Bài tập dãy số

Chia sẻ: Phạm Hùng Vĩ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

922
lượt xem 253
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn tập toán áp dụng Phương pháp chứng minh qui nạp để giải các bài tập về dãy số

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập dãy số

dcq TRUONG THPT LE HOAN Phương pháp chứng minh qui nạp
dcq 1.Chứng minh rằng : r) 1 + + + …+ < 2 ∀n ≥ 2 a) 1 + 2 + 3 + … + n = s) 1 + + + …+ < n b) 12 + 22 + 32 + …+ n2 = 3. Chứng minh rằng = 2cos ( n dấu căn) c) 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n2 4. Chứng minh rằng (1 + a)n ≥ 1 + na với a > – 1 d) 12 + 32 + 52 + …+ (2n – 1)2 = 5. Chứng minh rằng e) 13 + 23 + 33 + …+ n3 = a) sinx + sin2x + sin3x + …+ sinnx = f) + + +...+ = b) 1 + cosx + cos2x + cos3x + …+ cosnx = g) 1 + + +...+ = 1 – c) cos2x + cos22x + cos23x + …+ cos2nx = + h) (1 – )(1 – )…(1 – ) = 6.Cho n số thực dương x1,x2,…,xn thỏa mãn điều kiện x1.x2.…xn = 1 h) 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1) = Chứng minh rằng: x1 + x2 + …+ xn ≥ n i) 1.2 + 2.5 + 3.8 + …+ n(3n – 1) = n2(n + 1) n ∈ N 7.Cho n số thực x1,x2,…,xn ∈ (0;1) n ≥ 2 . Chứng minh rằng: i) + + +...+ = (1 – x1)(1– x2)…(1 – xn) > 1 – x1 – x2 – …– xn j) 1.2 + 2.5 + 3.7 + …+ n(3n – 1) = n2(n + 1) k) 1.4 + 2.7 + 3.10 + …+ n(3n + 1) = n(n + 1)2 Dãy số l) 1 + 4 + 7 + …+ (3n + 1) = ```````````````````````` l) 2 + 5 + 8 + …+ (3n – 1) = 1.Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau : m) + + +...+ = a) un = b) un = c) un = d) un = n) + + +...+ = – e) un = b) un = c) un = (1 + )n d) un = p) 1 + 3 + 6 + 10 +... + = 2.Cho dãy số un = q) + + +...+ = a) Xác định 5 số hạng đầu tiên 2.Chứng minh rằng : b) số là số hạng thứ mấy của dãy số a) n3 – n chia hết cho 6 ∀ n > 1 c) số là số hạng thứ mấy của dãy số b) n3 + 11n chia hết cho 6 ∀ n 2.Cho dãy số (un) với un = 5.4n – 1 + 3 c) 42n +2 – 1 chia hết cho 15 ∀ n Chứng minh rằng: un + 1 = 4un – 9 ∀n≥1 d) 2n+2 > 2n + 5 3.Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: e) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 a) u1 = 3 ; un +1 = un + 4 b) u1 = 4 ; un +1 = 3un + 2 c) u1 = 2 ; u n +1 = un d) u1 = ; un +1 = f) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 e) u1 = ; un +1 = f) u1 = ; un +1 = g) 3n – 1 > n ∀ n > 1 g) u1 = 1 ; u n +1 = un + 1 g) u1 = 1 ; un +1 = un + ()n h) 3n > 3n + 1 4.Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = 0 ; u2 = 1 ; un + 2 = i) 2n – n > a)Chứng minh rằng: un + 1 = – un + 1 j) 11n +1 + 122n – 1 chia hết cho 133 b)Xác định công thức tính un .Từ đó tính limun k) 5.23n – 2 + 33n – 1 chia hết cho 19 4.Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = 2 ; u2 = 1 ; un = a)Chứng minh rằng: 2un + un–1 = 4 và un – un– 1 = 3(– )n– 2 l) 2n3 – 3n2 + n chia hết cho 6 b) Tính limun m) 3n > n2 + 4n + 5 4.Tìm số hạng thứ 2005 của dãy số: n) ∀ n >1 a) u1 = 1 ; u2 = – 2 ; un = 3un – 1 – 2un – 2 o) ∀ n ≥ 1 b) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 p) ..… < 5.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1= un + 7 ∀ n ≥ 1 q) 1 + + + …+ > ∀n ≥ 2 a)Tính u2, u4 và u6
dcq b)Chứng minh rằng: un = 7n – 6 ∀n ≥ 1 u1 = 1 và un +1 = 6.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1= – un2 + un + 1 ∀ n ≥ 1 a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số a)Tính u2, u3 và u4 b)Chứng minh rằng (un) bị chặn dưới bởi số 1 và b)Chứng minh rằng: un = un + 3 ∀n ≥ 1 bị chặn trên bởi số 3/2 7.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= 5un ∀ n ≥ 1 8.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1= a)Tính u2, u4 và u6 Chứng minh rằng un < 3 ∀ n b)Chứng minh rằng: un = 2.5n – 1 ∀n ≥ 1 9.Cho dãy số (un) xác định bởi un = 8.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= 3un + 2n – 1 ∀ n ≥ 1 a)Tìm 5 số hạng đầu tiên b)Chứng minh rằng (un) bị chặn Chứng minh rằng: un = 3n – n ∀n ≥ 1 10. Chứng minh rằng dãy số xác định bởi : u1 = ; un +1= 9.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= ∀ n ≥ 1 tăng và bị chặn trên Chứng minh rằng: (un) là một dãy không đổi 10. Chứng minh rằng:các dãy số sau 9. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = và un + 1= 4un + 7 ∀ n ≥ 1 a) un = + + … + (un) là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1 a)Tính u2, u3 và u4 b) un = 1 + + + …+ tăng và bị chặn trên bởi 2 b)Chứng minh rằng: un = ∀n ≥ 1 c) u1 = ;un + 1 = tăng và bị chặn trên bởi 2 10.Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: d) u1 = 1;un + 1 = tăng và bị chặn trên bởi a) un = b) un = 11.Tìm số hạng lớn nhất của dãy số (un) với un = c) un = n – d) un = Cấp số cộng 3. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: a) un = b) un = n2 – 5 c) un = d) un = (– 1)n.n e) un = 2n 1.Cho cấp số cộng thoả mãn a10 = 15 ; a5 = 5 .Tính a7 f) un = g) un = h) un = i) un = n + cos2n a 3 + a 7 − a 4 = 10 h) un = 1 – 2.Cho cấp số cộng thoả mãn  Tính a5 ;S9 4. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau : a 2 + a 6 = 8 a) un = b) un = c) un = d) un = a 7 − a 3 = 8 e) un = n dấu căn f) un = 2n + cos 3.Cho cấp số cộng thoả mãn  Tính a10 ;S100 f) un = – 2 g) un = h) un = (– 1)n(2n + 1) k) un = a 2 .a 7 = 75 l) un = 2n + m) un = 4. Tìm cấp số cộng biết 5.Cho dãy số (un) xác định bởi un = a là một số thực.Hãy xác định a để: a 2 + a 5 − a 3 = 10 a 7 + a 15 = 60 a) (un) là dãy số giảm b) (un) là dãy số tăng a)  b)  2 a 4 + a 6 = 26 a 4 + a 12 = 1170 2 5.Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 5.Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng a) un = b) un = c) un = tất cả các số hạng là 400.Hỏi cấp số cộng có mấy số hạng,xác định d) un = e) un = f) un = cấp số cộng đó g) un = n dấu căn 5. Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng . Chứng minh rằng : 6. Chứng minh rằng dãy số sau tăng và bị chặn trên: a) a2 + 2bc = c2 + 2ab un = + + …+ b) 3 số a2 + ab + b2 ; a2 + ac + c2 ; b2 + bc + c2 cũng tạo 6. Chứng minh rằng dãy số sau giảm và bị chặn : un = thành 1 cấp số cộng 6.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức c) a2 + 8bc = (2b + c)2 u1 = 0 và un +1 = un + 4 d) 3(a2 + b2 + c2) = 6(a – b)2 + (a + b + c)2 a)Chứng minh rằng un < 8 ∀ n 6. Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10, b)Chứng minh rằng dãy (un) tăng và bị chặn tích = – 56.Tìm 4 số đó 7.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
dcq 7. Năm số a,b,c,d,e tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10, Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng đó có bao nhiêu số tích = 320.Tìm 5 số đó hạng chung 8. Ba số a ,b ,c lập thành một cấp số cộng có tổng = 27 và tổng bình 19.Một xe máy xuất phát từ A với vận tốc 24km/giờ.Sau hai giờ một xe phương của chúng là 293.Tìm 3 số đó máy khác đuổi theo với vận tốc trong giờ đầu là 30km/giờ và cứ mỗi 8. Ba số a ,b ,c lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là 5 và tích giờ sau tăng vận tốc lên 4 km so với giờ trước.Hỏi sau mấy giờ thì hai của chúng là 1140.Tìm 3 số đó người gặp nhau và khi đó cách A bao nhiêu km 8. Ba số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 12, 20.Cho dãy số (un) mà tổng của n số hạng đầu tiên của nó,kí hiệu là Sn tổng nghịch đảo của chúng = .Tìm 3 số đó được xác định theo công thức sau: Sn = 9.Tìm các nghiệm của phương trình x3 – 15x2 + 71x – 105 = 0 biết rằng a)Hãy tính u1,u2,u3 chúng tạo thành một cấp số cộng b)Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) 9.Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 8, c)Chứng minh rằng: (un) là một cấp số cộng ,xác định công sai tổng nghịch đảo của chúng = .Tìm 3 số đó 21.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1 = ∀n ≥ 1 10.Giữa các số 7 và 35 hãy thêm vào 6 số nữa để được 1 cấp a)Chứng minh rằng: dãy số (vn) mà vn = un2 ∀n ≥ 1 là một cấp số cộng , số cộng hãy xác định cấp số cộng đó 11.Cho các số a,b,c > 0. Chứng minh rằng : b)Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) a)các số a2 , b2 , c2 lập thành 1 cấp số cộng c)Tính tổng S = u12 + u22 + u32 + …+ u1002 ⇔ các số , , lập thành 1 cấp số cộng 22.Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1 và un +1 = un + n ∀n ≥ 1 b)các số a,b,c lập thành 1 cấp số cộng ⇔ các số Xét dãy số (vn) mà vn = un + 1 – un ∀ n ≥ 1 , , lập thành 1 cấp số cộng a)Chứng minh rằng: với mọi số nguyên dương k,tổng của k số hạng 12.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 3 cạnh a,b,c lập đầu tiên của dãy số (vn) bằng uk + 1 – u1 thành 1 cấp số cộng ⇔ tg. tg= b)Chứng minh rằng: dãy số (vn) là là một cấp số cộng ,hãy xác định cấp 13. Chứng minh rằng nếu cotg, cotg , cotg tạo thành số cộng đó 1 cấp số cộng thì 3 cạnh a,b,c cũng tạo thành 1 cấp số cộng 23.Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1 và un +1 = un + 2n – 1 ∀n ≥ 1 theo thứ tự đó Xét dãy số (vn) mà vn = un + 1 – un ∀ n ≥ 1 14.Môt đa giác có chu vi là 158cm,độ dài các cạnh lập thành a)Chứng minh rằng: dãy số (vn) là là một cấp số cộng ,hãy xác định cấp 1 cấp số cộng với công sai d = 3.Biết cạnh lớn nhất là 44cm số cộng đó Tính số cạnh của đa giác b)Cho số nguyên dương k,hãy tính tổng của k số hạng đầu tiên của dãy 14.Một đa giác lồi có 9 cạnh và các góc lập thành một cấp số cộng số (vn) theo k.Từ đó suy ra số hạng tổng quát của (un) có công sai d = 3o. Tính các góc của đa giác đó 24.Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = – 2 và un +1 = ∀n ≥ 1 15.Tìm 4 số nguyên khác nhau,biết rằng chúng lập thành 1 a)Chứng minh rằng: un < 0 ∀n ∈ N cấp số cộng và số hạng đầu bằng tổng các bình phương b) Đặt vn = . Chứng minh rằng: (vn) là một cấp số cộng .Từ đó suy ra của 3 số còn lại biểu thức của un và vn 16.Cho cấp số cộng (un). Chứng minh rằng : 24.Cho hai cấp số cộng (un) và (vn) lần lượt có tổng của n số hạng đầu a) + +…+ = un ≠ 0 ∀ n tiên là Sn = 7n + 1 và Sn’ = 4n + 27. Tính tỉ số b) + + …+ = 25. Xác định cấp số cộng biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên được 17.Tìm m để phương trình x4 – (3m + 5)x2 + (m+1)2 = 0 có 4 nghiệm tính bởi công thức Sn = 4n2 + 5n , ∀n ∈ N phân biệt lập thành 1 cấp số cộng 26.Cho cấp số cộng (un) biết Sp = q và Sq = p. Hãy tính Sp + q 18.Cho 2 cấp số cộng (un) : 4,7,10,13,16,.... 27.Cho cấp số cộng (un) biết up = q và uq = p. Hãy tính un (vn) : 1,6,11,16,21,... 28.Cho cấp số cộng (un) biết Sn = 2n + 3n2 Tìm uq 28.Cho cấp số cộng (un) biết Sn = n2 và Sm = m2 . Chứng minh rằng:
dcq 2 2 2 2 2 um = 2m – 1 và un = 2n – 1 b) (a + b )(b + c ) = (ab + bc) 29.Cho cấp số cộng (un) biết Sn = n(5n – 3). Tìm số hạng up c) 3 số ; ; tạo thành 1 cấp số cộng d) 3 số (a + b + c); ; cũng lập thành một cấp số nhân vứi a ,b ,c > 0 Cấp số nhân 7.Tìm x để 3 số x + 1 ; x + 4 ; 5x + 2 tạo thành 1 cấp số nhân 1.Cho cấp số nhân có u2 = – 8; u5 = 64.Tính u4 ; S5 8.Cho 3 số tạo thành 1 cấp số nhân .Nếu thêm 4 vào số hạng 2.Cho cấp số nhân thoả: thứ hai tađược 1 cấp số cộng .Nếu thêm 32 vào số hạng a 4 + a 2 = 60 a 7 − a 1 = 728 thứ 3 ta được 1 cấp số nhân .Tìm 3 số hạng đó a)  tìm a6 ; S4 b)  tìm a4 ; S5 9.Tìm cấp số nhân a,b,c biết a 5 + a 3 = 180 a 1 + a 3 + a 5 = 91 a + b + c = 14 a + b + c = 65 a 7 + a 1 = 1460 a 7 + a 1 = 325 a)  b)  c)  tìm a2 ; S5 d)  a.b.c = 64 a.b.c = 3375 a 1 + a 3 = 20 a 1 − a 3 + a 5 = 65 10.Biết rằng 3 số a,b,c lập thành 1 cấp số nhân và 3 số a,2b,3c lập thành 1 cấp số cộng .Tìm công bội của cấp số nhân 3.Cho cấp số nhân (un) có 3.u2 + u5 = 0 và u32 + u62 = 63.Tính tổng 11. Tìm cấp số nhân a,b,c biết rằng tổng a + b + c = 26,đồng thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất,thứ ba và thứ chín S = |u1| + |u2| + |u3| + ….+|u15| của một cấp số cộng khác 12.Tìm cấp số nhân a,b,c biết rằng tổng a + b + c = 21, 4.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1 = 3.un2 – 10 ∀n ≥ 1 đồng thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất,thứ hai và thứ tư của 1 cấp số cộng khác Chứng minh rằng: (un) vừa là cấp số cộng ,vừa là cấp số nhân 13.Tính các góc của 1 tam giác vuông có độ dài 3 cạnh 3.Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có lập thành 1 cấp số nhân công bội bằng 2 . Tìm 4 góc ấy 14.Cho 2 số a,b > 0.Giữa các số và hãy thêm vào 5 4.Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9 số hạng cuối là 2187, công số nữa để được 1 cấp số nhân bội q = 3 Hỏi cấp số nhân ấy có mấy số hạng 15.Hãy xác định 1 cấp số nhân có 6 số hạng,biết rằng tổng 4. Xác định cấp số nhân có công bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng 3 số hạmg đầu bằng 168, tổng 3 số hạng sau bằng 21 các số hạng là 728 16.Khoảng cách giữa 1 người đi xe máy và 1 người đi bộlà 1km .Vận 5.Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu tốc của xe máy = 10 lần vận tốc người đi bộ.Hỏi xe máy bằng cần vượt 1 quãng đường dài bao nhiêu để đuổi kịp người đi bộ 31 và tổng của 5 số hạng sau bằng 62 17.Tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4.Trung điểm của 6.Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và các cạnh tam giác ABC lập thành tam giác A1B1C1,trung điểm số các cạnh của A1B1C1 lập thành tam giác A2B2C2 trung điểm hạng cuối bằng 27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72 các cạnh của A2B2C2 lập thành tam giác A3B3C3 ....Tính tổng 5. Trong 1 hồ sen số lá sen ngày sau bằng 3 lần số lá sen chu vi của tất cả các tam giác ABC, A1B1C1, A2B2C2... ngày trước.Biết rằng nếu ngày đầu tiên có 1 lá sen thì 18.Các cạnh của tam giác ABC lập thành 1 cấp số nhân . tới ngày thứ 10 thì hồ đầy lá sen Chứng minh rằng tam giác ấy không thể có 2 góc lớn hơn 600 a)Khi đầy hồ có mấy lá sen 19.Cho tam giác ABC có 3 góc A,B,C lập thành 1 cấp số b)Nếu ngày đầu tiên có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy đầy hồ nhân có công bội q = 2. Chứng minh rằng : 6.Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số nhân .Chứng minh rằng a) a) (a + b + c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2 b) cos2A + cos2B + cos2C = a) (bc + ca + ab)3 = abc(a + b + c)3
dcq 20.Hãy xác định a,b sao cho 1,a,b lập thành 1 cấp số cộng và c) S = 1 + + + + …+ 1, a 2,b2 lập thành 1 cấp số nhân 31.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 ;un + 1 = và dãy số (vn) xác định bởi 21.Ba số dương lập thành 1 cấp số cộng có tổng = 15.Nếu thêm 1 vào vn = un – 2 . Chứng minh rằng: (vn) là một cấp số nhân .Từ đó suy ra biểu số thứ nhất và số thứ hai,thêm 4 vào số thứ ba thì được 3 số mới lập thức của un và vn thành 1 cấp số nhân .Tìm các số đó 21 Ba số lập thành 1 cấp số cộng có tổng = 15.Nếu thêm 1 vào số thứ BAN NAO KHONG HIEU CAN THEM BAI TAP LIEN HE THAY nhất, thêm 4 vào số thứ hai,thêm 19 vào số thứ ba thì được 3 số mới lập :TRINH TAN LINH SO DIEN THOAI 0937330126 thành 1 cấp số nhân .Tìm các số đó 22.Bốn số lập thành 1 cấp số cộng .Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2,6,7,2 ta được 1 cấp số nhân .Tìm 4 số đó 23.Ba số khác nhau tạo thành 1 cấp số nhân ,có tổng = 15 đồng thời chúng là số hạng thứ nhất,thứ tư,thứ hai mươi lăm của 1 cấp số cộng khác.Tìm các số đó 24.Cho cấp số nhân a,b,c,d. Chứng minh rằng : a) a2b2c2 = a3 + b3 + c3 b) (ab + bc + cd)2 = (a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2) c) (d – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = (d – a)2 25.Một cấp số cộng và một cấp số nhân cùng có số hạnh thứ nhất bằng 5,số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10,còn các số hạng thứ ba thì bằng nhau. Tìm các cấp số đó 26.Ba số x ,y ,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ≠ 1;đồng thời các số x ,2y ,3z theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai d ≠ 0.Hãy tìm q 27.Ba số x + 6y ,5x + 2y ,8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ; đồng thời các số x – 1 , y + 2 , x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.Hãy tìm x và y 27.Ba số x + 6y ,5x + 2y ,8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ; đồng thời các số x + , y – 1 , 2x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.Hãy tìm x và y 28.Ba số x ,y ,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân;đồng thời các số x , y – 4 , z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; và ba số x , y – 4, z – 9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng .Hãy tìm x ,y ,z 29.Các số x + 5y ,5x + 2y ,8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ;đồng thời các số (y – 1)2 ,xy – 1, (x + 2)2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân . Hãy tìm x và y 30.Tính các tổng a) S = 1 + + + + …+ b) S = ( – ) + ( – ) + ( – ) + …+ ( – )