Bài giảng Đại số tuyến tính (4 chương)

Chia sẻ: Nguyễn Xuân Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

747
lượt xem 261
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại số tuyến tính là một ngành toán học nghiên cứu về không gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng. Tài liệu tham khảo đại số tuyến tính sau đây sẽ giúp các bạn có thêm tài liệu tham khảo cho ngành học của mình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính (4 chương)

Bài giảng đại số tuyến tính
ˆ - . ´. Chu.o.ng 1. MA TRAN - DINH THU C (8+4) . I. Ma trˆna . * Cho m, n nguyˆn du.o.ng. Ta goi ma trˆn c˜. m × n l` mˆt bang sˆ gˆm m × n e . a . o a o ’ . o ` ´ o ´ o . .c d u.o.c viˆt th`nh m h`ng, n cˆt c´ dang nhu. sau: sˆ thu ¯ . ´ e a a o o . .   a1,1 a1,2 ... a1,n a a2,2 ... a2,n  (ai,j )m×n =  2,1  ... ... ... ... am,1 am,2 ... am,n trong d ´ c´c sˆ thu.c ¯o a o . ´ ai,j , i = 1, m, j = 1, n d u.o.c goi l` c´c phˆn tu. cu a ma trˆn, chı sˆ i chı h`ng v` chı sˆ j chı cˆt cua ¯ . . a a ` a ’ ’ a. ’ o´ ’ a a ’ o ´ ’ o ’ . phˆn tu. ma trˆn. ` a ’ a . * Ma trˆn c˜. 1 × n d u.o.c goi l` ma trˆn h`ng, ma trˆn c˜. m × 1 d .o.c goi l` ma a o . ¯ . . a a . a a o . ¯u . . a trˆn cˆt, ma trˆn c˜ a o a o . n × n d u.o.c goi l` ma trˆn vuˆng cˆ p n. ¯ . a o ´ a . . . . a . * Trˆn ma trˆn vuˆng cˆ p n, d .`.ng ch´o gˆm c´c phˆn tu. e a . o a´ ¯u o e ` o a ` a ’ ai,i , i = 1, n d u.o.c goi l` d u.`.ng ch´o ch´ ¯ . . a¯ o e ınh, d .`.ng ch´o gˆm c´c phˆn tu. ¯u o e ` o a ` a ’ ai,n+1−i , i = 1, n d u.o.c goi l` d u.`.ng ch´o phu cua ma trˆn. ¯ . . a¯ o e . ’ a. * Ma trˆn vuˆng cˆ a . o ´p n c´ c´c phˆn tu. n˘ m ngo`i d u.`.ng ch´o ch´ d` u b˘ ng 0, a o a ` a ` ’ a a ¯ o e ınh ¯ˆ ` e a ngh˜ l`: ıa a ai,j = 0, ∀i = j d u.o.c goi l` ma trˆn ch´o. ¯ . . a a . e * Ma trˆn ch´o c´ a . e o ai,i = 1, i = 1, n d u.o.c goi l` ma trˆn d o.n vi cˆ p n, k´ hiˆu In . ¯ . . a a ¯ . . a´ y e . * Ma trˆn c˜ a o . m × n c´o . ai,j = 0, ∀i, j : i > j d u.o.c goi l` ma trˆn bˆc thang. ¯ . . a a . a. * Ma trˆn c˜ a o . m × n c´ c´c phˆn tu. d` u b˘ ng 0 d u.o.c goi l` ma trˆn khˆng, k´ o a a ’ ¯ˆ ` ` e a ¯ . a o . . a . y hiˆu 0m,n . e . * Ta goi ma trˆn chuyˆ n vi . a . e’ .   a1,1 a2,1 ... am,1 a a2,2 ... am,2  AT = (aj,i )n×m =  1,2  ... ... ... ... a1,n a2,n ... am,n Typeset by AMS-TEX
2 ’ cua ma trˆn a .   a1,1 a1,2 ... a1,n  a2,1 a2,2 ... a2,n  A = (ai,j )m×n =  ... ... ... ... am,1 am,2 ... am,n l` ma trˆn c´ d u.o.c t`. A b˘ ng c´ch chuyˆn h`ng th`nh cˆt, cˆt th`nh h`ng. a a o ¯ . u . ` a a ’ e a a o o . . a a . (a ) .o.c goi l` b˘ ng nhau nˆu c´c phˆn ` ´ ` * Hai ma trˆn c` ng c˜ i,j m×n v` (bi,j )m×n d u . a u . o a ¯ . a a e a a tu. o. t`.ng vi tr´ d` u b˘ ng nhau: ’ ’ u . e ` ı ¯ˆ a ai,j = bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. + Tˆ ng (hiˆu) cua hai ma trˆn c` ng c˜. m × n l` mˆt ma trˆn c˜. m × n, trong d ´ o’ e . ’ a u . o a o . a o . ¯o phˆn tu. cua ma trˆn tˆ ng (hiˆu) l` tˆ ng (hiˆu) c´c phˆn tu. o. vi tr´ tu.o.ng u.ng: ` a ’ ’ a o . ’ e . a o ’ e . a ` a ’ ’ . ı ´ (ci,j )m×n = (ai,j )m×n ± (bi,j )m×n v´.i o ci,j = ai,j ± bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. + T´ vˆ hu.´.ng cua sˆ thu.c α v´.i ma trˆn c˜. m × n l` ma trˆn c˜. m × n, trong d ´ ıch o o ´ ’ o . o a o . a a o . ¯o mˆi phˆn tu. l` t´ cua α v´.i phˆn tu. o. vi tr´ tu.o.ng u.ng cua ma trˆn ban d` u: o˜ ` a ’ a ıch ’ o `a ’ ’ . ı ´ ’ a . ¯ˆ a (ci,j )m×n = α.(ai,j )m×n v´.i o ci,j = α.bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. + T´ vˆ hu.´.ng c´ t´ phˆn bˆ v´.i ph´p cˆng c´c ma trˆn: α.(A + B) = α.A + α.B, ıch o o o ınh a o o ´ e o . a a . v´ o.i ph´p cˆng c´c hˆ sˆ: (α + β).A = α.A + β.B, c´ t´ kˆt ho.p: e o a e o ´ ´ o ınh e . . . α.(β · A) = (α.β) · A. ıch ’ + T´ cua hai ma trˆn A = (ai,j )m×n v` B = (bj,k )n×q l` ma trˆn a . a a a . C = A × B = (ci,k )m×q , v´.i o n ci,k = ai,j bj,k , ∀i = 1, m, ∀k = 1, q. j=1 V´ du. ı .         1 3 2 1 3 1.1 + 3.1 + 2.3 1.3 − 3.1 + 2.2 10 4 2 4 7  ×  1 −1  =  2.1 + 4.1 + 7.3 2.3 − 4.1 + 7.2  =  27 16  3 5 6 3 2 3.1 + 5.1 + 6.3 3.3 − 5.1 + 6.2 26 16
3 + Ph´p nhˆn hai ma trˆn c´ t´ kˆt ho.p: A × (B × C) = (A × B) × C, t´ phˆn e a ´ . a o ınh e . ınh a ´ ´ phˆi d oi v´ o ¯ˆ o .i ph´p cˆng: e o . A × (B + C) = A × B + A × C; (A + B) × C = A × C + B × C. Ngo`i ra, nˆu A c´ c˜. m × n, th` a ´ e o o ı A × In = Im × A = A. II. Dinh th´.c -. u . a . ’ a * Cho E = {1, 2, 3, . . . , n}. Ta goi ho´n vi cu a tˆp E l` mˆt song ´nh f : E → E, . a o . a k´ hiˆu y e . 1 2 ... n f: f (1) f (2) . . . f(n) hay (f (1), f(2), . . . , f (n)) ´ o a ’ (c´ tˆ t ca n! ho´n vi kh´c nhau). a . a V´ du. Cho E = {1, 2, 3}. Anh xa f : E → E x´c d .nh bo.i: f (1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 2 ı . ´ . a ¯i ’ . a . ’ l` mˆt ho´n vi cua E, k´ hiˆu l` a o y e a . 1 2 3 1 3 2 ho˘c a . (1, 3, 2). * Cho mˆt ho´n vi o . a . 1 2 ... n f: f (1) f (2) ... f(n) ta th`nh lˆp c´c c˘p th´. tu. a a a a . . u . (f (i), f(j)), ∀i = j, s˜ c´ Cn c˘p th´. tu. nhu. thˆ; mˆt c˘p (f (i), f(j)) d .o.c goi l` nghich thˆ nˆu e o 2 a . u . ´ . . e o a ¯u . . a . ´ ´ e e (i − j)(f (i) − f (j)) < 0. Goi N (f ) l` sˆ c´c nghich thˆ cua ho´n vi f (c´ trong Cn c˘p th´. tu. trˆn). . ´ a o a . ´ e ’ a . o 2 a . u . e V´ du. T` sˆ ı . ım o ´ nghich thˆ cua ho´n vi . ´ ’ e a . 1 2 3 4 5 f : . 3 2 1 5 4
4 T`. ho´n vi n`y, ta c´ c´c c˘p th´. tu. u a . a o a a . u . (3, 2), (3, 1), (3, 5), (3, 4), (2, 1), (2, 5), (2, 4), (1, 5), (1, 4), (5, 4), o a . ´ trong d o ta c´ c´c nghich thˆ: ¯´ e (3, 2), (3, 1), (2, 1), (5, 4), suy ra N (f ) = 4 * Cho ma trˆn (A)n,n . Dinh th´.c cu a A l` mˆt sˆ thu.c, k´ hiˆu v` x´c d inh nhu. a . -. u ’ . ´ a o o . y e a a ¯. . sau: det(A) = (−1)N (f ) a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n) f ∈Sn trong d ´ Sn l` tˆp tˆ t ca n! ho`n vi cua n phˆn tu. {1, 2, . . . , n}. Nhu. vˆy, d inh ¯o a a a ’ . ´ a . ’ ` a ’ a ¯. . th´ u.c cua ma trˆn A l` mˆt sˆ: ’ a a o o ´ . . + b˘ ng tˆ ng d . i sˆ cua n! hang tu. dang ` a o’ ¯a o ’ ´ . ’ . a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n) + mˆi hang tu. l` t´ cua n phˆn tu. ai,j m` mˆi h`ng, mˆi cˆt phai c´ mˆt ˜ o . ’ a ıch ’ `a ’ ˜ a o a ˜ . o o ’ o o . a ’ o ` a ’ v` chı mˆt phˆn tu . tham gia v`o t´ d ´. a ıch ¯o . + dˆ u cua mˆi hang tu. phu thuˆc v`o sˆ nghich thˆ cua ho´n vi tu.o.ng u.ng. ´ ’ a ˜ o . ’ . o a o . ´ . ´ e ’ a . ´ * Ta goi d inh th´.c cˆ p 2 l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang 2 h`ng, 2 cˆt nhu. sau: . ¯. u ´ a a a . ınh ¯ . u ’ a o . a1,1 a1,2 = a1,1 a2,2 − a2,1 a1,2 a2,1 a2,2 * Ta goi d inh th´.c cˆ p 3 l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang 3 h`ng, 3 cˆt nhu. sau: . ¯. u ´ a a a . ınh ¯ . u ’ a o . a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 = a1,1 a2,2 a3,3 + a2,1 a3,2 a1,3 + a3,1 a1,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3 − a3,1 a2,2 a1,3 − a2,1 a1,2 a3,3 − a1,1 a3,2 a2,3 + Dˆ t´ nhanh d .nh th´.c cˆ p 3, ta viˆt cˆt th´. nhˆ t v` th´. hai tiˆp theo v`o bˆn - e ınh ’ ¯i u a ´ ´ . e o u ´ a a u ´ e a e ’ ’ phai bang n´i trˆn: o e a1,1 a1,2 a1,3 a1,1 a1,2 a2,1 a2,2 a2,3 a2,1 a2,2 a3,1 a3,2 a3,3 a3,1 a3,2 ` . lˆ y dˆ u cˆng l` t´ c´c phˆn tu. n˘ m trˆn c´c d .`.ng ch´o song song a ’ ´ ´ . th` 3 phˆn tu a a o ı a ıch a `a ’ a ` e a ¯u o e .i d .`.ng ch´o ch´ v´ ¯u o o e ` . lˆ y dˆ u tr`. l` t´ c´c phˆn tu. n˘ m trˆn c´c a ’ ´ ´ ınh, ba phˆn tu a a u a ıch a ` a ’ a ` e a .`.ng ch´o song song v´.i d .`.ng ch´o phu (quy t˘c Serrhus) du o ¯ e o ¯u o e ´ a .
5 * Ta goi d inh th´.c cˆ p n l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang: . ¯. u ´ a a a . ınh ¯ . u ’ a1,1 a1,2 ... a1,n a2,1 a2,2 ... a2,n = a1,1 D1 − a2,1 D2 + · · · + (−1)n+1 an,1 Dn ... ... ... ... an,1 an,2 ... an,n trong d ´ Dk l` d .nh th´.c cˆ p n − 1 thu d .o.c t`. bang d a cho b˘ ng c´ch bo cˆt ¯o a ¯i u a ´ ¯u . u ’ ¯˜ ` a a ’ o. th´. nhˆ t v` h`ng th´. k, k = 1, n. u ´ a a a u V´ du. ı . 1 4 5 2 3 3 1 4 5 2 4 5 2 4 5 2 0 3 3 1 = 1. 0 4 0 − 0. 0 4 0 + 2. 3 3 1 − 0. 3 3 1 = 14 2 0 4 0 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 4 0 0 0 2 1 + Dinh th´.c khˆng thay d o i nˆu ta d ˆ i h`ng th`nh cˆt -. u o ’ ´ ¯ˆ e ’ ¯o a a o . + - inh th´.c d ˆ i dˆ u nˆu ta d ˆ i chˆ hai h`ng (ho˘c hai cˆt) v´.i nhau D. ’ a e u ¯o ´ ´ ¯o ’ ˜ o a a . o . o + Dinh th´.c c´ hai h`ng (ho˘c hai cˆt) ty lˆ v´.i nhau nhau th` b˘ ng 0 -. u o a a . o . ’ e o . ı `a + Th` o.a sˆ chung cua mˆt h`ng hay cˆt c´ thˆ d u.a ra ngo`i dˆ u cua d nh th´.c u ´ ’ o a o o e ¯ ’ ´ ’ ¯i a a u . . . + - inh th´.c khˆng thay d ˆ i nˆu ta d` ng th`.i cˆng v`o c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng D. u o ¯o ’ e ´ ¯ˆo o o . a a ` a ’ ’ o a . (hay mˆt cˆt) n`o d ´ c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) kh´c nhˆn v´.i c` ng o o . . a ¯o a ` a ’ ’ o a . o o . . a a o u . ´ mˆt sˆ. o o V´ du. Giai phu.o.ng tr` ı . ’ ınh: 1 1 1 ... 1 1 1−x 1 ... 1 1 1 2−x ... 1 = 0. ... ... ... ... ... 1 1 1 ... n−x Dinh th´.c o. vˆ tr´i cua phu.o.ng tr` l` d th´.c bˆc n nˆn c´ khˆng qu´ n nghiˆm -. ´ u ’ e a ’ ınh a ¯a u a . e o o a e. kh´c nhau. Thay x = 0, x = 1, x = 2, . . . , x = n − 1 v`o d .nh th´.c, ta luˆn c´ hai a a ¯i u o o h`ng v´.i c´c phˆn tu. b˘ ng 1, nˆn d inh th´.c b˘ ng 0. Vˆy phu.o.ng tr` c´ n nghiˆm a o a ` a ’ a ` e ¯. u a` a . ınh o e. x = 0, x = 1, x = 2, . . . , x = n − 1. * Dinh th´.c cua ma trˆn vuˆng A = (ai,j )n×n , k´ hiˆu det(A) l` d .nh th´.c cˆ p n -. u ’ a . o y e . a ¯i u a ´ ’ ’ cua bang a1,1 a1,2 . . . a1,n a2,1 a2,2 . . . a2,n ... ... ... ... an,1 an,2 . . . an,n ´ v` c´ t´ chˆ t: a o ınh a + det(αA) = αn . det(A) + det(A × B) = det(A). det(B) III. Ma trˆn nghich d ’ o a . . ¯a
6 * Ma trˆn A = (ai,j )n×n d u.o.c goi l` ma trˆn kha nghich nˆu tˆn tai ma trˆn A−1 a . ¯ . . a a . ’ . e ` . ´ o a . sao cho: A × A−1 = A−1 × A = In . Khi d o, ma trˆn A−1 d u.o.c goi l` ma trˆn nghich d a o cua A. ¯´ a . ¯ . . a a . . ¯’ ’ a . ’ . a ’ + Ma trˆn A kha nghich khi v` chı khi det A = 0. * Cho A = (ai,j )m×n . Mˆt d inh th´.c con cˆ p k (1 ≤ k ≤ n) cua A l` mˆt d inh o ¯. . u ´ a ’ a o ¯. . .c tao th`nh t`. ma trˆn A b˘ ng c´ch bo d i m − k h`ng v` n − k cˆt. th´ . u a u a ` a a ’ ¯ a a o . . . o a´ ’ * Cho ma trˆn vuˆng cˆ p n kha nghich a .   a1,1 a1,2 ... a1,n a a2,2 ... a2,n  A =  2,1  ... ... ... ... an,1 an,2 ... an,n Phˆn b` d ai sˆ cua phˆn tu. ai,j , l` sˆ Ai,j = (−1)i+j Di,j trong d ´ Di,j l` d inh `a u ¯. o ’ ´ `a ’ ´ a o ¯o a ¯. .c cˆ p n − 1 cua bang thu d u.o.c t`. ma trˆn A b˘ ng c´ch gach bo h`ng th´. i v` u ´ th´ a ’ ’ ¯ . u a ` a a ’ a u a . . cˆt th´. j. o . u a a . o ’ . ´ + Cho A l` ma trˆn vuˆng kha nghich cˆ p n v` ∆ = det A = 0. Khi d o ma trˆn a a ¯´ a . nghich d a . ¯ ’ o cua A d u.o.c x´c d .nh mˆt c´ch duy nhˆ t bo.i: ’ ¯ . a ¯i o a . ´ ’ a 1 T A−1 = Ai,j ∆  A1,1 A2,1 ... Dn,1 1  A1,2 A2,2  ... Dn,2   = ∆  ... ... ... ...  A1,n A2,n ... Dn,n ı . a . . ¯’ ’ V´ du. Ma trˆn nghich d ao cua   1 −1 1 A = 2 1 1 1 1 2 l`: a   1 3 −2 1 A−1 = −3 1 1  5 1 −2 3 v` ı: ∆ = det A = (1)(1)(2)+(2)(1)(1)+(1)(−1)(1)−(1)(1)(1)−(2)(−1)(2)−(1)(1)(1) = 5 = 0
7 v`: a 1 1 2 1 2 1 A1,1 = (−1)1+1 = 1; A1,2 = (−1)1+2 = −3; A1,3 = (−1)1+3 = 1; 1 2 1 2 1 1 −1 1 1 1 1 −1 A2,1 = (−1)2+1 = 3; A2,2 = (−1)2+2 = 1; A2,3 = (−1)2+3 = −2 1 2 1 2 1 1 −1 1 1 1 1 −1 A3,1 = (−1)3+1 = −2; A3,2 = (−1)3+2 = 1; A3,3 = (−1)3+3 =3 1 1 2 1 2 1 ´ + T´ chˆ t: ınh a 1 −1 − Cho A kha d ao v` k = 0, th` (kA)−1 = ’ ¯’ a ı: A k − Cho A, B c` ng cˆ p v` kha d ao, th` (A × B)−1 = B −1 × A−1 u ´ a a ’ ¯’ ı: −1 − Cho A kha d ao th` A c˜ ng kha d ao v` A−1 ’ ¯’ ı −1 u ’ ¯’ a =A ` Phˆn I.4: Hang cua ma trˆn a . ’ a. . . ’ * Ta goi hang cu a ma trˆn A = (ai,j )m×n , k´ hiˆu r(A) l` cˆ p cao nhˆ t cua c´c a . y e . a a´ ´ a ’ a d inh th´ ¯. u .c con kh´c 0 cua A. a ’ + Hang cu . ’ a ma trˆn 0m×n l` 0, hang cua ma trˆn A = (a) v´.i a = 0 l` 1. a. a . ’ a. o a + Hang cua ma trˆn khˆng thay d ˆ i qua c´c ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p sau d ˆy: . ’ a. o ¯o ’ a e ´ e ¯o’ ´ a ¯a - ˆ i chˆ hai h`ng ho˘c hai cˆt cho nhau; a. Do ’ ˜ o a a. o . b. Nhˆn mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) v´.i mˆt sˆ kh´c 0; a o a . o o . . o . ´ o o a c. Cˆng v`o mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) v´.i mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) kh´c nhˆn o . a o a . o o . . o o a . o o . . a a v´.i mˆt sˆ. o o o . ´ Dˆ t` hang cua ma trˆn Amtimesn , c´ thˆ d` ng c´c phu.o.ng ph´p sau: - e ım . ’ ’ a . o e u ’ a a + Phu .o.ng ph´p theo d inh ngh˜ t´ c´c d inh th´.c con t`. cˆ p 2 tro. lˆn. Gia a ¯. ıa: ınh a ¯. u u a ´ ’ e ’ su’. ma trˆn c´ 1 d nh th´.c con cˆ p r kh´c 0, t´ tiˆp c´c d inh th´.c cˆ p r + 1, nˆu a o ¯i u a´ a ´ ınh e a ¯. u a ´ ´ e . . tˆ t ca d` u b˘ ng 0 th` kˆt luˆn hang ma trˆn l` r, nˆu c´ d inh th´.c cˆ p r + 1 kh´c ´ a ’ ¯ˆ a e ` ı e´ a . . a a . ´ e o ¯. u a ´ a 0 th` t´ tiˆp c´c d inh th´.c cˆ p r + 2, c´. nhu. thˆ dˆn d .nh th´.c cˆ p l´.n nhˆ t ´ ı ınh e a ¯. u a ´ u ´ ´ e ¯e ¯i ´ u a o ´ a V´ du. T` hang cua ma trˆn ı . ım . ’ a .   1 2 3 5 A = 3 2 4 9 1 0 1 4 1 2 Ta c´ d .nh th´.c con cˆ p 2: o ¯i u ´ a = −4 = 0, v` c´c d .nh th´.c cˆ p 3: a a ¯i u a ´ 3 2 1 2 3 1 2 5 1 3 5 2 3 5 3 2 4 = 0; 3 2 9 = 0; 3 4 9 = 0; 2 4 9 =0 1 0 1 1 0 4 1 1 4 0 1 4 suy ra r(A) = 2
8 + Phu.o.ng ph´p d`ng ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p: biˆn d ˆ i ma trˆn vˆ dang bˆc a u e ´ e ¯o ’ ´ a ´ e ¯o’ a ` . . e a . thang   b1,1 b1,2 . . . b1,r . . . b1,n  0 b2,2 . . . b2,r . . . b2,n     ... ... ... ... ... ...  B =   0 0 . . . br,r . . . br,n    0 0 ... 0 ... 0 0 0 ... 0 ... 0 v´.i bi,j = 0, ∀i > j hay i > r v` bii = 0, i = 1, r th` r(A) = r(B) = r. o a ı V´ du. T` hang ma trˆn ı . ım . a .   1 3 2 0 5  2 6 9 7 12  A=  −2 −5 2 4 5 1 4 8 4 20     1 3 2 0 5 1 3 2 0 5 h2−2h1;h3+2h1;h4−h1 0 0 5 7 2  h4−h3;h2↔h3  0 1 6 4 15  A −→   −→   0 1 6 4 15 0 0 5 7 2 0 1 6 4 15 0 0 0 0 0 suy ra r(A) = 3 + Ngo`i ra, c´ thˆ t` ma trˆn nghich d a o qua c´c ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p: a ’ o e ım a . . ¯’ a e ´ e ¯o ’ ´ a a o´ u o. v´.i A, thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn d o i so. cˆ p CHI lˆp ma trˆn khˆi A|E (E c` ng c˜ o a e a e ´ e ¯ˆ ’ ´ a ’ . . . . TREN HANG, nˆu d .a d .o.c vˆ dang E|B th` B l` nghich d ao cua A. ˆ `  e ¯u ¯u . ` . ´ e  ı a  . ¯’ ’  1 −1 1 | 1 0 0 1 −1 1 | 1 0 0 h2−2h1,h3−h1 V´ du. A|E =  2 1 1 | 0 1 0  ı . −→  0 3 −1 | −2 1 0  1 1 2 | 0 0 1 0 2 1 | −1 0 1     1 −3 0 | 2 0 −1 h2( 1 ) 1 −3 0 | 2 0 −1 h1−h3,h2+h3 −→  0 5 0 | −3 1 1  −→  0 1 0 | −3/5 1/5 1/5  5 0  1 | −1 0 1 2 0  2 1 | −1 0 1 1 0 0 | 1/5 3/5 −2/5 h1+3h2,h3−2h2 −→  0 1 0 | −3/5 1/5 1/5  thu d u.o.c kˆt qua nhu. c˜ . ¯ . e ´ ’ u 0 1 1 | 1/5 −2/5 3/5 ` BAI TAP ˆ . ınh, ch´.ng minh c´c d inh th´.c sau chia hˆt cho 17: 1.1. Khˆng t´ o u a ¯. u ´ e 2 0 4 3 2 3 5 2 7 ; 20 9 1 2 5 5 55 2 5 1.2. Ch´.ng minh c´c d ang th´.c sau d ˆy (khˆng t´ d .nh th´.c b˘ ng d .nh ngh˜ u a ¯˘ ’ u ¯a o ınh ¯i u ` a ¯i ıa):
9 0 x y z 0 1 1 1 x 0 z y 1 0 z2 y2 a. = v´.i xyz = 0 o y z 0 x 1 z 2 0 x2 x y z 0 1 y 2 x2 0 1 x yz b. 1 y zx = (x − y)(y − z)(z − x) 1 z xy 1 1 1 c. x y z = (x + y + z)(x − y)(y − z)(z − x) x3 y 3 z 3 1.3. T` x sao cho: ım 3 3 − x −x x x+1 x+2 a. 2 7 3 =0 b. x + 3 x + 4 x+5 =0 x + 1 3x − 7 x x+6 x+7 x+8 2 1 x x x 1 2 c. 3 1 x 0 4 5 1 x + 1 2 −4 x 1 1 1 1 0 1 1 0 1 x x x 1 x 1 1 1 0 0 1 1 1 a 0 0 1.4. T´ c´c d .nh th´.c sau: ınh a ¯i u ; ; 1 1 x 1 1 ; 1 0 0 1 1 0 b 0 1 1 1 x 1 1 1 0 0 1 0 0 c 1 1 1 1 x 1 x x2 x3 a+x x x x2 + 1 xy xz x3 x2 x 1 a b+x x ; xy y2 + 1 yz ; ; 2 1 2x 3x2 4x3 x x c+x xz yz z +1 4x3 3x2 2x 1 a x x −x −x 0 x y z 2 x 1 x x 0 y 0 x 2a a 0 0 x 0 z y 1 x 2 x 0 z 0 t ; ; ; x a 2a 0 0 ; y z 0 x 2 1 x x y 0 z 0 −x 0 0 2a a x y z 0 x x 2 1 0 t 0 x −x 0 0 a 2a 1 2 3 ... n x a a ... a 2 1 2 ... n−1 a x a ... a 3 2 1 ... n−2 ; a a x ... a ; ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... n n−1 n−2 ... 1 a a a a x 0 1 1 ... 1 1 cos(x1 − y1 ) cos(x1 − y2 ) ... cos(x1 − yn ) 1 0 x ... x x cos(x2 − y1 ) cos(x2 − y2 ) ... cos(x2 − yn ) 1 x 0 ... x x ; ; ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... cos(xn − y1 ) cos(xn − y2 ) ... cos(xn − yn ) 1 x x ... 0 x 1 x x ... x 0
10 a1 −a2 0 ... 0 0 1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn 0 a2 −a3 ... 0 0 1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn 0 0 a3 ... 0 0 ; ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 + xn y1 1 + xn y2 ... 1 + xn yn 0 0 0 ... an−1 −an 1 1 1 ... 1 1 + an     2 1 2 1 −2 1.5. Cho A = 3 0 1  v` B =  4 a 6 . T` A2 , AB, A−1 . ım 0 1 2 5 −3 n n n 2 −1 a 1 cos x − sin x 1.6. T` c´c ma trˆn ım a a . ; ; 3 −2 0 a sin x cos x 1 2 1.7. Cho A = . T` f (A) v´.i f (x) = x2 − 4x + 3, f (x) = x2 − 2x + 1. ım o 2 1 1.8.     2 1 1 1 2 −2 a. Cho A =  3 1 2  v` B =  2 3 1 . a 1 −1 0 1 2 2 1. T` A−1 , B −1 . ım 2. T` f (A), f(B) v´.i f (x) = x2 − x − 1 ım o     2 1 0 0 1 3 −5 7 3 2 0 0  0 1 2 −3  ım a . . ¯’ ’ b. T` ma trˆn nghich d ao cua A =  1 1 3 4 ; B= 0 0 1 2 . 2 −1 2 3 0 0 0 1 1.9. a. T` ma trˆn vuˆng cˆ p hai c´ b` phu.o.ng b˘ ng ma trˆn khˆng. ım a. o ´ a o ınh ` a a . o a o ´ b. T` ma trˆn vuˆng cˆ p hai c´ b` phu ım a o ınh .o.ng b˘ ng ma trˆn d .n vi. ` a a ¯o . . . 1.10. T` ma trˆn X sao cho: ım a. 1 2 3 5 3 −2 −1 2 ×X = ; X× = ;  3 4  5 9 5 −4   5 6    1 2 −3 1 −3 0 1 1 −1 1 −1 3  3 2 −4 ×X =  10 2 7 ; X× 2 1 0  =  4 3 2 ; 2 −1 0 10 7 8 1 −1 1 1 −2 5 2 1 −3 2 −2 4 ×X × = ; 3 2 5 −3 3 −1 4 1 2 1 5 0 ×X × = ; 3 −1 5 3 6 1   1 1 1 X×  0 1 1  − 2 2 1 −1 = 1 0 5 ; 3 0 6 −1 −2 1  0 0 1      1 2 2 3 5 1 5  2 5 4  × X +  7 6  = 3  −1 2 ; 2 4 5 2 1 −2 0
11     1 1 1 ... 1 1 2 3 ... n  0 1 1 ... 1   0 1 2 ... n − 1      0 0 1 ... 1 ×X = 0 0 1 . . . n − 2 .     ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 1 ım . ’ 1.11. T` hang cua ma trˆn sau: a .     2 1 1 1   2 1 11 2 1 3 2 0 5 1 3 1 1  1 0 4 −1     2 6 9 7 12   ;  1 1 4 1 ;  ; 11 4 56 −5   −2 −5 2 4 5 1 1 1 5 2 −1 5 −6 1 4 8 4 20 1 1 1 1   1 2 3 14     3 1 −3 1 1  3 2 1 11  1 3 5 7 9 1    1 −2 3 −4 5 2 ;  2 −1 7 −3 2   1 1 1 6 ;     1 3 −2 5 3 2 3 −1 5 2 11 12 25 22 4 3 −2 7 −5 3 1 1 0 3  e . a . ´ 1.12. Biˆn luˆn theo a sˆ hang ’ a c´c ma trˆn sau:  o . cu a  a.   −1 2 1 1 a −1 2 a 1 1 4  2 a −2 ;  2 −1 a 5 ;  1 a 1 3 ; 3 −6 (a + 3)(a + 7) 1 10 −6 1 1 2a 1 4       3 1 1 4 1 4 3 6 1 2 −1 3 2  a 4 10 1   −1 0 1 1   2 −1 a2 0 4   ;  ;   1 7 17 3 2 1 −1 0 3 1 2 2 7 2 2 4 3 0 2 a 4 1 2 a 1 1 a . ’ 1.13. T` c´c gi´ tri cua m dˆ: ım a ¯e ’   3 4 5 7 1  2 6 −3 4 2  a. r(A) = 2 v´.i A =  o  4 2 13 10 0 5 0 21 13 m   1 2 3 −1 1  3 2 1 −1 1  b. r(A) = 3 v´.i A =  o  2 3 1 1 1 5 5 2 0 2m + 1   1 4 3 6  −1 0 1 1  c. r(A) = 3 v´.i A =  o  2 1 −1 0 0 2 m 4   3 1 1 4  m 4 10 1  d. r(A) = 2 v´.i A =  o  1 7 17 3 2 2 4 3   m 1 1 1 1 1 m 1 e. r(A) = 2 v´.i A =  o  1 1 1 m 1 m 1 1
12 -ooOoo-
13 . . Chu.o.ng 2. HE PHU O NG TR` ˆ . INH TUYEN T´ ´ ˆ INH (2+2) I. C´c d .nh ngh˜ a ¯i ıa * Ta goi hˆ phu.o.ng tr` . e .  ınh tuyˆn t´ e ınh m phu.o.ng tr` ´ ’ ınh n ˆ n l` hˆ c´ dang a a e o ..  a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,n xn = b1    ... (1)  a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn = b2    am,1 x1 + am,2 x2 + · · · + am,n xn = bm trong d o ai,j , bi (i = 1, m, j = 1, n) l` c´c hˆ sˆ (thu.c ho˘c ph´.c), x1 , x2 , . . . , xn l` c´c ¯´ a a e o . ´ . a. u a a a’n sˆ. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ d u.o.c goi l` c´ nghiˆm (hay tu.o.ng th´ ˆ o ´ e. ınh ´ e ınh ¯ . . a o e . ıch) nˆu ´ e a. e. ’ o a o tˆp nghiˆm cua n´ kh´c rˆng. ˜ + Hˆ (1) c´ thˆ d u.o.c viˆt du.´.i dang ma trˆn AX = B trong d ´: e . o e ¯ .’ e´ o . a. ¯o       a1,1 a1,2 . . . a1,n x1 b1 a a2,2 . . . a + 2, n  A =  2,1 ; X =  x2 ; B =  b2  hay ... ... ... ... . .x . .b am,1 am,2 . . . am,n . n . m   a1,1 a1,2 . . . a1,n b1 a a2,2 . . . a + 2, n b2  du.´.i dang ma trˆn mo. rˆng: A =  2,1 o . a . ’ o . , khi d o hang ¯´ . ... ... ... ... ... am,1 am,2 . . . am,n bm r(A) cua A d u.o.c goi l` hang cu a hˆ phu.o.ng tr` ’ ¯ . . a . ’ e . ınh (1) II. Hˆ Cramer e . * Hˆ (1) c´ sˆ phu.o.ng tr` b˘ ng sˆ nghiˆm (m = n) v` d .nh th´.c det(A) = 0 d u.o.c e . o o ´ ınh a ` ´ o e . a ¯i u ¯ . goi l` hˆ Cramer. . a e . Di + Hˆ Cramer c´ nghiˆm duy nhˆ t d u.o.c x´c d .nh nhu. sau: ∀i = 1, n, xi = e . o e . ´ a ¯ . a ¯i , trong D d ´ D = det(A), c`n Di l` d inh th´.c thu d .o.c t`. D b˘ ng c´ch thay cˆt th´. i b˘ ng ¯o o a ¯. u ¯u . u ` a a o . u ` a . do. . . ´ cˆt hˆ sˆ tu o e o .  x1 + 2x2 + 3x3 = 6  V´ du. Giai hˆ: ı . ’ e .  2x1 − x2 + x3 = 2  3x1 + x2 − 2x3 = 2 1 2 3 Do D = 2 −1 1 = 30 = 0, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t (1, 1, 1): e o . e . ´ a 3 1 −2 6 2 3 1 6 3 1 2 6 1 1 1 x= 2 −1 1 = 1; y = 2 2 1 = 1; z = 2 −1 2 = 1 30 30 30 2 1 −2 3 2 −2 3 1 2 y ` e e. ’ III. C´c d .nh l´ vˆ nghiˆm cua hˆ (Kronecker-Kapeli) a ¯i e . + (1) c´ nghiˆm (tu o e .o.ng th´ a ’ ıch) khi v` chı khi r(A) = r(A). . e . a´ a ¯. a ’ + (1) c´ nghiˆm duy nhˆ t (x´c d inh) khi v` chı khi r(A) = r(A) = n. o + nˆ ´u r(A) = r(A) = r < n th` (1) c´ vˆ sˆ nghiˆm v` c´c th`nh phˆn nhiˆm phu e ı o o o ´ e . a a a ` a e. . thuˆc n − r tham sˆ tu` y. o . ´ o y´
14   ax1 + x2 + x3 = 1  V´ du. Biˆn luˆn theo a sˆ ı . e. a. o´ nghiˆm cua hˆ: e . ’ e .  x1 + ax2 + x3 = 1  x1 + x2 + ax3 = 1 ´ ’ D` ng c´c ph´p biˆn d o i so a ¯ˆ a ¯.  . u a e . cˆ p d e x´c d inh hang cua A v` A ´ ’ ’   ¯ˆ e a a 1 1 | 1 1 1 a | 1 h1↔h3 A =  1 a 1 | 1  −→  1 a 1 | 1  1 1 a | 1 a 1 1 | 1   1 1 a | 1 1 1 a | 1 h2−h1 h3+h2 −→  0 a − 1 1 − a | 0  −→  0 a − 1 1−a | 0  h3−ah1 2 2 0 1−a 1−a | 1−a 0 0 2−a−a | 1−a + Nˆ e´u 2 − a − a2 = 0, c´ 2 .`.ng ho.p: o tru o .  1 1 1 | 1 a = 1 th` A −→  0 0 0 | 0  ⇒ r(A) = r(A) = 1 < 3, hˆ c´ vˆ sˆ ı: e o o o . ´ 0 0 0 | 0 nghiˆm phu thuˆc 2  e. . o . ´ tham sˆ tu` y. o y´  1 1 −2 | 1 a = −2 th` A −→  0 −3 3 | 0  ⇒ r(A) = 2 < r(A = 3, hˆ vˆ ı: e o . 0 0 0 | 3 nghiˆm. e. + Nˆ e´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ a = 1, a = −2, th` r(A) = r(A) = 3, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t. ı e o . e . ´ a IV. Phu.o.ng ph´p giai hˆ a ’ e . + C´c ph´p biˆ ¯ˆ a e ´n d o i so. cˆ p cho hˆ tu.o.ng d .o.ng (tu.o.ng u.ng v´.i c´c ph´p biˆn d o i e ’ a´ e . ¯u ´ o a e ´ e ¯ˆ ’ ’ theo h`ng cua ma trˆn mo o a a . rˆng): ’ . . − Do- ˆ i chˆ hai phu.o.ng tr` cho nhau (d ˆ i chˆ hai h`ng cua ma trˆn) ’ ˜ o ınh ¯o’ ˜ o a ’ a. − Nhˆn hai vˆ cua phu a ´ e ’ .o.ng tr` n`o d ´ v´.i mˆt sˆ kh´c 0 (nhˆn c´c phˆn tu. ınh a ¯o o o o a ´ a a `a ’ . .i mˆt sˆ kh´c 0) trˆn mˆt h`ng cua ma trˆn v´ e o a . ’ a o . . ´ o o a − Cˆng t`.ng vˆ cua mˆt phu.o.ng tr` v´.i mˆt phu.o.ng tr` kh´c nhˆn v´.i o. u ´ e ’ o . ınh o o . ınh a a o .i bˆi sˆ mˆt h`ng kh´c) . ´ . mˆt sˆ (cˆng mˆt h`ng v´ o o o a o o o o a . o . ´ . a ´ 1. Ap dung d inh l´ Carmer ¯. y . Nˆu hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ l` hˆ Cramer, c´ thˆ ´p dung d .nh l´ Carmer e´ e . ınh ´ e ınh a e . o e a ’ . ¯i y −1 −1 ho˘c t` ma trˆn A , suy ra X = A B. a ım . a .   2x + 3y + 2z = 9  V´ du. Giai b˘ ng phu.o.ng ph´p ma trˆn nghich d ao: ı . ’ a ` a a. . ¯’ x + 2y − 3z = 14   3x + 4y − z = 16 2 3 2 Do det(A) = 1 2 −3 = −6 = 0 nˆ hˆ l` Cramer. ` e a e . 3 4 1     A1,1 A2,1 A3,1 14 5 −13 1  1  V´.i A−1 = o A1,2 A2,2 A3,2  = −10 −4 8  det(A) −6 A1,3 A2,3 A3,3 −2 1 1       14 5 −13 9 2  x=2  −1 1   14  =  3 , suy ra nˆn X = A B = − e −10 −4 8 y=3 6   −2 1 1 16 −2 z = −2.
15 2. Phu.o.ng ph´p Gauss (khu. dˆn ˆ n sˆ) a ’ ` aa ’ o´ u a e ´ D` ng c´c ph´p biˆn d o i so a e ¯ˆ ’ . cˆ p theo c´c h`ng, biˆn d o i ma trˆn mo. rˆng A th`nh ´ a a ´ e ¯ˆ ’ a ’ o a . . o ` ma trˆn A1 c´ nhiˆu phˆn tu a e ` a ’. 0 (nhu. ma trˆn bˆc thang), khi d ´ r(A) = r(A ) v` a a ¯o a . . . 1 r(A) = r(A1 ). ´ + nˆu r(A1 ) < r(A1 ), th` hˆ vˆ nghiˆm e ı e o . e . + nˆu r(A1 ) = r(A1 ) = r th` lˆp hˆ phu.o.ng tr` m´.i (tu.o.ng d .o.ng hˆ d ˜ cho) sau ´ e ı a e . . ınh o ¯u e ¯a . kho bo c´c h`ng m` moi phˆn tu. d` u b˘ ng 0. Giai hˆ n`y (r phu.o.ng tr` ’ a a a . `a ’ ¯ˆ a e ` ’ e a. ınh, n ˆ n a’ o ` ´ a sˆ) b˘ ng c´ch chon r ˆ n co ’ a a a’ . ban v` n − r ˆ n khˆng co. ban (thay b˘ ng tham sˆ tu` a’ o ’ ` a ´ o y . y), nˆ ´ ´u r = n th` hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t. e ı e o. e . ´ a V´ du. Giai c´c hˆ phu.o.ng tr` sau: ı . ’ a e . ınh  x1 − 3x2 + 2x3 = −1  x1 + 9x2 + 6x3 = 3   x1 + 3x2 + 5x3 = 1       1 −3 2 −1 1 −3 2 1 1 −3 2 −1 h2 −h h2 ×1/2 A =  1 9 6 3  −→1  0 12 4 4  −→  0 3 1 1 , h3 −h1 h3 −h2 1 3 5 1 0 6 3 2 0 0 1 0     x1 − 3x2 + 2x3 = −1   x1  = −1 + 3x2 − 2x3  x1 = 0  1 suy ra 3x2 + x3 = 1 ⇒ 3x2 = 1 − x3 ⇒ x2 =       3 x3 = 0 x3 =0 x3 = 0   x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2  2x1 + 7x2 − x3 = −1   4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1     1 −3 2 −1 2 1 −3 2 −1 2 h −2h1 h3 −h B =  2 7 −1 0 −1  2 −→  0 13 −5 2 −5  −→2 h3 −4h1 4 1 3 −2 1  0 13 −5 2 −7 1 −3 2 −1 2  0 13 −5 2 −5  = B1 . Do r(B) = r(B1 ) = 2 < 3 = r(B1 ) = r(B), hˆ e . 0 0 0 0 −2 vˆ nghiˆm. o e.   x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 1    2x − x + 2x − x = 0 1 2 3 4  5x1 + 3x2 + 8x3 + x4 = 1    4x1 + 9x2 + 10x3 + 5x4 = 2     1 5 4 3 1 1 5 4 3 1  2 −1 2 −1 0  h3 −h1 −2h2  2 −1 2 −1 0  C=  −→   5 3 8 1 1 h4 −2h1 −h2 0 0 0 0 0 4 9 10 5 2 0 0 0 0 0 h2 −2h1 1 5 4 3 1 −→ , t´.c l`: u a ’ bo h3 ,h4 0 −11 −6 −7 −2
16 x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 =1 −11x2 − 6x3 − 7x4 = −2.  14 2 1  x1 = − α + β +    11 11 11   6 7 2 Chon x3 = α, x4 = β, ta suy ra: . x2 = − α − β +   11 11 11  x3 = α    x4 = β   ax + y + z = 1  ’ a e V´ du 2. Giai v` biˆn luˆn theo a: ı . . a . x + ay + z = a      x + y + az = a2    a 1 1 1 1 1 a a2 1 1 a a2 h3 ↔h h2 −h A =  1 a 1 a  −→ 1  1 a 1 a  −→1  0 a − 1 1 − a a − a2  h3 −ah1 1  a a2 1 a 1 1 1  0 1−a 1−a 1−a 2 3 1 1 a a2 h3 +h2 −→  0 a − 1 1−a a − a2 , suy ra: 2 2 3 0 0 2−a−a 1+a−a −a * Nˆ´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ (a = 1) ∨ (a = −2) e + Nˆu a = 1, th` A → (1 1 1 1), tu.o.ng d u.o.ng v´.i x + y + z = 1 nˆn c´ vˆ sˆ nghiˆm ´ e ı ¯ o ´ e o o o e . dang (1 − α − β; 1; 1) v´ o.i α, β tu` y. y´ .   1 1 −2 4 + Nˆu a = −2, th` A →  0 −3 3 −6  suy ra r(A) = 2 < 3 = r(A) nˆn hˆ vˆ ´ e ı e e o . 0 0 0 3, nghiˆm.e. * Nˆ´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ (a = 1) ∧ (a = −2) e   1 1 a a2 h :a−1  0 1 −1 −a , nˆn hˆ d ˜ cho tu.o.ng u.ng v´.i: A 2 −→  e e ¯a ´ o h3 :2−a−a 2 (a + 1)2  . 0 0 1 a+2  a+1  2  x1 = −   x + y + az = a   a−2     y − z = −a 1 ⇔ x2 =   (a + 1)2   a+2  z =   a−2   x = (a + 1) 2 3  a+2  ax + y + z = 1  ’ a e V´ du 3. Giai v` biˆn luˆn theo a, b: ı . . a . x + by + z = 3   x + 2by + z = 4 a 1 1 4 1 1 D = det(A) = 1 b 1 = (1 − a)b; Dx = 3 b 1 = −2b + 1; 1 2b 1 4 2b 1 a 4 1 a 1 4 Dy = 1 3 1 = 1 − a; Dz = 1 b 3 = 4b − 2ab − 1 1 4 1 1 2b 4
17 a=1 ´ + Nˆu D = (1 − a)b = 0 ⇔ e , hˆ l` Cramer, c´ nghiˆm duy nhˆ t: e a . o e . a´ b=0   x = −2b + 1   1  (1 − a)b    1 x =  2  b    x = 4b − 2ab − 1  3 (1 − a)b    x+ y+z =1   x+  y +z = 4 + Nˆu a = 1, hˆ tro. th`nh: ´ e e ’ a . x + by + z = 3 ⇔ (b − 1)y = −1 , th` ı::     x + 2by + z = 4  (2b − 1)y =0  x =2−α  1 x+y+z =0 ´ − Nˆu 2b − 1 = 0 ⇔ b = : e ⇔ y =2 , α tu` y. y´ 2 y =2    z =α  x+ y+z =4 1  ´ − Nˆu 2b−1 = 0 ⇔ b = : e (b − 1)y = −1 vˆ nghiˆm v` (b−1)0 = −1 o e. ı 2   y =0  ax − y + z = 4  + Nˆ e e ’. th`nh: ´u b = 0, hˆ tro a x + z = 3 vˆ nghiˆm o e .  .  x +z =4 V. Hˆ phu e .o.ng tr` ´ ınh thuˆn nhˆ t ınh tuyˆn t´ e ` a ´ a . * Hˆ phu.o.ng tr` e . ´ ınh tuyˆn t´ ` ´ e ınh thuˆn nhˆ t l` hˆ c´ dang a a a e o . . AX = 0 (II) a . a o ´ (B l` ma trˆn to`n sˆ 0), khi d ´ r(A) = r(A), hˆ luˆn luˆn c´ nghiˆm: a ¯o e o . o o e . ´ e e o e ´ + nˆu r(A) = n, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t nghiˆm tˆm thu o a e ` a .`.ng x = x = · · · = . . . 1 2 xn = 0; ´ . ´ . a a ` a ’ + nˆu r(A) < n, hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm, c´c th`nh phˆn cua nghiˆm phu thuˆc n − r(A) e e o o o e e . . o . tham sˆ, nˆn c´ nghiˆm kh´c nghiˆm khˆng (nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng). ´ o e o e . a e . o e . o ` a o + V´.i hˆ c´ n phu.o.ng tr` o e o. ınh, n ˆ n sˆ, hˆ c´ nghiˆm khˆng tˆm thu.o.ng khi v` chı khi ’ ´ . a o e o e . o `a a ’ a ` ´ a det(A) = 0 v` c´ nghiˆm duy nhˆ t tˆm thu a o e .o.ng khi v` chı khi det(A) = 0. a ’ .   ax1 + x2 + · · · + xn−1 + xn = 0    x1 + ax2 + · · · + xn−1 + xn = 0   V´ du. T` a dˆ hˆ ı . ım ’ . ¯e e ... = 0 c´ nghiˆm khˆng tˆm o e . o ` a    x1 + x2 + · · · + axn−1 + xn = 0    x1 + x2 + · · · + xn−1 + axn = 0. thu.o.ng
18 a 1 ... 1 1 1 a ... 1 1 det(A) = . . . . . . 1 1 ... a 1 1 1 ... 1 a a + n − 1 a + n −1 ... a + n −1 a +n − 1 1 a ... 1 1 h1 + hi = ... ... i=1 1 1 ... a 1 1 1 ... 1 a 1 1 ... 1 1 1 a ... 1 1 = (a + n − 1) . . . . . . 1 1 ... a 1 1 1 ... 1 a 1 1 ... 1 1 0 a − 1 ... 0 0 hi −h1 = (a + n − 1) . . . ... = (a + n − 1)(a − 1)n−1 i=1 0 0 ... a − 1 0 0 0 ... 0 a−1 a = 1−n Hˆ c´ nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng khi det(A) = 0 ⇔ e o . e . o `a o a = 1. ´ + nˆu e (α1 ; α2 ; . . . ; αn−1 ; αn ) v` (β1 ; β2 ; . . . ; βn−1 ; βn ) a e . ’ e l` nghiˆm cua hˆ (II) th` a . ı ∀h, k ∈ R : (hα1 + kβ1 ; hα2 + kβ2 ; . . . ; hαn−1 + kβn−1; hαn + kβn ) c˜ ng l` nghiˆm hˆ (II). u a e . e . + Tru.`.ng ho.p r(A) < n (sˆ ˆ n cua hˆ) th` r(A) ˆ n co. ban d u.o.c biˆu diˆn qua o . ´ ’ o a ’ e. ı a’ ’ ¯ . e’ ˜ e a’ o . ban (lˆ y gi´ tri tu` y). Nˆu chon n − r(A) ˆ n khˆng co. ban n − r(A) ˆ n khˆng co ’ ´ a a . y´ ´ e a’ o ’ . tu.o.ng u.ng theo n − r(A) th`nh phˆn cua n − r(A) bˆ sˆ: ´ a ` a ’ o o´ . (1; 0; 0; . . . ; 0); (0; 1; 0; . . . ; 0); (0; 0; 1; . . . ; 0); . . . ; (0; 0; 0; . . . ; 1) th` n − r(A) nghiˆm cu thˆ cua hˆ (II) d u.o.c goi l` mˆt hˆ nghiˆm co. ba n cu a ı e . ’ . e ’ e . ¯ . . a o e. . e . ’ ’ hˆ. e.   x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0    2x + 4x + 2x − x = 0 . ban cua 1 2 3 4 V´ du. T` hˆ nghiˆm co ’ ı . ım e . e . ’  x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 0    4x1 + 8x2 − 2x3 + x4 = 0.
19     1 2 −2 1 1 2 −2 1  2 4 2 −1  h2 −2h1  0 0 6 −3  h3 −h2 1 2 −2 1 A=  −→   −→ u.ng ´ 1 2 4 −2 h3 −h1 0 0 6 −3 h2:2 0 0 2 −1 4 8 −2 1 h4 −4h1 0 0 6 −3 h4 −h2 v´.i hˆ: o e . x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0 x1 = −2x2 ⇔ 2x3 − x4 = 0 x4 = 2x3 . + Chon (x2 , x3 ) = (1, 0), ta c´: nghiˆm (−2; 1; 0; 0) . o e. + Chon (x2 , x3 ) = (0, 1), ta c´: nghiˆm (0; 0; 1; 2) . o e. * Gia ’ i th´ c´ch t` ma trˆnghich d a o o. phˆn IV, chu.o.ng 1 ıch a ım a ¯’ ’ ` a  . .  a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n a a2,2 a2,3 . . . a2,n  Cho ma trˆn vuˆng A =  2,1 a . o  c´ det(A) = 0. X´t hˆ o e e . ... ... an,1 an,2 an,3 . . . an,n n phu.o.ng tr` 2n ˆ n: ınh a’   a1,1 x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3 + · · · + a1,n xn + xn+1  =0   a2,1 x1 + a2,2 x2 + a2,3 x3 + · · · + a2,n xn   + xn+2 =0 a3,1 x1 + a3,2 x2 + a3,3 x3 + · · · + a3,n xn + xn+3 =0    ..................    an,1 x1 + an,2 x2 + an,3 x3 + · · · + an,n xn + xn+1 =0 c´ dang ma trˆn o . a . A × X + X = 0 ⇔ A × X = −X (1)     x1 xn+1  x2   xn+2      v´.i X =  x3  v` X =  xn+3  o  .  a  .   .  .  .  . xn x2n v` det(A) = 0, ∃A−1 nˆn: (1)⇔ X = −A−1 × X ⇔ X + A−1 × X = 0 (*) ı e   a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n | 1 0 0 . . . 0  a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n | 0 1 0 . . . 0    . . ´  Hˆ c´ ma trˆn hˆ sˆ:  a3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n | 0 0 1 . . . 0  = (A|E) e o a e o .  ... ... ... an,1 an,2 an,3 . . . an,n | 0 0 0 . . . 1 Gia’ su. qua c´c ph´p biˆn d o i so. cˆ p trˆn c´c h`ng, ta d .a d u.o.c ma trˆn vˆ dang ’ a e ´ e ¯ˆ ’ ´ a e a a ¯u ¯ . a ` . . e   1 0 0 ... 0 | b1,1 b1,2 b1,3 ... b1,n  0 1 0 ... 0 | b2,1 b2,2 b2,3 ... b2,n     0 0 1 ... 0 | b3,1 b3,2 b3,3 ... b3,n  = (E|B)   ... ... ... 0 0 0 ... 1 | bn,1 bn,2 bn,3 ... bn,n