Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
/ 31
1
MỤC LỤC Trang
A. MỞ ĐẦU
1) Lý do chọn đề tài
2) Mục đích nghiên cứu
3) Nhiệm vụ đề tài
4) Phạm vi đề tài
5) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành
6) Dự kiến kết quả của đề tài
2
B. NỘI DUNG
PHẦN I: ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG
ĐẠI SỐ
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC
4
1)
Phương pháp dựa vào định nghĩa 5
2)
Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức 6
3)
Phương pháp biến đổi tương đương 9
4)
Phương pháp dùng phương pháp phản chứng
1
1
5)
Phương pháp dùng qui nạp toán học 13
6)
Phương pháp biến đổi 14
7)
Phương pháp dùng các bất đẳng thức đã biết
1
6
8)
Phương pháp tam thức bậc 2 17
III. MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, biểu thức đại
số
20
20
2) Tìm điều kiện của tham số để phương trình, hệ phương
trình có nghiệm, vô nghiệm
22
3)
Giải phương trình, hệ phương trình
2
3
PHẦN II: ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG
HÌNH HỌC
1) Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình học
23
2)
Một số cách chứng minh bất đẳng thức
2
5
C. KẾT LUẬN
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO 30
31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
/ 31
2
A. MỞ ĐẦU
1) Lý do chọn đề tài:
Ngày nay khoa học kỹ thuật công nghệ phát triển như vũ bão, sự
phát triển của tất cả các ngành khoa học cũng như ứng dụng và tất cả các
ngành công nghệ then chốt như dầu khí, viễn thông, hàng không ... đều
không thể thiếu toán học. Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ
thông tin thực sự đã dẫn đến hiện tượng “ Bùng nổ” các ứng dụng toán học
đưa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội.
Toán học có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc nâng cao và phát
triển dân trí. Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh(người học toán)
những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả
năng tư duy logic, một phương pháp luận khoa học.
Trong việc dạy toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và
giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử
dụng đúng phương pháp dạy học. Góp phần hình thành và phát triển tư duy
cho học sinh. Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng,
rèn luyện về phẩm chất đạo đức, thao tác tư duy để giải các bài tập toán
trong đó có giải toán bất đẳng thức.
Một số thực trạng hiện nay khi dạy toán bất đẳng thức ở trường
THCS đó là:
Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức thì chỉ chữa bài tập là xong, ít
khai thác, phân tích đề bài, mở rộng các bài toán mới. Dẫn đến học sinh khi
gặp bài toán khác một chút là không giải được, không nắm được phương pháp
giải cho từng loại từng dạng.
Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức ít, không
liền mạch, phương pháp giải hạn chế. Vận dụng toán bất đẳng thức vào các
loại toán khó như cực trị, giải phương trình rất hạn chế.
Vì vậy: phát triển năng lực, tư duy học sinh thông qua việc giải toán
bất đẳng thức là cần thiết. Hơn nữa theo yêu cầu của thực tế, giáo viên nên
cho học sinh tiếp cận các dạng toán nâng cao, phân loại đối tượng để học
sinh được tiếp cận sớm, quen với một trong các dạng toán khó, đó chính là
bất đẳng thức. Trong nhiều năm học tôi đã tích luỹ được một số kiến thức
về toán bất đẳng thức xin trình bày ở đây một góc độ nhỏ.
2) Mục đích nghiên cứu.
2.1. Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học môn toán nói chung và
việc giải toán các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị
cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán
giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải
quyết một bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.
2.2. Gây được hứng thú cho học sinh trong việc làm bài tập trong
SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải quyết được một số bài tập.
2.3. Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi
giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
/ 31
3
2.4. Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp
căn bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập.
2.5. Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh
thấy mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về bất đẳng
thức, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
3) Nhiệm vụ của đề tài.
3.1. Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng
thức phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS
3.2. Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳng
thức áp dụng để làm bài tập.
3.3. Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phương pháp.
3.4. Chọn lọc, hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp cho
từng phương pháp giải, cách đổi biến.
3.5. Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị, giải một
số phương trình đặc biệt.
4) Phạm vi đề tài.
Phát triển năng lực, tư duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng
thức đối với học sinh cấp THCS.
5) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành.
Đề tài áp dụng đối với học sinh trong các buổi sinh hoạt câu lạc bộ,
trong các giờ luyện tập, ôn tập cuối kỳ, cuối năm, kỳ học sinh giỏi, tốt
nghiệp THCS và thi tuyển vào cấp 3.
Phương pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức cơ bản, đưa ra
phương pháp giải, bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp, bài tập tự giải ở nhà.
6) Dự kiến kết quả của đề tài.
Khi chưa thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải được một số bài tập
về bất đẳng thức đơn giản, hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại
làm bài tập về bất đẳng thức.
Nếu thực hiện được đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán
bất đẳng thức, làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết được các bài tập bất đẳng
thức có dạng tương tự, hạn chế được rất nhiều sai lầm khi giải toán bất
đẳng thức.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
/ 31
4
B. NỘI DUNG
PHẦN I: ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐẠI SỐ Ở
TRƯỜNG THCS.
I. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức:
1. Định nghĩa:
Cho hai số a và b ta có: a lớn hơn b, kí hiệu a>b a - b > 0
a nhỏ hơn b, kí hiệu a<b a - b < 0
2. Các tính chất của bất đẳng thức:
2.1. a > b b < a
2.2. Tính chất bắc cầu: a > b; b > c a > c
2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: cùng cộng một số vào hai vế của
bất đẳng thức.
a > b a + c > b + c
Chú ý: không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều
2.4. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức
mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.
dc
ba a - c > b - d
2.5. Tính chất đơn điệu của phép nhân:
a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số dương.
a > b; c > 0 ac > bc
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số âm và đổi chiều của bất đẳng
thức.
a > b; c < 0 ac < bc.
2.6. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà bất đẳng thức
không âm.
0
0
dc
ba ac > bd
2.7. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức
a > b > 0 an > bn
a > b an > bn với n = 2k + 1(kN)
2.8. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương.
Nếu m > n thì : a >1 am > an
a =1 am = an
0 < a < 1 am < an
2.9. Lấy nghịch đảo hai vế và đối chiếu bất đẳng thức nếu hai vế cùng
dấu.
a > b > 0 hoặc a < b < 0
1 <
1
Chú ý: ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức
không chặt(a b) tức là a > b hoặc là a = b.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
/ 31
5
Trong các tính chất trên nhiều tính chất dấu “>” ( hoặc dấu”<”) có thể thay
đổi bởi dấu “” ( hoặc dấu “ ”)
3. Các bất đẳng thức cần nhớ.
3.1. a2 0; - a2 0 . Xảy ra dấu đẳng thức khi a=0.
3.2. a 0 . Xảy ra dấu đẳng thức khi a=0.
3.3. -a  a a . Xảy ra dấu đẳng thức khi a=0.
3.4. a+b  a + b . Xảy ra dấu đẳng thức khi ab 0.
3.5. a-b  a - b . Xảy ra dấu đẳng thức khi ab 0; a  b
( các điều kiện này còn có thể diễn đạt là
0
0
ba
ba )
4. Một số bất đẳng thức quan trọng.
4.1. a2 + b2 2ab
4.2.
2
2
ba ab hay (a+b)2 4ab ( bất đẳng thức côsi với a
0,b
0).
4.3.
a
1 +
b
1
a
4 ; với a, b >0.
4.4.
b
a +
b 2. với ab>0.
4.5. (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) (bất đẳng thức Bunhiacôpski)
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
1.Phương pháp dùng định nghĩa.
1.1. Phương pháp.
Để chứng minh : A > B ta xét hiệu A - B và chứng tỏ A - B >0
A < B ta xét hiệu A - B và chứng tỏ A - B <0
1.2. Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1
Giải:
Xét hiệu (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 6) +1
Đặt (x2 - 5x + 5) =y biểu thức trên bằng: (y-1)(y+1) + 1 = y2 – 1 +
1= y2 0.
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) 0.
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1
Ví dụ 2:
Chứng minh: 2(x2 + y2) (x+y)2
Giải:
Xét hiệu hai vế: 2(x2 + y2) - (x+y)2 = 2x2 + 2y2 - x2 - y2 - 2xy =
x2 - 2xy + y2 = (x-y) 0.
Vậy 2(x2 + y2) (x+y)2