intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Không gian vectơ

Chia sẻ: Tieuduongchi Duongchi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:424

Thêm vào BST
Báo xấu
25
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Không gian vectơ. Chương này cung cấp cho học viên những nội dung về: khái niệm không gian vectơ; độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính; hạng của một hệ hữu hạn các vectơ; cơ sở - số chiều - tọa độ; không gian vectơ con; không gian Euclide;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Không gian vectơ

  1. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương II KHÔNG GIAN VECTƠ 158
  2. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương II KHÔNG GIAN VECTƠ Trong môn hình học giải tích (sơ cấp) ở trường phổ thông trung học, bạn đọc đã làm quen với các vectơ tự do và các phép toán trên chúng. Tập hợp các vectơ tự do trong không gian cùng với phép cộng các vectơ và nhân một số thực với một vectơ có rất nhiều tính chất, trong đó có 8 tính chất cơ bản: (1) (~ x+~ y) + ~ z=~ x + (~ y+~ z ); x + ~0 = ~0 + ~ (2) ~ x=~ x; (3) ~ x + (−~ x = (−~ x = ~0; x) + ~ (4) ~ x+~ y=~ y+~ x; (5) λ(~ x+~ y ) = λ~ x + λ~ y; (6) (λ + µ)~ x = λ~ x + µ~ x; (7) (λµ)~ x = λ(µ~ x); (8) 1~ x=~ x, với mọi bộ ba vectơ tự do ~ x, ~ z tuỳ ý; mọi cặp số thực λ, µ bất kỳ. y, ~ 158
  3. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương II KHÔNG GIAN VECTƠ Trong môn hình học giải tích (sơ cấp) ở trường phổ thông trung học, bạn đọc đã làm quen với các vectơ tự do và các phép toán trên chúng. Tập hợp các vectơ tự do trong không gian cùng với phép cộng các vectơ và nhân một số thực với một vectơ có rất nhiều tính chất, trong đó có 8 tính chất cơ bản: (1) (~ x+~ y) + ~ z=~ x + (~ y+~ z ); x + ~0 = ~0 + ~ (2) ~ x=~ x; (3) ~ x + (−~ x = (−~ x = ~0; x) + ~ (4) ~ x+~ y=~ y+~ x; (5) λ(~ x+~ y ) = λ~ x + λ~ y; (6) (λ + µ)~ x = λ~ x + µ~ x; (7) (λµ)~ x = λ(µ~ x); (8) 1~ x=~ x, với mọi bộ ba vectơ tự do ~ x, ~ z tuỳ ý; mọi cặp số thực λ, µ bất kỳ. y, ~ 158
  4. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Nhắc lại rằng tập hợp các ma trận cấp m × n trên trường K, Mm,n (K) (K là trường số thực hay trường số phức) cùng với phép cộng các ma trận và nhân một số của K với một ma trận cũng có 8 tính chất tương tự. Sự giống nhau cơ bản đó của tập hợp các vectơ tự do trong không gian và tập Mm,n (K) cũng như nhiều mô hình khác thường gặp trong toán học đã dẫn đến việc tổng quát hoá thành khái niệm không gian vectơ mà chúng ta sẽ nghiên cứu trong chương này. 159
  5. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTƠ 160
  6. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTƠ 1 Định nghĩa không gian vectơ. 160
  7. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTƠ 1 Định nghĩa không gian vectơ. Cho V là một tập hợp khác rỗng mà các phần tử được gọi là các ”vectơ” và được kí hiệu bởi a, b, c, ..., u, v, x, y, z, t, ... . K là trường số (thực hay phức) mà các số từ K còn được gọi là các ”vô hướng” và được kí hiệu bởi λ, µ, γ... Giả sử đã cho hai phép toán: 160
  8. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTƠ 1 Định nghĩa không gian vectơ. Cho V là một tập hợp khác rỗng mà các phần tử được gọi là các ”vectơ” và được kí hiệu bởi a, b, c, ..., u, v, x, y, z, t, ... . K là trường số (thực hay phức) mà các số từ K còn được gọi là các ”vô hướng” và được kí hiệu bởi λ, µ, γ... Giả sử đã cho hai phép toán: - Phép cộng hai vectơ V ×V →V (x, y) 7→ x + y 160
  9. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTƠ 1 Định nghĩa không gian vectơ. Cho V là một tập hợp khác rỗng mà các phần tử được gọi là các ”vectơ” và được kí hiệu bởi a, b, c, ..., u, v, x, y, z, t, ... . K là trường số (thực hay phức) mà các số từ K còn được gọi là các ”vô hướng” và được kí hiệu bởi λ, µ, γ... Giả sử đã cho hai phép toán: - Phép cộng hai vectơ V ×V →V (x, y) 7→ x + y 160
  10. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân - Phép nhân một vô hướng với một vectơ VK×V →V (λ, x) 7→ λx . Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn: 161
  11. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân - Phép nhân một vô hướng với một vectơ VK×V →V (λ, x) 7→ λx . Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn: (1) (x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ; (2) ∃0V ∈ V sao cho x + 0V = 0V + x = x; ∀x ∈ V ; (3) ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0V ; (4) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (5) λ(x + y) = λx + λy; ∀x, y ∈ V ; ∀λ ∈ K; (6) (λ + µ)x = λx + µx; ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K; (7) (λµ)x = λ(µx); ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K; (8) 1.x = x ∀x ∈ V . 161
  12. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân - Phép nhân một vô hướng với một vectơ VK×V →V (λ, x) 7→ λx . Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn: (1) (x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ; (2) ∃0V ∈ V sao cho x + 0V = 0V + x = x; ∀x ∈ V ; (3) ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0V ; (4) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (5) λ(x + y) = λx + λy; ∀x, y ∈ V ; ∀λ ∈ K; (6) (λ + µ)x = λx + µx; ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K; (7) (λµ)x = λ(µx); ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K; (8) 1.x = x ∀x ∈ V . 161
  13. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Vectơ 0V ∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu không sợ nhầm lẫn. Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x. 162
  14. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Vectơ 0V ∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu không sợ nhầm lẫn. Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x. ∗ Nhờ tiên đề (1) ta có thể viết x + y + z thay cho một trong hai vế của (1) và còn được gọi là tổng của x, y, z Tổng quát hơn ta có thể xét tổng n vectơ (n ≥ 2): x1 + x2 + ... + xn và kí hiệu là Pn xi . Tổng này đương nhiên không phụ thuộc vào thứ tự lấy tổng i=1 theo tiên đề (4). 162
  15. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Vectơ 0V ∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu không sợ nhầm lẫn. Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x. ∗ Nhờ tiên đề (1) ta có thể viết x + y + z thay cho một trong hai vế của (1) và còn được gọi là tổng của x, y, z Tổng quát hơn ta có thể xét tổng n vectơ (n ≥ 2): x1 + x2 + ... + xn và kí hiệu là Pn xi . Tổng này đương nhiên không phụ thuộc vào thứ tự lấy tổng i=1 theo tiên đề (4). ∗ Tổng x + (−y) còn được viết là x − y và gọi là hiệu của x và y. 162
  16. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Vectơ 0V ∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu không sợ nhầm lẫn. Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x. ∗ Nhờ tiên đề (1) ta có thể viết x + y + z thay cho một trong hai vế của (1) và còn được gọi là tổng của x, y, z Tổng quát hơn ta có thể xét tổng n vectơ (n ≥ 2): x1 + x2 + ... + xn và kí hiệu là Pn xi . Tổng này đương nhiên không phụ thuộc vào thứ tự lấy tổng i=1 theo tiên đề (4). ∗ Tổng x + (−y) còn được viết là x − y và gọi là hiệu của x và y. ∗ Khi K = R (hay C) thì V được gọi là không gian vectơ thực (hay phức). 162
  17. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 2 Ví dụ. 163
  18. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 2 Ví dụ. Example 2.1. Hiển nhiên tập hợp các vectơ tự do trong không gia (được giới thiệu ở phổ thông) với phép cộng các vectơ vừa phép nhân một số thực với một vectơ là một không gian vectơ thực. 163
  19. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 2 Ví dụ. Example 2.1. Hiển nhiên tập hợp các vectơ tự do trong không gia (được giới thiệu ở phổ thông) với phép cộng các vectơ vừa phép nhân một số thực với một vectơ là một không gian vectơ thực. Example 2.2. Tập hợp V = Mm,n (K cùng với phép cộng các ma trận và nhân một số thuộc K với một ma trận cũng là một K - không gian vectơ. Mỗi ma trận cấp m × n trên K là một vectơ; vectơ không là ma trận 0m,n ; vectơ đối của A ∈ V = Mm,n (K) chính là ma trận −A. 163
  20. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 2 Ví dụ. Example 2.1. Hiển nhiên tập hợp các vectơ tự do trong không gia (được giới thiệu ở phổ thông) với phép cộng các vectơ vừa phép nhân một số thực với một vectơ là một không gian vectơ thực. Example 2.2. Tập hợp V = Mm,n (K cùng với phép cộng các ma trận và nhân một số thuộc K với một ma trận cũng là một K - không gian vectơ. Mỗi ma trận cấp m × n trên K là một vectơ; vectơ không là ma trận 0m,n ; vectơ đối của A ∈ V = Mm,n (K) chính là ma trận −A. Example 2.3. Lũy thừa Descartes Kn = {(x1 , x2 , ...xn ) | x1 , x2 , ..., xn ∈ K, n ∈ N+ } là một K không gian vectơ với phép cộng và phép nhân với vô 163
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2