10 đề thi Olympic Toán lớp 10 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Nam

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xin giới thiệu tới các bạn học sinh lớp 10 tài liệu “10 đề thi Olympic Toán lớp 10 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Nam”, giúp các bạn ôn tập dễ dàng hơn và nắm các phương pháp giải bài tập, củng cố kiến thức cơ bản nhằm chuẩn bị thật tốt cho kì thi sắp diễn ra. Mời các em cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 10 đề thi Olympic Toán lớp 10 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Nam

SỞ GD & ĐT QUANG NAM ̉ ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10 Năm học 20162017 (Thời gian làm bài 180 phút) Câu 1: (5 điểm) ̉ Giai ph ương trinh sau ̀ : Câu 2: (3 điểm) ̀ ̣ ường thăng Cho Parabol (P) va ho đ ̉ : y = (m – 2)x + 2 – 2m. 1) Tim đi ̀ ều kiện của m để cắt (P) tại 2 điểm phân biêt. ̣ 2) Khi cắt (P) tại 2 điểm phân biêt co hoanh đô lân l ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ượt la x, x. Tim tât ca cac gia tri cua m thoa ̀ ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ̉ man ̃ : Câu 3 : ( 3 điêm) ̉ ́ ̣ ̉ ́ ̉ Cho a>0, b>0, c>0 va a + 2b + 3c . Tim gia tri nho nhât cua . ̀ ̀ Câu 4 : ( 2 điêm) ̉ ̉ ̣ ương trinh Giai hê ph ̀ : Câu 5 : ( 3 điêm) ̉ Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b,c. Chứng minh rằng: . Câu 6 : ( 4 điêm)̉ : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác cân tại có phương trình hai cạnh là , điểm thuộc đoạn thẳng . Tìm tọa độ điểm H sao cho có giá trị nhỏ nhất. …………………Hêt………………… ́
SỞ GD & ĐT QUANG NAM ̉ ĐÁP ÁN THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10 Năm học 20162017 (Thời gian làm bài 180 phút) Câu 1: (5 điểm) ̉ Giai ph ương trinh sau ̀ ̣ ́ ực: . trên tâp sô th Phương trình đã cho tương đương: (*) 1,0 Đặt Phương trình (*) trở thành hệ đối xứng: 1,5 Đặt 1,5 Phương trình (2) trở thành: (2’) Xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn u. . Phương trình (2’) vô nghiệm Phương trình (2) vô nghiệm. +) Với a = x thế vào (1): 1,0 Vậy phương trình có nghiệm . Câu 2: (3 điểm) ̀ ̣ ường thăng Cho Parabol (P) va ho đ ̉ : y = (m – 2)x + 2 – 2m. 1) Tim đi ̀ ều kiện của m để cắt (P) tại 2 điểm phân biêt. ̣ Phương trinh hoanh đô giao điêm cua (P) va : (1) ̀ ̀ ̣ ̉ ̉ ̀ 1,0 ̣ ̣ Theo đê: (1) co 2 nghiêm phân biêt > 0 (*) ̀ ́ 2) Khi (dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biêt co hoanh đô lân l ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ượt la x, x. Tim tât ca cac gia tri cua m thoa ̀ ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ̉ man ̃ : Phương trinh (1) co 2 nghiêm x, x nên x+ x=m+3 va x. x = 2+2m. ̀ ́ ̣ ̀ 1,0 Theo đề : 1,0 ́ ợp vơi (*) ta đ Kêt h ́ ược :
Câu 3 : ( 3 điêm) ̉ ́ ̣ ̉ ́ ̉ Cho a>0, b>0, c>0 va a + 2b + 3c . Tim gia tri nho nhât cua . ̀ ̀ Ta co: ́ 1,0 0,5 ́ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ̉ Ap dung gia thiêt va bât đăng thức Côsi ta được: 1,0 ́ ̉ , dâu = xay ra khi a = 2, b = 3, c = 4 0,5 Câu 4 : ( 2 điêm) . Giai hê ph ̉ ̉ ̣ ương trinh ̀ : ̀ ̣ Điêu kiên: 0,25 ̣ Đăt 0.5 ̣ ở thanh (vi loai) Hê tr ̀ ̀ ̣ 0.5 ̀ ̉ thay vao (không thoa man) ̃ 0.5 ̣ ̣ ́ ̣ ̣ Vây hê co môt nghiêm 0.25 Câu 5 : ( 3 điêm) ̉ Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b,c. Chứng minh rằng: . Ta có 1,0 1,5 0,5 Câu 6: (4 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác cân tại có phương trình hai cạnh là , điểm thuộc đoạn thẳng . Tìm tọa độ điểm sao cho có giá trị nhỏ nhất.
HDC Tìm tọa độ điểm sao cho có giá trị nhỏ nhất Phương trình các đường phân giác góc A là Do Δ cân tại nên phân giác trong () 1,0 của góc vuông góc với BC , khi đó đi qua và có vtpt ; Phương trình cạnh : Tọa độ : 1,0 Tọa độ : Khi đó ; ngược hướng ; nằm hai phía () ( thỏa mãn) , khi đó đi qua và có vtpt Phương trình cạnh: Tọa độ : 1,0 Tọa độ : Khi đó ; cùng hướng (loại) Với ; . Đặt . Dấu 1,0 Vậy thì nhỏ nhất bằng 32. Hết SỞ GD VÀ ĐT QUẢNG NAM KÌ THI OLYMPIC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI BÌNH MÔN: TOÁN 10 NĂM HỌC 2016 2017 Thời gian: 150’ (không kể thời gian phát đề) Câu 1 (4 điểm). Cho hàm số y = . 1. Vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 2. Tìm m để có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1. Câu 2 (2 điểm). Giải phương trình sau: Câu 3 ( 3 điểm). Giải hệ phương trình: Câu 4 ( 4 điểm). Cho 3 số dương a, b,c thỏa . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a+ b + c
Câu 5 ( 3 điểm). Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Chứng minh điểm M thuộc đường tròn khi và chỉ khi . Câu 6 ( 4 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD = 2BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD. Giả sử , phương trình đường thẳng và . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………………………………; Số báo danh………… TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI BÌNH TỔ TOÁN ĐÁP ÁN KÌ THI OLYMPIC MÔN: TOÁN 10 NĂM HỌC 20162017 Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 1 2,0 điểm Tọa độ đỉnh, chiều 1,0 lõm Hình dạng 1.0 1 2 2,0 điểm Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1.0 lớn hơn 1 khi 1.0 2,0 điểm. Giải 2 phương trình sau:
Đk x 1 0,5 Phương trình tương 0.5 đương ( 0.5 Giải được nghiệm 0.5 x = 3; x = ( 3 điểm). Giải hệ 3 phương trình: * Thay x = 0 vào hệ ta thấy không thỏa hệ. * Với hệ 1,0 Đặt Hệ trở thành 0.5 Giải được 0,5 * Với Ta có 0,5 * Với ta có Ta có 0,5 4 điểm. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a+ b + c ; ; 1,5 4 Cộng vế theo vế ta được VT 1,5 S 0,5 GTLN của S bằng 3 khi a = b = c =1 0,5 5 3,0 điểm: Chứng minh điểm M thuộc đường tròn khi và chỉ khi . Ta có: 0,5 1,5 0,5 ++= 2BC2 = 6R2 1,0 ( đpcm) 6 4,0 điểm
Qua E dựng đường thẳng song song với AD cắt AH tại K và cắt AB 0.5 tại I Suy ra: +) K là trực tâm của tam giác ABE, nên BK AE. +) K là trung điểm của AH nên KE song song AD và hay KE song song và bằng BC Do đó: CE: 2x 8y + 27 = 0 1.0 Mà , mặt khác E là trung điểm của HD nên 0.5 Khi đó BD: y 3 = 0, suy ra AH: x + 1 = 0 nên A(1; 1). 0.5 Suy ra AB: x 2y +3=0. Do đó: B(3; 3). 1.0 KL: A(1; 1), B(3; 3) và D(2; 3) 0.5 Học sinh làm cách khác nếu đúng căn cứ thang điểm giáo viên cho điểm. SỞ GIÁO VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI OLYMPIC 243 LẦN THỨ 2 – TOÁN QUẢNG NAM 10 Thời gian làm bài: 180ph, không kể thời gian giao đề TRƯỜNG THPT NGUYỄN HIỀN Câu 1(5,0đ) a. Giải bất phương trình: b. Giải hệ phương trình: Câu 2(4,0đ): a. Giả sử phương trình bậc 2 ẩn x(tham số m): có 2 nghiệm thỏa . Tìm GTLN,GTNN của P= b. Cho hàm số y=f(x)=2(m1)x+ . Tìm tất cả các giá trị của m để f(x)
SỞ GIÁO VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI OLYMPIC 243 LẦN THỨ 2 – TOÁN 10 QUẢNG NAM Hướng dẫn chấm TRƯỜNG THPT NGUYỄN HIỀN Câu Nội dung Điểm Câu1 a. Giải bpt: (1) 2đ 5đ
ĐK: 0.25 Đặt BPT (1) 0.25 Mà do và t 0 nên >0. 0.25 BPT tt: xt1 0 t22t1 0 0.25 Lúc đó, x 0.25 Vậy nghiệm của BPT là x 0.25 0.25 0.25 b. Giải hệ phương trình: (2) 3đ (2) 0.25 Đặt lúc đó hệ trở thành: Đặt S=u+v; P=uv; Hệ trở thành: 0.5 Lúc đó, Vậy nghiệm của hệ: 0.25 0.25x4 0.5 0.5 Câu 2 a. Giả sử phương trình bậc 2 ẩn x(tham số m): có 2 nghiệm thỏa . Tìm 3đ 4đ GTLN,GTNN của P=
PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa 0.25 0.5 Định lí Viet BBT 0.5 5 0.25 m ∞ 2 0 2 3 +∞ 4 0.5 0 16 0.5 P 144 24 Dựa trên BBT, ta có MaxP=16 tại x=2; MinP=144 tại x=2 0.5 b. Cho hàm số y=f(x)=2(m1)x+ . Tìm tất cả các giá trị của m để f(x)
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Phần b 1.5đ A M c b N I C B K a Gọi M,N,K lần lượt là các tiếp điểm của cạnh AC,AB,BC đối với đưởng tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta dễ dàng CM: AM=pa 0.25 Nên 0.25 CM tương tự, ; 0.25 Lúc đó, VT= 0.25 0.25 Câu 4 Vẽ hình 4đ 0.5 0.75 0.25
M(4;2) 0.75 A 0.5 0.5 G( 11 1 ; ) 0.25 3 3 I(4;0) 0.5 B C Gọi B(a;12a); Gọi N là trung điểm AC suy ra Ta có: Mà nên tồn tại k thuộc R sao cho Pt đường AC: x+y6=0(1) Pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(4;0), bán kính R=IB= là (2) Tọa độ A,C là nghiệm hệ gồm (1) và (2), giả ra ta được Vậy A(3;3); B(1;1); C(7;1) hoặc C(3;3); B(1;1); A(7;1) Câu 5 Giả thiết ta có: 0.5 4đ Ta có: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y=z 1 Viết 2 bđt tương tự rồi cộng lại, ta được: ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z Ta sẽ CM: 0.5 Điều này luôn đúng Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 0.25 0.75 0.25 0.25
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC 24 – 3 QUẢNG NAM Năm học 2016 – 2017 Môn thi: Toán – Lớp 10 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu 1: (3 điểm) a) Tìm tập xác định của hàm số b) Cho parabol (P): y = x2 + 3x – 4 và đường thẳng d: x – y – 3m = 0. Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thuộc đoạn [2; 3] Câu 2: (5 điểm) a) Giải bất phương trình b) Giải hệ phương trình Câu 3: (3 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân ở A, H là trung điểm cạnh BC, D là hình chiếu vuông góc của H lên AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh AMBD Câu 5: (4 điểm) a )Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có: trong đó p là nữa chu vi của tam giác ABC b) Cho tam giác ABC vuông tại A, I là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC. Chứng minh diện tích của tam giác ABC bằng BI.CI Câu 6: (3.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I. Các điểm lần lượt là trọng tâm của tam giác ABI và tam giác ADC. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết tung độ đỉnh A là số nguyên …………………Hết…………………
HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm 1a Tìm tập xác định của hàm số 1,25 y có nghĩa 0.5 Kết luận TXĐ D = [2; 2) 0.5 0,25
1b Cho parabol (P): y = x2 + 3x – 4 và đường thẳng d: x – y – 3m = 0. Tìm tất cả các giá trị 1,75 m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thuộc đoạn [2; 3] Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): x2 + 2x + 3m – 4 = 0 (*) (*) cũng là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số y = x2 + 2x – 4 và y = 0.5 3m +Vẽ bảng biến thiên của hàm số y = x2 + 2x – 4 trên đoạn [2; 3] 0,5 +Lập luận và dựa vào bảng biến thiên để có Kết luận 0,5 0,25 2a Giải bất phương trình (1) 2,0 Điều kiện: 0.25 Khi đó (1) 0.25 0.5 Kết luận tập nghiệm 0.5 0.25 0,25
2b Giải hệ phương trình (2) 3,0 Điều kiện: 0.25 (2) 0,5 Kết luận nghiệm của hệ phương trình 0.75 1 0,5 3 3.0 Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có: (1) Tương tự (2) 0.5 (3) Từ (1), (2), (3) 0. Do 0.5 Nên 0.25 0.25 Dấu “ =” xãy ra khi 0.5 0.5 0.25
0.25 4 2.0 0.5 0.5 = 0.5 0.5 5a 0.5 2.0 0.25 0.25 0.5 0.5 5b 2.0 A H K B I C Gọi S là diện tích tam giác ABC, K và H lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với các cạnh AB, AC; r là bán kính đường tròn. ta có: 0.25 2S = AB.AC = (AK + KB).(AH + HC) 0.25 = (r + KB).(r + HC) 0.25 = (r + BI).(r + CI) 0.25 = r2 + r.BI + r.CI +BI.CI 0.25 = r.(r + BI + CI) + BI.CI 0.25 = r.p + BI.CI
= S + BI.CI 0.25 0.25 6 3.0 Gọi M là trung điểm của BI và N là hình chiếu vuông góc của G lên BI. G B M N I E D C Ta có GN//AI E là trọng tâm ACD cân tại GA,B,E thuộc đường tròn tâm G, bán kính GE vuông cân tại G 0.5 Phương trình (AG):(AG): x + 13y – 51 = 0 0.25 GA = GE 0.25 Phương trình (BD) đi qua E và M: 5x – 3y – 17 = 0 Phương trình đường tròn (G) tâm G, bán kính GE: 0.25 B là giao điểm thứ hai của (BD) và đường tròn (G) AD qua A và vuông góc với AB, phương trình (AD):4x + y = 0 D là giao điểm của (BD) và (AD) nên D(1;4) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 SỞ GIAO DUC QUANG NAM KY THI HOC SINH GIOI L ́ ̣ ̉ ̀ ̣ ̉ ƠP 10 ́ TRƯƠNG THPT CHU VĂN AN NĂM HOC 20162017 ̀ ̣ MÔN TOAŃ Thơi gian: 180p(không kê th ̀ ̉ ơi gian giao đê) ̀ ̀
Câu 1: ̉ a(3đ). Giai phương trinh ̀ ̉ ̣ ương trinh: b(2đ). Giai hê ph ̀ ̉ ường thăng căt parabol (P): tai hai điêm A,B sao cho . Câu 2(4đ): Tim m đê đ ̀ ̉ ́ ̣ ̉ Câu 3(4đ):Vơi la 3 sô th ́ ̀ ́ ực dương,hay tim gia tri nho nhât cua biêu th ̃ ̀ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ ức Câu 4: a(2đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có đáy là AD và BC, biết rằng AB = BC, AD = 7. Đường chéo AC có phương trình x – 3y – 3 = 0; điểm M(2; 5) thuộc đường thẳng AD. Tìm tọa độ đỉnh D biết rằng đỉnh B(1;1). ̉ ường tron ngoai tiêp hinh ch b(2đ): Trên cung AB cua đ ̀ ̣ ́ ̀ ữ nhât ABCD ta lây điêm ̣ ́ ̉ ̣ ́ ̉ ̣ ̉ M khac A va B.Goi P,Q,R,S la hinh chiêu cua M trên cac đoan thăng AD,AB,BC,CD. ́ ̀ ̀ ̀ ́ Chưng minh răng va giao điêm cua chung năm trên môt trong hai đ ́ ̀ ̀ ̉ ̉ ́ ̀ ̣ ường cheo cua hinh ́ ̉ ̀ chư nhât ABCD. ̃ ̣ ́ ực tâm H va nôi tiêp trong môt đ Câu 5(3đ): Cho tam giac ABC co tr ́ ̀ ̣ ́ ̣ ường tron tâm ̀ O.Chưng minh răng . ́ ̀ HÊT ́ ĐAP AN ́ ́
̣ Nôi dung ̉ điêm ̣ Câu 1 a đk ,đăt , 0.5 pttt 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ̣ ương đương vơi Câu 1 b Hê t ́ 0.5 ̣ Đăt Vơi ́ vơi ́ 0.5 0.5 0.5 Câu 2 phương trinh hđgđ: ̀ 0.5 ̉ ́ ̣ ̉ Đk đê căt tai 2 điêm A,B: 0.5 ta co ́ 0.5 0.5 0.5 KL 0.5 0.5 0.5