zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Giải tích: Chương 7 - Phan Trung Hiếu (2019)

Chia sẻ: Minh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Báo xấu

50
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích - Chương 7: Lý thuyết chuỗi" cung cấp cho người học các kiến thức: Các định nghĩa, các mệnh đề, chuỗi số dương, các tiêu chuẩn so sánh, tiêu chuẩn tỷ số D’Alembert, chuỗi đan dấu,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích: Chương 7 - Phan Trung Hiếu (2019)

12/5/2019 Chương 7: Lý thuyết chuỗi GV. Phan Trung Hiếu §1. Chuỗi số §1. Chuỗi số §2. Chuỗi hàm LOG O 2 Định nghĩa 1.2 (Sự hội tụ của chuỗi số) I. Các định nghĩa: Nếu lim sn  s (  ) thì chuỗi (*) hội tụ Định nghĩa 1.1. Cho dãy số {an} trong  . và n   Biểu thức:  a1  a2  ...  an  ...   an (*) a n 1 n  s. n 1 được gọi là một chuỗi số (gọi tắt là chuỗi). Nếu lim sn không tồn tại hoặc lim sn   thì n n  Các số a1, a2,…,an,… được gọi là các số hạng của chuỗi (*); an là số hạng tổng quát. chuỗi (*) phân kỳ và nó không có tổng.  n sn  a1  a2  ...  an   ak k 1 là tổng riêng phần (thứ n) của chuỗi (*). 3 4  1 II. Các mệnh đề: Ví dụ 7.1. Chứng minh  n(n  1) n 1 hội tụ    1 Mệnh đề 2.1. Nếu a và b là các chuỗi và tính  . n 1 n n 1 n n 1 n( n  1) hội tụ thì   1   Ví dụ 7.2. Chứng minh  ln 1  n  phân kỳ. n 1  (a n 1 n  bn ) và  (k .an ) n 1 là các chuỗi hội tụ, hơn nữa     (a n 1 n  bn )   an   bn , n 1 n 1    (k.a )  k. a . n 1 n n 1 n 5 6 1
12/5/2019 Mệnh đề 2.2 (Chuỗi hình học) Mệnh đề 2.3 (Chuỗi điều hòa)   n 1 x n0 hội tụ  x  1. n n 1 p hội tụ  p  1. Ví dụ 7.3. Xét tính hội tụ của các chuỗi Ví dụ 7.4. Xét tính hội tụ của các chuỗi  n    2 1 1 1 a)    a)  n 1 n b)  n 1 n 3 c) n 1/3 n0  3  n 1  n b) 3 n0 7 8 Mệnh đề 2.4   lim an  0  n   an phân kỳ. n 1  (an ) phan ky Chú ý: Nếu lim an  0 thì ta chưa kết luận §2. Chuỗi số dương n  được gì. Ví dụ 7.5. Xét tính hội tụ của các chuỗi  n  2n 2  1 a)  3n 1 b)  2 n 1 n 1 n  n  1 9 10 I. Định nghĩa: II. Các tiêu chuẩn so sánh:  Tiêu chuẩn so sánh 1: Xét hai chuỗi số a n được gọi là chuỗi số dương nếu   n 1 an an  0, n  . dương  an ,  bn với lim n 1 n 1 n  b  c  [0,  ]. n hoặc từ một số hạng nào đó trở đi Khi đó an  0, n  n0 .   0  c   :  an và  bn hoặc cùng hội tụ Ví dụ 7.6. Chuỗi nào sau đây là chuỗi số dương? n 1 n 1  n  ( 1) n hoặc cùng phân kỳ a)  b)  n 1 3n  1 n 1 n 11 12 2
12/5/2019    c  0 : Chú ý: Thường chuỗi  bn được chọn từ một b n 1 n hội tụ   an hội tụ. n 1 trong hai chuỗi sau n 1    a n 1 n phân kỳ   bn phân kỳ.  x n hội tụ  | x |  1. n 1 n 1 c   :    1 a n hội tụ  b n hội tụ.  p hội tụ  p  1. n 1 n 1 n 1 n   b phân kỳ   an phân kỳ. Hệ quả: Nếu an , bn là hai dãy số dương và n n 1 n 1 an  bn , n     thì a n 1 n và b n 1 n hoặc cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ 13 14 Ví dụ 7.7. Xét tính hội tụ của các chuỗi Tiêu chuẩn so sánh 2: Xét hai chuỗi số dương   2n 2  3n    a)  b )  sin n n 1 5n 5 n 1 2 a n 1 n và b n 1 n thỏa   1 1 an  bn , n  n0 . c)  d)  n n  2 ln  n  1 n 1 2  1 2 Khi đó     1 e)  ln  1   b n 1 n hội tụ   an hội tụ. n 1 n 1  n   a n 1 n phân kỳ   bn phân kỳ. n 1 15 16 Ví dụ 7.8. Xét tính hội tụ của các chuỗi Tiêu chuẩn so sánh 3: Giả sử f(x) là một hàm   liên tục, dương và giảm trên 1;  . Đặt 1 ln n a)  2 n 1 n  ln n b)  n 3 n an  f (n). Khi đó    f ( x )dx hội tụ   an hội tụ. 1 n 1    f ( x )dx phân kỳ   an phân kỳ. 1 n 1 17 18 3
12/5/2019 Ví dụ 7.9. Xét tính hội tụ của chuỗi III. Tiêu chuẩn tỷ số D’Alembert:  1   n  2 n ln n Xét chuỗi số dương  an . Ta có: n 1    1   an hội tụ. n 1   an1  lim   1   an phân kỳ. n  an  n 1   1 chưa kết luận được gì. Thường dùng tiêu chuẩn D' Alembert khi chuỗi có số hạng sau rút gọn được cho số hạng trước nó. 19 20 Ví dụ 7.10. Xét tính hội tụ của các chuỗi IV. Tiêu chuẩn căn số Cauchy:   n  n  n n 3 a) 2 n b)  n! n 1 c)  n3 Xét chuỗi số dương  an . Ta có: n 1 n 1 n 1   n 7 .  n ! 2   n  3 !   1   an hội tụ. d)  e)  n !.3n  n 1 n 1 n2 n n 1   lim n an n    1   an phân kỳ.  n 1   1 chưa kết luận được gì. Thường dùng tiêu chuẩn Cauchy khi chuỗi có số hạng tổng quát có dạng của số mũ có chứa n. 21 22 Ví dụ 7.11. Xét tính hội tụ của các chuỗi   n 1  3n  2  a)  n b)    n 1 n n 1  2n  3   n2  n 1  1 c)     n §3. Chuỗi đan dấu n 1  n  2 23 24 4
12/5/2019 I. Định nghĩa: II. Định lý Leibnitz: Cho an là một dãy số dương, các chuỗi số Nếu an là một dãy số dương, giảm và lim an  0 n    a1  a2  a3  a4  ...   ( 1) n 1 an thì chuỗi đan dấu  ( 1) n 1 an hội tụ. n 1 n 1 và  Ví dụ 7.12. Xét tính hội tụ của chuỗi a1  a2  a3  a4  ...   ( 1)n an  ( 1) n 1  ( 1) n n n 1 a)  b)  n 1 n n 1 n2 là các chuỗi đan dấu.  2  ( 1) n c)  (1) n n 1 3n  2 25 26 Chú ý: Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hay III. Hội tụ tuyệt đối:    Cauchy mà biết được chuỗi  an phân kỳ thì Định lý: a n hội tụ  a n hội tụ.  n 1 n 1 n 1 a n 1 n cũng phân kỳ Ví dụ 7.13. Xét tính hội tụ của chuỗi Ví dụ 7.14. Xét tính hội tụ của chuỗi  sin n  (1) n  (1) n .4n   n  n a)  3 b) n 2 1 a)  b)    n 1 n n n 1  3n  2  n 1 n 1  (5) n  ( 1) n .n 2 c) 3 n 1 2 n 1 (n  4) d)  2 n 1 2n  1 27 28 I. Định nghĩa: Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng  n a x n (1) §4. Chuỗi lũy thừa n0 trong đó x là biến, hằng số an là hệ số của x n Tổng quát, cho trước x0 , an   chuỗi hàm số  n  a (x  x ) n0 n 0 (2) được gọi là chuỗi lũy thừa của x  x0 29 30 5
12/5/2019 Chú ý: II. Tìm bán kính hội tụ và tìm miền hội tụ:  Đặt X  x  x0 thì chuỗi (2) trở thành  n Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa có một trong 4 a X n0 n . dạng (  R; R),   R; R  ,   R; R  ,   R; R  . Định lý: Nếu Chuỗi (1) luôn hội tụ tại x =0. an1 Tồn tại số R  0 để chuỗi  an x n hội tụ trong lim   hoặc lim n an   n 0 n  an n  khoảng (R; R), phân kỳ trong khoảng ( ; R ) và ( R; ) . thì 1  , 0     R: bán kính hội tụ  R  0,    (R; R) : khoảng hội tụ. ,   0   31 32 Các bước tìm miền hội tụ: Bước 1: Tìm bán kính hội tụ theo định lý trên. Bước 2: Xét tính hội tụ của chuỗi tại –R và R. Bước 3: Kết luận. Ví dụ 7.15. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của các chuỗi sau n  n   n!x  nx  a)  n ! xn . b)   2n !. c)   n  1  . n 1 n 1 n 1 n  ( 1) n x n  2n  x  3 d)  n.2n . e) n 1 n3 . n 1 n  ( 1) n (2 n  1)  2 x  1 f)  . n 1 2n 33 6
Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG 7 Bài 1: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau 2n1   n n 2  n2  n  1  1 1)  n 2)  4 .9 3)  2 4)  n n 1 3 n 1 n 1 n  2n  3 n 1 2 2  e Bài 2: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau     1 n 1 1  1  1)  n 1 (2n  1)(2n  1) 2)  2 n 1 n  n  2 3)  sin 2 n 1 n  n 1 4)  ln 1  n 1  n   1  1    1  1n  5)  1  cos  n 1  n 6)  n( n  1) 7)  sin n 8)   e  1 n 1 n  n 1 n 1   n 1  n 3n  2   n2  3 (n  1)n  9)  10)  n 11)  n 12)  n1 n 1 n n 1 5  9 n 2 3  1 n 1 n  2  n 13) n e n 1 Bài 3: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau    1 1 1 1)  n 1 n.3 n 2)  n 1 3 n 3) n n 7 ln n Bài 4: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau     1 1 arctan n 1)  2 2)  n.ln n. ln(ln n) 2 3)  n.ln n 4)  2 n 2 n.ln n n 1   n 1 n 1 1  n Bài 5: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau  n3  3n n!  (n!)2  3n n 1)  n 1 3 n 2)  n 1 n n 3)  n1 (2n)! 4)  n1 4 n1  n 2 2n  2n  2  n2 5)  n1 n! 6)  n1 n 10 7)  (n  1)en n1 8)  n n1 2  2n    4.7.10...(3n  1)  1  (2n) n 9)  sin n 1 3n 10)  n 1 2.6.10...(4 n  2) 11)  n 1 (3n  1).3 3 n 1 12)  n 1 n 2n  3  n4 13)  n .e n 1 Bài 6: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau n n n2   2n 2  1    4n  3    n   n 1)   2 n 1  3n  2   2)    n 1  3n  4  3)    n 1  n  1  4)  n 1 n 2 1  n ( n 1)  (2n) n  1   n 1  5)  2 n 6)  n 7)    . n 1 n n 2  ln n  n 1  n  1  7
Bài tập Giải tích Bài 7: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau n n n  n 1 1   1 .n 2   1   1 1)   1 n 1 ln n 2) n 1 n3  1 3) n 1 2n  1 4)  n  ln n n 1 n n  (1)n   1 .7 n   1 n  cos n 5) n 1 n  (1) n 6) n 1 3 2 n 1 7) n 1 3 n 8) n 1 n 2   cos  n   n 1 n   3   10   2  n 2n 2  1 9)  n 1 n! 10) n 1 n! 11) n 1 n2 12)   1 n 1 3n 2  1 n n   1   3.n3 13) n 1 n n 14) n 1 (n  3)! Bài 8: Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau  n  xn  xn  xn 1)  nx 2)  3)  4)  n n 1 n  2 n(n  1) n 1 n ! n 1 n.2 1  xn  xn  3n x n  xn 5)  (1)n n 1 2n 2  1 6) n 1 2n 7)  n 1 (n  1) 2 8)  n 3 ln n 2 n 1 n 9)   ( x  1) n   3x  5  n n 12)     n  n n 1 n 10) n 1 n2 .4n 11)  3 ( x  2) n 1  ( x  3) n 1  n  1  n  ( x  2) n  1  1 x   ( x  2) n  1 13)  n 1 n.3n 14)    n 1 2n  1  1  x  15)  n 1 nn 16)  n( x  2) n 1 n 8

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.