷ng biÕn ®æi s©u s¾c trong to¸n häc vµ ng­îc l¹i nh÷ng biÕn<br /> ®æi nµy còng t¸c ®éng m¹nh mÏ ®Õn sù ph¸t triÓn cña khoa häc kü thuËt.<br /> <br /> 2<br /> <br /> II- Ph­¬ng ph¸p x©y dùng c¬ së logic cho c¸c lý thuyÕt to¸n häc.<br /> <br /> 1- Khi míi lµm quen víi to¸n häc mäi ng­êi ®Òu cã thÓ nhËn thÊy ngay mét<br /> ®Æc ®iÓm ph©n biÖt nã víi c¸c khoa häc kh¸c lµ tÝnh trõu t­îng cao ®é cña c¸c ®èi<br /> t­îng to¸n häc.<br /> Kh¸c víi c¸c khoa häc tù nhiªn kh¸c to¸n häc kh«ng nghiªn cøu mét h×nh<br /> thøc vËn ®éng nhÊt ®Þnh nµo cña vËt chÊt. Trong khi nghiªn cøu to¸n häc ng­êi ta<br /> hoµn toµn bá qua khÝa c¹nh chÊt l­îng cña sù vËt vµ hiÖn t­îng mµ chØ chó ý ®Õn<br /> quan hÖ sè l­îng vµ h×nh d¹ng cña chóng mµ th«i. Angel ®· chØ râ :" §èi t­îng cña<br /> to¸n häc thuÇn tóy lµ nh÷ng quan hÖ sè l­îng vµ h×nh d¹ng kh«ng gian cña thÕ giíi<br /> kh¸ch quan. Do ®ã to¸n häc lµ mét khoa häc rÊt thùc tiÔn. ViÖc khoa häc Êy mang<br /> mét h×nh thøc hÕt søc trõu t­îng chØ che ®Ëy bÒ ngoµi nguån gèc cña nã trong thÕ<br /> giíi kh¸ch quan mµ th«i " ( chèng §uy-Zinh). Ch¼ng h¹n c¸c kh¸i niÖm vÒ sè tù<br /> nhiªn, ®¹i l­¬ng vµ h×nh h×nh häc cã v« sè nh÷ng h×nh d¹ng hiÖn thùc víi néi dung<br /> vËt chÊt kh¸c nhau. Kh¸i niÖm hµm sè lµ biÓu thÞ sù quan hÖ gi÷a hai ®¹i l­îng biÕn<br /> thiªn. Kh¸i niÖm vÐct¬ dïng ®Ó biÓu thÞ ®¹i l­îng cã h­íng. Kh¸i niÖm ®µo hµm lµ<br /> ph¶n ¸nh vËn tèc cña c¸c qu¸ tr×nh kh¸c nhau v.v...<br /> Nh­ vËy to¸n häc nghiªn cøu c¸c quan hÖ sè l­îng vµ h×nh d¹ng cña thÕ giíi<br /> kh¸ch quan. Muèn cho viÖc nghiªn cøu nµy ®­îc thuËn tiÖn vµ ®¹t kÕt qu¶ s©u s¾c<br /> th× ph¶i bá qua c¸c ®Æc tÝnh kh¸c cña sù vËt vµ chØ tËp trung vµo c¸c quan hÖ nãi<br /> trªn. V× vËy c¸c nhµ to¸n häc b¾t ®Çu viÖc x©y dùng lý thuyÕt cña hä b»ng sù trõu<br /> xuÊt c¸c quan hÖ sè l­îng vµ h×nh d¹ng kh«ng gian ra khái néi dung cña chóng. Do<br /> ®ã cã thÓ nãi trõu t­îng ho¸ lµ mét ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n to¸n häc.<br /> Sù trõu t­îng ho¸ Êy kh«ng dõng l¹i ë mét møc ®é nhÊt ®Þnh mµ ph¸t triÓn<br /> ngµy cµng cao cïng víi sô ph¸t triÓn cña to¸n häc. VÝ dô nhê sù trõu t­îng ho¸ c¸c<br /> tËp hîp t­¬ng ®­¬ng víi nhau ( t­¬ng øng 1-1 ) mµ ng­êi ta cã c¸c sè tù nhiªn. Tõ<br /> c¸c sè tù nhiªn tr¶i qua nhiÒu møc ®é trõu t­îng ho¸ n÷a mµ cã sè h÷u tØ, sè thùc, sè<br /> phøc ... Khi c¸c sè ®· trë thµnh quen thuéc th× ®Ó nghiªn cøu nã ng­êi ta dïng c¸c<br /> ch÷ a, b, c, x vµ y ®Ó chØ cã mét sè trõu t­îng nµo ®ã ®­îc tháa m·n. Ngµy nay trong<br /> to¸n häc hiÖn ®¹i ®èi t­îng cña to¸n häc còng ®­îc më réng kh«ng cßn lµ nh÷ng<br /> quan hÖ sè lu­îng vµ h×nh d¹ng kh«ng gian th«ng th­êng mµ lµ c¸c quan hÖ vµ h×nh<br /> d¹ng bÊt kú, mµ khi t¸ch néi dung cña chóng ra th× chóng t­¬ng tù nh­ c¸c quan hÖ<br /> sè l­îng vµ h×nh d¹ng kh«ng gian th«ng th­êng.<br /> Mét thÓ hiÖn n÷a cña ph­¬ng ph¸p trõu t­îng cña to¸n häc lµ khi x©y dùng c¬<br /> së logic cña c¸c lý thuyÕt to¸n häc, ta ph¶i xuÊt ph¸t tõ c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n nhÊt vµ<br /> c¸c mÖnh ®Ò tæng qu¸t nhÊt cña lý thuyÕt ®ã, råi tõ ®ã ®i vµo néi dung cô thÓ cña<br /> chóng mµ kh«ng thÓ theo qu¸ tr×nh ng­îc l¹i.<br /> Marx ®· chøng minh r»ng ph­¬ng ph¸p ®i cô thÓ ®Õn kh¸i qu¸t kh«ng thÓ lµm<br /> cho kinh tÕ chÝnh trÞ häc cña mét lý thuyÕt ®Çy ®ñ ®­îc. Còng vËy ta kh«ng thÓ x©y<br /> dùng lý thuyÕt to¸n gi¶i tÝch b»ng c¸ch nghiªn cøu c¸c kh¸i niÖm hµm sè, ®¹o hµm,<br /> tÝch ph©n lµ ®èi t­îng chñ yÕu cña nã, mµ ph¶i b¾t ®Çu tõ kh¸i niÖm c¬ b¶n nhÊt,<br /> tæng qu¸t nhÊt lµ kh¸i niÖm giíi h¹n.<br /> <br /> 3<br /> <br /> Tõ x­a ®Õn nay trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn cña to¸n häc, sù kh¸i qu¸t hãa vµ<br /> trõu t­îng hãa gi÷ vai trß rÊt lín. Nhê ®ã mµ nh÷ng sù vËt riªng lÎ ®­îc n©ng lªn<br /> thµnh nguyªn lý, nh÷ng vÊn ®Ò rêi r¹c ®­îc n©ng lªn thµnh hÖ thèng chÆt chÏ theo<br /> quan ®iÓm tæng qu¸t. RÊt nhiÒu bµi to¸n riªng biÖt sau khi kh¸i qu¸t ho¸ ®· dÉn ®Õn<br /> mét c¸ch ®Æt vÊn ®Ò thèng nhÊt vµ do ®ã cã c¸ch gi¶i quyÕt thèng nhÊt. Nh­ng gi¸ trÞ<br /> c¨n b¶n cña nã räi ¸nh s¸ng míi vµo nh÷ng sù vËt riªng lÎ lµm béc lé râ rµng h¬n<br /> thùc chÊt cña chóng, nhê ®ã mµ nh÷ng vÊn ®Ò tr­íc kia cã vÎ phøc t¹p th× nay trë<br /> nªn ®¬n gi¶n l¹ th­êng. §ång thêi ®­êng lèi dÉn ®Õn c¸ch gi¶i quyÕt vÊn ®Ò tæng<br /> qu¸t l¹i gäi ra nh÷ng phu¬ng ph¸p míi ®Ó ®Æt ra gi¶i quyÕt hµng lo¹t c¸c vÊn ®Ò quan<br /> träng kh¸c mµ tr­íc kia kh«ng cã kh¶ n¨ng ®Ò cËp tíi.<br /> Mét vÝ dô ®iÓn h×nh trong lÞch sö to¸n häc lµ c¸ch thay sè b»ng ch÷ ®Ó chuyÓn<br /> tõ sè häc sang ®¹i sè vµ viÖc ph¸t minh ra phÐp tÝnh vi ph©n tÝch ph©n. Nhê nh÷ng<br /> b­íc kh¸i qu¸t ho¸ vµ trõu t­îng ho¸ ®ã nªn nhiÒu bµi to¸n mµ tr­íc ®©y nhiÒu nhµ<br /> to¸n häc lçi l¹c ë thÕ kû 16 - 17 còng kh«ng gi¶i næi th× b©y giê trë thµnh bµi tËp<br /> th«ng th­êng cña häc sinh.<br /> 2- To¸n häc còng nh­ c¸c khoa häc kh¸c dÉu ®­îc x©y dùng trªn c¬ së thiÕt<br /> lËp mét sè mÖnh ®Ò c¬ b¶n råi tõ ®ã rót ra c¸c mÖnh ®Ò kh¸c vµ ph¶i chøng minh<br /> tÝnh ch©n thùc cña c¸c mÖnh ®Ò ®ã. Nh­ng ph­¬ng ph¸p cña c¸c nhµ khoa häc tù<br /> nhiªn vµ c¸c nhµ to¸n häc kh¸c nhau vÒ c¬ b¶n.<br /> C¸c nhµ khoa häc tù nhiªn t×m c¸ch chøng minh c¸c kÕt luËn cña hä b»ng con<br /> ®­êng thôc nghiÖm. Cßn to¸n häc chøng minh c¸c mÖnh ®Ò (®Þnh lý) cña nã, c¨n cø<br /> vµo tiÒn ®Ò xuÊt ph¸t, chØ hoµn toµn b»ng ph­¬ng ph¸p suy diÔn logic vµ b»ng phÐp<br /> tÝnh. Do ®ã to¸n häc lµ mét khoa häc suy diÔn.<br /> Ph­¬ng ph¸p chøng minh b»ng suy diÔn logic lµm cho to¸n häc trë thµnh mét<br /> khoa häc chÝnh x¸c chÆt chÏ vµ cã tÝnh kh¸i qu¸t cao. §ã lµ ­u ®iÓm næi bËt cña to¸n<br /> häc. VËy to¸n häc lµ mét khoa häc suy diÔn . Trong mét khoa häc suy diÔn, ng­êi ta<br /> b¾t ®Çu tõ nh÷ng tiªn ®o¹n ( tiªn ®Ò ) ch¾c ch¾n råi dïng logic suy diÔn ra vµ c¸ch<br /> suy diÔn ph¶i chÆt chÏ, ®Ó mét ng­êi ®· thõa nhËn tiªn ®o¹n th× b¾t buéc ph¶i thõa<br /> nhËn kÕt luËn. Trong to¸n häc b¾t ®Çu suy diÔn tõ ®©u ? ph¶i ch¨ng lµ mét sù trõu<br /> t­îng v« tËn? §Ó gi¶i ®¸p vÊn ®Ò nµy ta ph¶i nghiªn cøu ph­¬ng ph¸p tiªn ®Ò, b¾t<br /> ®Çu h×nh thanh tõ 2000 n¨m nay trong viÖc x©y dùng c¬ së cho h×nh häc cña ¥clid<br /> vµ ngµy nay ®· trë thµnh ph­¬ng ph¸p chñ yÕu cña to¸n häc hiÖn ®¹i.<br /> Néi dung cña ph­¬ng ph¸p tiªn ®Ò lµ lËp cho ®­îc mét b¶ng nh÷ng kh¸i niÖm<br /> c¬ b¶n vµ tiªn ®Ò, råi sau ®ã dïng hoµn toµn suy diÔn logic ®Ó ®Þnh nghÜa c¸c kh¸i<br /> niÖm míi vµ chøng minh c¸c mÖnh ®Ò míi gäi lµ ®Þnh lý.<br /> Mét hÖ thèng c¸c kh¸i niÖm cë b¶n, tiªn ®Ò, ®Þnh lý nh­ vËy lËp thµnh mét lý<br /> thuyÕt to¸n häc.<br /> Khi ta g¸n cho c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n nh÷ng néi dung cô thÓ nµo ®ã sao cho tÊt<br /> c¶ c¸c tiªn ®Ò cña hÖ ®Òu nghiÖm ®óng th× ta nãi r»ng cã mét m« h×nh cho hÖ tiªn ®Ò<br /> ®ã.<br /> <br /> 4<br /> <br /> HiÖu lùc cña ph­¬ng ph¸p tiªn ®Ò chÝnh lµ ë chç mét hÖ tiªn ®Ò cã thÓ cã rÊt<br /> nhiÒu m« h×nh kh¸c nhau. §iÒu ®ã gi¶i thÝch t¹i sao ph­¬ng ph¸p tiªn ®Ò l¹i ®­îc<br /> dïng réng r·i trong to¸n häc hiÖn ®¹i.<br /> 3- Mét ®Æc ®iÓm trong ph­¬ng ph¸p cña to¸n häc vµ viÖc sö dông réng r·i vµ<br /> cã hiÖu qu¶ c¸c ký hiÖu to¸n häc.<br /> VÒ vai trß cña ký hiÖu to¸n häc Hinbert ®· nãi :" Ngµy nay qu¶ thËt lµ mét ¶o<br /> t­ëng nÕu trong khi x©y dùng mét bé m«n to¸n häc mµ ta l¹i chØ muèn dïng ®Õn<br /> tiÕng nãi th«ng th­êng mµ th«i. ChÝnh nhê nh÷ng ký hiÖu ®¹o hµm, tÝch ph©n cña<br /> LÐpnit mµ ng­êi ta ®· ph¸t triÓn ®­îc phÐp tÝnh vi ph©n vµ tÝch ph©n. C¸c bµi to¸n<br /> tÝnh diÖn tÝch, thÓ tÝch, c«ng cña lùc ... mµ tr­íc ®©y chØ cã c¸c nhµ to¸n häc lçi l¹c<br /> míi gi¶i ®­îc th× nhê c¸c ký hiÖu ®ã ®· gi¶i quyÕt mét c¸ch ®¬n gi¶n gÇn nh­ m¸y<br /> mãc.<br /> Ta thö ph©n tÝch xem ký hiÖu to¸n häc ®· ®­îc sö dông nh­ thÕ nµo ?<br /> C¸c ký nhËn to¸n häc tr­íc hÕt dïng ®Ó ghi l¹i mét c¸ch c« ®äng dÔ hiÓu c¸c<br /> kh¸i niÖm vµ mÖnh ®Ò to¸n häc. Mçi ký hiÖu to¸n häc ®Òu cã mét ý nghÜa x¸c ®Þnh,<br /> nhê ®ã mµ ng­êi ta cã thÓ hiÓu ®­îc ®iÒu mµ c¸c quan hÖ to¸n häc muèn diÔn t¶ .<br /> Trong to¸n häc vai trß cña ký hiÖu còng gièng nh­ vai trß cña tiÕng nãi trong x· héi.<br /> Theo quan ®iÓm duy vËt biÖn chøng, c¸c hÖ thèng ký hiÖu to¸n häc chÝnh lµ<br /> sù thÓ hiÖn vËt chÊt cña nh÷ng tri thøc vÒ c¸c m¶ng nhÊt ®Þnh cña hiÖn thùc ®· ®­îc<br /> to¸n häc tÝch luü. Nªn viÖc sö dông vµ nghiªn cøu c¸c ký hiÖu to¸n häc kh«ng nh÷ng<br /> gióp ta cã thÓ ghi l¹i mét c¸ch ng¾n gän vµ s¸ng sña c¸c kh¸i niÖm vµ mÖnh ®Ò to¸n<br /> häc mµ cßn ph¸t triÓn ®­îc nh÷ng phÐp tÝnh vµ thuËt to¸n, tøc lµ c¸i cèt yÕu ®Ó x©y<br /> dùng nªn c¸c ph­¬ng ph¸p to¸n häc. T¸c dông cña ký hiÖu trong viÖc ghi vµ ph¸t<br /> triÓn phÐp tÝnh trªn c¸c con sè, c¸c biÓu thøc ®¹i sè, trong phÐp tÝnh vi ph©n, tÝch<br /> ph©n v.v... lµ nh÷ng vÝ dô ®iÓn h×nh chøng tá ®iÒu ®ã.<br /> Nh­ ta ®· biÕt ph­¬ng ph¸p tiªn ®Ò lµ ®Æc tr­ng cho tÝnh trõu t­îng cao cña<br /> to¸n häc hiÖn ®¹i. Nh­ng møc ®é trõu t­îng cña to¸n häc cßn ®i xa h¬n n÷a khi<br /> ng­êi ta ký hiÖu ho¸ ph­¬ng ph¸p tiªn ®Ò. HiÖn nay kh«ng nh÷ng ng­êi ta dïng ký<br /> hiÖu ®Ó diÔn t¶ c¸c tiªn ®Ò mµ cßn ®Ó diÔn t¶ c¸c qui t¾c logic n÷a.<br /> Mét hÖ tiªn ®Ò víi c¸c quy t¾c suy diÔn ®­îc ký hiÖu ho¸ ®­îc gäi lµ mét hÖ<br /> h×nh thøc. Trong mét hÖ h×nh thøc c¸c tiªn ®Ò lµ c¸c dßng ký hiÖu, víi c¸c dßng kú<br /> hiÖu nµy, nh­ c¸c quy t¾c kiÕn thiÕt ( quy t¾c suy diÔn ®­îc kü hiÖu ho¸ ) ng­êi ta<br /> kiÕn thiÕt nªn c¸c dßng ký hiÖu míi ( c¸c ®Þnh lý )<br /> Víi mét hÖ h×nh thøc, mét ng­êi kh«ng biÕt lµm to¸n cã thÓ lµm tãan, chØ cÇn<br /> h­íng dÉn ng­êi ®ã biÕt ph©n biÖt c¸c ký hiÖu. §ã chÝnh lµ lý do t¹i sao c¸c m¸y<br /> tÝnh ®iÖn tö lµ nh÷ng vËt v« tri cã thÓ lµm to¸n ®­îc. V× m¸y tÝnh ®iÖn tö lµ c¬ së cña<br /> tù ®éng ho¸ nªn ë ®©y ta cµng thÊy viÖc " h×nh thøc ho¸ " to¸n häc cã vai trß quan<br /> träng ®Õn møc ®é nµo.<br /> 4- Trong to¸n häc cã nhhiÒu ngµnh bÒ ngoµi rÊt xa nhau, nh­ng l¹i rÊt gÇn<br /> nhau vÒ ph­¬ng ph¸p, nh­ ph­¬ng tr×nh vi ph©n vµ ph­¬ng tr×nh ®¹i sè, sè phøc vµ<br /> ®¹i sè vÐc t¬ v.v... Tõ ®ã ng­êi ta thÊy r»ng nÕu chØ ph©n lo¹i to¸n häc theo ®èi<br /> <br /> 5<br /> <br />