Nội dung cơ bản của chương 7 Phương trình vi phân nằm trong bài giảng toán kinh tế nhằm trình bày về các nội dung chính như sau: định nghĩa phương trình vi phân, cấp của phương trình, nghiệm tổng quát, phương trình vi phân cấp 1.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Toán kinh tế: Chương 7 - Nguyễn Ngọc Lam
- C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM:
Định nghĩa: Phương trình vi phân có dạng:
F(x,y,y(1),y(2),…,y (n)) = 0
Trong đó : x là biến độc lập,
y làm hàm số của x,
y(n) là đạo hàm cấp n của y theo x.
Nếu ta đưa được : y(n) = f(x,y,y(1),y(2),…,y (n-1)) thì phương
trình được gọi là dạng giải được đối với đạo hàm cấp
cao nhất.
169
- C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Cấp của phương trình :
Đạo hàm cấp cao nhất của đạo hàm hàm số y = f(x) có
trong phương trình vi phân được gọi là cấp của phương
trình vi phân.
Nghiệm PT vi phân cấp 1 phụ thuộc một tham số :
y = y(x,C), C R
Nghiệm PT vi phân cấp 2 phụ thuộc hai tham số :
y = y(x,C1,C2), C1,C2 R
Nghiệm PT vi phân cấp n phụ thuộc n tham số :
y = y(x,C1,C2,…Cn), C1,C2,…Cn R
170
- C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Nghiệm tổng quát : Nghiệm của phương trình có dạng :
y = y(x,C1,C2,…Cn), C1,C2,…Cn R
được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.
Nghiệm riêng : Khi cho các tham số Ci bởi giá trị cụ thể
thì ta được nghiệm gọi là nghiệm riêng của phương
trình vi phân.
Nghiệm kỳ dị : Là nghiệm riêng của phương trình vi
phân không được suy ra từ nghiệm tổng quát được gọi
là nghiệm kỳ dị.
171
- C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1:
Dạng tổng quát : F(x,y,y’) = 0
Nếu giải được đối với y’, phương trình vi phân có dạng :
y' = f(x,y)
Định lý tồn tại duy nhất nghiệm :
Cho phương trình vi phân cấp 1 y’ = f(x,y). Nếu
f(x,y) liên tục trong miền chứa (x0,y0) thì tồn tại ít nhất
một nghiệm y = y(x) thỏa mãn điều kiện y(x0) = y0. Nếu
f(x,y) cũng liên tục thì nghiệm đó là duy nhất.
Bài toán tìm nghiệm thỏa điều kiện ban đầu người
ta gọi là bài toán Cauchy.
172
- C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình vi phân không chứa hàm phải tìm:
F(x,y’) = 0
Trường hợp 1: Ta có thể chuyển về dạng : y' = f(x)
Tích phân hai vế.
Ví dụ : Tìm nghiệm phương trình y’ = 3x2 + 2x + 1 thỏa
điều kiện y(1) = 1.
Trường hợp 2 : Ta có thể chuyển về dạng : x = f(y’)
Đặt y’ = t => x = f(t) => dx = f’(t)dt
=> dy = tdx = tf’(t)dt
Ví dụ : Giải phương trình x = y’3 + y’2 + 5
173
- C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình không chứa biến độc lập: F(y,y’) = 0
Trường hợp 1: Ta có thể chuyển về dạng y’ = f(y)
dy dy
f ( y) dx , f(y) 0
dx f ( y)
Ví dụ : Giải phương trình y’ = 1 + y2
Trường hợp 2 : Ta có thể chuyển về dạng :y = f(y’)
Đặt y’ = t => y = f(t) => dy = f’(t)dt = tdx
dy f ' ( t)dt f ' ( t)dt
y' t t dy tdx dx x
dx t t
Ví dụ : Giải phương trình y = y’3 + y’2 + 1
174
- C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường hợp 3 : Ta có thể chuyển về dạng : y = y(t)
=> dy = f’(t)dt
dy
y' g(t) g( t)
dx
f ' (t )dt
dx
g( t)
Ví dụ : Giải phương trình : y2 + y’2 = 1
175
- C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình vi phân có dạng : dy/dx = f(ax + by)
Đặt z = ax + by, ta đưa về dạng phương trình không
chứa biến độc lập.
dz dz
a bf (z) dx
dx a bf ( z)
Ví dụ : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình :
dy
x 2 2xy y2
dx
176
- C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình với biến phân ly:
Dạng tổng quát : f(x)dx + g(y)dy = 0
Ví dụ : Giải phương trình : xdx = (y + 1)dy
y
Phương trình thuần nhất : y' f
x
y dy xdz
z y xz z
x dx dx
dy dz xdz
zx f (z) f (z ) z
dx dx dx
x2 y2
Ví dụ : Giải phương trình y'
2 xy 177
- C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình vi phân tuyến tính: y’ + p(x)y = q(x)
Giải phương trình: y’ + p(x)y = 0
- Nếu y ≠ 0 :
y' p( x )dx
p(x ) ln y p( x )dx C0 y eC0 e
y
p( x )dx
y C1e , (C1 0)
- y = 0: là nghiệm của phương trình
Nghiệm viết tổng quát lại như sau :
p( x )dx
y Ce , (C R)
178
- C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Giải phương trình: y’ + p(x)y = q(x)
p (x )dx
Lagrange : y C(x )e
p( x )dx p( x )dx p( x )dx
C' (x )e p(x )C(x )e p(x )C(x )e q(x )
p( x )dx p( x )dxq( x )
C' (x )e q(x ) C' (x ) e
C(x ) e p( x )dxq(x )dx C
p( x )dx
p (x )dx q(x )dx C
Nghiệm của PT: y e e
3y 1
Ví dụ : Giải phương trình : y'
x2 179
- C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình vi phân Bernoulli:
y’ + p(x)y = q(x)y , ≠ 0 và ≠ 1
- Nếu y ≠ 0 : y- y’ + p(x)y1- = q(x)
Đặt z = y1- => z’ = (1 - )y- y’
z' (1 )p(x )z (1 )q(x )
- Nếu y = 0, >0 Đây cũng là một nghiệm
Ví dụ : Giải phương trình : y’ – 2xy = 2x 3y2
180
- C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
3. ỨNG DỤNG:
Tìm hàm cầu khi biết hệ số co giãn :
Ví dụ: Tìm hàm cầu Q = f(P) cho biết hệ số co giãn:
10P 4P2
QP thỏa Q = 1.000 khi P = 20.
Q
181
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
