Tóm tắt công thức toán lớp 9

Chia sẻ: Cao Nguyen Thuy Hien | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

164
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liêu "Tóm tắt công thức toán lớp 9" trình bày các dạng bài tập về phương trình như: phương trình 0 có 2 nghiệm phân biệt, phương trình 0 có 2 nghiệm trái dấu và phương trình 0 có 2 nghiệm cùng dấu. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt công thức toán lớp 9

TÓM TẮT CÔNG THỨC TOÁN LỚP 9 2 1) Phương trình: ax + bx + c = 0 ( a 0 ) 0 Phương trình 0 có 2 nghiệm phân biệt Phương trình 0 có 2 nghiệm trái dấu Phương trình 0 có 2 nghiệm 0 cùng dấu 0 0 0 Phương trình 0 có 2 nghiệm cùng dương P 0 Phương trình 0 có 2 nghiệm S 0 0 cùng âm P 0 S 0 0 Phương trình 0 có 2 nghiệm đối nhau P 0 S 0 Ví dụ: Cho Phương trình : 2x2 – 5x – m + 3 = 0 1 điều kiện để phương trình 1 a. T ìm có 2 nghi ệm trái dấu: 2 2 b 4ac ( 5) 4.2(m 3) 25 8m 24 1 8m Giaû söû phöông trình coù 2 nghieäm x1, x2 b 5 S x Theo ñònh lí Viet, ta x coù: 2, 5 1 2 P x x c m 3 1 2 a 2 0
1 8m 0 1 8m m 1 P 0 m 3 0 8 0 m 3 2 Vaäy m>3 thì phöông trình  coù 2 nghieäm traùi daáu. b. T ìm ñ i u eà kieä n ñe å ph ö ông t r ìn h  co ù 2 nghie ä m cuøn g a âm: 0 1 8m 0 Phöông trình  coù 2 nghieäm cuøng aâm P 0 m 3 0 S 0 2, 5 0(sai) Vaäy khoâng coù giaù trò m ñeå phöông trình coù 2 nghieäm cuøng aâm. ax + 2) Heä ph ö ô n g t r ì n h : Heä phöông trình coù nghieäm b by = c a duy nhaát b ' a ' a'x + b'x = c' Heä phöông trình voâ a b a b Heä phöông trình coù voââ soá nghieäm c a ' b ' nghieäm c a ' c ' 3) Haèng ñaúng thöùc b ' c '  (a b)2 a2  (a b)3 a3 b3 3a2b 3ab2 2ab b2 2 2  (a b)3 a3 b3 3a2b 3ab2  (a b) a 2ab b2
 a2 b2 (a b)(a b)  a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )  a2 b2 (a b)2 2ab (a b)2  (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 2ab  (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc  a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 4) Tæ soá löôïng k c t c giaùc: o a oe ñoái sin tà s g a = gñ ñ o k o á = e à i á huy k eàn i e à 5) G i a û i p h g t r ì nh : ax2 + bx + c = 0 ( a ö ô n 0) a. D uø n g c oâ n g th ö ù c n g hie ä m : [Phöông trình ax + bx + c = 0 vôùi a vaø c 2 traùi daáu thì luoân coù 2 nghieäm phaân bieät] 2 = b 4ac * > 0 Phöông trình b ; x coù2 nghieäm phaân bieät : 2a b x 2a * = 0 Phöông trình coù nghieäm keùp : x x b 2a *
a a * ' = 0 Phöông trình coù nghieäm b keùp : x x 1 2 * '
6) Tam giaùc vuoâng caân ABC vuoâng caân taïi A ; AB = AC = a ABC ñoàng daïng vôùi ABH ñoàng daïng vôùi ACH    B AC AHC AHB 90o     B AH ABH ACH C AH 45o BC ; a 2 AH AB AC HB HC AH laø ñöôøng cao, ñöôøng trung tröïc, ñöôøng trung tuyeán, tia phaân giaùc cuûa ABC a BH (CH AH ) 2 CH AH 2 2 2 2 AH.BC AH 2 AH 2 SABC 2 2 ABC vuoâng taïi A BC AB BC AC AB 2 h C ö ùn g m i n h m oä t t a m g i a ù c vuo ân g c aân: ABC vuoâng caân taïi A AC 2 AB AC   ABC ABC  ABC 45o  ACB 45o 7) Tam giaùc ñeàu ABC ñeàu ; AB = AC = BC = a AH laø ñöôøng cao, ñöôøng trung tuyeán, ñöôøng trung tröïc vaø tia phaân giaùc a A ; ; CH HB AH 2 4 2 ABC caân S ABC  ABC 60o ö Ch ùn g m i n h m oä t t a m g i a ù c ñeàu: ABC ñeàu ACB 60  C AB 60o 8) Nöûa tam giaùc ñeàu C B
ACH vaø ABH laø nöûa tam giaùc ñeàu AH BH CH 2 2 AB AC 2AH 3 CH BH AB AC 2CH 2BH 3 2 2 3
AHC vuoâng    A HC( ACH , C AH ) 60o ö Ch ùn g m i n h n ö û a t a m g i c aù ñeà u : AHC laønöûa tam giaùc ñeàu AH 2HC HC 2 9) Goùc vaø ñöôøng troøn   AOB : goùc ôû taâm chaén AB   ACB : goùc noäi tieáp chaén AB   E AB : goùc taïo bôûi tia tieáp tuyeán vaø daây cung chaén AB   1 E ACB E AB  1    sñH DG = sñH G sñJ I AOB 2 1  1    sñA DG = sñE DF = sñA mF sñA nF   H sñA G sñJ A 2 2 A   1   J KC B KG sñJ C + sñB G 10) Moät vaøi coâng thöùc caàn nhôù (Hình hoïc): Ñoä daøi ñöôøng troøn: C = 2 R I Rn o O m Ñoä daøi cung troøn: l = n 180o D Dieän tích hình troøn: S = R2 R n J Dieän tích hình quaït troøn: S = 2 o 360o chuù: Ghi + : soá pi G K + C: ñoä daøi ñöôøng troøn + R: baùn kính + l: ñoä daøi cung + no: soá ño ñoä cuûa cung F C Dieän tích xung quanh hình truï: Sxq = 2 R.h Dieän tích xung quanh hình noùn : Sxq = Rl Dieän tích toaøn phaàn hình truï: Stp = 2 R.h + Dieän tích toaøn phaàn hình noùn: Stp = Rl + R2 2 R2 1 Theå tích hình noùn: V = R2 h Theå tích hình truï: V = Sh + R2h 3 chuù: Ghi + h: chieàu cao + l: ñöôøng sinh 11) Moät vaøi coâng thöùc caàn nhôù (Ñaïi soá): 1. Vôùi a 0; b 0 thì a + b a + b (daáu “=” xaûy ra a = 0 hoaëc b = 0)
2. Vôùi a b 0 thì a b a b (daáu “=” xaûy ra a = 0 hoaëc b = 0) 3. Coâng thöùc caên phöùc taïp: = ± trong ñoù A > 0 ; B > 0 ; A2 > B a + b 4. Baát ñaúng thöùc Coâsi: vôùi a 0 , b 0 thì: (daáu “=” xaûy ra a = b) 2 Vaøi daïng khaùc cuûa baát ñaúng thöùc Coâsi:
D aï n g c o ù ch ö ù a d a á u c a ê n :  a + b a 0; b 0 vôùi vôùi a > 0 ; b > 0 1 2 a +  (a + b)2 4ab a D aï n g k h oâ n g c o ù d aá u ca ê n (a + b)2   a2 + b2 2ab 2 ab B 5. 6. 7. | A | = B A 0 (hay B 0 0) B B 0 8. X2 A2 X A hay X A ; X2 A2 A X A h(x) Ñaët ñieàu kieän: f (x) 0, g(x) 0, h(x) 0 Chuyeån veá (2 veá phaûi khoâng aâm) Bình phöông 2 veá 10. Min X 2 m m ; Max m 2 X m 11. Ñ ie à u kieä n ñe å bieå u t h öù c c o ù n g hóa: Bieåu thöùc coù daïng A coù nghóa khi A 0 Bieàu thöùc B coù B 0 A coù daïng coù Bieåu nghóa nghóa khi khi thöùc B 0 coù daïng A B
12) Ñöôøng thaúng song song vaø ñöôøng thaúng 2. P h ö ôn g tr ì n h baä c 4: ax4 + bx3 + cx2 + he ä ño á i xöùn g caét nhau. Heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng bx + a = 0 (a 0) [] 1. Cho 2 ñöôøng thaúng: (d1) : y = ax + b (a 0) a) Phöông phaùp giaûi: vaø (d2) : y = a’x + b’ (a’ 0) Nhaän xeùt x = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa  [].  (d1) caét (d2) (d1) // Chia 2 veá cuûa [] cho x2 vaø nhoùm caùc soá haïng a a ' (d2) caùch ñeàu 2 soá haïng ñaàu vaø cuoái thaønh töøng  (d1) (d2) a nhoùm ñöôïc phöông trình [] a.a ' 1 a ' ; Ñaët aån [ t 2 2 roài theá vaøo phöông trình b b phuï t ] x2 []. ' 1 1 x  x 2 (d1) x Giaûi phöông trình trung gian naøy ñeå tìm t, theá (d2) giaù trò cuûa t vaøo [] ñeå tìm x a b) V e à ng h ie ä m so á c u û a p h ö ô n g trình: a ' ; Neáu x0 laø nghieäm cuûa cuõng laø nghieäm cuûa noù 1 b b phöông trình [] thì ' x0 5 4 3 2. Khi a > 0 thì c) P h ö ô n g trìn h h e ä ñ i oá xöù n g b c 5 : ax + bx + cx + aä 2 goaùc taïo cx + bx + a = 0 (a 0) [] bôûi ñöôøng coù nghieäm x = 1 (vì toång heä soá baäc chaün baèng toång thaúng y = ax caùc heä soá baäc leû). Vì theá [] coù theå bieán ñoåi thaønh: x 1 ax 4 b a x3 c a b + b vaø truïc Ox laø goùc x 2 b a x a 0 nhoïn. Khi a 0 thì 13) Caùc daïng phöông trình ñaëc bieät: 1. Phöông trình baäc 3: ax3 + 2 bx + cx + d = 0 (a 0) [] Neáu bieát 1 nghieäm x = x0 thì [] ñöôïc ñöa veà phöông trình tích: (x – x0)(ax2 + mx + n) = 0
n m 3. Phöông trình hoài quy: ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = 0 (a 2 0) [] a) Phöông t phaùp r giaûi: o Nhaän xeùt n x = 0 khoâng g phaûi laø nghieäm cuûa ñ []. o ù Chia 2 veá cuûa [] cho x2 vaø nhoùm caùc soá haïng caùch ñeàu 2 soá haïng ñaàu vaø cuoái thaønh töøng nhoùm ñöôïc phöông trình [] aånÑ aëhuï pt ] roài theá vaøo phöông trình [ ].2 m 2 [ 2 m 2 t t x b b2 x2 x    bx Giaûi phöông trình trung gian naøy ñeå tìm t, theá giaù trò cuûa t vaøo [] ñeå tìm x 4. P h ö ô n g tr ì n h tr on g ño ù a + d = b + c : (x + a) (x + b)(x + c) (x + d) = m [] Phöông phaùp giaûi: Vieát laïi [] döôøi daïng: [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] – m = 0 []
Khai trieån caùc tích vaø ñaët aån phuï t laø 1 trong 2 bieåu thöùc g vöøa khai trieån. i Theá aån phuï vaøo phöông trình [], giaûi phöông trình, tìm a giaù trò cuûa t. ù Theá giaù trò cuûa t vaøo bieåu thöùc chöùa aån phuï ñeå tìm x. c 5. Phöông trình trong ñoù: (x + a)4 + (x + b)4 = c Phöông phaùp giaûi: x Ñoái vôùi phöông trình daïng naøy, ta ñaët aån phuï laø trung bình u coäng cuûa (x + a) vaø (x + b): a a b A Ñaët t x á 2 t 14) Moät soá kieàn thöùc cô baûn veà hình hoïc caáp 2: 1. T r un p g tuye á n c uû a h ta m g i aù c : a ù Trung tuyeán t cuûa tam giaùc laø ñoaïn t thaúng, moät ö ñaàu noái ñænh ø cuûa tam giaùc, ñaàu kia noái ñ trung tuyeán æ cuûa caïnh n ñoái dieän h vôùi ñænh treân. Ta coù tam giaùc ABC coù AM laø trung tuyeán MC = MB ñ e B á n C A Ù p d uï n g v a ø o ta m giaù c vu o ân g : c + Ñònh lí thuaän: Trong 1 tam giaùc vuoâng, ñöôøng trung a tuyeán öùng vôùi caïnh huyeàn thì baèng nöûa caïnh huyeàn ï + Ñònh lí ñaûo: Trong 1 tam giaùc, ñöôøng trung tuyeán baèng n nöûa caïnh ñoái dieän thì tam giaùc ñoù vuoâng. h 2. Ti a pha â n g i aù c : Tia phaân giaùc cuûa goùc laø tia naèm trong goùc aáy vaø chia goùc ñ ñoù ra laøm hai goùc baèng nhau. o Phaân giaùc cuûa tam giaùc laø moät ñoaøn thaúng coù moât ñaàu laø á A i ñænh cuûa tam giaùc, d ñaàu kia i laø giao e ñieåm cuûa ä tia faân
Trong moät tam giaùc, ñöôøng phaân giaùc trong vaø ngoaøi chia caïnh ñoái dieän thaønh nhöõng ñoaïn tæ leävôùi hai caïnh keà. Ta coù tam giaùc ABC coù AM AB BM laø ñöôøng phaân giaùc 3. Ñöô CM AC B øng trun C g tröïc : Ñònh nghóa: Ñöôøng thaúng trung tröïc cuûa 1 ñoaïn thaúng laø ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi ñoaïn ñoù taïi trung ñieåm. Ñònh lí 1: Neáu ñieåm M naè treân ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn AB. Ñònh lí 2: Taäp hôïp nhöõng ñieåm B C caùch ñeàu 2 ñaàu cuûa ñoaïn thaúng AB laø ñöôøng H thaúng trung tröïc cuûa ñoaïn AB Ta coù tam giaùc ABC coù AH vöøa laø ñöôøng cao, vöøa laø trung tuyeán, vöøa laø phaân giaùc, vöøa laø trung tröïc (tam giaùc ABC caân) 4. Ñ ö ôøn g tr un g b ì n h c u û a ta m g i aù c :
A 7 Ñònh lí 1: Trong moät tam giaùc, neáu moät ñöôøng thaúng ñi qua trung ñieåm cuûa moät caïnh vaø song song vôùi canh thöù hai thì noù ñi qua trung ñieåm cuûa caïnh thöù ba. Ñònh lí 2: Ñoaïn thaúng noái trung ñieåm hai caïnh cuûa tam giaùc thì song song vôùi caïnh thöù ba vaø baèng nöûa caïnh thöù ba. B C Ñònh lí 3: Ñoaïn thaúng noái trung ñieåm hai caïnh tam giaùc goïi laø ñöôøng trung bình cuûa tam giaùc. 5. Tính chaát ba ñöôøng trung tuyeán: Trong moät tam giaùc, ba ñöôøng trung tuyeán caét nhau taïi moät ñieåm. Ñieåm ñoù goïi laø troïng taâm cuûa tam giaùc. 2 Khoaûng caùch töø ñænh ñeán troïng taâm baèng trung tuyeán ñoù. 3 6. Tí n h c haá t ñöôøn g pha â n g i aù c : a) Tính chaát 3 ñöôøng phaân giaùc: Ñònh lí veà phaân giaùc cuûa goùc: + Ñònh lí thuaän: Baát cöù ñieåm naøo naèm treân ñöôøng faân giaùc cuûa moät goùc thì cuõng caùch ñeàu 2 caïnh goùc ñoù. + Ñònh lí ñaûo: Ñieåm naøo caùch ñeàu 2 caïnh cuûa moät goùc thì naèm treân faân giaùc cuûa goùc ñoù. b) Tính chaát 3 phaân giaùc cuûa tam giaùc: trong moät tam giaùc, 3 ñöôøng faân giaùc caét nhau taïi 1 ñieåm. Ñieåm ñoù caùch ñeàu 3 caïnh cuûa tam giaùc. Ñieåm ñoù goïi laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp trong tam giaùc. c) T ín h ch a á t 2 ñ ö ôø n g p h n aâ giaù c cuû a 1 ta m giaù c : trong moät tam giaùc, ñöôøng faân giaùc trong vaø ngoaøi chia caïnh ñoái dieân thaønh nhöõng ñoaïn tæ leä vôùi 2 caïnh keà. 7. Tí n h c haá t 3 ñ ö ôøn g t r un g tr ö ï c c uû a ta m g i a ù c : Trong moät tam giaùc, ba ñöôøng trung tröïc caét nhau taïi moät ñieåm. Ñieåm ñoù caùch ñeàu ba ñænh cuûa tam giaùc. Ñieåm ñoù goïi laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc. 8. Tí n h c haá t 3 ñ ö ôøn g c a o c a uû ta m g i a ù c : Trong moät tam giaùc, ba ñöôøng cao caét nhau taïi moät moät ñieåm. Ñieåm ñoù goïi laûtröïc taâm cuûa tam giaùc.
9. Ti eâ n ñe à Ô C L I T : Töø moät ñieåm naèm ngoaøi moät ñöôøng thaúng ta chæ veõ ñöôïc moät ñöôøng thaúng duy nhaát song song vôùi ñöôøng thaúng cho tröôùc.
8 + He ä qua û 1: cho hai ñöôøng thaúng song song, neáu moät ñöôøng thaúng naøo caét ñöôøng thaúng thöù nhaát thì noù cuõng caét ñöôøng thaúng thöù hai. + He ä qu a û 2 : neáu hai ñöôøng thaúng cuøng song song vôùi ñöôøng thaúng thöù ba thì chuùng song song vôùi nhau. 10. Ñònh lí Thales trong tam giaùc: + Ñònh lí 1: ñöôøng thaúng song song vôùi moät caïnh cuûa tam giaùc chaén treân hai caïnh kia thaønh nhöõng ñoaïn töông öùng tæ leä. + Ñ òn h lí 2: neáu moät ñöôøng thaúng chaén hai caïnh moät tam giaùc thaønh nhöõng ñoaïn töông öùng tæ leä thì noù song song vôùi caïnh thöù ba. +He ä q u a û: ñöôøng thaúng song song vôùi moät caïnh cuûa tam giaùc, hôïp vôùi hai caïnh kia seõ taïo thaønh moät tam giaùc môùi coù nhöõng caïnh tæ leä vôùi nhöõng caïnh cuûa tam giaùc ñaõ cho. The End