Bài giảng Cơ học kỹ thuật: Chương 2.2 - Phạm Thành Chung

§2. Định lý biến thiên động lượng

Nội dung

1 Mở đầu về các hệ cơ học

2 Định lý biến thiên động lượng Các khái niệm cơ bản Định lý biến thiên động lượng Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ Định lý bảo toàn động lượng của cơ hệ Thí dụ áp dụng

3 Mômen quán tính khối của vật rắn

4 Định lý biến thiên mômen động lượng

5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 15 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.1 Các khái niệm cơ bản

Nội dung

1 Mở đầu về các hệ cơ học

2 Định lý biến thiên động lượng Các khái niệm cơ bản Định lý biến thiên động lượng Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ Định lý bảo toàn động lượng của cơ hệ Thí dụ áp dụng

3 Mômen quán tính khối của vật rắn

4 Định lý biến thiên mômen động lượng

5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 15 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.1 Các khái niệm cơ bản

a) Động lượng của chất điểm

Định nghĩa. Động lượng của chất điểm là một đại lượng véctơ, ký hiệu là (cid:126)p, bằng tích khối lượng chất điểm với vận tốc của nó

(cid:126)p = m(cid:126)v

(11)

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 16 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.1 Các khái niệm cơ bản

b) Động lượng của vật rắn

Định nghĩa. Động lượng của vật rắn B là một đại lượng véctơ được xác định bởi công thức

(cid:90)

(cid:126)p =

(cid:126)v dm

(12)

B

Trong đó (cid:126)v dm là động lượng một phân tố nhỏ của vật rắn. Theo định nghĩa khối tâm vật rắn (7), ta suy ra biểu thức động lượng vật rắn

(13)

(cid:126)p = m(cid:126)vc

Trong đó m là khối lượng, (cid:126)vC là vận tốc khối tâm vật rắn.

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 17 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.1 Các khái niệm cơ bản

c) Động lượng của cơ hệ

Định nghĩa. Động lượng của cơ hệ (gồm n chất điểm và p vật rắn) là tổng các động lượng của các chất điểm và các vật rắn thuộc cơ hệ

n (cid:88)

p (cid:88)

(14)

(cid:126)p =

mi (cid:126)vi +

mk (cid:126)vCk

i=1

k=1

Trong đó mi là khối lượng chất điểm thứ i, mk là khối lượng vật rắn thứ k, n là số chất điểm, p là số vật rắn. Chú ý đến công thức (9) về định nghĩa khối tâm cơ hệ ta có

(15)

(cid:126)p = m(cid:126)vC

Trong đó m là khối lượng của toàn hệ, m = (cid:80) mi + (cid:80) mk , còn (cid:126)vC là vận tốc khối tâm cơ hệ.

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 18 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.1 Các khái niệm cơ bản

d) Xung lực

Để đánh giá tác dụng của lực trong khoảng thời gian hữu hạn từ t1 đến t2, khái niệm xung lực được đưa ra như sau

t2(cid:90)

(cid:126)S =

(cid:126)F dt

(16)

t1

Dưới dạng hình chiếu ta có

t2(cid:90)

t2(cid:90)

t2(cid:90)

Fz dt.

Fy dt, Sz =

Fx dt, Sy =

Sx =

t1

t1

t1

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 19 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.2 Định lý biến thiên động lượng

Nội dung

1 Mở đầu về các hệ cơ học

2 Định lý biến thiên động lượng Các khái niệm cơ bản Định lý biến thiên động lượng Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ Định lý bảo toàn động lượng của cơ hệ Thí dụ áp dụng

3 Mômen quán tính khối của vật rắn

4 Định lý biến thiên mômen động lượng

5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 19 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.2 Định lý biến thiên động lượng

a) Định lý biến thiên động lượng dạng vi phân

Định lý. Đạo hàm theo thời gian động lượng của cơ hệ bằng véctơ chính của các ngoại lực tác dụng lên các chất điểm và các vật rắn thuộc hệ

=

(cid:88) (cid:126)F e

(17)

e

k = (cid:126)R (cid:48)

d (cid:126)p dt

Hệ quả. Từ phương trình (17) ta suy ra ba phương trình trên ba trục toạ độ

(cid:88)

(cid:88)

(cid:88)

=

=

=

(18)

F e kx ,

F e ky ,

F e kz

dpx dt

dpy dt

dpz dt

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 20 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.2 Định lý biến thiên động lượng

b) Định lý biến thiên động lượng dạng hữu hạn

Định lý. Biến thiên động lượng của cơ hệ trong khoảng thời gian hữu hạn bằng tổng các xung lực ngoài tác dụng lên cơ hệ trong khoảng thời gian đó

(19)

(cid:126)p(t2) − (cid:126)p(t1) =

(cid:88) (cid:126)S e k .

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 21 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.3 Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ

Nội dung

1 Mở đầu về các hệ cơ học

2 Định lý biến thiên động lượng Các khái niệm cơ bản Định lý biến thiên động lượng Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ Định lý bảo toàn động lượng của cơ hệ Thí dụ áp dụng

3 Mômen quán tính khối của vật rắn

4 Định lý biến thiên mômen động lượng

5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 21 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.4 Định lý bảo toàn động lượng của cơ hệ

Định lý. Khối tâm của cơ hệ chuyển động như là một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng cả hệ và chịu tác dụng của một lực bằng véctơ chính của hệ ngoại lực tác dụng lên cơ hệ

(20)

m(cid:126)aC =

(cid:88) (cid:126)F e k .

Hệ quả. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn chuyển động tịnh tiến

(cid:88)

(cid:88)

(cid:88)

(21)

m¨xC =

F e kx , m¨yC =

F e ky , m¨zC =

F e kz

Trong đó m là khối lượng vật rắn, xC , yC , zC là toạ độ khối tâm của vật

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 21 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.4 Định lý bảo toàn động lượng của cơ hệ

rắn.

Nội dung

1 Mở đầu về các hệ cơ học

2 Định lý biến thiên động lượng Các khái niệm cơ bản Định lý biến thiên động lượng Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ Định lý bảo toàn động lượng của cơ hệ Thí dụ áp dụng

3 Mômen quán tính khối của vật rắn

4 Định lý biến thiên mômen động lượng

5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 21 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.4 Định lý bảo toàn động lượng của cơ hệ

Định lý bảo toàn động lượng của cơ hệ

(hay còn gọi là định lý bảo toàn chuyển động khối tâm)

(cid:88) (cid:126)F e

= 0 ⇒ (cid:126)p = m(cid:126)vC = const

k = 0 ⇒

(cid:88)

= 0 ⇒ px = m ˙xC = const

F e kx = 0 ⇒

d (cid:126)p dt dpx dt

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 22 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.5 Thí dụ áp dụng

Nội dung

1 Mở đầu về các hệ cơ học

2 Định lý biến thiên động lượng Các khái niệm cơ bản Định lý biến thiên động lượng Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ Định lý bảo toàn động lượng của cơ hệ Thí dụ áp dụng

3 Mômen quán tính khối của vật rắn

4 Định lý biến thiên mômen động lượng

5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 22 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.5 Thí dụ áp dụng

Thí dụ 1

Cho mô hình cơ học của con tàu mang cần cẩu như vẽ. Cho biết khối lượng của con tàu và cần cẩu là m2 = 20.000 kg , khối lượng của vật nặng là m1 = 2.000 kg . Thanh AB dài l = 8m, lúc đầu ở vị trí nghiêng với phương thẳng đứng một góc α = 300. Bỏ qua trọng lượng thanh AB và sức cản của nước. Xác định di chuyển ngang của con tàu khi thanh AB quay quanh điểm A một góc 300 đến vị trí thẳng đứng.

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 23 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.5 Thí dụ áp dụng

Lời giải. Hệ khảo sát gồm con tàu, cần cẩu và vật nặng. Các ngoại lực tác dụng: trọng lượng (cid:126)P1 (vật nặng), (cid:126)P2 (con tàu) và phản lực pháp tuyến (cid:126)N (lực đẩy của nước).

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 24 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.5 Thí dụ áp dụng

Áp dụng định lý bảo toàn khối tâm

(cid:88)

(22)

F (e) kx = 0 ⇒ m ˙xC = m ˙xC (0) = const

Lúc đầu con tầu đứng yên m ˙xc (0) = 0 nên từ (22) ta suy ra

(23)

m ˙xC (0) = 0 ⇒ mxC = m1x1 + m2x2 = m1x1(0) + m2x2(0)

Trong đó x1 là toạ độ của vật nặng P1, còn x2 là toạ độ của tàu P2 theo phương ngang.

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 25 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.5 Thí dụ áp dụng

m1x1 + m2x2 = m1x1(0) + m2x2(0)

Ta dễ dàng xác định được các toạ độ này ở thời điểm ban đầu t = 0 và ở thời điểm thanh AB ở vị trí thẳng đứng t = t1.

(24)

x2(0) = 0, x2(t1) = s,

x1(0) = a + l sin α x1(t1) = a + s

Trong đó s là toạ độ dịch chuyển con tàu theo phương x. Thế (24) vào (23) ta được

(25)

m1(a + s) + m2s = m1(a + l sin α) + m2.0

Từ (25) suy ra

=

= 0, 36m.

s =

4 11

m1l sin α m1 + m2

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 26 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.5 Thí dụ áp dụng

Thí dụ 2

Một động cơ được giữ cố định trên sàn bằng bulông. Phần cố định của động cơ có trọng lượng P1, phần quay có trọng lượng P2. Trọng tâm của phần quay cách trục quay một đoạn OA = e. Cho biết động cơ quay đều với vận tốc góc Ω = const. Tìm phản lực của nền tác dụng lên động cơ và tổng các lực cắt ngang bulông.

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 27 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.5 Thí dụ áp dụng

Lời giải. Hệ khảo sát: rôto động cơ chuyển động quay, phần vỏ đứng yên. Các ngoại lực tác dụng: các trọng lực (cid:126)P1, (cid:126)P2, phản lực (cid:126)N của nền, tổng các lực cắt ngang bulông (cid:126)R.

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 28 / 64

§2. Định lý biến thiên động lượng 2.5 Thí dụ áp dụng

Áp dụng định lý chuyển động khối tâm

(26)

m(cid:126)aC = (cid:126)P1 + (cid:126)P2 + (cid:126)N + (cid:126)R

Suy ra

(27)

N = P1 + P2 + m1 ¨yO + m2 ¨yA, R =

¨xA

P2 g

Do xA = e sin ϕ; yA = yO + e cos ϕ; yO = 0; nên ta có

(28)

(29)

¨xA = −e ˙ϕ2 sin ϕ = −eΩ2 sin Ωt ¨yA = −e ˙ϕ2 cos ϕ = −eΩ2 cos Ωt

Thế 2 biểu thức trên vào (27) ta được

eΩ2 cos Ωt

(30)

N = P1 + P2 −

P2 g

sin Ωt

(31)

R = −

P2eΩ2 g

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2. Các phương pháp động lượng 2014 29 / 64