XỬ LÝ TÍN HIỆU

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

164
lượt xem 36
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương một trình bầy các khái niệm cơ bản về tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu nói chung, cũng như tín hiệu số và hệ xử lý số nói riêng, các cách biểu diễn tín hiệu số và hệ xử lý số, các phương pháp phân tích hệ xử lý số theo hàm thời gian. Để xác định đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực xử lý tín hiệu số, trước hết cần nắm được các khái niệm và thuật ngữ cơ bản về tín hiệu và các hệ xử lý tín hiệu. ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: XỬ LÝ TÍN HIỆU

Chương một TÍN HIỆU SỐ VÀ HỆ XỬ LÝ SỐ Chương một tr ình bầy các khái niệm cơ bản về tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu nói chung, cũng như tín hiệu số và hệ xử lý số nói r iêng, các cách biểu diễn tín hiệu số và hệ xử lý số, các phương pháp phân tích hệ xử lý số theo hàm thời gian. 1.1 Khái niệm về tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu Để xác định đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực xử lý tín hiệu số, trước hết cần nắm đ ược các khái niệm và thuật ngữ cơ bản về tín hiệu và các hệ xử lý tín hiệu. 1.1.1 Khái niệm và phân loại tín hiệu 1.1.1a Khái niệm về tín hiệu : Tín hiệu là một dạng vật chất có một đại lượng vật lý được biến đổi theo quy luật của tin tức. Có nhiều loại tín hiệu khác nhau, ví dụ như các tín hiệu âm thanh, ánh sáng, sóng âm, sóng điện từ, tín hiệu điện ...vv... Mỗi lĩnh vực kỹ thuật thường sử dụng một số loại tín hiệu nhất định. Trong các lĩnh vực có ứng dụng kỹ thuật điện tử, người ta thường sử dụng tín hiệu điện và sóng điện từ, với đại lượng mang tin tức có thể là điện áp, dòng điện, tần số hoặc góc pha. Mỗi loại tín hiệu khác nhau có những tham số đặc trưng riêng, tuy nhiên tất cả các loại tín hiệu đều có các tham số cơ bản là độ lớn (giá trị), năng lượng và công suất, chính các tham số đó nói lên bản chất vật chất của tín hiệu Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biến thời gian x(t), hoặc hàm của biến tần số X(f) hay X(). 1.1.1b Phân loại tín hiệu Theo dạng của biến thời gian t và giá trị hàm số x(t), người ta phân loại tín hiệu như sau : 1. Tín hiệu liên tục x(t) là tín hiệu có biến thời gian t liên tục. Tín hiệu liên tục xác định liên tục theo thời gian, với giá trị hàm số có thể biến thiên liên tục hoặc đ ược lượng tử hóa, và có thể tồn tại các điểm gián đoạn loại một hoặc loại hai. Trên hình 1.1a là đồ thị của tín hiệu li ên tục có giá trị liên tục. Trên hình 1.1b là đồ thị của tín hiệu liên tục có giá trị lượng tử hóa từ tín hiệu trên hình 1.1a. Trên hình 1.1c là đồ thị của tín hiệu liên tục có giá trị gián đoạn loại một. x1(t) x(t) x(n) 4 2 n t t 0 a. Giá trị liên tục. b. Giá trị lượng tử. c. Giá trị gián đoạn. Hình 1.1 : Đồ thị các tín hiệu liên tục. 2. Tín hiệu rời rạc x(nT) là tín hiệu có biến thời gian gián đoạn t = nT. Tín hiệu rời rạc chỉ xác định ở những thời điểm gián đoạn t = nT, không xác định trong các khoảng thời gian ở giữa hai điểm gián đoạn. Có thể biến đổi tín hiệu liên tục x(t) thành tín hiệu rời rạc x(nT), quá trình đó được gọi là rời rạc hóa tín hiệu liên tục. Định lý lấy mẫu là cơ sở để thực hiện rời rạc hóa tín hiệu liên tục mà không làm thay đ ổi thông tin mang trong nó. Quá trình rời rạc hóa tín hiệu liên tục còn được gọi là quá trình lấy mẫu. Trên hình 1.2a là đồ thị của tín hiệu rời rạc có giá trị liên tục (có thể nhận giá trị bất kỳ tại mỗi thời điểm rời rạc). Trên hình 1.2b là tín hiệu rời rạc có giá trị được lượng tử hóa từ tín hiệu trên hình 1.2a 7
x(nT) x(nT) nT nT a. Giá trị liên tục. b. Giá trị được lượng tử hóa. Hình 1.2 : Đ ồ thị các tín hiệu rời rạc. 3. Tín hiệu lượng tử là tín hiệu chỉ nhận các giá trị xác định bằng số nguyên lần một giá trị cơ sở gọi là giá trị lượng tử. Quá trình làm tròn tín hiệu có giá trị li ên tục hoặc gián đoạn thành tín hiệu lượng tử được gọi là quá trình lượng tử hóa. Trên hình 1.1b là tín hiệu liên tục được lượng tử hóa từ tín hiệu trên hình 1.1a. Trên hình 1.2b là tín hiệu rời rạc được lượng tử hóa từ tín hiệu trên hình 1.2a.. 4. Tín hiệu tương tự là tín hiệu liên tục có giá trị liên tục hoặc lư ợng tử. Nhiều tài liệu gọi tín hiệu tương tự theo tiếng Anh là tín hiệu Analog. Các tín hiệu liên tục trên hình 1.1a và 1.1b là tín hiệu tương tự. 5. Tín hiệu xung là tín hiệu có giá trị hàm số đoạn loại một. Tín hiệu xung có thể là tín hiệu liên tục hoặc rời rạc. Trên hình 1.1c là tín hiệu xung liên tục một cực tính, còn trên hình 1.2 là các tín hiệu xung rời rạc. 6. Tín hiệu số là một nhóm xung được mã hóa theo giá trị lượng tử của tín hiệu tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau. Mỗi xung của tín hiệu số biểu thị một bít của từ mã, nó chỉ có hai mức điện áp, mức thấp là giá trị logic “0” , mức cao là giá trị logic “1”. Số xung (số bít) của tín hiệu số là độ dài của từ mã. Tín hiệu số có 8 bít được gọi là một byte, còn tín hiệu số có 16 bít bằng hai byte được gọi là một từ (hoặc gọi theo tiếng Anh là word). Nhiều tài liệu gọi tín hiệu số theo tiếng Anh là tín hiệu Digital. Tín hiệu số thường được mã hóa theo mã nhị phân (Binary Code), mã cơ số tám (Octal Code), mã cơ số mười sáu (Hexadecimal Code), mã nhị thập phân (Binary Coded Decimal), mã ASCII (American Standard Code for Information Interchange) .... Giá trị mã của tín hiệu số được gọi là số liệu (Data), nó chính là thông tin chứa đựng trong tín hiệu. Vậy số liệu là ánh xạ của tín hiệu số, do đó các tác động lên số liệu cũng chính là tác động lên tín hiệu. Trên hình 1.3 là đồ thị của tín hiệu số 4 bít có giá trị mã nhị phân tại thời điểm 0T là 0110 , tại 1T là 0011 , tại 2T là 1011 , .... Bít 3 0 0 NT Bít 2 0 1 NT Bít 1 NT 1 1 Bít 0 NT 0 1 3T 0T 1T 2T 4T 5T 6T 8
Hình 1.3 : Đồ thị tín hiệu số bốn bit và mã nhị phân của nó. Như vậy, tín hiệu số là tín hiệu rời rạc, có giá trị lượng tử và được mã hóa. Do đó có thể biến đổi tín hiệu liên tục thành tín hiệu số, quá trình đó được gọi là số hóa tín hiệu liên tục. Quá trình số hóa tín hiệu liên tục được thực hiện qua 3 bước là : - Rời rạc hóa tín hiệu liên tục, hay còn gọi là lấy mẫu. - Lượng tử hóa giá trị các mẫu. - Mã hóa giá trị lượng tử của các mẫu. Trên hình 1.4 mô tả quá trình số hóa các tín hiệu tương tự và tín hiệu xung thành tín hiệu số 4 bít. Khi số hóa tín hiệu tương tự sẽ gây ra sai số lượng tử (xem hình 1.4a), nhưng khi số hóa tín hiệu xung thì ngoài sai số lượng tử còn có sai số về pha (xem hình 1.4b). x(t) x(t) 4 4 2 2 t t 0 0 x(nT) x(nT) 4 4 2 2 n nT 0 0 x(nT) x(nT) 4 4 2 2 nT nT 0 0 Bít 3 Bít 3 0 nT 0 nT Bít 2 Bít 2 nT nT 1 1 Bít 1 Bít 1 nT 0 nT 0 Bít 0 Bít 0 nT nT 1 1 a. Số hóa tín hiệu tương tự. b. Số hóa tín hiệu xung. Hình 1.4 : Quá trình số hóa tín hiệu liên tục. Cả ba bước của quá trình số hóa tín hiệu liên tục được thực hiện trên bộ biến đổi tương tự số, viết tắt là ADC (Analog Digital Converter). Để biến đổi tín hiệu số thành tín hiệu tương tự, sử dụng bộ biến đổi số tương tự, viết tắt là DAC (Digital Analog Converter). Tín hiệu tương tự ở đầu ra của DAC có giá trị lượng tử như trên hình 1.1b . 1.1.2 Khái niệm và phân loại hệ xử lý tín hiệu 1.1.2a Khái niệm về xử lý tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu 1. Xử lý tín hiệu là thực hiện các tác động lên tín hiệu như khuyếch đại, suy giảm, chọn lọc, biến đổi, khôi phục .... giá trị và dạng của tín hiệu. 2. Hệ xử lý tín hiệu là các mạch điện, các thiết bị, các hệ thống dùng để xử lý tín hiệu. Vậy xử lý tín hiệu đồng nghĩa với gia công tín hiệu, và hệ xử lý tín hiệu thực hiện các tác động lên tín hiệu theo một quy luật nhất định. 9
Hệ xử lý tín hiệu có thể chỉ là một mạch điện đ ơn giản, cũng có thể là những thiết bị hoặc hệ thống phức tạp. Mỗi hệ xử lý tín hiệu cho dù là đơn giản hay phức tạp đều có những đặc thù riêng phụ thuộc vào loại tín hiệu mà nó xử lý. Các loại tín hiệu khác nhau cần có các hệ xử lý tín hiệu khác nhau. Vì thế, việc phân tích và tổng hợp các hệ xử lý tín hiệu luôn gắn liền với việc nghiên cứu và phân tích loại tín hiệu mà nó xử lý. 1.1.2b Phân loại các hệ xử lý tín hiệu Các hệ xử lý tín hiệu được phân loại theo nhiều cách khác nhau, ở đây trình bầy cách phân loại theo tín hiệu mà nó xử lý. 1 . Hệ tương tự : (Analog System) Là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý tín hiệu tương tự. Nhiều tài liệu gọi hệ tương tự theo tiếng Anh là hệ Analog. 2 . Hệ xung : (Impulse System) Là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý tín hiệu xung. Hệ xung còn có thể được gọi là hệ gián đoạn theo thời gian (Discrete-Time System). 3 . Hệ số : (Digital System) Là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý tín hiệu số. Các hệ số không có máy tính hoặc hệ thống vi xử lý, chỉ thực hiện xử lý tín hiệu số bằng mạch phần cứng, thường được gọi là các mạch logic hoặc mạch số. Các hệ số thực hiện xử lý tín hiệu số bằng phần mềm cần có máy tính hoặc hệ thống vi xử lý. Về thực chất, việc xử lý tín hiệu số bằng phần mềm là xử lý các d ãy số liệu, tức là xử lý số. Vì thế, có thể coi các chương trình chạy trên máy tính là các hệ xử lý số liệu. Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số, người ta thường sử dụng thuật ngữ “ hệ xử lý tín hiệu số “ (Digital Signal Processing System). hay ngắn gọn là ” hệ xử lý số “ (Digital Processing System). Để ngắn gọn và bao hàm cả hệ xử lý tín hiệu số lẫn hệ xử lý số liệu, trong sách này sử dụng thuật ngữ “ hệ xử lý số “. 4. Hệ xử lý số tín hiệu : (Digital Processing System of Signal) Hệ xử lý số tín hiệu là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý cả tín hiệu số lẫn tín hiệu tương tự bằng phương pháp số. Như vậy, hệ xử lý số tín hiệu bao gồm cả hệ tương tự và hệ xử lý số. Phần ADC Phần DAC Phần tương tự 1 xử lý số tương tự 2 Hình 1.5 : Sơ đồ khối của hệ xử lý số tín hiệu. Sơ đồ khối của hệ xử lý số tín hiệu trên hình 1.5, trong đó phần tương tự 1 để xử lý tín hiệu tương tự. Tín hiệu tương tự sau khi được số hóa bởi ADC trở thành tín hiệu số, và sẽ được xử lý bởi phần xử lý số. DAC thực hiện biến đổi tín hiệu số thành tín hiệu tương tự, và nó được xử lý tiếp bằng phần tương tự 2. Như vậy, ADC và DAC là các phần tử nối ghép giữa phần tương tự và phần số của các hệ xử lý số tín hiệu. Trong nhiều trường hợp, tín hiệu tương tự sau khi đã được xử lý số không cần biến đổi trở về dạng tương tự, hệ xử lý số tín hiệu như vậy sẽ không có bộ biến đổi DAC và phần tương tự 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực xử lý tín hiệu số là các hệ xử lý số, cũng như tín hiệu số và các dãy số liệu. 10
Dãy số 1.2 Dãy số được dùng để biểu diễn số liệu v à tín hiệu số, cũng như để mô tả hệ xử lý số, do đó trước hết cần nghiên cứu về các dãy số và các phép toán trên chúng. 1.2.1 Các dạng biểu diễn của dãy số Dãy số có thể được biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng số liệu, đồ thị, hoặc dãy số liệu. Dưới dạng hàm số, dãy số x(n) chỉ xác định với đối số là các số nguyên n, dãy số không xác định ở ngoài các giá trị nguyên n của đối số. Ví dụ 1.1 : Dãy số x(n) được biểu diễn x(n) bằng hàm số : Khi n   0 , 3  1 1 x ( n)   Khi n   0 , 3  0 n - Biểu diễn dãy số x(n) dưới dạng bảng số -1 0 1 2 3 4 Hình 1.6 : Đồ thị dãy x(n) liệu ở bảng 1.1. Bảng 1.1 ... -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ... n -  x(n) 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 - Biểu diễn đồ thị của dãy x(n) trên hình 1.6,   - Biểu diễn dãy x(n) dưới dạng dãy số liệu : x( n)  ... , 0 , 1 , 1, 1 , 1 , 0 , 0 , ...  Trong đó ký hiệu  để chỉ số liệu ứng với điểm gốc n = 0. 1.2.2 Phân loại các dãy số 1.2.2a Dãy xác định và dãy ngẫu nhiên  Dãy x(n) xác định là dãy có giá trị biến thiên theo quy luật v à có thể biểu diễn được bằng một hàm số toán học.  Dãy x(n) ngẫu nhiên là dãy có giá trị biến thiên ngẫu nhiên và không thể biểu diễn được bằng hàm số toán học. 1.2.2b Dãy tuần hoàn và dãy không tuần hoàn  Dãy xp(n) tuần hoàn là dãy có giá trị l ặp lại và thỏa mãn biểu thức : x p (n )  x p ( n  kN ) [1.2-1] Trong đó, hệ số k có thể nhận giá trị nguyên bất kỳ, hằng số nguyên N được gọi là chu kỳ. Dãy tuần hoàn xp(n) còn các tham số sau : 1 - Tần số lặp lại : f [1.2-2] N 2   2 . f  - Tần số góc : [1.2-3] N  Dãy x(n) không tuần hoàn là dãy không tồn tại một số N hữu hạn để giá trị của nó được lặp lại và thỏa mãn biểu thức [1.2-1]. Tuy nhiên, có thể coi dãy không tuần hoàn là dãy tuần hoàn có chu kỳ N = . 1.2.2c Dãy hữu hạn và dãy vô hạn  Dãy x(n) hữu hạn là dãy có số mẫu N <  . Dãy x(n) hữu hạn có N mẫu được ký hiệu là x(n)N.  Dãy x(n) vô hạn là dãy có vô hạn mẫu. Khoảng xác định của d ãy vô hạn có thể là n  (-  , ) ; n  (0 , ) ; hoặc n  (-  , 0). 1.2.2d Dãy một phía và dãy hai phía  Dãy x(n) là dãy một phía nếu n  (0 , ) hoặc n  (-  , 0).  Dãy x(n) là dãy hai phía nếu n  (-  , ). N 1 Ví dụ 1.2 : - Dãy x1 (n)   2 k là dãy một phía hữu hạn có độ dài N . k 0 N k 2 l à dãy hai phía hữu hạn, độ dài L = 2N + 1. - Dãy x 2 (n )  k  N  k 2 là dãy một phía vô hạn. - Dãy x 3 (n )  k 0  k 2 l à dãy hai phía vô hạn. - Dãy x 4 (n )  k   1.2.2e Dãy chẵn và dãy lẻ  Dãy x(n) là dãy chẵn nếu x(n) = x(-n) . Dãy chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung, nên còn được gọi là dãy đối xứng. 11
 Dãy x(n) là dãy lẻ nếu x(n) = - x(-n) . Dãy l ẻ có đồ thị phản đối xứng qua gốc toạ độ, nên còn được gọi là dãy phản đối xứng. 1.2.2f Dãy thực và dãy phức  Dãy x(n) thực l à dãy hàm số thực. Hầu hết các dãy biểu di ễn tín hiệu số và hệ xử lý số đều là dãy thực.  Dãy x(n) phức là dãy hàm số phức x(n) = a(n) + j.b(n) Mọi dãy x(n) bất kỳ có thể thuộc một hoặc nhiều nhóm trong các phân loại trên. Ví dụ 1.3 : - Dãy x( n)  e (   j ) n là dãy phức, hai phía, tuần hoàn, vô hạn. - Dãy x(n) = cos(.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, chẵn, vô hạn. - Dãy x(n) = sin(.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, lẻ, vô hạn. x(n) 1 0,6 0,6 ..... ..... n -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2345678 Hình 1.7 : Đồ thị dãy x(n) của ví dụ 1.4. Ví dụ 1.4 : - Dãy x(n) trên hình 1.7 là y(n) dãy xác định, hai phía, chẵn và đối xứng, vô hạn, tuần hoàn v ới chu kỳ N 1 0,8 0,6 = 5. 0,4 0,2 - Dãy y(n) trên hình 1.8 là dãy n xác định, một phía, không tuần hoàn, -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 có độ dài hữu hạn N = 5. Hình 1.8 : Đồ thị dãy y(n) 1.2.3 Các dãy cơ bản Dưới đây là các dãy cơ bản được sử dụng trong xử lý tín hiệu số. 1.2.3a Dãy xung đơn vị (n) (n) Dãy xung đơn vị (n) đối với hệ xử lý số có vai trò tương đương 1 như hàm xung Dirăc (t) trong hệ tương tự, nhưng dãy (n) đơn giản hơn. Dãy xung đơn vị (n) có hàm n số như sau : -2 -1 0 1 2 Khi n  0 1  ( n)   Hình 1.9 : Đồ thị dãy (n) [1.2-4] Khi n  0 0 Đồ thị dãy (n) trên hình 1.9. Dãy (n) chỉ có một mẫu tại n = 0 với giá trị bằng 1, nên (n) là dãy hữu hạn có độ dài N = 1. (n - 5) (n + 5) 1 1 n n -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 Hình 1.10 : Đồ thị các dãy (n - 5) và (n + 5) Mở rộng có dãy xung đơn vị (n - k) , với k là hằng số dương hoặc âm : Khi n  k 1  (n  k )   [1.2-5] Khi n  k 0 Trên hình 1.10 là đồ thị của các dãy xung đơn vị (n - 5) v à (n + 5) 1.2.3b Dãy bậc thang đơn vị u(n) Dãy bậc thang đơn vị u(n) đối với hệ xử lý số có vai trò gi ống như hàm bậc thang đơn vị 1(t) trong hệ u(n) tương tự. Dãy bậc thang đơn vị u(n) có hàm số như sau : 1 .... 12 n -1 0 1 2 3 .... 
Khi n  0 0 u ( n)   [1.2-6] Khi n  0 1 Dãy u(n) là dãy một phía, vô hạn, và tuần hoàn với chu kỳ N = 1. Hình 1.11: Đồ thị dãy u(n) Đồ thị của dãy bậc thang đơn vị u(n) trên hình 1.11. Mở rộng có dãy bậc thang đơn vị u(n - k), v ới k l à hằng số dương hoặc âm: Khi n  k 0 u (n  k )   [1.2-7] Khi n  k 1 Trên hình 1.12 là đồ thị của các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2) và u(n + 2). u(n - 2) u(n + 2) 1 1 .... .... n n -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 .... ....   Hình 1.12 : Đồ thị các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2) và u(n + 2) Vì dãy (n - k ) chỉ có một mẫu với giá trị bằng 1 tại n = k , nên nếu lấy tổng của (n - k) với k chạy từ 0 đến  , sẽ nhận được dãy u(n). Hơn nữa, trong khoảng (0  n < ) tại mọi k luôn có : u (k )  u ( k ). ( n  k )  1 Nên có thể biểu diễn dãy u(n)qua dãy (n) theo biểu thức :     (n  k )   u (k ). (n  k ) u ( n)  [1.2-8] k 0 k 0 Dãy (n) được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức :  (n)  u (n )  u ( n  1) [1.2-9] 1.2.3c Dãy chữ nhật rectN(n) Dãy chữ nhật rectN(n) có hàm số như sau : Khi n   0 , ( N  1)  1 rect N ( n)   [1.2-10] Khi n   0 , ( N  1)  0 Dãy chữ nhật rectN(n) là dãy một phía, có độ dài hữu hạn N và rectN(n) xác định trong miền n  [0 , (N-1)], 1 tuần hoàn v ới chu kỳ bằng 1. Đồ thị của dãy chữ nhật rectN(n) trên hình .... 1.13. n Mở rộng có dãy chữ nhật -1 0 1 2 . . . . (N-1) rectN(n - k) , với k l à hằng số dương Hình 1.13 : Đồ thị dãy rectN(n) hoặc âm : Khi n   k , ( N  k  1)  1 rect N ( n  k )   [1.2-11] Khi n   k , ( N  k  1)  0 Đồ thị của các dãy chữ nhật rect4(n - 2) và rect4(n + 2) trên hình 1.14 rect4(n - 2) rect4(n + 2) 1 1 n n -1 0 1 2 3 4 5 6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 13
Hình 1.14 : Đồ thị các dãy rect4(n - 2) và rect4(n + 2) C ó thể biểu diễn dãy rectN(n) qua dãy (n) theo biểu thức : N 1 N 1   (n  k )   rect ( k ). (n  k ) rect N ( n)  [1.2-12] N k 0 k 0 Dãy rect(n)N được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức : rect N ( n)  u ( n)  u (n  N ) [1.2-13] 1.2.3d Dãy hàm sin và hàm cosin Dãy hàm sin có dạng như sau :  2  2 n   sin  0 n  v ới  0  x( n)  sin  [1.2-14] N  N Dãy sin(0.n) là dãy vô hạn, hai phía, lẻ và phản đối xứng, liên tục, và tuần hoàn v ới chu kỳ N. Đồ thị của dãy sin(0.n) ở hình 1.15. Dãy hàm cosin có dạng như sau :  2  2 n   cos  0 n  v ới  0  x( n)  cos  [1.2-15] N  N Dãy cos(0.n) là dãy vô hạn, hai phía, chẵn và đối xứng, li ên tục, và tuần hoàn v ới chu kỳ N. sin(0.n) 0,95 0,59 n -10 -5 1 2 3 4 5 10 -0,59 -0,95 Hình 1.15 : Đồ thị dãy sin(0.n) với N = 10 1.2.4 Các phép toán đối với các dãy số 1.2.4a Phép dịch tuyến tính Định nghĩa : Dãy y(n) là dịch tuyến tính k mẫu của dãy x(n) nếu : y ( n)  x ( n  k ) [1.2-16] - Khi k > 0 là y(n) dich trễ (chậm) k mẫu so với x(n). - Khi k < 0 l à y(n) dịch sớm (nhanh) k mẫu so với x(n). Phép dịch tuyến tính dãy x(n) đi k mẫu không làm thay đổi dạng của x(n), mà chỉ đơn gi ản là gi ữ chậm hoặc đẩy nhanh nó k mẫu. Phép dịch tuyến tính còn thường được gọi vắn tắt là phép dịch. Trong xử lý tín hiệu số thường chỉ sử dụng phép dịch trễ, v à gọi là phép trễ. Phép dịch sớm rất ít khi được sử dụng. Ví dụ 1.5 : Cho dãy x(n)  u(n) , hãy xác định các dãy : a. y1 ( n)  x( n  2) b. y 2 ( n)  x(n  2) Giải : a. Vì k = 2 > 0 nên dãy y1 ( n)  x(n  2)  u (n  2) là dãy u (n) bị giữ chậm 2 mẫu, đồ thị dãy y1 ( n)  u (n  2) nhận được bằng cách dịch phải đồ thị dãy x( n)  u ( n) đi 2 mẫu theo trục tung. b. Vì k = - 2 < 0 nên dãy y 2 ( n)  x( n  2)  u (n  2) là dãy u (n) được đẩy sớm 2 mẫu, đồ thị dãy y 2 ( n)  u (n  2) nhận được bằng cách dịch trái đồ thị dãy x( n)  u( n) đi 2 mẫu theo trục tung. Đồ thị các dãy u(n), u(n - 2) và u(n + 2) trên các hình 1.11 v à 1.12. 1.2.4b Tổng đại số của các dãy Định nghĩa : Tổng đại số của M dãy xi(n) là dãy y(n) có giá tr ị mỗi mẫu bằng tổng đại số tất cả các mẫu tương ứng của các dãy thành phần. M  y ( n)  xi (n ) Kí hiệu : [1.2-17] i 1 Ví dụ 1.6 : Cho dãy x1 (n)  rect 4 (n) và dãy x 2 (n)  rect 3 ( n  1) , hãy xác định dãy y ( n)  x1 ( n)  x 2 (n) rect4(n) Giải : Có y ( n)  rect4 (n)  rect3 (n  1)   (n) 14
Để thấy rõ hơn kết quả trên, xác định y(n) bằng đồ thị như trên hình 1.16. 1 1.2.4c Phép nhân các dãy n rect3(n - 1) Định nghĩa : Tích của M dãy xi(n) là dãy -1 0 1 2 3 4 y(n) c ó giá trị mỗi mẫu bằng tích tất cả c ác mẫu tương ứng của các dãy thành phần. 1 M n  x ( n) y(n) = (n) Kí hiệu : y ( n)  [1.2-18] i -1 0 1 2 3 4 i 1 Ví dụ 1.7 : Cho dãy x1 (n)  u (n) và dãy x 2 (n)  rect 5 ( n  2) , 1 hãy xác định dãy y ( n)  x1 (n ).x 2 ( n) . n Giải : Theo định nghĩa có : Hình 1.16 :1Đồ thị3xác định -1 0 2 4 rect4(n) - rect3(n-1) = (n) y ( n)  u (n ).rect 5 ( n  2)  rect 3 (n) Để thấy rõ hơn kết quả trên, có thể giải ví dụ bằng bảng 1.2 dưới đây : Bảng 1.2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n 0 0 0 1 1 1 1 1 x1(n) = u(n) 0 1 1 1 1 1 0 0 x2(n) = rect5(n + 2) 0 0 0 1 1 1 0 0 y(n) = x1(n).x2(n) = rect3(n) Từ ví dụ trên có thể thấy rằng, tích của một dãy bất kỳ với dãy u(n) là một dãy bằng chính nó trong miền n  0. 1.2.4d Phép nhân một dãy với hằng số Định nghĩa : Tích của dãy x(n) với hằng số a là dãy y(n) c ó giá trị mỗi mẫu bằng tích của a v ới các mẫu tương ứng của x(n). Kí hiệu : y ( n)  a. x( n) [1.2-19] Phép nhân dãy x(n) với hằng số a còn thường được gọi là phép lấy tỷ lệ. Ví dụ 1.8 : Cho dãy x(n) = rect4(n) , hãy biểu diễn dãy y(n) = 2.rect4(n) dưới dạng dãy số liệu.   Giải : Dãy rect4(n) có dạng dãy số liệu là x( n)  1 , 1 , 1 ,1    Dãy y(n) = 2.rect4(n) có dạng dãy số liệu là y ( n)  2, 2 , 2 , 2  1.2.5 Khái niệm về tích chập tuyến tính 1.2.5a Định nghĩa tích chập tuyến tính : Tích chập tuyến tính giữa hai dãy x1(n) v à x2(n) là dãy y(n) được xác định và ký hiệu theo biểu thức :   y ( n)  x1 ( k ).x 2 (n  k )  x1 ( n) * x 2 (n ) [1.2-20] k   Tích chập tuyến tính thường được gọi vắn tắt là tích chập. 1.2.5b Các tính chất của tích chập 1. Tính giao hoán : x1 (n) * x 2 (n)  x 2 (n ) * x1 (n ) [1.2-21] Chứng minh : Theo công thức định nghĩa tích chập [1.2-20] có :   x (k ).x x1 (n) * x 2 (n )   k) 2 (n 1 k   Đổi biến cho biểu thức ở vế phải, đặt m = (n - k)  k = (n - m). Khi k  -  thì m   và khi k   thì m  -  , nhận được :    x (k ).x  x (n  m).x  k)  2 (n 2 ( m) 1 1 k   m Đảo cận v à đổi biến m trở về k đối với biểu thức ở vế phải, nhận được :    x (k ).x x  k)   k) 2 (n 2 ( k ).x1 ( n 1 k   k   15
Đây chính là biểu thức [1.2-21] : x1 (n) * x 2 (n)  x 2 (n ) * x1 (n ) 2. Tính kết hợp : x1 (n) * x 2 (n ) * x 3 ( n)  [ x1 ( n) * x 2 ( n)] * x3 (n ) [1.2-22] Chứng minh : áp dụng tính giao hoán cho vế trái của [1.2-22] : x1 (n) * x 2 ( n) * x3 ( n)   [ x 2 ( n) * x3 (n)] * x1 (n)           x 2 ( k ) . x3 ( n  k )  .x1 ( n  k )   x 2 ( k ) . x1 ( n  k )  .x 3 ( n  k )  [ x1 (n ) * x 2 ( n)] * x 3 ( n)   k    k    k   k    Đây chính là biểu thức ở vế phải của [1.2-22] 3. Tính phân phối : x1 (n) * x 2 ( n)  x3 ( n)  x1 (n) * x 2 (n )  x1 (n ) * x 3 ( n) [1.2-23] Chứng minh : Viết vế trái của [1.2-23] theo công thức tích chập [1.2-20] :  x1 (n) * x 2 (n )  x 3 ( n)   x (k ).[ x  k )  x3 (n  k )] 2 (n 1 k     x1 (n) * x 2 (n )  x3 ( n)    x (k ).x x1 ( k ).x 2 (n  k )   k) 2 (n 1 k   k   Vậy : x1 (n) * x 2 ( n)  x3 ( n)   x1 (n ) * x 2 (n )  x1 (n ) * x 3 ( n) Đây chính là biểu thức ở vế phải của [1.2-23]. 1.2.5c Hệ quả : Mọi dãy x(n) đều bằng tích chập của chính nó với hàm xung đơn vị (n) :   x(k ). (n  k )  x(n) * (n) x ( n)  [1.2-24] k   16
   (k ).x(n  k )   (n) * x(n) Hoặc: x( n )  [1.2-25] k   Chứng minh: Luôn có x( k )  x( k ). ( n  k ) với mọi k  (-  , ). Vì thế, khi lấy tổng các mẫu x(k) với k (-  , ), nhận được [1.2-24] . Theo tính chất giao hoán của tích chập, từ [1.2-24] nhận được [1.2-25]. tín hiệu số 1.3 1.3.1 Biểu diễn và phân loại tín hiệu số 1.3.1a Biểu diễn tín hiệu số Tín hiệu số là hàm của biến thời gian rời rạc x(nT), trong đó n là số nguyên, còn T là chu kỳ rời rạc. Để thuận tiện cho việc xây dựng các thuật toán xử lý tín hiệu số, người ta chuẩn hóa biến thời gian rời rạc nT theo chu kỳ T, nghĩa là sử dụng biến n = (nT/T). Khi đó, tín hiệu số x(nT) được biểu diễn thành dạng dãy số x(n), do đó có thể sử dụng các biểu diễn của dãy số để biểu diễn tín hiệu số, cũng như sử dụng các phép toán của dãy số để thực hiện tính toán và xây dựng các thuật toán xử lý tín hiệu số. Giống như dãy số x(n), tín hiệu số có thể được biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng số liệu, đồ thị và dãy số liệu. Người ta thường sử dụng biểu diễn tín hiệu số dưới dạng dãy số liệu có độ dài hữu hạn để xử lý tín hiệu số bằng các chương trình phần mềm. Các phép toán cơ bản được sử dụng trong xử lý tín hiệu số là cộng, nhân, nhân với hằng số, và phép trễ. Phép dịch sớm có thể được sử dụng ở các hệ xử lý số bằng phần mềm trong thời gian không thực. 1.3.1b Phân loại tín hiệu số Có thể phân loại tín hiệu số theo dạng của dãy x(n), như đã được trình bầy ở 1.2. Một số loại tín hiệu số thường gặp là: - Tín hiệu số xác định và ngẫu nhiên. - Tín hiệu số tuần hoàn và không tuần hoàn. - Tín hiệu số hữu hạn và vô hạn. - Tín hiệu số là dãy một phía. - Tín hiệu số là dãy số thực. - Tín hiệu số là dãy chẵn, và dãy lẻ. - Tín hiệu số là dãy đối xứng, và dãy phản đối xứng. Ngoài ra, theo giá trị năng lượng và công suất của tín hiệu số, người ta còn phân biệt hai loại tín hiệu số sau: - Tín hiệu số năng lượng là tín hiệu số có năng lượng hữu hạn. - Tín hiệu số công suất là tín hiệu số có công suất hữu hạn. 1.3.2 Các tham số cơ bản của tín hiệu số 1.3.2a Độ dài của tín hiệu số là khoảng thời gian tồn tại của tín hiệu tính bằng số mẫu. Độ dài của tín hiệu số đặc trưng cho khoảng thời gian mà hệ xử lý số phải xử lý tín hiệu. Tín hiệu số có độ dài hữu hạn hoặc vô hạn được 19
biểu diễn bằng dãy hữu hạn hoặc dãy vô hạn tương ứng. Độ dài hữu hạn của tín hiệu số thường được ký hiệu là N (hoặc một chữ cái khác). Tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N được xác định với đối số n  [0 , (N - 1)] , và thường được ký hiệu là x(n)N . Tín hiệu số x(n) hai phía có độ dài hữu hạn (2N + 1) được xác định với đối số n  [-N , N]. Có thể tăng độ dài của tín hiệu số hữu hạn x(n)N mà không làm thay đổi nó, bằng cách thêm vào x(n) các mẫu có giá trị bằng 0 khi n  N. 1.3.2b Giá trị trung bình của tín hiệu số bằng tổng giá trị tất cả các mẫu chia cho độ dài của tín hiệu. Giá trị trung bình x( n) của tín hiệu số x(n) được tính như sau: - Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N: N 1 1  x ( n) x( n )  [1.3-1] N n 0 - Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1): N 1  x( n )  x ( n) [1.3-2] (2 N  1) n   N - Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn: N 1 1  x ( n) x( n)  Lim [1.3-3] N N  n 0 - Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn: N 1  x( n)  Lim x ( n) [1.3-4] ( 2 N  1) n   N N  Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có giá trị trung bình hữu hạn, còn giá trị trung bình của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. 1.3.2c Năng lượng của tín hiệu số bằng tổng bình phương giá trị tất cả các mẫu của tín hiệu. Năng lượng Ex của tín hiệu số x(n) được tính như sau: - Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N: N 1 2  Ex  x (n ) [1.3-5] n 0 - Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1): N 2  Ex  x ( n) [1.3-6] n  N - Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:  2  Ex  x (n ) [1.3-7] n 0 - Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn: 20
 2  Ex  x ( n) [1.3-8] n   Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có năng lượng hữu hạn và chúng là các tín hiệu năng lượng. Năng lượng của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. 1.3.2d Công suất trung bình của tín hiệu số bằng giá trị trung bình của năng lượng tín hiệu trên một mẫu (bằng trung bình bình phương của tín hiệu). Công suất trung bình Px của tín hiệu số x(n) được tính như sau: - Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N: N 1 Ex 1 2  x 2 ( n)  Px   x (n ) [1.3-9] N N n 0 - Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1): N Ex 1 2  x 2 ( n)  Px   x (n ) [1.3-10] ( 2 N  1) ( 2 N  1) n  N - Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn: N 1 Ex 1 2  x 2 ( n)  Px  Lim  Lim x (n ) [1.3-11] N N N  N  n 0 - Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn: N Ex 1 2  x 2 ( n)  Px  Lim  Lim x (n ) [1.3-12] (2 N  1) N  ( 2 N  1) n   N N  Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có công suất trung bình hữu hạn và chúng là các tín hiệu công suất. Công suất trung bình của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Như vậy, tín hiệu số hữu hạn có giá trị trung bình, năng lượng và công suất hữu hạn, chúng là tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất. Ví dụ 1.9: Hãy xác định các tham số cơ bản của các tín hiệu số sau:   a. (n) ; b. u(n) ; c. rectN(n) ; d. x( n)  cos n  với n  [-4 , 4] 2  Giải: a. Các tham số cơ bản của tín hiệu xung đơn vị (n): - Tín hiệu số (n) có độ dài hữu hạn N = 1 . - Giá trị trung bình theo [1.3-1]:  (n )  1 0 11 - Năng lượng theo [1.3-5]: E  n 0 E 1 - Công suất trung bình theo [1.3-9]: P   1 N 1 b. Các tham số cơ bản của tín hiệu bậc thang đơn vị u(n): - Tín hiệu số u(n) có độ dài vô hạn N 1 1 N  u(n)  Lim N - Giá trị trung bình theo [1.3-3]: u ( n)  Lim 1 N N  N  n 0 21
  2 2   - Năng lượng theo [1.3-7]: Eu    u (n ) 1 n 0 n 0 - Công suất trung bình theo [1.3-11]: N 1 N 1 1 1 N 2 2  u (n)  Pu  Lim  Lim  Lim 1 1 N N N N  N  N  n 0 n 0 Vậy u(n) là tín hiệu công suất, không phải tín hiệu năng lượng. c. Các tham số cơ bản của tín hiệu xung chữ nhật rectN(n): - Tín hiệu số rectN(n) có độ dài hữu hạn N N 1 1 N  rect rect N (n)  (n)  1 - Giá trị trung bình theo [1.3-1]: N N N n 0 N 1 N 1 2 2   Ex   N rect N (n) - Năng lượng theo [1.3-5]: 1 n 0 n 0 E N - Công suất trung bình theo [1.3-9]: Px  x  1 N N   d. Các tham số cơ bản của tín hiệu số x( n)  cos n  với n  [-4 , 4]: 2  - Tín hiệu số x(n) hai phía có độ dài hữu hạn N = 2.4 + 1 = 9 - Giá trị trung bình theo [1.3-2]: 14   1      x( n )  cos n   cos(  4)  cos  3   cos(  2)  2 2 9 n  4  2  2 9            cos   cos( 0)  cos   cos 2   cos 3   cos 4   2 2 2  2   2  1 1 1  0  1  0  1  0  1  0  1  x( n )  9 9 - Năng lượng theo [1.3-6]: 4 2   cos Ex   n  1  0  1  0  1  0  1  0  1  5 2  n  4 Ex 5 - Công suất trung bình theo [1.3-10]: Px   2N  1 9 22
hệ xử lý số 1.4. 1.4.1 Mô tả hệ xử lý số Gi ống như đối với hệ tương tự, để nghiên cứu, phân tích hoặc tổng hợp các hệ xử lý số, người ta coi hệ xử lý số là một hộp đen và mô tả nó bằng quan hệ giữa tác động trên đầu vào và phản ứng trên đầu ra của hệ, quan hệ đó được gọi là quan hệ vào ra. Quan hệ vào ra của hệ xử lý số có thể được mô tả bằng biểu thức toán học, v à thông qua nó có thể xây dựng được sơ đồ khối hoặc sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số. 1.4.1a Mô tả hệ xử lý số bằng quan hệ vào ra Xét một hệ xử lý số có tác động x(n) và phản ứng y(n), khi đó quan hệ giữa chúng có thể được mô tả bằng hàm số toán học F[ ] : y(n)  F[... x(n ) ... ] [1.4-1] F Hoặc : x ( n)   y (n )  [1.4-2] Theo [1.4-1] , phản ứng y(n) phụ thuộc vào dạng của hàm số F[ ]. Dạng của hàm số F[ ] phản ảnh cấu trúc phần cứng hoặc thuật toán phần mềm của hệ xử lý số, vì thế ta có thể dùng hàm số F[ ] để mô tả hệ xử lý số. Quan hệ vào ra [1.4-1] có dạng tổng quát cụ thể như sau : y ( n )  F ... , bk x( n  k ) , ..., a r y ( n  r ), ...  [1.4-3] Trong đó : - Các thành phần của tác động bk x( n  k ) v ới k  (-  , ). - Các thành phần của phản ứng bị giữ chậm a r y( n  r ) v ới r  [1 , ). - Các hệ số a r và bk có thể bằng 0, có thể l à hằng số, có thể phụ thuộc vào tác động x(n), phản ứng y(n), hoặc biến thời gian rời rạc n. Ví dụ 1.10 : Hệ xử lý số có tác động x(n), phản ứng y(n) được mô tả bằng quan hệ vào ra y(n)  F [ ]  2 x(n)  3x(n  1) . Hệ trên có các hệ số b0 = 2 , b1 = 3 , bk = 0 v ới mọi k < 0 và k > 1 ,và ar = 0 v ới mọi r  1 1.4.1b Mô tả hệ xử lý số bằng sơ đồ khối Hệ xử lý số có thể được mô tả bằng sơ đồ khối như trên hình 1.17. x(n) y(n) F[ ] Hình 1.17 : Sơ đồ khối của hệ xử lý số Hệ xử lý số phức tạp có thể được mô tả bằng sơ đồ khối với sự li ên kết của nhiều khối Fi[ ] như trên hình 1.18. x(n) y(n) F1[ ] F2[ ] F3[ ] Hình 1.18 : Sơ đồ khối của hệ xử lý số phức tạp Nếu thay các biểu thức Fi[ ] của sơ đồ khối trên bằng chức năng của các khối thì đó là sơ đồ khối chức năng. Ví dụ 1.11 : Trên hình 1.19 là sơ đồ khối của hệ xử lý số có quan hệ vào ra cho ở ví dụ 1.10 : y(n)  F [ ]  2 x(n)  3 x(n  1) . y(n) x(n) 2x(n) + 3x(n - 1) Hình 1.19 : Sơ đồ khối của hệ xử lý số y ( n)  2 x( n)  3 x(n  1) 1.4.1c Mô tả hệ xử lý số bằng sơ đồ cấu trúc Dựa trên quan hệ v ào ra [1.4-1], cũng có thể mô tả hệ xử lý số bằng sơ đồ cấu trúc. ở đây, cần phân biệt sự khác nhau giữa sơ đồ khối v à sơ đồ cấu trúc. Sơ đồ cấu trúc gồm các phần tử cơ sở biểu diễn các phép toán trên các tín hiệu số hoặc dãy số liệu. Sơ đồ khối có mỗi khối đặc trưng cho một cấu trúc lớn, mà chính nó có thể được mô tả bằng sơ đồ khối chi ti ết hơn hoặc sơ đồ cấu trúc. Về phương diện phần cứng thì sơ đồ khối cho biết cấu trúc tổng thể của hệ xử lý số, còn sơ đồ cấu trúc cho phép thiết kế và thực hiện một hệ xử lý số cụ thể. Về phương diện phần mềm thì sơ đồ khối chính l à thuật 23
toán tổng quát của một chương trình xử lý số liệu mà mỗi khối có thể xem như một chương trình con, còn sơ đồ cấu trúc là thuật toán chi tiết mà từ đó có thể viết được các dòng lệnh của một chương trình hoặc chương trình con. Các phần tử cấu trúc được xây dựng trên cơ sở các phép toán đối với các dãy số là cộng, nhân, nhân v ới hằng số, dịch trễ và dịch sớm. 1. Phần tử cộng : Phần tử cộng dùng để cộng hai hay nhiều tín hiệu số, nó là phần tử không nhớ và được ký hi ệu như trên hình 1.22. x1(n) y(n) y(n) x1(n) + + x2(n) xi(n) x2(n) xM(n) M  x ( n) a. y(n) = x1(n) + x2(n) b. y ( n )  i i 1 Hình 1.20 : Ký hi ệu phần tử cộng. Mạch phần cứng có bộ cộng hai tín hiệu số như ở hình 1.20a , chúng là vi mạch cộng hai dãy số mã nhị phân 4 bit hoặc 8 bit. 2. Phần tử nhân : Phần tử nhân dùng để nhân hai hay nhiều tín hiệu số, nó là phần tử không nhớ và được ký hi ệu như trên hình 1.21. x1(n) y(n) y(n) x1(n) X X x2(n) xi(n) x2(n) xM(n) M  x ( n) a. y(n) = x1(n) . x2(n) b. y ( n)  i i 1 Hình 1.21 : Ký hi ệu phần tử nhân. Mạch phần cứng có bộ nhân hai tín hiệu số như ở hình 1.21a , chúng là vi mạch nhân hai số mã nhị phân 4 bit hoặc 8 bit. 3. Phần tử nhân với hằng số : Phần tử nhân với hằng số dùng để nhân một tín hiệu số với một hằng số, nó là phần tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.22. x(n) y(n) = a.x(n) a Hình 1.22 : Ký hiệu phần tử nhân với hằng số. Để nhân tín hiệu số x(n) với hằng số a, sử dụng bộ nhân hai số với một đầu v ào là tín hiệu số x(n), còn đầu v ào kia là giá trị mã của a. 4. Phần tử trễ đơn vị : Phần tử trễ đơn vị dùng để giữ trễ tín hiệu số x(n) một mẫu, nó là phần tử có nhớ và được ký hiệu như ở hình 1.23. x(n) y(n) = x(n - 1) D Hình 1.23 : Ký hiệu phần tử trễ đơn vị. Đối với mạch phần cứng, để thực hiện giữ trễ tín hiệu số x(n), người ta sử dụng bộ ghi dịch, thanh ghi chốt hoặc bộ nhớ, chúng thường được sản xuất dưới dạng vi mạch số 4 bit hoặc 8 bit. 5. Phần tử vượt trước đơn vị : Phần tử v ượt trước đơn vị dùng để đẩy sớm tín hiệu số một mẫu (đẩy nhanh một nhịp), nó là phần tử có nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.24. y(n) = x(n + 1) x(n) AD 24
Hình 1.24 : Ký hi ệu phần tử vượt trước đơn vị. Phần tử vượt trước đơn vị là phần tử không thể thực hiện được trên thực tế, nên không có mạch phần cứng, nó chỉ được dùng để mô tả các hệ xử lý số là thuật toán phần mềm. Để xây dựng sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số, cần liên kết các phần tử cấu trúc cơ sở theo dạng hàm số mô tả quan hệ vào ra của hệ. Ví dụ 1.12 : Trên hình 1.25 là sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số có quan hệ v ào ra đã được nêu ở ví dụ 1.10 : y ( n)  2 x( n)  3x(n  1) 2.x(n) x(n) y(n) + 2 x(n - 1) 3.x(n - 1) D 3 Hình 1.25 : Sơ đồ cấu trúc của hệ xử l ý số y ( n)  2 x( n)  3 x(n  1) . 1.4.2 Phân loại hệ xử lý số theo quan hệ vào ra Theo giá trị và tính chất của các hệ số a r và bk trong quan hệ v ào ra tổng quát [1.4-3] , người ta phân l oại hệ xử lý số như dưới đây. 1.4.2a Hệ xử lý số không nhớ và có nhớ  Hệ xử lý số không nhớ là hệ có phản ứng chỉ phụ thuộc vào tác động ở cùng thời điểm và có quan hệ vào ra : y ( n)  F b0 x(n )  [1.4-4] Trong đó, hệ số b0 có thể là hằng số, phụ thuộc vào x(n) hoặc n.  Hệ xử lý số có nhớ là hệ có phản ứng phụ thuộc v ào tác động ở các thời điểm hiện tại và quá k hứ theo quan hệ vào ra [1.4-3]. Ví dụ 1.13 : - Hệ xử lý số có quan hệ vào ra y ( n)  n.x( n) là hệ không nhớ. - Hệ xử lý số có quan hệ vào ra y ( n)  2 x (n)  3 x (n  1) là hệ có nhớ. 1.4.2b Hệ xử lý số tuyến tính và phi tuyến  Hệ xử lý số tuyến tính là hệ có quan hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động, đồng thời thỏa mãn nguyên lý xếp chồng.  Hệ xử lý số phi tuyến là hệ không thỏa mãn một trong các điều kiện trên. Quan hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động được phát biểu như sau : Hệ xử lý số có quan hệ hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động, nếu và chỉ nếu tác động x(n) gây ra phản ứng y(n), thì tác động a.x(n) gây ra phản ứng a.y(n), v ới a là hằng số. Theo quan hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động, hệ xử lý số tuyến tính có quan hệ vào ra thỏa mãn điều kiện : Nếu : F [ x(n)]  y( n) Thì : F [ a.x( n)]  a.F[ x( n)]  a. y ( n) [1.4-5] Hệ xử lý số có quan hệ v ào ra không thỏa mãn [1.4-5] là hệ phi tuyến. Nguyên lý xếp chồng được phát biểu như sau : Hệ xử lý số tuyến tính dưới tác động là xếp chồng c ủa nhiều tác động xk(n) s ẽ có phản ứng y(n) bằng xếp chồng của các phản ứng yk(n) do mỗi tác động thành phần xk(n) gây ra. Theo nguyên lý xếp chồng, hệ xử lý số tuyến tính có quan hệ vào ra thỏa mãn điều kiện : Nếu : F [ x k ( n)]  y k (n ) m m m     Thì : F  a k .x k ( n)  a k .F [ x k ( n)]  a k . y k ( n)  y (n) [1.4-6]  k 1  k 1 k 1 Hệ xử lý số có quan hệ v ào ra không thỏa mãn [1.4-6] là hệ phi tuyến. Rõ ràng, điều kiện [1.4-5] chỉ là một trường hợp riêng của điều kiện [1.4-6] khi m = 1, tức là nguyên lý xếp chồng đã bao hàm cả quan hệ bậc nhất, do đó có thể phát biểu : Hệ xử lý số là hệ tuyến tính nếu v à chỉ nếu quan hệ vào ra của nó thỏa mãn nguyên lý xếp c hồng theo điều kiện [1.4-6]. 25
Để thoả mãn điều kiện [1.4-6], thì hệ xử lý số tuyến tính phải có quan hệ v ào ra tổng quát [1.4-3] với tất cả các hệ số a r và bk không phụ thuộc vào tác động x(n) hoặc phản ứng y(n), nhưng có thể phụ thuộc vào biến thời gian rời rạc n. Ví dụ 1.14 : Hãy xét tính tuyến tính của các hệ xử lý số sau : b . y (n )  x 2 ( n) a. y ( n)  n.x( n) Giải : a. Phản ứng của hệ đối với hai tác động riêng rẽ x1(n) và x2(n) : y1 ( n)  n.x1 ( n)  F [ x1 (n)] y 2 ( n)  n.x 2 ( n)  F [ x 2 ( n)] Phản ứng của hệ đối với tác động xếp chồng x( n)  [a1 x1 (n )  a 2 x 2 (n )] : y ( n)  F [a1 x1 (n )  a 2 x 2 ( n)]  n.[a1 x1 (n )  a 2 x 2 ( n)] y ( n)  n.a1 .x1 (n )  n. a 2 .x 2 ( n)  a1 .[ n.x1 (n )]  a 2 .[ n.x 2 (n )] Vậy : y ( n)  a1 y1 ( n)  a 2 y 2 ( n)  a1 .F [ x1 (n )]  a 2 .F [ x 2 (n )] Hệ a có quan hệ vào ra thỏa mãn điều kiện [1.4-6] nên là hệ tuyến tính. b. Phản ứng của hệ đối với hai tác động riêng rẽ x1(n) và x2(n) : y1 ( n)  x12 (n )  F [ x1 (n )] 2 y 2 ( n)  x 2 ( n)  F [ x 2 ( n)] Phản ứng của hệ đối với tác động xếp chồng x( n)  [a1 x1 ( n)  a 2 x 2 (n)] : y ( n)  F [ a1 x1 ( n)  a 2 x 2 (n)]  [a1 x1 ( n)  a 2 x 2 ( n)] 2 y ( n)  a1 . x12 (n )  2.a1 .a 2 . x1 ( n).x 2 (n )  a 2 x 2 ( n) 2 22 2 2 y ( n)  a1 . y1 (n )  2.a1 .a 2 .x1 ( n).x 2 ( n)  a 2 . y 2 (n ) Vậy : y ( n)  a1 .F [ x1 (n )]  a 2 .F [ x 2 ( n)] Hệ b có quan hệ vào ra không thỏa mãn điều kiện [1.4-6] nên là hệ phi tuyến. Cũng có thể nhận được ngay kết quả trên khi nhận xét rằng, hệ a có quan hệ vào ra y ( n)  n.x( n) , v ới hệ số b0  n không phụ thuộc v ào tác động v à phản ứng nên là hệ tuyến tính. Hệ b có quan hệ vào ra y ( n)  x 2 ( n)  x( n). x(n ) , với hệ số b0  x (n ) nên là hệ phi tuyến. 1.4.2c Hệ xử lý số bất biến và không bất biến  Hệ xử lý số bất biến là hệ có tác động x(n) dịch k mẫu thì phản ứng y(n) cũng chỉ dịch cùng chiều k mẫu mà không bị biến đổi dạng. Hệ xử lý số bất biến có quan hệ vào ra thỏa mãn điều kiện : Nếu : F [ x k ( n)]  y k (n ) Thì : F [ x(n  k )]  y (n  k ) [1.4-7] Và hệ xử lý số có quan hệ vào ra thoả mãn [1.4-7] l à hệ bất biến. Để thoả mãn điều kiện [1.4-7], thì hệ xử lý số bất biến phải có quan hệ vào ra tổng quát [1.4-3] với tất cả các hệ số a r và bk không phụ thuộc vào vào biến thời gian rời rạc n, nhưng có thể phụ thuộc tác động x(n) hoặc phản ứng y(n).  Hệ xử lý số không bất biến là hệ có quan hệ vào ra không thỏa mãn điều kiện [1.4-7]. Ví dụ 1.15 : Hãy xét tính bất biến của các hệ xử lý số sau : b . y ( n)  x 2 (n ) a. y ( n)  n.x( n) Giải : a. Với tác động x(n) thì tại thời điểm (n  k ) hệ a có phản ứng : y ( n  k )  (n  k ).x (n  k ) Còn với tác động x( n  k ) thì phản ứng là n.x( n  k )  y ( n  k ) . Hệ a có quan hệ vào ra không thỏa mãn [1.4-7] nên là hệ không bất biến. b. Với tác động x(n) thì tại thời điểm (n  k ) hệ b có phản ứng : y(n  k )  x 2 (n  k ) Còn với tác động là x( n  k ) thì phản ứng l à x 2 ( n  k )  y ( n  k ) . Hệ b có quan hệ v ào ra thỏa mãn điều kiện [1.4-7] nên là hệ bất biến. Có thể nhận được ngay kết quả trên khi nhận xét rằng, hệ a có quan hệ vào ra y ( n)  n.x( n) , với hệ số b0  n nên là hệ không bất biến. Hệ b có quan hệ vào ra y ( n)  x 2 ( n)  x( n).x(n ) , với hệ số b0  x (n ) không phụ thuộc vào biến rời rạc n nên là hệ bất biến. Các hệ xử lý số tuyến tính v à bất biến theo thời gian (được viết tắt là hệ xử lý số TTBB) có quan hệ vào ra tổng quát dạng [1.4-3] : 26
y ( n )  F ... , bk x( n  k ) , ..., a r y ( n  r ), ...  v ới tất cả các hệ số a r v à bk đều là hằng số. Các hệ xử lý số TTBB là một lớp hệ xử lý số thường gặp trong thực tế, đồng thời các công cụ toán học để phân tích, tổng hợp chúng đã được nghiên cứu khá đầy đủ. 1.4.2d Hệ xử lý số nhân quả và không nhân quả  Hệ xử lý số nhân quả là hệ có phản ứng chỉ phụ thuộc v ào tác động ở các thời điểm quá khứ và hiện tại, không phụ thuộc vào tác động ở các thời điểm tương lai. Hệ xử lý số nhân quả luôn thỏa mãn điều kiện : Nếu : Tác động x(n) = 0 với mọi n < k Phản ứng y(n) = 0 v ới mọi n < k Thì : [1.4-8] Và hệ xử lý số có quan hệ vào ra thoả mãn [1.4-8] l à hệ nhân quả. Hi ểu một cách nôm na thì hệ xử lý số nhân quả phải có tác động là nguyên nhân thì mới có phản ứng là kết quả, tức là phản ứng không thể xuất hiện trước tác động. Để thoả mãn điều kiện [1.4-8], hệ xử lý số nhân quả phải có quan hệ vào ra [1.4-3] v ới các thành phần của tác động bk x (n  k ) chỉ có k  0 , do đó hệ xử lý số nhân quả có quan hệ v ào ra [1.4-3] v ới k  0 và r  1 : y ( n )  F b0 x( n) , ... , bk x (n  k ) , ..., a r y (n  r ), ...  [1.4-9] . Hệ xử lý số không nhân quả : Hệ xử lý số có phản ứng phụ thuộc vào tác động ở các thời điểm tương lai là hệ không nhân quả. Hệ không nhân quả có quan hệ vào ra không thỏa mãn điều kiện [1.4- 8]. Vì trong thời gian thực không thể biết được giá trị của tín hiệu ở t ương lai, nên không thể thực hiện được các hệ xử lý số không nhân quả. Tuy nhiên, trong trường hợp giá trị của tín hiệu số đã được lưu giữ trong bộ nhớ của máy tính và quá trình xử lý số liệu không cần tiến hành trong thời gian thực, thì có thể thực hiện được hệ xử lý số liệu không nhân quả. Nh ư v ậy, trên thực tế không có hệ xử lý tín hiệu số không nhân quả, nhưng có thể xây dựng được hệ xử lý số liệu không nhân quả. Ví dụ 1.16 : Xét tính nhân quả của các hệ xử lý số sau : a. y ( n)  n.x( n) b . y ( n)  3 x ( n  2) Gi ải : a. Hệ xử lý số a có phản ứng chỉ phụ thuộc vào tác động ở thời điểm hiện tại nên là hệ nhân quả , quan hệ vào ra của nó thỏa mãn điều kiện [1.4-8] : Khi tác động x(n) = 0 thì phản ứng y(n) = 0 . b. Xét tại n = 0 thì phản ứng y(0) = 3x(2), hệ xử lý số b có phản ứng phụ thuộc vào tác động ở thời điểm tương lai nên là hệ không nhân quả, quan hệ v ào ra của nó không thỏa mãn điều kiện [1.4-8]. Các hệ xử lý số tuyến tính, bất biến và nhân quả (được viết tắt là hệ xử lý số TTBBNQ) có quan hệ vào ra tổng quát [1.4-3] là : y ( n )  F b0 x( n) , ... , bk x (n  k ) , ..., a r y (n  r ), ...  v ới k  0 , r  1 v à tất cả các hệ số a r và bk đều là hằng số. Quyển sách này sẽ chỉ trình bầy về các hệ xử lý số TTBB , trong đó chủ yếu là v ề các hệ xử lý số TTBBNQ 1.4.2e Hệ xử lý số đệ quy và không đệ quy  Hệ xử lý số không đệ quy là hệ có phản ứng y(n) chỉ phụ thuộc v ào tác động x(n). 27
Hệ xử lý số nhân quả không đệ quy có quan hệ vào ra [1.4-9] không có các thành phần của phản ứng ở quá khứ a r y ( n  r ) : y (n)  F  b0 x ( n), b1 x (n  1), ..., bk x ( n  k ) , ...  [1.4-10] Quan hệ vào ra [1.4-10] được gọi là quan hệ vào ra không đệ quy.  Hệ xử lý số đệ quy là hệ có phản ứng y(n) phụ thuộc v ào cả tác động bk x( n  k ) lẫn phản ứng ở quá khứ a r y ( n  r ) . Hệ xử lý số nhân quả đệ quy có quan hệ v ào ra [1.4-9] với r  1 : y ( n )  F b0 x( n ) , ... , bk x( n  k ) , ..., a r y (n  r ), ...  [1.4-11] Quan hệ vào ra [1.4-11] được gọi là quan hệ vào ra đệ quy. Ví dụ 1.17 : - Hệ xử lý số y ( n)  x( n)  3 x(n  1) là hệ không đệ quy. - Hệ xử lý số y ( n)  2 x( n)  3x( n  1)  3 y( n  1) là hệ đệ quy. - Cả hai hệ xử lý số trên đều là hệ TTBBNQ v ì chúng có k  0 v à tất cả các hệ số a r , bk đều là hằng số. đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số 1.5 Tuyến Tính Bất Biến Nhân Quả 1.5.1 Đặc tính xung của hệ xử lý số TTBB 1.5.1a Định nghĩa : Đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số là phản ứng của hệ khi tác động là dãy xung đơn v ị (n) : h( n)  F [ ( n)] [1.5-1] Một số tài liệu về xử lý tín hiệu số gọi h(n) là “đáp ứng xung ” do dịch sát nghĩa thuật ngữ tiếng Anh “ i mpulse response “. Trong quyển sách này chúng tôi dùng thuật ngữ “ đặc tính xung “, vì đây là thuật ngữ tiếng Việt có khái niệm tương ứng đã được sử dụng trong môn học lý thuyết mạch, là môn học có quan hệ rất gần gũi và có nhiều điểm tương đồng với xử lý tín hiệu số. Do tính chất đặc biệt của dãy xung đơn vị (n) nên dựa vào đặc tính xung h(n), có thể nghiên cứu và giải quyết được nhiều vấn đề của các hệ xử lý số TTBBNQ. 1.5.1b Đặc tính xung của hệ xử lý số tuyến tính Theo [1.2-24] , mọi dãy x(n) đều có thể biểu diễn dưới dạng :   x(k ). (n  k )  x(n) * (n) x ( n)  k   Từ đó, có quan hệ v ào ra :    x( k ) (n  k )  y ( n)  F [ x( n)]  F  [1.5-2]  k   Vì hệ xử lý số tuyến tính thỏa mãn đi ều kiện [1.4-6], nên từ [1.5-2] có :     x(k ).h(n , k ) x(k ) . F [ (n  k )]  y ( n)  [1.5-3] k   k   Trong đó: h (n , k )  F [ ( n  k )] [1.5-4] So sánh [1.5-4] v ới biểu thức định nghĩa đặc tính xung [1.5-1], thì h(n, k) chính là đặc tính xung của hệ xử lý số ứng với tác động là dãy xung đơn vị bị dịch trễ k mẫu (n - k). Như v ậy, đặc tính xung h(n, k) của hệ xử lý số tuyến tính không chỉ phụ thuộc vào biến n mà còn phụ thuộc vào chỉ số k là thời điểm tác động của xung đơn vị (n - k). 1.5.1c Đặc tính xung của hệ xử lý số TTBB Vì hệ xử lý số TTBB thỏa mãn điều kiện [1.4-7], nên từ [1.5-4] có : h(n , k )  F [ (n  k )]  h (n  k ) [1.5-5] Theo [1.5-5] , đặc tính xung h(n, k) của hệ xử lý số TTBB chính là đặc tính xung h(n) bị dịch trễ k mẫu. Thay [1.5-5] vào [1.5-3] nhận được :   x (k ).h(n  k ) y(n)  [1.5-6] k   Đối chiếu quan hệ vào ra [1.5-6] với công thức định nghĩa tích chập [1.2-20], thì quan hệ v ào ra [1.5-6] chính là tích chập của tác động x(n) v ới đặc tính xung h(n), nên có : 31