Ba phương pháp cơ bản tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, biểu thức

Chia sẻ: Phan Thi Ngoc Giau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

1.230
lượt xem 72
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU : Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: y= (x + 1)2 + (x – 3)2. Giải . Hàm số viết lại: y = (x2 + 2x + 1) + (x2 – 6x + 9) = 2x2 – 4x + 10 . Cách 1.(Dùng Bất đẳng thức )(BĐT). Ta có y = 2x2 – 4x + 10 = 2(x2 – 2x + 1) + 8 = 2(x - 1)2 + 8 ≥ 8 ∀x ∈ R. Đẳng thức xảy ra khi x = 1 .Vậy GTNN = 8 khi và chỉ khi x =...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ba phương pháp cơ bản tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, biểu thức

BA PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ,BIỂU THỨC. Do LAISAC Biên soạn. A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU : Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: y= (x + 1)2 + (x – 3)2. Giải . Hàm số viết lại: y = (x2 + 2x + 1) + (x2 – 6x + 9) = 2x2 – 4x + 10 . Cách 1.(Dùng Bất đẳng thức )(BĐT). Ta có y = 2x2 – 4x + 10 = 2(x2 – 2x + 1) + 8 = 2(x - 1)2 + 8 ≥ 8 ∀x ∈ R. Đẳng thức xảy ra khi x = 1 .Vậy GTNN = 8 khi và chỉ khi x = 1 . Cách 2.(Dùng điều kiện phương trình có nghiệm)(PT). Gọi y là giá trị hàm số nên phương trình y = 2x2 – 4x + 10 có nghiệm ( ẩn là x) Phương trình tương đương 2x2 – 4x +10 – y = 0 có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0 ⇔ 4 − 20 + 2 y ≥ 0 ⇔ y ≥ 8 . Đẳng thức xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = 1. Do đó GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 . Cách 3 .(Dùng phương pháp đạo hàm)( ĐH). Xét hàm số y = 2x2 – 4x + 10 có đạo hàm y’ = 4x - 4 khi y ‘ = 0 ⇔ x = 1 . Ta có bảng biến thiên : x 1 y’ - 0 + y -∞ +∞ 8 Dựa vào bảng biến thiên ta có GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 . B.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP . Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dung để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụ thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc có nhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…) Lưu ý: Khi tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất ta luôn chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra. Ta hay nhầm lẫn trong trường hợp đánh giá không đúng cho một bất đẳng thức. Ví dụ trên, nếu không thận trọng ta nói : y= (x + 1)2 + (x – 3)2 ≥ 0 … thì hỏng rồi! BÀI TẬP MINH HOẠ. Ví dụ 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : S = sin x + cos x . HD.cách 1.( BDT). Ta có 1 = sin 2 x + cos 2 x ≤ sin x + cos x = S ⇒ min S = 1 . π S = sin x + cos x ≤ (1 + 1)(sin x + cos x ) = 2 2 sin( x + ) ≤ 2 2 ⇒ MaxS = 2 2 . 4 Cách 2.( ĐH) S = sin x + cos x ⇒ S 2 = s inx + cos x + 2 s inx.cos x . Đặt t = sinx + cosx. Dùng phương pháp đạo hàm để giải cos x + 2 sin x + 3 trong khoảng (−π ; π ) . Ví dụ 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất S = 2 cos x − sin x + 4 cos x + 2 sin x + 3 HD.cách 1.(PT). Để tồn tại giá trị S thì phương trình S = phải có nghiệm 2 cos x − sin x + 4 ⇔ 4 S − 3 = (S + 2) sin x + (1 − 2 S ) cos x có nghiệm 2 ⇒ (S + 2) 2 + (1 − 2S ) 2 ≥ (4S − 3) 2 ⇒ ≤ S ≤ 2. 11
1− t2 2t x Cách 2.( ĐH). Đặt t = tg ⇒ sin x = ; cos x = .Biến đổi S thành hàm số hữu tỉ ẩn 2 1+ t2 1+ t2 t.Dùng phương pháp đạo hàm hoặc điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm ,suy ra kết quả. Ví dụ 3. Tìm gíá trị lớn nhất của biểu thức : f = x + 2 − x 2 + x. 2 − x 2 . [ ] HD.cách 1(ĐH).Dùng đạo hàm trực tiếp ,chú ý hàm số liên tục trong đoạn − 2 ; 2 . Cách 2.Đặt t = x + 2 − x 2 ⇒ ñieàu kieän t .Dùng phương pháp đạo hàm, hoặc PT Cách 3.( Vevtơ). Đặt u = ( x;1; 2 − x 2 ), v = (1; 2 − x 2 ; x) ⇒ u.v = x + 2 − x 2 + x. 2 − x 2 và u . v = x 2 + 1 + (2 − x 2 ) . 1 + (2 − x 2 ) + x 2 . = . 3. 3 = 3 Ta có : u.v ≤ u . v ⇔ x + 2 − x 2 + x. 2 − x 2 ≤ 3 . ⎧x = k ⎪ ⎪ Đẳng thức xảy ra khi ⎨1 = k 2 − x 2 ⇒ x = 1 . ⎪ ⎪ 2 − x 2 = kx ⎩ Ví dụ 4. Cho hai số thực x , y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x.(1 − y ) = y. 4 − x 2 . x Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số . y x HD.Điều kiện − 2 ≤ x ≤ 2 .Để tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thì x ≠ 0; y ≠ 0 y ) ( x x Biến đổi x.(1 − y ) = y. 4 − x 2 ⇔ = x + 4 − x 2 Đặt = h . (h ≠ 0) .Biểu thức viết lại : y y h = x + 4 − x 2 là một hàm số liên tục trong đoạn [− 2 ;2] . x 2 − xy + y 2 (x, y ∈ R ) . Ví dụ 5.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x 2 + xy + y 2 y HD. Lí luận x ≠ 0 chia tử và mẫu cho x2 .Đặt t = .Khảo sát hàm số S ẩn t,hoặc đkpt. x Ví dụ 6. Cho các số thực x,y thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1 . 4 x 2 + 2 xy − 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = . 2 xy − 2 y 2 + 3 HD.Cách 1.Thế điều kiện x2 + y2 = 1 vào S giải như bài trên. Cách 2.Đặt x = sin α ⇒ y = cos α . Đưa hàm số S= S (sin 2α , cos 2α ) .Dùng đkpt. Ví dụ 7.Cho hai số thực x,y ≠ 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện : x2 + y2 = 2x2y + y2x . 21 Tính giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = +. xy HD.Đặ y = tx, thế vào điều kiện và biểu thức S ,khảo sát hàm số S ẩn t . Ví dụ 8. Cho hai số thực dương x,y thoả điều kiện :x+y = 1. x y . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức : f = + 1− x 1− y ⎡ π⎤ HD.Đặt x = sin 2 α ⇒ y = cos 2 α , α ∈ ⎢0; ⎥ . ⎣ 2⎦ x2 Ví dụ 9.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : f ( x) = e − sin x + . x 2 HD.Dùng phương pháp đạo hàm. Ví dụ 10.(1993 bảng A) .Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x ) = x (2007 + 2009 − x 2 ) trong miền xác định của nó. [ ] Lời giải :Miền xác định của hàm số D = − 2009 ; 2009 .Nhận thấy f(x) là hàm số lẻ nên ta [ ] xét hàm số trong D ' = 0; 2009 .Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có f ( x ) = x (2007 + 2009 − x 2 ) = x ( 2007. 2007. + 1. 2009 − x 2 ) ≤ x. 2010 . 2007 + 2009 − x 2 x 2 + 2007 + 2009 − x 2 ≤ 2008 . = 2008 .2008 . 2 Vậy GTLN = 2008 .2008 khi và chỉ khi x = 2008 GTNN= − 2008 .2008 khi và chỉ khi x = − 2008 . Ví dụ 10.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :Q = sin2A + sin2B – sin2C trong đó A,B,C là ba góc của một tam giác . HD.(BĐT). Đưa về tổng bình phương . C Hoặc đưa về một biến x = sin . Dùng phương pháp ĐH để giải. 2 1 1 1 Ví dụ 11.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = + + . 2A 2B 2C sin sin sin 2 2 2 π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ Ví dụ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = cos⎜ A + ⎟ + cos⎜ B + ⎟ + cos⎜ C + ⎟ . 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ HD.Chú ý .Dùng phương pháp giải như báo Toán học ,Tuổi trẻ (tháng 3-20007). π ⎛ A+ B π ⎞ Giải bài 12.Cách 1.Giả sử A = Max{A; B; C} ⇒ A ≥ ⇒ cos⎜ + ⎟ < 0 ,ta có: 3 ⎝2 3⎠ π⎞ π⎞ ⎛ A+ B π ⎞ ⎛ A− B⎞ ⎛ A+ B π ⎞ ⎛ ⎛ cos⎜ A + ⎟ + cos⎜ B + ⎟ = 2 cos⎜ + ⎟ cos⎜ ⎟ ≥ 2 cos⎜ + ⎟ .(1) 3⎠ 3⎠ ⎝2 3⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 3⎠ ⎝ ⎝ ⎛ A+ B ⎞ Có dạng f ( A) + f ( B ) ≥ 2 f ⎜ ⎟. ⎝2⎠ π ⎛ ⎞ ⎜C + ⎟ π⎞ ⎛π π ⎞ 3 + π ⎟ (2). ⎛ ⎜ Tương tự cos⎜ C + ⎟ + cos⎜ + ⎟ ≥ 2 cos 3⎠ ⎝3 3⎠ ⎜2 3⎟ ⎝ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2π π⎞ π⎞ π⎞ ⎛π π ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ Cộng (1) và (2) ta có : cos⎜ A + ⎟ + cos⎜ B + ⎟ + cos⎜ C + ⎟ + cos⎜ + ⎟ ≥ 4 cos 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝3 3⎠ 3 ⎝ ⎝ ⎝ 2π 3 π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ S = cos⎜ A + ⎟ + cos⎜ B + ⎟ + cos⎜ C + ⎟ ≥ 3 cos =− . 3⎠ 3⎠ 3⎠ 3 2 ⎝ ⎝ ⎝ π ⎛ A+ B π ⎞ Cách 2.Giả sử A = Max{A; B; C} ⇒ A ≥ ⇒ cos⎜ + ⎟ < 0 ,ta có: 3 ⎝2 3⎠ π⎞ π⎞ ⎛ A+ B π ⎞ ⎛ A− B⎞ ⎛ A+ B π ⎞ ⎛ ⎛ cos⎜ A + ⎟ + cos⎜ B + ⎟ = 2 cos⎜ + ⎟ cos⎜ ⎟ ≥ 2 cos⎜ + ⎟. 3⎠ 3⎠ ⎝2 3⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 3⎠ ⎝ ⎝ ⎛ A+ B ⎞ Có dạng f ( A) + f ( B ) ≥ 2 f ⎜ ⎟. ⎝2⎠ ⇒ π⎞ π⎞ π⎞ 2π A+ B+C ⎛ ⎛ ⎛ 3 cos⎜ A + ⎟ + cos⎜ B + ⎟ + cos⎜ C + ⎟ = f ( A) + f ( B ) + f (C ) ≥ 3 f ( ) = 3 cos =− . 3⎠ 3⎠ 3⎠ 3 3 2 ⎝ ⎝ ⎝ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Cách 3.Đưa về tổng bình phương ,hoặc tam thức bậc hai. Ví dụ 13. Cho a,b,c là ba số không âm thoảđiều kiện : a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của (a3 + b3 + c3 ).
HD: a 3 + 1 + 1 ≥ 3a … Ví dụ 14.Cho x,y,z là ba số dương thoả mãn điều kiện : x.y.z = 1. x2 y2 z2 3 + + ≥. Chứng minh rằng : 1+ y 1+ z 1+ x 2 1+ x z2 + ≥ x. HD : 1+ x 4 Ví dụ 15. Cho các số thực dương x,y,z thỏa điều kiện : x + y + z ≥ 6 . x3 y3 z3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = + + y+z x+z x+ y y+z x3 + + 2 ≥ 3x … HD: Cách 1. Áp dụng y+z 2 Cách 2: S ( y + z + x + z + x + y ) ≥ ( x 3 + y 3 + z 3 ) 2 . Ví dụ 16. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 ≤ 12 . 1 1 1 P= + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 1 + ab 1 + ab 1 + ab 1 + ab 2 1 + ≥ (1) .Đẳng thức xảy ra khi ab = 4 HD :Áp dụng 1 + ab 25 5 1 + bc 2 1 + ca 2 1 1 + ≥ + ≥ Tương tự (2) ; (3) 1 + bc 1 + ca 25 5 25 5 1 + ab 1 + bc 1 + ca 6 3 ab + bc + ca 6 Lấy (1) + (2) + (3) ta có P + + + ≥ ⇔ P+ + ≥ 25 25 25 5 25 25 5 3 a2 + b2 + c2 6 3 12 6 3 ⇔ P+ + ≥ ⇔ P+ + ≥ ⇒P≥ 25 25 5 25 25 5 5 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2. 3 Ví dụ 17. Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn : a + b + c = . 4 Chứng minh rằng : 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 a + 3b + 1 + 1 a + 3b ≤ HD : Ta có … 3 3 Ví dụ 18. Cho x,y,z là ba số thỏa x + y + z = 0 . Chứng minh rằng : 3 + 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4 z ≥ 6 HD:Cách 1.Ta có 3 + 4 x ≥ 44 1.1.1.4 x = 28 4 x … Cách 2 Dùng phương pháp vectơ. 1 11 Thí dụ 19. Cho x,y,z các số dương thỏa mãn + + = 4. x yz 1 1 1 + + Tìm giá trị lớn nhất của biểu thưcù:S= 2x + y + z 2x + y + z 2x + y + z 2111111 16 ++=+++≥ HD. … x y z x x y z 2x + y + z y 92 Ví dụ 20. Chứng minh rằng với mọi x,y > 0 ta có: (1 + x)(1 + )(1 + ) ≥ 256. x y 36 3 3 3 27 9 HD : (1 + + + ) ≥ 44 ⇒ (1 + ) 2 ≥ 194 . y3 ( y )3 y y y y
y3 x3 y y y y xxx 1+ = 1+ + + ≥ 44 1+x = 1 + + + ≥4 3. ; 29 x 3 x 3x 3x 3x 333 3 5 Ví dụ 21. Giả sử x,y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = . 4 41 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = + . x 4y 5 4 1 5 ; 0
Bài 2.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,cho elíp có phương trình 4x2 + 3y2 – 12 = 0.Tìm điểm trên elíp sao cho tiếp tuyến của elíp tại điểm đó cùng với các trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Bài 3.Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) y2 = 2x và đường thẳng (d) x – y + 2 = 0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách giữa M và (d) ngắn nhất . Bài 4..Trong mặt phẳng Oxy xét đường thẳng (d) : 2 x + my + 1 − 2 = 0 và hai đường tròn : (C1) : x2 + y2 -2x +4y -4 = 0 . và (C2) : x2 + y2 + 4x - 4y -56 = 0. Gọi I là tâm đường tròn (C1). Tìm m sao cho (d) cắt (C1) tại hai điểm phân biệt A và B . Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó? Bài 5.Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 z ≤ 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = 2x + 3y – 2z ⎧x + 2 y − 4 = 0 ⎧y + z = 0 Bài 6.Trong kg Oxyz cho hai đường thẳng (d1) ⎨ ; (d2) ⎨ ⎩z − 3 = 0 ⎩x − 1 = 0 Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với hai đường thẳng (d1) và (d2). Bài 7.Cho tứ diện ABCD với A(2;3;2) ; B(6;-1;-2); C(-1;-4;3) ;D(1;6;-5). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất Bài 8.Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (0 ; 1 )B (3 ; 4). Tìm tọa độï điểm M trên (d) sao cho 2MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất . Bài 9.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,cho các điểm A(1;2); B(2;-3) ;C(-1;4). Tìm trên đường thẳng x+y+3 = 0 các điểm M sao cho 3MA + 4 MB + 5MC là nhỏ nhất. Bài 10.Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) x – 2y + 2z + 2 = 0 và hai điểm A(4;1;3);B(2;-3;-1).Hãy tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA2 +MB2 có giá trị nhỏ nhất. 2 x 2 − 4 x + 10 Bài 11 .Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . 1− x Định tham số k để đường thẳng (d) kx – y – k = 0 cắt ( C ) tại hai điểm có độ dài nhỏ nhất. x 2 + 3x + 3 Bài 12.Tìm trên đường cong (C) y = điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến x +1 hai đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. x2 Bài 13.Tìm trên đồ thị ( C ) của hàm số y = một điểm có hoành độ lớn hơn 1 sao cho x −1 tại điểm này tiếp tuyến của ( C ) tạo với hai đường tiệm cận của ( C ) tạo thành một tam giác có chu vi nhỏ nhất . x 2 + 4x + 4 + 1 . Bài 14.Cho đường cong (C) có hàm số y = x+2 Tìm điểm M thuộc đường cong (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. 2x + 1 Bài 15.Cho đường cong (C) có hàm số : y = và điểm A(-2;1) thuộc (C).Tìm trên (C) x −1 điểm B sao cho hai điểm A,B lần lượt thuộc hai nhánh khác nhau,và độ dài AB nhỏ nhất. x +1 Bài 16.Tìm trên đường y = hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhausao cho AB nhỏ x −1 nhất. ⎧ x2 + y2= 9 Bài 17.Cho hệ phương trình : ⎨ ⎩(2m + 1) x + my + m − 1 = 0
Xác định tham số m để hệ phương trình trên có hai nghiệm (x1;y1) ; (x2;y2) sao cho biểu thức A = (x1 – x2 )2 +(y1 – y2 )2 đạt giá trị lớn nhất. ⎧ x − my = 2 − 4m Bài 18. Gọi x,y là nghiệm của hệ phương trình ⎨ ⎩mx + y = 3m + 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2 + y2 -2x , khi m thay đổi . ⎧ x + y = 2a − 1 Bài 19.Cho hệ phương trình ⎨ . ⎩ x + y = a + 2a − 3 2 2 2 Tìm tất cả các tham số a để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x.y nhỏ nhất . ⎧x 2 + y 2 + z2 = 8 Bài 20.Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ ⎨ ⎩ xy + yz + zx = 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x,y,z.