zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chia sẻ: Convetxao | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Báo xấu

50
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học môn toán nói chung và việc giải toán các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức MỤC LỤC Trang A. MỞ ĐẦU 2 1) Lý do chọn đề tài 2) Mục đích nghiên cứu 3) Nhiệm vụ đề tài 4) Phạm vi đề tài 5) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành 6) Dự kiến kết quả của đề tài B. NỘI DUNG 4 PHẦN I: ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐẠI SỐ I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1) Phương pháp dựa vào định nghĩa 5 2) Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức 6 3) Phương pháp biến đổi tương đương 9 4) Phương pháp dùng phương pháp phản chứng 11 5) Phương pháp dùng qui nạp toán học 13 6) Phương pháp biến đổi 14 7) Phương pháp dùng các bất đẳng thức đã biết 16 8) Phương pháp tam thức bậc 2 17 III. MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 20 1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, biểu thức đại 20 số 2) Tìm điều kiện của tham số để phương trình, hệ phương 22 trình có nghiệm, vô nghiệm 3) Giải phương trình, hệ phương trình 23 PHẦN II: ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG 23 HÌNH HỌC 1) Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình học 2) Một số cách chứng minh bất đẳng thức 25 C. KẾT LUẬN 30 D. TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 1 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức A. MỞ ĐẦU 1) Lý do chọn đề tài: Ngày nay khoa học kỹ thuật công nghệ phát triển như vũ bão, sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cũng như ứng dụng và tất cả các ngành công nghệ then chốt như dầu khí, viễn thông, hàng không ... đều không thể thiếu toán học. Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin thực sự đã dẫn đến hiện tượng “ Bùng nổ” các ứng dụng toán học đưa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội. Toán học có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh(người học toán) những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy logic, một phương pháp luận khoa học. Trong việc dạy toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học. Góp phần hình thành và phát triển tư duy cho học sinh. Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, thao tác tư duy để giải các bài tập toán trong đó có giải toán bất đẳng thức. Một số thực trạng hiện nay khi dạy toán bất đẳng thức ở trường THCS đó là: Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức thì chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác, phân tích đề bài, mở rộng các bài toán mới. Dẫn đến học sinh khi gặp bài toán khác một chút là không giải được, không nắm được phương pháp giải cho từng loại từng dạng. Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức ít, không liền mạch, phương pháp giải hạn chế. Vận dụng toán bất đẳng thức vào các loại toán khó như cực trị, giải phương trình rất hạn chế. Vì vậy: phát triển năng lực, tư duy học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức là cần thiết. Hơn nữa theo yêu cầu của thực tế, giáo viên nên cho học sinh tiếp cận các dạng toán nâng cao, phân loại đối tượng để học sinh được tiếp cận sớm, quen với một trong các dạng toán khó, đó chính là bất đẳng thức. Trong nhiều năm học tôi đã tích luỹ được một số kiến thức về toán bất đẳng thức xin trình bày ở đây một góc độ nhỏ. 2) Mục đích nghiên cứu. 2.1. Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học môn toán nói chung và việc giải toán các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một bài tập có liên quan đến bất đẳng thức. 2.2. Gây được hứng thú cho học sinh trong việc làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải quyết được một số bài tập. 2.3. Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học. 2 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 2.4. Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp căn bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập. 2.5. Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về bất đẳng thức, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. 3) Nhiệm vụ của đề tài. 3.1. Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS 3.2. Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳng thức áp dụng để làm bài tập. 3.3. Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phương pháp. 3.4. Chọn lọc, hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp cho từng phương pháp giải, cách đổi biến. 3.5. Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị, giải một số phương trình đặc biệt. 4) Phạm vi đề tài. Phát triển năng lực, tư duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối với học sinh cấp THCS. 5) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành. Đề tài áp dụng đối với học sinh trong các buổi sinh hoạt câu lạc bộ, trong các giờ luyện tập, ôn tập cuối kỳ, cuối năm, kỳ học sinh giỏi, tốt nghiệp THCS và thi tuyển vào cấp 3. Phương pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức cơ bản, đưa ra phương pháp giải, bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp, bài tập tự giải ở nhà. 6) Dự kiến kết quả của đề tài. Khi chưa thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải được một số bài tập về bất đẳng thức đơn giản, hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm bài tập về bất đẳng thức. Nếu thực hiện được đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng thức, làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết được các bài tập bất đẳng thức có dạng tương tự, hạn chế được rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức. 3 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức B. NỘI DUNG PHẦN I: ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐẠI SỐ Ở TRƯỜNG THCS. I. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức: 1. Định nghĩa: Cho hai số a và b ta có: a lớn hơn b, kí hiệu a>b a - b > 0 a nhỏ hơn b, kí hiệu a b  b < a 2.2. Tính chất bắc cầu: a > b; b > c  a > c 2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: cùng cộng một số vào hai vế của bất đẳng thức. a>ba+c>b+c Chú ý: không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều 2.4. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ. a  b  a - c > b - d c  d 2.5. Tính chất đơn điệu của phép nhân: a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số dương. a > b; c > 0  ac > bc b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số âm và đổi chiều của bất đẳng thức. a > b; c < 0  ac < bc. 2.6. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà bất đẳng thức không âm. a  b  0   ac > bd c  d  0 2.7. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức a > b > 0  an > b n a > b  an > bn với n = 2k + 1(kN) 2.8. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương. Nếu m > n thì : a >1  am > an a =1  am = an 0 < a < 1  am < an 2.9. Lấy nghịch đảo hai vế và đối chiếu bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu. 1 1 a > b > 0 hoặc a < b < 0  < a b Chú ý: ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt(a  b) tức là a > b hoặc là a = b. 4 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Trong các tính chất trên nhiều tính chất dấu “>” ( hoặc dấu”0. a b ab a b 4.4. +  2. với ab>0. b a 4.5. (ax + by)2  (a2 + b2)(x2 + y2) (bất đẳng thức Bunhiacôpski) II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 1.Phương pháp dùng định nghĩa. 1.1. Phương pháp. Để chứng minh : A > B ta xét hiệu A - B và chứng tỏ A - B >0 A < B ta xét hiệu A - B và chứng tỏ A - B
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 3: Chứng minh rằng a và b là các số thực không âm thì ab  ab dấu bằng xảy ra  a=b 2 Giải: ab a  b  2 ab ( a  b )2 Xét hiệu - ab = =  0 đúng với  2 2 2 a và b  0. Dấu bằng chỉ xảy ra khi a = b. 1.3. Bài tập tự giải. Chứng minh bất đẳng thức sau: ab ab 1. ( ) 2 2 2. x3 + 4x +1 > 3x2 với x 0. 1 3. x4 - x > 2 4. Cho a+b = c+d. chứng minh rằng c2 + d2 +cd  3ab 5. a6 + b6 + c6  a5b + b 5c + c5a (a, b, c  0) 1 1 1 6. Với a  b  1 thì 2 + 2  1 a 1 b 1  ab 2. Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức 2.1. Phương pháp: - Xuất phát từ một bất đẳng thức đã biết rồi vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh. - Thường áp dụng những tính chất cơ bản của bất đẳng thức( đã nêu ở phần trên) 2.2 Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1. 1 Cho a + b >1. Chứng minh rằng: a4 + b4 > 4 Giải. Ta có: a+ b >1(1). bình phương hai vế ta được: (a+b)2 >1  a2 + 2ab + b2 >1(2) Mặt khác: (a-b)2  0  a2 - 2ab - b2  0 (3) 1 Cộng từng vế của (2) và (3) ta được: 2(a2+b2) >1 a2+b2 > (4) 2 1 Bình phương 2 vế của (4) ta được: a4 + 2a2b 2 + b4 > (5) 4 Mặt khác (a-b)2  0  a4 - 2a2b2 + b4 > 0 (6) 1 1 Cộng từng vế của (5) và (6) ta được 2(a4 + b4) >  a4 + b4 > 4 8 Ví dụ 2: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. 6 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: + +  + + abc bca cab a b c Giải: 1 1 Xét + với a+b-c>0, b+c-a>0 abc bca 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức: +  x y x y 1 1 4 2 +  = abc bca 2b b 1 1 2 Tương tự ta có: +  bca cab c 1 1 2 +  acb abc a Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cả 2 vế cho 2 ta được: 1 1 1 1 1 1 + +  + + abc bca cab a b c Dấu bằng xảy ra khi a = b = c Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 1 1 1 1 3 + 3 + ... + 3 < 2 3 n 4 Giải. Phân tích hướng dẫn: Gọi là vế trái của bất đẳng thức trên. Ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức dưới dạng phương pháp làm trội. Để chứng minh: A < B ta làm trội A thành C (A< C) rồi chứng minh rằng CB ( C đóng vai trò làm trung gian) 1 1 1 1 Ta có với  k  N* : 3 < 3 = 2 = k k k k (k  1) k (k  1)( k  1) 1 1 1 1 1 1 Do đó: A < 2 + 3 + ... + 3 = + + ... + 2 2 3 3 n  n 1.2.3 2.3.4 (n  1).n.( n  1) 1 1 1 Đặt C= + + ... + 1.2.3 2.3.4 (n  1).n.(n  1) 1 1 2 Ta lại thấy: - = nên (n  1).n n(n  1) (n  1).n.( n  1) 1 1 1 1 1 1 1 C=  - + - + ... + - 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n  1).n (n  1).n 1 1 1  1 1 1 =    = - < 2  2 n (n  1)  4 2n(n  1) 4 1 1 1 1 Vậy 3 + 3 + ... + 3 < 2 3 n 4 Ví dụ 4: Cho x  0, y  0, z  0 Chứng minh rằng (x+y)(y+z)(z+x)  8xyz(1) 7 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Giải Vì hai vế của (1) đều không âm nên để chứng minh (1) ta sẽ chứng minh : Ta có : (x+y)2(y+z)2(z+x)2  64x2y2z2 Ta có (x+y)2  4xy (y+z)2  4yz (z+x)2  4zx Hai vế của 3 bất đẳng thức trên đều không âm nên nhân từng vế của bất đẳng thức trên với nhau ta được (x+y)2(y+z)2(z+x)2  64x2y2z2  [(x+y)(y+z)(z+x)]2  [8x2y2z2]2  (x+y)(y+z)(z+x)  8xyz . ( vì xyz  0; (x+y)(y+z)(z+x)  0) Dấu bằng chỉ xảy ra  x = y = z = 0 2.3. Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh các sai lầm sau: a  b 1.  a-c>b-d c  d a  b 2.   ac > bd c  d (Nhân vế với vế của một bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có âm hay không) 3 . Bình phương hai vế của một bất đẳng thức mà chưa biết hai vế không âm a > b  a2 > b2 4. Khử mẫu mà chưa biết dấu của chúng a c >  ad > cb b d 5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà chưa biết hai vế cùng dấu : 1 1 a>b  > a b 6. Khi làm một biểu thức, đôi khi phải chia biểu thức thành nhiều nhóm rồi làm trội trong từng nhóm Ta xét ví dụ sau: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2 thì 1 1 1 1+ + + ... + n
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1 A < 1+ .2+ 2 .4+ 3 .8+ ... + n1 . 2 n1 = 1 +1 + ...+1=n 2 2 2 2 2.4. Bài tập tự giải: Chứng minh bất đẳng thức sau 1 1 4 1/ +  ( a>0; b>0) a b a b 2/ a2 + b2 + c2 + d 2  4 abcd 1 1 1 n 1 3/ 2 + 2 + ... + 2 < 2 3 n n 3. Phương pháp biến đổi tương đương 3.1. Phương pháp: - Để chứng minh bất đẳng thức A  B ta biến đổi tương đương (dựa vào các tính chất của bất đẳng thức) A  B  ....  C  D Và cuối cùng đạt được bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C  D Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A  B - Để dùng các phép biến đổi tương đương ta cần chú ý các hằng đẳng thức sau: ( A+ B)2 = A2 + 2AB +B2 ( A- B)2 = A2 - 2AB +B2 (A+B+C)2 = A2 + B2 + C2 +2AB + 2BC + 2 CA. 3.2. Các ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1: Chứng minh: x2 - x +1 >0  x Giải Ta có : x2 - x +1 >0 1 1 3  (x2 - 2. .x + ) + >0 2 4 4 1 3 (x- )2 + > 0  x (điều phải chứng minh) 2 4 1 3  Khai thác bài toán: Từ lời giải trên ta thấy: (x- )2 +  0x 2 4 1 Dấu “=” xảy ra khi x  2 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của x2 - x +1 là 4 Hoặc bài tương tự là: x2 + x +1 >0  x Ví dụ 2: Chứng minh rằng với ba số a, b, c bất kỳ ta có: a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca Giải: 9 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  2  a 2  b 2  c 2   2  ab  bc  ca   2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2bc  2ca  0  (a 2  2 ab  b 2 )  (b 2  2bc  c 2 )   c 2  2ca  a 2   0  ( a  b ) 2  (b  c ) 2  (c  a ) 2  0  Khai thác bài toán: Xét trường hợp đặc biệt với c = 1 ta có: a 2  b 2  1  a 2  b 2  ab  b  1 Kết hợp với đẳng thức (a  b  c)2  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca ta có: (a  b  c)3 a 2  b 2  c 2  3 3 Ví dụ 3. CMR với 4 số bất kì a, b, x, y ta có: (a2+b2)(x 2+y2)  (ax+by)2 (1) a b Dấu bằng xảy ra  = x y Giải Ta có (1)  a2x 2+ a2y2+b2x2+b 2y2.  a2y2 - 2abxy+ b2x2  0  (ay-bx)2  0 (2) Bất đẳng thức (2) được chứng minh nên bất đẳng thức (1) đúng. a b Dấu “=” xảy ra  ay-bx = 0  = x y Ví dụ 4: Cho các số tương đương a và b thoả mãn điều kiện a+b=1 1 1 CMR : 1   1    9  a  b 1 1 Ta có 1   1    9 (1)  a  b a 1 b 1  9 a b  ab+ a+ b+ 1  9ab  a+b+ 1  8ab  2  8ab (vì a+b =1)  1 4ab  (a+b)2  4ab  (a-b)2 0 Bất đẳng thức (2) đúng, mà phép biến đổi trên tương đương. Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b Ví dụ 5: 2 a2  b2 ab Chứng minh bất đẳng thức:    với a>0, b>0 2  2  10 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Giải 2 a 2  b2 ab    (1) 2  2   4(a2+ b2)  (a+b)2 (nhân cả hai vế với 8)  4(a+b)(a2-ab+b2) (a+b)(a+b)2 ( chia cả 2 vế cho a+b >0)  4a2 - 4ab + b2  a2 + 2ab + b2  3a2 - 6ab + 3b2  0  3(a-b)2  0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng mà phép biến đổi trên là tương đương nên bất đẳng thức (1) đúng. 3.3. Chú ý: Sẽ mắc sai lầm trong lời giải trên khi thay các dấu tương đương “ ” bằng các dấu kéo theo “” Thật vậy nếu (1) “” (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì chưa thể kết luận được bất đẳng thức (1) có đúng hay không. - Khi sử dụng phép biến đổi tương đương, học sinh thường bỏ các biến đổi tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ. Vì vậy cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện. Chẳng hạn: a2 > b2  a >b với a, b >0 m>n  am > an , m, nZ, a>1 Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương. 3.4. Bài tập tự giải: Bài 1: So sánh 2 số A= 3 3 -3 và B= 2 2 -1( không dùng máy tính) Bài 2: Chứng minh rằng với 2 số nguyên dương x, y thoả mãn xy1 ta có: 2 x 1 a b Bài 5: Với a, b> 0. Chứng minh bất đẳng thức: - a  b- b a Bài 6: Chứng minh rằng:  a, b, c  R ta có: a) a 4  b 4  a3b+ab3 b) a2+ b2 + c2  ab+ bc +ca 4. Phương pháp phản chứng: Gọi luận đề cần chứng minh là luận đề: “ A  B” Phép toán mệnh đề cho ta: A  B = A  B =A  B = A B Như vậy muốn phủ định một luận đề ta ghép tất cả các giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng như sau: a.1 Dùng mệnh đề phản đảo B  A a.2 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết. 11 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức a.3 Phủ định luận đề rồi suy ra hai điều trái ngược nhau. a.4 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái ngược với điều đúng a.5 Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận của A B  B Ví dụ 1: Cho a2 + b2  2 CMR a+b  2 Giải Giả sử a + b >2  (a+b)2 > 4 ( vì hai vế dương nên bình phương hai vế)  a2 + 2ab + b2 >4 (1) Mặt khác ta có: 2ab  a2 + b2  a2 + b2 +2ab  2(a2+b2) Mà: 2(a2+b2)  4 (giả thiết) do đó a2 + b2 +2ab  4 (2) Ta thấy (2) mâu thuẫn với (1) vậy phải có: a +b 2 * Cách giải khác: ta có a2 + b2  2(1) Mặt khác 2ab  a2+ b2 nên 2ab  a2 + b2  2 (2) Cộng (1) với (2) ta được a2 +2ab +b2  4  (a + b)2  4  -2 a+b  2 Ví dụ 2: Cho a, b, x,y liên hệ bởi a+b= 2xy CMR: ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng: x2 >a; y2 >b Giải Giả sử x20 nên trong 3 số có ít nhất một số dương Ngược lại cả ba số đều âm  abc 0 Mà abc > 0  bc >0 Nếu b< 0, c-a (b2+c2) < -a(b+c)  b22bc+c2 < -ab-c2  ab+ ac< -b2-2bc-c2  ab+bc+ca< -b2-2bc-c2 < 0  ab+bc+ca 0) Vậy b>0, c>0. Cả ba số đều dương 12 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 4.3 Chú ý Với những bài toán bất đẳng thức có dạng như trên ta nên sử dụng phương pháp phản chứng. Tuy nhiên để sử dụng phương pháp này cần nắm vững 5 cách chứng minh và các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi, lập luận. 4.4 Bài tập tự giải: 1  ab 1. Cho a>b >0 và -1  x+1>0 Ta có (1+x)k(1+x)  (1+kx)(1+x)  (1+x)k+1 1+(k+1)x+kx2 Mà kx2>0 nên 1+(k+1)x+kx2 1+(k+1)x Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh. 13 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=0 Ví dụ 2: CMR với  a ta đều có: a 2  a 2  ...  a 2  a+1 (trong đó vế trái có n dấu căn) Giải Kí hiệu Pn = a 2  a 2  ...  a 2 (có n dấu căn) + Với n=1 ta có: P1= a 2 =a a+1 + Giả sử mệnh đề đúng với n=k tức là Pk  a+1 Ta sẽ chứng minh điều đó cũng đúng với n=k+1 Thật vậy theo giả thiết qui nạp rồi làm trội ta có Pk+1= a 2  Pk  a 2  a  1  a 2  2 a  1 =  a  1 2 = a +1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh Ví dụ 3: n an  bn ab Cho a, b là 2 số dương. Chứng minh rằng:    n  2 2  2  Giải 2 a2  b2 ab + Với n=2 ta dễ dàng chứng minh được    2  2  k ak  bk ab + Giả sử bài toán đúng với n=k ta có:    (1) 2  2  k 1 a k 1  b k 1 a b Ta phải chứng minh    (2) 2  2  ab Thật vậy, nhân hai vế của (1) với   ta được  2  k k k ab a b ab ab        2  2  2  2  a k 1  b k 1 a  b  ak  bk Để có (2) ta phải chứng minh    (3) 2  2  2  ak+1+bk+1 abk+akb Thật vậy ta có: ak+1+ bk+1-abk+akb = ak(a-b)-bk(a-b) = (a-b)(ak-bk) =(a-b)2(ak-1+ak-2b+…+ abk-2+bk-1) (vì a, b > 0) k 1 a  b  ak  bk a b Bất đẳng thức (3) đúng, mà       2  2  2  k 1 k 1 k 1 a b a b     . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 2  2  5.4 Bài tập tự giải 1/ CMR:  n 3 ta có: 2n > 2n+1 2/ CMR: 2n > n3  n  N * ,n  10 6. Phương pháp đổi biến: 6.1. Phương pháp. 14 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức B1. Đặt biến mới dựa theo biến cũ B2. Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất đẳng thức với biến mới B3. Kết luận và trả về biến cũ 6.2. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: abc  (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) Với a, b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Giải Đặt: b+c-a = x, a+c-b=y, a+b-c=z yz xz x y  a= ; b= ; c= 2 2 2 yz x z x y Ta phải chứng minh . .  xyz 2 2 2  (y+z)2(x+z)2(x+y)2  64 x 2y2z2 ( vì hai vế không âm) Ta có: (x+y)2 4xy (y+z)2 4yz (z+x)2 4zx Vì hai vế của bất đẳng thức trên không âm nên ta nhân từng vế các bất đẳng thức trên ta được: (y+z)2(x+z)2(x+y)2  64 x2y2z2 Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z a=b=c Ví dụ 2: Cho a+b+c=1; chứng minh rằng: a2+b2+ c2  1 Giải 1 1 1 Đặt a= +x, b= +y, c= +z 3 3 3 Do a+b+c =1 nên x+y+z = 0 1 1 1 Ta có: a2+b2+ c2 = ( +x)2+( +y)2( +z)2 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 =   x  x 2  +   y  y 2  +   z  z 2  = + (x+y+z)+x 2+y2+z2 9 3  9 3  9 3  3 3 1 1 = + x2+y2+z2  3 3 1 Xảy ra đẳng thức  x=y=z  a=b=c= 3 6.3. Chú ý Khi dùng phương pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức cần chú ý: + Đặt biến mới theo hệ điều kiện của biến cũ, kèm theo điều kiện của biến mới. + Nắm được các phép biến đổi, các bất đẳng thức cơ bản, quen thuộc dễ áp dụng. + Đổi về biến cũ. 15 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 6.4. Bài tập tự giải: 1/ Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác a b c CMR: + + 3 bca acb abc 2/ Cho x,y  0 thoả mãn: x 2 x + y2 y = x x +y y CMR: x+y  1+ xy 3/ Cho a, b, c  0 a4 b4 c4 a2  b2  c2 CMR: + +  b2  c2 a 2  c2 a2  b2 2 7. Phương pháp dùng các bất đẳng thức đã biết: 7.1. Phương pháp: Trong nhiều bài toán để chứng minh một bất đẳng thức được gọn, ta có thể sử dụng các bất đẳng thức đã được chứng minh, nhất là các bất đẳng thức kinh điển như bất đẳng thức: Côsi, Bunhia Côpski... 7.2. Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: a b CMR: +  2 với ab>0 b a Giải: a b Vì , đều là dương nên áp dụng bất đẳng thức côsi ta được: b a 2 a b a b        b a   a . b =1   b a   1 hay a + b  2  2  b a  2  b a         a b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = hay a=b b a (Tích không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau) Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Becnuli đối với a  R+ ; 11+qa Giải m Do q Q và q>1 nên q= , trong đó m>n, m,n N n Áp dụng bất đẳng thức côsi cho m số: n số hạng mn số hạng     1  qa   ...  1  qa 1...  1  m 1  qa n .1m n n (không xảy ra dấu bằng vì (1+qa)>1) n Hay n(1+qa) + (m-n).1  n 1  qa  m n  n+ nqa + m – n > n 1  qa  m 16 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức n n  m  qa+1 > 1 qa m  n n 1 1 Nhưng = vậy ta có: .qa +1 > 1 qa m q q   m 1  a +1 > 1  qa q  a  1q > 1+qa Ví dụ 3: Cho biểu thức:  x x  2 2 x  P     :     x  1 x 1   x x x  x  x a) Rút gọn P. Đáp án: P x 1 b) Tìm các giá trị của x sao cho P = -2 (Học sinh tự làm) c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P . P có nghĩa khi x 1  0  x  1 x 11 1 1 P  x 1  x 1 2 x 1 x 1 x 1  P  22 (bất đẳng thức cosi) 7.3. Bài tập tự giải: 1 1 1 1/ CMR nếu các số dương a, b, c có tổng a+b+c =1 thì   9 a b c 1 1 2 2/ Cho x  1 , y  1 CMR: 2  2  1 x 1 y 1  xy 3/ Cho x,y  ; x,y  0 và x2+y2=1 1 CMR:  x2  y2  1 2 1 1 1 4/ CMR: 1  1  1   64 với a,b,c >0 và a+b+c=1  a  b  c 5/ Cho a1, b1; CMR: a b  1  b a  1  ab 8. Phương pháp dùng tam thức bậc hai: 8.1. Phương pháp Ta có thể dùng định lý về dấu của tam thức bậc 2, dấu của nghiệm của tam thức bậc 2 ... để chứng minh bất đẳng thức. Cho tam thức bậc 2: F(x) = ax2+bx+c =b2-4ac + Nếu  0 với xR b + Nếu  =0 thì a. F(x) >0 với  x  a 17 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức  F(x) cùng dấu với a + Nếu  >0 thì   x 1, x2; x2>x1 x nằm ngoài khoảng hai nghiệm: xx2  a.F(x)
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 3: Cho các số a, b, c, d thoả mãn a+d=c+b CMR: Nếu lấy số m sao cho : 2m> ac  bd thì với mọi xR ta luôn có : (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m2  0 (1) Giải: Dựa vào giả thiết a+d=c+b nên ta có: (1)  x 2  a  d x  ad x 2  b  c x  bc  m 2  0 Vì a+c=b+d nên ta đặt y= x 2-(a+d)x= x2+(b+c)x Bất đẳng thức tương đương với: (y+ad)(y+bc)+m2 0  y2+(ad+bc)y+abcd+m2 0 Đặt F(y)= y2+(ad+bc)y+abcd+m2 y=(ac+bd)2-4abcd-4m2=(ac-bd)2-4m2  y  0 Vì 2m  ad  bc nên 4m2 (ad+bc)2     1  0 2  F(y)  0 hay (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m  0  điều phải chứng minh. Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, các số x, y, z thay đổi sao cho : ax+by+cz =0(1) CMR: ayz+bxz+cxy0 (2) Giải ax  by Từ đẳng thức (1)  z=- (c>0) c ax  by ax  by Thay vào (2) ta có: -ay. - bx +cxy 0 c c  -(ax+by)(ay+bx)+c2xy 0  abx2+y(a2x+b2x-c2x) +aby2  0  abx2+y(a2+b2-c2)x +aby2  0 Đặt F(x) = abx2+y(a2+b2-c2)x +aby2 Ta chứng minh F(x) 0 với mọi yR x=y2(a2+b 2-c2)-4a2b2 =y2(a-b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a+b-c)  x  0 và a b c là 3 cạnh của một tam giác và y2>0 nên    F(x)  0 với ab  0  xR Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh (dấu “=” xảy ra  x=y=z=0) 8.3. Chú ý: Khi sử dụng phương pháp tam thức bậc hai cần lưu ý: + Nắm chắc định lý về dấu tam thức bậc hai + Thường dùng phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức cần chứng  F ( x)  0  F ( y)  0 minh về dạng  hoặc   F ( x)  0  F ( y)  0 Trong đó F(x), F(y) là tam thức bậc hai đối với biến số x,y 19 / 31
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 8.4. Bài tập tự giải: 1/ Chứng minh rằng với mọi aR ta đều có : 1 a2  a 1  3 3 a2  a  1 2/ Cho a b c thoả mãn hệ thức: a2+b2+c2=2 và ab+bc+ca=1 4 4 CMR:   a, b, c  3 3 3/ Cho các số x1 , x 2 , y1 , y 2 , z1 , z 2 thoả mãn các điều kiện: y1.y2>0(1); y1.x1>z12; (2); y2x2>z22 CMR: (y1+y2)(x1+x2) (z1+z2)2 4/ Cho b>c>d. CRM: với mọi aR ta luôn có: (a+b+c+d)2 > 8(ac+bd) 5/ Cho 6 số a, b ,c, d, m,n thoả mãn: a2+b2+c2+d2< m2+n2 CMR: (m2-a2-b2)(n2-c2-d2) (mn-ac-bd)2 III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC A. Một số định lý, bất đẳng thức cần dùng 1. Mệnh đề 1 Nếu tổng các số thực dương x1, x2, ... xn bằng một số cho trước, thì tích của chúng sẽ lớn nhất khi x 1= x2= ... =x n * Định lý 1: Nếu có n số thực dương x1, x2, ... xn có tổng bằng s không đổi thì tích x1 x x P= x1m .x 2m ...x nm có giá trị lớn nhất khi 1 2 n  2  ...  n m1 m2 mn Trong đó mi là các số hữu tỷ dương 2. Mệnh đề 2: đối ngẫu Nếu tích của các số dương x1, x2, .... xn bằng một số cho trước thì tổng của chúng sẽ bé nhất khi x1= x2= .... =x * Định lý 2: Nếu n số thực dương x1, x 2, .... xn có tích P= x1m x 2m ...x nm không đổi thì tổng 1 2 n x1 x x của chúng S= x1+ x2 +.... +xn có giá trị bé nhất khi  2  ...  n m1 m2 mn Trong đó mi là các số hữu tỷ cho trước 3. Cho a1, a2.... an R. Ta có: a1  a 2  ...  a n  a1  a 2  ...  a n (1) Dấu “=” xảy ra  ai cùng dấu(a1, a2.... an>0) Đặc biệt: a1  a 2  a1  a 2 B. Áp dụng: 1. Tìm cực trị của hàm số, biểu thức đại số: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x  19932  x  19942 Giải 20 / 31

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.