Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một vài hướng phát triển của các định lý giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> --------------------------------------------<br /> <br /> Giang Dậu Bạc<br /> <br /> MỘT VÀI HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA<br /> CÁC ĐỊNH LÝ GIAO HOÁN<br /> <br /> Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số<br /> Mã số: 60 46 05<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:<br /> PGS-TS: BÙI TƯỜNG TRÍ<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh - 2009<br /> <br /> DANH MỤC CÁC KYÙ HIEÄU<br /> E(M )<br /> D<br /> Dk<br /> F (G )<br /> J ( R) hoặc J<br /> J ( R) = (0).<br /> <br /> M hoặc G<br /> N<br /> o( G )<br /> <br /> R<br /> <br />  Ri<br /> <br /> Ta<br /> [ x; y ]<br /> [ x1; x2 ;....; xn ]<br /> <br /> x 1 y 1xy<br /> [ x; y ]<br /> [ x1; x2 ;....; xn ]<br /> x 1 y 1xy<br /> Z , R( Z )<br /> 2<br /> <br /> : Vành các tự đồng cấu trên nhóm cộng giao hoán của M<br /> : Vành chia.<br /> :Vành các ma trận n  n với các phần tử thuộc D.<br /> : là đại số nhóm G trên trường F<br /> : Căn Jacobson.<br /> : R là vành nửa đơn<br /> : Nhóm cộng hoặc nhân<br /> : Tập các phần tử lũy linh.<br /> : Cấp của nhóm G<br /> : Vành.<br /> : Tổng trực tiếp (con) của các vành Ri .<br /> : Tự đồng cấu trên nhóm M : Ta (m)  ma<br /> : Giao hoán tử cộng.<br /> : Giao hoán tử cộng cấp n.<br /> : Giao hoán tử nhân.<br /> : Giao hoán tử cộng.<br /> : Giao hoán tử cộng cấp n.<br /> : Giao hoán tử nhân.<br /> : Tâm của vành R .<br /> : Trường gồm hai phần tử là 0, 1<br /> <br /> THUẬT NGỮ<br /> <br /> TRANG<br /> <br /> A( M ) là tập linh hóa của M trong R<br /> <br /> 8<br /> <br /> C ( M ) là vành giao hoán tử của R trên M<br /> <br /> 8<br /> <br /> Giao hoán tử cộng hoặc nhân<br /> <br /> 33-52<br /> <br /> M là R - mođun trung thành<br /> <br /> 8<br /> <br /> M là R - mođun Bất khả quy<br /> <br /> 8<br /> <br /> Phần tử lũy linh a của R<br /> <br /> 11<br /> <br /> Phần tử tựa chính quy a của R<br /> <br /> 10<br /> <br /> Phần tử lũy đẳng<br /> <br /> 14<br /> <br /> Phần tử potent<br /> <br /> 68<br /> <br /> R vành Artin<br /> <br /> 13<br /> <br /> R vành đơn<br /> <br /> 16<br /> <br /> R vành nửa nguyên thũy (đơn)<br /> <br /> 12<br /> <br /> R vành nguyên thũy<br /> <br /> 16<br /> <br /> R vành nguyên tố, nửa nguyên tố<br /> <br /> 19-22<br /> <br /> R là tích trực tiếp ( tích trực tiếp con)<br /> <br /> 21<br /> <br /> R là vành trực tiếp con<br /> <br /> 22<br /> <br /> R vành tuần hoàn yếu<br /> <br /> 68<br /> <br /> Trường K là mở rộng đại sô trên trường F<br /> <br /> 38<br /> <br /> Trường K là mở rộng tách được trên trường F<br /> <br /> 38<br /> <br /> LỜI MỞ ĐẦU<br /> Trong thời gian học tập và nghiên cứu của lớp cao học khóa 17 tại<br /> trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh ngành toán chuyên ngành đại số và<br /> lý thuyết số, các học viên chúng tôi có học tập và nghiên cứu một số chuyên<br /> ngành trong đó có chuyên ngành về vành giao hoán và vành không giao hoán.<br /> Trong hai chương đầu của chuyên đề vành không giao hoán đã nói lên cấu trúc<br /> của vành , radican của vành, phần tử lũy đẳng, lũy linh trong vành ..vv. Trên cơ<br /> sở của các khái niệm, tính chất với một số định lý của hai chương đầu cùng với<br /> việc thầy hướng dẫn làm luận văn tốt nghiệp PGS-TS Bùi Tường Trí đã hướng<br /> dẫn cho tôi tham khảo và tìm hiểu các vấn đề về các định lý giao hoán của vành.<br /> Trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi thấy tính chất giao hoán của một rất<br /> quan trọng, nếu như chúng ta khảo sát một vành mà không có tính chất giao<br /> hoán thì trong quá trình làm việc chúng ta sẽ gặp nhiều trở ngại, khi tìm hiểu về<br /> các chương của các định lý giao hoán tôi đã biết có một vành nào đó chưa biết<br /> giao hoán nhưng với một điều kiện thích hợp thì chúng trở thành giao hoán. Mặt<br /> khác khi nghiên cứu chương ba tôi thấy các định lý về giao hoán của Herstein.<br /> Herstein đã từng bước phát triển điều kiện để vành giao hoán và như vậy sẽ có<br /> nhiều vành giao hoán nói cách khác lớp vành giao hoán mỗi lúc được mở rộng<br /> sau mỗi điều kiện giao hoán của vành được tìm thấy. Việc nghiên cứu tìm điều<br /> kiện cho vành giao hoán là con đường mở rất rộng. Chính vì lẽ đó mà đề tài luận<br /> văn chúng tôi chọn là “ Một vài hướng phát triển của các định lý giao hoán “<br /> <br /> Luận văn gồm có 3 chương:<br /> <br /> Chương I: Chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản gồm các khái niệm, các định<br /> <br /> nghĩa, các tính chất về mođun, vành, căn Jacobson, cấu trúc vành..vv<br /> Chương II: Chúng tôi trình bày các định lý giao hoán bao gồm các định lý, trong<br /> <br /> đó có định lý quan trọng đó là định lý WEDDERBURN về một vành chia hữu<br /> hạn, các định lý giao hoán của JACOBSON, của HERSTEIN. Mỗi định lý của<br /> các nhà toán học là sự mở rộng của các lớp vành với điều kiện nào đó vành trở<br /> nên giao hoán.<br /> Chương III: Chương này chúng tôi cố gắng đưa ra một vài ví dụ cụ thể và trình<br /> <br /> bày thêm một hướng phát triển của các định lý về giao hoán trên vành<br /> subboolean.<br /> Tôi xin chân thành gởi lời cám ơn đến các thầy cô khoa Toán, phòng Khoa<br /> Học Công Nghệ & Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, các<br /> thầy cô đã tham gia giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập, xin chân thành<br /> cám ơn PGS-TS Bùi Tường Trí đã nhiệt tình dành nhiều thời gian quý báu để<br /> hướng dẫn và giúp đở tôi chọn đề tài luận văn và hoàn thành luận văn tốt<br /> nghiệp.<br /> <br />