Bài 4: Các Phép Biến Đổi

Chia sẻ: đỗ Mạnh Tú | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

159
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo bài thuyết trình 'bài 4: các phép biến đổi', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài 4: Các Phép Biến Đổi

̀ ̉ BAI GIANG HINH HOC HOẠ HINH ̀ ̣ ̀ Giảng viên: Th.s Nguyễn Thị Thu Nga 1
̀ Bai 4 Các phép biến đổi 2
Đặt vấn đề: Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán. Dưới đây là một số phương pháp biến đổi. 3
I- Thay mặt phẳng hình chiếu a) Π1 Π’1 1- Thay một mặt phẳng hình chiếu A1 a) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 Điều kiện:∏'1 ⊥ ∏ 2 A’1 x * Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu: Ax A A’1 - Gọi x’ ≡ П’1∩П2 là trục hình chiếu mới. A’x - Giả sử điểm A trong hệ thống (П1 , П2) có hình chiếu A2 x’ Π2 là (A1 , A2). - Chiếu vuông góc điểm A lên П’1 ta có hình chiếu A’1. b) A1 Cố định П2 xoay П’1 quanh trục x’cho đến khi П’1≡П2. Ax x ( Chiều quay xác định như trên hình 4.1). Π1 Π2 - Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống A’1 (П’1, П2), A’1 là hình chiếu đứng mới của điểm A. *Tính chất: A’x - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П’1, П2): Gọi A’x ≡ A’1A2 ∩ x’ x’ A2 Π’ + A’1 , A’x , A2 cùng nằm trên một đường dóng Π 1 vuông góc với x’ 2 Hình 4.1.a,b Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng 4 + A’xA’1=AxA1 (Độ cao điểm A không thay đổi) П’
Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2,B2). B1 Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng A1 AB đối với П2 Bx x Ax Π1 Giải: Π2 Dựa vào tính chất của đường mặt Π2 B2 - AB đã cho ở vị trí bất kỳ. Π’ 1 - Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống mới A2 B’x (П’1, П2) đoạn thẳng AB là đường mặt . A’x x’ Khi đó hình chiếu đứng mới A’1B’1 là độ lớn φ thật của AB và A’1B’1,x’ = φ là góc giữa AB với П2. A’1 ĐL T: AB - Để thực hiện: B’1 +Chọn x’//A2B2 +Tìm A’1B’1 (dựa vào tính chất) Hình 4.2. Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc Chú ý : Độ cao các điểm A’1, B’1 - nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П2 5
b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2 A’2 Điều kiện: ∏'2 ⊥ ∏1 Cách xây dựng như thay П1 thành П’1 A’x * Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). x’ Π’ Hãy tìm hình chiếu mới của điểm A trong A1 Π 2 phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 1 biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1. (Hình 4.3) Ax Π1 x *Tính chất: Π2 - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П1, П’2) + A1A’xA’2 cùng nằm trên một đường dóng vuông góc với x’ A2 + A’xA’2 =AxA2 Hình 4.3. Thay mặt phẳng П2 thành П’2 6
A’2 Ví dụ 2: Tìm hình dạng độ lớn thật của tam giác ABC B’2 được cho trên đồ thức. (Hình 4.4) A’x A1 Giải: Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng mức C’2 B’x - (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng. C’x - Thay mặt phẳng П2 thành П’2 sao cho П’2 // x’ B1 Π’ (ABC) C1 Π 2 Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’// A1B1C1. 1 Ax Cx Bx Π1 x Tìm A’2B’2C’2? Π2 C2 - Kết quả ΔA’2B’2C’2 là hình dạng độ lớn thật của ΔABC. A2 B2 Hình 4.4.Tìm hình dạng thật của tam giác ABC 7
A1 2- Thay hai mặt phẳng hình chiếu a) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 x Ax Π1 ∏' ⊥ ∏ rồi thay П2 thành1 П’2 2 Π2 ∏'2 ⊥ ∏'1 Điều kiện: Π2 Π’ 1 Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). A2 Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm x’’ A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu A’x x’ П1thành П’1 rồi П2 thành П’2, biết trước trục x’ là giao của П2 với П’1, trục x” là A’2 A”x A’1 giao của П’1 với П’2 . (Hình 4.5) Giải: - Tìm A’1: A’1A2 ⊥ x’ ; A’xA’1=AxA1 - Tìm A’ : A’ A’1 ⊥ x” ; A’ A”2=A A’ Π’1 Π’2 Chú ý: K2hông 2 ược nhầm đxộ xa AxA2 2với A’xA2 đ x Hình 4.5. Thay mặt phẳng П1 thành П’1 8 rồi thay П2 thành П’2 A
Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2B2). B1 Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu hãy đưa đoạn thẳng AB về vị trí là Bx x Ax Π1 đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống Π2 mới.(Hình 4.6) B2 A1 Độ cao âm Giải: Π2 A2 1 Π’ 1 Π’ - Thay П1thành П’1 để trong hệ thống A’1 2 Π’ B’x (П’1,П2), AB là đường mặt. x’ + Muốn vậy, chọn trục x’//A2B2. A’x B’1 + Tìm A’1B’1? A”x ≡ B”x (Độ cao điểm A âm) Thay П2 thành П’2 để trong hệ thống - A’2 ≡ B’2 (П’1,П’2), AB là đường thẳng chiếu bằng. x’’ + Muốn vậy, chọn trục x”⊥ A’1B’1. + Tìm A’2B’2? Hình 4.6. Ví dụ 3 (A’2 ≡B’2 vì có độ xa bằng nhau, AB chiếu 9 bằng)
b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2 x’’ A’’x rồi thay П1 thành П’1 A’1 A’2 Điều kiện:∏'2 ⊥ ∏1 ∏'1 ⊥ ∏'2 A’x Thực hiện phép thay tương tự như mục a) Π’ 2 Π’1 Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). x’ Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A Π’ A1 Π 2 trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 1 thành П’2 rồi П1 thành П’1, biết trước trục x’ là giao Ax Π1 x của П’2 với П1, trục x’’ là giao của П’1 với Π2 П’2. (Hình 4.7). Giải: A2 Tìm A’2: A1A’2 ⊥ x’ ; A’xA’2=AxA2 Hình 4.7. Thay mặt phẳng П2 thành П’2 Chú ý: hông ⊥ m ; cao A A’x ớ Tìm A’ : KA’ A’ nhầx” độA’’ A’ 1=A’vA i A1Ax 1 1 2 x 1 x 1 rồi thay П1 thành П’1 10
A’1 B’1 Ví dụ 4: Tìm hình dạng, độ lớn thật của tam Π’ 2 x’’ Π1 giác x’ B”x ABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8) B’2 Giải: B’x A”x - Thay П2 thành П’2 sao cho trong hệ B1 C’1 thống (П1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng C”x A’2 Π’ chiếu bằng. f1 A’x Π’ 1 C’2 Muốn vậy, vẽ đường mặt Af. 11 2 Chọn trục x’⊥ A1f1. A1 C’x Tìm A’2B’2C’2? C1 Bx Cx - Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ x Ax Π1 Π2 B2 thống (П’1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng mặt. 12 f2 A2 Muốn vậy, chọn trục x’//A’2B’2C’2. Tìm A’1B’1C’1? C2 Hình 4.8. Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật - Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn 11 của tam giác ABC thật của tam giác ABC.
II- Phép quay quanh trục Π1 t 1- Phép quay quanh đường thẳng chiếu O1 A’1 α A1 a) Phép quay quanh đường thẳng chiếu bằng (C) 1 Bài toán: Cho đường thẳng chiếu bằng t(t1,t2) và O R điểm A (A1,A2). Hãy tìm hình chiếu A’(A’1,A’2) của φ A’ A x α điểm A sau khi quay điểm A quanh đường thẳng t một góc φ cho trước. (Hình 4.9) (C2) t2 ≡O2. Mô tả: φ A’2 A2 Π2 Khi quay A quanh trục t (t⊥ П2) thì điểm A vạch nên một đường tròn (C) có tâm O∈t, bán kính R=OA là t1 khoảng cách từ A đến t và (C) ∈(α): (α)//П2, (α) qua A.’ A’1 α O1 A”2 A1 Trên đồ thức: α1 qua A1, α1//x. 1 Khi A quay quanh t đến A’ thì AOA’= φ, x dễ thấy A2O2A’2=AOA’= φ và O2A’2=O2A2=R. A”2 Do đó: Trên đồ thức, vẽ cung tròn A2A’2 sao cho A2OA’2= φ. Ta có: A’1 ∈α1 A’(A’1,A’2) là vị trí mới của A cần tìm. φ t2 ≡ O 2 Có 2 vị trí A’ và A”. φ Hình 4.9. Phép quay quanh đường thẳng chiếu bằng A2 12 A’2
t1 b) Phép quay quanh đường thẳng chiếu đứng (Tương tự như phép quay quanh đường B’1 ≡ B1 Đ thẳng chiếu bằng) LT :A Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của B φ đoạn thẳng AB với П2. (Hình 4.10) α A1 A’1 1 O1 Giải: Quay AB quanh đường thẳng chiếu bằng t x đến vị trí AB là đường mặt. Chọn t qua B, ⇒ t1 qua B1, t2 ≡ B2 Khi quay quanh t thì B cố định: ⇒ B’1 ≡ B1 ; B’2 ≡ B2 Quay A quanh t đến A’ sao cho A’B’//П1 B’2 ≡ B2≡ t2 A’2 ⇒ A’2B’2//x ⇒A’1∈α1 A2 Ta có kết quả: + A’1B’1 là độ lớn thật của AB Hình 4.10. Ví dụ tìm độ lớn thật và + A’1B’1, x = AB, П2 = φ góc nghiêng của đoạn thẳng AB với 13 П2
2- Phép quay quanh đường thẳng đồng mức Π1 α a) Phép quay quanh đường bằng A h1 ≡ φ1 (C) Bài toán: Cho đường bằng h(h1,h2) và điểm A (A1,A2). A’ Hãy tìm hình chiếu A’(A’1,A’2) của điểm A sau khi quay O x h điểm A quanh đường bằng h tới vị trí A’ có độ cao bằng độ A* φ cao của đường bằng h. (Hình 4.11) A’2 A2 Mô tả: α 2O2 h2 Khi quay A quanh đường bằng h thì điểm A vạch nên một Π2 A*2 đường tròn (C) có tâm O∈h, bán kính R=OA là khoảng cách từ A đến h và (C) ∈(α) ; (α) ⊥ h ⇒( α) ⊥ П2. A1 Δz Do đó trên hình chiếu bằng A2∈α2. O1 h1 ≡ φ1 Khi đến vị trí A’ có độ cao bằng độ cao của đường bằng h A’1 A*1 thì A’∈(φ) là mặt phẳng bằng chứa h (φ1 ≡ h1). Trên hình chiếu đứng A’1∈φ1. x Mặt khác, OA’// П2 ⇒O2A’2=OA=R (khoảng cách thật từ A đến h) A’2 Thực hiện : A2 Qua A2 vẽ α2 ⊥ h2, gọi O2 ≡ h2 ∩ α2 ,O1∈h1 O2 Tìm độ lớn thật của OA. A ĐLT: O Lấy O2 làm tâm quay cung tròn bán kính R=OA cắt α2 tại A’2. Ta có A’1∈h1 α2 h2 Bài toán có hai nghiệm: A’2 và A*2 ⇒A’1∈h1, A*1∈h1 Hình 4.11. Phép quay quanh đường bằng 14 A*2
A1 Ví dụ: Tìm hình dạng độ lớn thật tam giác ABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.12) Giải: D1 h1 B1 - Quay mặt phẳng (ABC) quanh đường bằng Bh để mặt phẳng (ABC) trở thành mặt phẳng bằng Δz C1 thì hình chiếu bằng mới của ∆ ABC là độ lớn A’2 thật của tam giác đó. C*2 - Muốn vậy, vẽ đường bằng Bh (B1h1; B2h2) của B’2≡ B2 C2 C mặt phẳng (ABC) - Xoay điểm C quanh đường bằng Bh: C D2 :O LT Đ + Qua C2 vẽ α2 ⊥ B2h2 .Gọi O2 ≡ h2 ∩ α2 h2 O2 + Tìm độ lớn thật OC đó là O2C. + Lấy O2 làm tâm quay cung tròn bán kính A2 R=O2C, cung tròn cắt α2 tại C’2. A*2 - Qua A2 vẽ β2 ⊥ Β2 h2. Kéo dài C’2D2 cắt β2 tại A’2. C’2 β2 - Vì quay quanh đường bằng Bh nên B’2 ≡ B2 α2 - ∆ A’2B’2C’2 là độ lớn thật của ∆ ABC. Hình 4.12. Tìm độ lớn thật của tam giác Tương tự ta có nghiệm A*2B2C*2 15 ABC