Bài 1. Gi i h phương trình: x3 − y3 = 35 (1) 2x2 + 3y2 = 4x − 9y (2)httGi i L

Chia sẻ: High Fly | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

179
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 1. Gi i h phương trình:  x3 − y3 = 35 (1) 2x2 + 3y2 = 4x − 9y (2) htt Gi i L y phương trình (1) tr 3 l n phương trình (2) theo v ta đư c: (x − 4)3 = (3 − y)3 ⇒ x = 7 − y (3) y=4⇒x=3 Th (3) vào phương trình (2) c a h ta đư c: y2 − 7y + 12 = 0 ⇔ y=3⇒x=4 Đáp s : (3; 4), (4; 3) là nghi m c a h . Bài 4.  x2 + y2 = 1  (1) 5...

Chủ đề:

hephuongtrinh

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài 1. Gi i h phương trình: x3 − y3 = 35 (1) 2x2 + 3y2 = 4x − 9y (2)httGi i L

T NG H P 60 BÀI H PHƯƠNG TRÌNH C A MATH.VN .vn Bài 1.  x3 − y3 = 35 (1) Gi i h phương trình: 2x2 + 3y2 = 4x − 9y (2) Gi i L y phương trình (1) tr 3 l n phương trình (2) theo v ta đư c: (x − 2)3 = (3 + y)3 ⇒ x = y + 5 (3) th y = −2 ⇒ x = 3 Th (3) vào phương trình (2) c a h ta đư c: y2 + 5y + 6 = 0 ⇔ y = −3 ⇒ x = 2 Đáp s : (3; −2), (2; −3) là nghi m c a h . Bài 2.  ma x3 + y3 = 9 (1) Gi i h phương trình: x2 + 2y2 = x + 4y (2) Gi i L y phương trình (1) tr 3 l n phương trình (2) theo v ta đư c: (x − 1)3 = (2 − y)3 ⇒ x = 3 − y (3) y=1⇒x=2 Th (3) vào phương trình (2) c a h ta đư c: y2 − 3y + 2 = 0 ⇔ y=2⇒x=1 . Đáp s : (2; 1), (1; 2) là nghi m c a h . Bài 3. ww  x3 + y3 = 91 (1) Gi i h phương trình: 4x2 + 3y2 = 16x + 9y (2) Gi i L y phương trình (1) tr 3 l n phương trình (2) theo v ta đư c: (x − 4)3 = (3 − y)3 ⇒ x = 7 − y (3) y=4⇒x=3 Th (3) vào phương trình (2) c a h ta đư c: y2 − 7y + 12 = 0 ⇔ y=3⇒x=4 /w Đáp s : (3; 4), (4; 3) là nghi m c a h . Bài 4.  x2 + y2 = 1 (1)  5 Gi i h phương trình: 4x2 + 3x − 57 = −y (3x + 1) (2)  25 Gi i p:/ L y phương trình (1) nhân v i 25 c ng theo v i v i phương trình (2) nhân v i 50 r i nhóm l i ta đư c: 7 17 25(3x + y)2 + 50(3x + y) − 119 = 0 ⇔ 3x + y = ; 3x + y = − . 5 5  x2 + y2 = 1 2 1 11 2  5 Th ta đư c: x = ⇒ y = ; x = ⇒y= Trư ng h p 1: 7 5 5 25 25 y = − 3x  5  x2 + y2 = 1 htt  5 Trư ng h p 2: vô nghi m. y = − 17 − 3x  5 21 11 2 Vy là nghi m c a h . ; ; ; 55 25 25 Bài 5. 1
x3 + 3xy2 = −49 (1) Gi i h phương trình: .vn x2 − 8xy + y2 = 8y − 17x (2) Gi i L y phương trình (1) c ng v i phương trình (2) nhân v i 3 đư c: x = −1 x3 + 3x2 + (3y2 − 24y + 51)x + 3y2 − 24y + 49 = 0 ⇔ (x + 1) (x + 1)2 + 3(y − 4)2 = 0 ⇔ x = −1, y = 4 L n lư t th vào phương trình (1) c a h ta đư c (−1; 4), (−1; −4) là nghi m c a h . th Bài 6. 6x2 y + 2y3 + 35 = 0 (1) . Gi i h phương trình: 5x2 + 5y2 + 2xy + 5x + 13y = 0 (2) Gi i ma L y phương trình (1) c ng v i 3 l n phương trình (2) theo v ta đư c: (6y + 15)x2 + 3(2y + 5)x + 2y3 + 15y2 + y + 35 = 0 39 5 y=− 12 52 2 ⇔ (2y + 5) 3 x + =0⇔ + y+ .  1 5 2 2 x=− , y=− 2 2 15 15 ;− ; − ;− L n lư t th vào phương trình (1) ta đư c: là nghi m c a h . 22 22 . Bài 7.  ww x2 + y2 = xy + x + y Gi i h phương trình: x2 − y2 = 3 Gi i 1 Chú ý r ng: x2 − xy + y2 = 3(x − y)2 + (x + y)2 4   3a2 + b2 = 4b a = x + y (1) nên ta đ t thì đư c h m i: . b = x − y ab = 3 (2) /w 3 Đem th a = t phương trình (2) vào phương trình (1) r i gi i tìm đư c b = 3 ⇒ a = 1 b T đó tìm l i đư c: x = 2; y = 1 là nghi m c a h . Bài 7.1 √  x2 + 2x + 6 = y + 1 Gi i h phương trình: x2 + xy + y2 = 7 p:/ Gi i ĐK: y ≥ −1 H  cho tương đương v i: đã  x2 + 2x + 6 = y2 + 2y + 1 (x − y)(x + y + 2) = −5 ⇔ (∗∗)  1 3(x + y)2 + (x − y)2 = 7 3(x + y)2 + (x − y)2 = 28 4     b(a + 2) = −5 a = −1 a = x + y a = 3 khi đó (∗∗) tr thành ⇔ Đt hay htt 3a2 + b2 = 28 b = x − y b = −5 b = −1   x = −3 x = 1 Gi i h trên ta thu đư c nghi m: hay y = 2 y = 2 K t lu n: H phương trình đã cho có t p h p nghi m là: {(−3; 2), (1; 2)} Bài 8. 2
x2 + 2y2 = xy + 2y . Gi i h phương trình: .vn 2x3 + 3xy2 = 2y2 + 3x2 y Gi i V i y = 0 ⇒ x = 0 là nghi m c a h . V i y = 0, nhân phương trình 1 v i −y r i c ng theo v v i phương trình 2 ta đư c: 2x3 − 4x2 y + 4xy2 − 2y3 = 0 ⇔ x = y Th l i vào phương trình 1 c a h ta đư c: 2y2 = 2y ⇔ y = 1 ⇒ x = 1 th V y (1; 1), (0; 0) là nghi m c a h Bài 9. x√x − y√=y = 8√x + 2√y  (∗) Gi i h phương trình: x − 3y = 6 ma i Gi 3 x√x − y√y = 6 4√x + √y (1)  x > 0 . Lúc đó hpt (∗) ⇔ Đk: x − 3y = 6 y > 0 (2) √ √ √ √ √ √ √ Thay (2) vào (1) có:3 x x − y y = (x − 3y) 4 x + y ⇔ x x + xy − 12y x = 0 √√ √√ √ √ √ ⇔ x x − 3 y  + 4 y = 0 ⇔ x = 3 y ⇔ x = 9y. Thay vào (2) có y = 1 ⇒ x = 9. x x = 9 . V y hpt có 1 nghi m y = 1 ww Bài 10.   2x 2y + =3  y x (∗) Gi i h phương trình:  x − y + xy = 3 Gi i  2x 2y  2x2 + 2y2 − 5xy = 0 + =3 y x Đk x.y > 0 . Lúc đó hpt (∗) ⇔ ⇔ /w x − y + xy = 3 x − y + xy = 3     (x − 2y) (2x − y) = 0 x = 2y y = 2x ⇔ ⇔ hay . 2y2 + y − 3 = 0 2x2 − x − 3 = 0 x − y + xy = 3 3 3 Lúc đó k t h p v i đk ta đư c hpt có nghi m (x; y) là (2; 1) ; −3; − ; (−1; −2) ; ;3 2 2 Bài 11. p:/  x4 − y4 = 240 Gi i h phương trình: x3 − 2y3 = 3(x2 − 4y2 ) − 4(x − 8y) Gi i L y phương trình 1 tr đi phương trình 2 nhân v i 8 ta đư c: (x − 2)2 = (y − 4)4 ⇔ x = y − 2; x = 6 − y L n lư t th vào phương trình th nh c a h ta đư c t  x4 − y4 = 240 x = −4 htt ⇔ Trư ng h p 1: x = y − 2 y = −2   x4 − y4 = 240 x = 4 ⇔ Trư ng h p 2: x = 6 − y y = 2 V y (4; 2), (−4; −2) là nghi m c a h . 3
Bài 12. √  2 (x − y) = √xy .vn Gi i h phương trình: x2 − y2 = 3 Gi i √ x = 2y √ 2 (x − y) = xy ⇔ 2x2 − 5xy + 2y2 = 0 ⇔ (x − 2y)(2x − y) = 0 ⇔ Đk: x ≥ y. Lúc đó y = 2x   x = −2 x = 2 th Khi x = 2y ⇒ y = ±1 ⇒ hay y = −1 y = 1 Khi y = 2x ⇒ −3x2 = 3 (pt vô nghi m) V y đ i chi u v i đk hpt có m t nghi m là (2; 1) Bài 13. ma  (x − 1)2 + 6(x − 1)y + 4y2 = 20 Gi i h phương trình: x2 + (2y + 1)2 = 2 Gi i y = x + 9 (1)   x2 − 2x + 1 + 6xy − 6y + 4y2 = 20 3x − 5 h phương trình ⇔ ⇔ x2 + 4y2 = 1 − 4y 2 x + 4y2 = 1 − 4y . 2 2 −9 2x + 18 8 th (1) vào h (2) ta đư c x2 + =2⇔ . x− = 1 hay x = −1 +1 ww 3x − 5 55 3 suy ra x = −1 ⇒ y = −1 Bài 14.  x2 + 2xy + 2y2 + 3x = 0 (1) Gi i h phương trình: xy + y2 + 3y + 1 = 0 (2) Gi i L y (1)+2.(2) ta đư c :(x + 2y)2 + 3 (x + 2y) + 2 = 0⇔ (x + 2y + 1) (x + 2y + 2) = 0 /w TH1: x + 2y + 1 = 0 ⇒ x = −2y − 1 thay vào (2) ta đư c √ √ 2 − 2y − 1 = 0 ⇒ y = 1 + √2 ⇒ x = −3 − 2√2 y y = 1 − 2 ⇒ x = −3 + 2 2 TH2: x + 2y + 2 = 0 ⇒ x = −2y − 2 thay vào (2) ta đư c √ √ 1− 5  ⇒ x = −3 + 5 y = 2√ y2 − y − 1 = 0 ⇒  √ p:/ 1+ 5 ⇒ x = −3 − 5 y= 2 Do đó hpt đã cho có 4 nghi m √ √ √ √ √ √ √ 1− 5 √ 1+ 5 −3 − 2 2; 1 + 2 ; −3 + 2 2; 1 − 2 ; −3 + 5; ; −3 − 5; (x; y) là : 2 2 Bài 15.  x3 − y3 = 3x + 1 Gi i h phương trình: htt x2 + 3y2 = 3x + 1 Gi i  t = x3 − 3x − 1 v i t = y3 . h phương trình ⇔ 3t + (x2 − 3x − 1)y = 0 ta có D = x2 − 3x − 1, Dt = (x3 − 3x − 1)(x2 − 3x − 1), Dy = −3(x3 − 3x − 1) 4
nh n th y n u D = 0 mà Dy = 0 suy ra pt VN .vn Dy 3 Dt hay (x2 − 3x − 1)3 = −27(x3 − 3x − 1) Xét D = 0 ta có = D D ⇒ x = 2 hay 28x5 + 47x4 − 44x3 − 151x2 − 83x − 13 = 0 ⇒ x = 2 hay x ≈ −1, 53209 t đây suy ra đư c y Bài 16.   2x2 + y (x + y) + x (2x + 1) = 7 − 2y Gi i h phương trình: th x (4x + 1) = 7 − 3y Gi i Cách 1: Th 7 = 4x2 + x + 3y phương trình (2) vào phương trình (1) ta đư c: (2x2 + y)(x + y 2x2 + y ⇒ y = −2x2 ho c y = 1 − x )= y = −2x2 ma Trư ng h p 1: vô nghi m. x (4x + 1) = 7 − 3y √ √   1 − 17 1 + 17  x = x = y = 1 − x   4 4 √ √ ⇔ Trư ng h p 2: ho c y = 3 − 17 y = 3 + 17 x (4x + 1) = 7 − 3y   √4 4 √ √ √ 1 − 17 3 + 17 1 + 17 3 − 17 Đáp s : là nghi m c a h . ; ; ; . 4 4 4 4 Cách 2: Phân tích (1) ta có 2x3 + 2x2 y + xy + y2 + 2x2 + x = 7 − 2y ww ⇔ 2x3 + 2x2 (y + 1) + x(y + 1) + (y + 1)2 = 8 ⇔ 2x2 (x + y + 1) + (y + 1)(x + y + 1) = 8 ⇔ (x + y + 1)(2x2 + y + 1) = 8 ⇔ (x + y + 1)(4x2 + 2y + 2) = 16   (x + y + 1)(4x2 + 2y + 2) = 16 (x + y + 1) [9 − (x + y)] = 16 ⇔ suy ra x + y = 1 hay x + y = 7 ta có 4x2 = 7 − x − 3y 4x2 = 7 − x − 3y √ 1 V i x + y = 1 ta tìm đc x = 1 ± 17 hay y = 1 − x 4 /w V i x + y = 7 thay vào (2) phương trình VN KL Bài 16.1  x3 + 7y = (x + y)2 + x2 y + 7x + 4 (1) Gi i h phương trình: 3x2 + y2 + 8y + 4 = 8x (2) Gi i p:/ T pt th (2) trong h ta rút 4 = 8x − 3x2 − y2 − 8y  x=y x2 + 2x − 15 Thay vào pt th (1) trong h thu g n ta đư c (x − y) =0⇔ x=3  x = −5 V i x = y thay vào pt th 2 ta đư c −4x2 = 4 pt vô nghi m y = −1 V i x = 3 thay vào pt th 2 ta đư c y2 + 8y + 7 = 0⇔ htt y = −7 2 + 8y + 119 = 0 pt vô nghi m V i x = −5 thay vào pt thư 2 ta đư c y V y h pt có 2 nghi m (x; y) là (3; −1); (3; −7) Bài 17. 5
 x3 − 12z2 + 48z − 64 = 0  .vn   y3 − 12x2 + 48x − 64 = 0 Gi i h phương trình:   3 z − 12y2 + 48y − 64 = 0 Gi i C ng theo v các phương trình c a h ta đư c: (x − 4)3 + (y − 4)3 + (z − 4)3 = 0 (∗) t đó suy ra trong 3 s h ng t ng này ph i có ít nh t 1 s h ng không âm, không m t t ng quát ta gi s (z − 4)3 ≥ 0 ⇒ z ≥ 4 th Th thì phương trình th nh t c a h tương đương x3 − 16 = 12(z − 2)2 ≥ 12.22 ⇒ x ≥ 4 Th thì phương trình th hai c a h tương đương y3 − 16 = 12(x − 2)2 ≥ 12.22 ⇒ y ≥ 4 Do v y t (x − 4)3 + (y − 4)3 + (z − 4)3 = 0 (∗) ⇒ x = y = z = 4 Th l i th a mãn. V y (4; 4; 4) là nghi m c a h . ma Bài 18.  x4 + 4x2 + y2 − 4y = 2 Gi i h phương trình: x2 y + 2x2 + 6y = 23 Gi i  t − 4y = 2 − x4 − 4x2 h đã cho tương đương . (x2 + 6)y = 23 − 2x2 v i t = y2 ta tính đư c D = x2 + 6, Dt = −x6 − 10x4 − 30x2 + 104, Dy = 23 − 2x2 . ww Dy 2 Dt suy ra (x2 + 6)(−x6 − 10x4 − 30x2 + 104) = (23 − 2x2 )2 = ta có D D ⇔ (1 − x)(1 + x)(1 + x2 )(x4 + 16x2 + 95) = 0 v y suy ra x = 1 hay x = −1 , t đây tìm đư c y Bài 19.  x2 + xy + y2 = 3 Gi i h phương trình: x2 + 2xy − 7x − 5y + 9 = 0 /w Gi i Cách 1: C ng theo v 2 phương trình c a h ta đư c (2x + y − 3)(x + y − 2) = 0 T đó d n đ n 2 trư ng h p:    x2 + xy + y2 = 3 x = 1 x = 2 ⇔ Trư ng h p 1: ho c y = 3 − 2x y = −1 y = 1   x2 + xy + y2 = 3 p:/ x = 1 ⇔ Trư ng h p 2: y = 2 − x y = 1 K t lu n: (1; 1), (2; −1) là nghi m c a h  .  a2 + b2 + 3a + 3b + ab = 0 x = a + 1 (1) Cách 1: đ t h tr thành a2 − 3a − 3b + 2ab = 0 y = b + 1 (2) 2a2 + b2 + 3ab = 0 ⇔ (2a + b)(a + b) = 0 suy x và y c ng (1) và (2) ta đc htt Bài 20. 1  3 x2 + y2 + = 2(10 − xy) (x − y)2  Gi i h phương trình: 2x + 1 = 5  x−y Gi i 6
1   2(x + y)2 + (x − y)2 + = 20 u = x + y (x − y)2 .vn  H⇔ Đt v = x − y + 1 x + y + x − y + 1 = 5 x−y  x−y  u = 1    2u2 + v2 − 2 = 20 v = 5 − u u = 3  3 ⇔ ⇔ Ta có h sau: ho c v = 14 2u2 + (5 − u)2 = 22 u + v = 5 v = 2  3     x + y = 3 u = 3 x + y = 3 x = 2 th ⇔ ⇔ ⇔ TH 1: x − y + 1 = 2 x − y = 2 v = 2 y = 1 x−y x + y = 1     u = 1 x + y = 3 x + y = 3 √ √     3 3 ⇔ ⇔ TH 2: ho c x − y = 7 − 2 10 x − y + 1 = 14 x − y = 7 + 2 10 v = 14      x − y √3 3 3 3 ma √  x = 4 − 10 x = 4 + 10   3√ 3√ ⇔ ho c y = −3 − 10 y = −3 + 10   3 3 Bài 21.  a(a + b) = 3    Gi i h phương trình: b(b + c) = 30 .   c(c + a) = 12  ww Gi i Bài 22.  x3 + y3 − xy2 = 1 Gi i h phương trình: 4x4 + y4 − 4x − y = 0 Gi i /w V ix=0⇒y=1 V iy=0⇒x=1 V i x = 0; y = 0 thay (1) vào (2) ta đư c: y =1 2 y y +1 = 0 ⇔  x 1 4x4 + y4 = (4x + y)(x3 + y3 − xy2 ) ⇔ 3y2 − 4xy + x2 = 0 ⇔ 3 −4 y x x = x3 p:/ V i x = y thay vào (1) ta có x = 1 ⇒ y = 1 3 1 V i x = 3y thay vào (1) ta có x = √ ⇒ y = √ 3 3 25 25 3 1 V y hpt có 4 nghi m phân bi t (x; y) là (0; 1); (1; 0); (1; 1); √ ; √ 3 3 25 25 Bài 23.  x2 − y2 = 3 (1) Gi i h phương trình: log (x + y) − log (x − y) = 1 (2) htt 3 5 Gi i  x + y > 0 ĐK: x − y > 0 T pt (1) có log3 (x2 − y2 ) = 1 ⇔ log3 (x + y) + log3 (x − y) = 1 ⇔ log3 (x + y) = 1 − log3 (x − y) (∗) 7
Thay (∗) vào pt (2) có .vn 1 − log3 (x − y) − log5. log3 (x − y) = 1 ⇔ log3 (x − y)(1 −  3 5) = 0 ⇔ log3 (x − y) = 0 ⇔ x − y = 1 3 log  x2 − y2 = 3 x + y = 3 x = 2 ⇔ ⇔ Lúc đó ta có hpt m i x − y = 1 x − y = 1 y = 1  x = 2 V y hpt có 1 nghi m duy nh t y = 1 Bài 24. th  log (x2 + y2 ) − log (2x) + 1 = log (x + 3y) 4 4 4 Gi i h phương trình: log4 (xy + 1) − log4 (2y2 + y − x + 2) = log4 x − 1 2 y  Gi i ma 2 2  (x + y )2 = x + 3y (1)  x h phương trình ⇔ xy + 1 x = (2)   2 +y−x+2 2y 2y x = y (3) (1) ⇔ x2 − 3xy + 2y2 = 0 ⇔ x = 2y (4) (2), (3) ⇔ x, y ∈ R > 0 . (2), (4) ⇔ x = 2, y = 1 Bài 25. ww  x2 (y + 1) = 6y − 2(1) Gi i h phương trình: x4 y2 + 2x2 y2 + y(x2 + 1) = 12y2 − 1(2) Gi i 4y − 4 2 9y + 1 D th y y = 0 và y = −1. T (1) ⇒ x2 y(y + 1) = 6y2 − 2y, và x2 − 2 = ;x +3 = y+1 y+1 Thay (1) vào (2), ta có: x4 y2 + x2 y2 + y + 6y2 − 2y = 12y2 − 1  (x2 − 2)(x2 + 3)y2 − y + 1 = 0 ⇔ √ y=1⇒x=± 2 /w 2 4(y − 1)(9y + 1)y y=1 ⇔ = y−1 ⇔ ⇔ 1 (y + 1)2 4(9y + 1)y2 = (y + 1)2 y= ⇒x=0 3 Bài 26.  x3 − y3 + 3y2 − 3x = 2(1) Gi i h phương trình: √ x2 + 1 − x2 − 3 2y − y2 = −2(2) Gi i p:/   1 − x2 ≥ 0 −1 ≤ x ≤ 1 ⇒ Cách 1: Đk: 2y − y2 ≥ 0 0 ≤ y ≤ 2 Đ t t = x + 1, ≤ t ≤ 2.Lúc đó hpt đã cho tr thành:  0 t 3 − 3t 2 + 2 = y3 − 3y2 + 2 t 3 − 3t 2 = y3 − 3y2 ⇒ √ √ x2 + 1 − x2 − 3 2y − y2 = −2 x2 + 1 − x2 − 3 2y − y2 = −2 htt a=0 Xét hàm s f (a) = a3 − 3a2 , 0 ≤ a ≤ 2. Có f (a) = 3a2 − 6a; f (a) = 0 ⇔ 3a2 − 6a = 0 ⇔ a=2 3 − 3a2 ngh ch bi n v i 0 ≤ a ≤ 2 V y f (t ) = f (y) ⇒ t = y ⇒ x + 1 = y L p BBT ta có f (a) = a √ √ Thay x + 1 = y vào pt (2) có x2 − 2 1 − x2 = −2 ⇔ 1 − x2 + 2 1 − x2 − 3 = 0 √ √ √ 1 − x2 = 1 ⇔ ( 1 − x2 − 1)( 1 − x2 + 3) = 0 ⇔ √ ⇒x=0⇒y=1 1 − x2 = −3 8
V y hpt có 1 nghi m (x; y) duy nh t là(0; 1) .vn Cách 2: S xu t hi n c a 2 căn th  pt (2) mách b o ta đ t z = 1 − y khi đó h tr thành c x3 − 3x + z3 − 3z = 0 √ √ x2 + 1 − x2 − 3 1 − z2 = −2 Phương trình (1) c a h này tương đương x + z = 0 ho c x2 + xz + z2 = 3 Th thì x y ra 2 trư ng h p:    z = −x x = 0 x = 0 th ⇔ ⇔ Trư ng h p 1: √ √ x2 + 1 − x2 − 3 1 − z2 = −2 z = 0 y = 1  x2 + xz + z2 = 3 Trư ng h p 2: √ √ x2 + 1 − x2 − 3 1 − z2 = −2 ma Phương trình đ u c a h này k t h p v i đi u ki n c a x và z d n đ n x = z = −1; x = z = 1, c 2 kh năng này đ u không th a mãn phương trình th 2, nên trư ng h p này vô nghi m. K t lu n: (0; 1) là nghi m c a h . Bài 27.  x2 − y2 − y = 0 Gi i h phương trình: x2 + xy + x = 1 . Gi i ww Bài 28.  9y3 (3x3 − 1) = −125 Gi i h phương trình: 45x2 y + 75x = 6y2 Gi i 3 2  i y = 0 h pt vô nghi  V i y = 0 chia 2 v pt (1) và pt (2) l n lư t cho y = 0; y = 0 ta có hpt V m.  3 125 27x3 + 125 = 9 27x + =9 /w y3 y3   ⇔ (∗) 2 3x. (3x + 5 ) = 6 5 x 45 + 75 x = 6  y2 y y  y 5 Đ t u = 3x; v = , v = 0 y    u3 + v3 = 9 (u + v)3 − 3uv(u + v) = 9 (u + v)3 = 27 Lúc đó: (∗) ⇔ ⇔ ⇔ uv(u + v) = 6n uv(u + v) = 6 uv(u + v) = 6 p:/    u + v = 3 u = 1 u = 2 ⇔ ⇔ hay uv = 2 v = 2 v = 1  x = 1   3x = 1 u = 1  3 ⇔5 ⇔ Vi y = 5  =2 v = 2 y  2 htt x = 2    3x = 2 u = 2 3 ⇔5 ⇔ Vi  =1 v = 1 y = 5 y 15 2 V y hpt đã cho có 2 nghi m (x; y) là ; ; ;5 32 3 Bài 29. 9
√x + √32 − x − y2 + 3 = 0  4 (1) .vn Gi i h phương trình: √ √  4 x + 32 − x + 6y − 24 = 0 (2) i Gi √ √ 0 ≤ x ≤ 32 √ √ x + 32 − x + 4 x + 4 32 − x = y2 − 6y + 21 (∗) . L y (1) + (2) v theo v ta có Đk: y ≤ 4 Có y2 + 6y + 21 = (y − 3)2 + 12 ≥ 12 √ √ √ √ √ √ th L i có x + 32 − x ≤ (1 + 1)(x + 32 − x) = 8 ⇔ 4 x + 4 32 − x ≤ (1 + 1)( x + 32 − x) = 4 √ √ √ √ V y x + 32 − x 4 x + 4 32 − x ≤ 12 + √x = √32 − x    x = 16 √ √  Do (∗) nên có hpt 4 x = 4 32 − x ⇔ y = 3 ma   y − 3 = 0  V y h pt có m t nghi m duy nh t (x; y) là (16; 3) Bài 30. √x + y + 1 + 1 = 4(x + y)2 + √3x + 3y  (1) Gi i h phương trình: 12x(2x2 + 3y + 7xy) = −1 − 12y2 (3 + 5x) (2) Gi i . √ √ Đ t x + y + 1 = a ≥ 0; 3x + 3y = b ≥ 0    ww 3a2 − b2 = 3 3a2 − b2 = 3 3a2 − b2 = 3 (1) ⇔ ⇔ ⇔ 9a + 3a2 − b2 2 = 4b4 + 9b 9a + 9 = 4b4 + 9 9a − 9b + 9a4 − 6a2 b2 − 3b4 = 0   3a2 − b2 = 3 3a2 − b2 = 3 ⇔ ⇔ (a − b) 9a3 + 9a2 b + 3ab2 + 3b3 = 0 a = b √ 6 ⇔b= ⇔ 2x + 2y = 1. ⇔ 2x = 1 − 2y 2 /w −5 4 7 −1 Thay vào (2) ta đư c : (x, y) = , ; ; 63 10 6 Bài 31.  x3 y (1 + y) + x2 y2 (y + 2) + xy3 = 30 Gi i h phương trình: x2 y + x 1 + y + y2 + y − 11 = 0 Gi i p:/ Bài 32.  x(1 + x) + 1 1 + 1 = 4 (1)  yy Gi i h phương trình: Gi i h 33 x y + y2 x2 + xy + 1 = 4y3 (2) Gi i 1 1 1 1 x2 + 2 = 4 T (1), (2) ⇒ x + và x2 + 2 là nghi m c a pt (2) ⇔ x + htt y y y y 1  1  x+ = 2 x + = 2   y y 2 − 4A + 4 = 0 ⇔ ⇔ ⇔x=y=1 A  x =1 x2 + 1 = 2   y2 y Bài 33. 10
√ 2 + 6y + x − 2y = x  y .vn Gi i h phương trình: √ x + x − 2y = x + 3y − 2  Gi i Bài 34.  √  1 − 12 x = 2 (1)  y + 3x  Gi i h phương trình: th √  1 + 12 y = 6 (2)  y + 3x  Gi i Cách 1: Đk: x > 0; y > 0  √ + 6 = 2 2 √ ma  x y  T đó l y (1) + (2); (2) − (1) ta đư c hpt  24 = 6 − √ 2 √  y + 3x y x  12 91 ⇒ = − ⇒ 12xy = (y + 3x)(9 − y) y + 3x y x ⇒ y2 + 6xy − 27x2 = 0 ⇒ (y + 9x)(y − 3x) = 0 ⇒ y = 3x do x > 0, y > 0 √ √ √ √ √ Thay y = 3x vào pt (1) ta đư c: x − 2 x − 2 = 0 ⇒ x = 1 + 3 ⇒ x = 4 + 2 3 ⇒ y = 3(4 + 2 3) √ √ . V y hpt có 1 nghi m (x; y) là (4 + 2 3; 3(4 + 2 3)) √ Cách 2:Đk: x > 0; y > 0 Nhân pt (1) v i 3 và nhân pt (2) v i h s o i r i c ng 2 v ta đư c: ww √ 12 √ √ √ √ 3x + yi − ( 3x − yi) = 2 3 + 6i y + 3x √ √ √ √ 12 = 2 3 + 6i ⇔ z2 − (2 3 + 6i)z − 12 = 0 Đ t z = 3x + yi thì z − z √ √ √ √ √ ⇔ z = 3 + 3 + (3 + 3i) (th  mãn) ho c z = ( 3 −) + (3 − 3i)(lo i vì 3x < 0) a 3  √3x = 3 + √3  x = 4 + 2√3 √ √ V i z = 3 + 3 + (3 + 3i ⇔ √⇔ √  √y = 3 + 3  y = 12 + 6 3 /w Bài 35.  2y x2 − y2 = 3x Gi i h phương trình: x x2 + y2 = 10y Gi i Nhân chéo ta có: 3x2 x2 + y2 = 20y2 x2 − y2 ⇔ 3x4 − 17x2 y2 + 20y4 = 0 ⇔ 3x2 = 5y2 or x2 = 4y2 p:/ 3 27 Thay vào ta có các nghi m (x;y)= (0; 0) , ± 4 ;± 4 ; (±1; ±2) 5 125 Bài 36. 2√x + 3y + 2 − 3√y = √x + 2 (1)  Gi i h phương trình: √y − 1 − √4 − x + 8 − x2 = 0 (2) htt Gi i √ √ √ (1) ⇔ 2 x + 3y + 2 = x + 2 + 3 y ⇔ 4(x + 3y + 2) = x + 2 + 9y + 6 y(x + 2) √ √ ⇔ ( x + 2 − y)2 = 0 ⇔ y = x + 2 √ √ x−3 x−3 Thay vào (2), ta có: x + 1 − 4 − x + 8 − x2 = 0 ⇔ √ +√ + (3 − x)(3 + x) = 0 4−x+1 x+1+2 ⇔x=3⇒y=5 11
1 1 Ta c n cm pt √ √ = x + 3(∗) vô nghi m trên đo n [−1, 4] + .vn x+1+2 1+ 4−x 1 1 1 1 1 3 Ta có: √ ≤√ ≤1⇒ √ √ < mà x + 3 ≥ 2 ⇒ (∗) vô nghi m + x+1+2 2 4−x+1 x+1+2 1+ 4−x 2 Bài 37. (x + √1 + x2 )(y + 1 + y2 ) = 1 (1)  Gi i h phương trình: x√6x − 2xy + 1 = 4xy + 6x + 1 (2) Gi i √ th √ t2 + 1 + t |t | − t t Cách 1:Xét f (t ) = t + t 2 + 1, f (t ) = 1 + √ =√ >√ ≥0 t2 + 1 t2 + 1 t2 + 1 Do đó f (t ) đ ng bi n trên R √ (1) ⇔ x + x2 + 1 = −y + 1 + y2 ⇔ f (x) = f (−y) ⇔ x = −y √ √ √ 2x 2 + 6x + 1 = 3x 25 2 x ma 2 + 1 = −4x2 + 6x + 1 ⇔ ( 2x2 + 6x + 1 − )2 = x⇔√ 2 (2) ⇔ x 6x + 2x 2 4 2x + 6x + 1 = −2x   2x2 + 6x + 1 = 9x2 7x2 − 6x − 1 = 0 √ V i 2x2 + 6x + 1 = 3x ⇔ ⇔ ⇔ x = 1 → y = −1 x ≥ 0 x ≥ 0 √ √   2x2 + 6x + 1 = 4x2 2x2 − 6x − 1 = 0 √ 3 − 11 −3 + 11 2 + 6x + 1 = −2x ⇔ ⇔ ⇔x= →y= V i 2x 2 2 x ≤ 0 x ≤ 0 . √ Cách 2:Bi n đ i phương trình th nh t c a h thành: x + 1 + x2 = −y + 1 + y2 (1) √ ww Rõ ràng (1) khi n ta nghĩ đ n hàm s f (t ) = t + t 2 + 1, hàm này đ ng bi n trên R nên (1) tương đương x = −y th vào phương trình th hai c a h ta đư c: √ x 6x + 2x2 + 1 = −4x2 + 6x + 1 (2) Có m √cách hay đ gi i (2) b ng n ph , nhưng đ đơn gi n, ta t 3 − 11 lũy th a 2 v ta tìm đư c nghi m x = 1; x = 2 √ √ 3 − 11 3 − 11 K t lu n: (1; −1); ( ;− ) là nghi m c a h . 2 2 Bài 38. /w 2x3 − 4x2 + 3x − 1 = 2x3 (2 − y)√3 − 2y  Gi i h phương trình: √x + 2 = 3 14 − x√3 − 2y + 1 Gi i 13 √ √ 1 = (3 − 2y)3 + 3 − 2y 2x3 − 4x2 + 3x − 1 = 2x3 (2 − y) 3 − 2y ⇔ 1 − + 1− x x √ 1 p:/ (Do hàm s f (t ) = t 3 + t đ ng bi n trên R) ⇔ 3 − 2y = 1 − x √ √ x + 2 − 3 − 3 15 − x − 2 = 0 Thay vào phương trình th hai ta đư c: x−7 x−7 111 ⇔√ =0⇔x=7⇒y= + √ 98 x+2+3 (15 − x)2 + 2 3 15 − x + 4 3 Bài 39.  x2 + 2xy − 2x − y = 0 Gi i h phương trình: htt x4 − 4(x + y − 1)x2 + y2 + 2xy = 0 Gi i T pt (2) ta có x4 − 4x3 − 4yx2 + 4x2 + y2 + 2xy = 0 ⇔ (x4 − 4x3 + 4x2 ) − 4(x2 − 2x)y + 4y2 − 3y2 − 6xy = 0 ⇔ (x2 − 2x − 2y)2 = 3y2 + 6xy 12
  x2 + 2xy − 2x − y = 0 y = x2 + 2xy − 2x (3) ⇒ .vn Lúc đó hpt đã cho tr thành: (x2 − 2x − 2y)2 = 3y2 + 6xy y2 (1 + 2x)2 = 3y(y + 2x) (4) y=0 T (4) có 2y(2xy + 2x2 − 3x − y) = 0 ⇔ 2xy + 2x2 − 3x − y = 0 x=0 + V i y= 0 t (3) có x2 − 2x = 0 ⇔ x=2  x=0⇒y=0 th +V i 2xy + 2x2 − 3x − y = 0 ⇒ y = 2xy + 2x2 y − 3x thay vào (3) có x(2xy − x − 1) = 0 ⇔  x+1 y= (x = 0) 2x x+1 (x = 0) vào pt (3) ta có (x − 1)(2x2 + 1) = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 Thay y = 2x V y hpt đã cho có 3 nghi m (x; y) là (0; 0), (2; 0), (1; 1) ma Bài 40.  x2 + y2 + 2y = 4 Gi i h phương trình: (x2 + xy)(y + 1) + x = 6 Gi i Bài 41. 3y − m√x2 + 1 = 1 .   Tìm m đ h có nghi m duy nh t: 1 ww = m2 √ x + y + 2 +1  1+ x Gi i √ y + x2 + 1 = m2 (I ) H pt đã cho tr thành √ 3y − m x2 + 1 = 1 * Đi u ki n c n: gi s hpt có nghi m (x0 ; y0 ) thì (−x0 ; y0 ) cũng là nghi m c a h /w nên hpt có nghi m duy nh t ⇔ x0 = −x0 ⇒ x0 = 0  y = m2 − 1 4 ⇒ 3m2 − m − 4 = 0 ⇔ m = −1 ∨ m = Lúc đó h (I ) ⇔ 3 3y = 1 + m *Đi u ki n đ : √  y + x2 + 1 = 1 x = 0 + V i m= -1 ta có (I ) ⇔ ⇔ V y m= -1 (nh n) √ p:/ 3y + x2 + 1 = 1 y = 0  √2  y + x + 1 = 16  x = 0 4 4 9 + V i m = ta có (I ) ⇔ ⇒ V y m = (nh n) 3y − 4 √x2 + 1 = 1 y = 7 3 3  9 3 4 Do đó m = −1; m = là các giá tr c n tìm. 3 Bài 42.  htt x2 y2 − 2x + y − 1 = 0 Gi i h phương trình: 2x2 + y2 − 4x − 5 = 0 Gi i Bài 43. 13
 xy + x − 7y = −1 (1) .vn Gi i h : x2 y2 + xy − 13y2 = −1 (2) Gi i T pt (1) ⇒ xy + 1 = 7y − x th xu ng pt (2) pt (2) ⇔ (xy + 1)2 − xy − 13y2 = 0 ⇔ (7y − x)2 − xy − 13y2 = 0 ⇔ x2 − 15xy + 36y2 = 0 ⇔ (x − 3y)(x − 12y) = 0 ⇒ x = 3y Ho c x = 12y T i đó là ra r i :D th Bài 44. (2011x + 3) (ln(x − 2) − ln 2011x) = (2011y + 3) (ln(y − 2) − ln 2011y) (1) (x; y ∈ Z) Gi i h : 2y6 + 55y2 + 58√x − 2 = 2011 (2) Gi i ma Đi u ki n: x, y > 2, khi đó t (1), ta xét hàm s : f (t ) = (2011t + 3)(ln(t − 2) − ln 2011t ) t > 2, d th y f (t ) đơn đi u trên t p xác đ nh c a nó nên : f (x) = f (y) ⇔ x = y, Thay vào (2), ta đư c phương trình: √ √ 2x6 + 55x2 + 58 x − 2 = 2011 ⇔ 2x6 + 55x2 − 1953 + 58 x − 2 − 1 = 0 x−3 ⇔ (x − 3)(x + 3)(x4 + 18x2 + 217) + 58 √ =0 x−2+1 . 58 ⇔ (x − 3) (x + 3)(2x4 + 18x2 + 217) + √ =0 x−2+1 ww 58 ⇔ x = 3, vì: (x + 3)(2x4 + 18x2 + 217) + √ >0 x>2 x−2+1 K t lu n: H phương trình đã cho có nghiêm là:(3; 3) Bài 45. 8x6 − 1 xy = y − 3x4 (1)  2 Gi i h : x3 − 4x2 y = y (2) Gi i /w 8x6 + 3x2 T phương trình th nh t rút ra: y = x+2 x3 T phương trình th hai rút ra: y = 2 4x + 1 8x6 + 3x2 x3 ⇒ x3 (64x6 + 16x4 + 23x2 − 2x + 6) = 0 ⇒ x = 0 ⇒ y = 0. =2 T đó d n đ n: x+2 4x + 1 Đáp s : (0; 0) p:/ Bài 46. x2 + xy + 2x + 2y − 16 = 0 (1) Gi i h : (x + y)(4 + xy) = 32 (2) Gi i  (x + y)(x + 2) = 16 (1 ) H pt đã cho htt (x + y)(4 + xy) = 32 (2 ) x=2 hpt đã cho th a * V i x = y t pt(1) có x2 + 2x − 8 = 0 ⇔ x = −4 hpt đã cho không th a * V i x = −y hpt không th a. x=0 ⇒y=8 (1 ) x+2 1 * V i x = −y l y ⇒ = ⇒ x(2 − y) = 0 ⇒ (2 ) 4 + xy 2 y = 2 ⇒ x = 2 hay x = −6 14
V y hpt có 3 nghi m phân bi t (x; y) là (2; 2), (0; 8), (−6; 2) .vn Bài 47. xy = x + 7y + 1 Gi i h : x2 y2 = 10y2 − 1 Gi i 7y + 1 T phương trình th nh t c a h rút x theo y ta đư c: x = y−1 7y + 1 2 2 th .y = 10y2 − 1 Th vào phương trình th hai c a h ta đư c: y−1  y = −1 ⇒ x = 3 ⇒ 39y4 + 34y3 − 8y2 − 2y + 1 = 0 ⇒  1 y=− ⇒x=1 3 ma 1 Đáp s : (3; −1), 1; − là nghi m c a h . 3 Bài 48. x3 (3y + 55) = 64 Gi i h : xy(y2 + 3y + 3) = 12 + 51x Gi i 3y + 55 = t 3 . D th y x = 0 không th a mãn h . Vi t l i h dư i d ng: y3 + 3y2 + 3y = 3t + 51 ww 4 v it= C ng v v i v c a h ta đư c: x (y + 1)3 + 3 (y + 1) + 51 = t 3 + 3t + 51 ⇔ y + 1 = t ( do f (t ) = t 3 + 3t + 51 đ ng bi n trên R) t đó có: t 3 − 3 (y − 1) − 55 = 0 ⇔ (t − 4) t 2 + 4t + 13 = 0 ⇔ t = 4 x=1 V y h có nghi m y=3 Bài 49. log (2x + 1) − log (x − y) = √4x2 + 4x + 2 − (x − y)2 + 1 − 3x2 + y2 − 4x − 2xy − 1  /w 3 3 Gi i h phương trình: √ √ log (2x) + 4x2 − 4x2 + 1 = 1 − 2 3 Gi i Vi t phương trình th nh t c a h thành: (2x + 1)2 + 1 − (2x + 1)2 − log3 (2x + 1) = (x − y)2 + 1 − (x − y)2 − log3 (x − y) (∗) Xét hàm s : f (t ) = (t )2 + 1 − (t )2 − log3 (t ) v i t > 0 p:/ √ 1 1 t − (2t + ) ≤ √ − 2 2 ≤ 0 nên f ngh ch bi n Th thì (∗) ⇔ 2x + 1 = x − y (1) Có: f (t ) = t (t )2 + 1 2 √ V i phương trình th hai, xét hàm: f (x) = log3 (2x) + 4x2 − 4x2 + 1 v i x > 0 1 1 Có: f (x) = 4x(2 − √ ) + > 0 nên f đ ng bi n x 4x 2 + 1 √ 1 1 = 1 − 2 nên x = th a mãn phương trình th hai. Th mà f 2 2 htt 3 13 K t h p v i (1) cho ta y = − V y ;− là nghi m c a h . 2 22 Bài 50.   x4 y4 2 2  + − ( x + y ) + x + y = −2 (1) Gi i h : y4 x4 y2 x2 yx 2 x + y6 − 8x + 6 = 0 (2) 15
Gi i .vn ĐK: x = 0; y = 0 x2 y2 x2 y2 xy V i pt(1): Đ t + = t ⇒ t 2 = 2 + 2 + 2 ⇒ 2 + 2 = t 2 − 2 yx y x y x 22 2 4 4 x y x y = (t 2 − 2)2 ⇒ 4 + 4 + 2 = t 4 − 4t 2 + 4 M t khác : 2 + 2 y x y x 4 4 x y T đó: 4 + 4 = t 4 − 4t 2 + 2 y x th x2 y2 Theo AM_GM có 2 + 2 ≥ 2 ⇔ t 2 ≥ 4 ⇔ |t | ≥ 2 y x Ta có v trái c a pt (1) g(t ) = t 4 − 5t 2 + t + 4, |t | ≥ 2 Có g (t ) = 2t (2t 2 − 5) + 1 Nh n xét: + t ≥ 2 ⇒ 2t (2t 2 − 5) ≥ 4(8 − 5) > 0 ⇒ g (t ) > 0 ma + t ≤ −2 ⇒ 2t ≤ −4; 2t 2 − 5 ≥ 3 ⇒ −2t (2t 2 − 5) ≥ 12 ⇒ 2t (2t 2 − 5) ≤ −12 ⇒ g (t ) < 0 L p BBT có giá tr nh nh t c a g(t) =-2 đ t đư c t i t = −2 xy V y t pt(1) có + = −2 (∗) yx y1 x Đ t u = ⇒ = ,u = 0 y xu 1 Lúc đó pt (∗) ⇔ u + = −2 ⇔ (u + 1)2 = 0 ⇔ u = −1 ⇔ x = −y . u Thay x = −y vào pt(2) có :x6 + x2 − 8x + 6 = 0 ⇔ (x − 1)2 (x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 6) = 0 ww ⇔ (x − 1)2 x2 (x + 1)2 + 2(x + 1)2 + 4 = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ y = −1 V y hpt có duy nh t 1 nghi m (x; y) là (1; −1) Bài 51. (2x2 − 1)(2y2 − 1) = 7 xy  2 Gi i h phương trình: x2 + y2 + xy − 7x − 6y + 14 = 0 Gi i /w D th y xy = 0 không th a mãn h  . 1 1 7 2x − 2y − =  2 x y V i: xy = 0 vi t l i h dư i d ng: 2 + y2 + xy − 7x − 6y + 14 = 0 x  2 + y2 + xy − 7x − 6y + 14 = 0 ( n x) có nghi m là: ĐK đ phương trình x 7 ∆1 = (y − 7)2 − 4y2 + 24y − 56 ≥ 0 ⇔ y ∈ 1; 3 p:/ 2 + y2 + xy − 7x − 6y + 14 = 0 ( n y) có nghi m là: ĐK đ phương trình x 10 ∆2 = (x − 6)2 − 4x2 + 28x − 56 ≥ 0 ⇔ x ∈ 2; 3 1 Xét hàm s f (t ) = 2t − đ ng bi n trên (0; +∞) t 7 Nên: ⇒ f (x) . f (y) ≥ f (2) . f (1) = 2 x=2 htt K t h p v i phương trình th nh t ta đư c là nghi m c a h y=1 Bài 52. √  x + 2y3 − x = − 1 + 3 3 (1) 4 4 Gi i h phương trình: y4 + 2x3 − y = − 1 − 3√3 (2)  4 16
Gi i .vn −1 L y (1)+(2), ta có: x4 + 2x3 − x + y4 + 2y3 − y = 2 2 + x)2 − (x2 + x) + 1 + (y2 + y)2 − (y2 + y) + 1 = 0 ⇔ (x 4 4 2 + x − 1 )2 + (y2 + y − 1 )2 = 0 ⇔ (x 2√ 2  −1 − 3 x =  2√ ⇔ th −1 + 3  y = 2 Bài 53. Đ thi th l n 2 chuyên Lê Quý Đôn_ Bình Đinh  log (3x + 1) − log y = 3 (1) √2 4 Gi i h phương trình: 2 −4y + 3log9 4 = 10 2 x (2) ma Gi i 1 x > − , y > 0, x 2 − 4y ≥ 0 Đk: 3 √ √ T pt(1) có: log2 (3x + 1) = 3 + log2 y ⇔ 3x + 1 = 4 4y (∗) √ √ 2 2 T pt(2) có: 2 x −4y + 2 = 10 ⇔ 2 x −4y = 8 ⇔ x2 − 4y = 3 ⇔ 4y = x2 − 9 (∗∗) √ 19 Thay (∗∗) vào (∗) ta đư c: 3 x2 − 9 = 16(x2 − 9) ⇔ 7x2 − 6x − 145 = 0 ⇔ x = 5 ∨ x = − (lo i) 7 . V i x = 5 ⇒ y = 4. V y h pt có 1 nghi m (x; y) là (5; 4) Bài 54. √ ww  1  √ + y = 2 x + 2(1) xx y Gi i h :  √2 y( x + 1 − 1) = 3(x2 + 1)(2) Gi i √ √ √ x = −y(∗) y + x 2(y + x) (1) ⇔ ⇔ = y = 2x(∗∗) x y V i (∗), ta d th y y < 0 , t c là VT c a (2) < 0, trong khi VP l i l n hơn 0 nên lo i! /w √ √ V i (∗∗), ta có: 2x( x2 + 1 − 1) =  (x2 + 1) ⇔ 4x4 − 8x2 x2 + 1 − 3(x2 + 1) = 0 ( ĐK: x > 0 ) 3 √ 7 2 2 x2 + 1(i)  x − x +1 = 2 √ 72 2 − x2 + 1)2 = (x + 1) ⇔  √ ⇔ 4(x 4 −7  2 x − x2 + 1 = x2 + 1(ii) 2 √ 11 √ 11 √ −7 + 1 < 0 Còn (i) ⇔ x4 − ( + 7)x2 − ( + 7) = 0 D th y (ii) vô nghi m b i vì p:/ 2 4 4 11 √ Đ tα= +7 4 −α + (α )2 + 4α ⇔x= 2 Bài 55. 2√2x + 3y + √5 − x − y = 7  Gi i h : 3√5 − x − y − √2x + y − 3 = 1 htt Gi i Bài 56. Bài h hay! 17
 6x2 + y2 − 5xy − 7x + 3y + 2 = 0 (1) .vn Gi i h : x − y = ln(x + 2) − ln(y + 2) (2)  3 Gi i Đk: x > −2; y > −2 y = 3x − 2 T pt (1) có :y2 + (3 − 5x)y + 6x2 − 7x + 2 = 0 ⇔ (y − 3x + 2)(y − 2x + 1) = 0 ⇔ y = 2x − 1 T pt (2) có x − 3 ln(x + 2) = y − 3 ln(y + 2) th t −1 Xét hàm s y = f (t ) = t − 3ln(t + 2), t > −2 Có f (t ) = t +2 T đó f (t ) = 0 ⇔ t − 1 = 0 ⇔ t = 1 L p BBT ta nh n có nh n xét hàm s y = f (t ) ngh ch bi n trên (−2; 1) và đ ng bi n trên (1; +∞) T đó ta đi đ n các nh n xét sau: ma + V i x = 1 ⇒ y = 1 ki m tra ta th y x; y th a h + V i x, y ∈ (−2; +∞), (x = 1) ⇒ f (y) > f (x) Th t v y: vì y = 3x − 2 ∨ y = 2x − 1 ⇒ y − x = 2(x − 1) ∨ y − x = x − 1 Nh n th y + x > 1 ⇒ y > x ⇒ f (y) > f (x) do hàm s đ ng bi n trên kho ng (1; +∞) +x < 1 ⇒ y < x ⇒ f (y) > f (x) do hàm s ngh ch bi n trên kho ng (−2; 1) . Do đó h pt đã cho có 1 nghi m (x; y) duy nh t là (1; 1). ww Bài 57. Trích đ h c sinh gi i Th a Thiên Hu 2008 - 2009 kh i chuyên.  2x + 4y = 32 Gi i h : xy = 8 Gi i Ta có x; y ph i là s dương. Vì n u x;√âm thì 2x + 4y < 2 < 32 y √ √ x + 4y ≥ 2 2x+2y ≥ 2 22 2xy = 32 Khi đó ta có: 2 D u = x y ra khi x = 2y. Khi đó x = 4 và y = 2 /w Bài 58. Trích đ h c sinh gi i Hà Tĩnh 2008 - 2009   x4 − 16 y4 − 1 =  8x y Gi i h : 2 x − 2xy + y2 = 8 Gi i p:/ Đi u ki n x = 0, y = 0 x = f (y) (1) Phương trình th nh t c a h có d ng f 2 4 −1 1 t , t = 0. Ta có f (t ) = 3t 2 + 2 > 0 V i f (t ) = t t Suy ra hàm s f đ ng bi n trên các kho ng (−∞; 0) , (0; +∞) Trên (−∞; 0) √ √ x (1) ⇔ = y, thay vào phương trình th hai c a h thu đư c: y2 = 8 ⇔ y = −2 2 ⇒ x = −4 2 2 htt Trên (0; +∞) √ √ x (1) ⇔ = y, thay vào phương trình th hai c a h thu đư c: y2 = 8 ⇔ y = 2 2 ⇒ x = 4 2 2 √√ √ √ V y h có các nghi m (x; y) là 2 2; 4 2 , −2 2; −4 2 Bài 59. Trích đ h c sinh gi i C n Thơ 2008 - 2009 vòng 1 18
 y2 − xy + 1 = 0 .vn Gi i h : x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 Gi i Thay y2 + 1 = xy vào phương trình dư i ta đư c: x2 + xy + 2(x + y) = 0 ⇔ (x + 2)(x + y) = 0 N u x = −2 thì y = −1 ±1 N u x = −y thì y = √ 2 th Bài 60. Trích đ h c sinh gi i Qu ng Bình 2008 - 2009 vòng 2 √  x2 + 2x + 22 − √y = y2 + 2y + 1 Gi i h :  y2 + 2y + 22 − √x = x2 + 2x + 1 Gi i ma Đi u ki n x ≥ 0, y ≥ 0, x = 0 ho c y = 0 đ u không th a h nênx > 0, y > 0. Tr hai phương trình c a h theo v ta đư c √ √ √ x2 + 2x + 22 + x + x2 + 2x + 1 = y2 + 2y + 22 + y + y2 + 2y + 1 √ √ Phương trình này có d ng f (x) = f (y) v i f (t ) = t 2 + 2t + 22 + t + t 2 + 2t + 1 t +1 1 Ta có f (t ) = √ + √ + 2t + 2 > 0 t 2 + 2t + 22 2 t Suy ra f là hàm đ ng bi n ⇒ f (x) = f (y) ⇔ x = y √ . √ Thay vào PT th nh t ta có x2 + 2x + 1 − x2 + 2x + 22 + x = 0 √ √ ww Phương trình này có d ng g (x) = g (1) v i g (x) = x2 + 2x + 1 − x2 + 2x + 22 + x = 0, x+1 x+1 1 g (x) = 2x + 2 + √ − √ > 2− √ >0 2x x2 + 2x + 22 √ x2 + 2x + 22 x2 + 2x + 1 |x + 1| x+1 (Vì √ ≤√ =√ < 1) ⇒ g là hàm đ ng bi n nên g (x) = g (1) ⇔ x = 1 x2 + 2x + 22 x2 + 2x + 22 x2 + 2x + 22 V y phương trình có nghi m là (x; y) = (1; 1) /w p:/ htt 19