intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài 2: phương trình đẳng cấp với sin và cos

Chia sẻ: Thanh Tran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST
Báo xấu
211
lượt xem 11
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cách 3. Phân tích thành phương trình tích 2. Các bài t p m u minh h a Bài 1. Gi i phương trình: 3sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + sin 3 3x Giải 3sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + 4 sin 3 3 x ⇔ ( 3sin 3x − 4 sin 3 3 x ) − 3 cos 9 x = 13 ⇔ sin 9 x − 3 cos 9 x = 1 ⇔ 1 sin 9 x − cos 9 x = 1 ⇔ sin 9 x − π = 1 2 2 2 3 2 9 x − π = π + 2 k π x = π

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài 2: phương trình đẳng cấp với sin và cos

  1. Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH NG C P B C NH T V I SINX, COSX 1. Phương pháp chung: a sin x + b cos x = c ; a 2 + b 2 > 0 (1) Cách 1. (1) ⇔ c = a sin x + b cos x = cos ( x − α ) 2 2 2 2 a +b a +b a + b2 2 V i a = sin α ; b = cos α ; c = cos β ⇒ x = α ± β + 2k π 2 2 2 2 a +b a +b a + b2 2 Chú ý: (1) có nghi m ⇔ c 2 ≤ a 2 + b 2 Cách 2. Xét cos x = 0 là nghi m c a (1) ⇔ b + c = 0 2 2 Xét b + c ≠ 0 . t t = tan x thì sin x = 2t 2 ; cos x = 1 − t 2 . Khi ó 2 1+ t 1+ t (1) ⇔ f ( t ) = ( c + b ) t 2 − 2at + ( c − b ) = 0 Cách 3. Phân tích thành phương trình tích 2. Các bài t p m u minh h a Bài 1. Gi i phương trình: 3sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + sin 3 3x Gi i 3sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + 4 sin 3 3 x ⇔ ( 3sin 3x − 4 sin 3 3 x ) − 3 cos 9 x = 1 ⇔ sin 9 x − 3 cos 9 x = 1 ⇔ 1 sin 9 x − 2 2 3 cos 9 x = 1 ⇔ sin 9 x − π = 1 2 3 2 ( ) 9 x − π = π + 2 k π  x = π + 2k π  3 6  18 9 ( ⇔ ⇔ k ∈ ») π = 5π + 2 k π 7 π + 2k π 9 x − x =  3 6  54 9 Bài 2. Gi i phương trình: cos 7 x.cos 5 x − 3 sin 2 x = 1 − sin 7 x.sin 5 x (1) Gi i (1) ⇔ ( cos 7 x.cos 5 x + sin 7 x.sin 5 x ) − 3 sin 2 x = 1 ⇔ cos ( 7 x − 5 x ) − 3 sin 2 x ⇔ cos 2 x − 3.sin 2 x = 1 3 ⇔ 1 cos 2 x − sin 2 x = 1 ⇔ cos π cos 2 x − sin π sin 2 x = 1 2 2 2 3 3 2 ( 2 ) ⇔ cos 2 x + π = 1 ⇔ 2 x + π = ± π + 2k π ⇔ x = k π ∨ x = −π + k π ( k ∈ » ) 3 3 3 3 219
  2. Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương Bài 3. Gi i phương trình: 2 2 ( sin x + cos x ) cos x = 3 + cos 2 x (1) Gi i (1) ⇔ 2 sin 2 x + 2 (1 + cos 2 x ) = 3 + cos 2 x ⇔ 2 sin 2 x + ( 2 − 1) cos 2 x = 3 − 2  a 2 + b 2 = ( 2 ) 2 + ( 2 − 1) 2 = 5 − 2 2  .Ta có  2 . Ta s ch ng minh: a 2 + b 2 < c 2 c = ( 3 − 2 ) = 11 − 6 2  2 2 ⇔ 5 − 2 2 < 11 − 6 2 ⇔ ( 4 2 ) < 6 2 ⇔ 32 < 36 ( úng). V y (1) vô nghi m. ( ) ( Bài 4. Gi i phương trình: 3sin x − π + 4 sin x + π + 5 sin 5 x + π = 0 3 6 6 ) ( ) Gi i ( ) ( ) ⇔ 3sin x − π + 4 cos  π − x + π  = −5sin 5 x + π 3 2  6   6 ( ) ( 3 ) 3 ( ) 6 ( ) ⇔ 3sin x − π + 4 cos π − x = 5sin  5 x + π + π .    t sin α = 4 , cos α = 3 5 5 ⇔ cos α sin  x − π  + sin α.cos ( x − π ) = sin ( 5 x + 7 π )   3  3 6 ⇔ sin ( x − π ) + α  = sin ( 5 x + 7 π ) ⇔ x = 9π + α + k π ∨ x = π − α + k π   3   6 24 4 2 36 6 3 Bài 5. Gi i phương trình: 4 sin 3 x cos 3x + 4 cos 3 x sin 3 x + 3 3 cos 4 x = 3 (1) Gi i (1) ⇔ [3sin x − sin 3 x ] cos 3x + [ 3cos x + cos 3x ] sin 3x + 3 3 cos 4 x = 3 ⇔ 3 [sin x cos 3 x + sin 3 x cos x ] + 3 3 cos 4 x = 3 ⇔ sin 4 x + 3 cos 4 x = 1 ⇔ 1 sin 4 x + 2 2 3 cos 4 x = 1 ⇔ cos π sin 4 x + sin π cos 4 x = sin 4 x + π = 1 2 3 3 3 2 ( ) ⇔ x = −π + k π ∨ x = π + k π ( k ∈ » ) 24 2 8 2 Bài 6. Gi i phương trình: 3sin x + cos x = 1 Gi i Ta có 3sin x + cos x = 1 ⇔ 3sin x = 1 − cos x 2 2 2 2 ( 2 ) ⇔ 6 sin x cos x = 2 sin 2 x ⇔ 2 sin x 3cos x − sin x = 0 . Xét 2 kh năng 2 a. sin x = 0 ⇔ x = k π ⇔ x = 2k π 2 2 b. 3cos x − sin x = 0 ⇔ tg x = 3 ⇔ x = α + k π ⇔ x = 2α + 2k π ( k ∈ » ) 2 2 2 2 220
  3. Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx Bài 7. Gi i phương trình: sin x + 5 cos x = 1 (1) Gi i 2 ( 2 2 2 )( 2 2 ) ( (1) ⇔ 5 cos x = 1 − sin x ⇔ 5 cos x − sin x cos x + sin x = cos x − sin x 2 ) ( 2 )( 2 2 ) ⇔ cos x − sin x 4 cos x + 6 sin x = 0 ⇔ tan x = 1 ∨ tan x = − 2 = tan α 2 2 2 3 ⇔ x = π + k π ∨ x = α + k π ⇔ x = π + 2 k π ∨ x = 2α + 2 k π ( k ∈ » ) 2 4 2 2 Bài 8. Gi i phương trình: sin x + 3 cos x + sin x + 3 cos x = 2 (1) Gi i   Ta có: sin x + 3 cos x = 2  1 sin x + 2 2 3 cos x  = 2 sin x + π  3 ( ) ( ) t t = sin x + 3 cos x = 2 sin x + π ⇒ 0 ≤ t ≤ 2 , khi ó 3 (1) ⇔ t + t = 2 ⇔ t = 2 − t ⇔ t = ( 2 − t ) 2 ⇔ t 2 − 5t + 4 = 0 ⇔ t = 1∈ [ 0; 2] ( 3 ) (3 2 ) ⇔ 2 sin x + π = 1 ⇔ sin x + π = 1 ⇔ x = −π + 2k π ∨ x = π + 2k π ( k ∈ » ) 6 2 Bài 9. Gi i phương trình: (1 + 3 ) sin x + (1 − 3 ) cos x = 2 (1) Gi i Do b + c = (1 + 3 ) + 2 = 2 − 3 ≠ 0 nên cos x = 0 không là nghi m c a (1) 2 2 t t = tan x ⇒ sin x 2t 2 và cos x = 1 − t 2 , khi ó 2 1+t 1+ t 2 (1) ⇔ (1 + 3 ) 2t + (1 − 3 ) 1 − t = 2 ⇔ 2 (1 + 3 ) t + (1 − 3 ) (1 − t 2 ) = 2 (1 + t 2 ) 1+ t2 1+ t2 ⇔ ( 3 − 3 ) t 2 − 2 (1 + 3 ) t + (1 + 3 ) = 0 ⇔ 1+ 3 t = 1 ∨ t =− ⇔ tan x = tan π ∨ tan x = tan 5π ⇔ x = π + 2k π ∨ x = 5π + 2k π 3 1− 3 2 6 2 12 3 6 Bài 10. Gi i phương trình: sin 3 x + ( 3 − 2 ) cos 3 x = 1 (1) Gi i Do b + c = ( 3 − 2 ) + 1 = 3 − 1 ≠ 0 nên cos 3 x = 0 không là nghi m c a (1) 2 221
  4. Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương 2 t t = tan 3 x ⇒ sin 3 x = 2t 2 và cos 3 x = 1 − t 2 , khi ó 2 1+ t 1+ t (1) ⇔ 2t + ( 3 − 2 ) (1 − t 2 ) = 1 + t 2 ⇔ (1 − 3 ) t 2 + 2t + ( 3 − 3) = 0 t = 1 ⇔ ⇔ tan 3x = 1 ∨ tan 3 x = 3 ⇔ x = π + 2k π ∨ x = 2π + 2k π ( k ∈ » ) t = 3 2 2 6 3 9 3 Bài 11. Tìm m 2 sin x + m cos x = 1 − m (1) có nghi m x ∈  −π , π   2 2   Gi i Do b + c = m + (1 − m ) ≠ 0 nên cos x = 0 không là nghi m c a (1) 2 2 t t = tan x thì (1) ⇔ 2 ⋅ 2t 2 + m ⋅ 1 − t 2 = 1 − m 2 1+ t 1+ t ⇔ 4t + m (1 − t 2 ) = (1 − m ) (1 + t 2 ) ⇔ f ( t ) = t 2 − 4t + 1 − 2m = 0 Cách 1: Yêu c u bài toán ⇔ f ( t ) = t 2 − 4t + 1 − 2m = 0 có nghi m t ∈ [ −1,1] Xét f ( −1) = 0 ⇔ 6 − 2m = 0 ⇔ m = 3 th a mãn Xét f (1) = 0 ⇔ −2 − 2m = 0 ⇔ m = −1 th a mãn Xét f ( t ) = 0 có 1 nghi m t ∈ ( −1,1) và 1 nghi m t ∉ [ −1,1] ⇔ f ( −1) f (1) = ( 6 − 2m ) ( −2 − 2m ) < 0 ⇔ ( 2m − 6 ) ( 2m + 2 ) < 0 ⇔ −1 < m < 3 Xét f ( t ) = 0 có 2 nghi m t1 , t 2 th a mãn −1 < t1 ≤ t 2 < 1 { } ⇔ ∆ ′ ≥ 0; 1. f ( −1) > 0 ; 1. f (1) > 0; − 1 < S < 1 , h này vô nghi m 2 K t lu n: (1) có nghi m x ∈  −π , π  ⇔ −1 ≤ m ≤ 3 .  2 2   Cách 2: f ( t ) = t 2 − 4t + 1 − 2m = 0 có nghi m t ∈ [ −1,1] ⇔ g ( t ) = 1 t 2 − 2t + 1 = m có nghi m t ∈ [ −1,1] 2 2 Ta có: g ′ ( t ) = t − 2 < 0 ∀t ∈ [ −1,1] ⇒ g ( t ) ngh ch bi n trên [ −1,1] Suy ra t p giá tr g ( t ) là o n  g (1) , g ( −1) ≡ [ −1, 3] . T   ó (1) có nghi m x ∈  −π , π  ⇔ g ( t ) = m có nghi m t ∈ [ −1,1] ⇔ −1 ≤ m ≤ 3  2 2   222
  5. Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx II. PHƯƠNG TRÌNH NG C P B C 2 V I SINX, COSX 1. Phương pháp chung a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x + d = 0 v i a 2 + b 2 + c 2 > 0 (1) Bư c 1: Xét cos x = 0 có là nghi m c a (1) hay không ⇔ a + d = 0 Bư c 2: Xét a + d ≠ 0 ⇒ cos x = 0 không là nghi m c a (1) Chia 2 v c a (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta nh n ư c phương trình (1) ⇔ a tan 2 x + b tan x + c + d (1 + tan 2 x ) = 0 . t t = tan x (1) ⇔ f ( t ) = ( a + d ) t 2 + bt + ( c + d ) = 0 Bư c 3: Gi i và bi n lu n f ( t ) = 0 ⇒ Nghi m t 0 = tg x ⇒ nghi m x. 2. Các bài t p m u minh h a Bài 1. a. Gi i phương trình: sin 2 x + 2 sin x cos x + 3cos 2 x − 3 = 0 b. Gi i phương trình: sin 2 x − 3sin x cos x + 1 = 0 Gi i a. sin 2 x + 2 sin x cos x + 3cos 2 x − 3 = 0 (1) cos x = 0   2 sin x = 1 N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) ⇒  2 ⇔ 2 sin x − 3 = 0 sin x = 3   ⇒ Vô lý. Chia 2 v c a (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta nh n ư c (1) ⇔ tan 2 x + 2 tan x + 3 − 3 (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ 2 tan x − 2 tan 2 x = 0  tan x = 0 x = kπ ⇔ 2 tan x (1 − tan x ) = 0 ⇔  ⇔ (k ∈ »)  tan x = 1 x = π + kπ  4 b. sin 2 x − 3sin x cos x + 1 = 0 (2) cos x = 0  N u cos x = 0 là nghi m c a (2) thì t (2) ⇒  2 ⇒ Vô lý sin x + 1 = 0  Chia 2 v c a (2) cho cos 2 x ≠ 0 ta nh n ư c phương trình ( 2 ) ⇔ tan 2 x − 3 tan x + (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ 2 tan 2 x − 3 tan x + 1 = 0  tan x = 1 = tan π  π  ( tan x − 1) ( 2 tan x − 1) = 0 ⇔  4 ⇔  x = 4 + k π ( k ∈ ») ⇔ 1 x = α + kπ  tan x = = tan α   2 223
  6. Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương Bài 2. a. Gi i phương trình: 4 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2 sin 2 x + 5 2 (2 2) ( ) 2 ( b. GPT: 3sin 2 x ( 3π − x ) + 2 sin 5π + x cos π + x − 5sin 2 3π + x = 0 ) Gi i a. Phương trình ⇔ 2 sin 2 x − 4 3 sin x cos x − 4 cos 2 x + 5 = 0 (1) 2 N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) ⇒ 2 sin x + 5 = 0 ⇒ Vô lý 2 2 Chia 2 v c a (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta nh n ư c phương trình (1) ⇔ 2 tan 2 x − 4 3 tan x − 4 + 5 (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ 9 tan 2 x − 8 3 tan − 3 = 0 2 − 3 ⇔ tan x = 3 = tan π ∨ tan x = = tan α ⇔ x = π + k π ∨ x = α + k π ( k ∈ » ) 3 9 3 ( 2 ) ( 2 ) 2 ( b. 3sin 2 x ( 3π − x ) + 2 sin 5π + x cos π + x − 5sin 2 3π + x = 0 ) ⇔ 3sin 2 x − 2 sin x cos x − 5 cos 2 x = 0 ( 2 ) cos x = 0 N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (2) ⇒  ⇒ Vô lý sin x = 0 Chia 2 v c a (2) cho cos 2 x ≠ 0 ta nh n ư c phương trình  tan x = −1 = tan −π  x = −π + k π  4 ( 2 ) ⇔ 3 tan x − 2 tan x − 5 = 0 ⇔  2 ⇔ 4 tan x = 5 = tan α x = α = kπ    3 Bài 3. GPT: a. 3 sin x + cos x = 1 b. 4 sin x + 6 cos x = 1 cos x cos x Gi i a. 3 sin x + cos x = 1 ⇔ 3 sin x + cos x = 1 ⇔ 3 tan x + 1 = 1 + tan 2 x cos x cos x cos 2 x  tan x = 0 ⇔ tan 2 x − 3 tan x = 0 ⇔ tan x ( tan x − 3 ) = 0 ⇔   tan x = 3 { 3 } ⇔ x ∈ k π; π + k π b. 4 sin x + 6 cos x = 1 ⇔ 4 sin x + 6 cos x = 12 ⇔ 4 tan x + 6 = 1 + tan 2 x ⇔ cos x cos x cos x tan x = −1 = tan −π  x = −π + k π tan 2 x − 4 tan x − 5 = 0 ⇔ ( tan x + 1)( tan x − 5) = 0 ⇔  4 ⇔ 4 tan x = 5 = tan α x = α + kπ   224
  7. Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx Bài 4. Gi i phương trình: 7 sin 2 x + 2 sin 2 x − 3cos 2 x − 3 3 15 = 0 (1) Gi i cos x = 0  N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) ⇒  2 ⇒ Vô lý 7 sin x = 3 3 15  Chia 2 v c a (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta có (1) ⇔ 7 tan 2 x + 4 tan x − 3 − 33 15 (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ ( 7 − 3 3 15 ) tan 2 x + 4 tan x − ( 3 + 3 3 15 ) = 0 ( 2 ) . Ta có ∆ ′ = 25 + 12 3 15 − 9 3 15 2 t t = 3 15 ⇒ t 3 = 15 ⇒ 5 t 3 = 25 , ta s ch ng minh ∆′ 0, ∀t ∈( 0, 1) t2 + 2 ( t 2 + 2) 2 ( t 2 + 2) 2 ⇒ g ( t ) tăng / ( 0,1) ⇒ g ( t ) = m có nghi m t ∈ ( 0,1) ⇔ m ∈ ( g ( 0 ) , g (1) ) ≡ (1, 2 ) . Bài 6. Cho phương trình: sin 2 x + ( 2m − 2 ) sin x cos x − ( m + 1) cos 2 x = m (1) a. GPT: m = −2 b. Tìm m phương trình có nghi m. Gi i N u cos x = 0 là nghi m c a phương trình (1) thì t (1) suy ra cos x = 0 sin 2 x = 1  m = 1 m = 1   m = 1   2 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ ⇔ π sin x = m  sin x = m  sin x = 1 cos x = 0  x = + k π   2 N u m ≠ 1 thì cos x = 0 không là nghi m c a (1), khi ó chia 2 v c a (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta có: (1) ⇔ tan 2 x + ( 2m − 2 ) tan x − ( m + 1) = m (1 + tan 2 x ) 225
  8. Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương ⇔ f ( tan x ) = ( m − 1) tan 2 x − 2 ( m − 1) tan x + 2m + 1 = 0 a. N u m = −2 thì (1) ⇔ −3 ( tan x − 1) = 0 ⇔ x = π + k π 2 4 m = 1 m = 1   b. (1) có nghi m ⇔   m ≠ 1 ⇔   m ≠ 1  ⇔ −2 ≤ m ≤ 1   ∆ ′ ≥ 0  2  −m − m + 2 ≥ 0   Bài 7. Cho phương trình: cos 2 x − sin x cos x − 2 sin 2 x − m − 0 (1) a. Gi i phương trình (1) khi m = 1 b. Gi i bi n lu n theo m Gi i a. V i m = 1 ta có (1) ⇔ cos 2 x − sin x cos x − 2 sin 2 x − 1 = 0 ⇔ ( cos x + 3sin x ) sin x = 0 ⇔ sin x = 0 ∨ co tg x = −3 = cotg α ⇔ x ∈ {k π ; α + k π} b. (1) ⇔ 1 + cos 2 x − 1 sin 2 x − (1 − cos 2 x ) − m = 0 ⇔ 3cos 2 x − sin 2 x = 2m + 1 2 2 ⇔ 3 cos 2 x − 1 sin 2 x = 2m + 1 . t cos α = 3 , sin α = 1 , khi ó ta có 10 10 10 10 10 cos α cos 2 x − sin α sin 2 x = 2m + 1 ⇔ cos ( 2 x + α ) = 2m + 1 10 10  −1 − 10   −1 + 10  + N u 2m + 1 > 1 ⇔  m <  ∪ m >  thì (2) vô nghi m 10  2   2   −1 − 10 −1 + 10  + N u 2m + 1 ≤ 1 ⇔ m ∈  ,  thì t 2m + 1 = cos β 10  2 2  10 ±β − α Khi ó (1) ⇔ ( 2 ) ⇔ cos ( 2 x + α ) = cos β ⇔ x = + kπ 2 Bài 8. Gi i và bi n lu n: m sin 2 x + 4 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 (1) Gi i cos x = 0 • m = 0 , (1) ⇔ 2 cos x ( 2sin x + cos x ) = 0 ⇔  cot x = −2 = cot α { ⇔ x ∈ π + kπ; α + kπ 2 } • m ≠ 0 thì (1) ⇔ m tan 2 x + 4 tan x + 2 = 0 v i ∆ ′ = 4 − 2m + N u m > 2 thì (1) vô nghi m; N u m = 2 thì tan x = −1 ⇔ x = −π + k π 4 −2 ± 4 − 2m + N u 0 ≠ m < 2 thì tan x = = tan β ⇔ x = β + k π . m 226
  9. Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx III. PHƯƠNG TRÌNH NG C P B C 3 V I SINX, COSX 1. Phương pháp chung a sin 3 x + b sin 2 x cos x + c sin x cos 2 x + d cos 3 x = 0 v i a 2 + b 2 + c 2 + d 2 > 0 (1) a sin 3 x + b sin 2 x cos x + c sin x cos 2 x + d cos 3 x + ( m sin x + n cos x ) = 0 Bư c 1: Xét cos x = 0 có là nghi m c a phương trình hay không Bư c 2: Xét cos x ≠ 0 không là nghi m c a phương trình. Chia 2 v c a (1) cho cos 3 x ≠ 0 và s d ng công th c 1 = 1 + tan 2 x ; sin x = tan x (1 + tan 2 x ) cos 2 x cos 3 x ta nh n ư c phương trình b c 3 n tan x . Bư c 3: Gi i và bi n lu n phương trình b c 3 n tg x . 2. Các bài t p m u minh h a Bài 1. Gi i phương trình: 4 sin 3 x + 3cos 3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0 (1) Gi i N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) suy ra cos x = 0  sin x = 1 ∨ sin x = −1   3 ⇔ 3 ⇒ Vô lý  4 sin x − 3sin x = 0   4 sin x − 3sin x = 0  Chia 2 v c a (1) cho cos 3 x ≠ 0 ta có (1) ⇔ 4tan 3 x + 3 − 3tan x (1+ tan 2 x) − tan 2 x = 0 ⇔ tan 3 x − tan 2 x − 3 tan x (1 + tan 2 x ) − tan 2 x = 0 ⇔ ( tan x − 1) ( tan x 2 − 3) = 0 ⇔ tan x = 1 ∨ tan x = ± 3 ⇔ x = π + k π ∨ x = ± π + k π ( k ∈ » ) 4 3 Bài 2. Gi i phương trình: sin 2 x.sin 2 x + sin 3 x = 6 cos 3 x (1) Gi i (1) ⇔ sin x ( 2 sin x cos x ) + 3sin x − 4 sin 3 x = 6 cos 3 x ⇔ 4 sin 3 x − 3sin x − 2 sin 2 x cos x + 6 cos 3 x = 0 (2) N u cos x = 0 là nghi m c a (2) thì t (2) suy ra cos x = 0  sin x = 1 ∨ sin x = −1   3 ⇔ 3 ⇒ Vô lý   4 sin x − 3sin x = 0  4 sin x − 3sin x = 0  Chia 2 v c a (2) cho cos 3 x ≠ 0 ta có ( 2 ) ⇔ tan 3 x − 2 tan 2 x − 3 tan x + 6 = 0 { ⇔ ( tan x − 2) ( tan 2 x − 3) = 0 ⇔ tan x = 2 = tan α ∨ tan x = ± 3 ⇔ x ∈ α + k π ; ± π + k π 3 } 227
  10. Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương Bài 3. Gi i phương trình: 1 + 3sin 2 x = 2 tan x Gi i i u ki n: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ π + k π (1) 2 1 + 3sin 2 x = 2 tan x ⇔ 1 + 6 sin x cos x = 2 tan x ⇔ 1 + 6 tan x = 2 tan x ⋅ 1 cos 2 x cos 2 x ⇔ (1 + tan 2 x ) + 6 tan x = 2 tan x (1 + tan 2 x ) ⇔ 2 tan 3 x − tan 2 x − 4 tan x − 1 = 0  tan x = −1  x = − π + nπ ⇔ ( tan x + 1) ( 2 tan x − 3 tan x − 1) = 0 ⇔  2 ⇔ 4  tan x = 3 ± 17 = tan α  x = α + nπ   4 1,2  1,2 Bài 4. Gi i phương trình: ( ) 2 sin 3 x + π = 2 sin x (1) 4 Gi i 3 ( ) 4  4   ( ) (1) ⇔ 2 2 sin 3 x + π = 4sin x ⇔  2 sin x + π  = 4sin x ⇔ ( sin x + cos x ) 3 = 4sin x  N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) suy ra cos x = 0  sin x = 1 ∨ sin x = −1   3 ⇔ 3 ⇒ Vô lý sin x = 4 sin x  sin x − 4 sin x = 0  Chia 2 v c a (1) cho cos 3 x ≠ 0 ta có (1) ⇔ ( tan x + 1) 3 = 4 tan x (1 + tan 2 x ) ⇔ tan 2 x + 3tan 2 x + 3tan x + 1 = 4 tan 3 x + 4 tan x ⇔ 3tan 3 x − 3tan 2 x + tan x −1 = 0 ⇔ ( tan x −1) ( 3tan 2 x +1) = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π + k π 4 ( Bài 5. Gi i phương trình: 8 cos 3 x + π = cos 3 x 3 ) Gi i 3 ( 3 ) 8 cos 3 x + π = cos 3 x ⇔ 8  cos x.cos π − sin x sin π  = cos 3x   3 3 3 3 ⇔ ( cos x − 3 sin x ) = 4 cos 3 x − 3cos x ⇔ ( 3 sin x − cos x ) − 3cos x + 4 cos 3 x = 0 (1) N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) suy ra cos x = 1  ⇒ 0 = cos 2 x + sin 2 x = 1 ⇒ 0 = 1 ⇒ Vô lý sin x = 0 228
  11. Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx 3 Chia 2 v c a (1) cho cos 3 x ≠ 0 ta có (1) ⇔ ( 3. tan x − 1) − 3 (1 + tan 2 x ) + 4 = 0 2 ⇔ 3 3 tan 3 x − 3 ( 3 tan x ) + 3 3 tan x − 1 − 3 (1 + tan 2 x ) + 4 = 0 ⇔ 3 3 tan 3 x − 12 tan 2 x + 3 3 tan x = 0 ⇔ tan x ( 3 tan 2 x − 4 tan x + 3 ) = 0 3 6 3 { ⇔ tan x = 0 ∨ tan x = 1 ∨ tan x = 3 ⇔ x ∈ k π ; π + k π ; π + k π ( k ∈ » ) } ( Bài 6. Gi i phương trình: sin 3 x − π = 2 sin x (1) 4 ) Gi i 3 ( 4 )   4   ( (1) ⇔ 2 2 sin 3 x − π = 4 sin x ⇔  2 sin x − π  = 4 sin x ) ⇔ ( sin x − cos x ) = 4 sin x ⇔ ( tan x − 1) = 4 tan x (1 + tan 2 x ) 3 3 ⇔ tan 3 x − 3 tan 2 x + 3 tan x − 1 = 4 tan 3 x + 4 tan x ⇔ 3 tan 3 x + 3 tan 2 x + tan x + 1 = 0 ⇔ ( tan x + 1) ( 3 tan 2 x + 1) = 0 ⇔ tan x + 1 = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − π + k π ( k ∈ » ) 4 Bài 7. Gi i phương trình: 6 sin x − 2 cos 3 x = 5sin 4 x cos x (1) 2 cos 2 x Gi i i u ki n: cos 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠ π + k π ⇔ x ≠ π + k π ( 2 ) 2 4 2 V i i u ki n (2) ta có (1) ⇔ 6 sin x − 2 cos 3 x = 5sin 2 x cos x ⇔ 6 sin x − 2 cos 3 x = 5 ( 2 sin x cos x ) cos x ⇔ 3sin x − cos 3 x − 5 sin x cos 2 x = 0 (3) N u cos x = 0 là nghi m c a (3) thì t (3) suy ra cos x = 0  ⇒ 0 = sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ 0 = 1 ⇒ Vô lý sin x = 0 Chia 2 v c a (3) cho cos 3 x ≠ 0 ta có 3 tan x (1 + tan 2 x ) − 1 − 5 tan x = 0 ⇔ ( tan x − 1) ( 3. tan 2 x + 3 tan x + 1) = 0  2   ( ⇔ ( tan x − 1) 3 tan x + 1 2 ) + 1  = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π + nπ 4 4 Do x = π + nπ mâu thu n v i (2): x ≠ π + k π nên phương trình (1) vô nghi m. 4 4 2 229
  12. Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương Bài 8. ( 4 − 6m ) sin 3 x + 3 ( 2m − 1) sin x + 2 ( m − 2 ) sin 2 x cos x − ( 4m − 3) cos x = 0 a. Gi i phương trình khi m = 2 b. Tìm m phương trình có nghi m duy nh t x ∈  0, π   4   Gi i N u cos x = 0 là nghi m c a phương trình thì t phương trình suy ra cos x = 0  sin x = 1 ∨ sin x = −1   ⇔ ⇒ Vô lý  ( 4 − 6 ) sin x + ( 6m − 3) sin x = 0 ( 4 − 6m ) sin 3 x + ( 6m − 3) sin x 3  Chia 2 v c a phương trình cho cos 3 x ≠ 0 ta có phương trình ⇔ ( 4 − 6m) tan 3 x + 3 ( 2m − 1) tan x (1 + tan 2 x ) + 2 ( m − 2) tan 2 x − ( 4m − 3) (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ tan 3 x − ( 2m + 1) tan 2 x + 3 ( 2m − 1) tan x − ( 4m − 3) = 0 ⇔ ( tan x − 1) [ tan 2 x − 2m tan x + ( 4m − 3)] = 0 (1) a. N u m = 2 thì (1) ⇔ ( tan x − 1) ( tan 2 x − 4 tan x + 5 ) = 0 ⇔ ( tan x − 1) ( tan x − 2 ) + 1 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π − k π ( k ∈ » ) 2   4 b. t t = tan x ∈ [ 0,1] ∀x ∈  0, π  , khi ó phương trình  4   t − 1 = 0 ⇔ t = 1∈ [ 0,1] (1) ⇔ ( t − 1) ( t 2 − 2mt + 4m − 3) = 0 ⇔  2 t − 2mt + 4m − 3 = 0  Xét phương trình: t 2 − 2mt + 4m − 3 = 0 v i t ∈ [ 0,1] 2 ( t − 1) ( t − 3) ⇔ t 2 − 3 = 2m ( t − 2 ) ⇔ g ( t ) = t − 3 = 2m . Ta có g ′ ( t ) = ≥ 0 ∀t ∈ [ 0, 1] t −2 ( t − 2) 2 ⇒ g (t ) ng bi n trên [ 0,1] ⇒ T p giá tr g ( t ) là [ g ( 0 ) , g (1)] =  3 ; 2  2    ( ) phương trình (1) có nghi m duy nh t x ∈ 0, π thì phương trình g ( t ) = 2m 4 ho c vô nghi m t ∈ [ 0,1] ho c có úng 1 nghi m t = 1  2m ≥ 2 m ≥ 1 ⇔ g ( t ) = 2m vô nghi m t ∈ [ 0,1) ⇔  ⇔  2m < 3 m < 3  2  4 230
  13. Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx 231
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2