Ánh xạ liên tục trên không gian topo

Chia sẻ: Đào Thanh Bình | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

869
lượt xem 145
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 1 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ TỔNG QUÁT A. Kiến thức chuẩn bị: 1. Định nghĩa tôpô: Cho tập X ≠ Ø. Một họ các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: a) X và Ø ; là thuộc ; . cũng thuộc b) Hợp tùy ý các tập thuộc c) Giao hữu hạn các tập thuộc (X, ). Một tập X được trang bị một tôpô trên nó được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu Nếu chỉ ký hiệu không gian...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ánh xạ liên tục trên không gian topo

z  Ánh xạ liên tục trên không gian topo
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình Chương 1 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ TỔNG QUÁT A. Kiến thức chuẩn bị: 1. Định nghĩa tôpô: Cho tập X ≠ Ø. Một họ các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: a) X và Ø ; b) Hợp tùy ý các tập thuộc là thuộc ; c) Giao hữu hạn các tập thuộc cũng thuộc . Một tập X được trang bị một tôpô trên nó được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu (X, ). Nếu chỉ ký hiệu không gian tôpô l à X thì ta ngầm hiểu rằng trên X đã được trang bị một tôpô nào đó. 2. Tập mở, tập đóng, lân cận: Cho không gian tôpô (X, ). a) Mọi tập thuộc được gọi là tập mở; tập có phần bù là tập mở gọi là tập đóng. b) Với mỗi điểm x X, tập V X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở G trong X sao cho x G V. Nhận xét: G là tập mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm thuộc nó. c) Họ tất cả các lân cận của điểm x được gọi là hệ lân cận của x, ký hiệu x. Họ x x được gọi là một cơ sở lân cận của điểm x nếu V x, B x sao cho x B V. 3. Các loại điểm, phần trong, bao đóng: Cho không gian tôpô (X, ), x X và tập A X. a) Các loại điểm: -3-
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - x gọi là điểm trong của A nếu tồn tại tập mở G sao cho x G A. - x gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại tập mở G sao cho x G X \ A. - x gọi là điểm biên của A nếu V x, V A ≠ Ø, và V (X \ A) ≠ Ø. - x gọi là điểm dính của A nếu V x, V A ≠ Ø. - x goi là điểm cô lập của A nếu V x: V A = Ø. Nếu A = X thì x là điểm cô lập của A nếu tập {x} là tập mở. b) Phần trong của tập A, ký hiệu là int A hoặc A o , là tập tất cả các điểm trong của A. Nói cách khác, phần trong của A là tập mở lớn nhât chứa trong A. c) Bao đóng của tập A, ký hiệu A , là tập đóng bé nhất trong X chứa A. 4. Tập hợp trù mật, không gian khả ly: a) Trong không gian tôpô X, t ập con A của X được gọi là trù mật trong X nếu A = X. Nếu int A = Ø thì A gọi là tập thưa ( hay tập không đâu trù mật). b) Không gian tôpô (X, ) là không gian khả ly nếu tồn tại một tập A X sao cho A không quá đếm được và A = X, tức là A trù mật trong X. 5. Tập thuộc phạm trù:: Không gian tôpô X gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X bằng hợp đếm được các tập không đâu trù mật. Không gian không thuộc phạm trù thứ nhất gọi là thuộc phạm trù thứ hai. 6. Không gian T1, T2 và không gian chuẩn tắc: a) Không gian tôpô X được gọi là T1 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất k ì của X đều có một lân cận của x không chứa y v à một lân cận của y không chứa x. b) Không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorff (hay T 2 - không gian) nếu bất kì hai điểm khác nhau x, y X đều tồn tại một lân cận U của x v à lân cận V của y sao cho U V = Ø. c) Không gian tôpô X được gọi là không gian chuẩn tắc (hay T 4 – không gian) nếu X là T1 – không gian và với hai tập đóng bất kì A, B không giao nhau của X luôn tồn tại các tập mở U và V sao cho A U, B V và U V = Ø. 7. Không gian tôpô tổng, tích, thương: Cho ( X , ) I là họ các không gian tôpô. -4-
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình a) Tổng: Đặt X = X . Xét họ = {G X: G X , I}. Khi đó, là một tôpô I trên X và (X, ) là không gian tôpô tổng của họ không gian tôpô đ ã cho, ký hiệu X= X . I Nếu họ X I rời nhau từng đôi thì tổng gọi là tổng trực tiếp, ký hiệu X = I X . Ký hiệu i : X X , i ( x ) = x, là phép nhúng chính t ắc. b) Tích Descartes: Đặt X = I X và :X X là phép chiếu (hay ánh xạ tọa độ thứ ). Gọi là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu liên tục (định nghĩa ánh xạ liên tục sẽ được trình bày sau trong chương này). Khi đó, (X, ) gọi là không gian tôpô tích của họ không gian đã cho. c) Không gian thương: Cho không gian tôpô (X, ) và một quan hệ tương đương R trên X. Ký hiệu X/R là tập thương của X theo quan hệ tương đương R. Xét ánh xạ : X X/R xác định bởi (x) = x , với x là lớp tương đương chứa x. Khi đó, gọi là phép chiếu chính tắc và dễ thấy là toàn ánh. -1 Trên X/R, dễ thấy họ = {V X/R: (V) } là một tôpô và là tôpô mạnh nhất để liên tục. Khi đó, (X/R, ) gọi là không gian thương của không gian X theo quan hệ t ương đương R. B. Các vấn đề về ánh xạ liên tục. 1.1. Định nghĩa ánh xạ liên tục: Cho hai không gian tôpô (X, τX ), (Y, τ Y ) và ánh xạ f: X Y. Khi đó, f được gọi là liên tục tại điểm x 0 X nếu với mỗi lân cận W của f(x0) Y, tồn tại lân cận V của x0 sao cho f(V) W. Nếu f liên tục x X thì f được gọi là liên tục trên X. Nếu f: (X, X ) (Y, Y ) là ánh xạ liên tục thì ta còn nói ánh xạ f là ( X , Y )- liên tục. -5-
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình 1.2.Các định lý và tính chất: Với mỗi x, ký hiệu x là cơ sở lân cận của x. Khi đó, ta có định lý sau: Định lý 1.2.1: Ánh xạ f: X Y liên tục tại x khi và chỉ khi W f(x), tồn tại V ßx sao cho f (V) W. Chứng minh: Giả sử f liên tục tại x, và W f(x). Vì W là một lân cận của f(x) nên tồn tại lân cận U của x sao cho f(U) W. Mà x là cơ sở lân cận của x nên có V x sao cho V U, do đó f(V) f(U) W. Ngược lại, gọi G là một lân cận của f(x) W f(x): W G. Theo giả thiết, U x : f(U) W f(U) G f liên tục tại x. Định lý 1.2.2: Cho (X, τ X ), (Y, τ Y ) là hai không gian tôpô. Ánh x ạ f: X Y liên tục -1 tại điểm x X khi và chỉ khi với mọi lân cận W của f(x) th ì f (W) là lân cận của x. Chứng minh: Giả sử f liên tục tại x và W là lân cận của f(x). Khi đó tồn tại lân cận V của x sao cho f(V) W V f -1(W) f -1(W) là lân cận của x. Ngược lại, gọi W là lân cận của f(x). Theo giả thiết, f -1(W) là lân cận của x. Đặt V= f -1(W) thì V là lân cận của x và f(V) = f( f -1(W)) W f liên t Định lý 1.2.3: Cho ánh xạ f: (X, τX ) (Y, τY ). Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: a) f liên tục trên X. b) Nghịch ảnh của mỗi tập mở trong Y l à tập mở trong X. c) Nghịch ảnh của mỗi tập đóng trong Y là tập đóng trong X. d) A X f( A ) f ( A) . e) B Y f 1 ( B) f-1( B ). f) B Y f -1(int B) int f -1(B). Chứng minh: -6-
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình a) b): Giả sử G τY (tức G mở trong Y), G ≠ Ø. Với mỗi x f -1(G) thì f(x) G, do G là tập mở nên G là lân cận của f(x). Mà f liên tục nên tồn tại lân cận V của x sao cho f(V) G x V f -1(G) f -1(G) là lân cận của x. Vậy, f -1(G) là lân cận của mọi điểm thuộc nó n ên f -1(G) là tập mở. b) c): Gọi F là tập đóng trong Y Y\F là tập mở trong Y f -1(Y\F) = X\ f -1(F) -1 là tập mở trong X f (F) đóng trong X. c) d): A X, ta có f -1( f ( A) ) là tập đóng trong X. Vì f(A) f ( A) nên A f -1( f ( A) ) A f -1( f ( A) ) f( A ) f (f -1( f ( A) )) f ( A) d) e): B Y, ta có: f( f 1 ( B ) ) f(f 1 ( B )) B f 1 (B) f -1( B ). e) f): B Y f -1(int B) = f -1(Y\ Y \ B ) = X\f -1( Y \ B ). Mà X \ f 1 ( B ) = f 1 (Y \ B ) f-1( Y \ B ) (do e) Nên X\f -1( Y \ B ) X\ X \ f 1 ( B ) = int f -1(B). Vậy, f -1(int B) int f -1(B). f) a): x X, gọi W là lân cận mở của f(x). Theo giả thiết ta có: x f -1(W) = f -1(int W) int f -1(W). Nếu đặt V = int f -1(W) thì V là lân cận của x và f(V) W. Do đó, f liên tục trên X. Nhận xét 1.2.1: a)Từ định lý 1.2.3 ta có thể phát biểu lại định lý 1.2.2 như sau: “Ánh xạ f: X Y liên tục tại điểm x X khi và chỉ khi với mọi lân cận mở W của f(x) thì f -1(W) là lân cận mở của x”. b) Nếu f:(X, X ) (Y, Y ) là ánh xạ liên tục thì với mọi tôpô trên X mà X thì ánh xạ f: (X, ) (Y, Y ) cũng liên tục. Thật vậy, với x X gọi W là lân cận mở của f(x). Vì f là ( X , Y )- liên tục nên f -1(W) X f -1(W) ánh xạ f là ( , Y )-liên tục. Ví dụ 1.1: Cho X là không gian tôpô r ời rạc, Y là không gian tôpô tùy ý. Khi đó, mọi ánh xạ f: X Y đều liên tục. Thật vậy, nếu G là tập mở trong Y thì f -1(G) X, mà X -1 rời rạc nên f (G) mở trong X. -7-
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình Ví dụ 1.2: Nếu X là không gian tôpô bất kỳ và Y là không gian tôpô thô thì m ọi ánh xạ f: X Y đều liên tục vì A X, A ≠ Ø thì f( A ) = f ( A) = X ( do đó f( A ) f ( A) ). Ví dụ 1.3: Trên tập X trang bị hai tôpô τ1 và τ2. Ánh xạ đồng nhất f: (X, τ1 ) (X, τ2 ) liên tục khi và chỉ khi τ1 ≥ τ2 (hay τ1 τ2). Thật vậy, vì ánh xạ đồng nhất f:(X, 2 ) (X, 2 ) liên tục nên theo nhận xét 1.2.1 nếu τ1 ≥ τ2 thì ánh xạ đồng nhất f: (X, τ1) (X,τ2) cũng liên tục. Điều ngược lại là hiển nhiên. Ví dụ 1.4: Ánh xạ hằng f: X Y (y0 cố định trong Y) là ánh xạ liên tục vì với x y0 mọi lân cận W của y 0 thì f -1(W) = X là lân cận của x x X. Định lý 1.2.4: Cho ba không gian tôpô (X, τX ), (Y, τ Y ), (Z, τ Z ) và hai ánh xạ liên tục f: X Y, g: Y Z. Khi đó ánh xạ tích h = gof: X Y cũng liên tục. Chứng minh: Giả sử V mở trong Z g-1(V) mở trong Y h-1(V) = f -1[g-1(V)] mở trong X. Do đó, h liên tục. Nhận xét 1.2.2: Giả sử X là không gian tôpô, R là tập số thực với tôpô tự nhi ên ( tôpô tự nhiên trên R là tập các khoảng mở của R ). Khi đó, các ánh xạ f: X R được gọi là các hàm số. Theo định lý 1.2.1, f liên tục tại x0 X khi và chỉ khi ε > 0, lân cận V của x0 sao cho x V thì | f(x) – f(x0) | < ε. Đặt biệt, nếu X = R thì ta được hàm số f: R R. Khi đó, f liên tục tại x0 R khi và chỉ khi ε >0, δ >0 sao cho x R thỏa | x – x0 | < δ thì | f(x) – f(x0) | < ε. Đây là định nghĩa quen thuộc về hàm liên tục trong giải tích cổ điển đối với h àm một biến thực. Định lý 1.2.5: Cho f,g: X R là các hàm số liên tục. Khi đó, các hàm | f |, -f, f g, f f.g, min{f, g}, max{f, g} là liên tục. Nếu g(x) ≠ 0 x X thì cũng liên tục. g Chứng minh: a) Gọi h: R → R là hàm số xác định bởi h(x) = |x|. Khi đó, | f | = hof là hợp của hai hàm liên tục nên | f | liên tục. b) Do f liên tục nên x X, ε > 0, lân cận V của x sao cho x’ V ta có |f(x’) – f(x)| < ε |(-f)(x’) – (-f )(x)| = |-f(x’) + f(x)| = | f(x’) – f(x)| < ε. Do đó, -f liên tục. -8-
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình c) Đặt φ = f + g. x X và ε > 0, ta có: Vì f liên tục nên lân cận V của x sao cho x’ V: |f(x’) – f(x)| < . 2 Vì g liên tục nên lân cận V’ của x sao cho x’ V’: |g(x’) – g(x)| < . 2 Đặt V = U U’ thì V cũng là một lân cận của x và x’ V ta có: | φ(x’) – φ(x)| ≤ | f(x’) – f(x)| + |g(x’) – g(x)| < + = ε. 2 2 Vậy, φ = f +g liên tục. d) Vì f liên tục và –g liên tục nên f – g = f + (-g) liên tục. e) Đặt = f.g. x X và ε > 0, ta có: Vì f liên tục nên lân cận V của x sao cho x’ V: |f(x’) – f(x)| < . 2. sup x V g ( x' ) Vì g liên tục nên lân cận V’ của x sao cho x’ V’: |g(x’) – g(x)| < . 2 | f ( x) | | (x’) - (x)| = | f(x’).g(x’) – f(x).g(x) | = | f(x’).g(x’) – f(x).g(x’) + f(x).g(x’) – f(x).g(x) | = | g(x’).( f(x’) – f(x)) + f(x).(g(x’) – g(x)) | |g(x’)|.|f(x’) – f(x)| + |f(x)|.|g(x’) – g(x)| < |g(x’)|. + |f(x)|. < + = . 2. sup x V g ( x' ) 2 | f ( x) | 2 2 Vậy, liên tục. f) Tính liên tục của min{f, g}và max{f, g} được suy ra từ các đẳng thức sau: f ( x) g ( x) | f ( x) g ( x) | min{f, g}= - , 2 2 f ( x) g ( x) | f ( x) g ( x) | max{f, g}= + . 2 2 f 1 g) Nếu g(x) 0 x X, để chứng minh liên tục, ta chỉ cần chứng minh liên g g tục. Do g liên tục và |g(x)| > 0 x X nên với mỗi x 0 X tồn tại lân cận V của x 0 và M > 0 sao cho x V thì |g(x)| M. Mặt khác, g liên tục > 0, lân cận U của x 0 sao cho x U, -9-
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình |g(x) – g(x0)| < M2. . Đặt V’ = V U. Khi đó V’ là lân cận của x 0, và x V’, ta có: 1 1 g ( x0 ) g ( x) M2 | - |=| |< = . g ( x ) g ( x0 ) g ( x).g ( x0 ) M .M 1 f Vậy, liên tục, do đó . g g Bổ đề Urysohn: Cho X là một không gian chuẩn tắc; A v à B là hai tập con đóng rời nhau của X. Khi đó, tồn tại hàm liên tục f: X [0, 1] sao cho f(x) = 0 x A và f(x) = 1 x B. Định lý 1.2.6: Gọi {(Xα, )}α I là họ các không gian tôpô. Khi đó, α I, phép nhúng chính tắc: a). iα: Xα X là ánh xạ liên tục. I b). iα: Xα X là vừa mở vừa đóng. I Chứng minh: a). Gọi là tôpô trên X . Khi đó, G , i 1 (G)= G Xα . Do đó, iα liên I tục. b). Giả sử U mở trong X α. Khi đó, U Xα = U ,U Xβ = Ø β ≠ α. Do đó, U Xα α I. Vậy, iα(U) = U mở trong X . I Bây giờ, giả sử F đóng trong X α. Xét tập G = X \F. Vì G Xα = Xα\F và I G Xβ = X β β ≠ α nên G mở trong X . Suy ra, iα(F) = F đóng trong X . I I Hệ quả 1.2.1: Mỗi tập X α là vừa mở vừa đóng trong X . I Định lý 1.2.7: Ánh xạ f: X Y liên tục nếu và chỉ nếu foiα liên tục α I. I Chứng minh: - 10 -
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình Hiên nhiên nếu f liên tục thì foiα liên tục α I. Ngược lại, giả sử mọi foiα liên tục và G là một tập mở tùy ý của Y. Ta có: f -1(G) Xα = i 1 (f -1(G)) = ( foiα)-1(G) (do foiα liên tục) f -1(G) mở trong X . I Vậy, f liên tục. Định lý 1.2.8: Với mọi α, phép chiếu : X X là ánh xạ mở. I Chứng minh: Giả sử G là tập mở tùy ý của X . Lấy a (G). Khi đó, tồn tại x G sao cho I (x) = a. Do G mở nên U (i = 1, 2,…, n ) mở trong X i sao cho i n 1 x V= ( U ) G. i i i 1 U nếu = i , i = 1, 2,…, n Từ đó, a (V) (G). Và: (V) = i X nếu ≠ i , i = 1, 2,…, n Do đó, (V) là tập mở trong X và (G) là tập mở. Định lý 1.2.9: Ánh xạ f: Z X liên tục khi và chỉ khi of liên tục I. I Chứng minh: Hiển nhiên, nếu f liên tục thì of cũng liên tục I. Ngược lại, giả sử of liên tục I. Giả sử G là tập mở trong X . Khi đó, G I 1 = (U), với U , nào đó thuộc I. Và ta có: f-1(G) = f-1( 1 (U)) = ( of) -1 (U) là tập mở trong Z (vì of liên tục). Định lý 1.2.10: Cho không gian tôpô (X, ) và một quan hệ tương đương R trên X. Khi đó, ánh xạ f: X/R Y liên tục nếu và chỉ nếu fo liên tục. Trong đó, : X X/R là phép chiếu chính tắc. Chứng minh: - 11 -
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình Nếu f liên tục thì hiển nhiên fo liên tục. Ngược lại, giả sử fo liên tục. Khi đó, G mở trong Y thì -1(f -1(G)) mở trong X. Theo định nghĩa tôpô trên X/R thì f -1(G) mở trong X/R. Do đó, f liên tục. 1.3. Phép đồng phôi: Định nghĩa 1.3.1: Cho hai không gian tôpô X và Y. Ánh x ạ f: X Y được gọi là một phép đồng phôi nểu f là song ánh, f liên tục và f -1 liên tục. Ví dụ 1.3.1: Ánh xạ đồng nhất từ không gian tôpô X v ào chính nó là một phép đồng phôi. -1 Nhận xét 1.3.1: Từ định nghĩa nếu f là một phép đồng phôi thì f cũng là một phép đồng phôi. Định nghĩa 1.3.2: Hai không gian tôpô gọi là đồng phôi với nhau nếu tồn tại một phép đồng phôi từ không gian n ày vào không gian kia. Nhận xét 1.3.2: Theo ví dụ 1.3.1 thì một không gian tôpô bất kì luôn đồng phôi với chính nó. Định nghĩa 1.3.3: Cho ánh xạ f: (X, τX ) (Y, τY ). Khi đó, f được gọi là ánh xạ mở ( đóng) nếu với mọi tập A mở ( đóng) trong X th ì f(A) là tập mở ( đóng) trong Y. Định lý1.3.1: Cho f: (X, τX ) (Y, τY ) là song ánh liên tục. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: a) f là một phép đồng phôi; b) f là ánh xạ mở; c) f là ánh xạ đóng. Chứng minh: a) b): Gọi G là tập mở trong X. Vì f là phép đồng phôi nên f -1 liên tục, do đó f(G) = ( f -1)-1(G) là tập mở trong Y f là ánh xạ mở. b) c): Giả sử F là tập đóng trong X X\F là tập mở trong X. Do f là ánh xạ mở nên f(X\F) = f(X)\f(F) = Y\ f(F) là tập mở trong Y f(F) là tập đóng trong Y f là ánh xạ đóng. - 12 -
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình c) a): Do f là song ánh liên tục nên ta chỉ cần chứng minh f -1 liên tục. Gọi F là tập đóng bất kỳ trong X. Do f là ánh xạ đóng nên f(F) là tập đóng trong Y ( f -1)-1(F) là tập -1 đóng trong Y. Theo định lý 1.2.3 f liên tục. Định lý 1.3.2: Ánh xạ f: X Y là phép đồng phôi khi và chỉ khi f liên tục và có một ánh xạ liên tục g: Y X sao cho fog = 1Y và gof = 1X. Ở đây, 1X và 1Y tương ứng là các ánh xạ đồng nhất từ X vào Y và từ Y vào X. Chứng minh: Nếu f là phép đồng phôi thì g = f -1. Ngược lại, nếu có ánh xạ liên tục g: Y X sao cho fog = 1Y và gof = 1X. Ta chứng minh f là song ánh: - Giả sử ta có f(x1) = f(x2) g(f(x1)) = g(f(x2)) gof(x1) = gof(x2) x1 = x 2 f là đơn ánh. - y Y thì g(y) X, đặt x = g(y) ta có f(x) = f(g(y)) = fog(y) = y f là toàn ánh. Khi f là song ánh thi ánh xạ g xác định như trong định lý hiển nhiên là ánh xạ ngược của f. Vậy f là song ánh có ánh xạ ngược liên tục nên nó là phép đồng phôi. x Ví dụ 1.3.2: Ánh xạ f: R (-1; 1), f(x) = là phép đồng phôi. 1 |x| x Thật vậy, ta có f liên tục. Xét ánh xạ g: (-1; 1) R xác định bởi g(x) = , dễ 1 |x| thấy g liên tục và fog, gof là các ánh xạ đồng nhất. Do đó, f là phép đồng phôi. 1.4. Thác triển liên tục. Định nghĩa 1.4: Với ánh xạ liên tục f: M Y từ không gian con M của không gian tôpô X vào không gian tôpô Y, t ên t F: X Y sao cho F|M = f, thì F à thác tri ên t f trên X; f à thác tri ên t ên X. ã bi t r f: X Y liên t ì ánh x f trên không gian con M c f |M: M Y) c ên t f: M Y liên t ìv à có t ên t F: X Y sao cho F|M = f. D ào b tri ên t Định lý 1.4.1 (Tietze – Urysohn): Gi f là hàm th liên t ên không àm th F liên t ên X sao cho F|M = f và sup x X |F(x)| = sup x M| f(x)|. - 13 -
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình Chứng minh: sup x M| f(x)|. N ìF 0 là hàm c ìm. N àm h1 liên t ên X sao cho: c 1). |h1(x)| ( x X) 3 2 2). |f(x) h1(x)| c( x M) 3 c c M: f(x) }, B = {x M: f(x) }. 3 3 Vì f liên t ìM X) theo b àm h: X [0,1] sao cho h(x) = 0 ( x A) và h(x) = 1 ( x B). 2 1 Và d àm h1(x) = c h(x) ( x X) th ãn các à 2). 3 2 àm f h1 , t àm h2 liên t ên X sao cho: 1 2 h2(x)| . c( x X) 3 3 2 2 f(x) h1(x) h2(x)| c ( x M) 3 B ãy hàm {h n} liên t ên X th ãn: n 1 1 2 hn(x)| . c ( x X) 3 3 n n 2 f(x) - hi ( x) | c ( x M) i 1 3 T àm hi ( x ) h t ên X. G F(x) là t àm i 1 ì hn liên t ên X và chu ên X nên F liên t ên X. T F(x) = f(x) ( x sup x X |F(x)| sup x M| f(x)| (*) n 1 1 2 M x X, |F(x)| hi ( x) c = c = sup x M| f(x)| i 1 3 n 1 3 sup x X |F(x)| sup x M| f(x)| (**) - 14 -
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình T à (**) suy ra: sup x X |F(x)| = sup x M| f(x)|. Hệ quả 1.4: Gi f là hàm th ên t chu àm th F liên t ên X sao cho F |M = f. Chứng minh: G :R (-1,1) là m ( of: M -1,1) là hàm liên t c, b Tietze – Urysohn t àm liên t F1: X [-1,1], F1|M = of. Th F1 1 ({-1,1}) là t trong X, không giao v rysohn, t àm liên t g: X [0,1] sao cho g(x) = 1 ( x M), g(x) = 0 ( x A). F2(x) = g(x).F1(x) là hàm liên t à là thac tri n c àm of. -1 F= oF2. Và F là hàm c ìm. Định lý 1.4.2: Gi à không gian con trù m f: M Y là ánh x ên t ên t F c f trên X thì F là duy nh Chứng minh: G F1 là m ên t f F(x) = F1(x) = f(x) x M. X: F(x) = F1(x)}. D àt ài t ) và A M. Vì M trù m ên ta có: X = M A A = X, hay F1 F. V Fn ì duy nh - 15 -
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình BÀI TẬP CHƯƠNG 1 1 n A Bài 1.Cho A là t àm f: X f(x) = . 0 n A. Ch f liên t 0 X khi và ch 0 b(A), v à biên c ▪ Giải: ). Gi f liên t 0 X. N 0 b(A) thì lân c 0 ta có V A Ø và 1 V (X\A) = , ta có: 2 1 +N 0 A thì l 1 V (X\ f(x1) f(x0)| = 1 > f không liên t 2 t 0. 1 +N 0 A thì l 2 V f(x2) f(x0)| = 1 > f không liên t 2 x0 . V 0 b(A). ). Gi 0 ó, t 0 sao cho V A ho V (X\A) f là hàm h ên V f liên t 0. Bài 2. Cho f: X Y là m h liên t n cô l ìYc ▪ Giải: Gi 0 {y0} là t à song ánh nên -1 ! x0 X sao cho f(x 0) = y0 f ({y0}) = {x0}. Do f liên t ên {x0} là t x0 V Bài 3. Cho f là toàn ánh t ào không gian tôpô (Y, Y ) = {f -1(B)| B Y }. là m ên X. - 16 -
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình a) Ch f: (X, ) (Y, Y ) là ánh x ên t b) Gi là m ùy ý trên X. Ch hr : f: (X, ) (Y, Y ) liên t khi và ch . ▪ Giải: a) x X, g à lân c f(x) ( W Y ) x f -1(W) f liên t G B Y : A = f -1(B). Do f là toàn ánh nên f(A) = B Y f là ánh x Gi àt óng trong X X\F f(X\F) Y Y\ f(F) Y f(F) là t f là ánh x b) Gi f: (X, ) (Y, Y ) liên t A , B Y : f -1(B) = A. Do f liên t nên f -1(B) A . là tôpô b à . Vì f: (X, ) (Y, Y ) liên t ên ánh x f: (X, ) (Y, Y ) c ên t .1). Bài 4. Cho f: (X, X ) (Y, Y ) là ánh x ên t Ch à không gian kh ìYc à không gian kh ▪ Giải: Gi 1, a2 n X và A f(A) = {f(a1), f(a2 f(an f ( A) = Y. G àt , do f liên t Y ên f -1(B) X . Vì A trù m ên -1 A f (B) i N sao cho a i f -1(B) f(ai) B f(A) B Ø. Suy ra: f ( A) = Y. V à không gian kh Bài 5. Cho f, g : X Y là các ánh x ên t à Y là không gian Hausdorff. Ch minh r X: f(x) = g(x)} là t ▪ Giải: L o b \ f(xo) g(xo). Do Y hausdorff nên t m f(xo) và g(xo f -1(U) g -1(V) thì W - 17 -
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình là m o, và x W thì f(x) U và g(x) V nên f(x) g(x). W X\A. V \A là t A là t Bài 6. Gi àm f và g là các ánh x ên t ào R (v X | f(x) = g(x)} là m T f(x) = g(x) x thu ùm ì f(x) = g(x) x X. ▪ Giải: Do R là không gian Hausdorff nên theo bài 5 thì A = {x X: f(x) = g(x)} là t Gi àt ùm D = X) và f(x) = g(x) x D. X; f(x) = g(x)} thì F D, mà F là t ên F D =X F = X. V f(x) = g(x) x X. Bài 7. Cho f: (X, X ) (Y, 0 ) là song ánh. Ch f và ch 0 là tôpô m Y sao cho f là ( X , Y )-liên t ▪ Giải: Gi f: (X, X ) (Y, 0 à Y là tôpô trên Y sao cho f là ( X , Y )-liên t G Y f -1(W) X . Vì f -1 là ( 0 , X )-liên t ên (f -1)-1(f -1(W)) 0 , hay W 0 Y 0. 0 là tôpô m Y trên Y sao cho f là ( X, Y )-liên t 0 là tôpô m Y trên Y sao cho f là ( X , Y )- liên t f: (X, X ) (Y, 0 ta ch f -1 là ( 0 , X )-liên t . Th f -1 không là ( 0 , X )-liên t . V X sao cho (f -1)-1(V) 0 , hay f(V) 0 . G là tôpô trên Y sinh b Y 0 {f(V f là ( X , Y )-liên t à Y 0 . Do 0 là tôpô m ên ph 0 = Y f(V) Y = 0 (mâu thu - 18 -
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình V f -1 là ( 0 , X )-liên t f: (X, X ) (Y, 0 Bài 8. Cho toàn ánh liên t ft ào không gian tôpô Y. Trên X, xét quan h 1 ~ x2 n f(x1) = f(x2). G f : X/R Y là ánh x t f ( x ) = f(x), t x là l ch Ch a) f là ánh x ên t b) N f là ánh x ì X/R ▪ Giải: a) Xét ánh xf oπ : X Y , v π là phép chi ào X/R. Ta s minh f = f oπ . Th x X, f oπ (x) = f ( π (x) ) = f (x) = f(x). Vì f liên t ên f oπ liên t 2.10, suy ra f liên t b) V Y, do f là toàn ánh nên t X sao cho y = f(x) = f (x) f là toàn ánh. M x1 x2 f(x1) f(x2) f ( x1 ) f (x 2 ) f là f là song ánh. 1 Ta còn ph f liên t - f là ánh x G àt \ ì π 1 (G) là t Do f là ánh x ên ta có f (G) = f( π 1 (G) ) (vì π là toàn ánh) là 1 t f liên t - f là ánh x G àt (X/R)\F là t trong X/R 1 1 X\ π (F) = π ((X/R) \ F) là t π 1 (F) là t ì f là 1 ánh x nên f (F) = f( π 1 (F) ) là t f liên t V f X/R Y. - 19 -
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình Chương 2 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ COMPACT VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ LIÊN THÔNG A. Kiến thức chuẩn bị: 1. Không gian tôpô compact: a) Các định nghĩa: - Trên không gian tôpô X, cho A X và {G } I là h {G } I à phủ c G A. N G là các t ì phủ g à I phủ mở c - à không gian compact n phủ mở c t T àv {G } I c n ch i I (i sao cho G i X. i 1 -T àt compact n ên A b trên X là không gian compact. - Không gian tôpô X g à compact địa phương n m b) Các tính chất: -T àt -T con compact c àt 2.Không gian tôpô liên thông: a) à không gian liên thông n ào v ài Ø và X. Hay m ãn m - X không bi - X không bi b) T à tập liên thông n à không gian liên thông. - 20 -
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình M à tập liên thông n hai t X sao cho: U A Ø, V A Ø, U V A = Ø, U V A. B. Các vấn đề về ánh xạ liên tục. 2.1. Ánh xạ liên tục trên không gian compact : Định lý 2.1.1: N f: X Y là ánh x ên t à A là t ì f(A) là t p con compact c Chứng minh: Gi {G } là m I f(A). Do f liên t ên { f 1 (G )} I là m m ì A compact nên có ph f -1( G )}i 1,..,n . i n n n T f 1 (G ) = f 1 ( G ) f(A) G i. i 1 i i 1 i i 1 V {G i }i 1,.., n là m f(A). f(A) là m compact c Định lý 2.1.2: Ánh x ên t ft ào không gian Hausdorff Y là ánh x Chứng minh: Gi àt 1.1 thì f(A) là t . Mà Y Hausdorff nên f(A) là t V f là ánh x Hệ quả 2.1.1: Gi f là song ánh liên t ào không gian Hausdorff Y thì f Chứng minh: 1.2, f là ánh x f lý 1.3.1. Hệ quả 2.1.2: Gi ên X trang b 1 và 2 ( 1 2 ). N 1 ) là không gian compact, (X, 2 ) là không gian Hausdorff thì 1= 2. Chứng minh: Ánh x idX: (X, 1 ) (X, 2 ) là song ánh liên t (X, 1 ) vào không gian Hausdorff (X, 2 ) nên theo h idX 1= 2. - 21 -