Bài giảng Giải tích 1: Khai triển Taylor

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

670
lượt xem 50
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 1: Khai triển Taylor" cung cấp cho người học các kiến thức: Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange, Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản, bảng công thức KT Maclaurin cơ bản,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Khai triển Taylor

KHAI TRIỂN TAYLOR
Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0: f ( x0 ) f ( x0 ) 2 f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 1! 2! f (n ) ( x0 ) x − x n + R +L + ( 0) n n! f ( n +1) ( c ) n +1 Rn = ( x − x0 ) , c nằm giữa x và x0 (n + 1)! (khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0)
Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano f có đạo hàm cấp n tại x0: f ( x0 ) f ( x0 ) 2 f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 1! 2! (n ) ( x0 ) x − x n + o ( x − x )n +L + f n! ( 0) ( 0 ) Phần dư Peano. x0 = 0: khai triển Maclaurin.
Ý nghĩa của khai triển Taylor f(x): biểu thức phức tạp cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng f(x) để thuận tiện trong tính toán. Hàm đơn giản nhất là đa thức.
f(x) = sinx
f(x) = sinx f ( x ) = x + o( x )
f(x) = sinx 3 f ( x ) = x + o( x ) x 3 f ( x ) = x − + o( x ) 3!
f(x) = sinx 4 2 n −1 x n 7 f ( x ) = (−1) + o( x ) n =1 (2n − 1)! 3 f ( x ) = x + o( x ) x 3 f ( x ) = x − + o( x ) 3!
Ví dụ 1. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho 1 f (x) = x (khai triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1) đến (x – 1)3) •Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3. •Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4.
1 1 f ( x ) = � f (1) = 1 f ( x ) = − 2 � f (1) = −1 x x 2 (4) 24 f ( x ) = 3 � f (1) = 2 f (x) = 5 x x 6 f ( x ) = − 4 � f (1) = −6 x f (1) f (1) 2 f ( x ) = f (1) + ( x − 1) + ( x − 1) 1! 2! + f (1) 3! 3 ( ( x − 1) + o ( x − 1) 3 )
f (1) f (1) f ( x ) = f (1) + ( x − 1) + ( x − 1) 2 1! 2! + f (1) 3! 3 ( ( x − 1) + o ( x − 1) 3 ) 1 1! 2 2! 2 6 3! 3 ( f ( x ) = 1 − ( x − 1) + ( x − 1) − ( x − 1) + o ( x − 1) 3 ) 2 3 ( = 1 − ( x − 1) + ( x − 1) − ( x − 1) + o ( x − 1) 3 ) Phần dư Peano
Nếu dùng phần dư Lagrange: 2 3 f ( x ) = 1 − ( x − 1) + ( x − 1) − ( x − 1) + R3 (4) 24 f (x) = 5 x ( 4) f (c ) R3 = ( x − 1) 4 4! 4 1 24 4 ( x − 1) = ( x − 1) = 4! c 5 c5
Ví dụ 2 Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan x f ( x ) = 1 + tan 2 x 2 f ( x ) = 2 tan x (1 + tan x ) 2 2 2 f ( x ) = 2(1 + tan x ) + 6 tan x (1 + tan x ) f (0) f (0) 2 f ( x ) = f (0) + ( x − 0) + ( x − 0) 1! 2! + f (0) 3! ( ( x − 0)3 + o ( x − 0)3 ) x3 tan x = x + + o ( x 3 ) 3
Ví dụ 3 Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(4)(x) = 0 Khai triển Taylor của f đên cấp 3 không có phần dư. f (2) f (2) 2 f (2) 3 f ( x ) = f (2) + ( x − 2) + ( x − 2) + ( x − 2) 1! 2! 3!
f (2) f (2) 2 f (2) 3 f ( x ) = f (2) + ( x − 2) + ( x − 2) + ( x − 2) 1! 2! 3! 1 4 2 12 3 = 0 − ( x − 2) + ( x − 2) + ( x − 2) 1! 2! 3! 2 3 = −( x − 2) + 2( x − 2) + 2( x − 2) � f ( x ) = −1 + 4( x − 2) + 6( x − 2) 2 � f(x)=là1,đa Biếtf (1) f (1) = 1bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1, thức f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)
Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản (x0 = 0) x 1. f ( x ) = e n (k ) x e = f (0) + f (0) k! k ( ( x − 0) + o ( x − 0) n ) k =1 (k ) x (k ) f (x) = e �f (0) = 1 n x 1 k n e = 1+ x + o(x ) k =1 k !
2. f ( x ) = ln(1 + x ) n (k ) ln(1 + x ) = f (0) + f (0) k k! x +o x n ( ) k =1 k −1 (k ) (−1) (k − 1)! f (x) = k (1 + x ) (k ) k −1 �f (0) = ( −1) (k − 1)! n k k −1 x n ln(1 + x ) = (−1) + o( x ) k =1 k
α 3. f ( x ) = (1 + x ) (k ) α −k f ( x ) = α (α − 1)L (α − k + 1)(1 + x ) (k ) f (0) = α (α − 1)L (α − k + 1) n (k ) α (1 + x ) = f (0) + f (0) k k! ( ) x +o x n k =1 α α α (α − 1) 2 (1 + x ) = 1 + x + x +L 1! 2! α (α − 1)L (α − n + 1) n n + x + o( x ) n!
Áp dụng cho = - 1. α α α (α − 1) 2 (1 + x ) = 1 + x + x +L 1! 2! α (α − 1)L (α − n + 1) n n + x + o( x ) n! 1 = 1 − x + x 2 − x 3 + L + (−1)n x n + o ( x n ) 1+ x
3. f ( x ) = sin x (k ) � π� π f ( x ) = sin �x + k �� f (0) = sin k ( k ) � 2� 2 (k ) k = 2p � f (0) = 0 (2 p −1) p −1 k = 2p − 1 � f (0) = ( −1) 2 n −1 ( k ) sin x = f (0) + f (0) k k! x +o x 2 n −1 ( ) k =0 n 2 k −1 sin x = (−1) k −1 x (2k − 1)! +o x ( 2 n −1 ) k =1