GIẢI TÍCH B1
GV: CAO NGHI THỤC
EMAIL: cnthuc@hcmus.edu.vn
Chương 2 Phép tính tích phân hàm một biến
I. Tích phân bất định II. Tích phân xác định III. Tích phân suy rộng
1. Tích phân bất định
f x ( )
( ) F x ʹ′
=
Định nghĩa
F x ( )
f x dx ( ).
c + = ∫
Page § 3
Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b). Hàm F(x) được gọi là 1 nguyên hàm của f(x) nếu . Khi đó F(x)+c được gọi là họ nguyên hàm của f(x) và ký hiệu
1. Tích phân bất định
k f x dx . ( ).
=
f x { ( )
k f x ( ) ∫ ( )}. dx
g x
f x dx ( )
g x dx ( )
+
=
+
∫
∫
F x dx F x ( )
( ). ʹ′
=
f x dx ( )
f x ( )
=
ʹ′ )
∫ ∫ ∫ (
∫
Page § 4
Các tính chất của TPBĐ
1. Tích phân bất định
c
+
=
1
+
1 + α x α x
c
ln
dx
+
=
x dxα∫ ∫
1 x
x
x
x a dx
c
x e dx
e
c
,
=
+
=
+
∫
a ln
a
sin
xdx
cos
c
∫ x +
=−
cos
xdx
sin
x
c
=
+
Page § 5
∫ ∫
Bảng tích phân cơ bản
1. Tích phân bất định
dx
tan
x
c
=
+
∫
x
dx
cot
c
=−
x +
∫
x
dx
arc
tan
x
c
=
+
2
∫
1
+
1 2 cos 1 2 sin 1 x 1
dx
arcsin
x
c
=
+
Page § 6
2
∫
1
x
−
Bảng tích phân cơ bản
1. Tích phân bất định
Phương pháp tính tích phân
PP Đổi biến
I
3sin .cos . x
x dx
= ∫ cos .
x dx
t
x
dt
sin =⇒=
4
4
x
3 t dt .
I
c
=
=
c + =
+
∫
t 4
sin 4
Page § 7
VD1 Tính
1. Tích phân bất định
Phương pháp tính tích phân
PP Đổi biến
5sin
xdx
I
= ∫
Page § 8
VD2 Tính
1. Tích phân bất định
Phương pháp tính tích phân
udv uv
vdu
=−
∫
∫
2 lnx
xdx
PP Tích phân từng phần
∫
Page § 9
VD 3 Tính
1. Tích phân bất định
Phương pháp tính tích phân
2 xx e dx
VD 4 Tính
PP Tích phân từng phần ∫
sinx
xdx
∫
Page § 10
VD 5 Tính
2. Tích phân xác định
Định nghĩa
b
F b ( )
F a ( )
f x dx F x ( ) ( ) =
∫
b =− a
a
Page § 11
Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b]. F(x) +c là họ nguyên hàm của f(x). Khi đó TPXĐ của f(x) từ a đến b được định nghĩa là
2. Tích phân xác định
b
f x dx ( )
S=
0
Ý nghĩa hình học
∫
a
Cho f(x) liên tục [a,b] và . Khi đó f x ≥ ( )
Page § 12
Chính là diện tích hình thang cong giới hạn bởi x=a,x=b,y=0,y=f(x)
2. Tích phân xác định
b
b
kf x dx ( )
=
k f x dx ( ) ∫
∫
a
a
b
b
b
[
f x ( )
g x dx ( )]
f x dx ( )
g x dx ( )
±
=
±
∫
∫
∫
a
a
a
a
a
b
f x dx ( )
f x dx ( )
0
=−
⇒
f x dx ( ) =
∫
∫
∫
b
a
a
b
b
f x ( )
g x
( ),
a b [ , ]
f x dx ( )
g x dx ( )
≥
x ∀ ∈
⇒
≥
∫
∫
a
a
Page § 13
Các tính chất của TPXĐ
2. Tích phân xác định
b
c
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
,
c
a b [ , ]
=
∫
∫
a
a
b +∀ ∈ ∫ c
b
a b [ , ]
)
(
)
M f x ( ) ≤
N x , ≤ ∀ ∈
⇒
M b a ( −
≤
f x x N b a ( ) ≤
−
∫
a
Page § 14
Các tính chất của TPXĐ
2. Tích phân xác định
Phương pháp tính TPXĐ
2
Phương pháp đổi biến
I
4
2 x dx
x
2sin
t
dx
2cos
tdt
=⇒=
=−∫
0
t
2
t
x
0, x =⇒=
π 2
0 =⇒= π 2
π 2
2
I
2 4(1 sin ).2cos
t
tdt
t
tdt
tdt
=
=
4 cos cos ∫
=−∫
0
π 2 4 cos ∫ 0
0
Page § 15
VD6 Tính
2. Tích phân xác định
π 2
I
=
x
sin xdx +∫ 2 1 cos
0
Page § 16
VD7 Tính
2. Tích phân xác định
Phương pháp tính TPXĐ
Phương pháp TP từng phần
b
b
b
udv
)
vdu
uv ( =−
∫
∫
a
a
a
Page § 17
Cho u(x),v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục [a,b]. Khi đó
2. Tích phân xác định
Phương pháp tính TPXĐ
e
Phương pháp TP từng phần
ln
xdx
∫
1
1
VD8 Tính
(
x
1) x
e dx
+
∫
0
Page § 18
VD9 Tính
3. Tích phân suy rộng
f x dx ( )
TPSR loại 1 (có cận là vô cực)
b
+∞
a Và được xác định như sau
f x dx ( )
f x dx ( )
=
lim b →+∞
∫
∫
a
Cho f(x) khả tích [a,b]. Tích phân suy rộng loại 1 của a +∞ ) [ , f(x) trên +∞ ký hiệu là ∫
a
a
c
a +∞
+∞
f x dx ( )
f x dx ( )
,
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
=
=
+
lim b →−∞
∫
∫
∫
∫
∫
b
c
−∞
−∞
−∞
Page § 19
Tương tự
3. Tích phân suy rộng
TPSR loại 1 (có cận là vô cực)
Page § 20
Nếu các giới hạn trên tồn tại và hữu hạn thì ta nói các TPSR tương ứng là hội tụ. Ngược lại ta nói chúng phân kỳ
3. Tích phân suy rộng
+∞
b
I
dx
=
dx
2
=
x
=
2
lim b →+∞
1 +∫ 1 x
lim arctan b →+∞
0
1 +∫ 1 x
b 0
0
=
b
arctan 0
lim arctan =− b →+∞
π 2
Page § 21
VD10 Tính
3. Tích phân suy rộng
+∞
I
dx a (
0)
=
>
∫
1 xα
a
+∞
VD11 Tính
I
dx
=
2
∫
1
x
x +
0
Page § 22
VD12 Tính
3. Tích phân suy rộng
a c∈ [ , )
x Cho f(x) xác định và liên tục tại mọi . Hàm này không xác định tại x=c. Khi đó
c
f x dx ( )
f x dx
=
TPSR loại 2 (của hàm số bị gián đoạn)
∫
b lim ( ) ∫ −→ c b a
a
x
a c∈ ( , ]
c
f x dx ( )
f x dx
=
Tương tự, nếu hàm số liên tục tại mọi và không xác định tại x=a. Khi đó
∫
c lim ( ) ∫ +→ a b b
a
Page § 23
3. Tích phân suy rộng
TPSR loại 2 (của hàm số bị gián đoạn)
a c∈ [ , ]
x 0
c
c
b
c
x 0
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
=
+
=
+
Cho f(x) bị gián đoạn tại . Khi đó
∫
∫
∫
∫
∫
lim −+→ x b 0
lim x b → 0
a
a
a
x 0
x 0
Page § 24
Nếu các giới hạn trên tồn tại và hữu hạn ta nói TPSR tương ứng là hội tụ. Ngược lại thì phân kỳ
3. Tích phân suy rộng
1
b
1
1
I
dx
=
x
dx
=
∫
lim 2 1 − =− −→ b 1
∫
lim −→ 1 b
1
x
b 0
−
0
1
x
−
0
b
2}
2=
lim{ 2 1 −+ =− −→ b 1
Page § 25
VD13 Tính
3. Tích phân suy rộng
e
1
dx
I
= ∫
ln
x
1
x 1
VD14 Tính
ln
xdx
I
= ∫
0 1 2
1
VD15 Tính
I
dx
=
∫
x
(1
x
)
−
0
Page § 26
VD16 Tính
4. Ứng dụng tích phân xác định
Tính diện tích hình phẳng
a x ,
b
y
=
=
( ), f x f x ( ) đường được tính = ≤= 2
f x x ( ), 2
1
f x y ( ), 1 bởi công thức
b
S
[
f x ( ) 2
f x dx ( )] 1
=−∫
a
Page § 27
Diện tích hình thang cong được giới hạn bởi các
4. Ứng dụng tích phân xác định
VD17
y
2, x y
2
=−
x =− −
Page § 28
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
4. Ứng dụng tích phân xác định
f x y ( ),
0,
b
y
x
=
=
=
Tính thể tích
b
V
[
f x
2 ( )]
dx
π= ∫
a
Page § 29
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường quay a x , = quanh trục Ox được tính bởi công thức
4. Ứng dụng tích phân xác định
g y x ( ),
0,
b
x
y
=
=
Tính thể tích
b
V
2 g y [ ( )]
dy
π= ∫
a
Page § 30
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi a y , = = các đường quay quanh trục Oy được tính bởi công thức
4. Ứng dụng tích phân xác định
VD18
2
y
sin
x y ,
0,
x
0,
x
=
=
=
=
π 4
Tính thể tích khối tròn xoay do miền giới hạn bởi
Page § 31
quay quanh Ox
4. Ứng dụng tích phân xác định
VD19
y
tan ,
x y
0,
x
0,
x
=
=
=
=
π 4
Tính thể tích khối tròn xoay do miền giới hạn bởi
Page § 32
quay quanh Ox
4. Ứng dụng tích phân xác định
VD20
y
x y
0,
x
0,
x
=
2 1 sin 2 , +
=
=
=
π 4
Tính thể tích khối tròn xoay do miền giới hạn bởi
Page § 33
quay quanh Ox
Bài tập chương 2
Bài 1: Tính các tích phân sau
(%&’%()&*% %+
1. ∫
*% -&’.
2. ∫
3. ∫ tan3x dx
Page § 34
4. ∫ cot3x dx
Bài tập chương 2
%
Bài 2: Tính các tích phân sau
%9:
%9;<%
dx 1. ∫
%
dx 2. ∫
% -&9:
dx 3. ∫
-&’=%9> -&9?
Page § 35
dx 4. ∫
Bài tập chương 2
? 1. ∫ @
*% -&’@%93
: 2. ∫ B
-&*% %A9:
CD<(;<%)
Bài 3: Tính các tích phân sau
E 3. ∫ :
%
: 4. ∫ B
EF*% :9E&F
Page § 36
dx
Bài tập chương 2
*%
9G 1. ∫ :
%
Bài 4: Tính các tích phân sau
9G ’G
*% :9-&
9G 3. ∫ :
*% %;<&%
HIJKH<%
9G 4. ∫ B
:9%& dx
Page § 37
2. ∫
![Đề thi kết thúc học phần Nguyên lí Hóa học 2 [mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251014/anhinhduyet000/135x160/69761760428591.jpg)
