zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Về không điểm của đa thức nhiều biến trên vành giao hoán

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

51
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho f(x1,...,xn) là một đa thức trên vành giao hoán A, bài viết này xây dựng một vành B ⊇ A sao cho f(x1,...,xn) có không điểm trong không gian Bn khi các hệ tử cao nhất của f(x1,...,xn) khả nghịch. Bên cạnh đó, bài báo chỉ ra sự khác biệt đối với bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, mối quan hệ giữa hai khái niệm: Đa thức và hàm đa thức trên vành giao hoán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về không điểm của đa thức nhiều biến trên vành giao hoán

TẠP TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀCHÍ CÔNGKHOA NGHỆHỌC VÀ CÔNG NGHỆ JOURNAL OFTập SCIENCE 20, SốAND TECHNOLOGY 3 (2020): 95-100 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG HUNG VUONG UNIVERSITY Tập 20, Số 3 (2020): 95-100 Vol. 20, No. 3 (2020): 95-100 Email: tapchikhoahoc@hvu.edu.vn Website: www.hvu.edu.vn VỀ KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Nguyễn Tiến Mạnh1* 1 Khoa Giáo dục Tiểu học và Mầm non, Trường Đại học Hùng Vương, Phú Thọ Ngày nhận bài: 08/4/2020; Ngày chỉnh sửa: 20/5/2020; Ngày duyệt đăng: 22/5/2020 Tóm tắt C ho f(x1,...,xn) là một đa thức trên vành giao hoán A, bài báo này xây dựng một vành B ⊇ A sao cho f(x1,...,xn) có không điểm trong không gian Bn khi các hệ tử cao nhất của f(x1,...,xn) khả nghịch. Bên cạnh đó, bài báo chỉ ra sự khác biệt đối với bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, mối quan hệ giữa hai khái niệm: đa thức và hàm đa thức trên vành giao hoán. Từ khóa: Đa thức, không điểm, vành giao hoán. 1. Đặt vấn đề sao cho F là một trường đóng đại số [2], điều Cho  là một trường, như chúng ta đã này cho thấy sự tồn tại phổ biến của mở rộng biết mỗi đa thức f ( x) ∈ [x] có bậc dương đóng đại số đối với một trường bất kỳ. trên  có thể không có nghiệm trong . Tuy Giả sử (x1,...,xn) là các biến độc lập. nhiên, luôn tồn tại một trường mở rộng F ⊇ Nhắc lại rằng không điểm của đa thức  sao cho f(x) có nghiệm trong F [1]. Do số f ( x1 ,K , xn ) ∈ [x1 ,K , xn ] là phần tử nghiệm của f(x) không vượt quá degf(x) nên (α1 ,K , α n ) ∈  n thỏa mãn f (α1 ,K , α n ) = 0 sau một số bước mở rộng, ta sẽ được một [3]. Trong trường hợp một biến số, chúng trường chứa đầy đủ các nghiệm của f(x). Qua ta vẫn quen gọi không điểm là nghiệm. đó chúng ta thấy mọi đa thức bậc dương trên Nếu F là mở rộng đóng đại số của , bằng một trường đều có đầy đủ các nghiệm nếu quy nạp ta có thể chứng minh mọi đa thức ta xét chúng trong một trường “đủ rộng”. f ( x1 ,K , xn ) ∈ [x1 ,K , xn ], degf ( x1 ,K , xn ) > 0 Tiến xa hơn, người ta đã chỉ ra sự tồn tại của đều có không điểm trong Fn[4]. Như vậy sự những trường mà mọi đa thức trên nó đều có tồn tại nghiệm cũng như không điểm của đa nghiệm trong đó, loại trường này được gọi thức là phổ biến nếu xét trong một trường là trường đóng đại [2] mà ví dụ điển hình là hoặc một không gian đủ rộng và điều này trường số phức C. Tổng quát hơn, luôn tồn đã được trình bày một cách hệ thống trong tại một trường F là mở rộng đại số của  nhiều tài liệu [1, 5, 6]. Tuy nhiên, đối với đa *Email: manhnt79@gmail.com 95
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Nguyễn Tiến Mạnh thức trên một vành giao hoán, vấn đề này còn Nếu ϕ = (a ) 0 (a ∈ A) thì a chia hết cho ít được đề cập đến. Trong bài báo này, chúng f ( x1 ,K , xn ). Do đó tồn tại g ( x1 ,K , xn ) tôi sẽ chứng tỏ khi xét trên vành giao hoán, bài toán về sự tồn tại không điểm trong vành để a = f ( x1 ,K , xn ) g ( x1 ,K , xn ). So sánh mở rộng của đa thức nhiều biến với hệ tử bậc bậc hai vế suy ra a = 0 . Vậy ϕ là đơn cao nhất khả nghịch có điểm tương tự như cấu nên ta có thể coi A như một vành đối với đa thức trên một trường. Ngoài ra, bài A[ x1 ,K , xn ] con của vành thương . Ta báo chỉ ra sự khác biệt đối với bài toán phân I tích đa thức thành nhân tử, mối quan hệ giữa có f=( x1 ,K , xn ) f= ( x1 ,K , xn ) 0 nênn hai khái niệm: đa thức và hàm đa thức nhiều f ( x1 ,K , xn ) nhận ( x1 ,K , xn ) ∈  A[ x1 ,K , xn ]  biến trên vành giao hoán.  I  làm không điểm, ở đây x1 ,K , xn lần lượt là 2. Nội dung nghiên cứu x ,K , xn trong A[ x1 ,K , xn ] . Từ các ảnh của 1 I 2.1. Sự tồn tại không điểm của đa thức khẳng định này, ta được định lý sau. nhiều biến trong vành mở rộng Định lý 2.1. Cho số nguyên dương n, A Cho số nguyên dương n, A là một vành là một vành giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0 và giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0 và đa thức bậc f ( x1 ,K , xn ) ∈ A[ x1 ,K , xn ] là đa thức bậc dương với các hệ tử cao nhất khả nghịch dương với các hệ tử cao nhất khả nghịch. f ( x1 ,K , xn ) ∈ A[ x1 ,K , xn ]. Nếu A là một miền nguyên, thì A có trường các thương  (trường Khi đó tồn tại một vành mở rộng B của A sao phân thức của A). Giả sử K là mở rộng đóng cho f ( x1 ,K , xn ) có không điểm trong B n . đại số của . Khi đó như đã biết f ( x1 ,K , xn )Xét trong trường hợp đa thức một biến x n có không điểm trong K . Trong trường hợp và coi hệ tử cao nhất của f(x) bằng 1. Giả sử tổng quát, gọi I là iđêan trong A[ x1 ,K , xn ] α ∈ B là một nghiệm của f(x). Theo Định lý sinh bởi đa thức f ( x1 ,K , xn ). Xét đồng Bezout [1], ta có: A[ x1 ,K , xn ] cấu: ϕ:A→ ,a a a =a + I. I f ( x) = ( x − α ) g ( x), g ( x) = x n −1 + b1 x n − 2 + L + bn − 2 x + bn −1 ∈ B[x]. Lại áp dụng định lý trên cho g(x) ta suy ra Ví dụ sau cung cấp thêm một số thông tin có vành C là một mở rộng của B để g(x) có nhằm chỉ ra sự khác biệt giữa sự tồn tại nghiệm nghiệm trong C. Tiếp tục quá trình này với của đa thức trên vành giao hoán và sự tồn tại chú ý rằng sau mỗi bước đa thức được xét có nghiệm của đa thức trên một trường. bậc nhỏ hơn bậc của đa thức bước trước đó, Ví dụ 2.2. Cho 1 ,  2 là hai trường. Gọi sau n bước ta được một vành mở rộng B của 1 ,  2 lần lượt là hai bao đóng đại số của A và các phần tử α1 , α 2 ,K , α n ∈ B sao cho ( x α1 )( x − α 2 )L ( x − α n ). f ( x) =− 1 ,  2 . Xét vành 1 ×  2 . Dễ thấy đây là 96
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Tập 20, Số 3 (2020): 95-100 một vành giao hoán với phần tử đơn vị là (1,1) và phần tử không là (0,0). Tuy nhiên, nó không phải là một miền nguyên vì (1, 0), (0,1) ∈ 1 ×  2 \ {(0, 0)} nhưng (1,0)(0,1) = (0,0). Xét đa thức: = f ( x) (a1n , a2 n ) x n + (a1n −1 , a2 n −1 ) x n −1 + L + (a10 , a20 ) ∈ ( 1 ×  2 ) [x]. =f ( x) (a1n , 0) x n + (a1n −1 , 0) x n −1 + L + (a10 , 0) Ta có +(0, a2 n ) x n + (0, a2 n −1 ) x n −1 + L + (0, a20 ) ∈ ( 1 ×  2 ) [x]. ) (a1n , 0) x n + (a1n −1 , 0) x n −1 + L + (a10 , 0), f1 ( x= ) a1n x n + a1n −1 x n −1 + L + a10 , Đặt f10 ( x= ) (0, a2 n ) x n + (0, a2 n −1 ) x n −1 + L + (0, a20 ), f 2 ( x= f 20 ( x= ) a2 n x n + a2 n −1 x n −1 + L + a20 . Ta có f1 ( x) ∈ 1[x], f 2 ( x) ∈  2 [x]. Giả duy nhất (theo nghĩa sai khác các phần tử khả nghịch và thứ tự các nhân tử). sử degf1(x), degf2(x) > 0. Do tính chất đóng đại số của 1 ,  2 , f1(x) và f2(x) đều lần lượt (ii) Các kết luận trong ví dụ 2.2 hoàn phân rã thành tích các nhân tử bậc nhất trên toàn có thể được mở rộng một cách tương tự cho trường hợp gồm hữu hạn trường 1 ,  2 . Cho α ∈ 1 , b ∈  2 theo thứ tự là 1 ,  2 ,K ,  m . nghiệm của f1(x) và f2(x). Khi đó chúng ta hoàn toàn có thể chứng minh được các khẳng 2.2. Mối quan hệ giữa đa thức và hàm đa định sau: thức trên vành giao hoán (i) Với mọi (l1 , l2 ) ∈ 1 ×  2 , (α , l2 ) là Khái niệm đa thức và hàm đa thức được nghiệm của f10(x) và (l1, b) là nghiệm của f(x). trình bày đầy đủ và hệ thống tại bậc học đại học trong các giáo trình về đại số [5]. Theo (ii) (α , b ) ∈ 1 ×  2 là nghiệm của f(x). định nghĩa, mỗi đa thức trên một vành giao (iii) Nếu (l , m ) ∈ 1 ×  2 là nghiệm của hoán xác định một hàm đa thức tương ứng f(x) thì l, m lần lượt là nghiệm của f1(x), f2(x). nhận giá trị trên vành giao hoán đó. Cho f ( x1 ,K , xn ) ∈ A[ x1 ,K , xn ], ánh xạ (iv) Nếu f(x) ≠ 0 và deg f1 ( x) deg f 2 ( x) = 0 thì f(x) không có nghiệm trong 1 ×  2 . f : An → A, (α1 ,K , α n ) a f (α1 ,K , α n ) được gọi là một hàm đa thức ứng với (v) Giả sử deg f1 ( x)= deg f 2 ( x)= n > 0 và n n f ( x1 ,K , xn ) hay có thể nói f ( x1 ,K , xn ) sinh 1 1n if ( x) =a 2 =i 1 =i 1 2n ∏ ( x − α ), f ( x) =a ∏ ( x − b ), i ra f . Gọi F là tập các hàm đa thức như đã nêu, dễ thấy F là một vành giao hoán có ở đây α1 ,K , α n ∈ 1 , b1 ,K , b n ∈  2 . Khi n đơn vị và ánh xạ đó f ( x) (a1n , a2 n )∏ [ x − (α i , bi ) ] . = i =1 ϕ : A[ x1 ,K , xn ] → F , f ( x1 ,K , xn ) a f Chú ý 2.3. Khẳng định (v) trong ví dụ 2.2 là một toàn cấu. Trong trường hợp quen cho thấy sự phân tích một đa thức thành nhân thuộc, khi xét đa thức trên các vành số, trường tử trong vành giao hoán nhìn chung không số quen thuộc (vành số nguyên, trường số 97
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Nguyễn Tiến Mạnh hữu tỉ, trường số thực, trường số phức) thì Định lý dưới đây chỉ ra rằng nếu vành mỗi hàm đa thức chính là một hàm số xác cơ sở là một miền nguyên vô hạn thì có một định trên các tập số quen thuộc đó. Câu hỏi đẳng cấu từ vành các đa thức lên vành các đặt ra là: Khi nào toàn cấu đã cho là một đẳng hàm đa thức. cấu? Nghĩa là khi nào ta có thể đồng nhất hai Định lý 2.5. Cho A là một miền nguyên vô khái niệm trên ( f ( x1 ,K , xn ) ≡ f )? Nếu ϕ là hạn. Toàn cấu đẳng cấu, người ta nói rằng: trên vành A, hai khái niệm đa thức và hàm đa thức là đồng ϕ : A[ x1 ,K , xn ] → F , f ( x1 ,K , xn ) a f nhất với nhau [1]. là một đẳng cấu. Chú ý 2.4. Rõ ràng mỗi đa thức xác định Chứng minh. Ta chỉ cần chứng tỏ ϕ là đơn duy nhất một hàm đa thức, tuy nhiên điều cấu, nghĩa là nếu ϕ ( f ( x1 ,K , xn ) ) = 0 hay ngược lại nhìn chung không đúng. Chẳng tương đương với f (α1 ,K , α n ) = 0 với mọi hạn, đa thức x + x ∈ ¢ 2 [x]\ {0} nhưng lại 2 α1 ,K , α n ∈ A thì phải có f ( x1 ,K , xn ) = 0. sinh ra hàm không F : ¢ 2 → ¢ 2 , α a 0. Chứng minh được tiến hành bằng quy nạp Tổng quát hơn, khi A = {α1 , α 2 ,K , α k } gồm theo số biến n. Khi n = 1, từ f (α1 ) = 0 với k mọi α1 ∈ A suy ra f ( x1 ) = 0 vì số nghiệm của k phần tử, đa thức ∏ ( x −α ) ∈ A[ x] \ {0} i =1 i đa thức trên miền nguyên không vượt quá số cũng sinh ra hàm không F : A → A, α a 0. bậc. Trong trường hợp n > 1 viết: f ( x1 ,K , xn ) g d ( x1 ,K , xn −1 ) xnd + g d −1 ( x1 ,K , xn −1 ) xnd −1 + L + g1 ( x1 ,K , xn −1 ) xn + g 0 ( x1 ,K , xn −1 ) = Với α1 ,K , α n −1 ∈ A tùy ý cho trước, ta có: f (α1 ,K , α n ) g d (α1 ,K , α n −1 )α nd + g d −1 (α1 ,K , α n −1 )α nd −1 + L + g1 (α1 ,K , α n −1 )α n + g= = 0 (α1 ,K , α n −1 ) 0 với mọi α n ∈ A . Nghĩa là đa thức f (α1 ,K , α n −1 , xn ) biến xn nhận mọi α n ∈ A làm nghiệm. Do đó f (α1 ,K , α n −1 , xn ) = 0. Điều này dẫn đến g d (α1 ,K , α n −1= ) g d −1 (α1 ,K , α n −1= ) L= g1 (α1 ,K , α n −1= ) g 0 (α1 ,K , α n −1= ) 0. Do tính tùy ý của α1 ,K , α n −1 ∈ A và giả thiết quy nạp áp dụng cho trường hợp n – 1 biến suy ra: g d ( x1 ,K , xn −1= ) g d −1 ( x1 ,K , xn −1= ) L= g1 ( x1 ,K , xn −1= ) g 0 ( x1 ,K , xn −1= ) 0. Vậy f ( x1 ,K , xn ) = 0 và do đó ϕ là đơn cấu. Nói riêng, khi vành cơ sở rơi vào các Đó là lý do mà tại bậc học phổ thông, trong trường hợp quen thuộc: vành số nguyên, nhiều bài toán, khái niệm đa thức được xem trường số hữu tỉ, trường số thực, trường số xét dưới cả hai quan điểm: đại số và hàm số, phức thì chúng ta hoàn toàn có thể đồng nhất nhưng kết quả thu được vẫn thống nhất. Phần khái niệm đa thức với khái niệm hàm đa thức. này đưa ra một số ví dụ góp phần làm rõ hơn 98
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Tập 20, Số 3 (2020): 95-100 các lớp vành mà trên đó chúng ta không thể Ví dụ 2.6. Cho số nguyên dương n > 1. đồng nhất chúng. ¡ [x] Xét vành A = n n , với ( x ) là iđêan sinh Như chúng ta đã biết nếu vành cơ sở A (x ) bởi xn. Rõ ràng A là vành giao hoán vô hạn là một miền nguyên, thì mỗi đa thức khác không trên A luôn có số nghiệm không vượt phần tử. Dễ dàng kiểm tra mọi phần tử thuộc quá bậc của nó [1]. Các ví dụ sau chứng { } tập vô hạn ax | a ∈ ¡ đều là nghiệm của tỏ mối quan hệ giữa số nghiệm và bậc của t n ∈ A[t ] (đa thức bậc n với biến t). đa thức trên vành giao hoán không là miền Ví dụ 2.7. Xét vành nguyên xảy ra hoàn toàn khác. Z ¥2 = Z 2 × Z 2 ×L × Z 2 ×L = {(a1 , a2 ,K , an ,K ) | ak ∈ Z 2 , k = 1,K , n,K } với hai phép toán: +) phép cộng: (a1 , a2 ,K , an ,K ) + (b1 , b2 ,K , bn ,K ) =(a1 + b1 , a2 + b2 ,K , an + bn ,K ) +) phép nhân: (a1 , a2 ,K , an ,K )(b1 , b2 ,K , bn ,K ) = (a1b1 , a2b2 ,K , anbn ,K ) . Rõ ràng Z ¥2 là một vành giao hoán vô hạn với phần tử không 0 = (0, 0,K , 0,K ), phần tử đơn vị 1 = (1,1,K ,1,K ). Đa thức f ( x= ) x 2 + x nhận mọi phần tử của Z 2 làm nghiệm. ¥ Thật vậy: f (a ) = a 2 + a = (a12 + a1 , a22 + a2 ,K , an2 + an ,K ) = (0, 0,K , 0,K ) = 0 [5]. Ví dụ 2.8. Xét vành giao hoán Z ¥2 và đa thức n biến f ( x1 , x2 ,K , xn ) = ( x12 + x1 )( x22 + x2 )L ( xn2 + xn ) ∈ ¢ ¥2 [x1 , x2 ,K , xn ]. Dễ thấy đa thức này nhận mọi phần tử của ( ¢ 2 ) làm không điểm. ¥ n Ví dụ 3.4 và Ví dụ 3.5 đưa chúng ta đến (ii) Tồn tại một vành giao hoán gồm vô kết quả mở rộng của [7, Định lý 2.4]. hạn phần tử sao cho trên đó không thể đồng Định lý 2.9. Tồn tại một vành giao hoán nhất hai khái niệm đa thức và hàm đa thức. gồm vô hạn phần tử sao cho trên đó có ít nhất Hệ quả 2.10 có thể xem như một mở rộng một đa thức khác không nhận mọi bộ phần tử của [7, Hệ quả 2.5] từ vành đa thức một biến của vành làm không điểm. sang vành đa thức nhiều biến. Từ định lý này, ta rút ra các hệ quả sau Hệ quả 2.10. (i) Tồn tại một vành giao 3. Kết luận hoán gồm vô hạn phần tử sao cho trên đó có Như vậy sự tồn tại của không điểm đa thức hai đa thức phân biệt sinh ra cùng một hàm trên vành giao hoán trong trường hợp các hệ đa thức. tử bậc cao nhất của đa thức khả nghịch là phổ 99
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Nguyễn Tiến Mạnh biến. Vấn đề sẽ trở nên phức tạp hơn khi xét quả nghiên cứu cho thấy muốn hiểu bản chất cho trường hợp tổng quát. Nghiên cứu cũng hơn một vấn đề sơ cấp thì cần thiết phải xem chỉ ra rằng trên vành giao hoán nói chung, số xét nó một cách toàn diện, không nên thoát nghiệm của đa thức có thể là vô số thậm chí ly với khái niệm gốc và các nội dung liên đa thức có thể triệt tiêu tại mọi điểm ngay quan của toán học hiện đại. cả khi vành cơ sở là vô hạn. Ngoài ra, kết quả phân tích đa thức cũng không còn đảm Tài liệu tham khảo bảo tính duy nhất của các nhân tử. Về mối quan hệ giữa hai khái niệm: đa thức và hàm [1] Hoàng Xuân Sính (1998). Đại số đại cương. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. đa thức như trên đã trình bày, hai khái niệm này hoàn toàn có thể đồng nhất khi vành cơ [2] Dương Quốc Việt (2007). Cơ sở lý thuyết Galois. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, Hà Nội. sở là một miền nguyên vô hạn. Đó là lý do [3] Markus P. Brodmann (2001). Lectures on local tại bậc học phổ thông, chúng ta vẫn nghiên cohomology. Institute of Mathematics, Ha Noi. cứu đa thức theo cả hai quan điểm: đại số [4] Gopalakrishnan N. S. (1984). Commutative (xem xét đa thức như đã định nghĩa) và hàm algebra. Oxonian Press, New Dehli. số (coi đa thức chính là hàm đa thức tương [5] Hoàng Kỳ & Hoàng Thanh Hà (2009). Đại số ứng với nó) mà vẫn không gặp mâu thuẫn sơ cấp và Thực hành giải Toán. Nhà xuất bản vì chúng được xét trên các miền nguyên và Đại học Sư phạm, Hà Nội. các trường vô hạn quen thuộc, đó là vành [6] Ngô Việt Trung (2012). Nhập môn Đại số giao số nguyên, trường số hữu tỉ, trường số thực, hoán và Hình học đại số. Nhà xuất bản Khoa trường số phức. Các ví dụ lưu ý cho ta rằng học Tự nhiên và Công nghệ, Hà Nội. nhìn chung chúng không tương đương trên [7] Nguyễn Tiến Mạnh & Nguyễn Huyền Trang các lớp vành: miền nguyên hữu hạn, vành (2012). Về mối quan hệ giữa đa thức và hàm giao hoán vô hạn không là miền nguyên. Kết đa thức trên vành giao hoán. Tạp chí Giáo dục, 128-129. ON ZERO-POINTS OF POLYNOMIALS WITH MANY VARIABLES OVER COMMUTATIVE RINGS Nguyen Tien Manh1 1 Faculty of Preschool and Primary Education, Hung Vuong University, Phu Tho Abstract L et f(x1,...,xn) be a polynomial over the commutative ring A, this paper builds a ring B ⊇ A such that there is a zero-point of f(x1,...,xn) in Bn when the highest coefficients of f(x1,...,xn) are inversible. Moreover, the paper shows the difference about the polynomial analysis problem into factors, the relationship between polynomial and polynomial function over commutative rings. Keywords: Polynomial, zero-point, commutative ring. 100

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.