Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án "Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ" tập trung nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm dương của phương trình Lichnerowicz phân thứ, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình LaneEmden phân thứ. Ngoài ra, luận án cũng tập trung chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của lớp phương trình và hệ phương trình elliptic phân thứ chứa số hạng gradient.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ------  ------ NGUYỄN THỊ QUỲNH TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9.46.01.03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2024
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Cán bộ hướng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Như Thắng Phản biện 1: GS.TSKH. Đoàn Thái Sơn Viện Toán học Phản biện 2: PGS.TS. Lê Văn Hiện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS. Đỗ Đức Thuận Đại học Bách khoa Hà Nội Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Hà Nội, hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu Trong những năm gần đây, các nhà toán học trên thế giới dành sự quan tâm đến các phương trình đạo hàm riêng loại elliptic và parabolic không địa phương, mà một số phương trình tiêu biểu chứa toán tử Laplace phân thứ, hay p-Laplace phân thứ,... nhờ những ứng dụng trong vật lí, sinh học, tài chính.... Tính không địa phương của phương trình có thể tới từ số hạng không gian như toán tử Laplace phân thứ, hoặc đạo hàm không địa phương theo biến thời gian (đạo hàm phân thứ, đạo hàm không địa phương,... đối với phương trình kiểu parabolic). Ta biết rằng toán tử Laplace phân thứ được định nghĩa như một toán tử không địa phương trên không gian các hàm giảm nhanh bởi u(x) − u(ξ) Z (−∆)s u(x) = cN,s P.V. N +2s dξ R |x − ξ| N u(x) − u(ξ) Z = cN,s lim dξ, ε→0 RN \Bε (x) |x − ξ|N +2s ở đây cN,s là hằng số chuẩn hoá và P.V. là giá trị chính Cauchy. Mặt khác, toán tử Laplace phân thứ còn được định nghĩa thông qua biến đổi Fourier F ((−∆)s u) (ξ) = |ξ|s Fu(ξ), với Fu là biến đổi Fourier của hàm u. Hơn nữa, ta có thể mở rộng định nghĩa của toán tử Laplace phân thứ theo nghĩa phân phối trên không gian |u(x)| Z N 1 N Ls (R ) = u ∈ Lloc (R ); N +2s dx < ∞ . RN (|x| + 1) Ngoài ra, nếu u ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ) với σ > s, thì (−∆)s u(x) xác định tại mọi x ∈ RN . Cho đến nay, đã có nhiều kết quả về tính chất định tính cho nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng chứa toán tử Laplace như sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính chính qui, tính ổn định.... Tuy nhiên, các kết quả tương tự cho các phương trình không địa phương chứa toán tử Laplace phân thứ, p-Laplace phân thứ vẫn còn rất hạn chế bởi các khó khăn khi phải làm việc với toán tử không địa phương. Khó khăn này đòi hỏi cách tiếp cận mới cho các bài toán không địa phương và các phương trình chứa toán tử Laplace phân thứ trở thành một trong những chủ đề quan trọng trong chuyên ngành. Chủ đề thứ nhất được nghiên cứu trong luận án là phương trình Lichnerowicz phân thứ vt + (−∆)s v = v −p−2 − v p trong RN × R (1) và phương trình elliptic tương ứng (−∆)s u = u−p−2 − up trong RN , (2) ở đó p > 0 và 0 < s < 1. 1
Nhắc lại rằng, trường hợp s = 1, (1) và (2) trở thành vt − ∆v = v −p−2 − v p trong RN × R (3) và phương trình elliptic tương ứng −∆u = u−p−2 − up trong RN . (4) Các phương trình này được biết đến với tên gọi phương trình Lichnerowicz. Gần đây, phương trình kiểu Lichnerowicz nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước. Trong Ma và Xu (2009), Ma (2010), người ta chứng minh rằng nếu p > 1 thì phương trình (4) chỉ có nghiệm dương tầm thường u = 1. Kết quả này sau đó được chứng minh lại bởi Brezis (2011) bằng cách sử dụng một kiểu nguyên lí cực trị và lí thuyết Keller-Osserman. Hơn nữa, trong Brezis (2011) người ta còn chỉ ra rằng nếu 0 < p ≤ 1 thì (4) có nghiệm dương không tầm thường. Dựa vào kết quả trong Brezis (2011) cho (4), chúng tôi đặt câu hỏi tương tự cho trường hợp phương trình chứa toán tử Laplace phân thứ. Chủ đề thứ hai trong luận án là nghiên cứu phương trình Lane-Emden phân thứ (−∆)s u = up trong RN . (5) và hệ Lane-Emden phân thứ  (−∆)s u = v p trong RN , (6) (−∆)s v = uq trong RN ở đó p, q ∈ R và 0 < s < 1. Xét phương trình (5) với s = 1, tức là phương trình Lane-Emden −∆u = up trong RN . (7) Trong trường hợp này, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương của (7) đã được chứng minh trong bài báo nổi tiếng của Gidas và Spruck (1981). Đối với lớp nghiệm trên dương của phương trình (7), định lí kiểu Liouville tối ưu cũng đã được chứng minh hoàn toàn, xem Amstrong và Sirakov (2011). Xét hệ (6) với s = 1, tức là hệ Lane-Emden  −∆u = v p trong RN , (8) −∆v = uq trong RN Giả thuyết Lane-Emden phát biểu rằng hệ (8) có nghiệm dương nếu và chỉ nếu 1 1 2 p, q > 0 và + ≤1− . p+1 q+1 N Giả thuyết này đã được chứng minh cho lớp nghiệm radial với số chiều tùy ý. Trong trường hợp nghiệm không radial, giả thuyết Lane-Emden chỉ được chứng minh với số chiều N ≤ 4, xem Souplet (2009) và còn bỏ ngỏ với số chiều N ≥ 5. Đối với lớp nghiệm trên dương của (8), định lí kiểu Liouville tối ưu cũng đã được chứng minh hoàn toàn, xem Amstrong và Sirakov (2011). Kết quả dưới đây đã được chỉ ra trong Amstrong và Sirakov (2011). Định lí A. Hệ phương trình (8) không có nghiệm trên dương nếu và chỉ nếu (p, q) thỏa mãn một trong các điều kiện sau (i) p ≤ 0 hoặc q ≤ 0. 2
(ii) p, q > 0 và pq ≤ 1. n o 2(p+1) 2(q+1) (iii) p, q > 0, pq > 1 và max pq−1 , pq−1 ≥ N − 2. n o 2(p+1) 2(q+1) Thêm vào đó, khi p, q > 0, pq > 1 và max pq−1 , pq−1 < N − 2, hệ phương trình (6) với s = 1 có nghiệm trên dương dạng  − p+1 u(x) = k1 (1 + |x|2 pq−1  − q+1 , ở đó k1 , k2 là các hằng số dương nhỏ. v(x) = k (1 + |x|2 pq−1  2 Bây giờ, chúng ta xét trường hợp phương trình Lane-Emden và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ, tức là, 0 < s < 1. Kết quả về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương của phương trình Lane-Emden đã được mở rộng cho phương trình phân thứ, trong đó số mũ tới hạn được cho N +2s bởi pc (s) = N −2s . Sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của (5) đã được nghiên cứu trong Felmer-Quaas (2011). Cụ thể, các tác giả đã thu được kết quả sau đây về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương. Định lí B. Giả sử rằng 0 < s < 1 và N > 2s. (9) Khi đó, phương trình (5) không có nghiệm trên dương với điều kiện số mũ N 1 N −2s , phương trình (5) có nghiệm trên dương dạng ε u(x) = (1 + |x|)2sk 1 −2s với k là số thỏa mãn p−1 < k < N 2s và ε > 0 nhỏ. Tương tự như trường hợp của toán tử Laplace, một câu hỏi tự nhiên là phương trình (5) có nghiệm trên dương hay không khi −∞ < p ≤ 1. Luận án sẽ đưa ra câu trả lời cho câu hỏi này. Nhắc lại rằng, nghiệm trên dương của (6) là một cặp hàm dương (u, v), u, v ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ), thỏa mãn  (−∆)s u ≥ v p trong RN . (−∆)s v ≥ uq trong RN Bằng cách mở rộng kĩ thuật của Amstrong-Sirakov (2011), các tác giả trong Leite-Montenegro (2017) đã thu được kết quả sau. Định lí C. Giả sử rằng 0 < s < 1, N > 2s và p, q > 0, pq > 1. Khi đó, hệ (6) không có nghiệm trên dương nếu và chỉ nếu 2s(p + 1) 2s(q + 1) max , ≥ N − 2s. pq − 1 pq − 1 Gần đây, Biswas đã chứng minh rằng, hệ (6) không có nghiệm trên dương trong trường hợp p, q > 0 và pq ≤ 1 bằng cách sử dụng kĩ thuật xác suất. Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay vẫn chưa có kết quả nào về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của (6) khi p ≤ 0 hoặc q ≤ 0. Do đó, dựa vào kết quả cho toán tử Laplace (Định lí A), chúng tôi sẽ chứng minh rằng hệ (6) không có nghiệm trên dương khi p ≤ 0 hoặc q ≤ 0. Ngoài ra, chúng tôi cũng đưa ra một chứng minh đơn giản về sự khôngntồn tại nghiệmotrên dương của hệ (6) khi p > 0, q > 0 và pq ≤ 1 hoặc p > 0, q > 0, pq > 1 và max 2s(p+1) 2s(q+1) pq−1 , pq−1 > N − 2s. 3
Chủ đề thứ ba trong luận án là một nghiên cứu tiếp theo của chủ đề thứ hai. Xét phương trình (−∆)s u + b · ∇u = up trong RN (10) và hệ  (−∆)s u + b · ∇u = v p trong RN , (11) (−∆)s v + b · ∇v = uq trong RN trong đó các số mũ p và q là các số thực, (−∆)s là toán tử Laplace phân thứ với 0 < s < 1, N > 2s và b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện tăng trưởng ở vô cùng C |b(x)| ≤ , với θ ≥ 0. (12) |x|θ Khi s = 1 và b = 0, phương trình (10) và hệ (11) lần lượt trở thành phương trình Lane-Emden và hệ Lane-Emden. Các kết quả liên quan đến phương trình và hệ phương trình này đã được nói đến ở trên. Tiếp theo chúng ta xét trường hợp 0 < s < 1 và b = 0, phương trình (10) và hệ (11) lần lượt trở thành phương trình Lane-Emden phân thứ và hệ Lane-Emden phân thứ. Một số kết quả đã có cho phương trình và hệ phương trình này cũng đã được đề cập ở trên. Bây giờ chúng ta chuyển sang trường hợp khi b ̸= 0. Đầu tiên, nếu s = 1, phương trình (10) và hệ (6) trở thành −∆u + b · ∇u = up (13) và  −∆u + b · ∇u = v p (14) −∆v + b · ∇v = uq . Phương trình và hệ phương trình này đã được nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây . Sự không tồn tại nghiệm trên dương của (13) trên các miền ngoài đã được thiết lập trong Hara (2017), Duong (2019). Miền không tồn tại nghiệm trên dương trong trường hợp này là 1 < p ≤ NN−2 . Trong trường hợp tuyến tính, tức là p = 1, sự không tồn tại nghiệm trên dương của (13) đã được nghiên cứu trong Aghajani- Cowan (2021). Sự không tồn tại nghiệm trên dương của (14) trên toàn bộ không gian đã được nghiên cứu trong Duong (2019), trong đó p và q không nhất thiết phải lớn hơn một. Với lớp nghiệm ổn định, một số định lí kiểu Liouville cho (14) đã được thiết lập trong Duong (2017), Hu (2019). Trong trường hợp tổng quát, các bài toán chứa toán tử Laplace phân thứ và số hạng gradient đã thu hút nhiều sự chú ý trong những năm gần đây. Trong Petrosyan-Pop (2015), tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui tối ưu của nghiệm của bài toán chứa toán tử Lu = (−∆)s + b · ∇u + cu. Ước lượng nhân nhiệt cho toán tử (−∆)s + b · ∇ đã được đưa ra trong Chen et al (2012). Trong Barrios - Del Pezzo (2020), sự tồn tại nghiệm trên bị chặn của phương trình (−∆)s u + |∇u|q = λf (u) đã được chứng minh trong một số điều kiện của tham số. Theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay chưa có kết quả nào về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của (10) và (11). Trong luận án này, chúng tôi thiết lập được điều kiện cho sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình chứa số hạng gradient. 4
2. Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm dương của phương trình Lichnerowicz phân thứ, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình Lane- Emden phân thứ. Ngoài ra, luận án cũng tập trung chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của lớp phương trình và hệ phương trình elliptic phân thứ chứa số hạng gradient. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Chúng tôi nghiên cứu trong luận án này một số phương trình và hệ phương trình elliptic phi tuyến chứa toán tử Laplace phân thứ. • Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu chính trong luận án bao gồm: Nội dung 1: Nghiên cứu cận dưới đều, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương của phương trình Lichnerowicz parabolic chứa toán tử Laplace phân thứ vt + (−∆)s v = v −p−2 − v p trong RN × R và phương trình elliptic tương ứng (−∆)s u = u−p−2 − up trong RN , ở đó p > 0 và 0 < s < 1. Nội dung 2: Nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình Lane-Emden phân thứ (−∆)s u = up trong RN . và hệ Lane-Emden phân thứ  (−∆)s u = v p trong RN , (−∆)s v = uq trong RN ở đó p, q ∈ R và 0 < s < 1. Nội dung 3: Nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình elliptic phân thứ (−∆)s u + b · ∇u = up trong RN và hệ phương trình elliptic phân thứ  (−∆)s u + b · ∇u = v p trong RN , (−∆)s v + b · ∇v = uq trong RN trong đó các số mũ p và q là các số thực, (−∆)s là toán tử Laplace phân thứ với 0 < s < 1, N > 2s và b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn một số điều kiện tăng trưởng ở vô cùng. 4. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận án như sau: • Phương pháp hàm thử. • Xây dựng hàm phụ và sử dụng nguyên lí cực trị • Phương pháp đổi biến để đưa hệ bất đẳng thức về một bất đẳng thức. • Đánh giá bất đẳng thức và ước lượng tích phân phi tuyến. 5
5. Cấu trúc và các kết quả của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, kiến nghị, danh mục các công trình công bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương như sau: • Chương 1 trình bày một số kiến thức cần dùng cho các chương sau như: các bất đẳng thức sơ cấp, toán tử Laplace phân thứ và một số tính chất cơ bản, một số bất đẳng thức liên quan đến toán tử Laplace phân thứ. • Chương 2 trình bày kết quả về cận dưới đều cho nghiệm của phương trình Lichnerowicz phân thứ và sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường của phương trình này. • Chương 3 trình bày sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ trong một số trường hợp của số mũ p, q. • Chương 4 trình bày một số kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình elliptic chứa toán tử Laplace phân thứ và số hạng gradient. 6
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị gồm: một số bất đẳng thức thường dùng, toán tử Laplace phân thứ và một số tính chất. 1.1 Một số bất đẳng thức 1.2 Toán tử Laplace phân thứ 1.3 Một số tính chất 1.4 Nghiệm trên của hệ Lane-Emden phân thứ 7
Chương 2 Tính chất nghiệm của phương trình Lichnerowicz phân thứ Trong chương này, chúng tôi thiết lập cận dưới đều cho nghiệm dương của phương trình Lichnerowicz phân thứ. Hơn nữa, với một số giả thiết về tăng trưởng của hàm phi tuyến, chúng tôi chỉ ra rằng phương trình Lichnerowicz phân thứ chỉ có nghiệm dương tầm thường. Kết quả của chương này được viết dựa trên công trình [P1] trong Danh mục các công trình liên quan đến luận án. 2.1 Phát biểu bài toán và các kết quả chính 2.1.1 Phát biểu bài toán Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu phương trình Lichnerowicz phân thứ kiểu parabolic vt + (−∆)s v = v −p−2 − v p trong RN × R (2.1) và phương trình elliptic tương ứng (−∆)s u = u−p−2 − up trong RN , (2.2) ở đó p > 0, 0 < s < 1 và (−∆)s là toán tử Laplace phân thứ. Một nghiệm dương u của (2.2) là hàm dương u ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ), σ > s, thỏa mãn (2.2) trong R . Tương tự như vậy, một nghiệm dương v của (2.1) là hàm dương v ∈ C 2σ,1 (RN ×R)∩L1loc Ls (RN ×R), N σ > s, thỏa mãn (2.1) trong RN × R. Ở đây, với q ≥ 1, ta định nghĩa không gian Lqloc Ls (RN × R) là không gian các hàm v ∈ Lqloc (RN × R) sao cho Z aZ |v(x, t)| N +2s dxdt < ∞ với mọi a > 0. −a RN 1 + |x| Dựa vào kết quả trong Brezis (2011) cho (2.2) với s = 1, chúng tôi mở rộng kết quả đó cho trường hợp phương trình chứa toán tử Laplace phân thứ. 2.1.2 Kết quả về cận dưới đều và sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường Kết quả chính của chương này là định lí sau đây. Định lí 2.1. Nếu p > 0 và v là nghiệm dương của (2.1) trong RN × R, thì v ≥ 1. Hơn nữa, khi p > 1, phương trình (2.1) chỉ có nghiệm dương tầm thường v = 1. Chú ý rằng một nghiệm dương u của (2.2) cũng là một nghiệm của (2.1). Do đó chúng tôi có hệ quả sau đây, nó được xem như mở rộng của kết quả trong Brezis (2011) cho toán tử Laplace phân thứ. 8
Hệ quả 2.1. Nếu p > 0 và u là một nghiệm dương của (2.2) trong RN , thì u ≥ 1. Hơn nữa, nếu p > 1, thì phương trình (2.2) chỉ có nghiệm dương tầm thường u = 1. Dựa trên kết quả trong Brezis (2011), một câu hỏi mở được đặt ra như sau. Câu hỏi mở. Khi 0 < p ≤ 1, phương trình (2.2) và (2.1) có nghiệm dương không tầm thường hay không? 2.2 Chứng minh về cận dưới đều và sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường Bổ đề 2.1. Cho f : (0, ∞) → R là một hàm liên tục, giảm ngặt và f (a) = 0 với a > 0. Nếu v ∈ C 2σ,1 (RN × R) ∩ L1loc Ls (RN × R) và v > 0 thỏa mãn vt + (−∆)s v ≥ f (v) trong RN × R (2.3) thì v ≥ a. Tiếp theo chúng ta chứng minh một kết quả kiểu Keller-Osserman cho bất đẳng thức parabolic chứa toán tử Laplace phân thứ. Bổ đề 2.2. Cho trước hai số thực p > 1 và c > 0. Giả sử v ∈ Lploc Ls (RN × R), thỏa mãn (−∆)s v(·, t) ∈ L1loc (RN ), là một nghiệm không âm của bất đẳng thức vt + (−∆)s v ≤ −cv p trong RN × R (2.4) theo nghĩa phân phối, tức là Z Z Z s − vϕt dxdt + v(−∆) ϕdxdt ≤ −c v p ϕdxdt, (2.5) RN ×R RN ×R RN ×R với mọi hàm không âm ϕ ∈ Cc∞ (RN × R). Khi đó, ta có v ≡ 0. Giả sử rằng v là một nghiệm dương của (2.1). Trước tiên ta chỉ ra tính bị chặn dưới đều như sau. Với p > 0, đặt f (t) = t−p−2 − tp , t > 0. Khi đó f ′ (t) = −(p + 2)t−p−3 − ptp−1 < 0. Do vậy, f là giảm ngặt trên (0, ∞) và f (1) = 0. Theo Bổ đề 2.1, ta nhận được v ≥ 1. Khi p > 1, ta sẽ chứng minh rằng v = 1. Thật vậy, đặt w = v − 1 ≥ 0. Khi đó w thỏa mãn wt + (−∆)s w = (w + 1)−p−2 − (w + 1)p . Xét hàm số g(t) = (t + 1)−p−2 − (t + 1)p + tp , t ≥ 0. Khi đó, g ′ (t) = −(p + 2)(t + 1)−p−3 − p(t + 1)p−1 + ptp−1 ≤ 0. Từ đó suy ra g là giảm trên [0, ∞) và g(t) ≤ g(0) = 0 với mọi t ≥ 0. Vậy, ta có (w +1)−p−2 −(w +1)p ≤ −wp . Do đó, w là một nghiệm không âm của wt + (−∆)s w ≤ −wp . Theo Bổ đề 2.2, ta có w ≡ 0. Do vậy, v ≡ 1. 9
Chương 3 Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ ch3 Trong chương này, chúng tôi chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình Lane-Emden phân thứ với số mũ âm. Sau đó, bằng kĩ thuật chuyển hệ về phương trình, chúng tôi cũng chỉ ra được sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ Lane-Emden phân thứ. Kết quả của chương này được viết dựa trên công trình [P2] trong Danh mục các công trình liên quan đến luận án. 3.1 Phát biểu bài toán và các kết quả chính 3.1.1 Phát biểu bài toán Trong chương này, chúng ta xét phương trình Lane-Emden phân thứ (−∆)s u = up trong RN . (3.1) và hệ Lane-Emden phân thứ  (−∆)s u = v p trong RN , (3.2) (−∆)s v = uq trong RN ở đó p, q ∈ R, 0 < s < 1 và N > 2s. Một nghiệm trên dương của (3.1) là một hàm dương u ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ), σ > s, thỏa mãn (−∆)s u ≥ up trong RN . Tương tự, một nghiệm trên dương (u, v) của hệ là một cặp hàm dương u, v ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ), σ > s, thỏa mãn  (−∆)s u ≥ v p trong RN . (−∆)s v ≥ uq trong RN Trong chương này, dựa trên một số kết quả đã có cho phương trình và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ, chúng tôi nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình Lane-Emden phân thứ (3.1) và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ (3.2). 3.1.2 Kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình Kết quả chính đầu tiên của chương này được cho trong định lí dưới đây. Định lí 3.1. Giả sử rằng 0 < s < 1. Khi đó, phương trình (3.1) không có nghiệm trên dương khi p ≤ 1. 10
Chú ý rằng, khi s → 1+ , kết quả của chúng tôi trùng với kết quả đã có trước đó cho toán tử Laplace. Mặt khác, nguyên lí cực đại trong Duong (2019) không sử dụng được trong bài toán phân thứ do phép đổi biến v = u1 (u ∈ Ls (RN ) không đảm bảo rằng u1 ∈ Ls (RN )). Định lí 3.1 và Định lí B đã đưa ra câu trả lời đầy đủ cho bài toán tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình (3.1) với mọi p ∈ R. Câu trả lời này được phát biểu trong hệ quả dưới đây. Hệ quả 3.1. Giả sử rằng 0 < s < 1. Khi đó, phương trình (3.1) không có nghiệm trên dương nếu và chỉ nếu p ≤ N N −2s . Một trong những hệ quả quan trọng của Định lí 3.1 là kết quả chính trong Yang-Zou (2019) vẫn đúng với số mũ âm. Cụ thể, trong Yang-Zou (2019), các tác giả đã nghiên cứu tính đối xứng của các thành phần trong hệ  (−∆)s u = ur v p trong RN . (3.3) (−∆)s v = uq v t trong RN Kết quả chính trong Yang-Zou (2019) cần đến giả thiết r, t > 1 cùng với một vài giả thiết khác để đảm bảo tính đối xứng của các thành phần. Hạn chế này xuất phát từ việc chứng minh của Yang-Zou (2019) phụ thuộc vào kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của (3.1) trong Felmer-Quaas (2011) (xem Định lí B). Tuy nhiên, với Định lí 3.1, ta thấy rằng điều kiện r, t > 1 có thể bỏ, tức là, Định lí 1.1 trong Yang-Zou (2019) vẫn đúng khi r ≤ 1 hoặc t ≤ 1. Kết quả chính thứ hai về sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ (3.2) được cho trong định lí dưới đây. Định lí 3.2. Giả sử rằng 0 < s < 1. Khi đó, hệ (3.2) không có nghiệm trên dương nếu (p, q) thỏa mãn một trong các điều kiện sau (i) p ≤ 0 hoặc q ≤ 0. (ii) p, q > 0 và pq ≤ 1. n o 2s(p+1) 2s(q+1) (iii) p, q > 0, pq > 1 và max pq−1 , pq−1 > N − 2s. Định lí 3.2 cùng với kết quả trước đó đã đưa ra câu trả lời hoàn chỉnh cho sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của hệ (3.2) với mọi p và q. Câu trả lời đó được trình bày trong hệ quả dưới đây. Hệ quả 3.2. Cho 0 < s < 1. Khi đó, hệ (3.2) không có nghiệm trên dương nếu và chỉ nếu (p, q) thỏa mãn một trong các điều kiện sau (i) p ≤ 0 hoặc q ≤ 0. (ii) p, q > 0 và pq ≤ 1. n o 2s(p+1) 2s(q+1) (iii) p, q > 0, pq > 1 và max pq−1 , pq−1 ≥ N − 2s. 3.2 Chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình 3.2.1 Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình với số mũ p ≤ 1 Giả sử phản chứng rằng u là một nghiệm trên dương của (3.1) với p ≤ 1. Kí hiệu U là một mở rộng của u theo nghĩa Caffarelli-Silvestre. 11
Trường hợp 1: p = 1. Ta có u là một nghiệm trên dương của phương trình Lane-Emden phân thứ (−∆)s u = u. (3.4) Ta chỉ ra được ′ U (r) ≤ −Cr2s−1 . (3.5) Lấy tích phân (3.5), ta suy ra U (r) − U (0) ≤ −Cr2s hay U (r) + Cr2s ≤ U (0). Khi r đủ lớn, bất đẳng thức này không đúng. Vậy, ta có điều phải chứng minh. Trường hợp 2: p = 0. Áp dụng tương tự lập luận trong (??) ta đi đến mâu thuẫn. Trường hợp 3: 0 < p < 1. Đặt w = u1−p . Ta thu được (−∆)s w ≥ (1 − p) > 0. Tương tự như Trường hợp 2, ta cũng có điều mâu thuẫn. Trường hợp 4: p < 0. Chứng minh trong trường hợp này dựa trên nguyên lí cực đại. Lấy a ∈ RN và ε là tham số dương đủ nhỏ. Đặt s w(x) = u(x) + ε(1 + |x − a|2 ) 2 . Ta chỉ ra được u(a)p ≤ 0. Điều này mâu thuẫn với tính dương của u. 3.2.2 Sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ phương trình Xét trường hợp p = 0 hoặc q = 0. Khi đó, phương trình thứ nhất hoặc phương trình thứ hai của hệ (3.2) trở thành (−∆)s u = 1 hoặc (−∆)s v = 1. Do đó, theo Định lí 3.1, các phương trình này không có nghiệm trên dương. Vậy hệ đã cho cũng không có nghiệm trên dương. Tiếp theo, ta chỉ cần xét trường hợp p ̸= 0 và q ̸= 0. Không mất tính tổng quát, giả sử p ≥ q. Trường hợp 1: p < 0 và q < 0. Đặt w = u + v. Ta có (−∆)s w ≥ Cw−k , k > 0. Điều này mâu thuẫn với Định lí 3.1. Trường hợp 2: Ta xét một trong các điều kiện sau của số mũ p, q • q < 0 < p, • p, q > 0 và pq ≤ 1, n o • p > 0, q > 0, pq > 1 và max 2s(p+1) pq−1 , 2s(q+1) pq−1 > N − 2s. 12
Xét hàm phụ sau w = uα v β , ở đó α, β > 0 và α + β = 1. Ta nhận được bất đẳng thức pq−1 1+ α(p+1)+β(q+1) (−∆)s w ≥ Cw . (3.6) Với các giả thiết của p và q ở trên, ta sẽ chỉ ra được rằng tồn tại các số α, β thích hợp sao cho số mũ ở vế phải của (3.6) nhỏ hơn N N−2s . Từ đó ta có mâu thuẫn. 13
Chương 4 Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình chứa toán tử Laplace phân thứ và số hạng gradient Tiếp nối Chương 3, trong chương này, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình chứa toán tử Laplace phân thứ và số hạng gradient. Kết quả của chương này được viết dựa trên công trình [P3] trong Danh mục các công trình liên quan đến luận án. 4.1 Phát biểu bài toán và các kết quả chính 4.1.1 Phát biểu bài toán Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu phương trình (−∆)s u + b · ∇u = up trong RN (4.1) và hệ  (−∆)s u + b · ∇u = v p trong RN , (4.2) (−∆)s v + b · ∇v = uq trong RN trong đó các số mũ p và q là các số thực, (−∆)s là toán tử Laplace phân thứ với 0 < s < 1, N > 2s và b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện tăng trưởng ở vô cùng C |b(x)| ≤ , với θ ≥ 0. (4.3) |x|θ Ta định nghĩa nghiệm trên dương u của (4.1) là hàm dương u ∈ C 1 (RN ) ∩ Ls (RN ) khi s < 1/2 hoặc u ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ) khi σ > s ≥ 1/2 thỏa mãn (−∆)s u + b · ∇u ≥ up trong RN . Tương tự (u, v) là nghiệm trên dương của (4.2) nếu u, v ∈ C 1 (RN ) ∩ Ls (RN ) khi s < 1/2 hoặc u, v ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ) khi σ > s ≥ 1/2, u > 0, v > 0, sao cho  (−∆)s u + b · ∇u ≥ v p trong RN . (−∆)s v + b · ∇v ≥ uq trong RN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình (4.1) và hệ phương trình (4.2). 14
4.1.2 Kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình Kết quả thứ nhất là cho phương trình (4.1) khi p < 1. Định lí 4.1. Cho p < 1 và b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn (4.3). Khi đó, phương trình (4.1) không có nghiệm trên dương. Chú ý rằng trong kết quả này, chúng tôi không yêu cầu điều kiện divb = 0. Trong trường hợp trên tuyến tính p > 1, kết quả thứ hai của chúng tôi được cho trong định lí sau. Định lí 4.2. Giả sử b là một trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn (4.3) và divb = 0. Khi đó, phương trình (4.1) không có nghiệm trên dương với điều kiện N 1 0 và pq < 1. Như trong Định lí 4.1, ta không cần điều kiện divb = 0 trong định lí này. Tiếp theo, chúng ta trình bày kết quả cho hệ (4.2) khi p > 0, q > 0, pq > 1. Định lí 4.4. Giả sử rằng b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn (4.3) và divb = 0. Khi đó, hệ (4.2) không có nghiệm trên dương với điều kiện p+1 q+1 N − min(2s, θ + 1) p, q > 0, pq > 1 và max , > . pq − 1 pq − 1 min(2s, θ + 1) −min(2s,θ+1) Chú ý rằng nếu θ ≥ 1, thì N min(2s,θ+1) −2s = N 2s . Trường hợp này được chứng minh là tối ưu. Ngoài ra, xét p > 1 và q > 1, ta sẽ chứng minh được kết quả về sự không tồn tại nghiệm trong trường hợp tới hạn. Định lí 4.5. Giả sử rằng b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn (4.3) và divb = 0. Khi đó, bài toán (4.2) không có nghiệm trên dương với điều kiện p+1 q+1 N − min(2s, θ + 1) p > 1, q > 1 và max , = . pq − 1 pq − 1 min(2s, θ + 1) 15
Sau đây là một số câu hỏi mở liên quan đến (4.1) và (4.2). Câu hỏi 1: Có tồn tại nghiệm trên dương của (4.1) với p = 1 không? Câu hỏi 2: Liệu có tồn tại nghiệm trên dương của (4.2) khi p+1 q+1 N − min(2s, θ + 1) p > 0, q > 0, pq > 1 và max , = ? pq − 1 pq − 1 min(2s, θ + 1) Nhắc lại rằng, chúng ta chỉ có thể khẳng định kết quả không tồn tại trong Câu hỏi 2 khi p, q > 1, xem Định lí 4.5. 4.2 Chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình 4.2.1 Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình trong trường hợp dưới tuyến tính Trường hợp 1. p < 0 Giả sử phản chứng rằng u là một nghiệm trên dương của (4.1). Cố định x∗ ∈ RN . Xét ε > 0 và uε (x) := u(x) + εη(x), s trong đó η(x) = (1 + |x − x∗ |2 ) 2 . Ta chỉ ra được (u(x∗ ) + ε)p ≤ Cε. Cho ε → 0, ta nhận được mâu thuẫn vì u > 0. Trường hợp 2. 0 ≤ p < 1 Giả sử phản chứng rằng u là một nghiệm trên dương của (4.1). Gọi k là hằng số thực dương thỏa p 1 mãn 1−p < k < 1−p . Khi đó, 0 < kp − k + 1 < 1. Đặt w = ukp−k+1 thì w thỏa mãn (k+1)p−k (−∆)s w + b · ∇w ≥ (kp − k + 1)w kp−k+1 , (4.4) (k+1)p−k Kết hợp Trường hợp 1 và kp−k+1 < 0, ta cũng suy ra mâu thuẫn. 4.2.2 Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình trong trường hợp dưới tới hạn hoặc tới hạn N Trường hợp 1: 1 < p < N −min(2s,θ+1) . Giả sử phản chứng rằng u là một nghiệm trên dương của (4.1). Ta nhận được Z up dx ≤ 0. RN Ta suy ra mâu thuẫn vì u > 0. N Trường hợp 2: p = N −min(2s,θ+1) . Giả sử phản chứng rằng u là một nghiệm trên dương của (4.1). Ta được Z p up dx ≤ Cδ p−1 . RN Chọn δ đủ nhỏ trong bất đẳng thức trên, ta cũng có mâu thuẫn vì u > 0. 16
4.2.3 Sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ phương trình trong trường hợp dưới tới hạn Đầu tiên, nếu p = 0 hoặc q = 0, thì hệ (4.2) không có nghiệm trên dương nhờ vào Định lí 4.1. Tiếp theo ta xét p ≥ q, p ̸= 0 and q ̸= 0. Khi đó, ta có p+1 q+1 p+1 max , = . pq − 1 pq − 1 pq − 1 Sự không tồn tại nghiệm trên dương trong trường hợp số mũ âm được chỉ ra trong bổ đề dưới đây. Bổ đề 4.1. Nếu p < 0 và q < 0 thì hệ phương trình (4.2) không có nghiệm trên dương. Tiếp theo, ta chứng minh bổ đề sau. Bổ đề 4.2. Hệ (4.2) không có nghiệm trên dương nếu một trong các điều kiện sau là đúng 1. q < 0 < p; 2. p > 0, q > 0 and pq < 1; p+1 q+1 N −min(2s,1+θ) 3. p, q > 0, pq > 1 and max pq−1 , pq−1 > min(2s,1+θ) . 4.2.4 Sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ phương trình trong trường hợp tới hạn Giả sử (u, v) là nghiệm trên dương của (4.2). Ta chứng minh được Z v p dx ≤ C. RN Tương tự, ta cũng thu được u, tức là Z uq dx ≤ C. RN Cuối cùng, sử dụng các lập luận tương tự như trong chứng minh Trường hợp 2 của Định lí 4.2, ta thu được mâu thuẫn. 17
KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Trong luận án này, chúng tôi đã chứng minh được một số tính chất nghiệm của phương trình Lichnerowicz phân thứ và sự không tồn tại nghiệm trên của phương trình, hệ phương trình elliptic chứa toán tử Laplace phân thứ. Cụ thể: • Chứng minh được mọi nghiệm dương của phương trình Lichnerowicz (2.1), với p > 0, đều lớn hơn hoặc bằng một. Hơn nữa, khi p > 1, chúng tôi chứng minh được phương trình Lichnerowicz phân thứ chỉ có nghiệm dương tầm thường. • Chứng tỏ được phương trình Lane-Emden phân thứ không có nghiệm trên dương trong trường hợp số mũ nhỏ hơn hoặc bằng một. Đối với hệ, chúng tôi cũng chứng minh được một số kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ Lane-Emden phân thứ. • Thiết lập được một số kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình elliptic chứa toán tử phân thứ và số hạng gradient. Ngoài ra, chúng tôi cũng tính toán số mũ tới hạn phụ thuộc vào dáng điệu của số hạng gradient tại vô cùng. 18