:PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

Chia sẻ: Abcdef_43 Abcdef_43 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

173
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học gồm hai bước theo một trình tự qui định. 2.Kỹ năng: - Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp qui nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lí. 3. Tư duy: - Tích cực hoạt động, phát triển tư duy trừu tượng. 4. Thái độ: - Nghiêm túc, hứng thú trong học tập

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: :PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

Tiết: 37 PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I. Mục tiêu: 1. Kiến thức: - Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học gồm hai bước theo một trình tự qui định. 2.Kỹ năng: - Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp qui nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lí. 3. Tư duy: - Tích cực hoạt động, phát triển tư duy trừu tượng. 4. Thái độ: - N ghiêm túc, hứng thú trong học tập. II. Chuẩn bị: - GV: Phiếu học tập. - H S: Kiến thức mệnh đề chứa biến đã học. III. Phương pháp: - N êu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm. III. Tiến trình: HĐ1: Phương pháp qui nạp toán học. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
HĐTP1:Tiếp cận phương pháp qui nạp - Tiếp nhận vấn đề. - Phát phiếu học tập số 1 Xét hai mệnh đề chứa biến. P(n): “ 3n  n  100 ” và Q(n): “2n > n” với n  N * a. V ới n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? - Làm việc theo nhóm và cử đại diện trình bày kết quả câu a). n 3n n + 2n Q (n) ? P(n) ? n 100 1 1 2 2 3 3 4 4 5 - Các nhóm thảo luận câu b) và nêu ý 5 kiến của nhóm mình. b. V ới mọi n  N * thì P(n), Q(n) đúng hay sai? - HS lần lượt trả lời các câu hỏi - H1: Phép thử một vài TH có phải là c/m cho KL trong TH TQ không ? - H2: Trở lại MĐ Q(n) , thử kiểm tra tiếp với một giá trị n  6 ? Có thể khẳng định Q(n) đúng với
mọi n  N * chưa ? - H3: Muốn chứng tỏ một kết luận đúng ta phải làm thế nào? Muốn chứng tỏ kết luận sai, ta phải làm thế - Chú ý theo dõi phương pháp qui nạp nào? toán học HĐTP2: Phương pháp qui nạp. -GV giới thiệu phương pháp qui nạp - HS giải thích điều mình hiểu - H4: MĐ đúng với n = k và n = k + 1 ghĩa là gì ? HĐ2: Ví dụ áp dụng. Chứng minh rằng với mọi n  N * thì: 1 + 2 + 3 +…+ (2n - 1) = n2 (1). - Hướng dẫn: VT = 1 , VP = 1 2 = 1  (1) đúng. B1) n = 1: (1) đúng ? B2) Đ ặt Sn = 1 + 2 + 3 +…+ (2n - 1) Sk = 1 + 2 + 3 +…+ (2k - 1) = k2 - Giả sử (1) đúng với n  k  1 , nghĩa là có giả thiết gì ? C/m: Sk+1 = 1 + 2 + 3 +…+ (2k - 1 ) + Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là chứng minh điều gì ? Hãy c/m điều đó ? ( chú ý đến giả 2  2(k  1)  1   k  1  thiết qui nạp) Ta có: Sk+1 = Sk +  2(k  1)  1 2 - Hoàn thành B1, B2 ta kết luận ? = k 2  2k  1   k  1 * Vậy (1) đúng với mọi n  N
HĐ3: Luyện tập (yêu cầu HS làm theo nhóm) Chứng minh với mọi n  N * thì - Làm việc theo nhóm n (n  1) - HS trình bày bài giải 1  2  3  ...  n  2 - Yêu cầu hs làm theo nhóm - GV quan sát và giúp đỡ khi cần thiết - Gọi bất 1 hs trình bày đ ể kiểm tra và sữa chữa * GV lưu ý cho hs TH: N ếu phải c/m MĐ đúng với mọi số tự nhiên n  p thì ta thực hiện ntn ? * Chú ý: Nếu phải c/m MĐ đúng với mọi số tự nhiên n  p thì: - B1 ta phải kiểm tra MĐ đúng với n = p. - B2 ta giả thiết MĐ đúng với số tự nhiên bất kì n  k  p và phải chứng mỉnhằng nó cũng đúng với n = k + 1. HĐ4: Luyện tập ( Phát phiếu học tập số 2) Cho hai số 3n và 8n với n  N * a) SS 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5 HD: Điền vào b ảng sau
n 3n ? 8n 1 a) 2 n 3n ? 8n 3 4 13 < 8 5 29 < 16 3 27 > 24 b) Dự đoán kết quả TQ và chứng minh bằng phương 4 81 > 32 pháp qui nạp 5 243 > 40 HD: - Dựa vào bảng kq câu a) để đưa ra dự đoán - Phát biểu lại bài toán và chứng minh + Cho hs làm theo nhóm + GV quan sát và hd khi cần thiết + Gọi đại diện của một nhóm trình bày, cho các nhóm khác nhận xét và bổ sung b) “ Chứng minh rằng 3n > 8n với mọi n ( nếu cần) 3 ” + Lưu ý cho hs là nhờ phép thử mà tìm ra n = 3 là số - HS chứng minh bằng phương pháp qui nhỏ nhất sao cho 3n > 8n . nạp C ủng cố và hướng dẫn học tập : - N êu các bước của phương pháp chứng minh qui nạpvà chỉ rõ thực chất của b ước 2 là gì ?
- X em lại các bài đ ã gải và ví d ụ 2 trang 81 - Làm các bài tập 1 – 5 sgk. Tiết: 38 BÀI TẬP PH ƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I. Mục tiêu: 1. Kiến thức: - Củng cố kiến thức cơ bản về phương pháp qui nạp toán học. 2.Kỹ năng: - Rèn luyện kỹ năng chứng minh một mệnh đề có chứa số tự nhiên n bằng phương pháp qui nạp. 3. Tư duy: - Tích cực hoạt động, phát triển tư duy trừu tượng. 4. Thái độ: - N ghiêm túc, hứng thú trong học tập. II. Chuẩn bị: - GV: Phiếu học tập. - H S: Kiến thức phương p háp qui nạp và bài tập 1 – 5 (sgk). III. Phương pháp: - N êu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm.
III. Tiến trình: HĐ1: Bài cũ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh 1) Nêu cách chứng minh MĐ có chứa số tự nhiên 1) HS trả lời câu hỏi kiểm tra bài cũ n Î ¥ * bằng phương pháp qui nạp? Em hiểu mệnh đề đúng với n = k và n = k + 1 có 2) B1: n = 1 : VT = 12 = 1, VP = nghĩa như thế nào ? 1.2.3 1 6 - Gọi học sinh TB trả lời Vậy đẳng thức đúng với n = 1. 2) Chứng minh n Î ¥ * , ta có đ ẳng thức B2: Giả thiết đẳng thức đúng với một số n (n  1)(2n  1) 2 2 2 2 1  2  3  ...  n  tự nhiên bất kỳ n  k  1 , tức là: 6 - Gọi học sinh khá làm bài tập k (k  1)(2k  1) 12  22  32  ...  k 2  6 Ta chứng minh : 12  22  ...  k 2  (k  1)2  (k  1)(k  2)(2k  3) = 6 HĐ2: Bài tập 2 (82) (Chia lớp thành 4 nhóm ) Giao nhiệm vụ cho mỗi nhóm - Các nhóm tìm hiểu và tiến luận để hoàn thành nhiệm vụ nhiệm vụ Nhóm 1 và 3: Bài 2a) Nhóm 1 và 3: C/m " n Î ¥ * , ta có Nhóm 2 và 4: Bài 2b) n 3 + 3n 2 + 5n chia hết cho 3 - GV: Quan sát và hướng dẫn khi cần
- Gọi đại diện của nhóm trình bày Nhóm 2 và 4: C/m " n Î ¥ * , ta có - Cho các nhóm khác nêu nhận xét và bổ sung 4 n + 15n - 1 chia hết cho 9 - GV: khẳng định lại kết quả Bài 2a) Đặt u n = n 3 + 3n 2 + 5n + n = 1: u1 = 9 M 3 + GS k ³ 1, t a cã u k = (k 3 + 3k 2 + 5k )M3 Ta c/m u k + 1 M3 u k + 1 = é k + 3 k 2 + 3k + 3 ùM ( ) u ú3 ê ë û Vậy u n M với mọi n Î ¥ * 3 Bài 2b) Đ ặt u n = 4 n + 15n - 1 + n = 1 : u11 = 18 M9 + GS: k ³ 1, u k = (4k + 15k - 1)M9 Ta c/m u k + 1 M 9 u k + 1 = é u k - 9 (5k - 2)ùM 4 ú9 ê ë û Vậy u n M với mọi n Î ¥ * 9 HĐ3: Bài tập 3 (82) (Chia lớp thành 4 nhóm ) Giao nhiệm vụ cho mỗi nhóm - Các nhóm tìm hiểu và tiến luận để hoàn thành nhiệm vụ nhiệm vụ Nhóm 1 và 3: Bài 3a)
Nhóm 2 và 4: Bài 2b) - GV: Quan sát và hướng dẫn khi cần - Gọi đại diện của nhóm trình bày - Cho các nhóm khác nêu nhận xét và bổ sung - GV: khẳng định lại kết quả Bài 3a) + n = 2 : VT = 9, VP = 7 ® bất đẳng thức đúng + GS k ³ 2, t a cã 3k > 3k + 1 (* ) Ta c/m 3k + 1 > 3(k + 1 ) + 1 (* ) Û 3k + 1 > 9k + 3 Û 3k + 1 > 3k + 4 + 6k - 1 Vì 6k -1 >0 nên 3k + 1 > 3(k + 1 ) + 1 Bài 3b) Tương tự HĐ4: Bài tập 4 (83) a) Gọi HS tính S1 , S 2 v µ S 3 ? 1 1 a) S1 = = 1.2 2 11 1 2 S2 = + = 1.2 1.2 2.3 3 1 1 1 3 S3 = + + = 1.2 2.3 3.4 4 n b) S n = (1) n+1
1 1 . V ậy (1) đúng + n = 1 S1 = = 2 1+ 1 1 + G S k ³ 1, t a cã S k = k+1 b) Từ câu a), hãy dự đoán CT tổng quát S n ? k+1 Chứng minh Ct đó bằng PP qui nạp Ta C/m S k + 1 = k+2 + n = 1 ® S1 ? 1 Sk + 1 = Sk + (k + 1)(k + 2) + GS (1) đúng vứi n = k ³ 1, tức là ta có điều gì ? k 1 k+1 = + = k + 1 (k + 1)(k + 2) k+2 Vậy (1) được chứng minh C/m (1) đúng với n = k +1, tức là chứng minh điều gì ? G ọi HS lên chứng minh * Củng cố: - Ôn lại kiến thức về phương pháp qui nạp - Làm các bài tập còn lai - Xem bài davx số
Tiết: 39 D ÃY SỐ I. Mục tiêu: 1. Kiến thức: - Biết khái niệm dãy số, cách cho d ãy số, các tính chất tăng, giảm và bị chặn của dãy số 2.Kỹ năng: - Biết cách tìm số hạng tổng quát, xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số 3. Tư duy: - Tích cực hoạt động, phát triển tư duy trừu tượng. 4. Thái độ: - N ghiêm túc, hứng thú trong học tập. II. Chuẩn bị: - GV: Phiếu học tập. - H S: Kiến thức phương pháp qui nạp. III. Phương pháp: - N êu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm. III. Tiến trình: HĐ1: Định nghĩa d ãy số Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh HĐTP1: Ôn lại về hàm số I. Định nghĩa - HS suy nghĩ và trả lời 1 , n Î ¥ * . Tính f(1), Cho hàm số f (n ) = 2n - 1
f(2), f(3), f(4), f(5) ? 1 1 1 f (1) = = 1; f (2) = = 2.1 - 1 2.2 - 1 3 1 1 1 1 f (3) = = ; f (4) = = 2.3 - 1 5 2.4 - 1 7 1 1 f (5) = = 2.5 - 1 9 Từ HĐ trên GV dẫn dắt HS đi đến đ/n dãy số 1. Định nghĩa dãy số vô hạn HĐTP2: Định nghĩa d ãy số vô hạn H µm sè u : ¥ * ® ¡ n a u (n ) Dạng khai triển: u1, u2, u3,…, un,…, u1: số hạng đầu un: số hạng thứ n ( số hạng tổng quát) 2. Định nghĩa dãy số hữu hạn Ví dụ: (Sgk) HĐTP3: Định nghĩa d ãy số hữu hạn - GV: Giới thiệu đn - Dạng khai triển: u1, u2, u3,…, um u1: số hạng đầu um: số hạng cuối Ví dụ: HĐ2: Cách cho một dãy số HĐTP1: Ôn tập về cách cho hàm số II. Cách cho dãy số GV: Phát phiếu học tập - Các nhóm thảo luận và trình bày kết quả Hãy nêu các phương pháp cho một vài hàm số và
ví dụ minh hoạ ? - Cho các nhóm thảo luận và trình bày kết quả HĐTP2: Cách cho một dãy số 1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát * Ví dụ: 1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát n 3 a) Cho dãy số (un) với u n = (- 1)n . (1) n - Từ CT (1) hãy xác định số hạng thứ 3 và thứ 4 của 34 33 81 u 3 = (- 1)3 = - 9 , u 3 = (- 1)4 = dãy số ? 3 4 4 - Viết dãy số đã cho dưới dạng khai triển ? 3n 9 81 , ..., (- 1)n - 3, , - 9, , ... 2 4 n n b) Cho dãy số (un) với u n = . n+1 - Viết dãy số đã cho dưới dạng khai triển ? 1 2 3 n , , , ..., , ... 2 2+ 1 3+ 1 n+1 * HĐ củng cố (GV phát phiếu học tập) Viết năm số hạng đầu và số hạng TQ của dãy số - Các nhóm thảo luận và trình bày kq sau: a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ b ) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả - GV: Phân tích ví dụ 4 trang 87 để học sinh hiểu - HS lấy thêm ví dụ - Cho học sinh nêu thêm một vài ví dụ khác ? 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
* Ví dụ: D ãy số Phi-bô-na-xi là dãy số (un) được xđ: ìu = u = 1 ï1 ï 2 í ïu = u + u n - 2 ví i n ³ 3 ïn î n- 1 Hãy nêu nhận xét về dãy số trên ? ® GV: Giới thiệu cách cho dãy số bằng pp truy hồi - HS nêu nhận xét * HĐ củng cố: Viết mười số hạng đầu của dãy số Phi-bô-na-xi ? - Gọi hs trình bày HĐTP3: Biểu diễn hình học của dãy số - GV: Giới thiệu cách biểu điễn hình học của dãy số III. Biểu diễn hình học của dãy số HĐ3: Luyện tập Bài1(92).Viết năm số hạng đầu của các dãy số của Bài1 các dãy số có số hạng TQ un cho bởi CT sau: 234 5 . a ) 1, ,, , 3 7 15 31 n n b ) un = a) u n = n 2-1 2 n +1 1 2 3 4 5 b) , , , , 2 5 10 17 26 Gọi HS TB yếu giải, cho lớp NX Bài2 (92). Cho dãy số (un), biết Bài2 u 1 = - 1, u n + 1 = u n + 3 ví i n ³ 1 a) -1, 2, 5, 8, 11 a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
- Gọi HS TB giải, cho lớp NX b) b) Chứng minh bằng phương pháp qui nạp: +) n =1: u1 = 3.1 – 4 = -1 ( đúng) un = 3 n – 4 +) GS có uk= 3k – 4, k ³ 1 Cho các nhóm thảo luận - Ta có: uk+1 = uk + 3 = 3 (k + 1) – 4 GV quan sát, hướng dẫn khi cần - Vậy CT được c/m Cho nhóm hoàn thành sớm nhất trình bày - Bài 3 (92) Dãy số (un) cho bởi: Bài 3 a) 3, 10, 11, 12, 13 2 u 1 = 3; u n + 1 = 1 + un , n ³ 1 a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) 3 = 9= 1+ 8 10 = 2+ 8 - Gọi HS TB giải 11 = 3+ 8 12 = 4+ 8 b) Dự doán CT số hạng TQ un và chứng minh CT 13 = 5+ 8 đoa bằng PP qui nạp …. - Cho các nhóm thảo luận, NX về năm số hạng đầu n + 8, n Î ¥ * TQ: u n = của dãy số, từ đó dự đoán CT số hạng TQ un - Yêu cầu HS về nhà c/m tương tự bài 2b) Tiết: 40 DÃY SỐ I. Mục tiêu:
1. Kiến thức: - Biết khái niệm dãy số, cách cho d ãy số, các tính chất tăng, giảm và bị chặn của dãy số 2.Kỹ năng: - Biết cách tìm số hạng tổng quát, xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số 3. Tư duy: - Tích cực hoạt động, phát triển tư duy trừu tượng. 4. Thái độ: - N ghiêm túc, hứng thú trong học tập. II. Chuẩn bị: - GV: Phiếu học tập. - H S: Kiến thức về sãy số đã học. III. Phương pháp: - N êu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm. III. Tiến trình: HĐ4: Dãy số tăng, dãy số giảm Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh HĐTP1: Kiểm tra bài cũ Cho các dãy số (u n) và (vn) với 1 1 a) u n + 1 = 1 + , un = 1 + v µ v n = 5n - 1 n+1 n v n+1 = 5(n + 1) - 1 = 5n + 4 a) Tính u n + 1 v µ v n + 1 ?
- Gọi HS TB giải b) Dùng t/c: a > b Û a - b > 0 b) C/m u n + 1 < u n v µ v n + 1 > v n , v í i m äi n Î ¥ * - Gọi HS khá giải HĐTP2: Dãy số tăng, d ãy số giảm - Từ HĐTP1, GV giới thiệu: +) Dãy số (vn) gọi là dãy số tăng +) Dãy số (un) gọi là dãy số giảm - HS trả lời câu hỏi Vậy dãy số (un) thoả mãn đk nào thì gọi là dãy số tăng (giảm) ? ® ĐN1 (sgk) 1. Dãy số tăng, dãy số giảm HĐTP3: Củng cố Định nghĩa 1: Ví dụ 1: C/m d ãy số (un) với un = 2n – 1 là dãy số Ví dụ 1: tăng - Cho các nhóm thảo luận : HS c/m: u n + 1 - u n > 0 , v í i m äi n Î ¥ * +) PP chứng minh +) C/m bài toán trên Ví dụ 2: n Ví dụ 2: C/m d ãy số (un) với u n = là dãy số giảm 3n - Cho các nhóm thảo luận tương tự ví dụ 1 - GV quan sát và hướng dẫn khi cần un + 1 - Lưu ý : Vì " n Î ¥ * , u n > 0 nên có thể c/m - Các nhóm thảo luận và trình bày bài
? Q ua các ví dụ trên, rút ra các pp xét tính tăng, giảm của dãy số ? - HS nêu PP xét tính tăng, giảm của dãy Ví dụ 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số (un) với số ? u n = (- 3)n Ví dụ 3: Dãy số không tăng, không giảm HĐ5: Dãy số bị chặn HĐTP1: Chứng minh các bất đẳng thức sau: n2 + 1 n 1 ³ 1, " n Î ¥ * vµ £ n2 + 1 2 2n - Các nhóm thảo luận và trình bày lời giải - Cho các nhóm thảo luận, sau đó giọ đại diện của các nhóm trình bày HĐTP2: Dãy số bị chặn - Qua HĐTP1, GV gới thiệu dãy số bị chặn trên, dãy số bị chặn dưới và dãy số bị chặn HĐTP3: Củng cố 2. Dãy số bị chặn C/m dãy số Phi-bô-na-xi bị chặn dưới a) Định nghĩa 2: n C/m dãy số (un) với u n = là b ị chặn b) 2 n +1 a) u n ³ 1 v í i mäi n Î ¥ * n 1 b) 0 < £ 2 2 n +1 HĐ6: Luyện tập
Bài 4(92) Xét tính tăng, giảm của dãy số (un), biết Bài 4 1 1 1 < 0 v í i m äi n Î ¥ * a) u n = a) u n + 1 - u n = -2 - n n+1 n V ậy dãy số giảm n- 1 b) u n = n+1 2 un + 1 - un = > 0, b) n n c) u n = (- 1) (2 + 1) (n + 1)(n + 2) v í i m äi n Î ¥ * - Giao nhiệm vụ cho ba nhóm, mỗi nhóm một câu V ậy dãy số tăng - Quan sát các nhóm thảo luận và hướng dẫn khi cần c) Dãy số không tăng, không giảm - Gọi đại diện các nhóm trình bày - Cho lớp NX và sau đoa khẳng định lại kết quả Bài 5 (92) Trong các dãy số (un), dãy số nào bị chặn Bài 5 dưới, bị chặn trên và bị chặn a ) u n = 2n 2 - 1 a) u n ³ 1 với mọi n Î ¥ * 1 b ) un = n (n + 2) c ) u n = sin n + cos n - Giao nhiệm vụ cho ba nhóm, mỗi nhóm một câu 1 với mọi n Î ¥ * b) 0 < u n £ 3 - Quan sát các nhóm thảo luận và hướng dẫn khi cần - Gọi đại diện các nhóm trình bày c) - 2 < sin n + cos n < 2 với mọi - Cho lớp NX và sau đoa khẳng định lại kết quả n Î ¥*
Tiết: 41 CẤP SỐ CỘNG I. Mục tiêu: 1. Kiến thức: - Biết khái niệm cấp số cọng, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng