Tuyển tập bài giảng môn Giải tích (Tập 1 - in lần thứ 2): Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:167

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Tuyển tập bài giảng môn Giải tích" giới thiệu tới người đọc các nội dung: Tích phân Ricmaiin-Stieltjcs, chuỗi số và tích phân suy rộng, dãy hàm và chuỗi hàm, tích phân phụ thuộc tham số. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập bài giảng môn Giải tích (Tập 1 - in lần thứ 2): Phần 2

139 C hương‫ة‬ T ÍC H P H Â N R I E M A N N -S T I E L T J E S Plicp tínli vi tícli pliaii là miic đícli cliíiih của giẳi tícli. Vào c^iối tlic kỷ 17 Ncwtoii và Lcibiiiz sáiig tạo I.a pliốp tíiili tícli pliâii (các ký liiệ ١ĩ d) ‫ ﺭ‬là cila Lcibiiiz). Tny Iiliieii, uăĩii 1821 Caucliy là. ligirời đầu ticn đ ư a ra địiili uglba clìíiili xác a i a tícli pbâii ulur là giới bạii cila tổiig tícli pliâu. vơi địuli iiglila uày luột câu liơi quaii trọug đ ặ t ra là: liàưi sổ uào till có tícli pliâu? Caucliy clil ra rằiig liàiii liCii ti.ic till có tícli pliâp, Iiliưiig cluTiig miuli của Caucliy kliOiig cliặt, cliC (vl tliiCu kliái Iiiệiii liCii tụ c đbu). Nẵiii 1875, D arboux là ugirờĩ đầu tiCii clio clilrug Iiiiiili cliặt cliC. kliằiig địiili trêu. Cuổi th ế kỳ 19 hiciuaiiii (và sau đó là Lcbosguo) đ ư a ra Iiliữiig điều kiộu cầu và đii cila hàm có t.ícli pliâii. N ăm 189‫ ﺩ‬Sticltlcs đ ư a ra kliái Iii‫ ؛‬m m ới cila tícli pliâii khi giầỉ quyct một. sổ bài t.oáii đặc bi‫ ؛‬t. Troiig pliầii uàv cliilug t.ôi trliili bà.v kỹ VC b ầu cliất cila tícli pliâii Ricuiaim -SticltỊcs và các tíiih cliất, cơ b ầu cila tích pliâu uày. Cầu lưu y rằu g ١ cOu có một. sổ kliái Iiiộui t.ícli pliâu kliác, t.i.ơug đó, có 1‫ ة‬, tích pliâi '1 Lcb( ٠sgu (١ (ilo Lcbcsguc đ ư a ra uăm 1902) là loại t.ícli pliâu tổug quát u h ấ t ٠ Vo ĩ)l،irơug diệu liliili học, vấu đề t.íuli tícli p h âu la bài to áu tim cácli tíuli các lirqiig liluli liọc: cliibu dài, diệu tícli, tho tícli. Ý tư ơ u g cliíuli cila dịuli Iiglila tícli pliâu là cliia uliơ (pliâu Iioạcli) rồi cộiig lại (tlurc ra y tư ơ u g uàv dã. có tỈT t.liời Arcliimcdcs, 287-212 triTƠC cOug Iiguyôii, klri ôug tíuli di‫ ؛‬u tícli parabola). Troug t.ícli pliâu Riomauu-Stiolt.los m iề n x á c đ ỉn h cila hàm diĩợc cliia Iiliơ‫ ؛‬còu tro u g tícli pliâu Lcbosguc in iề n g iá tr i cila liàm dirợc cliia uhơ. Dirới đ â ٦r ta sẽ tiOu liàuli xây dirug tícli pliâu Rioniaim -Sticltjos. Sau uàv t.a sò liíic t.ícli pliâu Lobcsgne. Đo t.íuli t.ícli pliâii tliàuh t.liạo, b ạu cầu pliầi t.lmộc các uguvcii liàm cơ
140 bảii và m ột số kỹ th u ậ t như đổi biếu, tích phân từ n g p h ần vân vân. Bạn nên dùng Maplc để tín h tích p h ân b ằn g m áy tính, sau khi n ắm vĩrng lý thuvết của cluĩơng này. Cần clni Ý rằng, không phải tícli phân nào M aplc cũng tính điĩợc m ột cách chính xác. Tuy nhiên, Maplc r ấ t có hiệu hjc khi tín h gần đúng tích phân. 5.1 Đ in h n g h ĩa v à sư tồ n t a i c ủ a tíc h p h â n R ie m a n n -S tie ltje s Ta đ ã gặp câu hỏi : số là gì ? B ây giờ ta hỏi: diện tích của, chằng hạn, hình phằng là gì ? Trong giáo trình toán phổ thông, đổ tính diện tích hình ti.òii ta dùng plnrơng pháp xấp xỉ (trên và dirới) diện tích hình tròn bằng các diện tích của đa giác đều ngoại (hoặc nội tiếp) rồi lấy giói hạn. Đấy là ý tiTỞng chính để định nghĩa diộii tích hình phằng. Tích phân trôn và tích phân diTÓi bắt nguồn từ trực giác hình học này. 5.1 .1 P h â n h o ạ ch G iả sử [a, b] là m ột đoạn hữ u hạn. Phân hoạch p ctiữ [a, 0] là tậ p hữu hạn gồm các điểm ...,Xn ssto cho: ơ. = .r ٥ < .T i < ... < = b. Đổ đơ n giản, t a viết p = {.T.í ...í ٠Ί‫؛‬η}. Ta nói rằn g p h ân hoạch p* là m ịn hơ n phân hoạch p nếu p* D p , tiìrc là, mỗi điổin ciỉa p là đicni cxìa p*. TÌOiig triĩờ n g h ọ p đó, ta viết p P2 . Độ m ịn ciia p hân hoạch p th irờ n g đtrơc tín h bằng số sau; |p | = inax{.Ti — X ị- I : 1 < n }. Dc dàng th ấ y rằng, nếu p . » p th ì \p*\ < |P |. T a ký hiộu V là tậ p tấ t cả các phân hoạch của [a, ٥].
141 ٠1.2 ‫ ﺓ‬T íc h p liâ n t r ê n v à tíc h p h â n d ١r ớ i Giả sir a là liàni xác dịiili và klioiig giảiíi ti.ôii đoạn đóilg liữn hạn [a.)b]. ư n g với pliản hoạcli p ta đặt Aa?; ‫ت‬ a(.T.;,) - a(٠ Tv,_i). Clio liàin tlnrc / bị chặn tiCn [a, 6]. Các tổng Darboux trCn và dirớĩ iTiig với pliản hoạcli p cha / đirợc xác định nlnr san: ٧ VP٦ í ١a '١ = Y ٠ M ١Ạ a ,,,٦ ? ;! U P , ! , a ١)= I í ' m , i k ١,, ?:=1 tio n g dó M ị : S lip ( ^ ( . T ) : .T ,;_ i < X < X i} , n ií = illf{/(.r) : X - h L < .٣ < ■T،}. Chi'1 ý rằng, với phân lìoạcli p b ấ t kv, t.a Inôn InOn có rn[
142 B ài tâ p 1. Giao độ cna / trên [.'T‫;؟‬-!, Xi] là số tliực tín h theo còng th ứ c U iịf) == su p {|/(.s) - f{ f) \ : ,s١ / G [x i-i,X i]). Chứng m inh rằn g U Ji{f)= M-, - rri, 5 .1 .3 T íc h p h â n R i e m a n n - S tie ltje s Đ in h n g h ĩa . Ta nói rằng f ỉà khả tích đối với a trên [o,, b] nếu tích phân trên và tích phân dĩCỚi của f bằng nhau. Giá f.H chung Cĩla chúng đĩcợc gọi ÌÀ tích phân R -S (Rieniann-Stieltjes) của f đổi vớ i a trên [a, 0] và ký hiệu là I ·ta fd a hoặc Ị ·ta f{ x )d a { x ). Ta dímg TZ{a) đổ kí hiện tậ p h ọ p t ấ t cả các hàm / khả tích đối với a tron [a, b]. Nến cv(.r) = X th ì ta v iết TZ — TZ{a) và gọi mỗi f E T Z lk hàm R-khắ tích (hav khả tích theo nghĩa R iem ann trôii [a, ò]); tích p h ân tư ơ n g ứng của / đirợc gọi là tích phân Ricm ann. B ài tâ p 2. C hứng minh rằn g rb / d a = a{b) — a (a ). ٠/a 3. Cho ví dụ hàm kliòng khả tích R iem aim trcn đoạn [a,ỉ)] b ấ t kỳ. f٠ Bâv giờ ta cho m ột số tín h ch ất ciia các tổ n g D arbonx v à tích phân (trôn và dưới). 5 .1 .4 Đ in h lý . N ếu p* p thì L (F ١/ , a ) . < L ( P ٠ J\a), (5.1)
143 U ự J ١ a ١١> U ự % ị \ a V (5.2) Chicng πΐ·ίηίι. T a c il‫ ؛‬c ầ iì x c t F . c ó Iiliien liơ iì F m ộ t đ iể m P : Χ·ο < Χ \ < ... < χ-ΐ-ι < Xi < ... < Х п ) F . : Xo < Χχ < ... < Χ τ~ 1 < X * < χ-ί < ... < X-».. D ặt Ь)\ : iiìf(^ (x ) : ‫ < ا ﻟ ﻴ ﻞ‬X < ٠ τ ٠}, ĩ ì )2 : illf( / ( x ) : X* < X < ‫ﺓ\ﺃ‬ Yầ\l% 10‫ > ﺍ‬1١١.;‫ﺍ‬٠١١1١،‫ >ﺙ‬.ш.і. Υ \ xậy, L { P * J , a ) - L{P, f , a ) = Wi[a(.T*) - o(.T,;_i)] + W2 [a{xi) - - гПі[а{хі) - = (‫ ا ;اأ‬- г;лі)[а(.т*) - α(.χ.،_ι)] + {ч٧ 2 - '/»,،)‫(«؛‬.T,:) - α(.τ٠ )] > 0. V ậ y ( 1 . ‫ ) ة‬được clnriig minh. (5.2) đTĩỢc clntng minli t^rơng tir. □ 5 .1 .5 D ịiiỉi lý . Ta i.'iiôn. Ιιώυ. có ‫ ﱂ‬fd a < ‫ ﺭ‬fd a . Ckííng Lẩy F . : Fi u Fo t i o n g l ó F b F j C F - T h e o đ ịn h 1.Ѵ t i e n till ‫ئ‬ (?‫ < )> ﻻ‬L { P * ,f ,a ) < U { P * J \a ) < U { P 2 ,f,a ). Τ ίϊ l ó s n v l a l i e n p h ầ ‫ ؛‬c ln tn g n h n li. □ B â v g iơ t,a tliii nliiTng l i ề n k i‫ ؛‬n (c ầ n v à 111) 1 ? / € π {α ) . K e t q n ả sa n là mi.ic l í c l i c liín li c ila ta . 5 .1 .6 D iề u k ỉên cầ u v à đ ủ c ủ a h à m R -S k liả tíc li ï ï m \i ١‫ ﺅ‬R X em am i. СІ1.0 í ‫ﺍ(ﺍ‬.٠. ‫ﻷ‬١ ‫ ﺑﺐ‬I l.à liam Ьг ch.ạtì’ 'Cii ‫ ﻩ‬là liàĩìì. kh.ôn.g (]idnì. 1,'١‫ ﺍ ﺃ' ﺓ ﺁ‬- ‫ ﺍ( ﺍ‬.٠ ‫ ﻷ‬١ . Kh.1 3.Ó, ‫ﺃ‬ ‫ﻉ‬ tren.\a.٠١3\ 'n.Ển ٦‫ ﻟﺔﻝ‬c١i,í٠ Ti.Ểu Oơi тог ε >
144 tồTi٠ tại P e P sao 0 0 ١٦‫ﺀ‬ ٧ VP١ ỉ ١a ١ - U P ٩ f ١ữ ١ < e ٠ (5 ‫ ا‬3 ) Chung ·minh. Điều kiệu (5.3) là đii. T liật vậv, với lĩiọi p e ta có L { P )f)ù )< f b f ầ < Ịh fd ũ < U { P )f)ù ). Ja ‫ﺍﺀ ﻝ‬ Do đó từ (5.3) ta suy ra 0< ‫ ﻟﻢ‬f d a - ‫ ر‬fd a < ‫ﺀ‬. Clio 0 ‫ ب_ ج‬ta có ‫ ج ر‬n { ù ) . Bây giờ t.a cliitng luiiili (5.3) là'đfôu kiẽu cầu. Tỉr ‫اااإج‬-‫ ا‬Iigliĩa suy ra : với luọi 0< ‫ ﺀ‬tồu tại ? ‫ ا‬, ? 2 ‫ ج‬V sao clio \ ٧ ٧ ( ,P , P \ ,f \ , ,a f,V pb ‫ﺍ‬ c a V ] ỉfdd aa
145 ‫ ﺍ ﺍ‬١‫ ﺫ‬١ N exi f e U ‫؛‬va ١ ١) à e á e già t.h.iết Ο'ΐια ‫؛ﺍ‬.'‫ ﺍ‬. ١ tKì dxxqc Ỷh,xỊ:c hiê ٠ĩì٠. ? :1 ‫ﺍ‬ Ja | d a \ < ‫ﺝ‬. Cb-'ib.g тп.іиЬ.. ( i) là liộ q u ả а г а ٥ ‫؛‬гг1г Iv 5 .1 .4 . ( ý I.ằiig ii) С1іг١ | / ( ٠,:) — ‫ ( ر‬٤,.) ‫ < ا‬Mi — 'ГП-І_. D o đ ó s٠ -‫ا‬، Σ \f{Sị) - ĩ { t : ) \ A ù i < U { P , f , a ) - L { P , f , a ) 7= 1 đíoiì Iià١' kổo tlioo (ii) (iii) là 1‫ ﻣﺎ‬q u ả a i a c á c b ấ t đ ằ i i g t l i ứ c liiể ii iiliiCii sail: 77. LVP,| ١a H l î V t i ^ £ \ a i < ٧ VP١f ١(x‫؛‬١ ‫ا = ﺀ‬. L { P J ,a ) < f b f d a < U { P ) f ,a ) . ‫(ﻝ‬1 C h i i ý . И і і ^ t t.ícli p liâ ii R i e m a i i n t l i ì t a b ố cliiT a t i o i i g c á c t.ổ iig D a i b o ii x v à t i o i i g c á c t.ícli p liâ ii t r e u , d ir ơ ĩ. N g irò i t)a d ã biC t: l . N o ii ? * iiiịii liơ ii p t ill 0 < L { P \f)~ L { P )f)< h :h \p ịl ٧ > 1 ‫؟‬ІР ٩П - ٧ ІР М Н к .Ъ \Р ٠ Ѵ t i o i i g d ó h l à sổ đ i c m c ầ n tliC iii v à o p đ ổ Iiliậ ii diTỢC ? * , v à k : 2 s u p { \f { x ) \: - x e [ n ,b ] } . Non .2 / : ‫«؛‬,, b] -4 E là liàiii bị cliặii tliì vơi mọi ‫ > م‬tồii tại 0 ‫ > ة‬sao clio 0 Г ! Ѵ л '.١а х - и р ٠, П < ( - U ự ١n - Ị ỉ ‫؛‬vX١d T . ( e la ■ ‫ﻝ‬a
146 với mọi phân hoạch p th o ả m àn \p\ < ỗ. 3. Nếu / : [a, ٥] —í. R khả tích R iem ann và {Pn) là dãv p h ân hoạch sao cho hiiij٤—،,٠٠ 1^^1 — ٥ thi Ihu L{Prt, / ) == / f{ ^ ) đ x = liui u (P „,١/ ) . n—►oc /٠ ■n—^oc 4. Giả sử / : [a, ỏ] —> R là hàm bị chặn, p = {.T‫؟‬o١■.^lí ...í ٠«.} '‫؟‬ là p h ân hoạch ciìa đoạn [a, ٥]. L ấy tù y ỷ Ci E [lUi, Mi]. Khi đó ta gọi 11 .■ (-P, Ciịxi - .Tí_i) ?.=1 là tổ n g R ie m a n n cùa / xrng với p v à c = {7^ ١... ,1 ^‫?؛‬.}. Khi Ci = f{ ti) và tị G [xi-i,X i] th ì ta đ ặ t T = { ti, ...,t.„,} và a { P J ,T ) = a { P J ,C ) . T a có L (P , / ) = inf a (P , / ١C ) = inf a ( P , / , T ) , C7 J [/(P , / ) - snp ،t(P, / , C ) = S lip a ( P ١/ , r ) . c T 5. / k h ả tíc h R ie m a n n trôn [a, ٥] khi v à chỉ khi tồn tạ i số I hử u h ạn có tín h chất sau: với mọi f > 0 tồn tạ i ố > 0 sao cho |/ - ơ ( P ,/ ,C ) | vc hoặc \I - ơ { P J ,T ) \< e vr với mọi phân hoạch p có \p\ < ỏ. Trong trvrờng hợp đó 1 = 1 f{ x )đ x . Ja 6. Nếu / : [a, 0] —> M khả tích Riem auii và (Pn) là dãv phâu hoạch sao cho lim „,_٠c |P „| = 0 thì liiii ơ{Fr,,f, Cn) = Ị f{x )d x = liiu ơ ( P , ، ١/ , T „.), 7V,—‫؛‬.oc /٥ U—*OC
147 troiig clô C;,, T„ là câc tâ p b â t ky d io n thoo P„. B à i tâ p 4. Clio câc clnrng iniiili chi tic t tir 1-6 cna chu y tien . 5. Mo rông câc ket qxia 2-6 cua chu y trôn cho ticli pliân Ricinaim-Sticlties. Tiop theo ta cho nhirng dieu kicn du cua tin h khà tich. 5.2 L٥ p c â c h à m k h à tic h 5.2.1 T in h k h à tic h c à a h à m lie n tu e D in h lÿ . N êu f lien tue trên [a, à] và a là hàm. không gidrn. trên [a, b] thî f € P{ 0, chon 77 > 0 sao cho [ a ( 6 ) — o ‫ (؛‬a ) ] r 7 < 5. Vi / liôn tu e trôn [a, 6], nôu / liôn tu e dou trôn doan này. Do do, 3،5 > 0 sao cho \f{ x ) — f{ t) \ < rj (5.4) .vai moi ■T, t G [a, b] th ô a inan \x —/;| < i. Ncu P là p hân hoach doan [a, ٤٠] sao cho ]P| < 6 th i (5.4) kco theo \Mi — nij] < 7} (5.5) và VI vây n U {P, f , a ) - L{P, f , a ) ^ - m .,)Aa^ 1 Tl. =7][a{b) — cv(a)] < e. 1 Thoo Dinh ly (5.1.6) ta c6 / G TZ{a). □ C h u ÿ . C auchy d à cliirng iniiih dinh lÿ trôn thiôu chat clic vi không su. dung tinh liôn tu e dbu. D arboux pliât hicn ra dieu này và hoàn chîiih cliihig ininh cua Caucliv.
148 5 .2 .2 T ín h k h ả tíc h c ủ a h à m đ ơ n đ iê u Đ ịn h lý. N ế u f đ ơ n đ iệ u tr ê n [a, b] v à Q liê n tụ c v à k h ô n g g iả m tr ê n [a١b] th ì f E T Z {a). C h ứ n g m in h . Với b ấ t kv n E N , chọn p hân h o ạ c h 'P sao cho ٠ a(ồ) ~ a (a ) ٩٠ ٨ Aa,, = ---------------- , ? = 1,2, ...١n,. n (Điều này làui được nhờ a lien tụ c v à đ ịu h lý giá trị tn iiig gian). Giả sử / đơn điệu không giảm. Khi đó Sny ra: a {b ) — a ( a ) ư { P ,f,a ) -L { P ,f,a ) n a { b ) — Oí(a) n [ / ( ٥) - /(« )] < £ với n đủ lớn. Định Iv (5.1.6) cho ta / E 7?٠(o‫)؛‬. □ K ết qi\a tiếp theo nói VC tín h khả tích ciia hàm lion tụ c tírug khúc (hay có số điổỊu gián đoạn không nhiồu lắm ). 5 .2 .3 T ín h k h ả tíc h c ủ a h à m g iá n đ o a n Đ ịn h lý. N ế u f b ị c h ặ n tr ê n [a, 0]. / c ó nhiềĩL n h ấ t m ộ t s ố h ữ u h ạ n c á c đ iể m g iá n đ o ạ n tr ê n [a, 0] v à a liê n tụ c tạ i m ỗ i đ iề m , g iá n đ o ạ n Cĩỉa f th i f E 'R ,{a). C h ứ n g m in h . Đe đơ n giản, ta già sừ / có m ột điổm gián đoạn dny n h ấ t là c e (a, b). Vì a lieu tục tạ i c liên tồn tạ i (‫؟‬/٠, v) sao cho ơ. < n < c < V < b và a { v ) — a(?j) < e. Lấv K = [a, ?/] u [‫؟‬s ٥]. Rõ ràng K com pact và / lion tục trên K . Do đó, / lien tụ c đền trên K . V ì vậy tồn tạ i ỗ > 0 sao cho l/ ( ١١ “ ^1 ^ ■ ١ - > 1( ^ ) / “ (٠ ٧^ ٠ ‫؛‬l < ،‫ ؟‬٠ ١ Bây giờ lập p hân hoạch p = (.T٠, ..., :r„ } nh ư sau: a = .To < X i < ... < X j - 1 = n < V = X j < X j^ i < ... < .T„, = b
149 ٧à sao clio |P | < ‫ ﺀ‬. Do ý rang Mj - n ij < 2Μ, M : su p { |/(.r)| : X e [a, b]} VỞ1 lliOl Vva Мг - fili < ε Tir Ι ό sny ra U vp ١ | ٦ a ١ - L ự ٦ | ١ a ١ : = T j (M ị - Ші)Ааі + {M.ị - ш٠‫[)؟‬о ‫(؛‬г;) — α(?ι)] ‫ﺍﺑﺎ‬ < [ữ(ò) - α(α)]ε + 2Μ ε. Điền lìàv kết tlnic clnriig Iiiiiili (Jo địuh lý Rioniaiiii 5.1.6). □ B ài tâ p 6. Cliĩriig minh địiih 1.Ѵ trcii clio trư ờ n g hợp / có niột sổ đciu được điểm gián Jo ạ n trOn [o., 5]. 5 .2 .4 T in h k h à tíc h c ứ a h à m h ơ p ‫ ﻻ\ ﻡ \ ﺍ ﻵ‬٠ Già sử ! trẽ u \a ٠٦\>\٦ m 1 K x ?١ ‫ ﺅ‬M Oơi ĩìxọi X e \o٠١b\ m ٩ ١.‫ﺍﺃ‬ ίΐ-άτη. sổ Ιχέτη. t.^c trêu \ш,٦ Μ \. къ.і aó ١ h. = q o f treu \о.Д . Chứng m inh. Clìọn 0 < ‫ج‬. Vì ợ ІІЙП Іг.гс trOn [ni) М] nCn g liOn t ١.ic đcii trOn [///., М]. Do đó, tồn tạ i 0< ‫ ﺀ‬sao clio \g{s) - ợ (f)l < ε ١ ơ ‫ ؛‬٠ ‫؟‬,t e [■//λ, Μ] và l.s* — ị \ < 6 . Ta có thổ chọn ỗ < e. hlặt klỉác, / ‫ج‬ ΤΖ{α) có nglrĩa là tồn t,ại p = {rr., X ì, ..., Xn) ‫ج‬ V sao clio U ự ٦ f ٦ a ١١- U P ٦ l ١ a ١ < 6 2 ٠ (5.6) Giầ siV Μί) ·ηΐ·ί là snp và inf cha / trOn [.Тѵ._ігГ-і] v à М*,'іпТ là snp và inf cha li trOn r.,]. Cliia các sổ 1, 2, 7 1 tliànli liai lớp: i e A now Mi - ĩìì/ì < (5, г e B lìcn Mi — ììii > ổ Dổi với ?: ‫ ج‬A) Jo cácli cliọn ỗ t,a có М * - ra* < ‫( ج‬tại sao?)
150 Dổi vớ‫ ؛‬i ‫ ج‬Б , M,* — ■m* < 2 ^ , troiig đó K : siip{|ợ(/)| : rn < Ỷ < M } . Tír (5.6) ta có: < 5 ( Σ Δ α ‫؟‬,) < T j i M j - ί/?-?:)Δα ‫؟‬, < ‫ ﺓ‬2‫ﺍ‬ гев і,ев Do đó: Σ ٤€Β Δα?. < Ố. Тгг đó suy ra: U { P ,h } a ) - L { P ,h ,ù ) : = Σ ( Μ ٠ - · π λ ٠ )Δ α ,: + Σ ( Μ ٠ - η ٠,٠ ) Δ α , іе л ?:ев < ε[ύ {ό )-ύ {α )] + 2Κ δ < ί[α (٥ ) - α (٥ ) + 2 Κ ]. Dfêu uày kết t,liức cluTiig luiiili (do địuli ІѴ Riciuai)u 5.1.6). □ 5.3 C ác tin h ch ấ t cd a tíc h p h â n R -S 5 .3 .1 Đ ỉn h lý. ‫ \ا‬١١ là кЪюид дгаи. ѣгіцеи tí,u٠k. (h ٦Ễu, t ٣ ‫ ا‬εờu٠g sổ ѣіігсс) ١‫ﻟﺔل‬ tick. ‫ ؟‬к٠й,и٠ R -S ١٠‫ﻟﺔ‬ р]١٠٦٠е ٠ш. Ιιατη. ѣгіцси- ѣ٦лг)٠к ١ tue Ỉ.Ồ. , тп-егі ‫ ل‬١ ٩ e ٦l l a ١١ ٦)à с ١ л la các ììẰĩi.g s ổ tk٠r‫ ؛‬c thi c f ‫ﺏ‬dợ € тг(а) và 1 ١4٠c f - V d g ١d a = ( ٠:l fd a -v d i qda. J a J q. . ‫ا‬Cl ρ1 Tí.ck٠)u t u ١٠tUc ia ١.٠α٠η. R -S bdo toau. tl١ u.ễu f A x ١١ < ọ.Ι Α ή Oơi u ٦‫؛‬. х е [ 0 ) Ь ] іЬ л ffid a s fb ja . ‫ ﻝ‬Ja a (‫ )؛؛؛‬N ếu f e 71(a) tren [a, b] va neu a < (· < b till f G тг(а) trên [πί с] 'ưà г. b] và] Ja .‫ﺫﺀﺭ‬ Jo іѵ) N ếu ) ‫ ر‬G тг(а) t e n [α,ό] và nếu ‫ < ا) ^( را‬Μ trên [α,5] thi гЪ f d a < M [ù(b) — α{α)]. (>Γ١١ N eu î е И ‫؛‬ч а \ ١>4)à í e I lia d i t.١ì.t ỉ e U ^ ü i- V a ^ ^ /٧ a
151 ‫ ا‬пЬ ‫ا‬ fd o {‘b \ = |d V c ،\-\-a ٠i ١١ ‫؛‬,\-V ١ | d,&T,' ١ ٠ 6 a Ία Ja NfAi ‫أ‬ Όα еТІІчСѵ١١ (٠. là ь.аті.д sổ àuơug ѣЪл ‫ ل‬e n t r a i ١‫ة د‬ ‫ﺍ‬ ‫ﻝ‬a f d lc a ١ = d a | ■ia c ١ . С1١.'ісп٠д ٠Ш-٠ІЛ١[.٦,. ( ‫ )؛‬X o t h = f І- g. V ớ i m o i p lia ii íio ạ c li F ‫ ج‬P t a có L{P, / , a) + L{P) .9 ^a ) < LiyP, h, a) S ٧ ự ١h , , a ì < U ự ١ì , a H ٧ A ٦9 ٦aV Vi / , 9 là a klid ticli, 11011 tliPO tlịiili Iv Ripiiiaiiii 5.1.6 ta CÓ : với 111ỌỈ f tOii tại các phaii lioạciì F l, Ρ 2 sao cliO ٧ ự \ ١Ì ١a ١ - L V P \ ١ỉ ١a ì < 6 Í 2 , ٧ ^ Ί ٩9 ٦α ١١-Ρΐ4Ρ، ٦١9 ٦ α ١
152 D . đó ‫ ﺍ‬hda >LVP h a ./a ١ ١ ١> ‫ ﺍ‬fd ü -V ‫ ﺍ‬g d a —e. ‫ﻝ‬a ·la Clio 0 4- ‫ م‬ta đirợc ١ h ,à a > ‫ ﺍ‬Jdc^ ١ ‫ﺍ‬ gd^. V ây là ta đ ã cliứiig Iiiiiili dược ‫ ا‬K d a :\ ٠6 ‫ﺍ‬ pb /·b ‫ﺉ‬d a -V i gda. a ٠ Ja Ja Tiiili klid ticli cda - ‫ ر‬được cliứiig Iiiiidi bằiig cácli tươiig tiT iiế١i đổ ý lằỉig với lĩiọi pliâii lioạcli p - { ٧ { P r f , a ) - L { P r f , a ) ) : ٧ { P ,f,a ) - L { P J ,a ) . T íidi klid tícli cila c f cdiig đư ợc cliứiig Iiiiidi bằiig cách tirơiig tiT. Nliư vậy, (!) điTợc chứng niiiih xoiig. (ii) là lìiổii Iihiêii. (iii) Vi / là a khầ tích Iiêii với mọi f > 0 tbii tại p h ân hoạcli p ci‫؛‬a đoạn [a, b] sao clio í / ( P , / , a ) ٠- L ( P , / , a ) < f . KliOng gidm tổ n g qn át t a có th ể giẳ tliiết c e p (vì neii cần till ta chuyeii qna pliân lioạcli m ịn liơn p ٧ (c}). D ặt Р ' = Р П [ а ,с ], P '/ = P n [ c , ỉ í ] . Dỗ dàng tliấy lằng ٧ V P ',ì ,a ١ - L V P ’١ ì ١c، ‫< ؛‬١٧ ự ١ f ١f V L ự , | ١a ,(١ ٧ VP٠' ١ ì , a ١٠- L ự ' ' ١ | , a H ٧ ự ١ l ١ a ١ - L ự ١ ì ١ aV T ỉ ĩ b a bất. đ ằn g tln١c tiCn sny la ‫ر‬ là a khd tícli tren [a, с] và ‫ ﺗ ﻢ؛‬.', ٥ ]. Hơn nữa, ta có L ự M ١ a U K p M ١ ì ١ a'١ : I Ả P ٦ ỉ ١ a')
153 Tir đó (lập luậii Iili١r klii cluriig Iiiiiili (i)) ta tliu được / ‫ ﻷ‬/ ‫ ﺗ ﻪ‬/ ‫ﺀ‬/‫ﻪ‬ ‫ ﺑ‬/ ‫ه‬/ ‫ه‬ ٠ ·la ■Ja ‫(ﻝ‬ Các pliầíi còii lại là tầm tlarờiig. □ 5.3.2 Đ ịn h lý N ‫ ﺍﺍ ﺓ‬í E U l ٠a ١ ٦)à ٩ trên ٠ \a.٦ b\ thÀ. { [ )fg e n { ữ ); (ii) 1/1 ‫ج‬ và / ٠٥ f d a < / ٠٥\f\d a . i Cìiung minh. Non lấ٢ q {t ) = f 2tiOiig Dịiili lý 5.2*4 tlCi t,a có /2 e n { ù ) . Do đó, (!) suy la tỉĩ: 4 /ợ ‫ ( ت‬/ ‫ ب‬g )2- ( ‫ ر‬- ٠ợ)2٠ Nếu lắy .ợ(t) ‫ ل |ي | ت‬ta có \t\ e 7‫( ح‬0 ‫)؛‬. Do đó, (ii) s١iy l a tír Dịuh Iv 5.2.4 và 5.3.1 (ii). TiCp tliCO ta xót t ‫؛‬cli pliâii đối với hàm đặc bi‫ ؛‬t. 5 .3 .3 D in h n g h la Hà ٦n. h^، ớc uh.èy aơu. ٠1٦‫ ﻝ‬I là 1١)‫ﺓ‬٠٢١٦‫ ﺍ‬có daug 0 'với ^ < 0, I{x ) : 1 với X > 0. .Đ ịn h lý 5 .3 .4 a ٦ b\, ỉ \ Gia S'l’c a < . s < b , | b Ị cbẶìi. t٠٣èu٠ 1‫؛؛‬,‫ﻍ‬٢١‫ ﺀ‬taic 1,‫؛ ﻭ‬. s 'Đa a ^ x ‫؛‬١ = 1 ‫ ى‬. — ٠s ١ , i .K l ١‫ﺓ‬,‫ﺍﺓ‬ ‫ﺍ‬ ídoL = K.sV la Cìníng minh. X ct phâiì lioạcli p : {٠7 0 ,٠73 ‫ ل ﻻب‬2٠٠‫ } ل‬sao cho a = :/:0 < .٣ ! : ٠٩' < .'٢٠2 < ^3 : 5.
154 Khi đó, t / ( P , / , a ) — M i(a (.s .) — a ( a ) ) + M 2 (a (.T 2 ) — ،^(.٠١*)) + M 3(a(ò) ٠ a(.X2)) — M 2 — sup{/(.T) I s < X < X2 }. Tircaig tiT L (F , / , a ) — m 2 = iiif{/(.T) I .s < .T < X2 }. Vì / lien tục tạ i ٠s, liên cho triTỚc ế > 0 có th ể chọn X2 sao cho (M 2 —///.2) < Điều đó kết tliiic cliihig ininh (do định lý Rieinaim). □ B ài tâ p 7 . ChiTiig iiiiu h đ ịn h lý tr ô n c h o hàm : 0 với X < 0, I{ x ) = 1 với X > 0. 8. Clnhig m inh rằ n g nếu / khả tích Riom ann trên các đ o ạn [a, c], [c, 0], a < c < b th ì / khả tích Riemaim trên [o.,b]. H ãy chỉ ra rằ n g kết luận h ày không điing đối với tích phân Ricm ann-Sticltjcs b ằn g cách xét ví dụ sau: với - 1 < .T < 0, /(■x·) vói 0 < X < 1. với — 1 < .T < 0, a(.7r) = < vơi 0 < ٠r < 1. 9. Cho / : [—1,1] —^ K bị chặn và Vơi .r < 0, I l{ x ) = ١' 0 với x < 0, ٠ h ix ) 1 với X > Ọ. ■ { ; với :r > 0. với rr < 0 í ٥ h { ^ ) = < 1/2 với rr = 0 . với rr· > 0.
155 (i) C hứng Iiiiuh rằn g / G T lự i) khi và chỉ khi / lien tụ c bẽn phải tại 0 và khi đó Ị fd h = /(0). (ii) C hứng m inh rằn g / e T2 / ) ‫ ؟‬٠) khi và chỉ khi / lien tục bên trái tạ i 0. (iii) C larng m inh rằn g / e 7^(/3) khi và chỉ khi / liên tục tại 0. (iv) Nen / lien tụ c tạ i 0 clnrng niing rằng / fd h = I fd h = [ fd h = /(0). 10. Clurng m inh rằn g nếu / > 0, / lien tục trẽn [a١٥] và /٥ / ( .r ) d .T = 0 th i / ( . 7.) — 0 với mọi X E [a,/;]. 11. Cho hai hàm f^ g sao cho / khả tích Riemami v à g chỉ khác / tạ i m ột số hữ u hạn điem . C hứng m inh rằn g q cũng khả tích Riem ann. 12. Cho hàm / khả tích R iem ann trên [n, ٥]. Cluriig m inh rằn g tậ p các điem lien tục ciia / là trìì m ật trong Bâv giờ ta xổt mối quan hộ gii~ra chuỗi và tích phân. 5 .3 .5 Đ in h lý . Giả sứ 0') (‘n ^ ٥ m ọi n= 1, 2 , ... và Ỵ2 < ٠o , (ii) {.s,،} ÌÀ dãy các điềm, khác nhau trong (rt, ٥) và oc 7 /.= l K hi đó, nếu f liên tục trên [ơ, 6] thi ٤) oo
156 Chung minh. T ir (i) SUV га r ằ n g v ớ i m ọ i 0< ‫ ج‬tồ iì tạ i N sao clio oc Σ Cn
157 Ch.î'cng minh. V ớ i Iiiọi 0 < ‫ ﺝ‬tồn tại p : { 0 ‫ ﻍ‬, ■ T i , Xu) e V sao clio U { P ) a / ) - L { P , a ') < s . (5.7) Điiili lý gia sổ Іигг! hạn L ag ian g . clio ta: tồn tạ i t-i ‫[ ﺝ‬xiriyXj] sao clio A ù i = ύ /{ ίί) Α χ ,. Non .s?, ‫[ ج‬.7:‫ ا _ي‬, ٠7:‫ ]ي‬th i thoo (5.7) và địnli ІѴ 5.1.7, ta có ■ri E |ù ' ( s ,; ) - a ' ( / , : ) |A a ' : , ■·; < 5٠ (5 .8 ) Ì : Ì Vì vậ٧ ‫ﻵ‬ - ‫ﻵ‬ ‫ﯪ ﺃ‬ ‫ ﺍ‬١‫ﻪ‬ ‫ﺑ‬ < Μ٤ (5 .9 ) ‫ ﺗ ﻲ‬ί=ι 1 t i o n g ãó Μ : su p {|/(.x * )| : a < X < b}. D ặ c b i‫ ؛‬t. n ١‫ ؟‬: ٧ V P , î a ' H M t > îV s i ١A a i ‫ا = ي‬ đổ '‫ ؛‬với 111‫ ؛ ؟‬cácli cliọii Si ‫ج‬ [xjrì)Xi]■ Do đó (t.ại sao ‫)؟‬ .υ ν Ρ , ΐ , α Η υ ν Ρ , Ι α ' Η Μ ε L ý liiậii tiTơiig tir, tỉr (5.9) ta có ١)٧ P ١í ừ ' H ٧ ự ١f ١a ì + M e V ậ.v \٧ ΙΡ ١ ΐ ٦ ( ή - υ ^ ) ١ ΐ ο ! ϊ ١ < Μ ε , (5 .1 0 ) t ٢٣c la, (5 .7 ) s u y l a (5 .1 0 ). V i (5 .7 ) đứng v ớ i m ọ i p t » P) nOn (5 .1 0 ) đilng v ớ i m ọ i p* } ۶ . Do đó (5 .1 0 ) clio t a pb pb \ ١ 1f d a — 1f a d . x \ < M e ١ ٠! a Ja t ,١ đó SII.V l a fđ a Ja ‫ﺍ‬ fa 'd x . T n o n g t i ĩ t a có đ ằ n g t liứ c clio tíc li p liâ n (.liĩới. □
158 5.4 C á c p h ư ơ n g p h á p c ơ b ả n t í n h tíc h p h â n 5 .4 .1 C ô n g t h ứ c đ ổ i b iế n Đ in h lý. Giả sử ،/? ì.à hàm> tăng thục sụ, liên tục từ [A,B] lên [a, 0]. Giả sử a là hàm. tăng đơn điệĩL trên [a,ò] và f £ TZ{a) trên [a,b]. Dặt Ị3{y) = a{ự>{y)) , g{y) = /(. Ncn 6 7‫؟‬. trêu [A, B] ta có I f{x)dx=^ Ị f{ự>{y))ự(y)d.y. Ja Ja Ta chuvcn sang xct tích phân có cận trôn th av đổi. 5 .4 .2 H à m tíc h p h â n Đ in h lv. Giả sử f e P trên [n.b]. H àm tích phân hay tích phân phụ thuộc cận trên F { x ) == í f{t)d t , .T € [a, 6] ·ỉa là liên tục trên [í7٠, b]. H ơn nữa, nếĩL f liên tục tại xq € [a, b] thi F khả vi. tại . 7.0 và F'(:ro) = /(.To).